Almene hjælpemidler: videnspakker og begrebskort.

2 Areal I dette kapitel begynder vi med nogle didaktiske overvejelser og overordnede opmærksomhedsfelter vedr. måling generelt og specielt arealmåling. Vi præsenterer i den forbindelse to nye elementer i vores fremstilling: Digt en dialog og Didaktiske situationer. Derefter giver vi en matematikfaglig gennemgang af areallæren med henblik på at skabe et godt grundlag for undervisning i emnet. Vi slutter af med at beskrive videnspakker, som er et redskab til at analysere et emne i undervisningsøjemed, og vi indfører begrebskort, der er en metode til at skabe overblik over et fagligt område. Hovedpunkterne i kapitlet er således: Målingens og arealberegningens didaktik. En faglig opbygning af areallæren. Almene hjælpemidler: videnspakker og begrebskort. Desuden vil arbejdet med kapitlet især omfatte problemløsnings- og ræsonnementskompetence. Målingens didak tik Den grundlæggende idé i måling er at kvantificere en egenskab ved det, man måler. Uanset om egenskaben er areal, tid, lysstyrke, rigdom, et jordskælvs styrke eller kombinerede egenskaber som hastighed eller bruttonationalprodukt pr. indbygger, så er det hensigten at sætte tal på for at beskrive og sammenligne forskellige genstande med hensyn til den pågældende Kapitel 2 Areal 51

egenskab. I forbindelse med fysisk udstrækning forbinder måling derfor to centrale dele af skolematematikken, tal og geometri. Centrale aspekter af målebegrebet Måling har en central plads på alle niveauer i skolesystemet. I de amerikanske Principles and Standards for School Mathematics, kaldet Standards 2000, er der således en standard for måling, som beskrives på alle trin fra førskolealderen til 12. klassetrin. Målene for the measurement standard er formuleret således: Instructional programs from prekindergarten through grade 12 should enable all students to: understand measurable attributes of objects and the units, systems, and processes of measurement; apply appropriate techniques, tools, and formulas to determine measurements (NCTM 2000, s. 44). Her indgår dels en forståelse af, hvad det er, der kan måles, og hvilke enheder man kan bruge for at gøre det, dels en færdighed i at vælge og anvende passende teknikker til det. I beskrivelsen af de forskellige niveauer i skolesystemet nævnes eksempler på, hvilke egenskaber eleverne skal eller kan involveres i måling af. De omfatter både geometriske størrelser (længde, areal, rumfang, vinkler) og fx vægt, massefylde og lydstyrke. De teknikker, der omtales, omfatter brugen af forskellige beregningsmetoder, herunder estimering og forskellige værktøjer. I de aktuelle danske bestemmelser (foråret 2007) optræder måling også på alle trin, men udelukkende som en del af kundskabs- og færdighedsområdet Geometri (Fælles Mål, 2003). 1 Principles and Standards for School Mathematics er udgivet af National Council of Teachers of Mathematics, NCTM, som internationalt er en meget anerkendt organisation, der beskæftiger sig med matematikundervisning. Ordet standard bruges her som beskrivelse af, hvad der efterstræbes i skolens matematik. Det er således et pejlemærke for, hvad der er god undervisning. 52 del I eksperimenterende geometri og måling

Overvej diskuter 1 I forlængelse af Standards 2000 udgav NCTM i 2006 nogle indholdsmæssige fokuspunkter, Curriculum Focal Points, for matematikundervisningen fra børnehaveklassen til og med 8. klasse. Disse kan downloades (lokaliseret marts 2007) fra http://www.nctm.org/ focalpoints. Sammenhold disse amerikanske fokuspunkter med de danske beskrivelser af målings placering og betydning i skolematematikken og overvej/diskuter forskelle og ligheder i vægtningen af elevernes: forståelse af, hvilke egenskaber der er målelige indsigt i relevante måleenheder færdigheder i at anvende passende teknikker og redskaber. Udgangspunktet for måling i skolen er direkte, kvalitative sammenligninger af fysiske genstande. I forbindelse med geometrisk måling kunne det være udsagn som: gymnastiksalen er meget større end vores klasseværelse, skolegården er længere på den ene led end på den anden, og den gule kop er større end den røde. Idéen om måling i mere formel forstand forudsætter anvendelse af en enhed til kvantificering af størrelserne. Fx forudsætter de nævnte kvalitative målinger anvendelse af en måleenhed, hvis forskellen skal kunne beskrives mere præcist. Hvis man fylder den gule kop med vand og hælder det over i den røde for blot at konstatere, at det løber over, har man brugt den røde som måleenhed for den gule og kan konstatere, at den gule er større end én af de røde. Der kan således læses et element af kvantificering ind i sammenligningen allerede på det niveau. Men det er nemmere at sammenligne den gule og den røde kop og i hvert fald meget nemmere at udtale sig om forskellens størrelse, hvis man har en enhed, der kan benyttes til at sætte tal på de to størrelser. Det er det, måling drejer sig om. I en oversigtsartikel om måling beskriver Lehrer (2003) otte aspekter af et målebegreb. Efter en omfattende læsning af forskning i børns udvikling af målebegreber og metoder, både som den kan foregå i matematikundervisningen og i mere kliniske sammenhænge, når han frem til, at et sådant Kapitel 2 Areal 53

begreb, i hvert fald når det omfatter geometriske størrelser, omfatter en forståelse af: 1) At der skal være sammenhæng mellem enheden og den egenskab, der skal måles. 2) Iteration, dvs. at en enhed kan flyttes og placeres i forlængelse af, hvor den var placeret før. 3) At den genstand, der skal måles, skal fyldes ud med et antal enheder, så der ikke er nogen huller, men også så måleenhederne ikke breder sig ud over dens kanter. 4) At hvis enhederne er identiske, så giver antallet af dem måltallet (størrelsen) på genstanden. 5) At der er brug for en standardisering af enheder, således at forskellige mennesker bruger samme enheder for at lette kommunikation. 6) At der er omvendt proportionalitet mellem enhedens størrelse og det antal enheder, som genstanden måler. 7) Additivitet, fx at længden af et linjestykke kan fås som summen af to eller flere linjestykker, som det oprindelige stykke består af. 8) Brugen af et nulpunkt og af, at der er samme afstand mellem enheder, således at afstanden mellem fx 10 cm og 20 cm er den samme som mellem 40 cm og 50 cm. Overvej-diskuter 2 Tænk Lehrers otte punkter igennem i forbindelse med et mål for længde. Hvilken mening giver de i relation til længdemål? Disse punkter, eller i hvert fald en del af dem, lyder ganske selvindlysende. Fx skal der selvfølgelig være sammenhæng mellem det, der skal måles, og 54 del I eksperimenterende geometri og måling

