7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

Transkript

1 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne cirkler. Ligedannethed: kende til ligedannede og dermed ensvinklede trekanter, kunne beregne skalafaktoren og derved finde længden af andre sidelængder, kende til topvinkler og supplementvinkler, kunne beregne højder og afstande ved hjælp af ligedannede trekanter. Pythagoras: kunne anvende Pythagoras læresætning, kunne sætte rigtige navne på trekanter, kunne afgøre ud fra sidelængder i en trekant om den er retvinklet, kunne bevise Pythagoras læresætning. Trigonometri: kunne beregne højder og afstande ved hjælp af tegning i et målestoksforhold, kende til enhedscirklen og cos og sinus og beregne værdierne ved hjælp af lommeregneren. Tangens: kunne beregne vinkler og sider i en retvinklet trekant ved hjælp af trigonometriske formler, kunne anvende tangens til beregning af højder. Trekanters areal: kunne udnytte de trigonometriske formler til at finde sider i retvinklede trekanter, kunne beregne trekanters areal ved hjælp af Herons formel. I kapitlet arbejdes der videre med den viden, som eleverne fik i kapitlet Trekanter fra 7. klasse. Kapitlet repeterer og bygger videre på elevernes forståelse af trekanter. Fokus i 8. klasse forstærkes omkring den retvinklede trekant og de trigonometriske formler for beregning af sider og vinkler. Arbejdet med de mange linjer i trekanten samt ligedannede trekanter intensiveres. Linjer i trekanter Tidligere har eleverne arbejdet med højder og medianer i trekanten. Disse begreber repeteres og der bygges videre på en sammenhæng mellem medianer og arealer. Nye linjer i trekanten introduceres her i 8. klasse, så eleverne får kendskab til sammenhængen mellem vinkelhalveringslinjer og indskrevne cirkler samt midtnormaler og omskrevne cirkler. Til dette arbejde anvender eleverne GeoGebra, så de ved brug af det dynamiske værktøj oplever, at sammenhængene altid er gældende. Ligedannethed I dette opslag er fokus udelukkende på ligedannethed i forbindelser med trekanter. Derved skabes der en god basis for det senere arbejde med de trigonometriske formler i trekanter. Eleverne skal beregne manglende sidelængder i to ligedannede trekanter ud fra forholdet eller skalafaktoren mellem dem. Topvinkler og supplementvinkler repeteres. Pythagoras Der fortsættes her i 8. klasse med arbejdet omkring Pythagoras læresætning bl.a. får eleverne mulighed for at bevise læresætningen matematisk. Der er ligeledes fokus på, at eleverne sætter de rigtige navne (bogstaver) på trekanterne. Der er ligeledes fokus på, at eleverne kan afgøre ud fra en trekants sider om den er retvinklet. Trigonometri

2 Som introduktion til trigonometrien beregnes højder og afstande ved hjælp af måling på tegninger i målestoksforholdet 1:100, hvor 1 cm på tegningen svarer til 1 m i virkeligheden. Enhedscirklen, sinus og cosinus præsenteres herefter. Tangens Eleverne har tidligere arbejdet med højder og afstande, men her fokuseres på at trigonometrien kan benyttes. Tangens introduceres og anvendes til bl.a. til at beregne højder. Trekanters areal h g Eleverne har hidtil benyttet formlen A = til at beregne arealet af en trekant. Her introduceres Herons 2 formel for beregning af arealet af en trekant, når man kender trekantens tre sider. Side til side-vejledning Linjer i trekanter Intro 1 Jeres trekant (klasseaktivitet) Kapitlet begynder med en aktivitet for hele klassen, hvor fokus er på repetition af linjerne i en trekant. Eleverne deles op i 4 hold, som hver får en linjetype, som skal vises for klassen. De må anvende deres krop og andet, de kan finde rundt omkring. Medbring evt. målebånd, så de elever der ønsker at være detaljeret kan have mulighed for dette. 