Elektromagnetisme 3 Side 1 af 8 Dielektrika 1. Elektrisk dipol

Transkript

1 Elektromagnetisme Side af 8 Elektrisk dipol Betragt det elektrostatiske potential fra en elektrisk dipol bestående af to punktladninger + q og q : ϕ r ( ) i qi r r q q + r r r r + l q + r r r r l i ( ). (.) Hvis l er lille i forhold til r r, svarende til at de to punktladninger er anbragt tæt på hinanden, er det muligt at tilnærme udtryk (.) ved et simplere udtryk: / / ( ) ( ) r r l r r l r r l r r l r r l ( r r) l + r r ( r r) l / ( r r ) l r r r r / ( r r ) l r r. r r r q / / r l + l +q r Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU /7/8

2 Elektromagnetisme Side af 8 n Som vist i opg. B er ( ) for små x, så for små l: + kx + nkx / ( r r) l ( r r) l r r r r ( r r ) l +. r r Udtryk (.) kan således skrives ϕ ( r ) ( r r ) l q + r r r r + r r q ( r r ) l. r r (.) Udtryk (.) er således en god tilnærmelse, når l er lille i forhold til r r. Elektrisk dipolmoment: Ved en punktdipol forstås en dipol med så lille l, at udtryk (.) gælder. unktdipoler er kendetegnet ved deres elektriske dipolmoment p ql, p Cm. (.) En punktdipol i punktet r giver således anledning til potentialet ϕ ( r ) r r p. ( ) (.4) r r Udtryk (.) gælder således i fjernfeltet og ikke i nærfeltet. å samme måde som at en punktladning er kendetegnet ved sin ladning. Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU /7/8

3 Elektromagnetisme Side af 8 Den elektrostatiske energi af en punktdipol anbragt i et eksternt E-felt Fra udtryk (.) fås E E r + E r + l qϕ r + qϕ r + l ( ) q( ) ( ) ( ) el el, q el,+. Ifølge opg. B er ϕ r ϕ r + ϕ r r r, r r ( ) ( ) ( ) ( ), sådan at ϕ r+ l ϕ r + ϕ r l, l, ( ) ( ) ( ) og dermed E qϕ r + q ϕ r + ϕ r l q ϕ r l ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) el : E el p ϕ (.5) pe, hvor ϕ og E er det eksterne hhv. potential og elektriske felt, som punktdipolen oplever. ga. altings søgen mod lavest mulige energi vil en elektrisk dipol således søge at indstille sig parallelt med et eksternt E-felt. Herved forstås et E-felt, som ikke skyldes dipolen selv. Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU /7/8

4 Elektromagnetisme Side 4 af 8 olarisation I et (ideelt) dielektrikum er alle positive og negative ladninger bundet til hinanden. Hvis dielektrikumet påtrykkes et E-felt, vil ladningerne derfor ikke sætte sig i bevægelse, men blot blive forskudt i forhold til hinanden. Man siger, at E-feltet polariserer dielektrikumet. F qe E Den elektriske polarisation eller bare polarisationen er defineret som tætheden af elektrisk dipolmoment pr. rumfang 4 : r hvor Δp C lim,, m ( ) (.6) Δp, det elektriske dipolmoment i r Δ V rumfanget, udledes i det flg. Dipolmomentet af en elektrisk dipol (bestående af to punktladninger) er ifølge udtryk (.) en sum over produktet af ladningerne og disses stedvektorer: p qr+ q ( r+ l ) ql, 4 olarisation er den makroskopiske pendant til det mikroskopiske begreb elektrisk dipolmoment, og grænseovergangen i udtryk (.6) er makroskopisk. Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU /7/8

5 Elektromagnetisme Side 5 af 8 så N punktladninger giver dermed anledning til dipolmomentet 5 N p qr. (.7) i i i Ladningsforskydningerne i giver dermed anledning til flg. elektriske dipolmoment: Δ p lim Δq r ' : Δq Δ q 6 Δ p rdq '. (.8) r ' Δq Δ V Indsættes udtryk (.8) i udtryk (.6) fås r lim ( ) rdq '. (.9) Ifølge udtryk (.6) er polarisationen således orienteret i samme retning som det lokale elektriske dipolmoment, og polarisationsvektorens størrelse er et udtryk for tætheden af det lokale elektriske dipolmoment. r r ( ) N 5 Origo kan vises at være vilkårligt, så længe den samlede ladning er nul q. i i ρ r 6 Jf. fodnote 5 forudsat, at ladningstætheden i punktet r er nul ( ( ) ) ladning i er nul., idet dette svarer til, at den samlede Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU /7/8

6 Elektromagnetisme Side 6 af 8 Elektrostatisk potential fra polariseret dielektrikum Et polariseret dielektrikum er udadtil elektrisk neutralt, men da ladningerne er forskudt i forhold til hinanden, er dielektrikumet kendetegnet ved et elektrisk dipolmoment og giver derfor ifølge udtryk (.4) anledning til et potential og dermed til et E-felt. Et volumenudsnit ' med dipolmoment Δp giver således anledning til potentialet ( r r' ) Δp Δ ϕ ( r ) 4 πε r r' Δp ( r r' ) ' '. 4 πε r r' r r ' ' Det samlede potential fra dielektrikumet er dermed Δp ( r r' ) ' ϕ( r ) lim ϕ lim ' ' Δ ' ' 4 V V πε Δ Δ ' r r' ( r r' ) ( r' ) dv '. 4 πε V r r' (.) Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU /7/8

7 Elektromagnetisme Side 7 af 8 Som vist i opg. C er så ' ' r r, ' xˆ + yˆ + zˆ r r', r r' x' y' z' ( ) ( ) r r' r' ( 7) r ( ') ' r ( ') ' ' r r r' r r' r r' r r' som indsat i udtryk (.) giver r ( ' ) ϕ ( r) ' ' ( ) 4 πε V r' dv'. r r' r r' ( '), Ifølge udtryk (.8) (divergenssætningen) kan ovenstående skrives r ( ') nˆ ' r ( ') ϕ ( r) da' + S r r' dv'. (.) V r r' Ved sammenligning med udtryk (.8) ses, at ovenstående udtryk for potentialet fra et polariseret dielektrikum kan skrives på samme form som potentialet fra en ladningsfordeling, hvis flg. polarisations-ladningstætheder indføres: C ρ, ρ, m (.) C σ n ˆ, σ m : ρ( r' ) σ ( r' ) ϕ ( r) dv' da'. + V r r' (.) S r r' Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU /7/8

8 Elektromagnetisme Side 8 af 8 ( r ) σ er således normalkomposanten af polarisationen ved overfladen. σ ˆn Jf. fortolkningen af divergens (EM s. 6) er ( r ) ρ et udtryk for antallet af polarisations-feltlinier, der tilgår punktet r. I det angivne punkt, hvor tætheden af ˆn σ < σ ˆn ˆn σ > ρ > elektrisk dipolmoment og dermed polarisationen varierer, løber der således netto set -feltlinier til, svarende til < og ρ >. Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU /7/8