Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen, at den kan bruges i begyndelsen af gymnasieforløbet til at bygge bro mellem grundskolen og gymnasiet. Nogle elever har brug for at arbejde med de oprindelige opgaver fra afgangsprøverne, mens andre straks kan gå i gang med opgaverne på gymnasieniveau. Opgavesamlingen kan også bruges i den sidste del af grundforløbet til at udfordre nogle af de elever, der skal begynde på en gymnasial uddannelse. Det gennemgående tema i opgaverne er primært sammenhænge (særligt lineær og eksponentiel sammenhæng). Opgaverne er kategoriseret med henholdsvis A, B og C: A. De udvalgte oprindelige opgaver fra folkeskolens afgangsprøve, inkl. svarark B. Opgaverne, som de kunne se ud i en matematikbog i gymnasiet C. Opgaverne, som de kunne se ud i gymnasiet i et skriftligt eksamensopgavesæt i matematik på B-niveau Indhold Opgaver fra 2017... 2 Opgaver fra 2016... 7 Opgaver fra 2015... 11 Opgaver fra 2014... 17 Opgaver fra 2013... 21 Opgaver fra 2012... 27 Opgaver fra 2011... 34 Opgaver fra 2010... 42 Opgaver fra 2009... 48 side 1
Opgaver fra 2017 Opgave 2017-1A (Folkeskolens afgangsprøve, 9. klasse) side 2
Opgave 2017-1B: Fremstilling af æblemost Når man fremstiller 10 liter æblemost, skal man bruge 20 kg æbler. a) Indfør passende variable og opstil en ligning, der beskriver sammenhængen mellem produktionen af æblemost i liter og mængden af æbler i kg. b) Bestem hvor mange liter æblemost, der kan fremstilles af 112 kg æbler. c) Bestem hvor mange kg æbler, der skal til for at fremstille 25 kg æblemost. Opgave 2017-1C (version 1) Det koster 75 kroner at få et mosteri til at starte saftpresseren. Derudover koster det 3,75 kroner per kilo æbler, der presses til saft. Indfør passende variable og opstil en forskrift for den samlede pris for presning af æbler. Opgave 2017-1C (version 2) I nedenstående tabel ses en oversigt over saftudbyttet i liter ved presning af forskellige mængder æbler i kg. Antal kg æbler 16 25 37 62 88 96 Antal liter æblemost 8 13 18 30 45 49 I en model antages det, at æblemostproduktionen kan beskrives ved en lineær sammenhæng f(x) = a x + b, hvor f(x) angiver antal liter æblemost, og x angiver mængden af æbler i kg. a) Benyt alle tabellens data til at bestemme konstanterne a og b. b) Forklar betydningen af konstanten a. side 3
Opgave 2017-2A (Folkeskolens afgangsprøve, 10. klasseprøve) side 4
Opgave 2017-2B: Vasketøj og udledning af CO2 Når man vasker tøj i vaskemaskinen, medfører det en udledning af CO2, der er afhængig af vasketemperaturen. En vask på 60 C fører til udledning af 1,1 kg CO2, mens en vask på 40 C fører til udledning af 0,8 kg CO2. Det oplyses, at familie A vasker én vask på 60 C og x vaske på 40 C. f(x) betegner den samlede CO2-udledning i kg, og x er antallet af vaske ved 40 C. a) Opskriv en funktion f(x), der beskriver sammenhængen mellem den samlede CO2- udledning og antallet af vaske ved 40 C. Det oplyses, at der gælder følgende sammenhæng mellem temperatursænkningen, T, og CO2 besparelsen i kg pr. vask, g(t). g(t) = 0,015 T b) Udregn g(20). Forklar, hvad tallet fortæller. Familie B vasker én vask ved 40 C og x vaske ved 20 C. c) Opskriv en sammenhæng, h(x), der beskriver sammenhængen mellem den samlede CO2-udledning og antallet af vaske ved 20 C. d) Hvor mange vaske ved den lave temperatur (familie A 40 C og familie B 20 C) kan de to familier vaske hver især, for at holde deres CO2 udledning på højest 3,5 kg? side 5
Opgave 2017-2C: Vasketøj og udledning af CO2 Når en familie vasker tøj, medfører det udledning af CO 2. Mængden af udledt CO 2 i kg, er omvendt proportional med mængden af vasketøj i kg. CO 2 i kg 2 11 c Vasketøj i kg M 0,1 10 a) Bestem tallene M og c i tabellen ovenfor. Begrund dine svar. CO 2 -udledningen bliver mindre, når temperaturen på en tøjvask sænkes. CO 2 -besparelsen i kg er proportional med temperatursænkningen i. Temperatursænkning i 10 20 T CO 2 - besparelse i kg B 0,3 0,6 b) Bestem tallene B og T i tabellen ovenfor. Begrund dine svar. side 6
Opgaver fra 2016 Opgave 2016-1A (Folkeskolens afgangsprøve, 9. klasse) side 7
