Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005)

Transkript

1 Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (005)

2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Stamfunktion og integralregning...3 Numerisk integration...3 Areal under graf...3 Areal mellem grafer...4 Stamfunktioner...5 Stamfunktion uden ekstra konstant...5 Stamfunktion med konstant...6 Bestemt integral...8

3 Stamfunktion og integralregning Vi starter med en noget primitive metode, som svare til at aflæse på en graf, i stedet for at lave præcise beregninger. Metoden kan bruges, hvis vi ikke kan få andre metoder til at virke. Ved eksamen vil metoden give nogen, men ikke alle, point. Dernæst går vi over til at bruge TI-Interactive s mere avancerede muligheder for symbolsk løsning. Dette svarer til det vi gør, når vi gætter en stamfunktion. Areal under graf Numerisk integration Hvis man har tegnet en graf kan man let finde (og få markeret) arealet under den. Dette gøres ved først at tegne grafen, og så i graf-vinduet at trykke på knappen. Dette åbner et vindue: Her skal man så skrive grænserne (i det viste eksempel 3 og 5). Hvis man vil have vist resultatet på grafen skal man også sætte kryds i Show Label. Til slut trykker man så på Calculate. Resultatet kommer til at se således ud: 3

4 Areal mellem grafer Man kan også finde arealet mellem grafer. Først tegnes de funktioner, og så trykker man på knappen (i graf-vinduet). Dette åbner et vindue: Her skal man angive den øverste graf ( Shade below ), den nederste graf ( Shade Above ) og grænserne (i det viste eksempel 1 og 5). Man skal være opmærksom på, at hvis man bytter om på de funktioner får man 0 (og IKKE bare et forkert fortegn). Hvis man vil have vist resultatet på grafen skal man også sætte kryds i Show Label. Til slut trykker man så på Calculate. Resultatet kommer til at se således ud: 4

5 Stamfunktioner Vi er nu klar til at benytte de mere avancerede muligheder for i TI-Interactive at løse problemerne symbolsk. Først lige en praktisk ting: Da TI-Interactive ikke skelner mellem store og små bogstaver vælger jeg systematisk at benytte symbolet sf(x) for en stamfunktion til f(x), på samme måde som fm(x) betød f (x). Stamfunktion uden ekstra konstant. Vi starter med at finde en stamfunktioner til forhånd: f ( x) = x (vi kender naturligvis svaret på 1 F ( x) = x + k, hvor k kan være et vilkårligt tal). I TI-Interactive gøres dette ved at 3 åbne en Mathbox, og så i Math-Paletten klikke på og derefter vælge : Man får så følgende indsat i Math-boxen: Her skal man så selv udfylde de to markerede felter. I det første felt skrives f(x) (eller x eller x^) og i det andet felt skrives x (eller hvad den variable nu hedder). Hvis man skal bruge resultatet, skal man huske at gemme resultatet som en ny funktion: Udskriver man sf(x) skal resultatet gerne blive Opgave. Find en stamfunktion til hver af funktionerne: 1 x f ( x = x + x x f ( x) = a 1 ) x + 3 f 4 ( x) = x e 5( x) sin( x) f 3( x) = ln( x) f = f ( x) = sin ( ) 6 x 5

6 Stamfunktion med konstant. Ofte ønsker vi at finde alle stamfunktioner til en funktion. Da vi ved, at dette gøres ved at tilføje en konstant, skriver vi bare i Math-boxen: (når der indgår en konstant k i funktionen, kan det praktisk at kalde funktionen sfk(x) i stedet for sf(x)). VIGTIG ADVARSEL: Inden man skriver +k skal man lige trykke på pil til højre på tastaturet. Ellers bliver resultatet hvilket er noget helt andet (som vi ikke skal bruge til noget). Udskriver man resultatet, skal det gerne se således ud: Bestemmelse af konstanten Dette er lidt mere kompliceret. Der er typisk to oplysninger vi kan få, og som giver os mulighed for at bestemme konstanten: Stamfunktionen skal gå igennem et bestemt punkt, eller stamfunktionen skal have en bestemt linje som tangent. Vi fortsætter med eksemplet ovenfor, og ser på begge tilfælde. Eksempel: Find den stamfunktion til f ( x) = x, hvis graf går gennem punktet (,3). Besvarelse: Først findes alle stamfunktionerne som ovenfor: (definerer funktionen f(x)) (definerer sfk til at være en stamfunktion til f(x)) (Udskriver resultatet som kontrol) Vi bestemmer nu k ved at løse ligningen F ( ) = 3, hvor F(x) er stamfunktionen (husk at det er k vi skal finde): Dette skal nu indsættes i sfk(x). Det gøres mest elegant ved i næste (der må ikke komme andre udregninger inden) at skrive 1 Dette skal forstås således: I sfk(x) skal betingelsen fra forrige udregning ( k = ) indsættes. 3 Det vil sige, at k erstattes med 31. 6

