Eksempler på mindstekrav for matematik C og matematik B

Transkript

1 Indhold Indledning... Grundlæggende regnefærdigheder: procentregning og indekstal, regningsarternes hierarki reduktion, regler for regning med potenser og rødder, logaritmer.... Funktionsbegrebet: repræsentationsformer, definitions- og værdimængde, nulpunkter og fortegnsvariation, monotoniforhold og ekstrema... Grundlæggende funktionskendskab: lineære funktioner herunder stkkevise lineære funktioner, andengradspolnomier og eksponentielle funktioner samt polnomier af højere grad... Ligningsløsning - både analtisk, grafisk og ved hjælp af it... Grundlæggende differentialregning: polnomier, sammenhæng mellem differentialkvotient, monotoniforhold og ekstrema, differenskvotient, overgang fra sekant til tangent... Optimering af lineære funktioner i to variable... Finansielregning: Rente og annuitetsregning, amortisering og restgældsbestemmelse... 0 X-plot af datamateriale samt karakteristiske egenskaber ved lineære og eksponentielle sammenhænge samt anvendelse af regressionsanalse, korrelationskoefficienten, determinationskoefficienten... Statistik: beskrivende statistik, udtræk af data fra databaser, konstruktion af tabeller og grafisk præsentation af data samt repræsentative undersøgelser, Chi^-test... Grundlæggende sandsnlighedsregning, binomialfordelingen samt anvendelse af normalfordelingsapproksimation hertil, konfidensinterval for sandsnlighedsparameteren... Eksempler på Mindstekravsopgaver...

2 Indledning Mindstekrav er indført i matematik for at sikre, at eleverne og aftagerinstitutioner er bekendt med, hvad der som minimum kan hhv. forlanges/forventes af studerende, der har bestået matematik på et givent niveau. Mindstekrav: Sigter mod beståelse. Mindstekrav handler altså om summativ bedømmelse i forhold til, om en elev kan bestå/ikke bestå prøven. På C-niveau og B-niveau vil mindstekravene blive testet i forbindelse med en eventuel mundtlig eksamen; mens det på A-niveau kun vil være i forbindelse med den skriftlige eksamen, at der testes i mindstekrav. Det er op til den enkelte underviser at stille spørgsmål i mindstekravene. Spørgsmålene til den mundtlige prøve må ikke være kendte på forhånd, og de skal trækkes, inden eleven går ind til forberedelse. På den anden side bør opgavernes form og indhold heller ikke være helt ukendte for eleven. Det betder, at eleven i den daglige undervisning løbende præsenteres for opgavetper, der kan tænkes at indgå til testning af mindstekrav. Eleverne kender således ikke på forhånd de specifikke opgaver, der indgår ved prøven; men de er informeret om, hvilke opgavetper de vil kunne møde ved prøven. Hele tanken bag indførelse af mindstekrav er jo netop, at eleverne skal kunne forberede sig, så de på forhånd kan sikre sig, at der er stor mulighed for at kunne bestå. Hvad karakteriserer mindstekrav? Helt i overensstemmelse med karakterbekendtgørelsens beskrivelse af karakteren 0, skal der være dele af kernestoffet, som eleven behersker til et niveau, der er tilstrækkeligt. Det anbefales, at mindstekrav testes ved brug af spørgsmål, der dækker bredt. Honorering af disse spørgsmål skal sikre en karakter på mindst 0. Mindstekravene tager udgangspunkt i kernestoffet og omfatter grundlæggende matematiske færdigheder og kompetencer, dvs. eleven skal kunne anvende matematiske begreber og gennemføre simple ræsonnementer, skifte mellem repræsentationer, håndtere simple matematiske problemer uden og med matematiske værktøjsprogrammer samt udøve basal algebraisk manipulation. Opgaverne vil direkte indbefatte basale færdigheder, som skal erhverves på niveauet, f bestemmelse af f() ud fra en grafisk aflæsning eller ved beregning. Man kan også forestille sig at et spørgsmål vil omhandle CAS-indtastning til beregning af centrale størrelser f bestemmelse af nulpunkt eller bestemmelse af parametre i en regression. Det givne matematik-niveau afgør hvilke mindstekrav, der med rimelighed kan forventes. Generelt vil der være tale om centralt kernestof, der er arbejdet grundigt med i undervisningen. Mindstekravene er for at sikre en ensartet forståelse af, hvad der skal til, før karakteren 0 gives. Kan eleven besvare mindstekravsopgaven, består eleven - også selvom det i eksaminationen viser sig, at eleven har mangler inden for andre fagområder. Ligeledes er det muligt at opnå karakteren 0, ved korrektbesvarelse af nogle af mindstekravene samt delelementer fra den øvrige eksamination.