den enhed, der bruges (jf. punkt 1). Hvis ikke det var tilfældet, kunne vi komme ud i håbløse forsøg på at sammenligne, hvad der er højest: tordenskrald eller rundetårn. Når det projekt ikke lykkes, er det jo netop, fordi de egenskaber, vi måler, hhv. lydstyrke og højde, er forskellige, og derfor ikke kan måles med samme enhed. At det ikke er helt så indlysende i en læringssammenhæng kan ses af, at mange børn indledningsvis forsøger at måle det, vi andre vil kalde areal, rumfang og vinkler med samme type af enhed, et længdemål. De otte punkter på listen viser den pointe hos Lehrer, at et begreb om måling må opfattes som et netværk af relationer mellem de indholdselementer eller komponenter der er beskrevet i punkterne. Komponenterne tænkes således som indbyrdes forbundne og udgør tilsammen en forudsætning for at udvikle et begreb om måling. Et sådant udvikles altså ved en koordinering og konsolidering af disse komponenter, hvilket åbenlyst ikke sker på en gang, men i kraft af tilbagevendende indsatser over en længere årrække. For eksempel synes en veludviklet forestilling om en enhed på forskellig måde og i forskellig udstrækning at trække på de fleste af de otte komponenter. Overvej-diskuter 3 Sammenhold Lehrers otte komponenter af målebegrebet med de to målformuleringer fra Standards 2000. Overvej, hvordan hver af de otte komponenter spiller sammen med (eller ikke spiller sammen med) de to mål. To ting skal præciseres i forbindelse med beskrivelsen af komponenterne af et generelt målebegreb hos børn. For det første kan man ikke gå ud fra, at børnene har tilegnet sig de otte komponenter, selv om de er i stand til at måle noget i nogle konkrete sammenhænge. Tværtimod kan komponenterne hver for sig udvikles i relativ isolation, og der er fx ikke noget til hinder for, at man kan lære at håndtere forskellige målesituationer i geometriske sammenhænge uden at vide, at der er omvendt proportionalitet mellem enhedens størrelse og måltallet for den genstand, der måles. Derfor skal de otte komponenter ses som aspekter af et målebegreb, der hver for sig kan gøre begrebet stærkere, såfremt de udvikles. Kapitel 2 Areal 55

For det andet er beskrivelsen af det generelle målebegreb naturligvis ikke udtryk for, hvordan undervisningen skal foregå. Eleverne skal arbejde med konkrete udtryk for og eksempler på måling (længde, areal, rumfang m.m.). I forbindelse med disse mere konkrete arbejder kan der udvikles antaget-fælles forståelser af fx additivitet eller omvendt proportionalitet i den konkrete sammenhæng. Det antaget-fælles (jf. δ-bogen kapitel 2) består i, at der i den sociale sammenhæng, som den pågældende klasse udgør, ikke længere er behov for at argumentere for, at hvis et hegn skal sættes op om et hjørne, så kan man måle længden på hver side og addere længderne, eller at hvis en måleenhed bliver dobbelt så stor, så er måltallet kun det halve 2. Som eksempel på en måleenhed, der ikke relaterer sig umiddelbart til mellemtrinnets matematik, men som kan sætte Lehrers karakteristik af geometrisk måling i relief, kan man tænke på måling af lyd. Lyd består af meget små svingninger i lufttrykket. Lydstyrken måles i relation til en referenceværdi, der er sat til det laveste, det menneskelige øre normalt kan opfatte: 0,00002 Pascal. En almindelig samtale foregår ved ca. 0,02 Pascal, dvs. ca. 1.000 gange så stort et lydtryk. Den sædvanlige måleenhed for lydstyrke, db, ser på forholdet mellem den lyd, man vil måle, og referenceværdien. Men for at få en mere håndterbar skala, der også modsvarer den måde, lyd opfattes på, er db ikke bare dette forhold, men logaritmen til det ganget med 20. I eksemplet får vi altså lydtrykniveauet målt i db til: 20 log 0,02 0,00002 = 20 log 103 = 20 3 = 60 db. Mere generelt er altså lydtrykniveauet, L p, målt i db ved et lydtryk på p Pascal: p L p = 20 log. 0,00002 2 Vi bruger den noget tunge betegnelse antaget-fælles for at gøre opmærksom på, at selv om der ikke synes at være brug for yderligere argumentation, så ved vi faktisk ikke, hvad eleverne tænker om sagen. 56 del I eksperimenterende geometri og måling

Opgave 1 Undersøg db-skalaen ved at finde og beskrive sammenhænge mellem p-værdien og L p ved brug af en lommeregner. Hvad sker der fx, hvis lydtrykket, dvs. p-værdien, fordobles? Hvilken ændring i lydtryk svarer en ændring i lydtrykniveau på 10 db til? Stil selv flere spørgsmål. Opgave 2 Undersøg db-skalaen i forhold til de otte komponenter i Lehrers begreb om geometriske måleenheder. Giver de mening i forhold til måling af lydtryksniveau. Måling som forbindelsesled til og mellem andre faglige emner Internationalt kommer der stadig større opmærksomhed på, at det er en afgørende kvalitet ved skolematematik, at forskellige faglige emner behandles i gensidig forbindelse med hinanden snarere end i indbyrdes isolation. Således hedder en af de ti standarder i Standards 2000 connections, og for hvert af NCTMs focal points er der knyttet nogle faglige forbindelser, der bør medtænkes og behandles i forbindelse med det pågældende fokuspunkt. Måling er et af de faglige områder, der mest indlysende har forbindelser til ikke-matematiske problemstillinger. De ligger i selve idéen om at kvantificere en egenskab ved en genstand, at hverken egenskaben eller genstanden behøver at komme fra matematikkens egen verden. Derimod er der omfattende muligheder i samarbejde ikke mindst med naturfag. Opgave 3 Tilrettelæg rent skitsemæssigt et undervisningsforløb med titlen Konstruer en regnmåler til et passende klassetrin. Overvej dernæst, hvilke komponenter af et målingsbegreb, der indgår i denne opgave. Har du andre forslag til måleaktiviteter, der er egnet til tværfagligt samarbejde? Kapitel 2 Areal 57

