Formelsamling Noter til Fysik 4 Elektromagnetisme You can know the name of a bird in all the languages of the world, but when you re finished, you ll know absolutely nothing whatever about the bird... So let s look at the bird and see what it s doing that s what counts. I learned very early the difference between knowing the name of something and knowing something. Richard P. Feynman Benyttede bøger: Introduction to Electrodynamics, David J. Griffiths, 1999. De overordnede kapitelnumre i denne formelsamling svarer til de behandlede kapitler i bogen Introduction to Electrodynamics. Sammensat af Kristoffer Stensbo-Smidt 28. juni 2007
INDHOLD Indhold 1 Vector Analysis 4 1.1 Vektoralgebra............................................... 4 1.2 Integralregning.............................................. 4 1.3 Dirac-delta-funktionen.......................................... 4 1.4 Vektorfelter................................................ 4 2 Electrostatics 5 2.1 Coulombs lov............................................... 5 2.2 Elektriske felter.............................................. 5 2.2.1 Kontinuerte distributioner.................................... 5 2.3 Divergens og curl af elektrostatiske felter................................ 5 2.3.1 Gauss lov i funktion....................................... 6 2.3.2 Curlet af E............................................ 6 2.4 Elektrisk potentiale............................................ 6 2.4.1 Hurtig oversigt.......................................... 7 2.4.2 Overfladeladning......................................... 7 2.5 Arbejde og energi............................................. 8 2.6 Ledere................................................... 8 2.6.1 Overfladeladning og kraft på en leder............................. 8 2.6.2 Kapacitorer............................................ 9 3 Special Techniques 9 3.1 Laplace s ligning............................................. 9 3.1.1 I én dimension.......................................... 9 3.1.2 I to dimensioner......................................... 9 3.1.3 I tre dimensioner......................................... 10 3.1.4 Entydighedssætninger...................................... 10 3.2 Billedmetoden............................................... 10 3.3 Multipoler................................................. 11 4 Electric Fields in Matter 11 4.1 Bundne ladninger............................................. 12 4.2 Elektrisk forskydning........................................... 12 4.2.1 Grænsebetingelser........................................ 12 4.3 Lineære dielektrika............................................ 12 4.3.1 Grænseværdiproblemer..................................... 13 4.3.2 Energi og kræfter......................................... 13 5 Magnetostatik 13 5.1 Divergens og curl af B.......................................... 14 5.2 Magnetisk vektorpotential........................................ 14 5.2.1 Hurtig oversigt.......................................... 15 5.2.2 Grænsebetingelser........................................ 15 5.2.3 Multipolekspansion........................................ 15 6 Magnetic Fields in Matter 16 6.1 Kraft og kraftmoment.......................................... 16 6.2 Felter fra et magnetiseret objekt.................................... 16 6.3 H-feltet.................................................. 16 6.3.1 Grænsebetingelser........................................ 16 6.4 Lineært og ikke-lineært materiale.................................... 17 Side 2 af 21
