Grafisk tilrettelægning: XXXX Omslag: XXXX Foto: Illustrationer: Jesper Frederiksen Tryk:

Transkript

1 Lærervejledning

2 Kolofon KonteXt +4, Lærervejledning Forfattere: Bent Lindhardt, Rikke Saron Dalsgaard, Michael Poulsen, Michael Wahl Andersen Ekstern redaktør: Bent Lindhardt Forlagsredaktion: Susanne Schulian Grafisk tilrettelægning: XXXX Omslag: XXXX Foto: Illustrationer: Jesper Frederiksen Tryk: [c] 2014 Alinea, København - et forlag under Lindhardt og Ringhof A/S, Egmont 1. udgave, 1. oplag 2014 ISBN: 2

3 Indhold 3

4 Ideen bag KonteXt+ Systemets navn er ikke tilfældigt. KonteXt tager udgangspunkt i, at matematik er lettest at lære, når det opleves i en sammenhæng, eleverne kan indleve sig i. Derfor introduceres de faglige læringsmål i genkendelige historier og de matematiske begreber i et genkendeligt hverdagssprog. Der skabes sammenhæng mellem hverdagens erfaringer og hverdagens sprog og så matematikkens verden. Vi har hentet vores inspiration fra det kendte hollandske forskningsicenter Freudenthal Institut som i mange år har arbejdet med hvad de kalder Realistic Mathematical Education at lære matematikken ved at se den gennem genkendelige og mulige virkelighedsnære sammenhænge. Fast og overskuelig struktur Hvert kapitel følger en fast og overskuelig læringsstruktur, som gør det genkendeligt og enkelt for både lærer og elev. Denne struktur tager udgangspunkt i to til tre såkaldte scenarier i virkeligheden og fører eleverne gradvist over i matematikkens verden. I overensstemmelse med forenklede Fælles Mål Indholdet i Kontext+ er revideret så det er i overensstemmlese med forenklede Fælles Mål. Forventningen om en øget synlighed af læringsmål går igennem såvel kernebog som vejledningen til læreren. Fokus på både førtanken og eftertanken i undervisningen Igangsættelsen af et fagligt forløb tager udgangspunkt i en afsøgning af elevernes forestillinger og faglige niveau og de læringsmål som hører til kapitlet. Der afsluttes med tid til at opsummere elevernes matematisk kompetencer og teste elevernes viden og færdighedsniveau gennem de såkaldte EVA-ark. Differentierede og varierede arbejdsformer og opgaver Der er læringsværdi i varieret undervisning såvel i form som organisation. Hvert kapitel lægger derfor op til forskellige arbejdsformer fx makkerpararbejde, værkstedsaktiviteter hvor der spilles, leges, undersøges osv., individuelt arbejde, hvor der øves og trænes og klasseaktiviteter, hvor der samles op og igangsættes. Opgaverne er differentierede, idet de veksler mellem at være lukkede og åbne, samt veksler mellem at være rent matematiske færdighedsopgaver og mere virkelighedsnære tekstopgaver. Faglig læsning i en sammenhæng mellem dialog og matematiske opgaver. KonteXt+ lægger vægt på kommunikation at bruge sproget som limen i forståelse. Der indtænkes derfor både elev-elevsamtaler og lærer- elevsamtaler, hvor opgaveløsning diskuteres, og hvor viden opsummeres og begrundes. 4

5 Skal eleverne opnå fortrolighed med matematikken senere i deres liv, skal de kunne afkode og læse matematikholdige tekster. De skal også kunne udvælge relevant data til løsning af matematiske opgaver. Derfor gør vi noget ud af tidligt at sætte matematikken i en tekstuel kontekst og ikke kun præsentere matematik som rene matematikopgaver. Integrering af digitale værktøjer og medier It indgår som et naturligt hjælpemiddel i KonteXt se beskrivelse senere. Det inddrages såvel som medie, som læringsmiddel og som værktøj til matematisk problembehandling. Der er sat hovedfokus på, at eleverne anvender få alsidige programmer som Geogebra og regneark. De er knyttet til de opgaver, der stilles i kernebogen. I 4. klasse vil der primært være præfabrikerede filer, som eleverne skal arbejde ud fra. Alle filer kan downloades fra kontextplus.dk. It som medie indgår med film, der viser eksempler på de matematiske pointer i virkeligheden og film, som uddyber Viden om-siderne med animationer og forklaringer. 5

6 Elementerne til Kontext+ Til fjerde klasse indgår der følgende elementer: KonteXt+ 4, Kernebog/web Eller Kontext+ 4, Flexbog som er en samlet digitaludgave, der rummer Kernebog/web og træningshæfte Kontext+ 4, Lærervejledning/web Tavlebog Træningshæfte Kernebog Den trykte bog hedder kernebogen, fordi det basale stof i matematik står her. Kernebogen er den styring, der fører eleverne gennem stoffet, så det opfylder de faglige målsætninger, man kan sætte på dette klassetrin ud fra forenklede Fælles Mål. Kernebogen til fjerde klasse er på 164 sider og opdelt i ni faglige kapitler som er: Talsystemet og at gange At dele Form og tegning Brøker Data og chance Decimaltal Måling Areal og omkreds Talmønstre og ligninger Illustration af opslag fra Form og tegning introsiderne Lærervejledning Den trykte Lærervejledning indeholder En gennemgang af systemets opbygning og ide. Faglige og didaktiske baggrundsviden, som har formet Kontextsystemet. En grundig side-til-side vejledning med anbefalinger til supplerende aktiviteter, faglige uddybende kommentarer og gode råd. Illustration af opslag fra lærervejledningen 6

7 Web Til KonteXt +4 hører der en hjemmeside med en lang række supplerende materialer. Elevadgangen til fås automatisk ved køb af kernebøgerne og læreradgangen fås ved køb af lærervejledningen. Hjemmesiden er påtænkt løbende at blive videreudviklet og udbygget. På nuværende tidspunkt er der adgang til: Geogebrafiler og regnearksfiler, der er vist med ikon i kernebogen se senere beskrivelser på side xx. På nuværende tidspunkt er der over 60 filer til fjerde klasse. Instruktionsvideoer til Geogebra og Excel. Viden om videoer knyttet til hvert af de ni kapitler. Korte videoer som gennemgår centrale dele af det matematiske stof i kapitlet. Kan fx bruges som en del af Flipped Classroom undervisning. Ekstra fotomateriale knyttet til introsiderne for hvert kapitel. Arbejdsark som understøtter opgaverne i Kernebogen Særlig læreradgang til: o Serviceark som kan understøtte opgaverne i Kernebogen. o Facitliste for Kernebogens opgaver. o EVA-ark med lærerkommentarer, som er en diagnostisk test, der undersøger elevernes målopfyldelse inden for kapitlets stofområde. Illustration af web med video et af småprogrammerne foto facitliste Tavlebog Kernebogen udgives som tavlebog. Det er en avanceret pdf-udgave af bogen til brug på IWB. Flexbog Flexbog, KonteXt +4, er kernebogen og webdelen samlet i et digitalt produkt. Det vil sige, at der i den digitale udgave af bogen er indsat klikbare ikoner for film, Geogebrafiler, arbejdsark og lignende. Man skal altså ikke ind på et site og hente den. Man kan skrive og tegne på siderne og arbejdsarkene, man kan indsætte egne noter, man kan skrive løsninger i filen, man kan kommunikere elev/lærer og elev/elev. De arbejdsark, der indeholder brikker, grafer, figurer eller lignende, kan printes. Træningshæfte Der vil indgå et træningshæfte på 48 sider, som knytter sig til kernebogens breddeopgaver. Det indeholder dels blandede opgaver og supplerer antallet af træningsopgaver til de enkelte kapitler. 7

