Evaluering af Matematik på htx Sommeren 2006 1
Indholdsfortegnelse Forord... 3 Eksamensresultaterne i tal... 4 Matematik B... 4 Matematik A (ordinær prøve)... 5 Matematik A (forsøgsprøve)... 6 Vurdering af opgavesættene... 7 Matematik B... 7 Matematik A... 8 Matematik A (IT-forsøget)...9 Ofte forekommende fejl opgavebesvarelserne...10 Matematik B...10 Matematik A...10 Matematik A (IT-forsøg)...11 Kommentarer til elevernes brug af IT...12 2
Forord Hermed en evaluering af de skriftlige prøver i matematik ved højere teknisk eksamen sommeren 2006. Evalueringen indeholder resultaterne for den ordinære B-prøve (for sidste gang) samt for såvel den ordinære A-prøve som forsøgsprøven på A-niveau. Derimod er resultaterne fra forsøget med IT på B- niveau ikke medtaget, da der er tale om en projektrapport og resultaterne derfor ikke indberettes til UVM. Materialet er baseret på de kommentarer som censorerne er kommet med. Censorerne blev bedt om at besvare spørgsmål om hvordan eleverne klarede de enkelte opgaver hvilke typiske fejl eleverne laver elevernes brug IT censorernes vurdering af opgavesættene Undervejs diskuteres den nødvendige dokumentation i elevbesvarelserne. Der hersker fortsat en vis usikkerhed om arten af dokumentation i forbindelse med elevernes brug af CAS-værktøjer, og det vil naturligvis være umuligt at komme med en udtømmende samling eksempler på fyldestgørende dokumentation. Dog vil der i forbindelse med gennemgangen af elevernes typiske fejl komme eksempler på nødvendig dokumentation. Undervejs henvises til ministeriets publikation Vejledning om besvarelse i skriftlige opgaver i matematik på htx med særlig henblik på anvendelse af IT her blot kaldet Vejledningen. Denne vejledning er dog nogle år gammel og på visse områder allerede overhalet af teknologien, men mange problemstillinger er stadig gyldige, og der er mange eksempler på, hvad en opgavebesvarelse bør indeholde. http://us.uvm.dk/gymnasie/erhverv/eksamen/vejledning.pdf Det er mit håb at disse sider kan blive en hjælp og inspiration for matematiklæreren i såvel undervisningen som under retningen af elevbesvarelser. Marit Hvalsøe Schou Fagkonsulent 3
Eksamensresultaterne i tal Matematik B I alt 1329 elever gik op til den ordinære prøve i matematik B. Karaktererne fordelte sig således karakter 00 03 5 6 7 8 9 10 11 13 i alt antal 6 131 227 121 135 161 171 224 140 13 1329 frekvens 0,451 9,857 17,08 9,105 10,16 12,11 12,87 16,85 10,53 0,978 100 Grafisk ser resultaterne således ud: 20 15 10 5 0 0 3 5 6 7 8 9 10 11 13 Serie1 0,451 9,857 17,08 9,105 10,16 12,11 12,87 16,85 10,53 0,978 Sammenfatning: Gennemsnittet var 7,5 Typetallet var 5 Andelen af elever der fik under 6 var 27,4 % Konklusion: Resultatet er væsentlig forbedret i forhold til sidste år. Det er sørgeligt at typetallet stadig er 5, men i år er der næsten lige så mange, som får 10, og der er en tydelig top omkring denne karakter. Endelig opnår over halvdelen af eleverne en middelkarakter eller derover. 4
Matematik A (ordinær prøve) I alt 1055 elever gik op til den ordinære prøve i matematik A. Karaktererne fordelte sig således karakter 00 03 5 6 7 8 9 10 11 13 i alt antal 2 35 197 143 170 176 139 109 80 4 1055 frekvens 0,19 3,32 18,67 13,55 16,11 16,68 13,18 10,33 7,58 0,38 100 Grafisk ser resultaterne således ud: Matematik A 20,00% 18,00% 16,00% 14,00% 12,00% 10,00% 8,00% 6,00% 4,00% 2,00% 0,00% 0 3 5 6 7 8 9 10 11 13 Sammenfatning: Gennemsnittet var 7,4 Typetallet var 5 Andelen af elever der fik under 6 var 22,2 % Konklusion: Et gennemsnit på 7,4 er nogenlunde tilfredsstillende, hvorimod det ikke kan siges at være tilfredsstillende at 22,2 % ikke består. Ser man bort fra typetallet 5 er karaktererne pænt fordelt omkring karakteren 8, og knap halvdelen af eleverne får en middelkarakter eller derover. Resultaterne svarer meget til sidste års resultater. 5