INDHOLD 7 Elektrodynamik 17 7.1 Elektromotorisk kraft.......................................... 17 7.2 Elektromagnetisk induktion....................................... 18 7.2.1 Induktans............................................. 18 7.2.2 Energi i magnetiske felter.................................... 18 8 Udvalgte formler 19 8.1 Bennys tavle............................................... 19 8.2 E-felter.................................................. 19 8.3 Potentialer................................................ 20 8.4 B-felter.................................................. 20 Indeks 21 Side 3 af 21
1 Vector Analysis 1 Vector Analysis 1.1 Vektoralgebra S. 3ff. Små, hyggelige formler: A B = 0 A B det(a, B) = 0 A B (I to dimensioner) A B = 0 A B (I tre dimensioner) A B = AB cos θ (B A) = (A B) A (B C) = B(A C) C(A C) A (B C) = B (C A) = C (A B) A x A y A z A (B C) = B x B y B z C x C y C z 1.2 Integralregning S. 31. Divergensteoremet: (også kaldet Gauss teorem eller Greens teorem) ( v) dτ = v da V S S. 34. Stokes teorem: ( v) da = v dl S. 37. Partiel integration: b S P b f(x) g(x) dx = [F (x) g(x)] b a F (x) g (x) dx a a 1.3 Dirac-delta-funktionen S. 47 50. For Dirac-delta-funktionen centreret om x = a og funktionen f(x): f(x)δ(x a) dx = f(a) hele R 3 f(r)δ 3 (r a) dτ = f(a) (En dimension) (Tre dimensioner) 1.4 Vektorfelter Teorem 1.1 (S. 53. Irrotational fields ) Følgende punkter er ækvivalente: 1. F = 0 overalt. 2. b F dl afhænger kun af endepunkterne, ikke af vejen. a 3. F dl = 0 for ethvert lukket loop. 4. F er gradienten af en skalar, F = V. Teorem 1.2 (S. 54. Solenoidal fields ) Følgende punkter er ækvivalente: Side 4 af 21
2 Electrostatics 1. F = 0 overalt. 2. F da afhænger kun af randen, ikke af overfladen. 3. F da = 0 for enhver lukket overflade. 4. F er rotationen af en vektor, F = A. 2 Electrostatics 2.1 Coulombs lov S. 59. Coulombs lov: F = 1 qq r r 3 (r r ) hvor r er positionen af testladningen Q, mens r er positionen af punktladningen q. 2.2 Elektriske felter S. 60. Punktladninger q 1, q 2,..., q n med afstande r r 1, r r 2,..., r r n fra Q: 2.2.1 Kontinuerte distributioner S. 62. Kontinuerte elektriske felter: F = QE, E(r) = 1 Linjeladning: λ er ladning pr. linjeelement dl : E(r) = 1 P n i=1 q i r r i 3 (r r i ) λ(r ) r r 3 (r r ) dl Overfladeladning: σ er ladning pr. overfladeelement da : E(r) = 1 σ(r ) r r 3 (r r ) da Volumenladning: ρ er ladning pr. volumenelement dτ : E(r) = 1 ρ(r ) r r 3 (r r ) dτ S V 2.3 Divergens og curl af elektrostatiske felter S. 67. Fluxen af et felt E er givet som: Φ E E da S. 68. For enhver lukket overflade gælder Gauss lov: E da = 1 Q enc ε 0 S S E = 1 ε 0 ρ(r) (Integralform) (Differentialform) hvor Q enc er den totale ladning indenfor overfladen. Side 5 af 21