8 Læringshjulet Illustration af læringshjul Kapitlerne i kernebogen er opbygget efter en særlig struktur som vi kalder for læringshjulet blandt andet med inspiration fra Gudrun Malmer og Freudenthals planlægningsmodeller (se evt. Brå matematik for alle og Freudenthals model som omtales The iceberg ). Begge lægger vægt på, at der skal bygges på erfaringer, hverdag og sproglig formåen for at skabe forståelse for de matematiske begreber fra det enkle til det svære fra det hverdagsorienterede konkrete, uformelle matematik til det abstrakte, formelle matematik. Deres synspunkt er, at hvis eleverne for hurtigt udsættes for øvelser og træning i den formelle og abstrakte matematik uden nogen kontakt til deres forforståelse, så udebliver deres forståelse. Fase 1. Intro og synlige mål (Førtanken) Introen foregår som en klasseaktivitet. Den har til formål at inddrage elevernes forforståelse, erfaringer, associationer og intuitive forståelser fra hverdagen og samtidig give læreren et indledende indtryk af, hvor eleverne er læringsmæssigt i kapitlets stofområde. Den har også til formål at skærpe elevernes opmærksomhed og fokuseringen for de matematiske begreber, der skal arbejdes med. Introen består af: Fællessamtale 1, der er en indledende dialog mellem lærer og klassen. Se inspiration ved hvert kapitel Fællesamtale 2, der er anvisninger på samtaler omkring introsidens fotografi En fællesaktivitet, der er aktiviserende praktiske opgaver, som giver eleverne mulighed for at snuse til emnet og læreren mulighed for at iagttage deres umiddelbare viden og færdigheder i emnet. Mulig inddragelse af forforståelsesaktivteter fx mind maping. Se dette på side xx her i Lærervejledningen. Nederst til højre på hvert Introopslag i kapitlerne er der en tydeliggørelse af de mål, som elevere skal arbejde med som gennemgås og evt. synliggøres i klassen til forløbet. Fase 2. Kontekst (Fordybelse) I næste fase er der 2-3 små fortællinger eller scenarier, der indeholder beskrivelser og spørgsmål, hvor de matematiske begreber præsenteres i en kontekst holdt i en hverdagssproglig form. Det giver mulighed for, at eleverne via indlevelse kan skabe sig mentale billeder af hvad det handler om. Det skal bemærkes, at scenarierne ikke er virkeligheden, men en konstrueret virkelighed, som blot skal understøtte forståelsen af matematikken. Det er således ikke 8

9 emnearbejde eller projektarbejde, men fantasien, som er det bærende element i konteksten. Det er ikke meningen, at eleverne skal udføre og undersøge men i stedet indleve sig og forestille sig. Det hele foregår på tankens plan, som hvis man ser et teaterstykke med udvalgte miljøer og personer, som skal understrege en bestemt pointe for publikum. Fase 2 er udpræget et dialogbaseret arbejde, som vi anbefaler foregår to og to som matematikmakkere. Fase 3. Aktiviteter (Praktisk matematik) Ud over at tænke og tale matematik skal eleverne opleve matematikken ved at gøre og røre. En alsidig læring cementerer forståelsen bedre. I denne fase indgår der praktiske og eksperimentelle aktiviteter, hvor der spilles, måles, bygges, matematiseres og hvor der indgår modelleringsopgaver. Se ikon [ikon] Der inddrages enkle og billige materialer, som vil findes på de fleste skoler eller som er nemme at anskaffe. Der er således tale om spil med arbejdsark, der hentes på centicubes, mønsterblokke, tændstikker, terninger, sømbræt, cm-mål, stopur m.m. Disse aktiviteter er typisk pararbejde eller gruppearbejde. Fase 4. Viden om (Matematisk viden) I Viden om opsummeres den matematiske viden og det faglige sprog bliver præciseret. Viden om er typisk fællesarbejde for hele klassen. Kan fx anvendes som: Samtaleside, hvor der samles op i fællesskab. Forberedelsesside, for grupper af elever som efterfølgende fremlægger for resten af klassen. Til denne fase er der knyttet Viden om-film, der kan findes på Fase 5. Breddeopgaver (Træning) Breddeopgaverne er et bredt udvalg af træningsopgaver, hvor eleverne individuelt kan arbejde sig igennem. Breddeopgaverne indeholder både lukkede opgaver og mere åbne problemløsende opgaver. Der hører et træningshæfte til, som kan supplere denne træning. Fase 6. Eftertanken (Evaluering) Som afsluttende evaluering på kapitlet kan der anvendes: De tre kompetenceorienterede opgaver på Eftertankesiden. Et EVA-ark, som er en diagnostisk test, der undersøger elevernes målopfyldelse inden for kapitlets stofområde. Se Elevernes egen faglige logbog, hvor de formulerer deres viden. 9

10 Forenklede Fælles Mål Kontext+ har stort fokus på de forandringer og ikke mindst den progression og systematik som de nye forenklede Fælles Mål (FFM) lægger op til. I forenklede Fælles Mål, som er udformet i 2014, men først igangsættes i 2015 har man lagt vægt på, at man skal mere målstyre fremfor aktivitetsstyre sin undervisning. Der er sat fokus på, at eleverne kender til de læringsmål, der er for undervisningen. På disse sider kan man således se, hvordan Kontext + har nedbrudt de officielle mål til delmål for matematikundervisningen for fjerde klasse. Se de officielle læringsmål og læseplanen på undervisingsportalen på Som man kan se, er der i den nye struktur beskrevet tre faser til klasse inden for de fire områder Matematiske kompetencer, Tal og algebra, Geometri og måling samt Statistik og sandsynlighed. Det er pointeret, at de tre faser ikke skal opfattes som klassetrin. Der kan således forekomme to faser i fjerde klasse og en sidste fase på mellemtrinnet over de to næste årgange. Vi opfatter det som minimumskrav, at de videns- og færdighedsmål, som er angivet i 1. fase, skal kunne identificeres i Kontext +4. Vi ser dog ikke hindringer for at opsamle læringsmål fra tidligere faser for at konsolidere og repetere evt. udbygge elevernes viden og færdigheder. I Kontext +4 har vi øget synligheden af de læringsmål, der er tænkt i hvert af de ni faglige kapitler. Det vil fremgå af side-til-side-vejledningen og af introsiderne i Kernebogen. Hvert scenarie indledes således med de specifikke læringsmål, som er udledt af de mål, der er i de forenklede fælles mål. I Kernebogen har vi dog skrevet I dette kapitel skal du arbejde med i stedet for overskrifter som mål læringsmål eller lignende. Vi tænker, at du som lærer selv oversætter disse til de endelige læringsmål og dermed er den styrende part i forhold til mål fremfor, at lærebogen er det. Vi sætter rammerne, du sætter målene. Du kan som sagt finde inspiration til din egen målskrivelse ved at se de anviste mulige læringsmål til de enkelte kapitler og afsnit i kapitlerne. Den viden og de færdigheder, eleverne skal opnå for at leve op til formålet, kan beskrives som et samspil mellem de læringsmål, der er knyttet til kompetenceområdet Matematiske kompetencer og de læringsmål, der er knyttet til stofområderne Tal og algebra, Geometri og måling samt Statistik og sandsynlighed. Elevernes udvikling og udøvelse af matematiske kompetencer finder sted i deres arbejde med faglige stofområder, og elevernes arbejde med stofområderne bliver meningsfuldt, når det forbindes med de processer og arbejdsmåder, der er beskrevet i de matematiske kompetencer. I FFM indgår der en arbejds- og planlægningsmodel, som beskriver denne samhørighed mellem de matematiske kompetencer og det matematiske stof. 10

