6 Geometri Faglige mål Kapitlet Geometri tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Areal og overflade: kunne foretage beregninger af sammensatte arealer og sammensætte formler til beregning af disse. Cirkler og ellipser: kende til tangentvinkler og kordetangentvinkler, kunne foretage beregninger for cirkeludsnit og koncentriske cirkler samt konstruere ellipser og foretage arealberegninger af disse. Konstruktion: kunne konstruere ud fra givne mål, vinkler og linjer samt formulere og vurdere opskrifter for konstruktion til forskellige målgrupper. 3D: kunne konstruere og navigere i 3D-delen i GeoGebra. Forskydning og spejling: kunne foretage beregninger af en vektors længde samt vurdere og analysere et mønster. I kapitlet arbejdes der videre med den viden, som eleverne arbejdede med i Format 7. Kapitlet repeterer og bygger videre på elevernes forståelse af konstruktion og cirkler, og arbejdet med cirkler forstærkes yderligere i 8. klasse, hvor eleverne arbejder videre med de forskellige linjer i cirklen samt introduceres for ellipsen. Som noget nyt introduceres eleverne for geometri i 3D ved brugen af GeoGebra, og arbejdet med øvrige digitale hjælpemidler er desuden i fokus i kapitlet, hvor eleverne bruger dette til konsolidering af læring Areal og overflade Arbejdet med areal og overflade bygger videre på arbejdet i kapitlet Geometri fra 7. klasse. Eleverne kender til beregning af arealer, og denne viden benyttes til beregning af sammensatte arealer. Opgaverne på side 56-57 er en blanding af rene geometriske opgaver, arealberegning af virkelige arealer samt opstilling af algebraiske løsninger, hvor ubekendte indgår i udtrykkene. Eleverne finder selv frem til overfladearealer af kendte geometriske figurer ved at sammensætte formlerne. Cirkler og ellipser Udgangspunktet for arbejdet med cirkler og ellipser er elevernes viden omkring cirkler fra 7. klasse. Her fik eleverne kendskab til supplement- og topvinkler samt center- og periferivinkler. Disse begreber benyttes i undersøgelser af tangentvinkler og kordetangentvinkler. Cirkeludsnit introduceres og anvendes til beregning af forskellige typer af cirkeludsnit. Endvidere arbejder eleverne med at finde frem til en formel for arealet af en cirkelring ved koncentriske cirkler. Den undersøgende tilgang fortsætter efterfølgende, hvor eleverne undersøger storaksernes betydning for ellipsens form. Arealberegning af ellipser tager udgangspunkt i formlen. Konstruktion Arbejdet med konstruktioner har fokus på udarbejdelse af elevernes egne konstruktionsopskrifter til forskellige slags modtagere. Derved bliver elevernes evne til at kommunikere matematik styrket. Derudover anvendes GeoGebra til elevernes konstruktioner og geometriske undersøgelser. 3D
Eleverne introduceres som noget helt nyt til 3D-konstruktion i GeoGebra, hvor de ved at følge anvisningerne konstruerer figurer i 3D. Derudover præsenteres eleverne for formlerne til at beregne rumfang af et prisme, en keglestub og en pyramidestub. Forskydning og spejling Eleverne har tidligere arbejdet med vektorer i forbindelse med parallelforskydning. I 8. klasse skal længden af en vektor beregnes for at undersøge længden af en figurs parallelforskydning. Elevernes skal desuden finde frem til, hvordan den samlede længde af sammensatte vektorer beregnes. Mønstre analyseres ud fra elevernes viden om forskellige flytninger. Side til side-vejledning Areal og overflade Intro 1 Rengøringsjobbet (klasseaktivitet) Kapitlet begynder med en aktivitet for hele klassen, hvor fokus er på repetition af arealberegning. Klassen deles i mindre hold, som får hvert et område af skolen, som de måler og beregner arealet af. Dernæst samles klassen, og det samlede areal af skolens gangareal og klassens indtjening beregnes. Eleverne bestemmer selv, hvilke arealformler de ønsker at benytte. Eleverne kan evt. inddeles i grupper, som modsvarer deres matematiske niveau, så der stilles forskellige krav til brugen af forskellige typer formler. 