8 Regulære flader i R 3
|
|
- Mia Thorsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således en mængde af formen U = V S, hvor V er en åben omegn af p i R 3. Definition 8.1. En delmængde S R 3 kaldes en regulær flade, hvis der til ethvert p S findes en åben omegn p U S af p i S og en åben mængde U R 2 samt en bijektion x: U U som opfylder: (i) x er differentiabel (C ), (ii) x er en homeomorfi, (iii) for ethvert q U er differentialet dx q : R 2 R 3 en injektiv afbildning. Funktionen x: U U kaldes en lokal parametrisering af S, parret (U, x) kaldes et lokalt koordinatsystem og U = x(u) en koordinatomegn eller kortomegn på S. x 1 : U U kaldes et kort på S. Bemærkning 8.2. (1) Betingelsen (ii) betyder at en delmængde U 1 U er åben (i sportopologien), hvis og kun hvis U 1 = x 1 (U 1) er åben i R 2. En måde at sikre dette på er at forlange (som do Camo gør) at x 1 : U U kan udvides til en kontinuert afbildning defineret på den åbne mængde V i R 3. (2) Betingelsen (iii) er for ethvert q U ækvivalent med en af følgende betingelser (iii) (iii) Matricen har rang 2. Vektorerne u (iii) Vektorproduktet u u Dx q = y u z u y z, er lineært uafhængige. er forskellig fra nul. I disse formler er x(u, v) = ( x(u, v), y(u, v), z(u, v) ) for (u, v) U R 2, og hhv. betegner tangenterne til de respektive kurver u x(u, v u 0) hhv. v x(u 0, v) gennem punktet x = x(u 0, v 0 ). (3) Af definition 8.1 følger at S er overdækket af koordinatomegne U α = x α (U α ), α A, S = α A x α (U α ) da ethvert punkt af S er indeholdt i en sådan. 43
2 44 8. Regulære flader i R 3 Lemma 8.3. Lad S R 3 være en regulær flade og W S en delmængde. Så er følgende ækvivalente: (i) W er åben i S (i sportopologien). (ii) For ethvert koordinatsystem (U, x) gælder at x 1 (W ) R 2 er åben. (iii) For ethvert p W findes et koordinatsystem (U, x) med p x(u) så x 1 (W ) R 2 er åben. Bevis. (i) (ii) er klar da x: U S er kontinuert. (ii) (iii) er klar. (iii) (i). Overdæk W med koordinatomegne {U α} α A med tilhørende parametriseringer x α : U α U α, således at x 1 α (W ) = x 1 α (U α W ) er åben. Så er iflg. Definition 8.1 (ii) U α W åben i S så W = α A U α W er åben i S. Eksempel 8.4 (Sfæren). S 2 = {(x, y, x) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 1}. Lad U R 2, U = {(u, v) u 2 + v 2 < 1} og sæt x(u, v) = (u, v, 1 u 2 v 2 ), (u, v) U. Så er x(u) = U = S 2 V, (u, v) U hvor V = {(x, y, z) z > 0} og x 1 : U U er restriktionen af projektionen π : V U givet ved π(x, y, z) = (x, y). Dvs. x er en homeomorfi. Endvidere er Jacobi-matricen 1 0 Dx = 0 1 klart af rang 2. På samme måde dækkes den nedre halvkugle og tilsvarende den østlige og vestlige halvkugle med lokale kortomegne. Heref ses at S 2 er en regulær flade. På sfæren er det ofte nyttigt at bruge de sfæriske koordinater konstrueret som følger: Lad (θ, ϕ) R 2 og sæt x(θ, ϕ) = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ). Her er x ikke injektiv; men restriktionen til f.eks. U = {(θ, ϕ) 0 < θ < π, 0 < ϕ < 2π} er injektiv og afbilder på U S 2 \ C, hvor C = {(x, y, z) x 0}.