Ud over relevansen i samarbejde med andre fag er der for målings vedkommende i hvert fald to forbindelser mellem matematiske emner, der er særlig relevante. For det første gjorde vi indledningsvis i dette afsnit opmærksom på, at måling i forbindelse med fysisk udstrækning er et forbindelsesled mellem geometri og tal. Det er det i den helt umiddelbare forstand, at der sættes tal på nogle geometriske egenskaber som længde, areal og rumfang. Måling kan imidlertid også blive en forbindelse mellem geometri og tal i en anden og ikke mindre væsentlig betydning: måling er en oplagt anledning til at etablere situationer, hvor eleverne får brug for at udvide de talmængder, som de tidligere har arbejdet med, fx udvidelsen fra de naturlige til de rationale tal. I de aktuelle danske bestemmelser introduceres simple brøker og decimaltal i den første fase af skoleforløbet, dvs. inden udgangen af 3. klasse. I den forbindelse kan måling således stå centralt. Det arbejde kan fortsættes på mellemtrinnet, dvs. i 4.-6. klasse. I NCTM s faglige fokuspunkter (NCTM 2006) lægges der meget vægt på brøker og decimaltal tidligt i skoleforløbet, ikke mindst i forbindelse med måling. Desuden peges der ikke bare på muligheden af at illustrere brøker med arealmodeller (cirkulære eller rektangulære), men også på at eleverne kan se behovet for brøker og decimaltal ved at arbejde med målesituationer, der kræver en opdeling af den oprindelige enhed. Således hedder det om måling i forbindelse med de rationale tal, at: Students in grade 3 strengthen their understanding of fractions as they confront problems in linear measurement that call for more precision than the whole unit allowed them in their work in grade 2. They develop their facility in measuring with fractional parts of linear units. (NCTM 2006, s. 24.) Overvej-diskuter 4 Vælg to eller tre klip om måling eller rationale tal fra matematikbøger for det sene begyndertrin eller det tidlige mellemtrin. Du kan fx bruge: Freil, O, m.fl. (2000). InterMat 4, Gyldendal Uddannelse. Se s. 32 41. Salomonsen, L. & Toft, K. (2004). Flexmat. Geometri, 1.-3. klasse. Tal og figurer, Malling Beck. Se s. 38 39. 58 del I eksperimenterende geometri og måling

Sauer, F. m.fl. (2004). Flexmat. Tal og algebra, 4.-6. klasse. Tal imellem tal. Malling Beck. Se kapitel 3. 1) Undersøg, hvorvidt der bygges på måling i forbindelse med introduktion af brøker og decimaltal. 2) Overvej, om du som lærer i den konkrete sammenhæng skal arbejde på at gøre det til en antaget-fælles forståelse, at det er muligt og hensigtsmæssigt at opdele en måleenhed i mindre dele og bruge det som en indgang eller anledning til arbejdet med rationale tal. 3) Hvis det er et udgangspunkt for det valgte lærebogsklip, at der eksisterer en sådan antaget-fælles forståelse, så overvej, hvad det næste skridt er: Hvad er det for en progression, det pågældende klip forsøger at bidrage med i elevernes forståelse af eller færdigheder i det at måle? Et andet fagligt emne, som måling kan forbindes med, er algebra. Det er en gennemgående idé i algebra at beskrive, systematisere og formalisere mønstre i form af sammenhænge mellem tal. På mellemtrinnet er mønstrene ofte af multiplikativ karakter sådan at forstå, at der indgår elementer af proportionalitet eller andre former for multiplikativ tænkning. Man kan fx lade eleverne undersøge, hvad der sker med arealet af et rektangel eller en anden figur, hvis sidelængderne ændres, fx til det dobbelte eller det tredobbelte. I dette eksempel kan eleverne hovedsageligt videreudvikle deres forståelse af arealer i et arbejde, der inkluderer algebraiske overvejelser. Det omvendte er tilfældet i det følgende eksempel, der let modificeret er fra en artikel af Friedlander og Arcavi (2005). Her er idéen således at benytte et geometrisk udgangspunkt for at videreudvikle elevers forståelse af og færdigheder i algebra, ikke mindst deres forståelse af multiplikative sammenhænge. Eksemplet er tiltænkt børn i 12 års-alderen, men ville nok i Danmark blive brugt til ældre børn. Kapitel 2 Areal 59

Overvej-diskuter 5 Her indledes med en opgave: Et kvadratisk papir på 32 cm 32 cm foldes om en linje gennem modstående siders midtpunkter, dernæst om en linje gennem midtpunkterne af de lange sider, osv. (se figuren). Figur 1. Find matematiske mønstre i figurernes udvikling. Hvad tror du, der sker med figurens omkreds, når du folder på den måde? Lav i et regneark en tabel over sidelængderne og omkredsen i de første ti figurer, du får ved at folde på den måde, og tegn en graf af udviklingen i omkredsen. Er der et mønster i, hvordan omkredsen udvikler sig, når du folder? Hvis der er, så forklar, hvordan mønsteret hænger sammen med figurerne fra foldningerne. Magnus, der er lærer i klassen, stiller spørgsmålet: Hvor meget bliver omkredsen kortere, hver gang du folder? 1) En elev, Daniel, svarer: Den bliver i hvert fald lige meget kortere hver gang. Tror du Daniel har ret? Undersøg det. Skiftede du mening? 2) Louise svarer: Omkredsen bliver halvt så stor, hver gang du folder. Tror du, Louise har ret? Undersøg det. Skiftede du mening? 60 del I eksperimenterende geometri og måling

Find par af figurer, hvor forholdet mellem omkredsene altid er en halv. Kan du finde en tommelfingerregel for sådanne par af figurer? Overbevis en medstuderende om, at din regel altid duer. Når I har løst opgaven med papirfoldning, diskuter så, hvad der kunne være læringspotentialerne i den. Friedlander og Arcavi præsenterer i deres artikel en del af to elevers arbejde med opgaven. Eleverne siger: MG: Den [omkredsen] bliver lige så meget mindre som længden af den side, der halveres. MS: Jeg tror, den [omkredsen] bliver 3. De lodrette linjer bliver 4 [det samme] og de vandrette linjer mister en halv og en halv og det er en hel side. [Intervieweren spørger, hvad der sker fra den anden til den tredje figur]. Det ender med 4, for vi har vi fire ud 6 af seks halve tilbage. (Ibid. s. 113, vores oversættelse). Kan du følge elevernes tankegang. Overvej og diskuter, hvad du ville sige eller gøre i en klasse, hvor de to elever havde sagt sådan. Arealberegning didaktiske overvejelser Længdemåling er svært nok, men arealmåling er erfaringsmæssigt langt vanskeligere at forstå end både længdemål og rumfangsmål. Det skyldes formodentlig, at børn i løbet af deres opvækst får erfaringer med de to sidstnævnte om end ofte indirekte. I børns verden indgår længdemål på utallige måder: Hvem kan løbe længst? Hvem er størst (højest)? Fra de er helt små, fylder de vand eller sand i beholdere hvor meget kan der være? Og de leger med ler, modellervoks eller trylledej og erfarer, at den samme klump kan antage forskellige former uden at ændre rumfang. Men når børnene skal afgøre, hvem der har det største landområde, så Kapitel 2 Areal 61

