Fysik 21 Formeloversigt

Transkript

1 Fysik 21 Formeloversigt Henrik Dahl 18. januar 2004 Indhold 1 Betegnelser og enheder 2 2 Formler Elektrostatik Generelt Kraft, kraftmoment E-felt Potential Arbejde, Energi Dipolmomoment Polarisation D-felt Magnetostatik Generelt Kraft, kraftmoment B-felt Vektorpotential Magnetisk dipolmoment Magnetisering H-felt Arbejde og energi Elektrodynamik Generelt Ohm, Joule Elektromotorisk kraft Faraday Flux Arbejde og energi Maxwell Elektronik

2 1 BETEGNELSER OG ENHEDE Generelt Modstand Kondensator Spole Batteri Grænsebetingelser Feltlinjer 12 4 Ledere 12 5 Kondensator 13 6 Opskrifter 14 7 Konfigurationer Uendelig lang linje Plan Cirkelrand Roterende cirkel Cylinder Kugleskal Kugle Solenoide Toroide Egenskaber 17 1 Betegnelser og enheder α Atomisk polarisabilitet [m C 2 N 1 ] A Vektorpotentiale i magnetostatik [Wb/m =T m] B Magnetfelt [T] [N s C 1 m 1 =N A 1 m 1 =kg C 1 s 1 =kg A 1 s 2 ] C Kapacitans [F=C V 1 ] χ e χ m Elektrisk succeptibilitet - enhedsløs Magnetisk succeptibilitet - enhedsløs D Elektrisk displacement, D-felt [C m 2 ] ε 0 Permittiviteten i vakuum, = 1 4πc 2 = [C 2 N 1 m 2 ]

3 1 BETEGNELSER OG ENHEDER 3 ε Permittivitet [C 2 N 1 m 2 ] ε r Dielektrisk konstant - enhedsløs E E-felt [V m 1 =N C 1 ] E Elektromotorisk kraft [V] F Kraft [N] Φ Magnetisk flux [Wb =T m 2 ] I Strøm [A=C s 1 ] H Magnetfelt J Volumenstrømtæthed [A m 3 ] J b Bundet volumenstrømtæthed [A m 3 ] J f Fri volumenstrømtæthed [A m 3 ] K Overfladestrømtæthed [A m 2 ] K b Bundet overfladestrømtæthed [A m 2 ] K f Fri overfladestrømtæthed [A m 2 ] L Selvinduktans [H = T m 2 /A] λ Ladningstæthed (Ladning pr længdeenhed) [C m 1 ] m Magnetisk dipolmoment [A m 2 ] M Magnetisering, magnetisk dipolmoment pr volumenenhed [A/m] µ 0 Permeabiliteteten af vacuum =4π 10 7 [N A 2 ] µ Magnetisk permeabilitet [N A 2 ] µ r Relativ permeabilitet - enhedsløs N Kraftmoment [N m] ˆn Overfladenormal p Elektrisk dipolmoment [C m] P Polarisation (Dipolmoment pr enhedsvolumen) [C m 2 ] P Effekt [J]

4 2 FORMLER 4 q Ladning [C=A s] Q Ladning [C=A s] Q enc Den i en Gauss-dåse indeholdte ladning [C=A s] R Afstand fra kildepunkt [m] r Stedvektor [m] ˆr Enheds-stedvektor R Resistans [Ω=V/A] ρ Ladningstæthed (Ladning pr volumenenhed) [C m 3 ] ρ b Bunden volumenladningstæthed [C m 3 ] ρ f Fri volumenladningstæthed [C m 3 ] σ Ladningstæthed (Ladning pr arealenhed) [C m 2 ] σ b Bunden overfladeladningstæthed [C m 2 ] σ f Fri overfladeladningstæthed [C m 2 ] v Hastighed [m s 1 ] U Energi [J] V Potential [J C 1 =V] W Arbejde [J] 2 Formler 2.1 Elektrostatik Generelt R = r r = r Q r q (2.2) s.59 ε r = 1 + χ e = ε ε 0 = C C 0 Relativ permitivitet (4.34) s.180 p = αe Atomisk polarisabilitet (4.1) s.161 α = 3ε 0 v (4.2) s.162 σ b = P ˆn Bundet ovfl.ladning (4.11) s.167 ρ b = P Bundet vol ladn (4.12) s.168 ρ = ρ b + ρ f (4.20) s.175 σ = σ b + σ f HV 1V 2 dτ = ρ HV 2V 1 dτ Greens reciprocitet s.157 ε ε 0 (1 + χ e )