2 Cirkeldel Eleverne konstruerer en figur i GeoGebra ud fra givne mål og beregner arealet af en del af figuren ud fra viden om sammensatte figurer. 3 Arealmix (paraktivitet) og kopiark 6.01 Arealbrikkerne og figurbrikkerne på kopiarket klippes ud og lægges med bagsiden opad spredt ud på bordet, men adskilt fra hinanden. På skift trækker eleverne en af hver brik og konstruerer figuren i GeoGebra ud fra oplysningerne på brikkerne. Herefter blandes figurbrikken med de resterende 5 figurbrikker. Næste elev trækker to brikker og konstruerer figuren i GeoGebra. Der fortsættes indtil de 10 arealbrikker er brugt. Det er vigtigt at præcisere, at figurbrikkerne skal lægges tilbage efter hver tur. 4 Mit yndlingsområde Eleverne søger i Google Maps eller Google Earth efter et område, de godt kan lide. Billedet importeres til GeoGebrafilen, og opgavebeskrivelsen følges i filen. Eleverne optager en skærmoptagelse af opgaveløsningen. 5 Regnetegnehold (klasseaktivitet) Alle elever får udleveret 3 brikker fx karton og herpå formuleres de opgaver, der omhandler beregning af arealer. Alle elever deltager i opgaveproduktionen, men brikkerne kan også udfyldes parvis. De hurtige elever kan få udleveret flere brikker. De nødvendige oplysninger for at kunne beregne arealet af figuren skal angives, og svaret angives på bagsiden af brikken. Der skal være opgaver med: Cirkler, trekanter, rektangler, trapezer, parallelogrammer og romber. Klassen deles i par. Opgaverne lægges i en bunke på kateteret med opgaven opad. Makker 1 henter den første opgave og læser højt for makker 2, der beregner arealet af figuren. Når opgaven er løst og godkendt henter makker 2 næste opgave osv. Det hold, der har løst flest opgaver på tid, har vundet. 6 Firkanten I opgave b findes diameteren til den store cirkel ved hjælp af Pythagoras: 200 = 14,14
7 Geometrihaven (paraktivitet) Opgaven tager udgangspunkt i brugen af geometri i en virkelig kontekst. Eleverne bruger GeoGebra til at vise, hvordan haven kan opdeles, og de finder frem til arealet for hvert stykke. Når eleverne skal give deres bud på problemstillingen med 8 afgrøder, kan dette gøres ved hjælp af en padlet, som kan oprettes på https://da.padlet.com. Eleverne kan poste Sticky Notes med korte kommentarer og importere billeder. Det fungerer som en fælles virtuel opslagstavle, og derved kan eleverne blive inspireret af hinanden. 8 Areal med ubekendt Eleverne har arbejdet med opstilling af ligninger med en ubekendt. Dette arbejde overføres til denne opgave, hvor længde og bredde findes ud fra arealet af figuren. 9 Trekant med x-værdi Opgaven er af samme type som opgave 8. Her opstiller eleverne blot ligninger for en trekant. 10 Overfladen i en pyramide (paraktivitet) Her opdager eleverne formlen for beregning af overfladearealet af en pyramide. Herefter konstrueres pyramiden i målestoksforholdet 1:100. 