11 Illustration af matrix modellen I Kontext +4 tænker vi, at kapitlerne er udtryk for et undervisningsforløb, hvor det faglige stof og kompetencerne indgår i et fællesskab såvel direkte som indirekte i elevernes arbejde. Se derudover mere om de matematiske kompetencer på side xx. Se også i Side-til-side vejledningen under hvert kapitel. De faglige stofområder I FFM er fordelt på følgende måde: klasse Kap 1 Kap 2 Kap 3 Kap 4 Kap 5 Kap 6 Kap 7 Kap 8 Kap 9 Tal x x x x Regnestrategier x x Algebra x Geometriske x egenskaber og sammenhænge Geometrisk x tegning Placeringer og x flytninger Måling x x Statistik x Sandsynlighed x 11

12 De matematiske kompetencer I planlægningen af hvert undervisningsforløb skal læreren udvælge læringsmål fra både de matematiske kompetencer og fra de matematiske stofområder. I hvert undervisningsforløb sigtes der således samtidigt på udvalgte mål fra en eller flere af de matematiske kompetencer og på udvalgte mål fra et eller flere af stofområderne. Et undervisningsforløb opfattes i Kontext+ som et kapitel i Kernebogen. Det skal bemærkes, at man i FFM har reduceret de otte matematiske kompetencer fra KOM rapporten til seks kompetencer så tankegang- og ræsonnementskompetencen samt symbol- og repræsentationskompetencen er smeltet sammen. I KonteXt betragter vi kompetencerne som en beskrivelse af de elementer, der indgår i en matematisk virksomhed ofte i en sammenhæng, hvor det kan være svært at isolere de enkelte kompetencer fra hinanden. Der er således oftest tale om et stort overlap, når eleverne arbejder med en matematisk problemstilling. Der bør således i planlægningen og gennemførslen af et undervisningsforløb være plads til både at se matematisk virksomhed som et samspil af kompetencer og som plads til at fokusere på enkelte kompetencer og udelukke andre. I det følgende har vi forsøgt generelt at beskrive og eksemplificere, hvordan vi har indtænkt hver af de seks kompetencer. Problembehandling Problembehandling vedrører løsning og opstilling af matematiske problemer, dvs. matematiske spørgsmål, der ikke kan besvares udelukkende med rutinemetoder. Det er individuelt, om et matematisk spørgsmål udgør et problem for en elev. Et spørgsmål, som for nogle elever udgør et matematisk problem, kan for andre elever være en rutineopgave. Eleven kan opstille og løse matematiske problemer. Eleven kan anvende forskellige strategier til matematisk problemløsning. Eleven har viden om kendetegn ved lukkede, åbne og rene matematiske problemer samt problemer, der vedrører omverdenen. Eleven har viden om forskellige strategier til matematisk problemløsning, herunder med anvendelse af digitale værktøjer. Opfyldelse af kompetencemål I scenarierne vil der ofte være spørgsmål som er ikke-rutineprægede opgaver. Det involverer elevernes egentænkning og opgaver som ofte afkræver strategiske overvejelser fra eleverne. I dette indgår både lukkede og åbne opgaver. Ved hvert af de enkelte scenarier afsluttes med en udfordrende opgave, som appellerer til øgede evner til problembehandling. I Breddeopgaverne er de sidste opgaver af mere grublende karakter og vil udfordre elevernes kreative problemløsningsadfærd inden for matematikken. Udvalgte af opgaver i Eftertanken har klare referencer til problembehandlingskompetencen. 12

13 Modellering Modellering vedrører dels processer, hvor matematik anvendes til behandling af situationer og problemstillinger udenfor matematikken dels analyse og vurdering af matematiske modeller, som beskriver forhold i virkeligheden. Eleven kan gennemføre enkle modelleringsprocesser. Eleven kan anvende enkle matematiske modeller. Eleven har viden om enkle modelleringsprocesser. Eleven har viden om enkle matematiske modeller. Opfyldelse af kompetencemål Sådanne processer omfatter opstilling af en problemstilling fra omverdenen, oversættelse af problemstillingen til en matematisk model, matematisk behandling af modellen og tolkning af den matematiske model i forhold til den oprindelige problemstilling. Ved de fleste Aktivitetsopslag i hvert kapitel er indlagt problemstillinger, som kan opfattes som dele og af og forøvelser til Modellering i matematik. Ræsonnement og tankegang Ræsonnement og tankegang vedrører matematisk argumentation og karakteristika ved matematisk tankegang. Eleven kan anvende ræsonnementer i undersøgende arbejde. Eleven kan anvende ræsonnementer til at udvikle og efterprøve hypoteser. Eleven har viden om enkle ræsonnementer knyttet til undersøgende arbejde, herunder undersøgende arbejde med digitale værktøjer. Eleven har viden om enkle ræsonnementer knyttet til udvikling og efterprøvning af hypoteser. Opfyldelse af kompetencemål I Eftertanken er indlagt udsagn formodninger hypoteser - som eleverne skal vurdere rigtigheden af. I det hele taget indgår der almindeligvis opgaver, hvor eleverne stilles over for spørgsmålet hvorfor, som afkræver et argument eller en forklaring. Det kan for mange elever være vanskeligt at redegøre for egen tanker og være klar i argumentationen. Man må ikke forvente fyldestgørende svar, men snarere eksempler og som om situationer, som mulige besvarelser. Det er også muligt at inddrage skitser og tegninger til at illustrere sine tanker. I evnen til ræsonnementet indgår der sproglige vendinger som fordi eller hvis så. I tankegangskompetencen indgår evnen til selv at formulere spørgsmål, som kan besvares med brug af matematik. Opgaver, hvor eleverne skal formulere en opgave eller historie, som kan danne begrund for et matematisk spørgsmål, indgår jævnligt. 13

14 Repræsentation og symbolbehandling Repræsentation og symbolbehandling vedrører anvendelse og forståelse af repræsentationer i matematik, herunder matematisk symbolsprog. Eleven kan oversætte regneudtryk til hverdagssprog. Eleven kan oversætte mellem hverdagssprog og udtryk med matematiske symboler. Eleven har viden om hverdagssproglige betydninger af regneudtryk. Eleven har viden om hverdagssproglige betydninger af udtryk med matematiske symboler. Opfyldelse af kompetencemål Anvendelse af matematiske symboler er en del af den viden, vi bibringer eleverne gennem Viden om. De matematiske symboler er dog begrænset til det nødvendige for at illustere de matematiske begreber. Vi vil på mellemtrinnet undlade at lære symboler for symbolernes egen skyld. I hele KonteXt + systemet lægges der megen vægt på repræsentationer, der ud over at være en kompetence, er en central forståelsesfaktor. Vi forsøger derfor at have en spændvidde i brugen af beregningsmetoder, i brug af matematiske modeller, i brug af værktøjer, i brug af kontekstuelle iklædninger, i anvendelse af konkrete materialer osv. Vi tænker bl.a. i repræsentative hovedgrupper som følgende: Matematiske holdbare udsagn herunder symbolsk notation. Sproglige hverdagsudtryk såvel mundtligt som skriftligt. Visuelle udtryk herunder såvel tegning som film. Modeller for sammenhænge. Konkrete materialeorienterede udtryk. Kommunikation Kommunikation vedrører det at udtrykke sig med og om matematik og at sætte sig ind i og fortolke andres udtryk med og om matematik. Eleven kan læse og skrive enkle tekster med og om matematik. Eleven kan skriftligt og mundtligt kommunikere varieret med og om matematik. Eleven kan anvende fagord og begreber mundtligt og skriftligt. Eleven har viden om formål og struktur i tekster med og om matematik. Eleven har viden om skriftlige og mundtlige kommunikationsformer med og om matematik, herunder med anvendelse af digitale medier. Eleven har viden om fagord og begreber. 14