sker det enten ved øjemål eller ved at måle længder. Begrebet flade indgår ikke i legen på samme måde som længde og rumfang. Ydermere anvendes størst både om en flades størrelse og synonymt med højest/længst. At begrebet areal på alle måder er mere varieret og komplekst end begrebet længde understreges af, at en figur med arealet 20 cm 2 kan antage uendelig mange former, netop fordi figuren kan brede sig ud i to dimensioner. Et linjestykke på 20 cm har kun én form. Og når linjestykker forlænges, fastholder de deres form, hvorimod arealer nemt kan ændre form, når de gøres større. Hvis man skal måle linjestykker, vælger man en måleenhed og bestemmer, hvor mange gange måleenheden skal bruges for at passe med længden. Er der en rest, så kan man vælge en anden passende måleenhed, eller man angiver blot den rest, der vil være mindre end 1 måleenhed. Som vi skal se senere, er valg af måleenhed imidlertid ikke så enkelt, når det drejer sig om flader. Vælger man et kvadrat som måleenhed for arealer, er der ikke de store problemer med måling af rektangler, fordi formerne korresponderer. Men for andre former som trekanter og cirkler kan kvadratet være en uhensigtsmæssig enhed at fylde ud med, og resten kan i nogle tilfælde svare til mange gange måleenheden. Til trods for vanskelighederne med at udvikle et begreb om areal kan eleverne være kommet ganske langt ved overgangen til skolens mellemtrin. Ifølge Lehrer (2003) er der således belæg for, at eleverne på det tidspunkt kan have haft mulighed for at kunne udvikle antaget-fælles forståelser af arealmål som forskellig fra længdemål og af nødvendigheden af at udfylde den genstand, der skal måles med enheder (jf. hhv. punkt 1 og punkt 3 på listen ovenfor). Til gengæld ser det ud, som om en del elever på dette trin kan have problemer med at forstå behovet for identiske enheder (punkt 4) og med at opdele ukendte figurer, så de ved iteration kan dækkes af figurer med kendt areal (punkt 2). Desuden er der for punkt 6 på listen, den omvendte proportionalitet mellem enhedens størrelse og måltallet, tale om en intuitiv forståelse af, at hvis enheden bliver større, så bliver måltallet mindre, og ikke om en udvidet forståelse, der bygger på den multiplikative sammenhæng mellem enhed og størrelse. For at illustrere og analysere nogle af de problemer, elever, der ikke har omfattende erfaringer med areal, kan have med begrebet, skal vi se på nogle 62 del I eksperimenterende geometri og måling

elevbesvarelser. Vi tager udgangspunkt i tre 2. klasseselevers besvarelser af en opgave fra et evalueringsprojekt i Brøndby (1997 99). Opgaven lyder: Vis, hvor mange mørke kvadrater, der kan være på den lyse figur. På opgavearket er der både den lyse L-formede figur og den lille mørke firkant. Det er i øvrigt interessant, at to af eleverne skriver deres svar i det mørke felt. Eleverne får til start at vide, at de på arket med opgaven vha. tegning, ord eller tal skal vise, hvordan de finder deres løsning (Jess 2004). Figur 2. Besvarelse 1. Figur 3. Besvarelse 2. Figur 4. Besvarelse 3. Overvej-diskuter 6 Beskriv og analyser (før du læser videre) de tre elevers besvarelser og overvej, hvordan du som lærer ville hjælpe de tre elever videre i deres udvikling af et arealbegreb. Du kan fx undersøge, hvilke af Lehrers otte komponenter af et geometrisk målebegreb, man kan udtale sig om med udgangspunkt i besvarelserne. Den første elev har tegnet kvadrater, der ligner det mørke kvadrat, men enkelte af dem afviger dog noget i størrelse fra det. Eleven har kun tegnet tre kvadrater, der følger kanten på den lyse figur (forneden), mens de øvrige er tegnet inde i figuren. En stor del af figuren er ikke dækket af kvadrater. Som resultat er angivet 8. I en nærmere analyse ser det ud, som om eleven prioriterer at overholde den lyse figurs grænser frem for at fylde figuren helt ud. Dette afspejler en tendens, som børn har til at lade kanten på figuren være afgørende for, hvordan målingen skal finde sted. De vil ikke overskride Kapitel 2 Areal 63

kanten, men vælger i stedet for at have åbninger mellem måleenhederne. Lehrer gengiver tre eksempler på børn, der skal måle en tegning af deres håndflade. En vælger at fylde fladen med bønner, og en anden vælger at fylde den med spaghettistykker. Begge børn har omhyggeligt anbragt måleenhederne inden for kanten på figuren, men uden at dække fladen helt. Læreren foreslår at lægge et gennemsigtigt kvadratnet over håndfladen, men det møder megen modstand hos eleverne, fordi hjørnerne på nettet kommer uden for håndfladen, og fordi kvadraterne ikke passer til håndfladens form (Lehrer 2003, s. 184). Den anden elev deler hele figuren op i mindre kvadrater, men disse varierer meget i størrelse. Få af dem har samme størrelse som arealenheden det mørke kvadrat. Eleven angiver, at der er 20 kvadrater i alt. En analyse af besvarelsen viser, at hele fladen er opdelt i små kvadrater, men af forskellige størrelser. En tilsvarende manglende opmærksomhed på/bevidsthed om, at arealenhederne skal være ens, fremgår også af Lehrers beskrivelser af, hvordan elever med adgang til forskellige arealenhedsbrikker såsom kvadrater, trekanter, cirkler m.m. anvender disse i flæng ved måling af den samme figur. Eleverne lægger de brikker på, der passer bedst med figuren på et givet sted, og når eleverne skal finde figurens areal, tæller de det samlede antal af anvendte brikker, uanset om disse er forskellige i form og størrelse (Lehrer 2003, s. 183). Vi kan altså ikke gå ud fra, at børn har med i bagagen, at de anvendte måleenheder skal være ens i form og størrelse ved måling af areal. Den tredje elev har på hele figuren tegnet kvadrater, der har næsten samme størrelse som det mørke kvadrat. Derefter har eleven talt 2, 4,, 16 og skrevet 16 som resultat. En nærmere analyse kan her sætte spørgsmålstegn ved, om denne elev har forestillet sig brikker af samme størrelse som det mørke kvadrat lagt ud på hele fladen. Eleven har nok nærmere opdelt den lyse figur i enheder af samme størrelse som den mørke. Besvarelsen bygger på optælling og er i øvrigt korrekt. Samlet kan man sige, at de tre elevbesvarelser indeholder problemer relateret til flere af komponenterne i Lehrers målebegreb. Desuden afspejler elevbesvarelserne muligvis et problem med opdeling af enheden. Det kunne se ud, 64 del I eksperimenterende geometri og måling

som om eleverne ikke vil lade nogle af enhederne gå ud over grænserne for figuren, og heller ikke opdele enheden i mindre enheder eller dele af enheder. Og endelig er det indlysende, at nogle af de mere avancerede aspekter af Lehrers målebegreb ikke kan aflæses af besvarelser af en så indledende opgave om arealer. Det gælder fx spørgsmålet om omvendt proportionalitet mellem enhedens størrelse og måltallet. Overvej-diskuter 7 Ovenfor beskrev vi, hvordan elever, der skulle måle arealet af deres håndflader, omhyggeligt anbragte måleenhederne inden for kanten af figuren, og at lærerens forslag om at anbringe et gennemsigtigt kvadratnet over den tegnede håndflade mødte modstand, fordi nettet kom uden for håndfladen, og kvadraterne ikke passede til formen på hånden. Beskriv aktiviteter, der kan rokke ved denne uvilje eller begrænsning hos eleverne. Overvej-diskuter 8 Et gulv skal belægges med rektangulære fliser, og eleverne beslutter sig for at beregne de antal fliser, der skal bruges, ved at lægge en række fliser på langs og en række på tværs af gulvet, og derefter vil de gange længden med bredden (som det fremgår af figuren, ville arealberegningen foregå ved at sige 3 4). Hvorfor sker det, og hvordan skal læreren forholde sig? Figur 5. Kapitel 2 Areal 65