Opgave 2016-1B: Leje af cykler Hos CICLI DEGANI i Italien koster det 36 euro at leje en cykel i 2 dage og 72 euro for 5 dage. Det oplyses, at prisen for lejen af en cykel hos CICLI DEGANI kan beskrives ved en lineær funktion Hvor f(x) er prisen for leje af en cykel i x dage. f(x) = a x + b a) Bestem a og b i forskriften for funktionen f. b) Hvor meget skal man betale for at leje en cykel 1 dag? Opgave 2016-1C (version 1): Leje af cykler Det oplyses at prisen for at leje cykler er givet ved følgende model f(x) = 12 x + 15 f(x) betegner prisen i euro og x er antal dage cyklen lejes. a) Redegør for, hvad konstanterne i forskriften fortæller om lejen af cyklerne Opgave 2016-1C (version 2) Givet følgende 2 funktioner f(x) = 24 x + 24 og g(x) = 26 x + 12 a) Find skæringspunktet mellem graferne for de to funktioner side 8
Opgave 2016-2A (Folkeskolens afgangsprøve, 10. klasse) side 9
Opgave 2016-2B: Mads undersøger priser i et fitnesscenter I et fitnesscenter koster oprettelsen af et medlemskab for en voksen 249 kr. Herefter koster det 169 kr. pr måned. a) Opstil en sammenhæng mellem den samlede pris man i alt skal betale, y, og det antal måneder, x, man har været medlem. Hvis man er under 18 år, kan sammenhængen mellem den samlede pris, y, som man i alt skal betale, og det antal måneder, x, man har været medlem, beskrives ved: y = 165 x + 99 b) Sammenlign forskriften med en lineær sammenhæng: y = a x + b. Hvilke værdier har a og b? c) Forklar betydningen af tallene 165 og 99. En familie består af 2 voksne og en ung under 18 år, som alle vil i fitnesscenter. d) Forklar, hvorfor den samlede pris, som familien skal betale, kan beskrives ved følgende sammenhæng (y er prisen i kr., mens x er antallet af måneder). l: y = 503 x + 597 I fitnesscenteret har de også et familiemedlemsskab. Her kan den samlede pris beskrives ved følgende sammenhæng: m: y = 599 x + 399 e) Tegn grafen for de to sammenhænge l og m i samme koordinatsystem og undersøg, om det kan betale sig for familien have et familiemedlemsskab. Opgave 2016-2C: Mads undersøger priser i et fitnesscenter I et fitnesscenter kan den samlede udgift for et familiemedlemsskab som funktion af det antal måneder, en familie er medlem, beskrives ved følgende funktion: f(x) = 599 x + 399 Hvor f(x) er udgiften og x er antallet af måneder en familie er medlem. a) Hvad er en families udgift for at være medlem i et fitnesscenter i 12 måneder? b) Hvor lang tid går der, før familiens samlede udgifter til fitnesscenter overstiger 10.000 kr. side 10
Opgaver fra 2015 Opgave 2015-1A: Mobilabonnement (Folkeskolens afgangsprøve, 9. klasseprøve) side 11
Opgave 2015-1B: Mobilabonnement Et mobilabonnement beskrives således i en annonce: a) Hvad er prisen (uden oprettelse) for en måned, hvor der er brugt 5 timers taletid? Lad y være abonnementsprisen (uden oprettelse) i kroner på en måned, hvor taletiden er x minutter. b) Udfyld nedenstående skema: x (min) 0 100 240 280 320 y (kr.) 117,50 c) Tegn en graf, der viser, hvordan abonnementsprisen (uden oprettelse) afhænger af taletiden i minutter. Ved telefonselskabet Snik-Snak betales kun for taletiden. Til gengæld er prisen 55 øre pr. minut. d) Indtegn i samme koordinatsystem en graf, der viser sammenhængen mellem taletiden og prisen ved telefonselskabet Snik-Snak. e) Hvornår kan det betale sig at have abonnement ved telefonselskabet Snik-Snak? side 12
Opgave 2015-1C: Mobilabonnement For et mobilabonnement er der en lineær sammenhæng mellem prisen y (i kroner) og taletiden x (i minutter) y = ax + b Det koster 58,60 kroner at tale i 2 timer, og det koster 109 kroner at tale i 5 timer. a) Bestem tallene a og b. b) Hvad fortæller tallene a og b? side 13
Opgave 2015-2A: Patienter med forbrændinger (Folkeskolens afgangsprøve, 10. klasse) side 14