3 8.1. Generelle konstruktioner af flader 45 Hvad angår betingelserne (i) (iii) i Definition 8.1 er (i) klar og for (iii) udregnes let at cos θ cos ϕ sin θ sin ϕ Dx = cos θ sin ϕ sin θ cos ϕ sin θ 0 så θ ϕ 2 = (cos 2 θ + sin 2 θ) sin 2 θ 0 = sin 2 θ 0 for 0 < θ < π, dvs. (iii) er opfyldt. At (ii) er opfyldt følger af en sætning som vises senere. 8.1 Generelle konstruktioner af flader Graf for en differentiabel (C ) funktion Proposition 8.5. Lad U R 2 være en åben mængde og f : U R en C funktion. Så er grafen for F en regulær flade. S = {(x, y, f(x, y)) (x, y) U} Bevis. Vi har ét koordinatsystem (U, x), med x: U S = U defineret ved x(u, v) = (u, v, f(u, v)), (u, v) U. Idet V = U R R 2 R = R 3 er V S = S og x 1 = π S, hvor π(x, y, z) = (x, y), for (x, y, z) V. Heraf ses at (i) og (ii) i Definition 8.1 er opfyldt. Endvidere er det klart at Jacobi-matricen 1 0 Dx = 0 1 har rang 2 i ethvert punkt af U. f u Løsningsmængden for en ligning Definition 8.6. Lad U R n åben, F : U R m en C funktion. 1. p U kaldet et kritisk punkt og F (p) en kritisk værdi for F hvis df p : R n R m ikke er surjektiv, dvs. hvis rang DF p < m. 2. p U kaldes et regulært punkt hvis det ikke er kritisk, dvs. hvis rang DF p = m. 3. a R m kaldes en regulær værdi hvis det ikke er en kritisk værdi, dvs. hvis ethvert p F 1 (a) er et regulært punkt, altså hvis f rang DF p = m, p F 1 (a).
4 46 8. Regulære flader i R 3 Vi skal særligt betragte f : U R, U R 3. I dette tilfælde (med variable (x, y, z) R 3 ) er Jacobi-matricen for f givet ved gradienten ( ) f f f Df p = (p), (p), y z (p) = ( f x (p), f y (p), f z (p) ), og der gælder p U er kritisk punkt f f f (p) = (p) = (p) = 0 (8.1) y z a R er regulær værdi Df p (0, 0, 0) p f 1 (a). (8.2) Proposition 8.7. Lad U R 3, f : U R en C funktion og lad a R være en regulær værdi. Så er S = f 1 (a) R 3 en regulær flade. Bevis. Bemærk at S = f 1 (a) = { (x, y, z) U f(x, y, z) = a } og lad p = (x 0, y 0, z 0 ) S. Så gælder ifølge antagelserne Df p (0, 0, 0). Antag uden indskrænkning f (p) 0 og definer F : U z R3 ved x F (x, y, z) = y. f(x, y, z) Jacobi-matricen for denne afbildning i p er DF p = f (p) f y (p) f z (p) så det DF p (p) 0. Ifølge Invers Funktionssætningen (Sætning Addendum 7.6) kan vi finde åbne omegne V af p = (x 0, y 0, z 0 ) og W af F (p) = z (x 0, y 0, a) så F : V W er en diffeomorfi. Uden indskrænkning kan vi antage W = N (a ɛ, a + ɛ), N R 2 en åben omegn af (x 0, y 0 ), ɛ > 0. Idet vi bruger de variable (u, v, t) W R 3 er = f F (x, y, z) = ( x, y, f(x, y, z) ) = (u, v, t), (u, v) N, a t < ɛ dvs. (x, y, z) = F 1 (u, v, t) = ( u, v, g(u, v, t) ). Specielt for t = a fås f(u, v, g(u, v, a)) = a (8.3) Sæt h(u, v) = g(u, v, a), for (u, v) N. Påstand. f 1 (a) V = grafen for h = {(u, v, h(u, v)) (u, v) N}.