5 2 FORMLER Kraft, kraftmoment F = 1 qq Coulombs lov (2.1) s.59 F = QE (2.3) s.60 F = (p )E meget kort dipol (4.5) s.165 N = p E om center på dipol (4.4) s.164 N = (p E) + (r F) om andre punkter s E-felt E(r) = 1 qi = 1 ˆR i ˆR Diskret samling (2.4) s.60 dq (2.5) s.61 E(r) = 1 λ(r L ) ˆRdl linjeladning (2.6) s.62 E(r) = 1 σ(r S ) ˆRda overfladeladning (2.7) s.62 E(r) = 1 ρ(r V ) ˆRdτ volumenladning (2.8) s.62 E da = 1 S ε 0 Q enc Gauss lov (2.13) s.68 E = 1 ε 0 ρ enc do. (2.14) s.69 E dl = E = 0 Rotation af E-felt i elektrostatik (2.20) s.77 Φ E = E da Flux (2.11) s.67 S E = V (2.23) s.78 E dip (r, θ) = p (2 cos θˆr + sin θˆθ) r 3 (3.103) s.153 E dip (r, θ) = 1 [3(p ˆr)ˆr p] r 3 (3.104) s ε 0 pδ 3 (r) Korrektion (3.106) s.157 E d = E v E p d diel, v vacuum, p polar DTU5.11 s.42 E d = E v σ p /ε 0 DTU5.12 s.42 E d = E v /(1 + χ) do

6 2 FORMLER Potential V (r) = r E dl Elektrisk potential (2.21) s.78 O V (r) = 1 q Punktladning (2.26) s.84 R V (r) = 1 qi R i (2.27) s.84 V (r) = 1 λ(r ) R dl Linjeladning (2.30) s.85 V (r) = 1 σ(r ) R da Overfladeladning (2.30) s.85 V (r) = 1 ρ(r ) dτ Volumenladning (2.29) s.84 R 2 V = ρ ε 0 Poissons ligning (2.24) s.83 2 V = 0 Laplaces ligning V (b) V (a) = W/Q (2.38) s.91 V mon (r) = 1 Q (3.97) s. 149 r V dip (r) = 1 p ˆr ( = p cos θ r 2 (3.99) s.149, (3.102) s.153 r 2 V = 1 P da P ) dτ (4.10) s.167 S R V R V = 1 σ b ( S R da + ρ b dτ ) (4.13) s.168 V R Arbejde, Energi W = 1 n 2 i=1 q iv (r i ) (2.42) s.92 W = 1 2 ρv dτ (2.43) s.93 W = ε 0 2 HV E2 dτ 1 D Edτ (2.45) s.94, (4.58) s HV U = p E Energi ideal dipol (4.6) s.165 U = 1 1 [p r 3 1 p 2 3(p 1 ˆr)(p 2 ˆr)] (4.7) s Dipolmomoment p = r ρ(r )dτ Dipolmoment (3.98) s.149 p = i q ir i (3.100) s.150 p = q(r + r ) = qd d fra neg til pos (3.101) s Polarisation P = ε 0 χ e E E Totalt felt, lin.[c/m 2 ] (4.30) s D-felt D ε 0 E + P (4.21) s.175 D = ρ f Gauss lov (4.22) s.175 S f enc Gauss lov (4.23) s.176 D = P >=< 0 (4.25) s.178 D = ε 0 (1 + χ e )E = εe (4.32,33) s.180