15 Opfyldelse af kompetencemål Netop kommunikation via tekst er en væsentlig del af Kontext+. Vi tænker, at tal og tekst er uhjælpeligt forbundet, og at man gør eleverne en bjørnetjeneste ved at undlade at lære dem at forbinde disse udtryksformer i en sammenhæng ved at kunne læse, skrive og forstå via tekst. Vi sætter fokus på formidlingsdelen i Eftertanken. Her skal eleverne via opgaver som Vis det og Forklar det kommunikerer deres viden til klassekammaraterne gennem et varierete brug af digitale værktøjer. Her har eleverne mulighed for at bruge det digitale medie som redsskab/værktøj til at underbygge deres formidling og som visuelt formidling i form af skærmoptagelser, små lommefilm, hvor kommunikationen kan være tekst, tale og animation. Hjælpemidler Hjælpemidler vedrører kendskab til, anvendelse og valg af relevante hjælpemidler i matematik. Eleven kan anvende hjælpemidler med faglig præcision. Eleven kan vælge hjælpemidler efter formål. Eleven har viden om forskellige hjælpemidlers anvendelighed i matematiske situationer. Eleven har viden om forskellige konkrete materialer og digitale værktøjer. Opfyldelse af kompetencemål Hjælpemiddel kompetencen består i Kontext+ af brug af digitale hjælpemidler som en tankeforlængelse på den matematiske virksomhed som udføres. Se mere under Digitale værktøjer side xx. I denne komptence indgår derudover alle former for hjælpemidler som vinkelmålere, konkrete materialer, lommeregnere osv. Det centrale er færdigheden i at anvende det rigtige hjælpemiddel mest hensigtmæssigt i en givet matematisk proces. 15

16 Digitale værktøjer It har en overskyggende rolle i dansk undervisning i dag med god grund. Vi er dog af den opfattelse, at det er matematikken med dens kerneidentitet og tankesæt, som er det centrale og ikke programmerne i sig selv. Vi opfatter derfor it primært som et hjælpemiddel hvilket betyder, at it inddrages løbende, når det giver mening for at understøtte læringen i matematik. Vi tænker i anvendelsen tosidet: It som digitalt værktøj og It som medie. Geogebra som digitalt værktøj Ligesom anvendelsen af lommeregner har ændret matematikundervisningen ved at mindske behovet for træning i talbehandling og anvendelse af tabeller, ændrer anvendelsen af Geogebra matematikundervisningen. En stor del af det traditionelle arbejde med at konstruere f.eks. polygoner med bestemte egenskaber vil naturligt foregå på computeren frem for på papir. Samtidig bliver der mulighed for at udvide elevernes arbejde med geometrisk konstruktion, undersøgelser med henblik på forståelse af geometriske regler og ræsonnementer. Arbejdet med Geogebra forudsætter, at en række geometriske begreber er kendte. Med disse begreber på plads kan eleverne relativt nemt konstruere forskellige geometriske figurer som tidligere kunne give store vanskeligheder og afkræve en høj grad af præcision fx konstruktionen af den omskrevne cirkel. Det interessante er imidlertid ikke, at computeren kan tegne præcist. Det interessante er derimod, at eleverne får øgede muligheder for at arbejde med tegning, undersøgelser, analyser og ræsonnementer i tæt sammenhæng. Også i forbindelse med arbejdet med geometriske mønstre rummer computeren store muligheder på alle klassetrin. Ræsonnementer omkring linjer ved trekanter, cirkler, vinkler, flytninger, symmetri osv. bliver naturligt inddraget. Disse fordele kan kategoriseres på følgende måde: Øget visualisering Med Geogebra kan man visualisere begreber og matematiske sammenhænge, så eleverne kan sætte billede på. Komplicerede sammenhænge kan animeres, så eleverne kan følge en udvikling trin for trin. Bedre muligheder for at arbejde med modeller Man kan eksperimentere med forskellige modeller med henblik på at finde frem til den bedst egnede model. Letter tegnearbejdet og fremmer muligheden for at arbejde undersøgende og eksperimenterende Her har Geogebra en klar styrke. Programmet giver mulighed for at arbejde med matematik på en helt ny måde. Undersøgelser, som på papir ville være tidskrævende klares med få museklik. 16

17 Eksempler: At tegne en regulær ottekant kræver kun 5 museklik. Undersøgelsen af, hvornår centrum for en trekants omskrevne cirkel ligger inde i trekanten kræver ligeledes kun få museklik og intet besværligt tegnearbejde. At finde vinkelsummen i en trekant eller firkant bliver altid mere præcist end man kan gøre med en vinkelmåler. Undersøgelserne vil ofte være ledsaget af spørgsmål som fx: Hvordan går det, hvis? Mon det går sådan, fordi? Øger muligheden for flere og sværere matematiske problemstillinger Eleverne kan arbejde med problemstillinger, som ellers hører hjemme på et højere niveau. F. eks. behøver de ikke at kende noget til tangens, når de skal beregne en flagstangs højde. Understøtter dialogen om de matematiske begreber Ved at give eleverne mulighed for at tegne, beskrive og undersøge forskellige figurer og mønstre, skabes baggrund for dialog om geometriske metoder og begreber. De kommunikative færdigheder støttes også ved en mundtlig præsentation af f.eks. en geometrisk undersøgelse af diagonaler i forskellige typer firkanter i på en interaktiv tavle. Flere elever kan komme til orde De stille elever kan også blive hørt ved, at eleverne optager deres forklaringer på handlinger og løsninger i Geogebra i en skærmoptagelse. Der findes flere gratis skærmoptagelsesprogrammer og i SkoleTube. Den stille elev har også svært ved at fremlægge direkte foran klassen, men ved at have mulighed for at gennemarbejde en skærmoptagelse, kan eleverne føle sig tryg ved fremlæggelsen. Fremmer forståelsen af formler og sammenhænge Beregning af arealer er præget af formler. Der er mange, og de kan slås op, men det er afgørende for elevernes forståelse af, hvad formler betyder, at de kommer igennem nogle fundamentale erkendelsesprocesser. ved at lægge to helt ens trekanter ved siden af hinanden kan man altid få en firkant, ved at lægge kvadratiske brikker på en rektangulær flade har man et tal, der beskriver størrelsen af fladen. Øget motivation Anvendelsen af Geogebra virker i høj grad motiverende på eleverne. Det er en motivation, der rækker ud over nyhedens interesse, idet de løbende bliver præsenteret for eller går på opdagelse i nye funktioner. Præcisionen i Geogebra tiltaler også en del elever, især hvis de lægger vægt på, at deres arbejde præsenterer sig på en ordentlig måde. Geogebra i 4. klasse I Kontext arbejdes der med Geogebra på en systematisk måde så funktionerne i programmet relaterer sig til opgaveløsninger af forskellig slags. Eleverne har stiftet bekendtskab med Geogebra tidligere, men da man mange steder får nye lærere på 17

18 dette klassetrin, kan der være brug for at genopbygge dette kendskab. De grundlæggende funktioner bygges derfor langsomt og systematisk op gennem mellemtrinnet, så eleverne på de ældste klassetrin vil kende det som et naturligt værktøj til løsning af diverse matematiske problemstillinger. I 4. klasse har vi udvalgt følgende funktioner som falder naturligt i opgaveløsninger i kernebogen: Vise/skjule gitter Vise/ skjule akser Vise/skjule punkter og geometriske figurer Benytte polygon og regulær polygon-værktøjerne Benytte linje- og linjestykke-værktøjerne Benytte tekst-værktøj Benytte værktøjer til længdemåling og arealberegning Tegne parallelle og vinkelrette linjer Finde midtpunkt af et linjestykke Anvende skydere Hjælpefiler Der vil løbende gennem Kernebogen være henvisning til hjælpefiler markeret ud for de opgaver som hjælpefilerne relaterer sig til. Ved at gå ind på under 4. klasse kan eleverne finde de relevante filer. Når filen åbnes, ser eleverne en opgavebeskrivelse og eventuelle hints til hjælp. Det er således muligt at gå direkte til hjælpefilen, idet der altid er en beskrivelse af opgaven. Eleverne behøver ikke at have Kernebogen ved siden af sig opgaven står på skærmen. Filerne vil i de indledende opgaver indeholde et tip om, hvilket redskab eleverne kan bruge til at løse opgaven. Andre filer er mere komplekse. De kan f.eks. indeholde starten på en geometrisk konstruktion, som eleverne skal undersøge nærmere. Der kan være flere underfiler knyttet til samme hjælpefil med supplerende opgaver ofte med en øget åbenhed i brugen af Geogebra. Filerne kan deles op i en række typer (med glidende overgange) med følgende formål: Præsentation af nye begreber til interaktive tavler Visualisering af begreber og sammenhænge Eksperimenterende og undersøgende virksomhed Træníng af færdigheder som variation Udfordringer til eleverne 18