5 8.1. Generelle konstruktioner af flader 47 Thi lad (u, v) N; så er q = (u, v, h(u, v)) f 1 (a) ifølge (8.3), og da F = (u, v, a) W er q V. Omvendt lad q = (x, y, z) f 1 (a) V. Så er F (x, y, z) = (x, y, a) N {a}, så (x, y) N og z = g(x, y, a) = h(x, y), så q grafen for h. Dette viser ovenstående påstand. Ifølge Proposition 8.5 er f 1 (a) V nu en regulær flade med lokalt kort x: N f 1 (a) V givet ved x(u, v) = (u, v, h(u, v)), hvilket dermed givet et lokalt koordinatsystem for S i en omegn af p. Eksempel 8.8 (Ellipsoiden). Lad a, b, c > 0 og betragt S R 3 : Sæt Så et S = f 1 (0) og S = {(x, y, z) R 3 x 2 } a + y2 2 b + z2 2 c = 1. 2 f(x, y, z) = x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 1, (x, y, z) R3. Df (x,y,z) = ( 2x a, 2y 2 b, 2z ). 2 c 2 Denne vektor er kun nul for (x, y, z) = (0, 0, 0), så det eneste kritiske punkt for f er (0, 0, 0) som ikke ligger på S. Ifølge Proposition 8.7 er S derfor en regulær flade. Specielt for a = b = c = 1 fås at S = S 2 er en regulær flade. Eksempel 8.9 (Omdrejningshyperboloiden). Lad Så er S = f 1 (0) for funktionen S = { (x, y, z) R 3 x 2 y 2 + z 2 = 1 }. f(x, y, z) = x 2 y 2 + z 2 1, (x, y, z) R 3. Igen er kun (0, 0, 0) kritisk punkt for f og (0, 0, 0) / S så S er en regulær flade. Bemærk at S ikke er kurvesammenhængende. Thi antag γ : [0, 1] S kontinuert kurve så γ(0) = (0, 0, 1) og γ(1) = (0, 0, 1) og skriv γ på formen γ(t) = ( x(t), y(t), z(t) ). Så er z(t) en kontinuert funktion så z(t) 2 = 1 + x(t) 2 + y(t) 2 1 for alle t [0, 1]; dvs. enten z(t) 1 t [0, 1] eller z(t) 1 t [0, 1]. Men dette strider mod at z(0) = 1 og z(1) = 1.
6 48 8. Regulære flader i R 3 Eksempel 8.10 (Torus eller ringfladen). Vælg 0 < r < a og betragt cirklen i (y, z)-planen med centrum i (0, a, 0) og radius r. Denne roteres omkring z-aksen hvorved fladen S dannes S = { (x, y, z) R 3 ( x2 + y 2 a ) 2 + z 2 = r 2} Her er S V = { (x, y, z) R 3 (x, y) (0, 0) } og f : V R givet ved f(x, y, z) = ( x2 + y 2 a ) 2 + z 2 r 2 er C. Nu er S = f 1 (0) og ( ( 2x x2 + y 2 a ) Df (x,y,z) =, 2x( x 2 + y 2 a ) ), 2z x2 + y 2 x2 + y 2 så mængden C af kritiske punkter for f er C = {(x, y, z) R 3 z = 0 og enten x = y = 0 eller x 2 + y 2 = a 2 } Da C S = er S en regulær flade. Proposition Lad S R 3 være en regulær flade og lad p S. Så findes en åben omegn V S af p så V er grafen for en C funktion på formen z = f(x, y), y = g(x, z) eller x = h(y, z). Bevis. Lad (u, x) være et lokalt koordinatsystem med p = x, q U, og U = x(u). Så er og x(u, v) = ( x(u, v), y(u, v), z(u, v) ), (u, v) U R 2, u Dx q = y u z u y z har rang 2. Vi kan så uden indskrænkning antage ( u det ) y y 0. u Betragt π : R 3 R 2 givet ved π(x, y, z) = (x, y), så ( π x ) (u, v) = ( x(u, v), y(u, v) ) har invertibel Jacobi-matrix i q. Ifølge Invers Funktionssætningen (Sætning 7.4) findes åbne omegne V 1 U af q og V 2 = ( π x ) (V 1 ) R 2 så π x: V 1 V 2 er en diffeomorfi. Så er V = x(v 1 ) en åben omegn af p S, og x (π x) 1 : V 2 V R 3 er en C afbildning. Men π ( x ( π x ) 1 ) (x, y) = (x, y) så der findes en C funktion f : V 2 R så x ( π x ) 1 (x, y) = ( x, y, f(x, y) ), (x, y) V2. Dvs. V er grafen for f.