Overvej-diskuter 9 Nogle elever på mellemtrinnet skal måle arealet af et meget irregulært område uden rette linjer. De tager en snor og måler, hvor langt der er rundt om figuren. Derefter former de et rektangel ved hjælp af snorens længde og måler arealet af det. Hvad ville I sige til det? Overvej-diskuter 10 I kapitel 7 omtaler vi to didaktiske skoler, hvoraf den ene er teorien om didaktiske situationer, der tilskrives den franske didaktiker Guy Brousseau. Ved en didaktisk situation forstås en måde at tilrettelægge undervisning på, hvor eleverne arbejder med meget nøje gennemtænkte forløb, der er tilrettelagt mhp., at de erfarer nye sammenhænge i matematik. I denne undervisning bør læreren ifølge Brousseau påtage sig to forskellige roller. Dels skal han/hun være aktiv og synlig under introduktionen og i den afsluttende fase, dels skal han/hun træde i baggrunden i den hensigt at lade eleverne arbejde uden at være påvirket af lærerens forventninger. Her vil vi give en forsmag på, hvad en didaktisk situation kan indebære. Inspiration hertil er fra Chamorro (2003, s. 246 247). Den beskrevne didaktiske situation er tilrettelagt ud fra en hensigt om, at eleverne under arbejdet med måling af areal skal erfare nødvendigheden af at anvende en bestemt enhed til arealmåling. Gennemgå forløbet, og vurder, om det er anvendeligt i dansk sammenhæng, og om eleverne efter jeres mening vil erfare og lære? det tilsigtede. En didaktisk situation Didaktisk mål Det drejer sig om at fremprovokere anvendelse af en overordnet metode til måling af arealer. Det er hensigten at eleverne skal erfare, at det er nødvendigt at benytte én bestemt slags enhed for at kunne beskrive arealet som funktion af enheden. 66 del I eksperimenterende geometri og måling

Beskrivelse af aktiviteten Læreren opdeler klassen i grupper på fire elever. Alle grupper skal være udfarende i én fase og modtagende i en anden fase. Hver gruppe får et ark, hvorpå læreren har tegnet fire forskellige figurer, der alle kan dækkes af Tangrambrikker. Tangrambrikker er de syv brikker, der kan klippes ud af et kvadrat som vist på figur 6. I de tegninger eleverne fik af figurerne, er det ikke muligt at se hver brik. Figur 6. Tangrambrikker. Lærerens instruks I skal finde en måde, hvorpå I via en skriftlig besked og uden at bruge tegning kan kommunikere, hvor stort arealet af en vilkårlig polygon, der kan dækkes af Tangrambrikker, er, til nogen, som ikke kan se den. Hvis jeres metode virker, giver beskrivelsen modtagergruppen mulighed for at tegne en polygon med samme areal som den, I har udvalgt af de fire tegninger på arket, som I startede med at få. Læreren skriver fremgangsmåden på tavlen: Forsøg at blive enige om en metode. Giv en skriftlig beskrivelse af arealet. For at sikre sig, at eleverne har forstået, beder læreren en af dem om at gentage instruktionen. (Dette kan efter danske forhold synes en smule omstændeligt, men som nævnt skal læreren træde i baggrunden, og eleverne skal derfor have præcis besked på, hvad de skal gøre). Kapitel 2 Areal 67

Forløb Læreren udnævner grupper til hhv. at give og modtage beskeder, og eleverne får besked på at kalde på læreren, når de er klar med en beskrivelse. Der sker udveksling af skriftlige metoder mellem grupperne, og eleverne arbejder med de beskrivelser, de har modtaget. Efter ca. en halv time, hvor eleverne har haft mulighed for at afprøve en metode mindst én gang, stopper læreren arbejdet for at påbegynde en diskussion. Læreren spørger, om eleverne har forstået den beskrivelse, de har modtaget, og om den kunne bruges. Dernæst beder læreren eleverne om at forklare den fremgangsmåde, de fulgte. I begyndelsen af samtalen med klassen gør læreren det klart for eleverne, at selv om en metode, der går ud på at beskrive de enkelte Tangrambrikker i figuren, er valid og er blevet brugt med succes i andre sammehænge, er metoden ikke desto mindre langsom, eftersom man er nødt til at gøre rede for hver brik. Hvis en beskrivelse er baseret på figurens omkreds, forventes det, at eleverne selv forkaster metoden ud fra resultater af tidligere forløb, i hvilke det blev konkluderet, at omkreds og areal er uafhængige størrelser. Hvis ingen af grupperne har foreslået en metode, der viser, hvor mange små trekanter fra Tangrambrikkerne, som figuren indeholder, spørger læreren direkte: Hvis vi kun måtte bruge én brik til at konstruere fladen af figuren, hvilket kunne det så være? Derefter diskuteres egenskaben af en sådan brik: den skal både være nem at beskrive og at anbringe gentagne gange, og den skal have en form, så den kan dække en plan flade. Forløbet slutter med, at læreren introducerer nye ord så som enhed og præciserer den matematiske viden, der har været i spil. 68 del I eksperimenterende geometri og måling

Overvej-diskuter 11 Vælg to eller tre matematikmaterialer for 4. eller 5. klasse, fx: Freil, O. & Kaas, T. (2004). Kolorit. Matematik for fjerde klasse. Gyldendal. Se s. 73 80. Petersen, S.B. m.fl. (1998). Faktor i fjerde. Fællesbog. Forlag Malling Beck. Se s. 46 51. Høegh, J. m.fl. (1997). Matematiktak for fjerde klasse. Alinea. Se s. 48 51. 1) Undersøg, hvilke af de otte aspekter af et arealbegreb, forfatterne tager for givet, at eleverne er i besiddelse af, og hvilke de forsøger at gøre til genstand for elevernes læring, samt hvilke der ikke kommer i spil. 2) Overvej, hvordan du som lærer med udgangspunkt i et af undervisningsmaterialerne kan fokusere på behovet for identiske enheder og på iteration. Med udgangspunkt betyder her, at du kan vælge at sige, at der er behov for at supplere materialet med andre materialer som fx supplerende opgaver eller konkrete materialer, fx sømbræt. Overvej-diskuter 12 Overvej, hvornår og hvordan I vil indføre standardiserede arealenheder som m 2 og cm 2? Digt en dialog (se evt. eksempel s. 121 ff) Eleverne i femte klasse har gruppevis fået til opgave at undersøge, om omkredsen af en figur lagt med kvadratiske brikker altid bliver et lige tal. En gruppe lægger først denne figur og rykker rundt på brikkerne og finder ud af, at omkredsen altid er et lige tal. Kapitel 2 Areal 69

