Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Transkript

1 Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

2 Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold... 3 Koordinatsystemet Konstruktion af en lignings grafiske billede Definitions- og værdimængde Ligninger med to ubekendte To ligninger med to ubekendte Afstandsberegning grads ligninger = parablen... 3 Gode råd og notater... 4 Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 2 af 6

3 Undervisningens indhold Formålet med matematik på 2. hovedforløb er at du opnår kendskab til følgende matematiske emner: * Funktionsbegrebet, * koordinatsystemet, * den rette linies ligning, * to liniers skæringspunkt, * afstandsberegning. For E- og D-niveaus vedkommende: Beregning af den rette linies ligning 2. gradsligningen, * diskriminanten * dens toppunkt * samt skæring med x-aksen * Tegning af parablen Kompendiet hentes på Gem det som minimum på dit H-drev eller på din egen computer. Du kan med fordel skrive et eksemplar ud til brug i undervisningen. Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 3 af 6

4 Koordinatsystemet. Et plan kan deles op ved hjælp af en vandret og en lodret linie. Henholdsvis. aksen eller x-aksen og 2. aksen eller y-aksen. De to akser vil stå vinkelret på hinanden og samlet set benævnes det som et vinkelret koordinatsystem. Y (x,y) = (4,5) X Det er valgfrit hvilken enhed der anvendes på henholdsvis x-aksen og y-aksen. Det er dog vigtigt at iagttage at nå afstanden fra 0 til er lagt fast vil dette være gældende for den pågældende akse. Et punkt i koordinatsystemet benævnes med den værdi på, først x-aksen og derefter den værdi på y- aksen Eksempelvis (x,y) = (4,5), bemærk at kommaet blot holder de to værdier adskilt og ikke angiver et decimaltal. Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 4 af 6

5 Konstruktion af en lignings grafiske billede. Det grafiske billede af en ligning (funktion), hvis forskrift man kender, kan tegnes i et koordinatsystem. Dette gøres ved at beregne et antal ( mindst 3) y-værdier ud fra givne x-værdier. Eksempel: Konstruer det grafiske billede af funktionen: y = 2x Først udregnes nogle eksempler på sammenhængende x og y værdier, ved at indsætte nogle tilfældige tal på x s plads i ligningen, for derefter at beregne y-værdien. De sammenhængende x og y værdier kan opskrives i et skema (sildeben) X Y Dernæst afsættes de sammenhørende x og y værdier i et retvinklet koordinatsystem- Gennem de tre punkter, der illustrerer de sammenhørende x og y værdier, tegnes der nu en ret linie af vilkårlig længde. Denne linie er det fuldstændige billede af sammenhængen mellem x og y. y x Hvert punkt på linien svarer til et ordnet talpar. Det første tal i det ordnede talpar aflæses på x-aksen og det andet tal i det ordnede talpar aflæses på y- aksen Hvis der ikke er opgivet anden enhed i koordinatsystemet anvendes cm. pr enhed på begge akser. Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 5 af 6

6 Ud over at anvende sildebenet til at etablerer koordinatpunkter, når ligningens linie skal tegnes, kan du anvende viden om værdien for a og b i ligningen Værdien b angiver liniens skæring med y-aksen. Værdien a angiver liniens stigningstal. y = ax + b Ved indtegning af linien i koordinatsystemet, startes med at afsætte værdien for b på y-aksen. Derefter går du fra dette punkt én enhed til højre og værdien a op, hvis a er positiv og ned hvis a er negativ Eksempel: Indtegn ligningen y = 2x -3 i koordinatsystemet. y Først afsættes punktet b a a a x Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 6 af 6

7 Definitions- og værdimængde. En talmængde er en samling af tal, der opfylder en fælles betingelse. Eksempelvis de almene talmængder: Naturlige tal: (, 2, 3, 4, 5,.) betegnes med bogstavet N Hele: (.., -2, -, 0,, 2,.) betegnes med bogstavet Z Alle tal: betegnes med bogstavet R. Eksempler på specielle talmængder: Mængden af tal fra og med 3 til og med 6: 3 x 6 Mængden af tal fra 4 til og med 7: 4 < x 7 De talmængder, der kan indsættes på x s plads i en funktionsforskrift, siges tilsammen at udgøre funktionens definitionsmængde. Altså x kan antage en af de værdier der er angivet i definitionsmængden. Til enhver definitionsmængde svarer der en værdimængde, der indeholder de værdier som den givne definitionsmængde svarere til. Altså: vi indsætter den største og den mindste værdi i ligningen. Derved udregnes den største og den mindste værdi i værdimængden. Eksempel: Givet en ligning: y = 2x for 3 x < 6 Find ligningens værdimængde. Løsning: x kan antage værdier fra og med 3 til 6. Når x = 3 har vi at y = 2 3 y = 5 Når x = 6 har vi at y = 2 6 y = Ligningens værdimængde indeholder altså tallene fra og med 5 til Værdimængde er 5 y <. Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 7 af 6