7 8.1. Generelle konstruktioner af flader 49 Bemærkning. Her er x 1 = x ( π x ) 1 : V2 V altså et koordinatsystem ligesom i Proposition 8.5. Vi vil kalde et sådant for et graf-koordinatsystem. Proposition 8.11 udtrykker altså at ethvert punkt på en regulær flade har en koordinatomegn for et graf-koordinatsystem. Hvis en delmængde S R 3 vides at være en regulær flade er betingelse (ii) i Definition 8.1 for et koordinatsystem overflødig: Proposition Lad S R 3 være en regulær flade, lad U R 2 være åben og lad x: U S være en injektiv afbildning så (i) x: U S R 3 er C, (iii) for alle q U er dx q : R 2 R 3 injektiv Så er U = x(u) åben i S og (ii) x: U U er en homeomorfi. Bevis. Det er nok at vise at U = x(u) er åben; thi så gælder for enhver åben delmængde U 1 U også at x(u 1 ) S er åben da betingelserne i propositionen er opfyldt for x U1 : U 1 S. Heraf følger (ii). For at vise at U = x(u) er åben i S er det ifølge Lemma 8.3 nok at vise at der for et vilkårligt p U findes et passende koordinatsystem y : W S med p W = y(w ) så y 1 (U ) er åben i R 2. Hertil kan vi ifølge Proposition 8.11 vælge et graf-koordinatsystem y(x, y) = ( x, y, f(x, y) ), (x, y) W R 2, med invers afbildning π W : W W, hvor igen π er projektionen π(x, y, z) = (x, y) for (x, y, z) R 3. Så er N = x 1 (W ) U åben og h = π W x: N W er givet ved h(u, v) = ( x(u, v), y(u, v) ). Nu er x = y h, så ifølge kædereglen og forudsætning (iii) har h ikke-singulær Jacobi-matrix i ethvert punkt af N. Ifølge Invers Funktionssætningen (Sætning 7.4) er h så en lokal diffeomorfi og da den samtidig er injektiv er h(n) = y 1( x(n) ) = y 1 (W U ) = y 1 (U ) åben i W R 2, hvilket skulle vises. Sætning Lad S være en regulær flade og x: U U et koordinatsystem på S. Lad W R n være en åben mængde og f : W R 3 en C -afbildning, således at f(w ) U. Så er x 1 f : W U en C -afbildning. Bevis. Vi bruger samme teknik som ovenfor. Det er nok at vise at x 1 f er C i en omegn af et vilkårligt punkt p W. Lad f(p) = x, q U og antag som i beviset for Proposition 8.11 at Jacobi-matricen for π x(u, v) = ( x(u, v), y(u, v) ) er ikke-singulær i punktet q. (Igen er π : R 3 R 2 projektionen π(x, y, z) = (x, y), (x, y, z) R 3.) Igen følger det af Invers Funktionssætningen at der findes åbne
8 50 8. Regulære flader i R 3 omegne V 1 U af q så ( π x ) (V 1 ) = V 2 R 2 er åben og h = π x: V 1 V 2 er en diffeomorfi. Sæt V 1 = x(v 1 ) S som altså er en omegn af x = f(p); og igen er y = x h 1 : V 2 V 1 et graf-koordinatsystem med invers y 1 = h x 1 = π V 1. Da nu f : W S R 3 er kontinuert mht. sportopologien for S R 3 kan vi uden indskrænkning antage f(w ) V. Men så er x 1 f = x 1 y y 1 f = h 1 π f som er en sammensætning af C afbildninger og dermed C. Korollar Lad W R n være åben og f : W R 3 en kontinuert afbildning med f(w ) S, S R 3 en regulær flade. Så er flg. ækvivalente: (i) f : W R 3 er en C