19 Geogebra kan downloades på Klik på knappen download og vælg mellem: Webstart som henter seneste version af programmet ned på din computer. Applet start som kører programmet på Geogebras hjemmeside. Fordel: der skal ikke installeres noget på computeren og man benytter altid seneste version af programmet. Ulempe: Det virker langsommere end hvis man har valgt Webstart og installeret programmet på sin computer, og det kræver at man har adgang til internettet. Regneark som digitalt værktøj Regneark er oprindeligt udviklet som et bogholderiprogram, men har i dag så mange muligheder, at det er blevet attraktivt at anvende i matematikundervisningen. Et regneark kan bruges i mange situationer i matematikundervisningen: Statistik Budget/regnskab Simulering Fremskrivninger Sortering Et regneark indeholder et stort antal faciliteter, hvoraf mange er særdeles avancerede og rækker langt udover, hvad eleverne i folkeskolen skal kunne benytte. Derfor er der i Kontext +4 foretaget et udvalg af faciliteter, som bliver inddraget på en systematisk måde. Der begyndes med de mest simple og i løbet af mellemtrinnet bygges disse gradvist op. I Kontext +4 benyttes følgende faciliteter i et regneark: Grundlæggende kendskab til regneark, herunder navngivning af celler. Formatering af regneark (Skrifttype, størrelse, farve, baggrundsfarve, rammer) Dynamikken i brug af regneark Søjlediagrammer/Pindediagrammer Sumfunktionen Hjælpefiler Der vil på samme måde som med geogebrafilerne løbende gennem Kernebogen være henvisning til hjælpefiler markeret ud for de opgaver som hjælpefilerne relaterer sig til. Geogebrafiler angives med følgende vignet Regneark angives ved følgende vignet 19

20 Ved at gå ind på under 4. klasse kan eleverne åbne de relevante filer. Når filen åbnes vil der indledes med en opgavebeskrivelse og muligheden for hints til hjælp. Valg af regneark Der findes et stort udvalg af regneark og de fleste indeholder de samme grundlæggende faciliteter fx.: Excel (er en del af Office-pakken). Programmet er ikke gratis og skal installeres på computeren. Calc (er en del af Open Office-pakken og Libre Office). Programmet er gratis og skal installeres på computeren. Calc kan åbne Excel-filer og gemme i Excel format. Regnearket i Google Dokumenter. Programmet er gratis og skal ikke installeres på computeren. Dokumenterne ligger online, så eleverne kan arbejde videre med dem derhjemme. 20

21 It som medie Der indgår løbende gennem hele Kontext +4 brug af it som medie. Det falder i to grupper. Oplæg til elevproducerede tekster med brug af videokameraer, Ipad, mobiltelfoner eller lignende Forlagsproducerede film med forskellige typer af information De elevproducerede tekster I forbindelse med Aktivitetssider i hvert kapitel kan der være forslag til, at eleverne anvender diverse programmer til præsentation af resultater og problemstillinger. Heri kan indgå brugen af power point, grafiske programmer, tegneprogrammer m.m. Da udviklingen på dette område er rivende stærk, og at der hele tiden dukker nye programmer op, som kan andet og mere, overlader vi til skolen selv at vælge det mest hensigtsmæssige. Der vil særligt i Eftertanken være naturligt at opfordre eleverne til at anvende digitale værktøjer til kommunikation fx via deres Ipad, mobiltelefon, kameraer eller andre medier. Se nærmere under de enkelte kapitler. De forlagsproducerede film Ved hvert af de ni kapitler i Kernebogen indgår der et Viden om afsnit. Der vil være en film til hvert kapitel hvor de forskellige matematiske begreber forklares og uddybes gennem eksempler. Her vil eleverne hjemme eller i lektiecafeer få visuelle forklaringer på den matematik der indgår i det kapitel der arbejdes med. Eleverne kan også vende tilbage til filmene, hvis de senere møder problemstillinger, hvor de for at kunne løse opgaven har brug for at få genopfrisket tidligere viden. Illustration af en af Viden om filmene Der er en række instruktionsfilm, som beskriver udvalgte funktioner i regneark og Geogebra, der ikke intuitivt er enkle nok at gennemskue. Der vil være film, som anskueliggør kapitlets faglige pointer gennem situationer fra virkeligheden der kan bruges som intro til de enkelte scenarier. Filmens primære mål er at supplere klassesamtalen om det klassiske anskuelsesbillede, planchen., myldrebilledet fra bogen osv. Altså en motiverende videofilm, som understreger, at matematikken også handler om den virkelige verden uden for skolen. Illustration hvis muligt Der er ekstra fotos, som kan anvendes fx ved den indledende klassesamtale ved hvert af de faglige kapitler til brug på klassens IWB. 21

22 Faglig læsning i matematik Når eleverne starter i 4. klasse, ændrer indhold og form sig. KonteXt+ går fra at være et system af engangsbøger til et system med flergangsbøger. Det betyder bl.a., at skriftligheden i bøgerne stiger, fordi eleverne i flergangsbøger er nødt til at overføre indholdet i en matematikbog til andre medier og modaliteter som fx digitale værktøjer, arbejdshæfter, konkrete materialer, praktiske aktiviteter, etc. Af den grund er et fokus på elevernes læsekompetence central, men også indsigten i at læsekompetence generelt er en nødvendig del af en tidssvarende matematisk kompetence også for de svage elever. En læsekompetence som består i evnen til at kunne afkode og forstå en tekst. Afkode tekst Afkodningen er den proces, hvor den alfabetiske kode knækkes, og eleverne bliver i stand til at genkende de forskellige ord både førfaglige og faglige ord. Afkodningen handler om den tekniske side af læseprocessen. En flydende og fleksibel læsning forudsætter, at afkodningen er automatiseret, og at den tekniske side af læseprocessen ikke lægger beslag på læserens opmærksomhed. En mangelfuld afkodning kan gå ud over det samlede læseudbytte på mindst to måder: Der kan læses med så lav hastighed, at det er umuligt at fastholde meningshelheden. Der kan være så mange meningsforstyrrende fejllæsninger, at læseren ikke får overblik over tekstens indhold. Elever, der på grund af manglende træning har problemer med afkodningen, har brug for at læse mange og lette tekster. Disse elever har i særlig grad brug for træning i fonologisk og morfologisk opmærksomhed. Forstå tekst Forståelsen har at gøre med den sproglige bearbejdning og selve tolkningen af teksten. For at kunne læse en tekst må man have hverdagserfaringer eller forforståelser, der gør det muligt at skabe mening i den tekst, der læses. Læseforståelsen handler om, at man danner sig mentale repræsentationer af det, der beskrives i teksten. Sproget giver mulighed for at beskæftige sig med genstande og begreber, der ikke er til stede. Hvis en elev har svært ved at forstå det læste, kan det være fordi: Eleven ikke har de nødvendige hverdagserfaringer, hvor for det næsten er umuligt at forstå teksten, selvom hvert ord kan afkodes. Eleven ikke kan få tekstens oplysninger til at hænge sammen med sine hverdagserfaringer. 22

