Niels Jonassen ELEKTRO MAGNETISME. Polyteknisk Forlag

Transkript

1

2

3 Niels Jonassen ELEKTRO MAGNETISME Polyteknisk Forlag

4

5 FORORD Denne bog er en stærkt revideret og omarbejdet udgave af noter og kompendier, der siden 1984 har været anvendt ved kurser i elektromagnetisme på Danmarks Tekniske Universitet. Samtidigt har materialet været anvendt ved forskellige andre institutioner. Bogens tegninger er fremstillet af Ove Broo Sørensen, som jeg gerne vil takke for det gode arbejde og for megen tålmodighed i samarbejdet. Lyngby, marts 1995 Niels Jonassen

6

7 INDHOLD side l. ELEKTRISK LADNING l 2. ELEKTRISK FELT ELEKTRISK POTENTIAL KAPACITANS, KONDENSATORER DIELEKTRIKA ELEKTRISKE FELTER I LUFT OG DIELEKTRIKA KONDENSATORTYPER ELEKTRISK STRØM MAGNETISK FELT ELEKTROMAGNETISK INDUKTION VEKSELSTRØM MAGNETISME I STOF TRANSFORMEREN GENERATORER OG MOTORER ELEKTRISKE SVINGNINGER MAXWELLS LIGNINGER INDEKS

8

9 ELEKTRISK LADNING 1.1 KAPITEL l ELEKTRISK LADNING Indledning Både i dagligdagen og i mere teknisk sammenhæng kommer manjævnligt ud for fænomener, der kun lader sig forklare, hvis man forudsætter eksistensen af en anden type kræfter end de traditionelle, som tyngdekraften, gnidningskræfter eller elastiske kræfter. Det kan dreje sig om frastødningen mellem to stykker papir, der har været gennem en fotokopimaskine, om tøj, der klæber til kroppen, eller om støv og dråber, der udfældes i et elektrofilter. Man siger, at sådanne legemer er påvirkede af elektriske kræfter og tilskriver dette en egenskab ved legemerne, man kalder deres elektriske ladning. Kræfterne har i visse tilfælde karakter af frastødning, i andre af tiltrækning. Elektrisk ladning er en egenskab ved visse atomare elementarpartikler, af hvilke de vigtigste er protoner og elektroner. Protonens (brintkernens) ladning siges at være positiv og betegnes med e. Elektronens ladning siges tilsvarende at være negativ og betegnes med -e. Denne betegnelse skal angive dels, at en protons og en elektrons ladninger er numerisk lige store, og dels, at de kan ophæve hinandens virkninger på andre ladninger. Man kalder e og -e for henholdsvis en positiv og negativ elementarladning. Det er i øvrigt Benjamin Franklin, der udover at studere tordenvejr og opfinde lynaflederen, også var en fremtrædende diplomat og bogtrykker (i det 18. århundrede), som foreslog betegnelserne positiv og negativ for de to slags ladninger. I et neutralt atom eller molekyle er der lige store positive og negative ladninger, og indeholder legemet udelukkende neutrale atomer eller molekyler, siges det at være uladet. Har legemets molekyler derimod et overskud af elektroner, er legemet negativt ladet; har de underskud, er det positivt. Erfaringen viser, at ensartede ladninger, og dermed ensartet ladede legemer, frastøder hinanden, mens modsat ladede legemer tiltrækker hinanden. l

10 1.2 ELEKTRISK LADNING Da protonens, og dermed også elektronens, ladning er den mindste ladning, der kan isoleres, ville det egentlig være naturligt at anvende dens størrelse som enhed for elektrisk ladning, men i det internationale enhedssystem (SI) har man ladet ladningsenheden, coulomb (C), være en afledet enhed (l coulomb = l ampere sekund), og man finder, at protonladningen er e = 1,602 I0-19 c H vis et legeme mister eller får tilført en enkelt eller nogle få elektroner, vil man normalt kun være i stand til at konstatere virkningen, hvis legemet er så lille, at det består af et enkelt eller nogle få atomer. På makroskopiske legemer kan virkningen af en ladning kun mærkes, hvis denne består af et meget stort antal elementafladninger. På de enkelte korn i et opladet pulver kan således måske sidde C, d. v.s. at hundrede tusind til en million elektroner er blevet flyttet for at oplade dette enkelte korn. På et plasticomslag, der er blevet gnedet mod et eller andet, eller på en person, der har gået over en isolerende gulvbelægning, sidder der måske 10 7 C, d.v.s. mere end elektroner har været indblandet i opladningsprocessen. Der er dog grænser for, hvor stor en ladning, man kan have på en given overflade. På overfladen af en leder kan der maksimalt sidde ca C m 2 (ved atmosfærisk tryk). I kapitlet om elektriske felter, skal vi vende tilbage til dette spørgsmål. Selv om elektriske ladninger under praktiske forhold normalt er lokaliserede på legemer med en vis udstrækning, er det mest praktisk først at beskrive såkaldte punktformige ladninger, d.v.s. ladninger, der sidder på legemer, hvis udstrækning er lille sammenlignet med afstandene til de steder, hvor man ønsker at studere ladningernes virkninger. Coulombs lov Det kan eksperimentelt vises, at den kraft F 12, hvormed ladningen q 2 påvirker ladningen q 1, kan udtrykkes som ( 1. 1) hvor r er afstanden mellem q 1 og q 2, og e 12 er en enhedsvektor rettet mod q 1 fra 2