11 Cylinderoverflade I denne opgave opdager eleverne formlen for overfladearealet for en cylinder. Cirkler og ellipser 12 Tangentvinkel Tidligere har eleverne undersøgt sammenhængen mellem periferi- og centervinkel. Repetition af dette kan være udgangspunktet for at begynde på denne opgave. Eleverne konstruerer en tangentvinkel til en cirkel ud fra konstruktionsbeskrivelsen i GeoGebrafilen og undersøger sammenhængen mellem centervinklen og den udvendige tangentvinkel (180 ). 13 Kordetangentvinkel Arbejdet med at finde sammenhænge fortsætter i denne opgave, hvor eleverne konstruerer en kordetangentvinkel til en cirkel ud fra konstruktionsbeskrivelsen i GeoGebrafilen. 14 Lykkehjulet Eleverne beregner forskellige sammensatte cirkeludsnit ved at beregne gradtallet for hvert felt og anvende formlen i den grå kasse. Radius på lykkehjulet er 120 cm. 15 Cirkeludsnitspillet (gruppeaktivitet) Her arbejdes der med at konstruere cirkler, cirkeludsnit og arealberegning af cirkeludsnit på papir med passer, lineal og vinkelmåler. Resultaterne tjekkes ved samme konstruktioner i GeoGebra. Herefter diskuteres fordele ved anvendelse af papir til konstruktionerne. Dette skal gerne få eleverne til at se, hvilke fordele der er ved at anvende GeoGebra. 16 Koncentriske cirkler Eleverne konstruerer koncentriske cirkler og beregner arealet af cirkelringe. Herefter opstilles formlen. 17 Cirkelringe Arbejdet med koncentriske cirkler fortsætter. Eleverne konstruerer deres egen koncentriske, optiske illusion. Billedet ved opgave 16 er en optisk illusion. Eleverne kan finde inspiration til flere optiske illusioner på internettet. 18 Ellipse (gruppeaktivitet) Gruppen konstruerer ellipser i skolegården, eller hvor der er god plads. Eleverne undersøger ellipsens egenskaber ved at ændre på forskellige variable, hvilket giver en forståelse for ellipsen som geometrisk figur. 19 Ellipsekonstruktion
I denne opgave konstruerer eleverne ellipser i GeoGebra og aflæser de forskellige elementer i ellipsen. Desuden beskriver eleverne fordelene ved at anvende GeoGebra frem for konstruktionen i skolegården. 20 Afstand mellem brændpunkter Eleverne konstruerer en ellipse ud fra konstruktionsbeskrivelsen i GeoGebrafilen og undersøger sammenhængen mellem de givne længder. 21 Areal af ellipser I GeoGebrafilen er størrelsen på 5 ellipser angivet. Ellipserne konstrueres, b findes og arealerne beregnes. 22 Arealberegning Eleverne undersøger arealet af ellipser, hvor a + b = 10. De kan prøve sig frem ved at konstruere ellipser, som de beregner arealet af ved hjælp af arealværktøjet i GeoGebra. De kan også vælge at foretage en ren algebraisk undersøgelse. Ellipsen med det størst mulige areal er tæt på at være en cirkel. Konstruktion 23 Kildekritik Eleverne arbejder med den faglige tekst om Kildekritik i bogen. De opnår viden om de elementer, der er væsentlige for at afgøre, hvorvidt en kilde er troværdig eller ej. Yderligere viden og søgen på artikler kan eleverne finde på internettet. 24 Løsninger (klasseaktivitet) Opret en Padlet på https://da.padlet.com/ og del klassen i grupper, som angiver deres svar på den fælles Padlet. Da eleverne kan se hinandens svar undervejs, kan de finde inspiration hos hinanden og vurdere hinandens argumenter. Dermed forhandler eleverne holdninger og resultater. Eleverne giver i grupper deres bud på et svar på problemstillingen. Svaret indeholder en tekst og et grafisk element. Eleverne kan kommentere på hinandens besvarelser, hvis de er enige/uenige i argumenterne. 