Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Transkript

1 Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1

2 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer og koordinatsystemer Eksempel på opgave Et supermarked sælger kartofler for kr. pr. kg. Lav en graf i et koordinatsystem. Billige kartofler Kun kr. pr. kg - Vej selv af - Først beregnes nogle priser: - 1 kg kartofler koster 1 kr. - kg kartofler koster kr. - og så videre.. og kg kartofler koster naturligvis kr. Man kan lave en tabel som denne: Antal kg kartofler 1 3 Pris i kr Ud fra tallene i tabellen kan man lave tegningen herunder: , kg koster kr 1 3 Antal kg kartofler Prikkerne på tegningen svarer til tal-parrene i tabellen. Men man behøver ikke at købe et helt antal kg kartofler. Det viser den skrå streg gennem prikkerne. Man kan f.eks. se, at, kg kartofler koster kr. Tal-akserne og gitteret på tegningen kaldes et koordinat-system. Prikkerne kaldes punkter. Den skrå streg kaldes en graf. Lektion 7 Side

3 Et koordinatsystem har en vandret og en lodret tal-akse. Den vandrette akse kaldes x-akse eller første-akse. Den lodrette akse kaldes y-akse eller anden-akse. Herunder er vist to koordinatsystemer. I det øverste koordinat-system er der markeret tre punkter. Det ene punkt ligger lige over 1-tallet på x-aksen og lige ud for -tallet på y-aksen. Derfor hedder punktet (1,). Tallene 1 og kaldes punktets koordinater. Det andet punkt har koordinaterne 3 og. Derfor hedder punktet (3,). Tallet 3 kaldes x-koordinat eller første-koordinat. Tallet kaldes y-koordinat eller anden-koordinat. Det tredje punkt ligger på x-aksen og hedder (,) 3 1 (3, ) (1, ) (, ) 1 3 I det nederste koordinat-system er der tegnet to grafer. Den skrå graf går igennem alle de punkter, hvor x-koordinaten og y-koordinaten er ens. For eksempel (,) og (1,1). Den vandrette graf går igennem alle de punkter, hvor y-koordinaten er 3,. For eksempel ( ; 3,) og (1 ; 3,). Læg mærke til at der bruges et semikolon (;), når der er komma (,) i koordinaterne Lektion 7 Side 3

4 I koordinat-systemerne på forrige side går begge tal-akser til, men tal-akserne kan indrettes på mange andre måder, og akserne kan godt være forskellige. Her er et par eksempler: ,,8,6,,, Nogle gange forlænger man tal-akserne bagud og nedad for at få de negative tal med. Det er vist herunder: (-3, ) (-, -) (3, -3) Lektion 7 Side

5 Lineære funktioner En funktion er en sammenhæng mellem to talstørrelser. Tallene kan variere, men de afhænger af hinanden. Her er et par eksempler: Prisen på en taxa-tur afhænger normalt af, hvor mange km man kører. En taxa-tur kan være både være billig og dyr. Og den kan både være kort og lang. Men de to tal kan ikke variere på må og få. Prisen afhænger af turens længde. Prisen er en funktion af antal km. Prisen for at sende et brev afhænger normalt af, hvor mange gram brevet vejer. Prisen (portoen) er en funktion af brevets vægt. En funktion kan beskrives ved hjælp af: - en tabel - en graf i et koordinatsystem - en funktionsforskrift (et regneudtryk, en formel) - kaldes ofte blot funktion Grafen for en funktion er ofte en ret linie. Så kaldes funktionen en lineær funktion. Eksempel på opgave Tre foto-butikker tager forskellige priser når de fremkalder film og laver billeder. Sammenlign priserne ved at: - lave tabeller - tegne grafer i et koordinatsystem - opstille funktioner Først udregnes prisen for nogle forskellige film hos Andersens Foto: - ved 1 billeder bliver prisen: kr. - ved billeder bliver prisen: kr. - og så videre.. Tallene samles i en tabel. Andersens Foto kr. pr. billede 3 kr. for fremkaldelse Billed-Ringen kr. pr. billede Prisen er med fremkaldelse City-Film 9 kr. pr. film Prisen er med fremkaldelse og uanset antal billeder Lektion 7 Side