2 Kendetegn (paraktivitet) Eleverne formulerer sætninger, som beskriver de 4 linjer i trekanten fra forrige opgave. De må ikke angive, hvilken linjetype, de beskriver i sætningerne. Elevene giver hinanden respons på sætningerne og formulerer sammen den bedste sætning. Eleverne optager lyd- og/eller skærmoptagelse af formuleringerne. 3 Undersøgelser af linjer GeoGebrafilen åbnes, og eleverne følger konstruktionskravene og besvarer spørgsmålene ved at anvende GeoGebra som dynamisk geometriværktøj. 4 Linjetyper Eleverne undersøger de tre udsagn i bogen ved at konstruere trekanterne og linjerne. De overvejer hjælpemidlet og formulerer fordele og ulemper ved det. Netop fordi det er en undersøgelse, som eleverne skal lave, er det en fordel for dem, hvis de vælger GeoGebra som hjælpemiddel, da de derved kan konstruere mange eksempler ved at trække i figurerne. 5 Medianer (paraktivitet) I denne opgave fortsættes med undersøgelser af geometriske udsagn omkring medianer i trekanter. GeoGebra anvendes til undersøgelserne. Eleverne præsenterer undersøgelsen for et andet par, og parrene giver hinanden respons. 6 Vinkelhalveringslinjer Opgaven repeterer tidligere arbejde med konstruktion af vinkelhalveringslinjer. Ved brug af GeoGebra undersøger eleverne, hvordan skæringen mellem vinkelhalveringslinjerne er placeret i forhold til trekanten. 7 Indskrevne og omskrevne cirkler

3 I 7. klasse arbejdede eleverne med omskrevne og indskrevne cirkler, hvor udgangspunktet var konstruktion af henholdsvis midtnormaler og vinkelhalveringslinjer. Her skal eleverne finde frem til hvilke linjers skæring, der danner centrum for den indskrevne og omskrevne cirkel. 8 Figurer i GeoGebra Eleverne konstruerer den viste figur i GeoGebra og skriver hvilke værktøjer, der er brugt. Eleverne kan evt. præsentere konstruktionerne for hinanden ved at sætte navigationslinjen til i GeoGebra. 9 Euler Den faglige tekst i bogen handler om matematikeren, Leonhard Euler. Eleverne skal læse teksten og svare på spørgsmålene. 10 Eulerlinjen Eleverne konstruerer Eulerlinjen i GeoGebrafilen ud fra konstruktionsbeskrivelserne. Dernæst besvarer eleverne spørgsmålene i filen ved at anvende GeoGebra som dynamisk geometriprogram, da de undersøger flere tilfælde ved at hive og trække i trekanten. 11 Vincenzo Vivianis sætning (paraktivitet) I denne opgave følger eleverne konstruktionsbeskrivelsen og de tilhørende opgaver i GeoGebrafilen og bogen. Eleverne tegner en ligesidet trekant med et vilkårligt punkt indeni. Herefter tegnes de tre vinkelrette linjestykker i GeoGebra: Eleverne kan måle de 3 linjestykkerne og finde summen. Eleverne kan tegne og måle en højde i trekanten. Eleverne kan opdele trekanten i tre trekanter ud fra det vilkårlige punkt. Eleverne kan gennemføre et bevis for Vivianis læresætning. 12 Napoleons sætning Eleverne undersøger Napoleons sætning ved konstruktion af trekanter. De finder tyngdepunktet i trekanterne ved hjælp af medianerne. Ligedannethed 13 Find og byt (klasseaktivitet) og kopiark 7.01 Brikkerne fra kopiarket klippes ud. Der skal kunne dannes trioer, så derfor skal antallet af brikker passe så 3 går op. Det kan gøres ved at fx to elever er sammen om en brik. På et signal finder eleverne sammen i trioer, som indeholder to ligedannede trekanter og en brik med det rigtige målestoksforhold. 14 Ligedannede trekanter Eleverne undersøger ligedannede trekanter i GeoGebrafilen. 15 Ensvinklede trekanter De to udsagn i bogen undersøges af eleverne,. Herefter præsenteres konklusionerne for hinanden. 16 Længdeforhold Eleverne undersøger to ligedannede trekanter ved konstruktion i GeoGebra. De finder frem til, at forholdet mellem de ensliggende sider er den samme, og formulerer en regel. Eleverne kan hente hjælp i den grå boks under opgaven. 17 Skalafaktor Skalafaktoren forklares i den grå boks. Denne skal benyttes i opgaven. Først beregner de skalafaktoren i de respektive trekanter, og dernæst beregnes de manglende sider i trekanterne. 18 Topvinkler og supplementsvinkler (gruppeaktivitet)