Opgave 2015-2B: Patienter med forbrændinger Når patienter indlægges på sygehuset efter en forbrænding, skal de have tilført væske gennem drop alt efter hvor slemt de er forbrændt. For patient A er der følgende sammenhæng mellem tiden, x, i minutter og den mængde væske, y, i ml, som patient A får tilført y = 8 x a) Hvor meget væske får patient A i løbet af 60 minutter? b) Patient A har modtaget 3000 ml væske. Hvor lang tid har patient A fået tilført væske? Patient B skal have tilført væske gennem drop med 5 ml pr. minut. c) Opstil en sammenhæng mellem tiden, x, i minutter og den tilførte væskemængde, y, i ml for patient B. Nedenstående graf viser væsketilførslen for patient B. På et tidspunkt i behandlingen opdages det, at patient B er værre forbrændt end først antaget, hvorefter væsketilførslen øges. d) Hvornår ændres væsketilførslen? e) Indtegn i samme koordinatsystem sammenhængen mellem tiden og den tilførte væske for patient A. f) Hvor lang tid går der, før patient A og patient B har modtaget samme mængde væske? side 15
Opgave 2015-2C: Patienter med forbrændinger Det oplyses, at en patient, der har fået forbrændinger, skal have væske gennem et drop, der tilfører patienten 8 ml væske pr. minut. Indfør selv passende variable og opstil en sammenhæng mellem tiden i minutter og det antal milliliter væske, som en patient får tilført gennem droppet. side 16
Opgaver fra 2014 Opgave 2014-1A: 9.A sælger kalendere (Folkeskolens afgangsprøve, 9.klasse) side 17
side 18
Opgave 2014-1B: 9.A sælger kalendere 9. A vil tjene flere penge til en hyttetur ved at sælge kalendere for et firma. Klassen kan vælge mellem to muligheder: Mulighed 1: 9. A kan sælge hver kalender for 40 kr. De beholder 15 kr. for hver kalender, de sælger, og skal give 25 kr. til firmaet. 9. A skal levere de kalendere, de ikke sælger, tilbage til firmaet. a) Opskriv en funktion, der viser hvor meget 9. A tjener ved kalendersalg, idet x er antal solgte kalendere, og f(x) er det beløb de tjener i alt. Mulighed 2: 9. A kan sælge hver kalender for 40 kr. De beholder 20 kr. for hver kalender, de sælger, og skal give 20 kr. til firmaet. 9. A skal også give 20 kr. til firmaet for hver kalender, de ikke sælger. Ved mulighed 2 skal 9.A bestille 600 kalendere Forskriften: g(x) = 20x (600 x) 20 kan bruges til at beregne hvor meget 9.A tjener i alt, når de sælger x kalendere. b) Beregn hvor meget 9.A tjener ved mulighed 2, hvis de sælger 375 kalendere. c) Tegn graferne for f(x) og g(x) i samme koordinatsystem. x-aksen skal gå fra 0 til 600. d) Aflæs på graferne hvor mange kalendere 9.A skal sælge, før det kan betale sig at vælge mulighed 2. e) Omskriv g(x) til formen g(x) = ax + b f) Tjek svaret fra d) ved beregning! (Hint: sæt de to funktioner lig hinanden og løs ligningen) side 19
Opgave 2014-1C: 9.A sælger kalendere 9. A sælger kalendere. Hvis de sælger 350 kalendere, tjener de 2000 kr., og hvis de sælger 500 kalendere, tjener de 8000 kr. Sammenhængen mellem kalendersalg og det, 9.A tjener, kan beskrives ved modellen: f(x) = ax + b Hvor x er antal solgte kalendere, og f(x) er indtjeningen i kr. a) Bestem konstanterne a og b. side 20
Opgaver fra 2013 Opgave 2013-1A: Mikaels løbeture (Folkeskolens afgangsprøve, 9. klasse) Mikael løber ture flere gange om ugen. På løbeturene medbringer han en mobiltelefon med et program, der kan måle, hvor lang tid han løber, og hvor langt han løber. Efter hver løbetur kan Mikael få vist målingerne som en kurve. Kurven herunder viser mobiltelefonens målinger efter en af Mikaels løbeture. a) Aflæs på kurven, hvor lang tid Mikael løb, og hvor langt han løb. En anden dag løb Mikael 5 km på 25min. Undervejs på denne løbetur måtte han stoppe to gange for rødt lys. Han løb hurtigst på den sidste kilometer af løbeturen. b) Tegn en kurve, der viser, hvordan mobiltelefonens målinger kunne se ud efter denne løbetur. Mikael vil gerne kunne løbe 5 km med en konstant fart på 15 km/t. c) Tegn en kurve, der viser, hvordan mobiltelefonens målinger vil se ud, hvis Mikael har løbet 5 km med en konstant fart på 15 km/t Hvis Mikael løber med en konstant fart på 15 km/t, er der en lineær sammenhæng mellem tiden i minutter og længden i kilometer. d) Du skal finde frem til en forskrift for en funktion, som beskriver denne lineære sammenhæng. side 21
Svarark til opgave 2013-1A (Mikaels løbeture) side 22