3 Det er derfor vigtigt, at eleverne løbende informeres om og trænes i mindstekravene, og at bedømmelsen af den enkelte elevs evne i til at indfri mindstekravene indgår i den løbende evaluering af eleven. Eleven skal gøres bekendt med, at disse mindstekrav er med til at sikre, at eleven kan bestå. Det er en god ide at træne i disse mindstekrav og gøre brug af test, da disse test undervejs i undervisningsforløbet både kan og skal være med til at tdeliggøre for eleverne, hvor de fagligt befinder sig i forhold til de ovenfor nævnte mindstekrav. Ved at kende mindstekravene får elever, der har en del faglige problemer, mulighed for at sætte et realistisk mål - og dermed mulighed for at fastholde motivation og arbejde for at bestå i faget. For at eleven kan træne til mindstekravene, er det vigtigt, at der er fokus på basale færdigheder med og uden CAS gennem hele uddannelsesforløbet. Mindstekrav kan teste forskelligt fra klasse til klasse afhængig af, hvordan undervisningen har været tilrettelagt. I en klasse kan et bestemt emne have haft meget stor vægt; mens samme emne i en anden klasse er vægtet noget mindre. Det vil betde, at der stilles forskellige opgaver til testning af mindstekravene, hvilket censorer skal være opmærksomme på. Elevernes grundlæggende matematiske færdigheder skal udvikles og gøres robuste gennem eksplicit fremhævelse af relevante mindstekrav, når disse optræder i den faglige kontekst i en given undervisningssekvens. Bedømmelse Hvis eksaminandens præstation lever op til fagets mindstekrav, opnår eksaminanden en karakter svarende til bestået eller højere. Det skal bemærkes, at mindstekravene ikke er de eneste, der indgår i bedømmelsen af, hvorvidt en elev består eller ej. En elev, der mestrer størstedelen af eksamensspørgsmålene, men laver fejl i et enkelt af mindstekravene, kan stadig bestå eller opnå en højere bedømmelse. Der er tale om en samlet bedømmelse, hvor mindstekravene kun er med til at sikre bedømmelsen bestået. Bemærk at mindstekravsopgaverne skal i spil, når der er tvivl om beståelse i eksaminationens første dele. Såfremt eksaminationen i de to dele rejser tvivl om, hvorvidt eksaminanden kan honorere mindstekravene bruges den sidste del af eksaminationen på at teste fagets mindstekrav. Honorering af disse mindstekrav vil give en karakter på mindst 0. Anbefalinger til læreren Listen er på ingen måde udtømmende eller normativ. Der er alene tale om eksempler på mulige spørgsmål inden for mindstekrav, som eleverne kan stilles ved den mundtlige prøve. Opgaven skal naturligvis udformes under hensntagen til den undervisning, der er afviklet med de respektive klasser. Spørgsmålene er stillet inden for kernestoffet for C- og B-niveau.