8 Ligninger med to ubekendte. Ved en ligning med to ubekendte forstås en ligning som f.eks.: 2x + y = 5 De to ubekendte er benævnt x og y. At løse ligningen vil sige at bestemme mængden af ordnede talpar (x,y), der gør ligningen til et sandt udsagn. For at bestemme alle talpar, der tilfredsstiller ligningen (2x + y = 5), skal ligningen først omformes: 2x + y = 5 y = -2x + 5 Ligningen er nu af formen y = ax + b, hvor a = -2 og b = 5 Det grafiske billede af en sådan ligning er en ret linie. Linien tegnes ved bestemmelse af skæring med y-aksen (0,5). Herfra markeres punkter der ligger én enhed til højre herfor og stigningstallet (-2) ned. y x Mængden af ordnede talpar, der tilfredsstiller ligningen: 2x + y = 5, er lig med mængden af koordinatsæt til liniens punkter. Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 8 af 6

9 To ligninger med to ubekendte. Når man i praksis vil løse to ligninger med to ubekendte, gælder det om at finde ordnede talpar, der tilfredsstiller begge ligninger => de to liniers skæringspunkt. Skæringspunktet mellem to ligningers liner kan findes ved hjælp af tre forskellige metoder: Grafisk metode Indsættelsesmetoden. Ligningsløsning. De tre metoder giver i princippet samme resultat men de indebærer hver for sig fordele og ulemper. Grafisk løsning Eksempel: Løs ligningssystemet (find de to liniers skæringspunkt) I 2x + y = 5 II 3y x = -6 De to ligninger omformes til y = ax +b I 2x + y = 5 => y = -2x + 5 II 3y x = -6 => y = /3x 2 De to ligninger indtegnes I koordinatsystemet og deres skæringspunkt aflæses. I y II x L: (x,y) = (3, -) - Hvis linierne skærer hinanden, har ligningssystemet netop én løsning nemlig skæringspunktets koordinatsæt. L = (x,y) - Hvis linierne er parallelle og forskellige b-værdi, er der inden løsninger for ligningssystemet. L= Ø - Hvis linierne er sammenfaldende, er der uendelig mange løsninger. L = R Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 9 af 6

10 Indsættelsesmetoden: Når to ligninger er giver ud fra den generelle ligning for en ret linie y = ax + b, har vi ligningerne: I y = -2x + 5 II y = 5x 9 Da både ligning I og II i skæringspunktet har samme x- og y-værdi, kan vi sætte de to ligninger til at være lig hinanden (hvor de to linie skære hinanden er de også lig hinanden). -2x + 5 = 5x 9-2x 5x = x = -4-7x / -7 = -4 / -7 x = 2 => værdien for x indsættes nu i enten ligning I eller ligning II I: II: y = y = y = y = 0 9 y = y = Vi har nu, at x = 2 og y = Altså skæringspunktet (x,y) = (2, ) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 0 af 6

11 Afstandsberegning. Når vi kender koordinatsættet til to punkter i et koordinatsystem, har vi mulighed for at beregne afstanden mellem disse to punkter. Afstandsformlen, som vi vil udlede på de næste par sider, kan bl.a. bruges til, at beregne omkredsen af en polygon, der ligger i et koordinatsystem. y For at beregne afstanden i mellem A og B, benytter vi os af at koordinatsystemet er retvinklet. Ved at parallelforskyde en del af x-aksen til det nærmeste af de to punkter (her Punkt A), og parallelforskyde en del af y-aksen til det andet punkt (her punkt B), får vi skabt en retvinklet trekant. I den retvinklede trekant gælder som bekendt Phytaguras læresætning a 2 + b 2 = c 2 A B x y Ved simpel optælling af enhederne på den vandrette katete og den lodrette katete, kan vi ved hjælp af phytaguras beregne afstanden AB. 5 B AB 2 = AB = AB = A 7 x AB = 45 AB = 6,7 Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side af 6