4 Tidligere har eleverne arbejdet med topvinkler og supplementvinkler. Denne opgave er repetition. Hver elev tegner to linjer, der krydser hinanden på et stykke papir. Papiret sendes rundt i gruppen og undervejs markeres vinkler, måles vinkler og beregnes supplementvinkler. 19 Højdemåling (paraktivitet) og kopiark 7.02 Eleverne skal følge instruktionen på kopiarket og måle højden af en bygning eller en flagstang. 20 Mere højdemåling (paraktivitet) Eleverne beregner højden på den samme ting, som i opgave 19 med en anden metode, som er illustreret i bogen. Udgangspunktet for beregningen er elevernes højde og viden om ligedannede trekanter: a b = A B a og b er de to personers højde. 21 Afstandsberegning I denne opgave finder eleverne først frem til de mål, som det kræves for at kunne beregne afstanden til en båd ude i vandet. Dernæst sætter de fiktive tal på skitsen og beregner afstanden ud til båden. 22 Stjerneløb Eleverne konstruerer opgaver, hvis faglige indhold er ligedannede trekanter og skalafaktorer. De pointgiver opgaverne efter sværhedsgrad, og opgaverne bruges til et stjerneløb på et afgrænset område. Den gruppe, som først når 12 point, vinder løbet. Pythagoras 23 Afstande (klasseaktivitet) og kopiark 7.03 Den første aktivitet tager udgangspunkt i Pythagoras og pythagoræiske tripler, som eleverne blev præsenteret for i 7. klasse. Derved repeteres indholdet og deres forforståelse aktiveres. Eleverne trækker en talbrik fra kopiarket, finder sammen i trioer der udgør en pythagoræisk triple og danner en retvinklet trekant ud fra målene. 24 Kend din formel (paraktivitet) Eleverne omskriver Pythagoras læresætning, så kateterne kan beregnes. Eleverne har tidligere benyttet denne type omskrivning ved brug af CAS, hvilket de også kan gøre i denne opgave. 25 Sidenavne I denne opgave skriver eleverne Pythagoras læresætning ud fra en trekant med andre sidenavne end a, b og c, så de lærer at anvende Pythagoras læresætning i andre situationer. 26 Beregning eller tegning Eleverne konstruerer trekanterne for at finde længden på den manglende side og sammenligner denne metode med brug af Pythagoras læresætning. De kan vælge at tegne på papir eller ved brug af GeoGebra. 27 Pythagoras i koordinatsystem (gruppeaktivitet) Der konstrueres koordinatsystemer med kridt i fx skolegården. Eleverne måler afstande fra (0,0) til forskellige punkter og kontrollerer resultatet ved at beregne længden ved hjælp af Pythagoras læresætning. 28 Retvinklet Eleverne undersøger, hvorvidt trekanter er retvinklede ved at indsætte tallene i Pythagoras læresætning. 29 Diagonaler (paraktivitet) I denne opgave beregner eleverne sidernes diagonaler og rumdiagonalerne i en kasse. Medbring forskellige slags kasser, hvor diagonalerne og rumdiagonalerne kan vises. 30 Pyramider Pythagoras læresætning anvendes til at finde længden af grundfladens diagonal samt højden på en pyramide. 31 Bevis for Pythagoras (paraktivitet)

5 Eleverne beviser Pythagoras læresætning ved at følge instruktionen. Når eleverne beregner arealet i opgave e er det en fordel at skitsere omridset af hele figuren, da denne kan anvendes i opgave f, når arealet beregnes af det skraverede område. Eleverne kan efterfølgende blive præsenteret for andre typer af beviser for Pythagoras læresætning, da de forskellige beviser er konstrueret, så de rammer eleverne på forskellig måde. Trigonometri 32 Retvinklede trekanter Denne opgave gør eleverne opmærksomme på, at ikke alle trekantsopgaver kan løses ved hjælp af Pythagoras. Derved skabes der et behov hos eleverne for at lære noget nyt. 33 Sidenavne Eleverne præsenteres for de hosliggende og modstående kateter. Ordenes betydning skal tydeliggøres. 