4 I hvert kernestof, hvor det giver mening, er der spørgsmål af tpen - Begreber og smboler - Formler og funktioner - Ligningsløsning - Grafer, tabeller og figurer - Sproglig beskrivelse Eksaminanden har metodefrihed i forbindelse med besvarelse af spørgsmålene. Mindstekravsopgaven, der tildeles ved lodtrækning kan bestå af spørgsmål, der tilsammen dækker et bredt udsnit af kernestoffet og forskellige matematiske kompetencer. For elever, der går til eksamen på niveau B, bør det desuden sikres, at der indgår spørgsmål fra nt stof på andet år. Det er hensigtsmæssigt, at der på forhånd er sket en sammenkobling mellem det kendte eksamensspørgsmål og den ukendte mindstekravsopgave. Bemærk at mindstekravsopgaven ikke må gå igen på samme hold, men hver enkelt mindstekravsspørgsmål må gerne kombineres på n. Det anbefales at besvarelsen af mindstekravsopgaven medbringes på papir fra forberedelseslokalet og lægges frem ved eksaminationens begndelse. Under eventuel eksamination i mindstekrav er det vigtigt, at der ikke stilles ekstra/ og eller uddbende spørgsmål. Nedenstående opgaver kan frit benttes i den daglige undervisning til træning af eleverne i mindstekrav.

5 Nedenstående er inspiration til hvordan spørgsmål i mindstekravene kan se ud. Grundlæggende regnefærdigheder: procentregning og indekstal, regningsarternes hierarki reduktion, regler for regning med potenser og rødder, logaritmer. Niveau C Niveau B Forklar at ( ) = 0 Forklar at a(a + b) ab = a + ab Beregn % af 00 kr. Hvor stor en procentdel udgør 0 af 0? Hvor stor en procentdel udgør 0 af 0? 0% af et tal er 00. Hvor stort er det oprindelige tal? Lav denne indekstabel færdig Lav denne indekstabel færdig År År Antal Antal Indekstal 00 0 Indekstal 00 0 En vare til 0 kr. kommer på udsalg med 0 % rabat, hvordan bestemmer du den ne pris? På udsalg koster en vare 00 kr., hvad var den oprindelige pris på varen, når der var 0% at spare på udsalget? Reducer udtrkket a a

6 Funktionsbegrebet: repræsentationsformer, definitions- og værdimængde, nulpunkter og fortegnsvariation, monotoniforhold og ekstrema Niveau C Niveau B Bestem nulpunkterne for de grafer Bestem skæringspunkt med -aksen Bestem definitions-og værdimængde f()=0.+ Bestem definitions-og værdimængde

7 Angiv funktionens toppunkt Angiv monotoniforhold og ekstrema Bestem fortegnsvariationen Angiv hvor f() > 0 ogf() < Bestem nulpunkterne og ekstrema for grafen f()=^-

8 Bestem fortegnsvariationen f()=^- Tegn en skitse af en parabel, hvor koefficienten a i forskriften f ( ) a b c er positiv. Tegn grafen for en funktion f, der opflder følgende: Definitionsmængden er Dm( f ) ; Funktionen har et maksimum i punktet ;.

9 Grundlæggende funktionskendskab: lineære funktioner herunder stkkevise lineære funktioner, andengradspolnomier og eksponentielle funktioner samt polnomier af højere grad Niveau C Bestem f() når f() = Niveau B Bestem f() når f() = Diskriminanten er for.gradsfunktionen f() = + Hvad fortæller det om parablens udseende? Diskriminanten er - for.gradsfunktionen f() = + Hvad fortæller det om parablens udseende? Bestem forskriften for den lineære funktion, der går gennem punkterne (-,) og (,) Bestem forskriften for den lineære funktion, der går gennem punkterne (-,-) og (-,) Bestem forskriften for den eksponentielle funktion der går gennem punkterne (0,) og (,) Er f() =, en voksende eller aftagende funktion? Er f() =, 0, en voksende eller aftagende funktion? Bestem a og b i forskriften f() = , Forklar hvad a og b er i forskriften og bestem den årlige afskrivning af værdien i kr. g() =