6 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Tabellen ser således ud: Antal billeder på en film: 1 3 Pris hos Andersens Foto: Det er måske ikke så realistisk med billeder, men tallet er taget med for systemets skyld. Derefter udregnes priser hos Billed-Ringen: - hvis der er 1 billeder på en film, bliver prisen: 1 kr. - hvis der er billeder på en film, bliver prisen: 8kr. - og så videre.. Hos City-Foto er prisen 9 kr. uanset antal billeder. Nu kan tabellen udviddes: Antal billeder på en film: 1 3 Pris hos Andersens Foto: Pris hos Billed-Ringen: Pris hos City-Film: Ud fra tallene i tabellen laves disse grafer: City-Film Andersens Foto Billed-Ringen Antal billeder på en film Lektion 7 Side 6

7 Graferne viser bl.a. at: - at Billed-Ringen er billigst, hvis der er under 1 billeder på en film. - at Billed-Ringen og Andersens Foto er lige dyre ved 1 billeder. - at Andersens Foto er billigst, hvis der er mellem 1 og 3 billeder på en film. - at Andersens Foto og City-Film er lige dyre ved 3 billeder. - at City-Film er billigst, hvis der er over 3 billeder på en film. Da de fleste film er på enten eller 36 billeder, vil der være mest fornuft i at vælge Andersens Foto eller City-Film. Nu kaldes antallet af billeder på en film for x, og prisen kaldes for y. y er en funktion af x, og y kaldes for funktionsværdien af x. Sammenhængen mellem x og y kan beskrives med disse funktions-forskrifter: Foto-butik Funktion Andersens Foto y x 3 Billed-Ringen y City-Foto y 9 x Alle tre funktioner kaldes lineære funktioner, fordi deres grafer bliver rette linier. Lineære funktioner kan generelt skrives på formen: y a x b I funktionen y x 3 er a = og b = 3. I funktionen y x er a = og b =. Men man skriver ikke nullet. I funktionen y 9 er a = og b = 9. Men man skriver ikke nullet. Tallet a fortæller, hvor meget grafen hælder. Det kaldes stigningstal. Hvis a er lille, er grafen flad. Hvis a er stor, er grafen stejl. Hvis a er negativ, så hælder grafen nedad. Tallet b fortæller, hvor grafen skærer y-aksen. Der hvor grafen starter. Hvis b =, er x og y ligefrem proportionale. De vokser i takt. Hos Billed-Ringen er prisen ligefrem proportional med antallet af billeder. Hvis to funktions-grafers skæringspunkt er svært at aflæse, kan det beregnes. Man kan beregne, hvor grafen for Andersens Foto og grafen for Billed-Ringen skærer hinanden ved at løse ligningen: x 3 x Man finder skæringspunktets x-værdi, når man sætter funktionernes højre-sider lig med hinanden. Kontroller selv, at man får x = 1. Det betyder, at priserne bliver ens ved 1 billeder. Lektion 7 Side 7

8 Det er ofte bogstaverne x og y, der indgår i funktions-forskrifter, men andre bogstaver kan bruges også. Funktionerne kan have selv bogstav-navne. Hvis funktionen hedder f, kaldes funktionsværdien f(x) i stedet for y. Eksempel på opgave Tegn i et koordinatsystem grafen for disse funktioner: f(x), x g(x) x 1 Først beregnes en række sammenhængende værdier af x og f(x). - hvis x = : f(x), - hvis x = 1: f(x), 1,, - hvis x = : f(x), 1 1 og så videre. Tallene sættes ind i en tabel: x 1 3 f(x),, 6 8 Derefter laves en tilsvarende tabel for funktionen g. Regn selv efter: x 1 3 g(x) Til sidst tegnes graferne i et koordinatsystem. Læg mærke til, at: - grafen for f skærer y-aksen i og går 1 hen og, op - grafen for g skærer y-aksen i 1 og går 1 hen og op 6 y =,x+ Grafen går 1 hen og, op. y = x+1 Grafen går 1 hen og op I stedet for at beregne grafen (som ovenfor v.hj.a. en tabel), kan man konstruere den. Forskriften for funktionen g ovenfor er som angivet g(x) = x + 1. Det fortæller os, at dens graf skærer y-aksen i 1, og at den stiger ved at gå 1 hen (altid 1 hen) og op. Det tal, der står foran x kaldes a, og det tal der står tilsidst, kaldes b. I forskriften g(x) = x + 1 er a = og b = 1. Lektion 7 Side 8

