MAT B GSK december 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Nedenstående diagram viser sumkurven F() for fordelingen af målte hastigheder højst 60 km/t. Bestem kvartilsættet (bent bilag ) og bestem hvor mange pct. af bilerne der kørte for hurtigt. procent 00 Svar : Kvartilsættet består af 0,5; 0,50 og 0,75-90 fraktilerne. 80 F() 75 70 Aflæsning giver ca. (9;5;65). 68 60 Ca. 68% kører 60 km/t, dvs. 50 50 ca. % kørte for hurtigt. Opg Værdi af kopimaskine, udvikler sig eksponentielt ved funktionen f() = 0.000 0,8 hvor betder antal år efter købet. Forklar betdningen af tallet 0.000 og tallet 0,8 i forskriften for f. Svar : b = f(0) = 0.000 er værdien af kopimaskinen år 0 (dvs. købsprisen) og a = r = 0,8 er grundtallet. Dvs. kopimaskinen mister en værdi på 0% hvert år. 40 0 5 0 0 9 5 65 Serie Serie Serie Serie 4 Serie 5 Serie 6 Serie 7 Serie 8 Serie 9 Serie 0 Serie Serie Serie Serie 4 km/time Serie 5 Serie 6 0 0 0 40 50 60 70 80 90 00 0 0Serie 0 7 Serie 8 Serie 9 Opg Funktionen f har forskriften f() = 5 + 4. Grafen for f er indtegnet på bilag. Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i røringspunktet (,f()) og indtegn tangenten på bilag. Svar : Tangentens ligning = f () ( ) + f() f() = 6 5 + 4 differentieres og vi får f () = 5, dvs. f () = ; f() = 0 4 Dvs. = ( ) + 0 <=> = + er tangentens ligning i punktet (,f()) = (,0) Ved indtegning kan det være en hjælp at finde toppunkt (TP) og evt. nulpunkter. Ved sædvanlig udregning fås : b TP = (, d a 4 a ) = ( 5 9 ; ) = (,5;,5) og NP : 4 - b ± d = <=> = {;4} a f()=^ - 5* +4 =-+ - - - 4 5 6
Opg 4 En klasse med 0 elever Alle elever undtagen Jens har afleveret deres karakterer. Tabel viser kun 9 elevers karakterer. Middeltallet af alle 0 elevers karakterer er 4,7. Karakter ( i ) 00 0 4 7 0 Antal elever 4 Beregn hvilken karakter, Jens har fået. 7 7 Svar : Middeltallet = f i i = h i i *( ) + *0 +... + * + * Jens dvs. 4,7 = <=> i = i = 0 0 9 + Jens = 4,7 <=> Jens = dvs. Jens fik karakteren 0 Opg 5 Nedenstående ABC er ikke retvinklet. A = 8, b = 5 og sin(c) = 0,5. Bestem arealet af ABC. Svar : Areal T = a b sin(c) = 8 5 0,5 = 0
Opg december 008 delprøven med hjælpemidler Funktionen f() = + 4 har definitionsmængden Dm(f) = ] ; ]. a) Bestem nulpunkter for funktionen f. Svar : f() = + 4 = ( + 4) = 0 <=> = 0 eller + 4 = 0 Løse + 4 = 0; a =, b =, c = 4, d = b 4 a c = 9 b ± d Nulpunkter (NP) : = = a Løsningsmængden L = {0; 4;} ± 9 <=> = 4 eller = b) Bestem monotoniforhold og ekstrema ( dec.) for funktionen f. Svar : f () = + 4; a = /, b =, c = 4, d = b 4 a c = 8 f () = ± 8 + 4 = 0 <=> = <=> =,097 eller =,4 8 8 maimum (globalt) i ; f( ) (,4;8,45) og + 8 + 8 lokalt minimum i ; f( ) (,097;,5) 8 + 8 Fortegn f () + 0 0 + i.d Monotoni f() c) Tegn grafen for f og bestem Vm(f). Svar : Bestem f() i endepunktet: f( ) = 4,065 dvs. Vm(f) = ] ;8,45] 5 0 globalt ma 8,45 5 f()=0.5 * ^ + ^ - 4 * Serie Serie Serie Serie 4-5 -0-5 5 0 5 f()=½ + -4-5 -0 (,5;4,065) lokalt min -5
Opg Hanne købte. Marts 007 en computer. I år skulle Hanne betale 460,00 kr. om måneden (4 gange), første gang den. April 007. Rentefoden var,5% pr. måned. a) Bestem prisen på Hannes computer den. Marts 007. n ( + r).05 Svar : Nutidsværdien af en annuitet A 0 = = 460 r 0.05 4 94 kr. b) Hvor meget betalte Hanne i effektiv rente pr. år? Svar : R eff =,05 0,956 = 9,56% c) Bestem restgælden umiddelbart efter den. betaling. Svar : R t = K t A t = A 0 ( + r) t ( + r) t r dvs. R 94,05.05 460 507,47 kr. 0.05 Opg Bestem differentialkvotienten f () for følgende funktioner : a) f() = + 4 Svar: f () = + 4 = + = + (sumreglen, MAT B) b) f() = e Svar : f () = e + e = e ( + ) (produktreglen, MATB) Opg 4 Caffé sælger kaffeblandingerne Gold og Silver i poser. 