2.4 Elektrisk potentiale 2.3.1 Gauss lov i funktion S. 71. Det elektriske felt i afstanden r fra en uniformt ladet sfærisk kilde med ladningen q: E = 1 q r 2 ˆr S. 73. Det elektriske felt inde i en lang cylinder hvor ladningsdensiteten afhænger af afstanden s fra aksen og en konstant k, dvs. ρ = ks: E = 1 3ε 0 ks 2 ŝ S. 74. Det elektriske felt i en hvilken som helst afstand fra en uendeligt plan med uniform overfladeladning σ: hvor ˆn er enhedsvektoren, der peger væk fra planen. E = σ 2ε 0 ˆn 2.3.2 Curlet af E S. 77. For enhver statisk ladningsdistribution gælder: E dl = 0 2.4 Elektrisk potentiale S. 78. Det elektriske potentiale er defineret som hvor O er et referencepunkt. Differentialversion: Forskellen mellem to punkter er: E = 0 V (r) r O E = V V (b) V (a) = E dl b a E dl Bemærk: Forskellen ændres ikke, hvis der skiftes referencepunkt O. S. 81. Superpositionsprincippet gælder: S. 83. Poissons ligning: F = F 1 + F 2 +... E = E 1 + E 2 +... V = V 1 + V 2 +... 2 V = ρ ε 0 Side 6 af 21
2.4 Elektrisk potentiale Hvis ρ = 0 får man Laplace s ligning: 2 V = 0 S. 84. Potentialet af punktladninger q n er: V (r) = 1 n i=1 q i r r i For forskellige ladninger: V (r) = 1 V (r) = 1 V (r) = 1 λ(r ) r r dl (Linjeladning) σ(r ) r r da (Overfladeladning) ρ(r ) r r dτ (Volumenladning) 2.4.1 Hurtig oversigt S. 87. Nyttig figur: ρ ρ r r dτ E = 1 E = ρ ε 0 ; E = 0 r r r r 3 ρ dτ V = 1 2 V = ρ ε 0 E = V V V = E dl E 2.4.2 Overfladeladning S. 89. Det elektriske felt er diskontinuert, når man krydser en overfladespænding. Forskellen fra den ene til den anden side er: E over E under = σ ε 0 ˆn hvor ˆn er enhedsvektoren vinkelret på overfladen, pegende fra under til over. Dette gælder kun for overfladen selv et eksternt felt er kontinuert gennem overfladen! Side 7 af 21
2.5 Arbejde og energi Potentialet er kontinuert, mens gradienten af potentialet ikke er: V over = V under V over ˆn V under ˆn = 1 ε 0 ρ 2.5 Arbejde og energi S. 91. Arbejde, der kræves for at flytte en ladning Q fra a til b: W = Q(V (b) V (a)) Hvis ladningen flyttes fra til r bliver arbejdet blot W = QV (r). S. 92. Arbejde, der kræves, for at samle n ladninger q i : W = 1 2 n q i V (r i ) i=1 Dette svarer også til den energi, man får, hvis man fjerner ladningerne helt fra hinanden. Energien, der kræves for at danne ladningerne, er ikke talt med her. S. 93. For en volumenladning: W = 1 2 ρv dτ = ε 0 2 Hele R 3 E 2 dτ Dette er den totale energi i samlingen af ladninger, dvs. inkl. energien, der kræves for at danne ladningerne! For en linjeladning og en overfladeladning fås: W = 1 λv dl (Linjeladning) 2 W = 1 σv da (Overfladeladning) 2 S. 96. Vigtigt! Superpositionsprincippet kan ikke bruges på arbejdet! 2.6 Ledere S. 97. Egenskaber ved perfekte ledere: E = 0 inden i en leder. Hvis lederen placeres i et elektrisk felt, vil der inden i lederen dannes et andet i modsat retning, som får det totale felt indeni til at blive 0. ρ = 0 inden i en leder. Der er ladning, bare ligeså meget positivt som negativt. Summen inden i bliver 0. Er der en ladning, vil denne ligge på overfladen. En leder har samme potentiale overalt, sålænge det er indeni eller på overfladen af en leder. Her gælder: V (a) = V (b). E står vinkelret på overfladen lige udenfor lederen. 2.6.1 Overfladeladning og kraft på en leder S. 102. Lige udenfor en leder er feltet E = σ ε 0 ˆn Side 8 af 21