12 I den næste situation vil vi ikke tælle os frem til længden af kateterne, men beregne dem ud fra de to koordinatpunkter (,2) og (7,5). Vi ser således, at længden af den vandrette katete kan beregnes ved (7 ), og længden af den lodrette katete kan beregnes ved (5 2). Disse to parenteser sættes nu ind i phytaguras læresætning på a s og b s pladser. Dette giver nedenstående udtryk, hvis resultat selvsagt er det samme som foregående beregning. y 5 2 A B AB 2 = (7 -) 2 + (5 2) 2 7 x AB = AB = AB = AB = (7 -) 2 + (5 2) AB = 6,7 I den sidste situation vil vi finde det generelle udtryk, der altid gælder, når blot vi kender koordinatsættet til de to punkter, som vi søger afstanden i mellem. Hvis vi benævner punktet A som (x,y), må vi nødvendigvis finde en anden benævnelse for punktet B, Vi vælger, at benævne det (x,y). Vi har således mulighed for at skelne mellem de to koordinatpunkter (og flere for den sags skyld) Vi ser at den vandrette katetes længde kan udtrykkes som (x x), og den lodrette katetes længde kan udtrykkes som (y y). ved igen at indsætte disse to størrelser i phytaguras s læresætning, får vi den generelle formel, der udtrykker en afstand i mellem to punkter i et koordinatsystem nemlig afstandsformlen: y 5 2 A 7 B x AB = (x - x) 2 + (y - y) 2 Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 2 af 6

13 2. grads ligninger = parablen En funktion med grundformlen Kaldes en 2. grads funktion (2. grads ligningen). y = ax 2 + bx + c Det grafiske billede af en 2. grads ligning er altid en parabel. Det er en betingelse for andengradsligningen at a fra 0, da funktionen eller er en simpel. gradsligning af formen y = ax + b En parabel forekommer i praksis ved frit hængende ledninger, parabolantenner, i en projektils bane osv. osv. Y Parablens grene Parablens skæringspunkt med x-aksen X Parablens toppunkt Det vil være interessant at finde parablens toppunkt samt dens skæring med x-aksen da det er her der sker ændringer i forhold til om y-værdierne er stigende eller faldende og om y-værdierne er positive eller negative. Her ud over beregnes den størrelse der benævnes Diskriminanten Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 3 af 6

14 Diskriminanten udregnes ved følgende formel: D = b 2 4ac Diskriminanten indgår i beregningen af toppunktets y-værdi samt i beregningen af parablens skæring med x-aksen. Hvis D er positiv, > 0, findes der to løsninger. Hvis D er nul, = 0, findes der én løsning. Hvis D er negativ, < 0, findes der ingen løsning Parablens toppunkt: T: (x,y) = -b, -D 2a 4a Vær opmærksom på at de på tællerens plads indgår et minustegn i formlen. Hvis værdien for b eller D er negativ, ophæver de to minuser hinanden og bliver til plus (minus gange minus giver plus) Skæring med x-aksen. X = Eksempel: -b ± D 2a En 2. grads ligning er givet ved y = 2x 2 + 4b 6 a = 2, b = 4, c = -6 D = (-6) D = D = 64 T: (x,y) = -4, -64 = (-, -8) L: x = -4 ± 64 x = -4 ± 8 x = og x = Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 4 af 6

15 Gode råd og notater Ved almindelig ligningsløsning, hvor vi har en ubekendt i ligningen gælder følgende: Eks. - Lighedstegnet = betyder at det der er på den ene side af lighedstegnet er det samme som det der står på den anden side. Der skal altså hele tiden være balance i mellem den ene side og den anden side. - Målet med ligningsløsning er at den ubekendte (ofte x) kommer til at stå alene på den ene side af lighedstegnet og tal og regnesymboler står på den anden side. - Et tal eller et bogstav kan flyttes fra den ene side af lighedstegnet til den anden ved at ændre fortegn (gære det modsatte: plus minus, division gange eller anden potens kvadratrod). - Vær opmærksom på at vi i matematikken undlader gangetegnet mellem tal og bogstav (4x = 4 x). 3,7x 7 = 3,35 3,7x = 3, ,7x = 3, ,7x = 20,35 3,7 x / 3,7 = 20,35 / 3,7 x = 20,35 / 3,7 x = 5,5 Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 5 af 6

16 Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Matematik Niels Mark Aagaard Side 6 af 6