Betonkonstruktioner Lektion 3

Transkript

1 Betonkonstruktioner Lektion 3 Hans Ole Lund Christiansen [email protected] 1

2 Teori fra 1. og. lektion Hvad er et stift plastisk materiale? Hvad er forskellen på en elastisk og plastisk spændingsfordeling? Hvad vil det sige at et tværsnit er normaltarmeret?

3 Bøjning med normalkraft -Brudtilstand 3

4 Formål: t beregne et armeret betontværsnits brudmoment når der samtidigt virker en normalkraft 4

5 Elementer udsat for bøjning med normalkraft 5

6 I praksis kan de af belastningen fremkaldte momenter og normalkræfter (M Ed og Ed ) virke uafhængigt af hinanden eller de kan være proportionale med hinanden. I begge tilfælde eftervises tværsnittet sædvanligvis ved, at man påfører tværsnittet normalkraften Ed og Beregner det tilhørende brudmoment M Rd, som så skal være større end M Ed. 6

7 Eksempel: M Ed og Ed uafhængige af hinanden. p F F M Ed 1 pl 8 Ed F 7

8 Eksempel: M Ed og Ed proportionalt med hinanden. e R M Ed R e Ed R 8

9 Bøjning med normalkraft. ormalkraften påføres tværsnittet. For denne situation beregnes brudmomentet. To ubekendte: M Rd, x To ligninger: Moment- og projektionsligning 9

10 Rektangulære tværsnit normaltarmerede. cu3 f cd d h/ h/ M Rd =? x x F c z s F s = s f yd F x b f c cd F s s f yd 10

11 Projektionsligningen: Fc Fs x s f yd bf cd z d x f cd d h/ h/ M Rd =? x F c z F s = s f yd 11

12 z F h d M c Rd Momentligning om armeringen: 1 x h F h d F M c s Rd Momentligning om midtelinien: z F x h M s Rd Momentligning om F c : lle tre ligninger kan anvendes til beregning af M Rd. su s y Husk at checke:

13 Overarmeret tilfælde, fremgangsmåde: cu3 f cd d h/ h/ M Rd x x F c z s < yd F s = s E s s Projektionsligningen giver. gradsligning for x: d x x b f cd E s s cu3 x 13

14 år x er fundet ved løsning af. gradsligningen kan M Rd beregnes: Momentligning om armeringen: M Rd d h F c z 14

15 Eksempel med normaltarmeret tværsnit Eksempel 3.1 Eksempel 3. 15

16 Eksempel: Beregn tværsnittets regningsmæssige brudmoment når der samtidigt virker en tryknormalkraft = 50 k i afstanden a =450 mm fra toppen. f f cd yd uk yd 7.6 MPa 417 MPa 8% 0.1% = 50 k M =? a = 450 mm 5 ø0 400 CL

17 f cd x x F c x a = 450 mm 700 z = 50 k 100 F s = s f yd 5 ø0 400 CL

18 Projektionsligningen: 18 F c F s yd s cd f f x x cd yd s f f x 1 30mm x

19 Momentligningen om armeringen: M Rd d a F z M F z d a c Rd c M Rd mm 19

20 Check af armeringstøjningen: s cu d x x % % s yd 0.1% ntagelsen om flydning OK s uk 8% OK 0

21 M- diagram 1

22 Et M- diagram angiver alle de kombinationer af M og, som tværsnittet netop kan optage. Det betegnes også som tværsnittets brudbetingelse mht. M &. Brudbetingelser er altid konvekse.

23 Tværsnit b h d n so sn d o h/ h/ so M sn M,-diagrammet kan optegnes når samtlige kombinationer af (,M), som giver anledning til brud i tværsnittet, er fundet. 3

24 Spørgsmål: Hvilken af de to viste punkter (Z eller K) svarer til en kombination af M og, som kan optages af tværsnittet? M Ed Z K Ed (tryk) 4

25 M Ed på den sikre side B C D E Ed (tryk) B C D 5

26 M Ed B C D E Ed (tryk) B C D Hvert af de 8 punkter svarer til en bestemt tøjningstilstand 6

27 7

28 Punkt Svarer til nedenstående tøjningsfordeling: B M Ed C D E Ed (tryk) b B C D d n so d o so h + sn sn yd 8

29 Punkt B og B svarer til bæreevnen ved ren bøjning. B B M Ed C C D D E Ed (tryk) 9

30 B M Ed C cu3 yd D E Ed so + so + B C D sn yd sn cu3 Punkt C Punkt C 30

31 B M Ed C D E Ed so cu3 _ so _ B C D sn sn cu3 Punkt D Punkt D 31

32 B M Ed C D E Ed so B C D sn c3 Punkt E 3

33 Punkt so + F so = so f yd d o -h/ d n -h/ M sn F sn = sn f yd yd sn so f yd M sn d n h so d o h f yd 33

34 Punkt C cu3 x f cd so x F c F so = so f yd d o -h/ M d n -h/ sn F sn = sn f yd xbf yd cd sn so f yd hvor : x cu3 cu3 y d n M xbf cd h x sn d n h so d o h f yd 34

35 Formlerne for Punkt C gælder når trykarmeringen flyder. Ellers skal der regnes med F so = so E s s. Samme procedure for punkt C. 35

36 Punkt D cu3 f cd F so = so f yd so x=d n dn F c d o -h/ M sn d n bf cd so f yd M d n bf cd h d n so d o h f yd 36

37 Formlerne for Punkt D gælder når trykarmeringen flyder. Ellers skal der regnes med F so = so E s s. Samme procedure for punkt D. 37

38 Punkt E f cd so F so = so σ s F c d o -h/ M d n -h/ sn F sn = sn σ s c3 hbf cd sn so s σ s beregnes på baggrund af c3. M so d o h sn d n h s 38