INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af omkreds, areal og rumfang, med grundplanstegninger og projektionstegninger og med navnene på plane og rumlige figurer. Kapitlet giver gode muligheder for undersøgende, ræsonnerende og argumenterende arbejde med geometri, og det er kendetegnende for en stor del af opgaverne, at eleverne ikke på forhånd får givet metoder til at løse dem, men at en central del af arbejdet netop går ud på, at eleverne selv udvikler hensigtsmæssige løsningsmetoder på baggrund af den viden og de færdigheder, de har. På den måde giver kapitlet også gode muligheder for problemløsende arbejde. I forbindelse med en del af opgaverne henvises til brug af et geometriprogram. Eleverne kan i princippet godt arbejde med disse opgaver uden et geometriprogram, men programmet har den fordel, at eleverne kan prøve sig frem uden at skulle tegne forfra hele tiden. På den måde vil et geometriprogram ofte kunne give eleverne mulighed for at fokusere på det undersøgende arbejde frem for et mere færdighedsorienteret tegnearbejde. Det er også oplagt, at inddragelsen af et geometriprogram giver eleverne mulighed for at udvikle deres hjælpemiddelkompetence. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: Plane og rumlige figurer Polygoner, herunder kvadrat, rektangel, rombe, parallelogram, trapez, ligebenet trapez Kasse, pyramide, prisme, kegle, cylinder, kugle Konstruktion Kongruens Omkreds, (overflade)areal, rumfang Diagonaler, rumdiagonaler Forhold Model, herunder perspektivtegning, isometrisk tegning og projektionstegning Lodret tværsnit Målestoksforhold Huskeliste: Formelsamling (til side 24, 25, 28, 30 og 31) Geometriprogram (til side 26 og 38) Regneark (til side 27) Isometrisk papir (til side 33 og 34) Internet (til side 33) GEOMETRI I PLAN OG RUM 1
FRA FAGHÆFTET Kompetencer skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers rækkevidde og begrænsning (tankegangskompetence) opstille, afgrænse og løse både rent faglige og anvendelsesorienterede matematiske problemer og vurdere løsningerne, bl.a. med henblik på at generalisere resultater (problembehandlingskompetence) opstille, behandle, afkode, analysere og forholde sig kritisk til modeller, der gengiver træk fra virkeligheden, bl.a. ved hjælp af regneudtryk, tegning, diagrammer, ligninger, funktioner og formler (modelleringskompetence) udtænke, gennemføre, forstå og vurdere mundtlige og skriftlige matematiske ræsonnementer og arbejde med enkle beviser (ræsonnementskompetence) kende forskellige hjælpemidler, herunder it, og deres muligheder og begrænsninger, samt anvende dem hensigtsmæssigt, bl.a. til eksperimenterende udforskning af matematiske sammenhænge, til beregninger og til præsentationer (hjælpemiddelkompetence) Matematiske emner I arbejdet med geometri i plan om rum kende og anvende forskellige geometriske figurers egenskaber fremstille skitser og tegninger efter givne forudsætninger benytte grundlæggende geometriske begreber, herunder størrelsesforhold og linjers indbyrdes beliggenhed undersøge, beskrive og vurdere sammenhænge mellem tegning (model) og tegnet objekt kende og anvende målestoksforhold, ligedannethed og kongruens kende og anvende målingsbegrebet, herunder måling og beregning i forbindelse med omkreds, flade og rum bruge it til tegning, undersøgelser, beregninger og ræsonnementer vedrørende geometriske figurer Matematik i anvendelse erkende matematikkens muligheder og begrænsninger som beskrivelsesmiddel og beslutningsgrundlag Matematiske arbejdsmåder deltage i udvikling af strategier og metoder med støtte i bl.a. it undersøge, systematisere og ræsonnere med henblik på at generalisere arbejde individuelt og sammen med andre om problemløsning i mundtligt og skriftligt arbejde GEOMETRI I PLAN OG RUM 2