3 Special Techniques Kraften pr. areal er givet ved: f = σe gennemsnit = 1 2 σ(e over + E under ) = 1 2ε 0 σ 2ˆn P = ε 0 2 E2 2.6.2 Kapacitorer S. 104. Kapacitansen er givet som C Q V hvor V = V + V er forskellen i potentialet mellem de to ledere. Q er den positive leders ladning. S. 106. Arbejdet det kræver at oplade en kapacitor: W = 1 2 CV 2 3 Special Techniques 3.1 Laplace s ligning S. 111. Laplace s ligning: 3.1.1 I én dimension S. 111. Laplace s ligning bliver: 2 V = 2 V x 2 + 2 V y 2 + 2 V z 2 = 0 Løsningen bliver: 2 V x 2 = 0 V (x) = mx + b S. 112. Bemærk: 1. V (x) er et gennemsnit: V (x) = 1 [V (x + a) + V (x a)] 2 2. Der findes ingen lokale ekstrema disse kan kun findes i endepunkterne. 3.1.2 I to dimensioner S. 112. Laplace s ligning bliver: Her findes ingen generel løsning! S. 113. Bemærk: 2 V x 2 + 2 V y 2 = 0 Side 9 af 21
3.2 Billedmetoden 1. V (x, y) er et gennemsnit af punkterne omkring det: V (x, y) = 1 2πR cirkel V dl 2. Der findes ingen lokale ekstrema disse kan kun findes på randen. 3.1.3 I tre dimensioner S. 111. Laplace s ligning bliver: S. 114. Bemærk: 2 V x 2 + 2 V y 2 + 2 V z 2 = 0 1. V (r) er et gennemsnit af punkterne i en kugle omkring det: V (r) = 1 4πR 2 V da kugle 2. Der findes ingen lokale ekstrema disse kan kun findes på randen. 3.1.4 Entydighedssætninger S. 116. Første entydighedssætning: Løsningen til Laplace s ligning i et volumen V er unikt bestemt, hvis V er bestemt på overfladen S. S. 118. Anden entydighedssætning: I et volumen V omkranset af ledere og som indeholder en bestemt ladningsdensitet ρ er det elektriske felt unikt bestemt, hvis den totale ladning på hver leder er givet. (Regionen som helhed kan være omkranset af en anden leder eller slet ikke være omkranset af noget). S. 118. Alternativ første entydighedssætning: Potentialet V i et volumen V er unikt bestemt hvis (a) ladningsdensiteten i regionen og (b) værdien af V på hele randen er bestemt. 3.2 Billedmetoden S. 121. Betragt en punktladning q i punktet (0, 0, d) og et ledende plan i xy-planen. For at finde bl.a. potentialet i området over planet betragtes i stedet to modsatte ladninger i (0, 0, d) og (0, 0, d). S. 122. Potentialet bliver: V (x, y, z) = 1 [ q x2 + y 2 + (z d) 2 S. 123. Overfladeladningen induceret på det ledende plan er: σ(x, y) = Den totale ladning induceret på planet er Q = q. Kraften bliver: S. 124. Energien bliver: qd 2π(x 2 + y 2 + d 2 ) 3/2 F = 1 q 2 (2d) 2 ẑ W = 1 q 2 4d Dette er også arbejdet, der skal bruges, for at bringe ladningen ind fra. ] q x2 + y 2 + (z + d) 2 Side 10 af 21
3.3 Multipoler Bemærkning 3.1 (S. 190. Regler for billeder) 1. Man må ikke indsætte billedladninger i den region, man finder potentialet i. 2. Billedladningerne skal summere til den korrekte totale ladning i hver region. 3.3 Multipoler S. 149. Dipolmomentet er defineret som p r ρ(r ) dτ Dipol-potentialet er: Fra Bennys note E3.4.2: Potentialet bliver da: V dip (r) = 1 p r r 3 V (r) = 1 Q r + 1 p r r 3 S. 150. Dipolmomentet for en samling punktladninger: n p = q i r i Dipolmomentet for den fysiske dipol: i=1 p = qd hvor d går fra den negative ladning til den positive. S. 152. Flyttes koordinatsystemet et stykke a, ændres dipolmomentet: S. 153. Den elektriske dipol: E dip (r, θ) = 4 Electric Fields in Matter S. 161. Dipolmomentet er proportional til E: p = p Qa p (2 cos θˆr + sin θ ˆθ) r3 p = αe hvor α er atomar polarisabilitet. S. 164. Kraftmomentet om dipolens center er givet som: N = p E S. 165. om et hvilket som helst andet punkt er givet som: hvor F er givet som N = (p E) + (r F) S. 166. Polarisationen er defineret som dipolmomentet per volumen: i V P p i V hvor V er et lille volumen. F = (p )E F = (p E) (Side 258) Side 11 af 21