25 Den indre trekant Eleverne konstruerer trekanter og deres indre trekant ud fra konstruktionsbeskrivelsen. Eleverne skal erkende, at den indre trekanet er ligedannet med den ydre trekant. Arealforholdet bliver herved 1:4. Det samme gælder ikke for firkanter, hvor den indre firkant, som er et parallelogram, har et areal, som er halvt så stort, som den ydre firkant. 26 Symmetri Eleverne konstruerer ud fra beskrivelsen og finder regler for symmetri i rektangler og trapezer. 27 Passer oplysningerne? (paraktivitet) Med udgangspunkt i skitserne i bogen skal eleverne konstruere figurer, og efterfølgende vurdere, om skitserne og konstruktionerne passer sammen. Eleverne argumenterer, hvorfor firkanterne kan/ikke kan konstrueres, og valget af hjælpemiddel. 28 Ligebenet trapez Eleverne undersøger vinklerne i et trapez med givne mål. 29 Rombe Undersøgelserne fortsætter her, hvor eleverne konstruerer og undersøger diagonalers betydning i en given rombe. Det størst mulige areal, som en rombe med given sidelængde kan have, er når romben er et kvadrat. 30 Konstruktionsopskrift (paraktivitet) Først konstruerer hver elev firkanten. Dernæst skriver eleverne en punktvis konstruktionsbeskrivelse til makkeren, og de diskuterer brugbarheden af konstruktionsbeskrivelsen. Til slut beskriver eleverne 3 kriterier, som en god konstruktionsbeskrivelse skal indeholde
31 Endnu en opskrift Eleverne konstruerer endnu en figur ud fra oplysningerne i bogen. Dernæst skriver de to typer af konstruktionsbeskrivelser med udgangspunkt i de 3 kriterier. 32 Min konstruktion (paraktivitet) I opgaven skriver eleverne konstruktionsbeskrivelser til hinanden, som makkeren efterfølgende afprøver. 33 Konstruktionsspil (gruppeaktivitet) og kopiark 6.02 og 6.03 Grupperne klipper brikkerne ud og spiller Konstruktionsspillet. En elev trækker brikker. De to andre lytter. Fælles trækkes en figurbrik. Der trækkes konstruktionsbrikker indtil eleven mener, at polygonen kan konstrueres. Eleven forklarer med ord og skitser, hvordan polygonen konstrueres. Dernæst byttes roller. 34 Flagkonstruktion (paraktivitet) Eleverne konstruerer et valgfrit, ægte flag i GeoGebra og beregner arealet af de forskellige farvede områder. Elevernes konstruktioner kan printes og præsenteres for klassen. Når alle sidder med en løsning på opgaven, bliver det nemmere at forholde sig til og kommentere på andre løsninger. 3D 35 Pyramidekonstruktion Eleverne følger konstruktionsbeskrivelsen i GeoGebrafilen og konstruerer en pyramide med animeret udfoldning. Det kan anbefales at søge på 3D-konstruktion i GeoGebra på Youtube, der kan give god hjælp til navigationen i programmet. 36 Kubeudfoldning I denne opgave fortsætter eleverne med at tegne 3D konstruktioner i GeoGebra, således at deres fortrolighed med funktionerne øges. Det er denne gang en kube med animeret udfoldning, som eleverne konstruerer. 37 Cylinder Eleverne konstruerer en cylinder med animeret rumfangsstørrelse i GeoGebra. 38 Kuglerumfang Eleverne konstruerer en kegle med animeret rumfangsstørrelse i GeoGebra. 39 Rumlige grupper (klasseaktivitet) Klassen deles i par, som hvert får udleveret et A3-papir, som skal anvendes til at bygge en figur med størst mulig rumfang. Eleverne skal argumentere for deres valg og præsentere de beregninger, de har brugt. 40 Hexagon Eleverne følger konstruktionsbeskrivelsen i GeoGebrafilen og foretager areal- og rumfangsberegninger. 41 Trapezprisme Ud fra skitsen i bogen beregner eleverne grundfladearealet og rumfanget af af prismet. De bygger herefter et valgfrit trapezprisme af papir. 42 Uro Eleverne konstruerer en cylinder, en kegle og et prisme i GeoGebra-3D ud fra rumfangsbetingelser. 43 Pyramidestub Eleverne tegner en skitse af en pyramidestub og indsætter oplysningerne. Ved hjælp af formlerne i den grå boks beregnes arealet. 44 Keglestub Eleverne tegner en keglestub. Ved hjælp af formlerne i den grå boks beregnes rumfang og samlet overflade. 45 Virtuelt opslagsværk (klasseaktivitet)