Opgave 2013-1B Elev A løber en tur omkring en sø. Der er følgende sammenhæng mellem tiden og hvor langt, elev A er løbet: Hvor t er tiden i minutter og y er længden i km. y = 0,2083 t hvor 0 t 24 a) Hvad kaldes den matematiske sammenhæng, der er mellem t og y? b) Hvad er betydningen af konstanten 0,2083? Elev B løber med 0,25 km pr. minut rundt om samme sø som elev A. c) Opskriv en sammenhæng mellem tiden, t, og længden, y, som elev B er løbet. Løberuten er 4km, og eleverne starter det samme sted samtidig. d) Hvor meget tid bruger elev A mere end elev B på at løbe ruten? Opgave 2013-1C Det oplyses, at x og y er proportionale. Tabellen viser nogle sammenhørende værdier af x og y x 6 24 y 3 5 Udfyld resten af tabellen. side 23
Opgave 2013-2A: Solenergi (Folkeskolens afgangsprøve, 10.klasse, 2013) Tabellen herunder viser, hvordan produktionen af solenergi i Danmark har udviklet sig i perioden 1980-2010. Tallene er angivet i terajoule (TJ). a) Tegn en graf, der viser, hvordan produktionen af solenergi har udviklet sig fra 1980 til 2010. b) Hvor meget solenergi vil der blive produceret i 2015, hvis udviklingen fortsætter? Du skal begrunde dit svar. Det årlige energiforbrug til varme og el var i gennemsnit 26500 kwh pr. familie i 2010. c) Hvor mange familier kunne få dækket deres energiforbrug til varme og el ved soleenergi i 2010? side 24
Opgave 2013-2B: Solenergi Tabellen herunder viser, hvordan produktionen af solenergi i Danmark har udviklet sig i perioden 1980-2010. Tallene er angivet i terajoule (TJ). År 1980 1990 1995 2000 2005 2008 2009 2010 Solenergi (TJ) 50 100 213 335 419 519 585 653 a) Tegn i et koordinatsystem en graf, hvor du lader x være antal år efter 1980, og y være solenergien i TJ. Det oplyses, at sammenhængen mellem x og y med god tilnærmelse kan beskrives som en eksponentiel udvikling: y = b a x b) Brug regression til at bestemme en forskrift for denne udvikling og bestem konstanterne a og b. c) Hvad fortæller konstanten a om solenergiproduktionen i Danmark? d) Bestem energiproduktionen i 1998 ifølge modellen. e) Bestem hvornår produktionen af solenergi ifølge modellen vil overstige 1000 TJ. f) Bestem produktionen af solenergi i 2012 ifølge modellen. Kommentér modellen, når det oplyses, at produktionen i 2012 var 6307 TJ side 25
Opgave 2013-2C: Solenergi Tabellen herunder viser, hvordan produktionen af solenergi i Danmark har udviklet sig i perioden 1980-2010 År 1980 1990 1995 2000 2005 2008 2009 2010 Solenergi (TJ) 50 100 213 335 419 519 585 653 Det oplyses, at sammenhængen mellem antal år efter 1980 og solenergien i TJ med god tilnærmelse kan beskrives ved en eksponentiel sammenhæng på formen: a) Bestem konstanterne a og b y = b a x b) Beregn fordoblingskonstanten og forklar hvad den siger om produktionen af solenergi i Danmark. c) Bestem produktionen af solenergi i 2012 ifølge modellen. Kommentér modellen, når det oplyses, at solenergiproduktionen i 2012 var 6307 TJ. side 26
Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2017 Opgaver fra 2012 Opgave 2012-1A: Højden af en silo (Folkeskolens afgangsprøve, 9. klasse) a) b) 1.1 c) d) side 27
Opgave 2012-1B: Højden af en silo a) Redegør for, at trekant ADE og trekant ABC er ensvinklede. b) Bestem siloens højde. c) Bestem AD og vinkel A Opgave 2012-1C På figuren ses to trekanter. Nogle af målene er angivet på figuren. a) Bestem BC, AD og vinkel A side 28
Opgave 2012-2A: Simons kondital (Folkeskolens afgangsprøve, 9. klasse) a) b) c) side 29
d) Opgave 2012-2B For et menneske aftager dets maksimale puls lineært med det pågældende menneskes alder. Denne sammenhæng kan beskrives ved følgende regneudtryk P max = 208 0,7 t hvor P max er den maksimale puls og t er alderen målt i år. a) Bestem den maksimale puls for en 15-årig b) Bestem hvilken alder, der svarer til en maksimal puls på 194 Sammenhængen mellem et menneskes maksimale arbejdsbelastning A max og maksimale iltoptag O max er givet ved følgende udtryk: O max = A max 0,23 60 21100 + 0,25 c) Reducér udtrykket d) Beregn det maksimale iltoptag for en person hvis maksimale arbejdsbelastning er 262 e) Isolér A max i udtrykket side 30