afbildning. (ii) For ethvert koordinatsystem (U, x) med koordinatomegn U S er x 1 ( f f 1 (U )) : f 1 (U) U en C afbildning. (iii) Der findes overdækning { } U α af S med koordinatonegne hørende til koordinatsystemer (U α, x α ) så x 1 α ( f f 1 (U α)) α A er C for alle α A. Bevis. Umiddelbart fra Sætning 8.13 og Lemma 8.3. Korollar 8.15 (Parameterskift-sætningen). Lad S R 3 være en regulær flade, lad p S og x: U U, y : V V to koordinatsystemer med p U V = W. Så er h = x 1 y : y 1 (W ) x 1 (W ) en diffeomorfi med C invers h 1 = y 1 x 1. Bevis. h er klart bijektiv. Nok at vise at h er C, thi så er h 1 = y 1 x også C ved symmetri. Men h er C ifølge Sætning 8.13 anvendt på koordinatsystemet (V, y). Korollar Lad S være en regulær flade, f : S R n en afbildning og lad p S. Lad endvidere x: U U, y : V V være to koordinatsystemer med p U V. Så gælder f x er C i en omegn af x 1 (p), hvis og kun hvis f y er C i en omegn af y 1 (p). Bevis. Lad W = U V. Så er h = y 1 x: x 1 (W ) y 1 (W ) en diffeomorfi. Så hvis f x er C i en omegn Ω af x 1 (p) er f y = f x x 1 y = f x h 1 C i omegnen h(ω) af h ( x 1 (p) ) = y 1 (p). Det omvendt følger ved symmetri.
9 8.1. Generelle konstruktioner af flader 51 Definition (i) En afbildning f : S R n kaldes C i en omegn af p S hvis der findes et koordinatsystem x: U U S så f x er C i en omegn af x 1 (p). (ii) f : S R n kaldes C hvis f er C i en omegn af p for alle p S. Bemærkning Det følger af Korollar 8.16 at hvis f : S R n er C så er f x: U R n C for ethvert koordinatsystem (U, x). Eksempel Lad S være en regulær flade, S V, V R 3 en åben delmængde og lad f : V R n være en C afbildning. Så er f S : S R n en C afbildning. Special tilfælde er følgende: (1) Højdefunktionen: Lad v R 3, v = 1, og definer h: S R ved h(p) = v p, p S, hvor betegner sædvanligt indre produkt i R 3. Her er h klart restriktionen af en C funktion på hele R 3. (2) Afstandsfunktionen i anden : Lad p 0 S og sæt f(p) = p p 0 2 = (p p 0 ) (p p 0 ), p S. Så er igen f restriktionen af en C funktion på hele R 3. Vi har altså set at en afbildning fra (en åben delmængde i) R n til en flade S eller fra fladen S til R n er C hvis og kun hvis sammensætningen med lokale parametriseringer giver C afbildninger. Vi vil definere differentiabilitet for afbildninger mellem flader på en analog måde: Lad S 1, S 2 R 3 være regulære flader og antag at ϕ: S 1 S 2 er en kontinuert afbildning mth. sportopologien på S 1 og S 2. For et punkt p S 1 kan vi finde koordinatsystemer x 1 : U 1 U 1 S 1 og x 2 : U 2 U 2 S 2 med p U 1 og ϕ(u 1) U 2 og vi definerer nu: Definition (i) En kontinuert afbildning ϕ: S 1 S 2 kaldes C i en omegn af p S 1 hvis der findes koordinatsystemer som ovenfor så afbildningen x 1 2 ϕ x 1 : U 1 U 2 er C i en omegn af x 1 1 (p). (ii) En kontinuert afbildning ϕ: S 1 S 2 kaldes C hvis den er C i en omegn af p for alle p S 1. (iii) En bijektion ϕ: S 1 afbildninger. S 2 kaldes en diffeomorfi hvis både ϕ og ϕ 1 er C