34 Målestoksforhold Eleverne konstruerer trekanten i målestoksforholdet 1:100 eller i GeoGebra. Højden kan herefter måles på tegningen (1 cm svarer til 1 m). Derved får eleverne en metode til at finde sider uden brug af trigonometri. 35 Flere træhøjder (paraktivitet) Eleverne tegner skitsen fra bogen på papir med de tilhørende mål. Dernæst forlænges linjen fra A gennem toppen af træet, og ligeledes linjen fra A gennem træets bund. Træets højde kan således skitseres. Eleverne kan ud fra forholdet mellem de to kateter finde træets højde, da forholdet i de to trekanter er ens. 36 Svævebanen Denne opgave handler om det samme som i opgave 35. Hvis trekanten konstrueres i målestoksforholdet 1:1.000 bliver hypotenusen 20 cm. Højden kan derved måles på tegningen og ganges med Eleverne kan endnu ikke beregne højden ved hjælp af trigonometrien, men vend tilbage til opgaven efter opgave Dragen Eleverne konstruerer den retvinklede trekant i GeoGebra og aflæser vinklen mellem jordoverfladen og linen. 38 Sider i ligedannede trekanter Eleverne konstruerer ligedannede trekanter i GeoGebrafilen og beregner forholdet mellem siderne ved at bruge regnearket i GeoGebra. 39 Højt at flyve Med udgangspunkt i opgave 38 beregner eleverne dragens højde. 40 Længdeforhold Eleverne konstruerer 8 retvinklede trekanter med hypotenuserne 1 og med forskellige vinkler i GeoGebrafilen. De aflæser længderne på kateterne og finder deres indbyrdes forhold. Resultaterne gemmes, da de skal anvendes i opgave Enhedscirklen (gruppeaktivitet) Ud fra beregningerne i opgave 40 beregnes højderne. Desuden optages en mundtlig forklaring på, hvordan man med kendskab til to ligedannede trekanter kan beregne ukendte længder ved hjælp af 3 af siderne. 42 Sinus- og cosinusværdier (paraktivitet) Eleverne undersøger sinus og cosinus ud fra enhedscirklen i GeoGebrafilen. Eleverne finder frem til, at cosinus af en vinkel aflæses på x-aksen, og sinus af en vinkel aflæses på y-aksen. 43 Taster på lommeregneren I denne opgave vurderer eleverne hjælpemidlerne: lommeregneren og enhedscirklen. Eleverne skal have hjælp til at indtaste værdierne på lommeregneren, så gennemgå første opgave a fælles i klassen. Tangens

6 44 Tangens (paraktivitet) Som i forrige opgave undersøger eleverne enhedscirklen ved at trække i det grønne punkt. I denne opgave er det tangens, der undersøges. Eleverne udfylder tabellen i regnearket ved at aflæse værdierne for tangens. 45 Tangens på lommeregneren Eleverne beregner tangens af vinkler ved at indtaste på lommeregneren. Hvis sinus og cosinus tidligere blev gennemgået i fællesskab, har eleverne forudsætningerne for selv at kunne lave beregningerne. De vurderer desuden valg af hjælpemiddel, på samme måde som de gjorde i opgave 43. Vend her tilbage til opgave 36 med beregning af højden: h = 200 * sin 20 = 200 * 0,34 = 68 m 46 Formler I den grå boks står formlerne formuleret både med udgangspunkt i kateter og hypotenusen, men også med udgangspunkt i a, b og c. De får bevist præsenteret begge typer, da trekanterne også kan have andre side- og vinkelnavne. Derfor skal eleverne lære at omskrive formlerne, så de passer til netop de trekanter, som de bliver stillet overfor. 47 Formler i brug Formlerne fra opgave 46 anvendes i denne opgave på en sådan måde, at eleverne lærer, at det er ligegyldig, hvilken formel de vælger. Alle formlerne kan anvendes og beregner det rigtige resultat. 48 Omskrivning Eleverne omskriver de trigonometriske relationer, så de får isoleret de forskellige elementer i formlerne. Elevernes arbejde samles op, således at det sikres, at alle har formlerne stående på den rigtige måde. 49 Hjælpeark (paraktivitet) og kopiark 7.04 Eleverne diskuterer, hvordan hjælpearket kan anvendes, når der skal beregnes ukendte sider eller vinkler i retvinklede trekanter, hvor 2 af vinklerne/siderne er angivet. Hjælpearket kan efterfølgende bruges som en slags formelsamling. 