23 At være en god læser i matematik Det kan være formålstjenstligt at arbejde intensivt med faglig læsning i matematik. I den sammenhæng kan det være væsentligt, at elever i læsevanskeligheder kan hente støtte hos klassekammerater ved, at man læser tekster i fællesskab. En stor del af en matematikbog består af opgaver såvel tekstopgaver som symbolholdige opgaver som skal afkodes og forstås. Det er vigtigt at være opmærksom på, at der findes forskellige teksttyper i bogen, der skal læses med forskellige hensigter. Det kan foreksempel være i scenarierne: Her er der en række tekstelementer der skal forstås i en sammenhæng, for at det er muligt at arbejde med opgaverne. Her er det vigtigt at gøre eleverne opmærksomme på, at man ikke kan nøjes med at læse opgaverne, for der er ingen hjælp at finde i opgaverne. Den indledende tekst er en beretning, som skal lede hen mod en problemstilling. Det er i beretningen, at eleverne finder de nødvendige informationer. Det handler her om, at eleverne skal se relevante og irrelevante oplysninger samt skabe sig billeder af den situation, der beskrives. Her kan eleverne stille spørgsmål som: Hvilket emne handler teksten om? Hvilke informationer er vigtige? Er der ord som ikke er kendte eller svære at forstå? Teksten følges af et billede, som skal understøtte elevernes billeddannelse af den hverdagskulisse, som er sat i scene. Her kan man stille spørgsmål som: Hvad er der på billedet? Hvilke informationer indeholder billedet? Der er ofte ikke-sammenhængende tekster i form af skemaer, diagrammer, modeller osv. Her kan man stille spørgsmål som: Hvad er der af tekniske tegninger? Hvad skal tegningerne bruges til? Er der tekst til tegningerne? Der er tekstopgaver, som skal beskrives, analyseres og tolkes. Her kan man stille spørgsmål som: Hvad handler opgaven om? Kan den genfortælles? Kan situationen tegnes? Hvilke data er nødvendige for løsning af opgaven og hvordan finder man dem? 23

24 Hvad er forventningerne til resultatet? Hvordan skal den løses? Er resultatet fornuftigt? Der er informative og forklarende tekster i Faktabokse og i Viden om. I disse tekster har en kort leksikalsk udformning og er ikke som i grundbøger i fx biologi, der gennemgår eksempler og årsagssammenhænge i længere skrifter. Det skal således mest opfattes som elevernes evne til at anvende denne viden som et opslagsskrift. Her kan man stille spørgsmål som: Hvad handler boksen om? Hvad kan den bruges til? Hvordan skal den anvendes På Aktivitetssiderne skal eleverne kunne læse forskellige instruktive tekster og diagrammer som spilleanvisninger, konstruktioner, fremgangsmåder i en aktivitet m.m. Alle kapitlerne i KonteXt+ er bygget op på denne måde. Det kan være hensigtsmæssigt at forklare eleverne opbygningen, så de kan læse de enkelte tekstelementer med en hensigt. 24

25 Faglig læsning og opgaveløsning En væsentlig del af elevernes arbejde går med at læse og løse opgaver. Det er derfor centralt, at de har strategier for et sådant arbejde. Således forstået at her er tale om en sammensmeltning af færdigheder indenfor problemløsningsstrategier og læsestrategier. Nedenstående elementer kan indgå i en sådan strategisk tilgang til opgaveløsning med tilhørende opmærksomhedsfelter Læse opgaven. (læseafkodning) Mestrer eleverne på det rent tekniske plan at læse en tekst? Hvis eleverne ikke er i stand til at afkode teksten, vil resten af aktiviteten blive helt meningsløs Genfortælle opgaven. (læseforståelse) Forstår eleverne, det de læser? Hvis eleverne ikke forstår, det de læser, vil resten af aktiviteten blive helt meningsløs. Det at kunne læse er en forudsætning for at arbejde med flergangsbøger i matematik. Her gør det sig ligeledes gældende, at hvis eleverne ikke forstår, det de læser, så vil resten af aktiviteten bære præg af tilfældighed og i værste fald meningsløshed. Tegne et billede (fastholdelse og meningsskabelse) Mestrer eleverne at skabe en mental forestilling af en given opgave? Dette er en forudsætning for at kunne holde opgaven i arbejdshukommelsen. Finde og vælge løsningsstrategi (elementær og funktionel læsekompetence og matematikkompetence) Mestrer eleverne at identificere de data, der behøves for at løse problemet? Eleverne skal kunne afkode og forstå de matematiske symboler, der indgår i teksten? Kan eleverne derefter uddrage de relevante data og vælge hensigtsmæssige strategier og anvende dem korrekt? Give et overslag (hverdagserfaringer og talforståelse) Har eleverne erfaringer, der gør, at de kan forholde sig til et forventet resultat? Overslag er en forudsætning for refleksion, hvis eleverne ikke har en forventning til et givent resultat, er refleksion ikke en mulighed. Udregne resultatet (viden og færdigheder) Kan eleverne anvende deres matematiske viden og sine matematiske færdigheder hensigtsmæssigt og udregne resultatet korrekt? Sammenholde resultatet med overslaget og spørgsmålet (refleksiv tænkning) Mestrer eleverne at vurdere deres arbejde? Der er fokus på, om eleverne kan forholde sig til og reflektere over valg af strategier og resultater af beregninger. Når eleverne arbejder med tekstopgaver, vil de enkelte elementer højst sandsynligt forekommer flere gange og være forskellige i forhold til intensitet og tidsforbrug, og 25

26 der vil være store individuelle forskelle blandt eleverne. Men man skal dog være opmærksom på den overordnede progression i forløbet, når eleverne arbejder, så de ikke går i stå eller mister overblikket under arbejdet. Herunder følger et eksempel på en elevs arbejde med en tekstopgave. Illustration 26

27 At stille spørgsmål og tale sammen Måden, man som lærer stiller spørgsmål på, har indflydelse på kvaliteten af de sproglige og faglige overvejelser, eleverne skal gøre sig i forbindelse med undervisningen i matematik. Der er grundlæggende to måder at stille spørgsmål på i matematik. Der kan være tale om åbne eller lukkede spørgsmål. Hvor lukkede spørgsmål kan føre til en mekanisk spørgsmål /svar procedure, lægger åbne spørgsmål op til, at eleverne kan byde ind med deres aktuelle viden om et givent emne uden at skulle ligge under for en rigtig/forkert tænkning. Lukkede spørgsmål Mange af de spørgsmål, man traditionelt stiller eleverne i matematik, har ofte kun ét rigtigt svar. Et spørgsmål kunne for eksempel lyde: Hvad bliver 8 gange 6?. Spørgsmålet angiver forventningen om et bestemt svar, og enten kender man svaret eller også kender man det ikke. Åbne spørgsmål Åbne spørgsmål giver mulighed for en række mulige svar og giver eleverne mulighed for at ræsonnere. Overvej fx spørgsmål som refererer til elevernes ideer og tanker fremfor viden: Forestil dig, at du har glemt hvad 8 x 6 er, men du ved at 5 x 6 er 30. Hvordan kan man finde ud af hvad 8 x 6 er? Åbne spørgsmål fordrer i mange tilfælde, at eleverne skal forklare sig samt overveje flere mulige løsninger og svar, hvilket giver læreren mulighed for at skabe sig en indsigt i elevernes tænkning og deres forståelser, og hvilken slags sprog de anvender til at beskrive deres matematiske ideer, og dermed hvor indsigtsfuld deres viden og færdigheder er. Eksempler på gode spørgsmål Herunder følger en række eksempler på hvilke typer af spørgsmål, der kan lægge op til samtale. Spørgsmålene er stillet på en sådan måde, at eleverne ikke bare kan svare ja eller nej. Spørgsmål der kan indlede en samtale Hvordan er du kommet til det resultat? Hvordan kan man vide det? 27