11 ELEKTRISK LADNING 1.3 q 2, fig e 0 er en konstant, vakuumpermittiviteten, eller det tomme rums permittivitet defineret ved 1 0 =-- lloc2 hvor llo er vakuumpermeabiliteten (se Kapitel 9) og c er lyshastigheden i vakuum. 0 har den eksakte værdi 8, C 2 N 1 m 2 Fig. 1.1 der i praksis gerne afrundes til For kraften F 21 på q 2 gælder q,q2 F z,=--ez, 41t /2 hvor e 21 er en enhedsvektor rettet mod~ fra q 1, d.v.s. e = C 2 N- 1 m 2 o, ( 1.2) og Ligning (1.1) og (1.2), der begge angiver kraften mellem to elektriske ladninger, kaldes Coulombs lov. I praksis vil det normalt være vanskeligt direkte at eftervise loven, men dens gyldighed kan dokumenteres ved, at den fører til resultater, der er lette at kontrollere med stor nøjagtighed. Idet superpositionsprincippet gælder for elektriske kræfter kan den resulterende kraft F 0 på en ladning q 0 fra en samling ladninger, q 1, q2,...,qi,., fig. 1.2, skrives Fig. 1.2 F =-1- ~ qoqie. o L o1 4 2 neo i r. 01 (1.3) Er ladningerne kontinuert fordelt langs en linie L med den lineære ladningstæthed Il (C m 1) eller på en flade S med fladeladningstætheden a (C m 2) 3

12 1.4 ELEKTRISK LADNING eller i et volumen U med rumladningstætheden p (C m 3), kan ligning (1.3) skrives (1.4) eller eller 0 F =-1- JQ odse o 47teo s rz (1.5) (1.6) hvor r og e er afstandene og enhedsvektorerne fra linieelementet dl, fladeelementet ds eller volumenelementet du til ladningen 'lo 4

13 ELEKTRISK FELT 2.1 KAPITEL 2 ELEKTRISK FELT Def"mition af elektrisk felt Når en ladning, i hvile i forhold til omgivelserne, påvirkes af en elektrisk kraft, siges den at befinde sig i et elektrisk felt. Af ligningerne (1.1) - (1.6), fremgår det, at den kraft, hvormed en ladning påvirkes (af andre ladninger), er proportional med ladningen selv. Man kan derfor helt alment skrive for kraften F på en ladning q F= qe (2.1) Proportionalitetsfaktoren E kaldes den elektriske feltstyrke. Dens enhed er N c- 1 (eller, som vi senere skal se, V m- 1 (volt pr. meter)). Feltstyrken E er en karakteristisk størrelse for ethvert punkt i omgivelserne af en ladningsfordeling. Man anvender ofte udtrykket, at en ladningsfordeling fremkalder en bestemt tilstand, et elektrisk felt, eller blot et E-felt, i sine omgivelser, karakteriseret ved feltstyrken. Ligning (2.1) kan også skrives F E=- (2.2) q Det fremgår af (2.2), at man bestemmer feltet fra en given ladningsfordeling ved i det punkt, hvor feltstyrken ønskes målt, at anbringe en ladning q og måle den kraft F, hvormed feltet påvirker q. Imidlertid kan selve anbringelsen af q i feltet ændre den feltfremkaldende ladningsfordeling, og feltstyrken bliver dermed afhængig af størrelsen af den ladning, man bruger til måling af feltet. Feltstyrken E fra en given ladningsfordeling defineres derfor som forholdet mellem den kraft df, der virker på en ladning dq, der anbringes i feltet, og ladningen dq, idet det forudsættes, at dq er så lille, at den ikke ændrer fordelingen af de ladninger, der fremkalder feltet, d. v. s. E= df d q (2.3) 5