Matematik A (forsøgsprøve) I alt 348 elever gik op til forsøgsprøven i matematik A. Dette er mere end en fordobling af antallet fra 2005. Karaktererne fordelte sig således karakter 00 03 5 6 7 8 9 10 11 13 i alt antal 0 14 68 39 54 65 61 38 8 1 348 frekvens 0 4,02 19,54 11,21 15,52 18,68 17,53 10,92 2,30 0,29 100 Grafisk ser resultaterne således ud: Matematik A it 25,00% 20,00% 15,00% 10,00% 5,00% 0,00% 0 3 5 6 7 8 9 10 11 13 Sammenfatning: Gennemsnittet var 7,3 Typetallet var 5 Andelen af elever der fik under 6 var 23,56 % Konklusion: Resultaterne er at sammenligne med den ordinære A-prøve. Et gennemsnit på 7,3 og en dumpeprocent på 23,56 % kan ikke siges at være et tilfredsstillende resultat, og det er væsentlig dårligere end sidste år. 6
Vurdering af opgavesættene Matematik B Censorerne blev bedt om at udfylde nedenstående skema (kun et kryds i hver række). Kun 4 censorer har svaret, så vurderingen må tages med forbehold. Tallene viser den samlede vurdering. For lille Passende For stort Omfang 4 For lav Passende For høj Sværhedsgrad 1 3 Alsidighed (dele af pensum, der berøres) Læselighed (formuleringer, billeder, grafer) Blanding af opgaver af teoretisk og anvendelsesmæssig karakter Fin Ok Ringe 3 1 2 1 2 1 Helhedsvurdering 2 1 Talmaterialet er for lille til at sige noget generelt ud fra, men blandt de indsendte besvarelser var der tilfredshed med sættet. Nedenstående skema viser hvorledes eleverne har klaret de enkelte opgaver. Hver opgave blev bedømt på en skala fra 1-5. Jo højere tal des bedre er opgaven besvaret. Opgave 1 3,7 Opgave 2 3 Opgave 3 4,7 Opgave 4 3 Opgave 5A 2,3 Opgave 5B 3,7 Opgave 3 er en opgavetype eleverne har mødt før, og er den de klarer bedst. Her skal eleverne eftervise at nogle givne måledata er fordelt som en eksponentiel udvikling. Derimod er der ikke mange, der besvarer opgave 5A om skæring mellem grafer og arealbestemmelse på tilfredsstillende vis. Opgaven løses nemt vha. IT-værktøjer, men det har åbenbart ikke hjulpet eleverne. Til gengæld kan man undres (og glædes) over at så mange klarer vektorregningsopgaven 5B så godt. Det plejer ikke at være her, eleverne får mange point. 7
Matematik A Censorerne blev bedt om at udfylde nedenstående skema (kun et kryds i hver række). 16 censorer har svaret. Tallene viser den samlede vurdering. For lille Passende For stort Omfang 1 15 For lav Passende For høj Sværhedsgrad 5 11 For få Passende For mange Antal typeopgaver * 1 11 4 Alsidighed (dele af pensum, der berøres) Læselighed (formuleringer, billeder, grafer) Fin Ok Ringe 4 12 4 11 Helhedsvurdering 2 13 * Ved en typeopgave forstås her opgaver af samme type, som eleverne har haft mulighed for at træne i undervisningen. Det er ikke opgaver, der kræver en kombination af viden fra flere emner. Censorerne var forholdsvis enige om, at det var et godt opgavesæt af passende omfang og sværhedsgrad måske lidt til den nemme side. Sættet havde en pæn alsidighed og var af ok læselighed. Nedenstående skema viser hvorledes eleverne har klaret de enkelte opgaver. Hver opgave blev bedømt på en skala fra 1-5. Jo højere tal des bedre er opgaven besvaret. Opgave 1 4,1 Opgave 2 3,8 Opgave 3 3,3 Opgave 4 2,7 Opgave 5A 2,9 Opgave 5B 4,4 Som sædvanligt klarer eleverne differentialligningsopgaven dårligst og opgaverne med rumgeometri bedst. De øvrige opgaver klares nogenlunde lige godt, dog finder eleverne implicit differentiation svær. 8
Matematik A (IT-forsøget) Censorerne blev bedt om at udfylde nedenstående skema (kun et kryds i hver række). Tallene viser den samlede vurdering. For lille Passende For stort Omfang 12 4 For lav Passende For høj Sværhedsgrad 5 8 3 Alsidighed (dele af pensum, der berøres) Læselighed (formuleringer, billeder, grafer) Fin Ok Ringe 2 11 3 2 10 For få Passende For mange Antal typeopgaver * 1 11 4 Antal opgaver, der kræver brug af IT-redskaber 1 12 2 Fin Ok Ringe Helhedsvurdering 11 2 * Ved en typeopgave forstås her opgaver af samme type, som eleverne har haft mulighed for at træne i undervisningen. Det er ikke opgaver, der kræver en kombination af viden fra flere emner. Ved dette sæt er meningerne tydeligt mere delte end ved det ordinære sæt. Mange censorer er tilfredse og finder sættet passende i omfang og sværhedsgrad, men der er også censorer, der finder sættet for lille og let, mens andre finder det for stort og svært. 