Årsprøve i matematik 1y juni 2007

Transkript

1 Opgave 1 Årsprøve i matematik 1y juni 2007 Figuren viser to ensvinklede trekanter PQR og P 1 Q 1 R 1 a) Bestem længden af siden P 1 Q 1 Skalafaktoren beregnes : k = 30/24 P 1 Q 1 = 20 30/24 P 1 Q 1 = 25 Opgave 2 a) Reducer udtrykket (a + b ) 2 a(a + 2b). (a + b ) 2 a(a + 2b) = a 2 + b 2 + 2ab a 2 2ab= b 2 Opgave 3 En person har aflæst sin elmåler hver aften igennem en periode på 14 dage. Det viser sig, at der med tilnærmelse gælder f(x)=20x , hvor f (x) betegner målerens visning (målt i kwh) på dag nr. x i perioden. a) Hvad fortæller denne model om det daglige elforbrug i perioden? Hvilken dag viser måleren kwh? Modellen viser, at der er en lineær sammenhæng mellem tid og elforbrug og at det daglige forbrug er 20 kwh = 20x x = 140 x = 7 Altså viser måleren kwh efter 7 dage

2 Opgave 4 Grafen for en funktion f(x) = 3x + b går gennem punktet P(1, 4). a) Bestem tallet b. Da P(1, 4) ligger på grafen får vi: 4 = b b = 4 3 altså b = 7 Opgave 5 En parabel er givet ved og en ret linie er givet ved y = x 2 + 4x 7 y = 4x + 3 a) Gør rede for, at parablen og linien skærer hinanden i to punkter. Skæringspunkter findes ved at løse ligningen x 2 + 4x 7 = 4x + 3 x 2 + 4x 7 = 4x + 3 x 2 + 4x 7 + 4x 3 = 0 x 2 + 8x 10 = 0 Deskriminanten er d = (-1) (-10) = 24 Da d er større end nul, er der 2 løsninger til ligningen og dermed 2 skæringspunkter mellem parablen og linien. Opgave 6

3 To personer bestemmer en flods bredde ved hjælp af et målebånd og en vinkelmåler. De to personer står med 11 meters afstand og måler sigtevinklerne A og C til et træ på den anden side af floden. Vinkel A måles til 79º og vinkel C til 64º (se figur). a) Bestem BC. B = 180º 79º 64º da vinkelsummen i trekant er 180º B = 37º Sinusrelationen a sin(a) = b sin(b) giver BC sin(79º) = 11 sin(37º) BC = 11 sin(79º) 17,94 sin(37º) BC er således 19,94 m b) Bestem flodens bredde, dvs. højden fra B i trekant ABC. Opgave 7 Kalder vi fodpunktet for højden fra B til AC for H får vi fra den retvinklede trekant ΔBHC sin(c) = BH / BC BH = sin(c) BC 16,13 Flodens bredde er således 16,13 m Ved dyrkning af en bestemt bakterie optælles antallet af bakterier med jævne mellemrum igennem nogle timer. Ved forsøgets start var der 15 bakterier, og det viser sig, at antallet af bakterier fordobles, hver gang der er gået 22 minutter. a) Opstil en formel, der beskriver antal bakterier som funktion af antal minutter efter forsøgets start. Antal bakterier som funktion af antal minutter efter forsøgets start kan beskrives ved hjælp af eksponentiel model y = b a x hvor b er værdien i 0 og a er grundtallet. Vi har fra teorien at y = b 2 x/t 2, hvor T 2 er fordoblingskonstanten Dvs at y = 15 2 x/22 eller y = 15 ( 22 2) x 15 1,032 x

4 Opgave 8 To funktioner f og g er givet ved f x 1 x 4 x 1 gx ( ) = x+ 3 3 a) Løs ligningen f(x) = g(x) 2 ( ) = + 2 f(x) = g(x) x x+ 2= x x = -2/3 x = 6 L = { -2/3 ; 6} b) Skitser graferne for f og g og løs uligheden f(x) g(x) Løsningsmængden består af de x-værdier, hvor grafen for f enten skærer eller ligger under grafen for Altså er løsningsmængden L= [ -2/3: 6]