9 Har vi en forskrift, kan vi altså lave dens graf ved at beregne den (v.hj.a. en tabel) eller ved at konstruere den (v.hj.a. forskriftens a-værdi og dens b-værdi). f(x) = x + a = 1 b = Grafen konstrueres sådan: - afsæt et punkt på y-aksen i (fordi grafen skærer y-aksen i ) - gå fra dette punkt 1 hen (altid 1 hen) og 1 op (op fordi a er positiv) her afsættes næste punkt - gå fra dette punkt 1 hen og 1 op og afsæt et punkt - fortsæt med at går 1 hen og 1 op og afsæt punkter - forbind punkterne med en ret linje, og grafen er lavet g(x) = -3x a = -3 b = - Grafen konstrueres sådan: - afsæt et punkt på y-aksen i - (grafen skærer y-aksen i -) - gå fra dette punkt 1 hen og 3 ned (ned fordi a er negativ) her afsættes næste punkt - gå fra dette punkt 1 hen og 3 ned og afsæt et punkt - fortsæt med at går 1 hen og 3 ned og afsæt punkter - forbind punkterne med en ret linje, og grafen er lavet Man kan også gå den modsatte vej og finde forskriften, hvis man har grafen - så gælder det om at finde, hvor den skærer y-aksen (så har man b-værdien) - derfra går man 1 hen og finder ud af, hvor meget man skal gå op/ned for at ramme grafen igen (og så har man a-værdien). Grafen til venstre skærer y-aksen i - så b = Når vi står i punktet (,), går vi 1 hen - vi skal nu gå ½ op for at ramme grafen igen - og hvis vi derfra går 1 hen og ½ op støder vi igen på grafen, så a = ½ (og positiv, fordi vi skal gå op). Forskriften bliver så h(x) = ½x + Lektion 7 Side 9

10 Den anden side (bredde) Matematik på Åbent VUC Andre funktioner Mange af de funktioner, som du møder, er lineære funktioner. Men du kan også støde på grafer og funktioner, hvis grafer ikke er rette linier. Her er et par eksempler: Eksempel på opgave Et skur skal være firkantet (et rektangel eller et kvadrat). Arealet skal være 1 m. - Lav en tabel og en graf over mulige mål. - Opstil også en funktion Den ene side (længde) 1 m Først udregnes forskellige mulige kombinationer af sidelængder: 1 - hvis den ene side er 6 m, så bliver den anden side 6 m 1 - hvis den ene side er m, så bliver den anden side, m og så videre. Tallene samles i en tabel (nogle af tallene er afrundede): Den ene side i m Den anden side i meter 1 6 3, 1,7 1, 1,3 1, 1,1 1 I virkeligheden vil man næppe lave et skur, hvor den ene side er 1 m og den anden side er 1 meter, men muligheden er med for princippets skyld. Tallene i tabellen kan vises på grafen til højre. Grafen er ikke en ret linie men en blød bue. 1 Man kan opstille denne funktion: y, x hvor x er den ene side, og y er den anden side. Læg mærke til at graf og tabel er symmetriske. Når x = 3 så er y =, og omvendt når x =, så er y = 3. Man siger, at x og y er omvendt proportionale Lektion 7 Side 1

11 Eksempel på opgave Tegn en graf for andengradsfunktionen f(x) x 6x 8. Start med at udfylde denne tabel: x f(x) Først beregnes de sammenhængende værdier af x og f(x). - hvis x = : f(x) hvis x = 1: f(x) hvis x = : f(x) og så videre. Tabellen ser således ud: x f(x) Grafen bliver igen en blød bue men af en anden type end før. + betyder uendelig i positiv retning - betyder uendelig i negativ retning Læg mærke til at y-værdierne går fra minimum til + - der er altså ingen maksimumværdier for y Hvis vi havde haft en parabel, hvor armene gik nedad (parablen var "ked af det"), ville vi have haft en maksimumværdi for y, men ingen minimumsværdi, fordi der ville være y-værdier til uendelig negativ - altså y- værdier fra fx til Lektion 7 Side 11

12 To ligninger med to ubekendte Når man har to ligninger med to ubekendte (se nedenfor), er der flere måder, man kan finde de ubekendte på - én af metoderne er at løse dem grafisk. Det første man skal gøre er at lave ligningerne om, så de får formen y=ax+b På den måde får man nemlig forskrifer for den lineære funktion Man indtegner derefter graferne for de to lineære funktioner Hvis de to grafer skærer hinanden, har de et fælles punkt Dette fælles punkt (x,y) er løsningen på ligningerne - man har fundet x og y Ligning 1: Ligning : x y - x y - 3 Ligning 1 ændres: x y - y -x Ligning ændres: y - x - 3 y y y -3 x - 3 x - x - 3 Graferne for de to lineære funktioner indtegnes......og da de har punktet (3,-1) fælles, er ligningernes x = 3 og y = -1 Lektion 7 Side 1