7 Hvis man synes, at dette er mystisk, så kan man bare selv skrive stamfunktionen sfk(x), hvor man erstatter k med 31. Udskriver man resultatet skal det gerne give Eksempel (lidt svær): Find den stamfunktion til f ( x) = x, hvis graf har linjen y=x+3 som tangent. Besvarelse: Vi starter med at definere funktionen, definere tangenten og finde samtlige stamfunktioner: Vi skal nu bestemme det x, hvor stamfunktionens hældning er (svarende til tangentens hældning). Da F (x) = f(x) svare dette til at løse ligningen f(x) = : Dette giver løsninger: x = x =. Disse tal indsættes nu i ligningen for tangenten for at finde de tilsvarende y ere: Dette giver os t0 punkter ( x, y) = (, + 3) og ( x, y) = (, + 3) De to mulige stamfunktioner (dvs. de to mulige k ere) findes nu som før, hvor vi kendte et punkt. Opgave. Bestem den stamfunktion til Opgave. Bestem de stamfunktioner til f ( x) = x + x, hvis graf går gennem punktet (4,5). f ( x) = x, der har linjen = 4 x + 5 y som tangent. 7

8 Bestemt integral Her er det hele lidt lettere: Resultatet er bare et tal, og der er ingen konstanter, der skal bestemmes. Vi ser på et eksempel. Vi vil finde arealet, der afgrænses af x-aksen, grafen for f ( x) = x + x og linjerne x = 1 og x = 5, eller med andre ord: vi vil finde arealet af punktmængden {( x, y) 1< x < 5 0 < y < x + x}. Arealet er vist på den følgende graf, hvor der også er vist resultatet fundet med den lidt primitive metode vi så på i afsnittet Areal under graf : 5 Arealet findes bedre ved at udregne integralet ( x + x) dx. I TI-Interactive gøres dette ved at åbne en Mathbox, og så i Math-Paletten klikke på derefter vælge : 1 og Man får så følgende indsat i Math-boxen: Her skal man så selv udfylde de tre markerede felter. Først indsætter man integralets grænser (1 og 5), Dernæst skriver man f(x) (hvis man har defineret funktionen, ellers skriver man 8

9 x + x ), og til sidst skriver man x (eller hvad den variable nu hedder). Hvis man skal bruge resultatet, skal man huske at gemme resultatet som en konstant. Har man gjort det rigtigt, skal der nu stå: I TI-Interactive udregner man altså bestemte- og ubestemte integraler på (næsten) samme måde. Den eneste forskel er grænserne. Vi tager lige et par eksempler på lidt mere avancerede problemer: Eksempel Bestem x, så det arealet under grafen for funktionen bliver 0. f ( x) = x + x mellem x=1 og x=a Besvarelse Vi så før, hvordan vi kunne finde arealet under en graf mellem to grænser. Dette gør vi, idet vi sætter øvre grænse til a. Dernæst løses ligningen, hvor dette areal sættes til 0: VIGTIG ADVARSEL: Inden man skriver lighedstegnet inden i solve( ) skal man trykke på pil til højre på tastaturet. Eksempel Funktionerne f og g er defineret ved f ( x) = x + 7 og mellem graferne: 1 g ( x) = x. Vi vil bestemme arealet 9

10 Besvarelse Vi starter med at definere de to funktioner: Dernæst findes de x er hvor de to grafer skærer hinanden: Til slut beregnes arealet mellem graferne: Eksempel På grafen ses funktionen 5 f ( x) =. ( x 3) + 1 Bestem tallet a, så arealet mærket B bliver dobblet så stort som arealet mærket A. Besvarelse Vi starter med at definere funktionen: Dernæst opskrives de to arealer: 10

11 Bemærk: Areal_A må ikke bare kaldes A, da vi også bruger dette navn til noget andet (A og a er jo det samme). De sidste tre linjer kunne erstattes med 11