Eleverne optager 3D-Screencasts for de forskellige figurer. Filmene kan fx optages med programmet; Screencast-O-matic, der er tilgængeligt på www.skoletube.dk, og som har den egenskab, at der lægges et stykke film på skærmen, imens eleverne navigerer rundt i programmet. Opret en kanal, som fx kaldes 3D 8. klasse, hvor eleverne kan uploade film. Denne kanal kan gøres privat, så det kun er klassen, der har adgang til klassens film. Det er en rigtig god ide at bruge et speaker-head-set for at få den bedste lydkvalitet. Forskydning og spejling 46 Forskyd punktet Eleverne indsætter punkter i et koordinatsystem, forskyder punkterne og angiver de nye punkter. Længden af vektoren findes ved brug af Pythagoras. 47 Trippelforskydning I et koordinatsystem indsætter eleverne et punkt, som de forskyder flere gange. Herefter beregnes længden af forskydningen ved hjælp af formlen for længden af en vektor. 48 Angiv vektoren Eleverne konstruerer den givne figur i GeoGebra og forskyder figuren til et givent punkt. Dernæst bestemmer de forskydningsvektoren og dens længde. 49 Træk en flytning-spillet (paraktivitet) Hvert par konstruerer i GeoGebra en polygon og skal dyste mod et andet par. Der skal bruges et spil kort, hvorfra de på skift skal trække et kort. Det første kort angiver x-værdien for en vektor, og det andet kort angiver y-værdien for vektoren. Rødt kort er positivt og sort kort er negativt. Kortets værdi er talværdien. Begge hold foretager flytningen og vektorberegningen den ene flytter, den anden beregner. Det hold, der først har klaret begge dele, har vundet. 50 En spejlet forflytning (paraktivitet) Mønsteret i bogen analyseres med udgangspunkt i de forskellige typer flytninger, som eleverne kender. De skriver desuden en konstruktionsbeskrivelse, der passer til mønsteret. Eleverne konstruerer dernæst et mønster ud fra de givne krav og skriver en konstruktionsbeskrivelse. Eleverne bytter konstruktionsbeskrivelser og gennemfører hinandens konstruktioner. 51 Pedari-3D Eleverne konstruerer Pedari-mønsteret i GeoGebra og forsøger at opnå 3D-effekten. 52 Beskriv mønsteret (klasseaktivitet) Eleverne beskriver mønsteret i bogen. Opret en Padlet og kald den Beskriv mønsteret. Eleverne beskriver i en skærmoptagelse mønsteret og forklarer, hvordan mønsteret kan konstrueres. Makker 1 fører musen, makker 2 taler. Optagelsen uploades på klassens Mønster-Padlet. Eleverne argumenterer for den bedste beskrivelse ved at tilføje noter på den fælles Padlet. Filmen kan fx optages med programmet; Screencast-O-matic, der ligger på www.skoletube.dk, som kan lægges som et stykke film på skærmen, imens eleverne navigerer rundt i programmet. Det er en rigtig god ide at bruge et speaker-head-set for at få den bedste lydkvalitet. Skriftlig problemløsning 1 Konditoriet I denne opgave arbejder eleverne med cirkleudsnit og beregning af rumfanget af emballage. 2 Ligedannede rektangler Eleverne beregner ukendte størrelser i et rektangel samt udfører beregninger af rektanglernes arealer.