10 Figuren viser grafen for et andengradspolnomium f. Bent grafen til at løse ligningen f( ). Forklar hvad a og b er i forskriften g()= Forklar hvad a og b er i forskriften og bestem den årlige afskrivning af værdien i % f()= *0. Graferne for to eksponentielle funktioner, f() =, og g() = 0. er vist i nedenstående koordinatsstem: Hvilken er f() og g()? Graferne for to eksponentielle funktioner f() og g() er angivet i nedenstående koordinatsstem: Angiv om a < eller a > for de to funktioner 0

11 Bestem ved aflæsning halveringskonstanten for funktionen Forklar, hvorfor halveringskonstanten for nedenstående funktion er T / = Bestem ved aflæsning fordoblingskonstanten for funktionen Forklar, hvorfor fordoblingskonstanten for nedenstående funktion er T = Forklar hvad og fortæller om grafen for f() udseende: f() = + + Beskriv udseende for f() ved brug af a og c: f() = + + Forklar koefficienternes a og c betdning for parablens udseende Forklar koefficienten bs betdning for parablens udseende Bestem funktionsforskriften

12 Funktionen f er bestemt ved f ( ). Forklar hvilken betdning tallene og har for grafens udseende. På figuren ses graferne for den lineære funktion f. Bent figuren til at bestemme f (0). På figuren ses grafen for den lineære funktion f. Bent figuren til at bestemme forskriften for linjen. Bestem forskriften for den stkkevise funktion,

13 der passer til grafen Bestem fortegn for a og c Bestem fortegn for a og c

14 Ligningsløsning - både analtisk, grafisk og ved hjælp af it Niveau C Niveau B Løs ligningen - = Løs ligningen - = -+ Forklar de enkelte linjer Forklar de enkelte linjer ( + ) = + = Forklar de enkelte linjer Ved brug af et selvvalgt it-værktøj skal du løse = 0 Ved brug af et selvvalgt it-værktøj skal du løse 0, = Ved brug af et selvvalgt it-værktøj skal du løse 0, =

15 Løs ligningen + = ved grafisk aflæsning Løs ligningen 0, = + ved grafisk aflæsning Forklar, hvorfor er en løsning til denne ligning: 0. Undersøg om = - er en løsning til denne ligning: 0. To linjer er givet ved og. Bestem skæringspunktet mellem de to ligninger. To linjer er givet ved og =- +. Bestem skæringspunktet mellem de to ligninger.

16 Grundlæggende differentialregning: polnomier, sammenhæng mellem differentialkvotient, monotoniforhold og ekstrema, differenskvotient, overgang fra sekant til tangent Niveau B Nedenfor ser du grafen for f() og f (). Hvilken farve har den afledte funktion? Bestem fortegnet for f ( )

17 Bestem ekstrema for f() Bestem ved aflæsning monotoniforhold for funktionen Bestem ved aflæsning ekstrema for funktionen

18 Forklar at = er ekstrema for f() = 0, Tegn tangenten for = når f() = 0, Tegn tangenten for = når f() = 0, +

19 Optimering af lineære funktioner i to variable Niveau B Forklar at (0,0) er den største værdi, når f(, ) = Redegør for a og b s betdning i kriteriefunktion f(, ) = a + b f (hint lineær programmering) Forklar at (0,) er den mindste værdi, når f(, ) = 0 + 0

20 Finansielregning: Rente og annuitetsregning, amortisering og restgældsbestemmelse Niveau C Hanne har fået kr..000,- i fødselsdagsgave Hun går i banken med pengene, hvor de forrentes med % p.a. i år. Hvilken formel skal anvendes til beregning af det beløb, der står i banken efter de år? Niveau B Hanne har fået kr..000,- i fødselsdagsgave Hun går i banken med pengene, hvor de forrentes hver halve år i år med % p.a. Hvilken formel skal anvendes til beregning af det beløb, der står i banken efter de år? Hvert år i år indsætter Helle 000 kr. på en konto, hvor renten er % p.a. Beregn saldoen på Helles konto umiddelbart efter den sidste indbetaling. Forklar betdningen af parametrene i formlen: n K K ( r) n 0 Forklar betdningen af parametrene i formlen: n r An r Rikke køber en pc til 000 kr. Hun skal betale den tilbage med et fast beløb hver måned i år. Renten er % per måned. Hvad skal Rikke betale pr. måned? Forklar hvordan Hans kan spare 0 kr. op ved at indbetale 000 kr. pr år i år, når renten er 0% p.a. Forklar begreberne primogæld, delse og ultimogæld i nedenstående amortisationstabel 0