7 2 FORMLER Magnetostatik Generelt I = λv = dq Linjeladning (5.14) s.208 dt I = J da = Jdτ (5.28) s.213 S V J = di da = ρv Vol. strømtæthed (5.25) (5.26) s.212 K = di dl = σv Ovfl. strømtæthed (5.22)(5.23) s.211 J = dρ Bev. af ladn. kont.ligning (5.29) s.214 dt J = 0 Magnetostatik (5.31) s.215 J b = M Vol. strøm (6.13) s.264 K b = M ˆn Overfladestrøm (6.14) s.264 J b = 0 s.268 J = J b + J f (6.17) s.269 J b = χ m J f (6.33) s.277 µ = µ 0 (1 + χ m ) = µ 0 µ r Kraft, kraftmoment F = Q[E + v B] Lorentz (5.2) s.204 F mag = I(dl B)(= I dl B) (5.15)(5.17) s.209 F mag = K Bda (5.24) s.211 F mag = J Bdτ (5.27) s.212 F = (m B) Infinitesimal løkke (6.3) s.258 N = m B Kraftmoment (6.1) s B-felt B(r) = µ 0 4π B(r) = µ 0 4π B(r) = µ 0 I ˆR K(r ) ˆR dl Biot-Savart (5.32) s.215 da Biot-Savart (5.39) s.219 J(r ) ˆR dτ Biot-Savart (5.39) s.219 4π B dl = µ0 I enc Amperes lov (5.42) s.222, (5.55) s.225 B = µ 0 J Amperes lov (5.44) s.222, (5.54) s.225 B = 0 (5.48) s.223 I enc = J da (5.43) s.222 B = A Vektorpotential (5.59) s.234 B dip (r) = µom (2 cos θˆr + sin θˆθ) 4πr 3 (5.86) s.246 B dip (r) = µ o [3(m ˆr)ˆr m] (5.87) s.246 4πr 3 (+ 2µ 0 3 mδ3 (r)) Korrektion (5.90) s.254 B = µ 0 (1 + χ m )H = µh = µ 0 µ r H Permeabilitet ( ) s.275

8 2 FORMLER Vektorpotential J(r ) A(r) = µ 0 dτ (5.63) s.235 4π R A = µ 0 I 4π R dl (5.64) s.236 A = µ 0 I 1 4π R dl (5.64) s.236 A = µ 0 K 4π R da (5.64) s A = µ 0 J (5.62) s.235 A = 0 (5.61) s.234 A dip (r) = µ 0 m ˆr (5.83) s.244 4π r 2 A dip (r) = µ 0 m sin θ ˆφ 4π r (5.85) s A(r) = µ 0 M(r ) ˆR 4π ( dτ (6.11) s.263 A(r) = µ 0 J b (r ) dτ + ) K b (r ) 4π V R S R da (6.15) s Magnetisk dipolmoment m = I da = Ia = I.(areal).ẑ pr. vinding (5.84) s Magnetisering M = m i / τ Magnetisering M = χ m H Magnetisk succeptibilitet (6.29) s H-felt H 1 µ 0 B M (6.18) s.269 H = J f Amperes lov (6.19) s.269 H dl = Ifenc Amperes lov (6.20) s.269 H = M 0 (6.23) s Arbejde og energi w B = HB 2 U = µ 0 4πr 3 [m 1 m 2 3(m 1 ˆr)(m 2 ˆr)] (6.35) s Elektrodynamik Generelt J = σ f Konduktivitet (7.1) s.285 ρ = 1/σ Resistivitet s.285 f = f s + E (7.9) s.292

9 2 FORMLER Ohm, Joule J = σ (E + v B)(= σ E) Ohms lov (7.2)(7.3) s.285 V = IR Ohms lov (7.4) s.287 E = 1 J = 0 (7.5) s.288 σ P = V I = I 2 R Joules varmelov (7.7) s Elektromotorisk kraft E = f dl = f s dl Elektromotorisk kraft (7.9) s. 293 E = f mag dl = vbh (7.11) s.294 E = dφ Fluxreglen (7.13) s.296 dt V = b E dl = E (7.10) s.293 a E = L di (7.26) s.313 dt Faraday E dl = B dφ da = t dt Faradays lov (7.15) s.302 E = B t Faradays lov (7.16) s Flux Φ B da Flux (7.12) s.295 Naturen modvirker fluxændringer Lenz lov s.304 Φ = LI Selvinduktans [H=Vs/A] (7.25) s Arbejde og energi W = 1 2 LI2 (7.29) s.317 W mag = 1 2µ 0 HV B2 dτ (7.34) s.318 W elec = ε 0 2 HV E2 dτ