Opgave 2012-2C For et menneske afhænger dets maksimale puls af det pågældende menneskes alder. I en model kan den maksimale puls som funktion af alderen beskrives ved f(t) = 208 0,7 t hvor f(t) er den maksimale puls og t er alderen målt i år. Bestem den maksimale puls for en 15-årig Bestem hvilken alder, der svarer til en maksimal puls på 194 Gør rede for, hvad konstanterne i forskriften for f(t) fortæller om den maksimale puls Sammenhængen mellem et menneskes maksimale arbejdsbelastning A max og maksimale iltoptag O max er givet ved følgende udtryk: O max = A max 0,23 60 21100 + 0,25 En persons kondital K kan beregnes ved hjælp af følgende udtryk, hvis man kender A max og den pågældende persons vægt m: K = 1000 O max m Opskriv et udtryk for konditallet som funktion af den maksimale arbejdsbelastning og reducér mest muligt side 31
Opgave 2012-3A: Iskuglen (Folkeskolens afgangsprøve, 10.klasse) side 32
Opgave 2012-3B: Iskuglen Nedenstående tabel viser de sammenhørende værdier for en iskugles diameter i millimeter som funktion af tiden i minutter. Tid i minutter Diameter i millimeter 0 5 12 17 24 29 35 53 52 49 47 44 41 38 Det oplyses at sammenhængen med god tilnærmelse kan beskrives ved en lineær model: y = ax + b hvor y er iskuglens diameter i millimeter, x er tid i minutter. a) Afsæt punkterne i Excel og foretag lineær regression. Aflæs herudfra konstanterne a og b samt forklaringsgraden R 2. b) Hvad viser R 2 -værdien om sammenhængen mellem iskuglens diameter i millimeter og tiden i minutter? c) Hvad viser hældningskoefficienten a om iskuglens diameter? d) Beregn y-værdien når x = 15 og forklar hvad denne y-værdi betyder. e) Beregn x-værdien når y = 30 og forklar hvad denne x-værdi betyder. Opgave 2012-3C: Iskugle Nedenstående tabel viser sammenhørende værdier for en iskugles diameter D (i millimeter) som funktion af tiden t (i minutter). t 0 5 12 17 24 29 35 D 53 52 49 47 44 41 38 Det oplyses at sammenhængen med god tilnærmelse kan beskrives ved en lineær model: D(t) = at + b a) Bestem konstanterne a og b og forklar konstanternes betydning. b) Hvor stor er iskuglens diameter efter 15 minutter? c) Hvor lang tid går der før iskuglens diameter er 30 millimeter? side 33
Opgaver fra 2011 Opgave 2011-1A: Sammenhænge i kvadrater (Folkeskolens afgangsprøve, 9.klasse) Grafen viser sammenhængen mellem sidelængde (x) og omkreds (y) i et kvadrat. a) Hvor stor er omkredsen, når sidelængden i et kvadrat er 2,5 cm? Punktet (4, 16) ligger på grafen. b) Hvilke oplysninger om et kvadrat giver punktet (4,16)? c) Beskriv både med ord og med en funktionsforskrift sammenhængen mellem sidelængden og omkredsen i et kvadrat Rektangler med et areal på 16 cm 2 kan have forskellige længder og bredder. På svararket er påbegyndt en tabel, der viser sammenhængen mellem længde (x) og bredde (y) for rektangler med et areal på 16 cm 2. d) Udfyld de tomme felter i tabellen. e) Tegn i et koordinatsystem det grafiske billede af sammenhængen mellem længde (x) og bredde (y) for rektangler med et areal på 16 cm 2. f) Opstil en funktionsforskrift, der viser sammenhængen mellem længde (x) og bredde (y) for rektangler med et areal på 16 cm 2. side 34
Svarark til opgave 2011-1A (Sammenhænge i kvadrater) Opgave 2011-1B: Sammenhænge i kvadrater Grafen viser sammenhængen mellem sidelængde og omkreds i et kvadrat. a. Indfør passende variable og opskriv en forskrift for sammenhængen mellem omkredsen og sidelængden. b. Vis at punktet (17, 68) ligger på grafen, og forklar hvilke oplysninger punktet giver? c. Indfør passende variable og opskriv en regneforskrift for sammenhængen mellem længde og bredde for rektangler med et areal på 16 cm 2. Opgave 2011-1C: Sammenhænge i kvadrater Indfør passende variable og opskriv en ligning, der kan bruges til at beregne arealet af et kvadrat, hvis man får oplyst omkredsen. side 35