Indhold og mål I dette kapitel skal I arbejde med plane og rumlige figurer. Målet er, at I lærer navnene på de mest kendte plane og rumlige figurer. får flere erfaringer med beregninger af omkreds, areal og rumfang. får indblik i begreberne: model, lodret tværsnit, projektionstegning og rumdiagonal. bliver bedre til at undersøge, ræsonnere og argumentere i forbindelse med geometri. bliver bedre til at løse problemer på baggrund af jeres viden om geometri. GEOMETRI I PLAN OG RUM 3
Facit Side 24 Mundtlig 1. Rektangel, kvadrat, rombe, parallelogram, konkav firkant 2. Firkant Et sæt parallelle linjer To sæt parallelle linjer Fire rette vinkler Kvadrat X X Rektangel X X Rombe Parallelogram Trapez Ligebenet trapez X X X 3. a Fx Kvadrat Rektangel Rombe Parallelogram Trapez Ligebenet trapez GEOMETRI I PLAN OG RUM 4
Kvadrat: Man skal kende én sidelængde. Rektangel: Man skal kende to sidelængder. Rombe: Man skal kende én sidelængde. Parallelogram: Man skal kende to sidelængder. Trapez: Man skal kende fire sidelængder. Ligebenet trapez: Man skal kende tre sidelængder. b Kvadrat: Man skal kende én sidelængde. Rektangel: Man skal kende to sidelængder. Rombe: Man kan fx bestemme arealet ved hjælp af diagonalernes længder. Parallelogram: Man kan fx bestemme arealet ved hjælp af en sidelængde og en højde. Trapez: Man kan fx bestemme arealet ved hjælp af to sidelængder og en højde. Ligebenet trapez: Man kan fx bestemme arealet ved hjælp af to sidelængder og en højde. Side 25 Mundtlig 4. Fx 5. - Cylindre og kegler har grundflader der er cirkulære - til forskel fra prismerne og pyramiderne, hvis grundflader er polygoner. Cylindre og kegler har krumme overflader til forskel fra prismerne og pyramiderne, hvis overflader består af hhv. parallelogrammer og trekanter. Cylindrene og prismerne har to parallelle grundflader. Keglerne og pyramiderne har én grundflade og en spids. GEOMETRI I PLAN OG RUM 5
6. Fx Side 26 Problem 1. a De øvrige sidelængder kan have forskellige mål. b De øvrige vinkler kan have forskellige mål. c Vinklen mellem sidelængderne kan være forskellig. d Sidelængderne kan være forskellige. e De øvrige sidelængder og vinkelstørrelser kan være forskellige. 2. a Nej, sidelængderne kan være forskellige (men man kan konstruere ligedannede trekant ud fra denne oplysning). b Ja c Ja (se dog undtagelsen under facit på opgave 3) d Ja 3. Hvis den kendte vinkelstørrelse er mellem de to kendte sidelængder, er der ikke noget problem. Hvis den kendte vinkelstørrelse ikke ligger mellem de to kendte sidelængder, kan der konstrueres to forskellige trekanter ud fra de samme oplysninger. GEOMETRI I PLAN OG RUM 6