28 Overbevis resten af os om, at det stemmer? Er der andre der har samme svar, men en anden forklaring? Hvilke? Hvilke ligheder er der på jeres forklaringer? Hvilke forskelle er der på jeres forklaringer? Er det sandt i alle sammenhænge? Hvordan vil du vise det? Spørgsmål der kan støtte eleverne i at formulere og løse problemer Hvad tror du er problemet? Hvad mangler du for at kunne løse problemet? Hvad nu hvis? Hvad kan du komme i tanke om fra tidligere, vi kan tage i anvendelse? Hvad har du arbejdet med før, der ligner dette problem? Om progressionen i spørgsmål Som lærer kan man gøre sig overvejelser over hvilke typer af spørgsmål, der kan udfordre elevernes tænkning omkring en problemstilling. Man skal være opmærksom på hvordan og hvilke spørgsmål, man stiller eleverne. Her arbejdes der derfor med en tredelt spørgeteknik, som i overskrifter handler om: Spørgsmål til elevens handlinger Indledende kan man spørge eleverne om, hvordan de gør ting. Med denne type af hvordan spørgsmål bliver der lagt op til, at eleverne sætter ord på deres handlinger. Elever der arbejder på dette trin tager derfor udgangspunkt i deres egen intuitive forståelse. Det er derfor vigtigt, at man her prøver at forstå, hvordan eleven tænker frem for at prøve at trække eleven ind i bestemte måder at tænke og handle på. Spørgsmål til elevens tænkning vedrørende systematisering På dette trin kan man rette sine spørgsmål mod at opfordre eleverne til at lede efter systemer. Man kan spørge ind til elevernes forståelse. Eleverne systematiserer med udgangspunkt i den konkrete situation. Spørgsmål til elevens tænkning vedrørende generalisering På det sidste trin lægges der ved hjælp af spørgsmål op til, at eleverne tænker i generaliseringer. Eleverne kan fx opfordres til at finde ud af, om det er muligt at finde en generel løsning til en given problemstilling. 28

29 Side til side-vejledning 29

30 Talsystemet og at gange Kernebogen s Fælles Mål Eleven kan anvende flercifrede naturlige Eleven har viden om naturlige tals tal til at beskrive antal og rækkefølge opbygning i titalssystemet Eleven kan udvikle metoder til multiplikation og division med naturlige tal Eleven har viden om strategier til multiplikation og division Eleven kan udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger vedrørende hverdagsøkonomi Eleven har viden om beregninger med de fire regningsarter inden for de naturlige tal, herunder anvendelse af regneark Hvad vil det sige at gange? Vi har valgt over for eleverne at anvende det dagligdags kendte udtryk gange for en multiplikation, idet det gør det nemmere, når vendinger som et antal gange og lignende indgår i forklaringer. I det følgende anvender vi dog det professionelle mere præcise ord multiplikation. Det er i den sammenhæng vigtigt at være opmærksom på, at der er forskellige fremtrædelsesformer af multiplikation. Multiplikation kan opfattes som: En geometrisk repræsentation fx som et arealforhold Der er 4 gange 6 sodavand i kassen. Et mængdeforhold Der er fire poser med 17 stk. Et forhold fx Ida har 4 gange så mange bolsjer som Lau. Gentaget addition fx Gentaget addition er ofte den første erfaring med multiplikative processer, eleverne viser. På sigt skal eleverne gerne erfare, at en sådan gentaget addition kan gøres mere hensigtsmæssig ved at betragte den som en multiplikationsproces. I den sammenhæng er det centralt, at eleverne så tidligt som muligt opdager, at division er den modsatte regneproces. Der er 9 rækker med 5 brikker i hver række (fortløbende addition) (5-tabellen) 9 * 5 = 45 (matematisk symbolsprog) 30

31 Er multiplikation svært? I addition arbejder man med samme objekter fx lægger man 7 æbler sammen med 15 æbler. I multiplikation er to forskellige variable. Det kan eksemplificeres med jeg har 3 kroner og får 4 kroner mere altså objektet kroner. Hvorimod der ved multiplikationen vi er 3 personer med 4 kroner hver er tale om to forskellige objekter både kroner og personer. Denne forskel har nogle forskere beskrevet som en højere abstraktion. Det er også den almindelige erfaring, at fortløbende addition synes at være mange eleves begyndende multiplikationstænkning fremfor en egentlig multiplikation. Den kommutative lov Den kommutative lov siger, at faktorernes orden er ligegyldig en pointe ikke alle elever har tilegnet sig endnu i 4. klasse. En af årsagerne kan være, at man opfatter fx 4 * 12 og 12 * 4 som to forskellige situationer. Der er forskel på, om man til en fødselsdag vælger, at uddele 4 slikposer med 12 stykker slik i hver pose eller 12 poser med 4 stykker slik i hver. Multiplikation med 0, 10 og 100 Dette kapitel sætter fokus på at gange med 0, 10 og 100. At gange med 0, 10 og 100 bør bygge på en grundlæggende forståelse af titalssystemet og 0, 10 og 100 s funktion i dette talsystem. Det er derfor vigtigt, at eleverne ikke kun støtter sig til mekaniske huskeregler og udenadslære, som man ganger med 10 ved at sætte et 0 bag på. Denne form for fokus på memoteknik kan medføre, at eleverne løber ind i problemer, fordi den indlærte regel ikke slår til ved fx 1,25 * 10. Det er bedre, at eleverne indser at hver position i tallet bliver ti gange større og i denne sammenhæng efterlader en tom plads til enerne. Til at fremme forståelsen af, hvad det vil sige at gange med 0, kan det være en god idé for eleverne at diskutere indholdet af sætninger, som ingen gange har jeg fem, ingen gange har jeg 75 eller jeg har ingen rækker med 75 i hver. Således bliver de abstrakte regneudtryk 0 * 5 = 0 og 0 * 75 = 0 gjort mere håndgribelige. Gangetabellerne Der har en overgang været taget afstand fra det at træne gangetabeller. Vi er fortalere for, at tabellerne skal automatiseres, så godt de kan. Vær dog opmærksom på, at elever, som viser tegn på talblindhed, kan have usædvanligt svært ved det. Generelt er det dog en rimelig paratviden. Viden om gangetabellen er en forudsætning for hurtigt overslag og vil understøtte en fornuftig balance mellem hovedregning og lommeregnerregning. Det er dog vigtigt i denne sammenhæng at skelne mellem mekanisk indlærte multiplikationstabeller og forståelse af selve begrebet multiplikation. Indlæring af gangetabellen kræver mange gentagelser for at blive operationel. Der findes et hav af forskellige tabellege, som både kan laves i skolen og i hjemmet, og hvor fokus er på at øve tabellerne. 31

32 Det er vigtigt at have for øje, at målet er, at eleverne bliver i stand til at anvende multiplikation i forskellige situationer og med stigende grad af abstraktion. Gangetabellen er midlet til det - ikke et mål i sig selv. Algoritmer I 4. klasse skal eleverne fortsat udvikle egne beregningsmetoder i arbejdet med de naturlige tal. Det er vigtigt, at eleverne får mulighed for at udvikle deres egen algoritme for bedre at opnå den fulde forståelse for, hvad der sker undervejs, når der regnes. Som konsekvens heraf viser vi ikke en bestemt standardalgoritme. På Viden om siderne tages i stedet forskellige multiplikationsalgoritmer op til diskussion. Der er således mulighed for at tage udgangspunkt i de algoritmer, der er vist på side 23 i Kernebogen eller man kan lade eleverne undersøge hjemme, hvilke algoritmer forældrene anvender. Det kan være end særlige god ide, at se på opstillinger hvor man spalter gangestykker. Fx gangestykket 127 * 5 op, så 127 * 5 bliver til 100 * * * 5. Det kan visualiseres på forskellig måde med gitre og skemaer fx den italienske gittermetode. Eksempel: Illustration af gittermetoden se s.37 i gammel lærervejledning Se også viden om videoerne henvendt til eleverne på kontextplus.dk. 32