Opgave 2011-2A: Mad til to søkøer (Folkeskolens afgangsprøve, 10. klasse) I Randers Regnskov er der to søkøer. Hver søko vejer ca. 700 kg. I naturen spiser søkøer vandplanter, men i Randers Regnskov får de en anden kost. En dag får søkøerne i alt 15 kg salat, 5 kg kål, 5 kg majs og 5 kg gulerødder. De spiser begge lige meget af hver fødevare. a. Hvor mange kilogram spiser hver søko den dag? b. Hvor mange kilojoule indeholder hver søkos kost? Det daglige energibehov i kilojoule for en pige på 16 år kan beskrives med funktionsforskriften f(x) = 81,5 x + 2664 Hvor x angiver pigens vægt i kilogram. c. Indtegn grafen for funktionen i et koordinatsystem. d. Bestem det daglige energibehov for en 16-årig pige på 60 kg. Ida vil prøve at sammensætte en menu, der kun består af salat, kål, majs og gulerødder. Menuen skal netop dække hendes daglige energibehov på ca. 7800 kj. e. Giv et forslag til, hvor mange kilogram af hver fødevare der skal indgå i Idas menu. side 36
Opgave 2011-2B En model for det daglige energibehov i kj for en pige på 16 år er beskrevet ved f(x) = 81,5 x + 2664 hvor x angiver pigens vægt i kg. a. Tegn grafen for funktionen. b. Benyt modellen til at bestemme det daglige energibehov for en 16-årig pige på 60 kg. c. Benyt modellen til at bestemme en 16-årig piges vægt når hendes energibehov er 6960 kj. Opgave 2011-2C En model for det daglige energibehov i kj for en pige på 16 år er beskrevet ved f(x) = 81,5 x + 2664 hvor x angiver pigens vægt i kg a. Benyt modellen til at bestemme det daglige energibehov for en 16-årig pige på 60 kg. b. Benyt modellen til at bestemme en 16-årig piges vægt, når hendes energibehov er 6960 kj. side 37
Opgave 2011-3A: Til sundhedsplejerske (Folkeskolens afgangsprøve, 9. klasse) Line skal til sundhedsplejerske med sin klasse. I skemaet på svararket er resultatet af sundhedsplejerskens målinger. a) Brug oplysningerne på svararket, og beregn vægtforskellen mellem den elev, der vejer mest, og den elev, der vejer mindst. Fedtprocenten angiver, hvor stor en procentdel af vægten der er fedt. b) Hvor mange kilogram af elev nr. 1 s vægt er fedt? c) Beregn BMI for elev nr. 14. d) Opstil en formel til beregning af BMI, hvor vægten i kilogram kaldes m, og højden i meter kaldes h. e) Hvor mange af eleverne har et BMI, som viser, at deres vægt er passende? Elev nr. 15 vil gerne have et BMI, der er mindre end 25. f) Hvor mange kilogram skal elev nr. 15 tabe sig for at få et BMI på 24? side 38
Svarark til opgave 2011-3A (Til sundhedsplejerske) side 39
Opgave 2011-3B (version 1): Til sundhedsplejerske Tabellen viser sammenhængen mellem nogle 15-årige drenges BMI (y) og deres målte fedtprocent (x). Fedtprocent x 4,3 6,1 6,8 9 10,7 17,3 21,9 BMI y 15,5 18 18,5 19,4 20,4 24,6 26,1 a. Afbild sammenhængen i et koordinatsystem. b. Gør rede for, at BMI er en lineær funktion af fedtprocenten. c. Bestem ved hjælp af lineær regression en ligning for sammenhængen mellem drengenes målte fedtprocent og BMI. Opgave 2011-3B (version 2): Til sundhedsplejerske BMI beregnes som forholdet mellem en persons masse og kvadratet på højden. Hvis BMI er over 25 er man overvægtig. a. Opstil en formel til beregning af BMI, hvor massen i kg kaldes m, og højden i m kaldes h. b. Bestem BMI for en person, som vejer 60 kg og er 1,53m høj. Er personen overvægtig? c. Denne person vil gerne have et BMI på 24. Hvor mange kg skal hun tabe sig. d. Bestem højden for en anden person, som vejer 56 kg og har et BMI på 21,3. side 40
Opgave 2011-3C (version 1): Til sundhedsplejerske BMI beregnes som forholdet mellem en persons masse og kvadratet på højden. a. Indfør passende variable og opstil en regneforskrift for BMI. b. Bestem højden for en person, som vejer 56 kg og har et BMI på 21,3. c. Hvor mange procent ændrer BMI sig hvis højden øges med 6 % og personen vejer stadig det samme. Opgave 2011-3C (version 2): Til sundhedsplejerske Tabellen viser sammenhængen mellem nogle 15-årige drenges BMI og deres målte fedtprocent. Fedtprocent 4,3 6,1 6,8 9 10,7 17,3 21,9 BMI 15,5 18 18,5 19,4 20,4 24,6 26,1 a. Det oplyses, at BMI som funktion af fedtprocenten kan beskrivelse ved følgende sammenhæng y = ax + b. Bestem konstanterne a og b. side 41