4.1 Bundne ladninger 4.1 Bundne ladninger S. 167. Bundet overfladeladning: S. 168. Bundet volumenladning: σ b = P ˆn ρ b = P 4.2 Elektrisk forskydning S. 175. Den elektriske forskydning er defineret som D ε 0 E + P Gauss lov bliver da: D = ρ f D da = Q fenc (Differentialform) (Integralform) Metode 4.1 (S. 178. Beregning af forskydning) Hvis der er symmetri, benyt Gauss lov på sammen måde som til at beregne det elektriske felt. Hvis der ikke er symmetri, find en anden måde! Men antag aldrig at D er bestemt udelukkende ved den frie ladning! 4.2.1 Grænsebetingelser S. 178. Forskydningen er diskontinuert over en overflade: Dover Dunder = σ f og D over D under = P over P under S. 179. For E-feltet: 4.3 Lineære dielektrika E over E under = σ ε 0 E over E under = 0 S. 179. For lineære dielektrika kan polarisationen kan også skrives som: hvor χ e er den elektriske susceptibilitet. S. 180. Der vil altid gælde, at hvor ε = ε 0 (1 + χ e ) kaldes permittiviteten. Den relative permittivitet er givet ved P = ε 0 χ e E D = εe ε r 1 + χ e = ε ε 0 Side 12 af 21
5 Magnetostatik 4.3.1 Grænseværdiproblemer S. 186. For volumenladningerne gælder der: 4.3.2 Energi og kræfter ( ) χe ρ b = ρ f 1 + χ e S. 191. Energien i en kapacitor fyldt med et dielektrisk materiale bliver W = 1 D E dτ 2 S. 195. Kraften, en kapacitor vil udøve på det mellemliggende materiale for at holde det inde, kan beregnes som F = ε 0χ e a 2d V 2 hvor a er arealet af kapacitoren og d er afstanden mellem de to plader. 5 Magnetostatik S. 204. Lorentz-kraftloven: F = Q[E + (v B)] S. 206. Magnetiske kræfter udfører intet arbejde! S. 209. Den magnetiske kraft kan også udtrykkes ved strømstyrken: F mag = I (dl B) hvor dl er i strømmens retning. S. 211. Fladestrømsdensiteten defineres som: K di dl = σv hvor σ er fladeladningsdensiteten. Den magnetiske kraft kan da bestemmes som: F mag = (v B)σ da = (K B) da S. 212. Volumenstrømsdensiteten defineres som: J di da = ρv hvor ρ er volumenladningsdensiteten. Den magnetiske kraf kan da bestemmes som: F mag = (v B)ρ dτ = (J B) dτ S. 214. Kontinuitetsligningen: J = ρ t Side 13 af 21
5.1 Divergens og curl af B S. 215. Biot-Savarts lov: B(r) = µ 0 I (r r ) 4π r r 3 dl = µ 0 dl 4π I (r r ) r r 3 S. 219. Biot-Savarts lov for flade- og volumenstrømme: B(r) = µ 0 4π 5.1 Divergens og curl af B S. 223. Divergensen er altid 0: S. 225. Ampères lov: K(r ) (r r ) r r 3 da og B(r) = µ 0 4π B = 0 J(r ) (r r ) r r 3 dτ B = µ 0 J B dl = µ 0 I enc (Differentialform) (Integralform) For forskellige B-felter, se afsnit 8.4 side 20 i denne formelsamling. 5.2 Magnetisk vektorpotential S. 234. Sammenhæng mellem B og vektorpotentialet A: Divergensen er 0: S. 235. Ampères lov kan skrives: B = A A = 0 2 A = µ 0 J S. 235-236. Hvis strømmen går mod 0 for r kan A bestemmes ved A(r) = µ 0 I(r ) 4π r r dl = µ 0I 1 4π r r dl (Linjestrømme) A(r) = µ 0 K(r ) 4π r r da (Fladestrømme) A(r) = µ 0 J(r ) 4π r r dτ (Volumenstrømme) S. 238. I lighed med Ampères lov fås: A dl = Φ hvor Φ er fluxen af B gennem det pågældende loop. Side 14 af 21