10 52 8. Regulære flader i R 3 Korollar Lad S 1, S 2 være regulære flader og ϕ: S 1 S 2 en kontinuert afbildning. Så er følgnde udsagn ækvivalente: (i) ϕ: S 1 S 2 er en C afbildning (iflg. Definition 8.20). (ii) ϕ: S 1 R 3 er en C afbildning (iflg. Definition 8.17). (iii) For et vilkårligt par af koordinatsystemer x 1 : U 1 U 1 S 1, x 2 : U 2 U 2 S 2, med ϕ(u 1) U 2 er afbildningen x 1 2 ϕ x 1 : U 1 U 2 en C afbildning. Bevis. Opgave. Eksempel Lad S 1, S 2 være regulære flader og antag S 1 V 1, S 2 V 2, V 1, V 2 R 3 åbne delmængder. Lad f : V 1 V 2 være en diffeomorfi med f(s 1 ) = S 2. Så er ϕ = f S1 : S 1 S 2 en diffeomorfi med invers f 1 S2. Thi både ϕ og ϕ 1 er C ifølge Eksempel 8.19 og Korollar Special tilfælde er følgende (1) Affin afbildning. Lad f : R 3 R 3 være en afbildning på formen f(p) = p 0 + Ap, hvor p 0 R 3 er fast og A er en given invertibel matrix. Antag at f(s 1 ) = S 2. Så er ϕ = f S1 : S 1 S 2 en diffeomorfi. (2) Spejling. Lad σ : R 3 R 3 være givet ved σ(x, y, z) = (x, y, z) og antag at en flade S tilfredsstiller p S σ(p) S. Så er σ : S S en diffeomorfi med invers σ da σ 2 = id. Et eksempel på S er omdrejningshyperboloiden (Eksempel 8.9). (3) Rotation. For θ R lad R θ : R 3 R 3 være den lineære afbildning givet ved matricen cos θ sin θ 0 sin θ cos θ Bemærk at R θ R θ = id, så hvis det for en flade S gælder at R θ (S) = S for alle θ R så er R θ : S S en diffeomorfi for alle θ. I så fald kaldes S rotationsinvariant. Et eksempel er torus (Eksempel 8.10). Mere generelle eksempler ses herunder.
11 8.1. Generelle konstruktioner af flader 53 Eksempel 8.23 (Omdrejningsflade). I (x, z)-planen betragtes en regulær parametriseret kurve α: (a, b) R 3 α(v) = ( f(v), 0, g(v) ), v (a, b). Dvs. ( f (v), g (v) ) (0, 0) v (a, b). Lad C = α(a, b) og antag (i) α: (a, b) R 2 (= R {0} R) er injektiv, (ii) f(v) > 0 for alle v (a, b), (iii) α: (a, b) C er en homeomorfi. Sæt S = { (x, y, z) R 3 ( x2 + y 2, 0, z ) C }. Proposition S er en regulær flade som er rotations-invariant. Bevis. Det ses let at R θ (S) = S for alle θ R, så vi skal blot vise at S er en regulær flade. Lad os vise at U = S {(x, y, z) y > 0} er en regulær flade idet det er analogt for S {(x, y, z) y < 0}, S {(x, y, z) x > 0 } og S {(x, y, z) x < 0}. Sæt U = ( 1, 1) (a, b) R 2 og definer x: U U ved x(u, v) = ( uf(v), f(v) 1 u 2, g(v) ), (u, v) U. Så er x klart C og bijektiv med x 1 : U U givet ved x 1 (x, y, z) = (u, v), hvor v = α 1( x2 + y 2, 0, z) og u = x / ( v = x α 1( x2 + y 2, 0, z )) for (x, y, z) U. Da α 1 : C (a, b) er kontinuert er x 1 : U U kontinuert. Endelig er Jacobi-matricen for x: f(v) uf (v) Dx (u,v) = uf(v) 1 u 2 1 u2 f (v) 0 g (v) som let ses at have rang 2 ifølge forudsætningerne på α. Dvs. at (U, x) er et lokalt koordinatsystem så S er en regulær flade.
GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mereMASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
Læs mereSætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med
Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs mereDifferentialregning i R k
Differentialregning i R k Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel. Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = h 1 (x) x 1 h 2 (x) x 1. h m (x) x 1 h 1 (x) x 2... h 2 (x) x 2.... h m (x) x
Læs mereAntag at. 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel i y = f(x), . p.1/18
Differentialregning i R k Kæderegel Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel Antag at Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Læs mereVektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008
Vektoranalyse Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 INLENING ette er en opsamling af ting, jeg synes er gode at have ifbm vektoranalyse som præsenteret i kurset VEKANAE07 ved IMF på AU. Noten er dels
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereGeometriske grundbegreber 8. lektion
1 / 14 Geometriske grundbegreber 8. lektion Martin Raussen Institut for matematiske fag Aalborg Universitet 1.4.2008 2 / 14 (Regulære) parameterfremstillinger for en flade Eksempler Kurver på flader og
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at
GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereAsymptotisk testteori
Kapitel 8 Asymptotisk testteori Vi vil nu beskæftige os med den asymptotiske teori for estimation under pæne hypoteser og for test af disse hypoteser. Vi skal især undersøge det forhold at hvis den fulde
Læs mereN o t e r t i l G e o m e t r i
N o t e r t i l G e o m e t r i I b M a d s e n o g J o h a n D u p o n t J a n u a r 2 0 0 5 I n s t i t u t f o r M a t e m a t i s k e Fa g D e t N a t u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u l t e t
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereUGESEDDEL 9 LØSNINGER. Sydsæter Theorem 1. Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0.
UGESEDDEL 9 LØSNINGER Sydsæter 531 Theorem 1 Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0 Lad f(x, y) være C 1 i mængden A R n og lad (x 0, y 0 ) være et indre punkt i A hvor f(x 0, y 0 )
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs mereFunktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mereSTEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016
STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016 2 Indhold 1 Regulære flader i rummet 5 1.1 Det sædvanlige koordinatsystem i rummet..................... 5 1.2 Graf-flader for funktioner af to variable......................
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereLineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereKlassisk Taylors formel
p. 1/17 Klassisk Taylors formel Sætning Lad f : (a, b) R være n gange differentiabel. For x 0, x (a, b) findes et ξ mellem x 0 og x der opfylder at f(x) = f(x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+...+ f(n 1) (x 0
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereAffine transformationer/afbildninger
Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning
Læs mereSupplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej
Supplement til Matematik 1GB Jan Philip Solovej ii c 2001 Jan Philip Solovej, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Alle har tilladelse til at reproducere hele eller dele af dette materiale
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereSpor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.
Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og
Læs mereMatrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Læs mereGeom2-dispositioner (reeksamen)
Geom2-dispositioner (reeksamen) Rasmus Sylvester Bryder 20. april 2012 1 Mangfoldigheder i R n 1. Introducér begreberne parametriseret mangfoldighed, regularitet, indlejret parametriseret mangfoldighed
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereImplicit givne og inverse funktioner
Implicit givne og inverse funktioner Morten Grud Rasmussen 1 11. april 2016 1 Implicit givne funktioner I lineær algebra har vi lært meget om at løse lineære ligningsystemer og om strukturen af løsningsmængden.
Læs mereGAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN
GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN.. Indledning. En af de mest fundamentale sætninger i geometri er Thales Sætning, der siger, at vinkelsummen i en trekant er lig med π. Generalisationen af denne sætning
Læs mereVektorfelter. enote Vektorfelter
enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af
Læs mereAndengradsligninger i to og tre variable
enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader
GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs merestandard normalfordelingen på R 2.
Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 målet
Læs merePartielle afledede og retningsafledede
Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen
Læs mereFørste konstruktion af Cantor mængden
DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereDifferentiabilitet. f(h) = f(x 0 +h) f(x 0 ). y = f(x) f(h) df(h) Figur 1: Tangent, tilvækst og differential. lim. df(h) = f (x 0 )h.
Differentiabilitet 1 Funktioner af én reel variabel Tilvækstfunktionen f med udgangspunkt i x 0 er en reel funktion af tilvæksten : f() = f(x 0 +) f(x 0 ). y = f(x) Tangent (x 0,f(x 0 )) df() f() x 0 x
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereOmrådeestimator. X x. P θ. ν θ. Θ C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ). . p.1/30
Områdeestimator X (Ω, F) (X, E) x 01 01 P θ ν θ θ Θ 0000 1111 000000 111111 0000 1111 0000 1111 C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ).. p.1/30 Konfidensområde En områdestimator C : X P(Θ)
Læs mereKompleks Funktionsteori
Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereSupplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
Læs mere4.1 Lineære Transformationer
SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereUge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =
OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereTransformation: tætheder pår k
Kapitel 19 Transformation: tætheder pår k I dette kapitel vil vi angribe følgende version af transformationsproblemet: Lad X 1,, X k være reelle stokastiske variable, defineret på (Ω,F, P), sådan at den
Læs mere5.3 Konvergens i sandsynlighed Konvergens i sandsynlighed 55. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås
5.3. Konvergens i sandsynlighed 55 BEVIS: Lad φ 1, φ 2,... og φ være de karakteristiske funktioner for X 1, X 2,... og X. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås φ X,v
Læs mereKurve- og plan-integraler
enote 22 1 enote 22 Kurve- og plan-integraler Vi vil her med udgangspunkt i de metoder og resultater der er opstillet i enote 21 vise, hvordan Riemann-integralerne derfra kan benyttes til blandt andet
Læs mereDefinition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereNøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Læs mereKortprojektioner L mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort.
Kortprojektioner L4 2016 3.mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereWigner s semi-cirkel lov
Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereEKSAMEN Flerdimensional Analyse Sommer sider
EKSAMEN Flerdimensional Analyse Sommer 2008 5 sider Formaliteter Eksamen er en 24-timers eksamen, der udleveres mandag den 23/6-2008 klokken 0.00 og afleveres tirsdag den 24/6-2008 inden klokken 0.00.
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereGrafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1
Oversigt [S]. Nøgleord og begreber Retningsafledt Gradientvektor Gradient i flere variable Fortolkning af gradientvektoren Agst, opgave 5 Delvis afledt [S]. Directional derivatives and te... Definition
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad
Læs mereDesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix
Læs mereDen todimensionale normalfordeling
Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mere(Prøve)Eksamen i Calculus
(Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 0. februar 019 Dette eksamenssæt
Læs mereDen lineære normale model
Den lineære normale model Ingredienser: V : N-dimensionalt vektorrum. X : Ω V : stokastisk variabel. L : ægte underrum af V, dimension k., : fundamentalt indre produkt på V. Vi laver en hel familie af
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereTeoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Læs mereEksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012
Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 212 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs merePunktgrupper. Klaus Thomsen
Punktgrupper Klaus Thomsen 1. Forord Disse noter er skrevet med henblik på et efteruddannelses-kursus for gymnasielærere i matematik og/eller kemi. Formålet er at give en introduktion til matematikken
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mere12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen
SEKTION 12.1 CAYLEY-HAMILTON-SÆTNINGEN 12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen Sætning 12.1.1 (Cayley-Hamilton) Lad A Mat n,n (C). Så gælder p A (A) =. Sætningen gælder faktisk over et vilkårligt legeme, men vi
Læs mereAnalyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018
Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde
Læs mere