Opgaver fra 2010 Opgave 2010-1A: Bygningen af Den Kinesiske Mur (Folkeskolens afgangsprøve, 9.klasse) Flere steder består Den Kinesiske Mur af to ydermure og et mellemrum med stenfyld. Det lodrette tværsnit af mellemrummet har form som et ligebenet trapez. Trapezet har mål som vist på skitsen. a) Beregn arealet af trapezet. En kubikmeter stenfyld har en masse på ca. 1,5 ton. b) Vis ved beregning, at massen af de sten, der er fyldt i 2 m af murens mellemrum, er ca. 110 ton. På svararket er påbegyndt en tabel, der viser sammenhængen mellem murens længde og massen af stenfyldet. c) Udfyld tabellen på svararket. d) Tegn grafen for sammenhængen mellem længden af muren og massen af stenfyldet. Svararket kan benyttes. e) Opstil en funktionsforskrift, der viser sammenhængen mellem længden af muren og massen af stenfyldet. side 42
Svarark til opgave 2010-1A (Bygningen af den kinesiske mur) side 43
Opgave 2010-1B: Bygningen af Den Kinesiske Mur Flere steder består Den Kinesiske Mur af to ydermure og et mellemrum med stenfyld. Det lodrette tværsnit af mellemrummet har målene, som vist på skitsen. a) Beregn tværsnitsarealet af det stenfyldte mellemrum. En kubikmeter stenfyld har en masse på 1,5 ton. b) Hvad er massen af de sten, der er fyldt i 2 m af murens mellemrum? c) Tegn grafen for sammenhængen mellem længden L af muren og massen m af stenfyldet. d) Gør rede for at L er proportional med m. e) Opstil en ligning for sammenhængen mellem længden af muren og massen af stenfyldet. Opgave 2010-1C: Bygningen af Den Kinesiske Mur Flere steder består Den Kinesiske Mur af to ydermure og et mellemrum med stenfyld. Massen M af stenfyldet, målt i ton, i den kinesiske mur er proportional med længden af muren. a) Opskriv et regneudtryk for M, som funktion af længden, L, når massen af de sten, der er fyldt i 2 m af murens mellemrum, er 110 ton. side 44
Opgave 2010-2A: Affald på Roskilde Festival (Folkeskolens afgangsprøve, 10.klasse) I løbet af hele festivalperioden i 2009 blev der på Roskilde Festival indsamlet 1538 ton affald. Den samlede affaldsmængde var fordelt med 54 ton før, 594 ton under og 890 ton efter festivalen. Roskilde Festival har det mål at nedbringe affaldsmængden på de 890 ton, der skal samles efter festivalen. Målet er at nedbringe mængden med 5 % om året. På svararket er påbegyndt en tabel, der skal vise det ønskede fald i affaldsmængden. a) Udregn affaldsmængderne for årene frem til 2020. Brug et IT-værktøj eller svararket. b) Tegn en graf der viser det ønskede fald i affaldsmængden. Brug et IT-værktøj eller svararket. c) I hvilket år vil vægten af affaldsmængden være under 700 ton, hvis det går som ønsket? d) Opstil en funktionsforskrift, der viser sammenhængen mellem antal år og den ønskede affaldsmængde. side 45
Svarark til opgave 2010-2A (Affald på Roskildefestival) side 46
Opgave 2010-2B: Affald på Roskilde Festival På Roskilde Festival i 2009 blev der i alt samlet 890 ton affald efter festivalen var slut. Roskilde Festival har et mål om at nedbringe affaldsmængden med 5 % om året. a) Opstil et funktionsudtryk for sammenhængen mellem affaldsmængden og antal år, hvor x svarer til antal år efter 2009. b) Beregn affaldsmængden i år 2021, hvis udviklingen går som ønsket. c) Beregn det årstal, hvor affaldsmængden vil være under 700 ton, hvis udviklingen går som ønsket. d) Indtegn grafen for funktionsudtrykket i et koordinatsystem og tjek dine beregninger fra opgave b) og c) ved at aflæse på grafen. Opgave 2010-2C: Affald på Roskilde Festival I 2009 indsamlede arrangørerne af Roskilde Festival 890 ton affald efter festivalen var slut. Hvert år efter 2009 indsamler arrangørerne på Roskilde Festival 5 % mindre affald. a) Bestem hvor meget affald arrangørerne indsamler 2 år senere. b) Indfør passende betegnelser og opstil et matematisk udtryk, der beskriver affaldsmængden som funktion af tiden i år. c) Bestem hvor mange år der går, før Roskilde Festival har halveret affaldsmængden. side 47