50 Vælg en formel (gruppeaktivitet) Eleverne begynder med at vælge den formel, som de vil bruge til at beregne de forskellige sider, som nævnes i bogen. Dernæst konstruerer de hver skitser af 3 trekanter med 2 mål på hver, hvor C ikke må være den ene. Eleverne sender trekanterne til sidemanden, der sidder til venstre, og de løser hinandens opgaver. 51 Trekantsberegninger Eleverne beregner de mangelende værdier i trekanterne ud fra formlerne, som de arbejdede med i opgave Beregn vinkler I denne opgave fortsætter eleverne med at bruge formlerne. Denne gang er det kun vinklerne, de beregner. 53 Beregn sider og vinkler Eleverne fortsætter med at bruge formlerne til beregning af ukendte sider i trekanterne. I disse opgaver skal eleverne dog også anvende deres viden omkring ligebenede trekanter og Pythagoras læresætning. 54 Afstandsberegninger Fortsat anvendelse af formlerne. 55 Tangens og højdemåling (paraktivitet) I denne opgave beregner eleverne højden af forskellige ting udendørs. De skal anvende en teodolit, et clinometer eller en app på telefonen til at beregne vinklen mellem deres øjelinje parallelt med jorden og linjen fra øjet til toppen af den ting, de vil måle højden på. Når eleverne har beregnet højden skal de huske at lægge højden fra jorden til deres eget øje til resultatet. 56 Surferen (paraktivitet) Eleverne finder frem til resultatet ved at konstruere i GeoGebra samt beregne med formlerne og de diskuterer de to løsningsmetoder.

7 57 Hvem har ret? (paraktivitet) Eleverne undersøger de to påstande og argumenterer for, hvor de har opstillet deres beregninger, som de har. Trekanters areal 58 En trekants areal (paraktivitet) Eleverne beregner arealet af trekanten på to forskellige måder. Den ene måde kan være med udgangspunkt i højden, men den kan ikke altid måles. Her benyttes trigonometri: h = c * sin A Den anden måde kan være med udgangspunkt i fraskæring ud fra et rektangel. 59 Mere areal (gruppeaktivitet) I denne opgave anvender eleverne deres formel, som de udledte i forrige opgave. De konstruerer en trekant udenfor og beregner dens areal. 60 Herons formel og kopiark 7.05 Eleverne anvendes Herons formel, som de præsenteres for i den grå boks lige inden opgaven. Der findes andre formler for trekanters areal: A = r * s a b c A = 4 R r er radius i trekantens indskrevne cirkel, s er trekantens halve omkreds. a, b og c er siderne i trekanten, R er radius i trekantens omskrevne cirkel. 61 Areal Eleverne beregner arealet af vilkårlige trekanter med hjælp af valgfrie formler. De argumenterer, hvorfor de har valgt at anvende de valgte formler. 62 Talfliser (klasseaktivitet) og kopiark 7.09 og 7.10 Denne opgave samler op på kapitlets faglige indhold. Alle brikkerne klippes ud, og eleverne trækker hver en brik og finder sammen med den makker, som har den matchende brik, således at et spørgsmål og et svar finder sammen. De to bogstaver noteres på en lap papir, som hver elev har på sig, og brikkerne lægges tilbage på lærerens bord. Der trækkes nye brikker. Aktiviteten fortsætter enten indtil, alle elever har fundet mindst 10 matchende brikker eller til der siges stop. Skriftlig problemløsning 1 Fodboldklubben I denne opgave arbejder eleverne med deres viden omkring procentregning til at løse opgaverne 2 Frispark Eleverne beregner ukendte størrelser i en trekant ved brug af trigonometri. 3 Fodboldbanen Fodboldbanens dimensioner og areal er udgangspunktet for denne opgave, hvor eleverne anvender procentregning, målestoksforhold samt viden om beregning af ukendte linjer i trekanter.