5 Opgave 9 Udviklingen i det danske skovareal kan beskrives ved følgende matematiske model: y = ,007 x, hvor y er skovarealet (målt i hektar), og x er antal år efter a) Hvad fortæller tallene og 1,007 om udviklingen i det danske skovareal? Ifølge modellen var der et skovareal på hektar i 1990 og en vækst i skovarealet på 0,7% om året. b) Med hvor mange procent øges skovarealet på en femårsperiode? 1,007 5 = 1,035 (1,035 1)100 = 3,5 Altså øges skovarealet med ca. 3,5% på en femårsperiode. Opgave 10 Tabellen viser, hvorledes antallet af danskere over 90 år er vokset i perioden fra 1980 til a) Gør rede for, at antallet af danskere over 90 år i perioden fra 1980 til 2005 med tilnærmelse kan angives ved en funktion med regneforskriften f(x) = a x+b, hvor f(x) er antallet af danskere over 90 år, og x angiver antal år efter Bestem tallene a og b. Der foretages lineær regression på TI-89 ( eller Excel regneark ): Som det ses af forklaringsgraden og grafen, er en lineær model en god beskrivelse. a 825 og b 14000

6 b) Hvad fortæller tallet a om antallet af danskere over 90 år? a fortæller, at antallet af danskere over 90 år i perioden fra 1980 til 2005 stiger med ca.825 om året, og b angiver, at der var ca danskere over 90 år i 1980 c) Beregn, i hvilket år antallet af danskere over 90 år vil komme over Vi skal løse ligningen = f(x) = a x +b b = a x b a x 43,5 =x Dvs antallet af danskere over 90 år vil ifølge modellen komme over i år 2023 Opgave 11 Når en gletscher bevæger sig ned ad en bjergside, afhænger isens fart bl. a. af dybden under gletscheroverfladen. Jo dybere man kommer ned i gletscheren, jo langsommere bevæger isen sig. I en model for en bestemt gletscher regner man med, at isens fart er givet ved v =100 0,00046 h 4, hvor v er farten, målt i cm/år, og h er dybden, målt i meter. a) Bestem isens fart i 16 meters dybde og i overfladen. v(16) = 100 0, ,9 v(0) = 100 0, dvs. farten i 16 meters dybde er ca. 70 cm/år og i overfladen 100 cm/år Langs gletscherens bund er isens fart 0. b) Hvor høj er gletscheren? h findes af ligningen 0 = 100 0,00046 h 4

7 100 h = ( 0,00046 ) 1/4 21,6 Opgave 12a Dvs. højden på gletscheren er ca. 21,6 meter En æske uden låg foldes af et stykke pap. Figuren viser papstykkets mål. Æskens højde er x (cm). a) Gør rede for, at æskens rumfang R(x), målt i cm3, er bestemt ved R(x) = x (20 2x) (28 2x) og gør rede for, at 0< x < 10. Æskens rumfang er højde bredde længde og da højden er x, bredden er 20-2x og længden er 28-2x fås R(x) = x (20 2x) (28 2x) Alle 3 faktorer i R(x) skal være positive følger det umiddelbart at 0< x < 10 b) Bestem x, så æskens rumfang bliver størst muligt. Ved hjælp af TI-89 bestemmes maksimumspunktet: Jeg har bestemt vinduet ud fra tabellen over funktionsværdier. Der er således maksimum for en højde på ca. 3,8 cm.

8 Opgave 12b For en bestemt træsort er sammenhængen mellem et træs diameter d (målt i brysthøjde) og dets højde h givet ved h =13,4 ln(d) 21,8, d > 20, hvor h måles i m, og d måles i cm. Kilde: Henriksens semilogaritmiske dh-model, Dansk Skovforenings Tidsskrift, VOL XXXV (1950). a) Beregn træets højde, når dets diameter er 25 cm. og beregn træets diameter, når dets højde er 30 m. d = 25 h = 13,4 ln(25) 21,8 21,33 dvs. når diameteren er 25 cm er højden 21,33 m h = = 13,4 ln(d) 21,8 ln(d) = ,8 13, ,8 d = exp( ) 47,7 13,4 dvs. når højden er 30 m er diameteren 47,7 cm. Et træ har dobbelt så stor diameter som et andet træ. b) Beregn højdeforskellen mellem de to træer. h(2d) = 13,4 ln(2d) 21,8 = 13,4 (ln(2) + ln(d)) 21,8 ln(x y) = ln(x) + ln(y) = 13,4 ln(2) + 13,4 ln(d) 21,8 = 13,4 ln(2) + h(d) 13,4 ln(2) 9,29 dvs. at højdeforskellen er ca. 9,3 m