Figur 7. Læreren er travlt optaget et andet sted, og eleverne finder nu på selv at stille et spørgsmål: Er det muligt at lægge en figur med en ulige omkreds? Læreren har faktisk ikke sagt, at brikkerne skal ligge præcis side mod side, så de lægger denne figur: Figur 8. Omkredsen er et ulige tal. De vil nu se, om de kan få et mærkeligt tal, de fortsætter undersøgelsen og finder frem til, at de blot kan rykke brikken vilkårligt. Læreren kommer hen til gruppen og siger digt videre, hvad skal læreren sige, og hvordan vil I forestille jer, at samtalen mellem læreren og elevgruppen vil fortsætte. Vil læreren være afvisende, vil læreren stille nye spørgsmål og i givet fald hvilke, vil læreren inddrage hele klassen i en diskussion af elevgruppens opdagelse? Opgave 4 For en lærerstuderende, men ikke nødvendigvis for en elev på skolens mellemtrin, er det ret indlysende, at der er omvendt proportionalitet mellem enhedens længde og måltallet i forbindelse med længdemål (jf. punkt 6 på Lehrers liste). Måltallet, m, er jo pr. definition det antal gange, enheden e kan placeres på det pågældende længdestykke, L dvs. m = L. Fx er 1 fod det samme som 12 tommer. Hvis man fx måler, e 70 del I eksperimenterende geometri og måling

tavlens bredde op i fod, får man derfor et måltal, der er måltal, man ville få, hvis man måler i tommer. 1 12 af det En formel argumentation for dette lidt indlysende resultat kunne se således ud: Lad m = L e angive sammenhængen mellem måltal, m, og tavlens længde, L, når der bruges fod som måleenhed. Vi lader L så M være måltallet, når der bruges tommer. Så er M = 1 12 e, og 1 L M = = m. Altså er M = 12 m. 12 e 1) Undersøg, om der er et tilsvarende resultat for arealer. Hvis det er tilfældet, og man bruger et kvadrat som enhed, hvad er så sammenhængen mellem måltallene og sidelængden i kvadratet? Fx kan man tage udgangspunkt i et eksempel med kvadratiske fliser af forskellig størrelse, der skal lægges på et rektangulært område. 2) Undersøg den tilsvarende situation for rumfang. 3) Hvilke idéer kan denne opgave give til undervisning i skolen? Areallæren Efter afsnittet om måling i matematikundervisning, hvor vi især har gjort opmærksom på, at undervisning i måling af areal kræver særlig omhu, vil vi gå over til selve areallæren. Tidligere i bogen har vi udforsket arealer eksperimentelt bl.a. på sømbræt. I det følgende giver vi en deduktiv behandling af emnet. Formålet er, at den lærerstuderende får adgang til et kort fagligt bud på, hvordan man når frem til de forskellige arealformler og vel at mærke et bud, der ikke ligger for langt fra de tanker, som børn selv har chancer for at gøre sig i forbindelse med eksperimentelt arbejde. Arbejdet med dette kapitel vil især Kapitel 2 Areal 71

bringe ræsonnementskompetencen, symbol- og formalismekompetencen og problemløsningskompetencen i spil. Vi bygger areallæren op på fire aksiomer, altså fire grundlæggende antagelser, som vi i øvrigt ikke vil argumentere for på anden måde end ved henvisning til eksperimentelle erfaringer. Vi så i den didaktiske indledning s. 36 og 46, at disse aksiomer også svarer meget godt til den arealforestilling, der skal være til stede hos børn for at kunne håndtere arealbegrebet i skolen. Så vi håber, at fremstillingen kan give et godt grundlag for matematiklærerens arbejde, selv om meget selvfølgelig skal transformeres, før det kan nyttiggøres i undervisning. Aksiomer for areallæren Arealaksiom 1 Til enhver polygon p er der knyttet et positivt tal a(p), der kaldes polygonens areal. Arealaksiom 2 Kongruente polygoner har samme areal. Arealaksiom 3 Hvis en polygon er opdelt i en række mindre polygoner, så er polygonens areal lig med summen af de enkelt polygoners areal. Arealaksiom 4 Enhedskvadratet har areal 1, symbolsk: a(e) = 1. 72 del I eksperimenterende geometri og måling

Øvelse 1 Præcisér i hvilket omfang disse aksiomer siger noget af det samme som de otte aspekter af et målebegreb, som blev omtalt på s. 36. Beviser ved måling med enhed Sætning 1 Arealet af et rektangel er lig med længde gange bredde. Sætningen bliver først vist for rektangler med heltallige sider i sætning 1A, derefter for rektangler med rationale sider i sætning 1B, hvorefter vi også godtager sætningen generelt, da et rektangel med vilkårlige sider (irrationale) kan tilnærmes så godt, vi ønsker det, til et rektangel med rationale sider. Sætning 1A Arealet af et rektangel med heltallige sider er længde gange bredde, symbolsk udtrykt a(r) = længde bredde. Bevis Hvis længden af rektanglet R er a, så vil det sige, at der kan ligge netop a enhedskvadrater langs med rektanglets længde. Hvert af disse enhedskvadrater har ifølge arealaksiom 4 arealet 1, og derfor får hele rækken af a enhedskvadrater (i sig selv et rektangel med længde a og bredde 1) ifølge arealaksiom 3 arealet 1 + 1 + + 1 = a. Da bredden b af rektanglet angiver, hvor mange enhedskvadrater der kan stå op ad hele bredden, angiver b også, hvor mange af ovennævnte rækker enhedskvadrater, der skal til at udfylde hele rektanglet. Derfor Kapitel 2 Areal 73

bliver arealet af rektanglet ifølge arealaksiom 3 lig med a + a + + a (i alt b gange) = b a = a b. Figur 9 er et eksempel på et rektangel med fire enhedskvadrater i tre rækker. Figur 9. Øvelse 2 Vi anvendte i slutningen af beviset den kommutative lov for multiplikation af hele tal: b a = a b. Det havde vi ikke behøvet, hvis vi i stedet havde valgt en skraveret række langs b-siden. Faktisk giver dette arealbevis som tillægsgevinst en god forklaring på, hvorfor b a = a b. Skriv detaljerne op i en sådan forklaring. Overvej, hvorledes din forklaring kan omsættes til konkrete undervisningsaktiviteter, der skal hjælpe børn i 3. klasse til at indse, at a b = b a for naturlige tal. Beviser med opdeling Sætning 1B Arealet af et rektangel, hvis sider er rationale tal, er længde gange bredde. Vi viser først, hvordan man ud fra et eksempel kan argumentere for sætning 1B i en konkret situation. Senere vil vi generalisere dette argument. 74 del I eksperimenterende geometri og måling