5.2 Magnetisk vektorpotential 5.2.1 Hurtig oversigt S. 240. Nyttig figur: J A = µ 0 J 4π r r dτ 2 A = µ 0 J B = µ 0 4π J (r r ) r r 3 dτ B = µ 0 J; B = 0 B = A; A = 0 A B 5.2.2 Grænsebetingelser S. 241. For B-feltet: Altså: hvor ˆn er normalvektoren til overfladen. S. 242. A er kontinuert: Men det er den afledede ikke: B over = B under B over B under = µ 0K B over B under = µ 0 (K ˆn) A over n A over = A under A under n = µ 0 K 5.2.3 Multipolekspansion S. 244. Vektorpotentialets dipol: A dip (r) = µ 0 m (r r ) 4π r r 3 hvor m I da = Ia er det magnetiske dipolmoment og a er vektorarealet af loopet. S. 246. Den magnetiske dipol: B dip (r) = µ 0m 4πr 3 (2 cos θˆr + sin θ ˆθ) Side 15 af 21
6 Magnetic Fields in Matter 6 Magnetic Fields in Matter 6.1 Kraft og kraftmoment S. 257. Kraftmomentet på enhver ladningsdistribution i et magnetisk felt: N = m B hvor m er det magnetiske dipolmoment. I et uniformt magnetfelt er den resulterende kraft på et ladningsloop 0. S. 258. For et infinitesimalt loop med dipolmoment m i et felt B er kraften: 6.2 Felter fra et magnetiseret objekt S. 264. Bundet volumenstrøm: Bundet fladestrøm: hvor ˆn er normalvektoren. 6.3 H-feltet S. 269. H er givet som: Ampères lov bliver da: F = (m B) J b = M K b = M ˆn H 1 µ 0 B M H = J f H dl = I fenc (Differentialform) (Integralform) S. 273. Divergensen af H er normalt ikke (som B) lig 0: H = M 6.3.1 Grænsebetingelser S. 273. For H: Hover H under = (M over M under ) H over H under = K f ˆn S. 274. For B: Bover B under = 0 B over B under = µ 0(K ˆn) Side 16 af 21
6.4 Lineært og ikke-lineært materiale 6.4 Lineært og ikke-lineært materiale S. 274. Lineære materialer opfylder følgende relation: M = χ m H hvor χ m kaldes den magnetiske susceptibilitet (skema s. 275). S. 275. Relationen melllem B og H: B = µh hvor µ µ 0 (1 + χ m ) kaldes permeabiliteten. Den relative permeabilitet er givet som µ r 1 + χ m = µ/µ 0. S. 277. I et homogent lineært materiale: 7 Elektrodynamik S. 285. Ohms lov: J b = χ m J f J = σ(e + v B) σe da v oftest er ubetydelig. σ kaldes for konduktiviteten. Nogle gange oplyses resistiviteten ρ = 1/σ (skema s. 286). S. 287. Ohms lov er også kendt som: V = IR hvor V er potentialforskellen mellem to elektroder, I er strømstyrken mellem dem og R er resistansen, der afhænger af geometrien. S. 290. Joules opvarmningslov: P = V I = I 2 R hvor P er effekten, V er potentialforskellen, I er strømstyrken og R er resistansen. 7.1 Elektromotorisk kraft S. 293. Den elektromotoriske kraft (emf) er givet som E f dl = f s dl hvor f = f s + E er den elektrostatiske kraft og f s er kraften, der får elektronerne til at flytte sig (som bæltet i en Van de Graaff-generator). Idéelt gælder der: V = E og dermed også E = IR (Ohms lov, s. 298). S. 296. For en ledningsloop, der trækkes gennem et magnetfelt gælder der (Lenz lov): hvor Φ B da er fluxen af B gennem loopet. E = dφ dt Side 17 af 21
7.2 Elektromagnetisk induktion 7.2 Elektromagnetisk induktion S. 302. Ændres den magnetiske flux gennem et loop dannes en emf: E = dφ dt For det inducerede elektriske felt gælder Faradays lov: B B dl = t da E = B t (Integralform) (Differentialform) Hvis symmetrien tillader det, kan Faradays lov i integralform benyttes på samme måde som Ampères lov for B-felter. S. 306. En anden version af Faradays lov i integralform: E dl = dφ dt 7.2.1 Induktans S. 311. Hvis en strøm I 1 løber gennem loop 1, bliver fluxen gennem loop 2: hvor M er den gensidige induktans. S. 312. Ændres strømmen induceres der en emf: Φ 2 = MI 1 Φ 1 = MI 2 E 2 = M di 1 dt S. 313. Der induceres også en emf i loopet, hvor strømmen ændres: E = L di dt hvor L kaldes selv-induktansen eller bare induktansen. 7.2.2 Energi i magnetiske felter S. 317. Forøges strømstyrken i en ledning fra 0 til I, er der udført et arbejde: W = 1 2 LI2 S. 318. Arbejdet mere generelt: W = 1 2 (A J) dτ = 1 2µ 0 B 2 dτ Side 18 af 21