Side 27 - Problem 1. Fx 1 cm, 35 cm, 1 cm, 35, cm 2 cm, 34 cm, 2 cm, 34 cm 3 cm, 33 cm, 3 cm, 33 cm 2. Med ovenstående mål er arealet hhv. 35, 68 og 99. 3. Det er sandt. 4. Sidelængderne 18 cm, 18 cm, 18 cm og 18 cm giver det største areal i et rektangel (324 ). 5. a 19 cm b 20 cm c 10 cm d 12,5 cm e cm Side 28 og 29 Færdighed (Facit står i grundbogen på side 180) Side 30 Problem 1. Der kan tegnes 35 diagonaler i en regulær 10-kant. 2. Antal sider i regulær 3 4 5 6 7 8 9 10 polygon Antal diagonaler 0 2 5 9 14 20 27 35 3. Fx Begynd ved et hjørne. Tegn alle de diagonaler, der har endepunkt i hjørnet der er tre færre end der er sider i polygonen. Gå videre til hjørnet ved siden af. Tegn så alle de diagonaler, der har endepunkt i dette hjørne der er også tre færre, end der er sider i polygonen. Gå videre til næste hjørne. Tilføj så alle de nye diagonaler, der har endepunkt i dette hjørne der er fire færre, end der er sider i polygonen. GEOMETRI I PLAN OG RUM 7
Fortsæt på samme måde hele vejen rundt. Antallet af diagonaler falder fra hjørne til hjørne. Fra de to sidste hjørner kan der ikke tilføjes flere diagonaler. Læg antallet af diagonaler sammen. 4. Side 31 Problem 1. a Diagonalerne er lige lange. b De fire vinkler er lige store to og to. c De to forhold er begge 1 : 1 2. Ja, det gælder generelt for rektangler. 3. I et parallelogram er diagonalerne ikke lige lange, men de fire vinkler ved diagonalernes skæringspunkt er lige store to og to. Da diagonalerne i et parallelogram skærer hinanden på midten, vil forholdene fra opgave 1c svare til forholdene i et rektangel. 4. Fx Side 32 Mundtlig 1. Fx En grundplan viser huset vinkelret oppefra. Et lodret tværsnit viser, hvordan huset vil se, hvis det skæres lodret igennem. En perspektivtegning gengiver husets tre dimensioner på en todimensionel flade (papiret). 2. Huset er ca. 151. 3. Der er 12 vinduer og 8 døre i huset (heraf 1 yderdør). 4. Fx GEOMETRI I PLAN OG RUM 8
En grundplan er god til at give overblik over husets indretning, men giver ikke indtryk af fx husets højde. Der kan som regel måles på en grundplan, og derfor kan den bruges til at beregne areal og dermed til at vise husets størrelse. Et lodret tværsnit er godt til at give indtryk af husets højde, men viser ikke noget om fx indretning og areal. Perspektivtegningen giver det mest virkelighedstro indtryk af huset, men kan ikke bruges til at måle på. Side 33 Mundtlig 5. a Fx Isometrisk tegning giver rumfornemmelse og kan bruges til længdemålinger. b Fx Projektionstegning viser tre lodrette tværsnit af huset fra hver sin dimension. Projektionstegningerne er (også) målfaste. 6. 7. GEOMETRI I PLAN OG RUM 9
8. - 9 Isometrisk tegning bruges bl.a. som arbejdstegning i forbindelse med rørkonstruktioner, varmeanlæg og vandinstallationer. Projektionstegning bruges bl.a. i forbindelse med tømrer- og snedkerarbejde. Side 34 Problem 1. a b c d GEOMETRI I PLAN OG RUM 10
2. a b c d Side 35 Problem 1. - Side 36 Mundtlig 1. Kasse: c (og a) Prisme: a Cylinder: b (og a) Kegle: f (og d) Pyramide: d Kugle: e 2. - GEOMETRI I PLAN OG RUM 11
3. Kasse: 105 Prisme: Ca. 62 (36 ) Cylinder: Ca. 75 (24 ) Kegle: Ca. 57 (18 ) Pyramide: 48 Kugle: Ca. 34 ( ) 4. Fx Side 37 Mundtlig 5. Den øverste formel gælder for en kegle. Den midterste formel gælder for en kugle. Den nederste formel gælder for en cylinder. 6. - GEOMETRI I PLAN OG RUM 12
7. Kasse: 157 Prisme: Ca. 86 Cylinder: Ca. 101 Kegle: Ca. 91 Pyramide: 96 Kugle: Ca. 50 8. Fx Kassen skal have form som en terning med sidelængder på. Med disse mål bliver overfladearealet ca. 378. 9. - Side 38 Færdighed (Facit står i grundbogen på side 180) Side 39 Problem 1. Tre forskellige. 2. 3. Alle rumdiagonalerne i kassen har samme længde. 4. GEOMETRI I PLAN OG RUM 13