10 2 FORMLER Maxwell E = ρ ε 0 Gauss (7.39) s.326 B = 0 do. E = B Faraday do. t E B = µ 0 J + µ 0 ε 0 Ampere++ do. t F = q(e + v B) Lorentz (7.40) s.326 J = ρ (7.41) s.326 t D = ρ f Gauss (7.55) s.330 B = 0 do. E = B t Faraday do. H = J f + D Ampere++ do. t P = ε 0 χ e E (7.56) s.330 M = χ m H do. D = εe (7.57) s.330 H = 1 B µ do. ε ε 0 (1 + χ e ) s.330 µ µ 0 (1 + χ m ) do. J d = D (7.58) s.330 t D ds = Q S C S t S B ds = 0 C H dl = S J ds + S 2.5 Elektronik Generelt D t ds J = σe, σ = q e nµ Ohms lov (3) s.2 σ = ne2 τ m e, e 2 = q2 e Drude (4) s.2 i I i = 0 Kirchoff I: Knudeligning (17) s.5 batt E = spol L i di i + dt kap V C + modst R ii i Kirchoff II: Maskeligning (25) s.7 V C = 1 t C 0 I(t )dt Ẽ(ω) = E(t)eiωt dt Vekselstrøm (46) s.13 I(t) = dω Ĩ(ω)e iωt Vekselstrøm (54) s.14 2π Z = R + ix R resist, X reakt < P >= 1 2 I2 0R = Ieff 2 R (63)(64) s.16

11 2 FORMLER Modstand V = RI Ohms lov (5) s.2 R = L s.2 σa dw = V I = RI 2 Joule (7) s.2 dt Ẽ R = RĨ(ω) Vekselstrøm (49) s Kondensator Q = CV (8) s.3 W = Q2 (9) s.3 2C I = C dv Ohms lov (10) s.3 dt V = 1 C Idt (10) s.3 Ẽ C = Ĩ(ω) Ĩ(ω) Vekselstrøm (52)(53) s.14 ( iω+η)c iωc Z = 1 Impedans s.14 iωc Spole E = E dl = dφ Faraday (11) s.4 dt Φ = LI Selvinduktans s.4 E = L di (12) s.4 dt Ẽ L = iωlĩ(ω) Vekselstrøm (50) s.13 Z = iωl Impedans s.14 U = 1 2 LI2 (7.29) s Batteri E 0 = f dl (12) s.4 dw = d (QE dt dt 0) = IE 0 (14) s.5

12 3 FELTLINJER Grænsebetingelser Eover Eunder = σ/ε 0 Disk. (2.31) s.88 E over = E under Kont. (2.32) s.88 E over E under = σ ε 0 ˆn (2.33) s.89 V over = V under Kont. (2.34) s.89 Dover Dunder = σ f Disk. (4.26) s.178 D over D under = P over P under Disk. (4.27) s.178 ε over Eover ε under Eunder = σ f Disk. (4.30) s.186 B disk på fladestrøm s.212 brug gnst. (sect ) B = 0 langt væk s.232 Bover = Bunder kont. (5.72) s.241 B over B under = µ 0K Disk (5.73) s.241 B over B under = µ o (K ˆn) (5.74) s.241 A over = A under kont. (5.75) s.242 Hover Hunder = (M over Munder ) Disk (6.24) s.273 H over H under = K f ˆn Disk (6.25) s.273 S f enc Lukket løkke s.331 B da = 0 do. do. S d B da do. do. S dt S P f enc + d D da do. do. dt 3 Feltlinjer E fra + til - D fra + til - på frie ladninger S P fra - til + på polarisationsladninger Tommelfinger langs strøm: fingre langs magnetfelt 4 Ledere E = 0 i lederen s.97 E vinkelret på overflade s.98 ρ = 0 i lederen s.97 V (a) = V (b) Ækvipotential s.97 f = 1σ(E 2 over + E under ) s.102 f = 1 2ε 0 σ 2ˆn (2.51) s.103