0000 g brasiliansk kaffe pr. uge, 00 g pr. pose Gold og 00 g pr. pose Silver. 6000 g Colombiansk kaffe pr. uge, 00 g pr. pose Gold og 00 g pr. pose Silver. Caffé har en fortjeneste på 4 kr. pr. pose Gold og kr. pr. pose Silver. Caffé ønsker størst mulige fortjeneste vha. lineær programmering. a) Definér variablene og og bestem en forskrift for funktionen f() = a + b + c, der angiver den største fortjeneste. Svar : = antal poser Gold og = antal poser Silver f(,) = 4 + (kriteriefunktionen) angiver samlede fortjeneste
b) Opstil begrænsningerne (betingelserne) og indtegn polgonområdet i et koordinatsstem. Svar : Gold Silver Maksimum (gram) Brasiliansk 00 00 0000 Colombiansk 00 00 6000 pris 4 kr. pr. pose kr. pr. pose Kriteriefunktion : f(,) = 4 + Begrænsningerne : 00 + 00 0000 <=>,5 + 00 00 + 00 6000 <=> + 80 0 og 0 Linierne =,5 + 00 og = + 80 har skæringspunkt (40;40) da,5 + 00 = + 80 <=>0,5 = 0 <=> = 40, dvs. = 40 c) Bestem hvor mange poser Gold og hvor mange poser Silver Caffé skal sælge pr. uge for at opnå den største fortjeneste og bestem denne fortjeneste. Svar : Niveaulinier : N(0) : 4 + = 0 <=> = 4 N(0) : 4 + = 0 <=> = 4 + 40 Ved parallelforskdning ses, at der er størst fortjeneste i punktet (40;40), dvs. 40 poser Gold og 40 poser Silver Alternativt (mere korrekt) : Udregn kriteriefunktionens værdier i hjørnepunkterne og find maimum f(0;0) = 0; f(0;80) = 40; f(66.666;0) = 66.666; f(40;40) = 80 dvs. maksimum i punktet (40;40) f()=- + 80 (0;80) 0 00 80 60 =-,5+00 Skravering f()=-.5* + 00 Skravering f()=-4/ f()=-4/+40 Serie 40 (40;40) 0-40 -0 0 40 60 80 00-0 N(0) =-+80 (60;0) N(0)
Opg 5 Hansen køber vin og sælger til private med fast fortjeneste på 5,00 kr. pr. flaske. Salgsprisen pr. flaske eksklusiv moms er indkøbspris pr. flaske + fortjenesten. er indkøbsprisen for vilkårlig flaske vin og f() salgsprisen inklusiv 5% moms. a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar : f() =,5 ( + 5) =,5 + 8,75 Lad nu være salgsprisen inklusiv moms. b) Bestem en forskrift for f og gør rede for betdningen af f () Svar : = f () er den omvendte funktion af f og f () angiver indkøbsprisen når salgsprisen er. = f () findes på følgende måde : 8.75 4 =,5 ( + 5) =,5 + 8,75 <=> = = 5 = 0,8 5.5 5 ombtning af og giver : = f () = 0,8 5 Opg 6A To eksponentielle funktioner f() = 50,0 og g() = 80 0,85. Se bilag. a) Bestem fordoblingskonstanten for en af ovennævnte funktioner og begrund valg af funktion. Svar : f() = 50,0 er voksende da grundtallet a =,0 >. ln() Fordoblingskonstanten T = ln( a) dvs. T ln() log() = = 7,7 ln(.) log(.) NB. Halveringskonstanten ln( T = ln( a) ) ln() = ln( a) dvs. T ln( ) = ln(0.85) b) Løs ligningen f() = g() og markér løsningen på bilag. Svar : f() = g() <=> 50,0 = 80 0,85 <=>.0 80.0 = =,6 <=> ( ) =,6 <=> 0 0.85 50 0. 85.0 g()=80*0,85 00 ln( ) = ln(,6) <=> 0.85 ln(.6) 80 =.0,8 ln( ) 60 0.85 f(,8) = g(,8) 59,5 40 dvs. skæringspunkt i (,8;59,5) 0 4,65 f( )=50*.^ f( )=80*0.85 ^ Serie -0-5 5 0 (,8;59,5) f()=50*,0
Opg 6B I trekant ABC er a = b = c = 6. a) Beregn arealet af trekant ABC. Svar : Da a = b = c = 6, er trekanten ligesidet, dvs. vinkel A = B = C = 60º Trekantens areal T = a b sin(c) = 6 6 sin(60º) 5,59 Et linjestkke AD fra vinkel A til siden a deler trekant ABC i to trekanter med samme areal. b) Beregn længden af linjestkket AD. Svar : CD = 6 =. Pthagoras anvendt på den retvinklede trekant ADC (eller ADB) giver AC = AD = 7 5,96 5, AD + CD <=> 6 = 6 AD + <=> A AD = 7 <=> f()=.7* f()=-.7* + 0.9 Serie Serie 4 b c - - 4 5 6 7 C a D B -