2 censorer synes at sættet er direkte ringe. Nedenstående skema viser hvorledes eleverne har klaret de enkelte opgaver. Hver opgave blev bedømt på en skala fra 1-5. Jo højere tal des bedre er opgaven besvaret. Opgave 1 4,5 Opgave 2 3,4 Opgave 3 3,0 Opgave 4 3,1 Som i det ordinære sæt er det opgaven med rumgeometri, eleverne klarer bedst. De øvrige opgaver blevet klaret nogenlunde lige godt. Dog gik differentialligningsopgaven som sædvanlig dårligst. Dette til trods for, at eleverne denne gang ikke selv skulle løse ligningen, men blot skulle eftervise at en given formel, der var kendt fra forberedelsesmaterialet, var en løsning. 9
Ofte forekommende fejl opgavebesvarelserne Matematik B Opgave 1 Der mangler dokumentation for at grafernes skæringspunkt er B. Når opgaven løses med IT-redskab, skal ligningen som et minimum skrives op og forklares. Mange elever har svært ved at bestemme arealet under kurven. Der sættes forkerte grænser ind. Opgave 2 Problemet med denne opgave er, at eleverne får facit opgivet i a). Der kommer mange underlige forslag til forklaringer og mellemregninger. Mange er forkerte, men de giver alle det rigtige resultat! Eleverne har (meget) store problemer med at finde vinklen i b). Mange finder vinkel mellem sidekant og nederste grundflade. Arealberegningen går godt. Opgave 3 Sættets topscorer. En opgave, som de fleste elever har regnet mange gange før. Den oftest forekommende fejl er at eleverne vil tvinge løsningen gennem (0; 100). Som redegørelse for, at der er tale om en eksponentiel udvikling, vil det være naturligt at indtegne data på enkeltlogaritmisk papir (evt. transformerede data i et alm. koordinatsystem). Forskriften kan f.eks. findes ved hjælp af 2 punkter på grafen eller ved regression. Benytter man 2 punkter fra tabellen, bør det bemærkes at man arbejder med en matematisk model, og at man ikke på denne måde nødvendigvis opnår det bedste resultat. Opgave 4 Her er det især spørgsmålene c) og d), der volder besvær. I c) vælger nogle elever at bestemme forskriften på linien gennem P, der står vinkelret på m. Herefter bestemmes skæringen mellem m og denne linie, og til slut findes afstanden som afstanden mellem de 2 punkter. Dette er naturligvis helt i orden, men stiller noget større krav til dokumentationen end benyttelse at afstandsformlen. Opgave 5A Mange elever har valgt denne opgave, men de har generelt store problemer med dokumentationen. De relevante ligninger stilles ikke op, når skæringspunkterne mellem graferne skal bestemmes. Opgave 5B Spørgsmål b) giver nogle problemer. En del elever synes ikke at kende formlen for projektion af vektor på vektor. Matematik A Opgave 1 Mange opskriver punkter som vektorer og vektorer som punkter. Dette fører til, at en del elever finder krydsproduktet mellem stedvektorerne i stedet for mellem vektorer udspændt af de relevante punkter. I d) ser de færreste, at punktet F er skæringen mellem plan og linie. 10
Opgave 2 En IT-opgave, hvor eleverne primært testes i at afkode nødvendige oplysninger, der skal indsættes i såvel en kendt som en ukendt formel. Endvidere skal eleverne kunne se, at de resulterende integraler med fordel løses vha. IT-værktøj. Ikke alle censorer var begejstrede for dette. Til trods for at opgaven umiddelbart virker nem, havde mange elever store problemer, især med indtastning af formler og det nødvendige antal parenteser. Opgave 3 Vektorfunktionsopgave. Eleverne har problemer med at skelne mellem t, x og y. De glemmer at opskrive relevante ligninger, når skæringen med koordinatakserne skal findes, og der mangler dokumentation for minimum i form af tekst, grafer eller beregninger, når mindste afstand til O skal findes. Opgave 4 Differentialligning, der kan løses vha. separation af de variable. Det er dog meget få, der får alle detaljer med, f.eks. hvorfor numerisk værdi i ln x kan fjernes. Der er ikke mange, der er i stand til at separere korrekt. En del elever (men stadig forbløffende få) indsætter den givne løsningen i ligningen, men mangler så at undersøge, at v ( 0) = 0 er opfyldt. Der er stadig mange, der glemmer akser og enheder på