13 5 KONDENSATOR 13 5 Kondensator C Q/V Kapacitans [F=C/V] (2.53) s.104 E = Q Aε 0 ẑ Parallelle plader (2.54) s.105 C = Aε 0 do. do. d V = q Aε 0 d do. do. W 1ε 2 0E 2 Ad do. do. F = q2 2Aε 0 do. DTU s.36 D = Q Aẑ do. dielektrikum+luft Sv. s.57 E d = Q Aε 0 ε r ẑ do. do. E v = Q Aε 0 ẑ do. do. Aε C = 0 ε r d 1 +ε r(d 0 d 1 do. do. ) D = Q Aẑ do. 2 dielektrika i lag DTU. s E 1 = Q Aε 1 ẑ do. do. E 2 = Q Aε 2 ẑ do. do. V = Q [ d 1 A ε 1 + d 2 ε 2 ] do. do. Aε C = 0 d 1 /ε 1r +d 2 /ε 2r do. do. C = ε 0 d (ε 1r A 1 + ε 2r A 2 ) do - men side om side DTU s C d = ε r C v Plader, delvist fyldt med diel DTUs og s.195 W = 1 q 2 2 C d do. do. w = 1 DE do. do 2 C x = ε 0b d r 1)] do. do. C = ε r C v ab C = Sfæriske skaller s.105 b a W = CV 2 /2 do. (2.55) s.106 C = 2πε 0L ln(r/r) Cylinder DTU s.31 V = q ln(r/r) 2πε 0 L do. do. C = C 1 + C 2 1 = 1 C C C 2 τ = RC = ε 0ε r σ Parallelforbundet Serieforbundet [s]

14 6 OPSKRIFTER 14 6 Opskrifter Fra Til Formel V ρ 2 V = ρ/ε 0 ρ V V = 1 ρ dτ R V E E = V E V V = E dl E ρ E = ρ/ε 0, E = 0 ρ E E = 1 ˆR ρdτ A J 2 A = µ 0 J J A A = µ 0 J dτ 4π R A B B = A, A = 0 J B B = µ 0 J ˆR dτ 4π B J B = µ 0 J, B = 0 Med dielektrika: Udnyt symmetri og Maxwell/Gauss: D ds = Q til at tegne D-feltet i de S frie ladninger Tegn E-felt via D = ε 0 ε r E Beregn potentiale via W = F dl Parallel: D = 0, E = 0, ε 0 E = D P (ingen frie ladninger) B = 0, H = 0, µ 0 H = B µ 0 M (ingen frie strømme) Diamagnetisme Modsat rettet felt χ m 0 µ r 1 Paramagnetisme Stækere, rettet med felt χ m 0 µ r 1 Ferromagnetisme Stærkest, rettet med felt χ m >> 0 µ r >> 1 7 Konfigurationer 7.1 Uendelig lang linje E = 1 2λ (2.9) s.63 s E = λ L πε 0 a L DTU. 2.12, s.7 2 +a 2 D = 2πsŝ λ (4.24) s.176 E = D ε 0 = λ 2πε 0 ŝ s > a s.176 B = µ 0I (5.36) s. 217, (5.41) s.221, s.226 2πs B = µ 0I 4πs 2 sin θ 1 ) (5.35) s.217 f = µ 0 I 1 I 2 parallelle (5.37) s.217 2π d V = λ 2πε 0 ln(r/r 0 ) Prob. 3.9 Solset 3