1 Et rektangel har længden 2 og bredden 2. Hvis sætning 1B skal være 2 3 sand, skal arealet altså være 1 2 5 2 10 5 2 = = =. Vi viser, at arealet 2 3 2 3 6 3 faktisk er disse 5 3 eller 2 1 3. 1) Først vil vi benytte arealaksiomerne til at finde en måleenhed, der på fornuftig vis kan benyttes til at bestemme arealet af det konkrete rektangel. Dette gør vi ved at bestemme et længdestykke, der går et helt antal gange op i både længde og bredde. Dette længdestykke er her 1 6, da 5 = 15 2 6 og 1 6 går op i 15 6 og 1 6 går op i 4 6., og da 2 = 4 3 6 Vi opdeler så et enhedskvadrat i 6 lige store dele i længden og 6 lige store dele i bredden og får herved et enhedskvadrat opdelt i 6 6 = 36 kongruente små kvadrater: Figur 10. Arealerne af disse små rektangler er ifølge arealaksiom 2 lige store, og da arealet af enhedskvadratet ifølge arealaksiom 3 er lig med summen af disse lige store arealer og ifølge arealaksiom 4 endvidere er lig med 1, så er arealet 1 af hvert af disse små kvadrater lig med 36. Kapitel 2 Areal 75

Hvis vi dernæst ser på rektanglet med længden 5 2 og bredden 2, så har vi 3 allerede sikret os, at 1 kan bruges som et fælles mål for siderne, idet 5 = 15 6 2 6 og 1 6 går 15 gange op i 15, og da 2 = 4 6 3 6 og 1 6 går 4 gange op i 4 6. Dette betyder, at rektanglet med længden 5 2 og bredden 2 3 netop kan dækkes af 15 4 = 60 kvadrater med siden 1. Ifølge aksiom 3 er arealet af 6 1 60 10 5 rektanglet derfor 60 = = =, hvilket skulle vises. 36 36 6 3 I dette eksempel er arealet af rektanglet lig længde bredde. Men fordi det passer i et taleksempel, behøver det selvfølgelig ikke altid at være tilfældet. Vi undersøger nu, om tankegangen er eksemplarisk og kan generaliseres. Idéen er, 1) at måle enhedskvadratet med et mindre kvadrat K, som vi kan bestemme arealet af, for derefter 2) at måle det givne rektangel R med dette K, der er således valgt, at det kan bruges som udfyldende fliser i R. Bevis Lad a og b være rationale tal, som betegner siderne i et rektangel, R. Lad a = p q og b = r, hvor p, q, r og s er naturlige tal. s Ved at forlænge brøkerne, således at r qr qr b = = = s qs sq og a = p = sp, opnår vi at skrive sidelængderne i R q sq som brøker med ens nævnere. 1) I enhedskvadratet, E, opdeles hver side i sq kongruente linjestykker ved hjælp af linjer parallelt med siderne. Herved fremkommer et lille kvadrat, K, se figur 11, og ved anvendelse af arealaksiom 2, 3 og 4 fås: 76 del I eksperimenterende geometri og måling

1 a(e) = sq sq a(k), heraf får vi a(k) = 2 ( sq). K Figur 11. Enhedskvadrat. 1 2) R opdeles i små kvadrater med siden, altså i små kvadrater sq qr sp kongruente med K. Da b = og a = ses, at der ligger sp af disse sq sq kvadrater langs længdesiden og qr af dem op ad breddesiden, som vist på tegningen herunder. K Figur 12. Rektangel, hvis sider er rationale tal. Ved anvendelse af arealaksiomerne 2, 3 og 4 fås: 1 sp qr a( R) = ( sp) ( qr) = = a b. ( ) 2 sq sq sq Hermed har vi vist sætning 1B. Kapitel 2 Areal 77

Øvelse 3 Gennemfør på tilsvarende vis argumentet for et rektangel med længde 4 5 og bredde 3 4. Beviser med opdeling og flytning Hvor litteraturen er ret entydig, hvad angår beviset for arealformlen for et rektangel, gives der flere veje gennem det efterfølgende landskab af formler for arealet af diverse figurer. Her vælges en vej, hvor vi går direkte i gang med arealformlen for et parallelogram, idet vi vælger en af siderne som grundlinje og indfører et begreb, højde, for parallelogrammets udstrækning vinkelret på grundlinjen. Sætning 2 Arealet af et parallelogram P er højde grundlinje, symbolsk a(p) = hg. Bevis Lad ABCD være et parallelogram med BC parallel med AD og tilsvarende AB med DC. Lad os udnævne AD til grundlinje. Idéen i beviset er nu at lave parallelogrammet om til et rektangel. Derfor nedfældes fra B en højde på AD og fodpunktet for højden kaldes B. Tilsvarende nedfældes fra C en højde vinkelret på forlængelsen af AD, og fodpunktet her kaldes for C. B C A B D C Figur 13. 78 del I eksperimenterende geometri og måling

De fleste mennesker vil nu umiddelbart acceptere, at trekant ABB er kongruent med DCC, altså at de kan dække hinanden. Hvis man ønsker et præcist bevis for det, så kan det gennemføres ret nemt 3, hvis man bygger oven på grundlaget for den euklidiske geometri i kapitel 15. Benytter vi arealaksiom 2, får vi, at de to trekanter har samme areal, a(abb ) = a(dcc ). Derfor kan vi nu nemt udregne arealet af parallelogrammet = a(abb ) + a(bb DC) = a(dcc ) + a(bb DC) = a(bb CC ), idet vi har benyttet arealaksiom 3, der siger, at arealet af det hele er lig med summen af delarealerne. 3 Øvelse 4 Gentag argumentationen ovenfor, hvis man i stedet nedfælder højden fra B på siden CD i figur 13. Sætning 3 Arealet af en trekant T er det halve af højde gange grundlinje, symbolsk a( t) = 1 hg. 2 Bevis Vi tager blot trekanten og drejer den 180 grader om midtpunktet M på en af siderne. Herved føres denne side over i sig selv og de to andre 3 For de to trekanter ovenfor har to sider, der er lige store, da modstående sider i et parallelogram ifølge sætning 6 i kapitel 15 er lige store. Ifølge den klassiske geometris parallelaksiom (aksiom 4, side 556) er ensliggende vinkler ved parallelle linjer lige store, så derfor er vinkel BAB lig med vinkel CDC, og de to trekanter har begge en ret vinkel, hvorfor også den tredje vinkel er lige stor i de to trekanter. Ifølge en af kongruenssætningerne for trekanter (K2, side 567) er de to trekanter kongruente. Kapitel 2 Areal 79