Opgaver fra 2009 Opgave 2009-1A: Golfjern (Folkeskolens afgangsprøve, 9. klasse, 2009) Lis har ni forskellige golfjern. Hvert jern har et nummer og et vinkelmål i grader. Vinklen v har betydning for, hvor højt bolden kan komme, når man slår med jernet. På de jern, Lis bruger, er der disse vinkler: Jern 1-jern 2-jern 3-jern 4-jern 5-jern 6-jern 7-jern 8-jern 9-jern Vinkelmål 12 16 20 24 28 32 36 40 44 Der er en sammenhæng mellem jernets nummer og jernets vinkelmål. a) Indtegn i et koordinatsystem en graf, der viser sammenhængen mellem jernets nummer og vinkelmål. Svararket kan benyttes. b) Angiv en ligning for sammenhængen mellem jernets nummer og vinkelmål. side 48
Svarark til opgave 2009-1A (Golfjern) side 49
Opgave 2009-1B: Golfjern Lis har ni forskellige golfjern. Hvert jern har et nummer, n og et vinkelmål, v i grader. Vinklen v har betydning for, hvor højt bolden kan komme, når man slår med jernet. På de jern, Lis bruger, er der disse vinkler: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 v 12 16 20 24 28 32 36 40 44 a) Afbild tallene i et koordinatsystem b) Gør rede for, at v er en lineær funktion af n, og tegn grafen for sammenhængen. c) Bestem ligningen for sammenhængen mellem jernets nummer og vinkelmål. d) Hvilket vinkelmål ville svare til et jernnummer 5,5? e) Et jern har vinkelmålet 50, hvilket nummer svarer det til? Opgave 2009-1C: Golfjern Tabellen viser for forskellige golfjern sammenhængen mellem jernets nummer n og vinkel, V, der har betydning for, hvor højt bolden kan komme, når man slår med jernet. Nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Vinkel 12 16 20 24 28 32 36 40 44 Det oplyses, at sammenhængen med god tilnærmelse kan beskrives som en lineær sammenhæng V(n). a) Bestem en forskrift for V. side 50
Opgave 2009-2A: Mønter i omløb (Folkeskolens afgangsprøve, 10. klasse) Værdien af mønter i omløb kaldes for møntomløbet. Grafen viser møntomløbet fra 1996 til 2006. Grafen er også vist på svararket. Den 1. januar 1996 var møntomløbet 3 400 mio. kr. a) Afmærk og aflæs på svararket møntomløbet den 1. januar 2005. Udviklingen i møntomløbet siden 1996 kan beskrives ved denne model: Model 1: y = 210 (x 1996) + 3400 x: Årstal y: Møntomløb i mio. kr. b) Indtegn grafen for model 1 i koordinatsystemet på svararket. Udviklingen i møntomløbet siden 1996 kan også beskrives ved denne model: Model 2: y = 3400 1,05 (x 1996) c) Indtegn grafen for model 2 i koordinatsystemet på svararket. d) Begrund hvilken af de to modeller, der bedst beskriver den virkelige udvikling i møntomløbet for årene 1996 2006 side 51
Svarark til opgave 2009-2A (Mønter i omløb) side 52
Opgave 2009-2B: Mønter i omløb Værdien af mønter i omløb kaldes for møntomløbet. Den 1. januar 1996 var værdien af møntomløbet 3400 mio. kr. Møntomløbet siden 1996 kan med god tilnærmelse beskrives ved denne model: y 1 = 3400 1,05 x hvor x er antal år efter 1996 og y 1 er møntomløbet i mio. kr. a) Forklar hvad konstanterne (3400 og 1,05) siger om udviklingen i møntomløbet siden 1996. b) Beregn møntomløbet i år 2010, forudsat at udviklingen fortsætter. c) Beregn det årstal hvor møntomløbet vil være 4700 mio. kr., forudsat at udviklingen fortsætter. Udviklingen i møntomløbet siden 1996 kan også beskrives ved denne model: y 2 = 210x + 3400 hvor x er antal år efter 1996 og y 2 er møntomløbet i mio. kr. d) Indtegn graferne for de to modeller i nedenstående koordinatsystem. Vurder hvilken af de to modeller som beskriver den virkelige udvikling bedst. Overvej: Vil den valgte model kunne beskrive udviklingen i møntomløbet til evig tid? side 53
Opgave 2009-2C (version 1): Mønter i omløb Værdien af mønter i omløb kaldes for møntomløbet. Udviklingen siden 1996 i møntomløbet, M, målt i mio. kr., kan beskrives ved følgende model: M(x) = 210 x + 3400, hvor x betegner antal år efter 1996. a) Indtegn i et koordinatsystem grafen for modellen. b) Gør rede for, hvad konstanterne i modellen fortæller om udviklingen i møntomløbet. c) Benyt modellen til at forudsige møntomløbet i 2005, samt til at forudsige, hvornår møntomløbet overstiger 6000 mio. kr. Opgave 2009-2C (version 2): Mønter i omløb Værdien af mønter i omløb kaldes for møntomløbet. Udviklingen siden 1996 i møntomløbet, M, målt i mio. kr., kan beskrives ved følgende model: M(x) = 3400 1,05 x, hvor x betegner antal år efter 1996. a) Beskriv, hvilken information den matematiske model giver om udviklingen i møntomløbet. side 54