8 Udvalgte formler 8 Udvalgte formler 8.1 Bennys tavle Elektrostatik F = qe Magnetostatik E = ρ ε 0 B = 0 E = 0 E = V F = qv B B = µ 0 J B = A 2 V = ρ 2 A = µ 0 J ( A = 0) ε 0 V (r) = 1 ρ(r ) r r dτ A(r) = µ 0 J(r ) 4π r r dτ D = ε 0 E + P H = B µ 0 M 8.2 E-felter S. 65. Punktladning: S. 63. Uendelig lang linje: D = ρ f H = J f W = D E dτ W = B H dτ W = ε 0 E 2 dτ W = 1 2 2 B H dτ N = p E N = m B ρ b = P σ b = P ˆn i V P = p i V E = 1 q r 2 ˆr E = 1 2λ s ŝ S. 63. Afstanden z over midtpunktet af en endelig linje med længden 2L: E = 1 2λL z z 2 + L ẑ 2 S. 64. I afstanden z på aksen af en ring med radius r: (opgave) E = λ rz 2ε 0 (r 2 + z 2 ) ẑ 3/2 S. 64. I afstanden z på aksen af en cirkelskrive med radius R: (opgave) E = σ ( ) z 1 ẑ 2ε 0 R2 + z 2 J b = M K b = M ˆn i V M = m i V Side 19 af 21
8.3 Potentialer S. 72. En uendelig plan: S. 71. Kugle: Altså det samme som en punktladning! E = σ 2ε 0 ˆn E = 1 q r 2 ˆr 8.3 Potentialer S. 84. Punktladning: V (r) = 1 q r S. 82. Kugleskal med radius R, overfladeladning σ og total ladning q: V (r) = { 1 q 1 S. 82. Kugle med radius R og total ladning q: (opgave) r = R2 σ ε 0r q R = Rσ ε 0 for r > R for r < R S. 166. For en enkelt dipol: V (r) = { 1 q 1 r ε 0r ( 3 r2 q 2R R 2 ) V (r) = 1 (r r ) p r r 3 for r > R for r < R 8.4 B-felter S. 226. Uendelig lang wire: B = µ 0I 2πs ˆϕ S. 227. Uendelig, uniform fladestrøm K = Kˆx over xy-planen: { +(µ 0 /2)Kŷ for z < 0, B = (µ 0 /2)Kŷ for z > 0. S. 218. B-feltet i afstanden z på aksen af en cirkulær ring med radius R og strøm I: B = µ 0I 2 R 2 (R 2 + z 2 ) 3/2 S. 228. Uendelig lang cylinder (spole) med radius R, n vindinger pr. enhedslængde: { µ 0 niẑ indeni cylinderen, B = 0 udenfor cylinderen. S. 230. Torus (spole) med ialt N vindinger: B = { µ0ni 2πs ˆϕ indeni spolen, 0 udenfor spolen. Side 20 af 21
Indeks A, 14 Ampères lov, 14, 16 arbejde, 8 linjeladning, 8 overfladeladning, 8 volumenladning, 8 B-felter, 20 Biot-Savarts lov, 14 bundne ladninger, 12 Coulombs lov, 5 dipolmoment, 11 fysisk dipol, 11 Dirac-δ-funktion, 4 divergensteoremet, 4 elektrisk dipol, 11 elektrisk felt, 5 linjeladning, 5 overfladeladning, 5 volumenladning, 5 elektrisk potentiale, 6 elektromotorisk kraft, 17 emf, 17 entydighedssætninger, 10 Faradays lov, 18 fladestrømsdensitet, 13 flux, 5 forskydning, 12 Gauss lov, 5 Gauss teorem, 4 gensidig induktans, 18 Greens teorem, 4 kraftmoment elektrisk felt, 11 magnetisk felt, 16 Laplace s ligning, 7, 9 leder, 8 Lenz lov, 17 Lorentz-kraftlov, 13 magnetisk dipol, 15 magnetisk dipolmoment, 15 magnetisk susceptibilitet, 17 magnetisk vektorpotential, 14 Ohms lov, 17 partiel integration, 4 permeabilitet, 17 Poissons ligning, 6 polarisation, 11, 12 potentiale linjeladning, 7 overfladeladning, 7 punktladning, 7 volumenladning, 7 potentialer, 20 resistivitet, 17 solenoidal fields, 4 Stokes teorem, 4 superposition, 6 volumenstrømsdensitet, 13 H, 16 hurtig oversigt elektrostatik, 7 magnetostatic, 15 irrotational fields, 4 Joules lov, 17 kapacitor, 9 konduktivitet, 17 kontinuitetsligningen, 13 kraft elektrisk felt, 11 magnetisk felt, 16 21