sider over i sider, der er parallelle med deres oprindelige stilling 4. Den fordoblede figur bliver altså et parallelogram, der har areal hg ifølge sætning 2. Ifølge aksiom 2 og 3 er dette areal dobbelt så stort som trekantens areal, der altså må være a( t) = 1 hg. 2 v M w u Figur 14. 4 Undersøgelse 1 Der er en vis elegance i at bevise formlen for trekantens areal ud fra parallelogrammets tilsvarende formel. Men i en skolesammenhæng møder eleverne formodentlig trekanter og specielt retvinklede trekanter, før de bliver præsenteret for parallelogrammet. Prøv derfor en alternativ bevisvej, hvor du efter behandlingen af rektanglet først finder en formel for arealet af den retvinklede trekant, og dernæst finder arealet af en vilkårlig trekant ved at opdele den i to retvinklede ved at nedfælde en højde. Vurder endelig dette bevis og beviset for sætning 3 i forhold til hinanden, idet du for hvert bevis nøje skriver op, hvilken geometrisk viden eleven allerede skal besidde for at kunne acceptere og forstå beviserne. Se i lærebogssystemer og beskriv og vurder, hvorledes de lægger op til, at eleverne skal opbygge viden om trekanters arealer. Overvej, om eleverne bør lære at huske formlen som den halve højde gange grundlinje eller som det halve af højden gange grundlinje. 4 På dette sted i fremstillingen vil vi tage det for indlysende, at man ved rotation på en halv omgang (180 grader) fører en linje over i en linje, der er parallel med den givne. 80 del I eksperimenterende geometri og måling

Sætning 4 Arealet af en vilkårlig polygon kan findes ved at opdele den i trekanter. Specielt kan arealet af et trapez, Tr, findes som det halve af de parallelle siders sum gange højden, symbolsk a( Tr) = h( a + b), hvor a og 1 2 b betegner de parallelle sider. Bevis Hvis vi skal finde arealet af en vilkårlig konveks polygon, så kan vi blot udvælge et hjørne og derfra trække diagonaler til alle de andre hjørner i polygonen (på nær nabohjørnerne). Herved opdeles polygonen i trekanter, og dens areal bestemmes derefter ved (arealaksiom 3) at tage summen af trekanternes arealer, der principielt men i praksis noget besværligt kan udregnes ud fra formlen i sætning 3. Hvis polygonen ikke er konveks (for definition se s. 553), skal man lige tænke sig om, før man laver opdelingen i trekanter, men det kan lade sig gøre. Vi kan prøve at anvende teknikken på et trapez, altså en firkant med to parallelle sider med længder a og b samt afstand h mellem dem. Trækkes en diagonal opstår der klart to trekanter med højde h og grundlinje 1 1 1 hhv. a og b. Det totale areal er derfor ha + hb = h ( a + b ), hvilket 2 2 2 skulle vises. Kapitel 2 Areal 81

a h h b a + b h b + a Figur 15. I netop dette tilfælde med et trapez kan vi også benytte samme idé som i beviser for trekantens areal. Ved at rotere trapezet 180 grader om et sidemidtpunkt (på en af de ikke-parallelle sider) og få en fordoblet figur som er et parallelogram. Benytter vi arealformlen for parallelogrammet, finder vi et areal på h(a + b), hvorfor trapezet får det halve areal, hvilket var vores påstand. Sætning 5 Hvis p er en polygon og P er den samme polygon blot forstørret/formindsket med en faktor f (se s. 64), så er arealet( p) = f a( p ) 2. Bevis Arealet af p findes ved at opdele p i en række trekanter, altså som en sum af en række led af formen 1 2 hg. Forstørres p (inklusive hele denne opdeling i trekanter) nu med faktoren f, bliver alle tilsvarende linjestykker f gange større. Hvis en trekant i opdelingen har højde h og 82 del I eksperimenterende geometri og måling

grundlinje g vil disse også blive f gange større ved forstørrelsen. Den forstørrede trekant får derfor højde fh og grundlinje fg og dermed et areal på 1 ( fg) ( fh), hvilket udregnes til f hg, altså bliver arealet 2 2 2 f gange større end før. Derfor bliver det samlede areal af hele P også 2 f gange større, hvilket skulle vises. 2 1 Øvelse 5 Danmarks areal er på 43.100 km 2. Et kort over Norden (Politikens Atlas 2004, s. 10) er i målestoksforhold 1: 5.000.000. Dine elever i 7. klasse har prøvet at bestemme arealet af Danmark i cm 2 på dette kort. De finder det til 20 cm 2. Ser deres svar rimeligt ud? Øvelse 6 1) Et kvadrat har et areal på 257 m 2. Hvad bliver arealet, hvis vi fordobler omkredsen af kvadratet? 2) Et rektangulært område med sportsbaner har en omkreds på 900 meter. I forbindelse med en byfornyelse forstørres sportsområdet til et fire gange så stort areal. Kan man skønne over omkredsens størrelse på det nye sportsområde? 3) Kan et rektangel med omkreds på 200 meter have et areal på mindre end 10 m 2? Kan den have et areal på mere end 5000 m 2? 4) Er der nogen som helst sammenhæng mellem areal og omkreds af plane figurer? Kapitel 2 Areal 83

Cirklens areal Sætning 6 Arealet af en cirkel med radius r er πr 2. Bevis Vi vil her bygge på, at alle cirkler i princippet er ens, og derfor har de alle har samme forhold mellem omkreds og diameter. Det græske ord for omkreds (perimetros) begynder med bogstavet π, det græske p. Derfor kaldes den for alle cirkler konstante brøk, omkreds, for π. Vi diameter kan også skrive det som omkreds = π diameter. Idéen i beviset for cirklens areal er herefter at skære cirklen ud i 2n kongruente cirkeludsnit, lagkagestykker. Vi stiller derefter n af dem op side ved side med spidsen mod nord. Overfor sættes de n andre udsnit tilsvarende op med spidsen mod syd. Skubbes de nu mod hinanden, vil vi få en figur som den på figur 16, der for store værdier af n ikke er til at skelne fra et rektangel. 84 del I eksperimenterende geometri og måling

Figur 16. Kilde: Undervisningsministeriet (1960). Hvis cirkeludsnittene er tynde, nærmer dette rektangels bredde sig til radius r, og tilsvarende nærmer længden sig til en ret linje, der netop må være halvdelen af cirklens omkreds πr, da den består af ryggene af halvdelen af cirkeludsnittene. Da rektanglets areal ifølge sætning 1 er længde gange bredde, fås resultatet r gange πr eller med andre ord πr 2. r r r 2 Figur 17. Kapitel 2 Areal 85