21 X-plot af datamateriale samt karakteristiske egenskaber ved lineære og eksponentielle sammenhænge samt anvendelse af regressionsanalse, korrelationskoefficienten, determinationskoefficienten Niveau C Opstil en lineær regressionsmodel =a+b Uge Antal besøg pr uge Redegør for hvorvidt nedenstående model er acceptabel Niveau B Opstil en lineær regressionsmodel =a+b Uge Antal besøg pr uge Redegør for hvorvidt nedenstående model er acceptabel Antal besøgende =, +, R² = 0, 0 0 Opstil en lineær regressionsmodel, der viser udviklingen i kendskabsgraden Opstil en regressionsmodel, lineær eller eksponentiel, der viser udviklingen i kendskabsgraden

22 Statistik: beskrivende statistik, udtræk af data fra databaser, konstruktion af tabeller og grafisk præsentation af data samt repræsentative undersøgelser, Chi^-test Niveau C Niveau B Beregn gennemsnittet Vurder om Ditte rger over eller under cigaretter i gennemsnit om dagen Tegn et diagram, der viser Dittes Cigaretforbrug Tegn et diagram over højden højde Hppighed h i [0,0[ [0,0[ [0,0[ [0,0[ Beregn gennemsnittet højde Hppighed h i [0,0[ [0,0[ [0,0[ [0,0[

23 Bestem medianen Bestem medianen højde Hppighed h i [0,0[ [0,0[ [0,0[ [0,0[ Beregn frekvens og summeret frekvens Beregn frekvens og summeret frekvens højde Hppighed h i [0,0[ [0,0[ [0,0[ [0,0[ Bestem kvartilsættet Bestem kvartilsættet højde Hppighed h i [0,0[ [0,0[ [0,0[ [0,0[ Opstil en hpotese, der passer til

24 nedenstående datamateriale. Ja Nej Mand kvinde Grundlæggende sandsnlighedsregning, binomialfordelingen samt anvendelse af normalfordelingsapproksimation hertil, konfidensinterval for sandsnlighedsparameteren Niveau B En virksomhed har via en stikprøve undersøgt 00 produkter. Det viste sig, at der var fejl og mangler ved varer. Bestem sandsnlighedsparameteren p En virksomhed har via en stikprøve undersøgt 0 produkter. Det viste sig, at fejlprocenten var på Bestem det forventede antal fejl Angiv betdningen af notationen X~b(n, p)

25 Eksempler på Mindstekravsopgaver C-niveau Dette er eksempel på mindstekravsopgave, når der er trukket eksamensspørgsmål i beskrivende statistik. Spørgsmål Bestem definitions- og værdimængde på linjen f() f()=0.+ Spørgsmål Hvert år i år indsætter Helle 000 kr. på en konto, hvor renten er % p.a. Beregn saldoen på Helles konto umiddelbart efter den sidste indbetaling. Spørgsmål Beregn de manglende værdier i nedenstående tabel. år antal indekstal 00 0 Spørgsmål Forklar de enkelte linjer -(+) = -+ = -

26 B-niveau Dette er eksempel på mindstekravsopgave, når der er trukket eksamensspørgsmål i Differentialregning. Spørgsmål Forklar at a(a+b) - ab= a +ab Spørgsmål Bestem forskriften, der passer til den stkkevis lineære funktion Spørgsmål Bestem forskriften for den eksponentielle funktion, der går gennem punkterne (0,) og (,) Spørgsmål En virksomhed har via en stikprøve undersøgt 00 produkter. Det viste sig, at der var fejl og mangler ved varer. Bestem sandsnlighedsparameteren p