15 7 KONFIGURATIONER Plan E = σ 2ε 0 ˆn s.74 χ (r 2 ) 3/2 σ b = 1 2π χ e e +2 qd +d 2 (4.50) s. 189 q b = χ e χ e+2q (4.51) s. 189 F == 1 χ e q 2 B = { χ e+2 µ0 Kŷ 2 z > 0 µ 0 2 z < Cirkelrand E = ( Q z 0 z 2πa 2 0 ε 0 z 0 a 2 +z0 2 B(z) = µ 0I 2 4d 2 ẑ (4.54) s.190 ) ẑ SV.4.4 s.35, prob. 2.6 solset 1 ( +z 2 ) 3/2 pr. vinding (5.38) s Roterende cirkel E = ωba 2 /2, I = ωba 2 /(2R) s Cylinder E = 1 3ε 0 ks 2 ŝ s.73, prob.2.16 solset 1 E = λ 2πε 0 r r R DTU 2.29 s.17 E(r) = a2 2ε 0 [2(P ŝ)ŝ P] s 2 udenfor cyl s.173 J = I s.213 πa 2 J = ks I = 2πka3 s.213 { 3 I s H = s R 2π I cf. UK s.86 s R 2πs B = µ 0 H = µ 0I s R 2πs I = JA = σ EA = σ AV/L s.286 R = L/(σ A) E = λ 2πε 0 sŝ s.287 I = σλl/ε 0 = 2πσL ln(b/a) do. V = λ 2πε 0 ln(b/a) do. R = ln(b/a) 2πσL W = µ 0I 2 l 4π L = µ 0 l ln(b/a)/(2π)

16 7 KONFIGURATIONER Kugleskal { 1 q ˆr r R E = r 2 s.71 0 r < R { 1 q 4πε V (r) = 0 r R r 1 q r < R s.82 R W = 1 q 2 8πε 0 s.94 R { µ0 Rωv r sin θ A(r, θ, φ) = ˆφ r R 3 µ 0 R 4 ωv sin θ ˆφ (5.67) s.237 r R 3 r 2 B = 2µ 3 0σRω r R (5.68) s Kugle V (z) = { σ = 1 q ε 0 z r Rσ ε 0 = 1 q R { 1 1 r 2 1 r R 3 udenfor indenfor s.86 (KUGLESKAL?) udenfor E = indenfor ρ = 3q 4πR 3 E ave = 1 P (3.105) s.156 { R 3 P 3ε V (r, θ) = 0 r cos θ r R P R s ε 0 cos θ r > R r 2 E = 1 3ε 0 P r < R (4.14) s.169 V = 1 p ˆr r R (4.15) s.169 r 2 p = 4 3 πr3 P (4.16) s.169 E = 1 R 3 = 1 3ε 0 P s.172 D = Q 4πr( ˆr 2 ) r > a s.181 V = Q 1 4π ε 0 b εa εb s.181 P = ε 0χ e Q ˆr s.181 4πεr 2 ρ b = 0 { s.182 ε0 χ eq ydre σ b = 4πεb 2 ε 0χ eq s.182 indre 4πεa E = 3 ε+2 0 (4.49) s.188 B ave = µ 0 2m (5.89) s.253 4π R 3 Jorden SV. s.86 J b = M = 0 s.264 K b = M ˆn = M sin θ ˆφ s.264 B = 2µ 0M 3 i kuglen (6.16) s.265 qd

17 8 EGENSKABER Solenoide { µ0 niẑ indenfor B = (5.57) s udenfor { µ0 ni A = s ˆφ s < R 2 µ 0 ni ˆφ (5.71) s.238 s > R 2 s F = µ 0N 1 N 2 I 2 R DTU s.96 a B = µ 0NI L s (cos α cos β) DTU s.92 B e = µ 0NI 2L s DTUs.93 B = µ 0 (1 + χ m )niẑ s.276 K b = M ˆn = χ m (H ˆn) = χ m ni ˆφ H = NI L t DTU s Toroide { µ0 NI B(r) = ˆφ indenfor 2πs 0 udenfor L = µ 0N 2 h ln(b/a) 2π (5.58) s Egenskaber Ledere E = 0 inden i lederen, ρ = 0 inden i lederen, alle ladninger er på overfladen af lederen, en leder er et ækvipotentiale, E er vinkelret på overfladen lige uden for lederen agnetiske kræfter Magnetiske kræfter udfører intet arbejde Stationaritet Stationære ladninger konstant elektrisk felt (elektrostatik), konstante strømme konstante magnetfelter (magnetostatik) Elektrostatik Et varierende magnetfelt inducerer et elektrisk felt Lenz Naturen modvirker fluxændringer Superposition Gælder for Kræfter E-felt Potentiale - men IKKE for Energi