akserne, når de tegner grafen. Det er meget få elever, der er i stand til at argumentere for asymptoterne. Desværre har mange givet op inden de kommer til d), som ellers ikke burde volde problemer. Her er det største problem, at eleverne ikke opskriver den ligning, de løser. Den sidste integration går godt, men alt for mange er faldet fra inden. Opgave 5A Denne opgave blev kun valgt af meget få elever, og næsten ingen valgte at bruge implicit differentiation. Når eleverne isolerer y glemmer de ofte +/- ved uddragning af den 4. rod. Opgave 5B Næsten alle klarer a) korrekt, men i b) har mange elever problemer med at finde centrum ud fra kuglens ligning. Matematik A (IT-forsøg) Til dette sæt er der kun kommet ganske få kommentarer om typiske fejl. En stor del af kommentarerne er generelle og handler om elevernes brug af IT. Således bemærkes det, at eleverne til IT-prøven er meget mere fokuserede på maskinen/programmet, end de er på matematikken, og om de finder alle relevante løsninger. Mange elever er ikke gode til MathCad, og de bruger ikke tid på at vurdere deres løsninger og disses præcision. Der afleveres stadig resultater med alt, alt for mange decimaler. Opgave 1 Også her er der problemer med opskrivning af punkter som vektorer og omvendt med fejl til følge. Opgave 2 Vektorfunktionsopgave. Eleverne har problemer med c) og d). I d) sættes y =0 for at finde skæringen med y-aksen. 11
Opgave 3 Besvarelserne bærer præg af, at eleverne kender funktionsforskriften fra forberedelsesmaterialet, men løsningerne er ikke kønne at kigge på med alt for mange formler over flere sider. Mange elever har store problemer med at tegne grafen. Der bruges et helt forkert vindue, man glemmer at t er ikke-negativ, og akserne har forkerte navne. Der mangler dokumentation for asymptoterne. I e) er der en del elever, som ikke forstår spørgsmålet. De har løst ligningen h( t) = 0,1 (glemmer +/-) og vælger blot mindste t-værdi som løsning. Opgave 4 Der er ikke mange kommentarer til denne opgave. Dog bemærkes det, at mange elever indsætter forkerte grænser i udtrykket for kurvelængden i c). Generelle kommentarer til sættet De fleste censorer mener, at der er fin sammenhæng mellem forberedelsesmateriale og 5-timersprøven. Enkelte har spurgt deres elever, der ikke har kunnet se nogen sammenhæng! En enkelt censor er begejstret for 5-timersprøven, men mener at forberedelsesmaterialet er helt overflødigt. En anden censor savner at eleverne testes i deres matematikkundskaber og ikke blot i deres evne til at indtaste formler, som de alligevel ikke forstår. Der er ikke nogle censorer, som har bemærket snyd. Kommentarer til elevernes brug af IT Igen i år mener mange, at eleverne faktisk bliver bedre og bedre til at bruge matematikprogrammerne. Der mangler dog stadig en del dokumentation. Hermed menes, at den matematiske argumentation mangler. F.eks.: eleverne skriver ikke de benyttede ligninger op de fortæller ikke at et ekstremumspunkt for f(x) findes ved at løse ligningen f (x)=0 og dernæst undersøge arten at ekstremumspunktet. de argumenterer ikke for at et givet datasæt kan beskrives vha. en eksponentiel udvikling, fordi punkterne ligger på en ret linie, når de indtegnes på enkeltlogaritmepapir. ofte angives blot en løsning, og man ved ikke om der er tale om aflæsning, beregning eller ligninger opstilles uden nogen forklaring på hvordan de fremkommer manglende opskrivning af grund- og definitionsmængder, og manglende hensyntagen til disse, når løsninger angives. Der er stadig problemer med graftegning, for skønt man nemt kan indtegne en graf i et program eller på lommeregneren, har mange svært ved at vælge passende enheder på akserne og et fornuftigt vindue, så man kan få en fornemmelse af grafens forløb. Asymptotisk opførsel argumenteres der sjældent for. Korrekt matematisk notation volder en del besvær, og der er langt mellem hjælpetegninger, som ellers bør være en helt naturlig ting ved geometriske opgaver og trigonometriske ligninger. Dette bør der fortsat fokuseres på i undervisningen. Det er fuldt lovligt at tilføje disse hjælpetegninger med blyant. 12