33 Intro Kernebogen side 4-5 Om klassesamtalen Der kan være store forskelle i viden om multiplikationstabellen. Det kan være en god ide at undersøge dette, inden man begynder kapitlerne. Man kunne tage tabellen op og se på, om der var mønstre i hundredetavlen fx hvor ligger 2-tabellen? 5 tabellen? 3- tabellen? Osv som opstart på klasseaktiviteten på introsiden. Det kunne være på en stor hundredetavle i en skolegård eller ved at lægge hundredetavlen med talkort på en gang, i en aula eller lignende. Eleverne kan opleve mønstrene på egen krop ved, at de fungerer som brikker, og placere sig på tal i en bestemt tabel. Der bør også være opmærksomhed på, hvorvidt eleverne kan genkende en multiplikationsproces i en eller anden virkelighedsramme. Det kan ske ved at eleverne selv giver eksempler på en regnehistorie, som indeholder 4 * 3. Kom evt. ind på forskellen mellem, at fem personer har 2 kr. hver og så 2 personer har fem kr. hver. Brugen af lommeregner kunne også indgå hvordan er det nu, man bruger den, når man ganger. Foretag nogle sjove beregninger på lommeregneren med eleverne fx 11 * 11 og 111 * 111 og fortsæt. Skriv evt. en række tal på tavlen, som indgår i flere tabeller og lad eleverne finde tal, som hører sammen og hvorfor. Her er tallene 2, 3, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 14 Kan du samle nogle af tallene, som hører til samme tabel? Om fotoet Hvor mange sko er der på hver hylde? Lad eleverne fortælle om de kan se, hvad det er for sko (bowling). De har måske prøvet at have skoene på. Viser fotoet alle de sko, der er i bowlinghallen? Hvorfor ikke eller hvorfor? Er der et bestemt system skoene ligger i? (skoene bliver større og større fra oven og ned fra str. 4 til str. 7) Hvordan vil I tælle skoene? Lad eleverne komme frem med en god måde at tælle det samlede antal. Hvad skal regnes med? (Man kan kun se noget af skoene til højre aftal om de er med). Lad dem tælle hver især og se, om de er enige. Spørg ind til deres tællemåde. (Der er 76 sko). Hvordan vil I regne jer til svaret? Lad eleverne hver især notere deres udregningsmetode. Saml derefter op i plenum på deres forskellige bud på udregningsmetoder. Diskuter i fællesskab hvilke 33

34 udregningsmetode, der er hurtigst og mest hensigtsmæssig. Bemærk, om nogen regner 2 * 8 * 5-4 (2 par sko mangler). Hvor mange par sko kan der ses i alt? Kom ind på ordet par - hvad betyder det? Få eleverne arbejdet ind i retningen af, at antallet af par kan omregnes til sko ved at gange med to. (38 x 2 sko) Hvor mange par sko vil der være, hvis der er ti gange så mange? Antallet er nu aftalt. Lad eleverne lægge 76 sammen 10 gange på lommeregner. De kan evt. gætte og kontrollere på lommeregner. Er der mon et system? Måske er der elever der ved, hvad det vil sige at gange med 10. Lad dem prøve at forklare deres fremgangsmåde. Om klasseaktiviteten Eleverne skal hver især undersøge tabelmønstre i hundredetavlen. Se tidligere beskrivelser. Eleverne kan blandt andet se på, hvordan nogle tal går igen i flere tabeller og nogen indgår slet ikke. De kan på opdagelse i særlige mønstre og forsøge at gennemskue sammenhænge. De kan farvelægge talmønstrene og lave en udstilling af det. Supplerende aktiviteter Gangetabel Udlever en gangetabel, hvor der mangler en række tal eleverne skal forsøge at finde de manglende tal. De svagest præsterende elever kan få hjælp af lommeregnere. Tabel-bingo Hver elev skal fremstille en bingoplade. Eleverne vælger, hvilke af de nedenstående tal de ønsker på deres bingoplade. Eleverne skal skrive et tal i hver rubrik. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 30, 32, 35, 36, 40, 42, 45, 49, 54, 56, 63, 64, 72, 81 Billede af bingoplade Fremstil to sæt talkort fra 0-9. Læreren trækker to kort fra bunken og siger gangestykket, der fremkommer, højt fx 4 * 7. Eleverne har lommeregner eller en gangetabel til rådighed. De elever, der har produktet 28, lægger en markør på sin plade eller sætter et kryds over tallet med blyant. Fortsæt indtil en af eleverne får banko. 34

35 Tabelmemory Spilles parvis. Fremstil 16 sæt talkort, hvor de otte indeholder gangestykker, og de andre otte er resultatet af gangestykkerne. Eleverne fordeler kortene tilfældigt på bordet og trækker på skift to kort. Kan de pares, så gangestykke og resultat passer sammen, har man et stik. Det giver lov til at trække to nye kort. Passer kortene ikke sammen er det den andens tur. Den, der har flest stik til sidst, har vundet. FLERE EKSEMPLER Musikfestivalen Kernebogen s. 6-9 Læringsmål Eleverne kan anvende titalssystemet til at beskrive et større antal. kan identificere positioner som enere, tiere, hundreder, tusinder m.m. kan veksle mellem enere, tiere, hundreder og tusinder. afrunde til nærmeste 100 og Faglige og metodiske kommentarer Kapitlet indledes med et scenarie om Musikfestivalen, hvor der er fokus på større tal og positionssystemet. Eleverne skal arbejde med pladsernes betydning i et naturligt tal som en indledning til udvikling af regnestrategier inden for multiplikation og division. Der vil for en del elever være tale om stof, de kender til, men der vil også være en del, som har brug for at få det repeteret. Vi tager udgangspunkt i tælleapparater og den måde et sådant apparat virker. Har man adgang til et sådant mekanisk eller elektronisk - kan det måske være motiverende at medbringe det til klassen. Det kan være en god ide sammen at tælle videre fra nogle skarpe hjørner. Spørg ind til hvad der sker, når man trykker på én mere på et tælleapparat, og der står i displayet 9, 99, 999, 9999 måske 1009 osv. Bemærk, at der kan være elever, som ikke er klar over, at den første rude i tælleapparat er den yderste til højre. Hvilket er modsat læseretningen, som går fra venstre mod højre. Eleverne kommer ind i problemstillinger, hvor de skal veksle såvel tiere, hundreder og tusinder til større tal. Eleverne skal kunne omsætte 23 tiere til 2 hundreder og 3 tiere. De skal kunne omsætte 49 hundreder til 4 tusinde og 9 hundrede osv. I den sammenhæng kan det være en god ide at inddrage konkrete materialer, som har været brugt tidligere som fx pengesedler/mønter. Afrunding tages op i forbindelse med en diskussion om nøjagtighed. 35

36 Kommentarer til opgaver og IT Opgave 1-2 Eleverne skal sammenligne og tage stilling til tallenes størrelse. Tallene er valgt, så de ligger tæt på hinanden, så eleverne kan se hvordan pladsen i tallet har betydning for størrelsen. Der indgår opgaver, hvor eleverne skal beregne forskellen mellem tallene og derfor have udviklet subtraktive strategier. Der lægges ikke op til standardopstillinger men snarere hovedregning og talmanipulation, hvor man kløver tallene fornuftigt og ser på mulige regnemetoder. De følges op af opgaver, som undersøger elevernes evne til at bruge positionerne til at skabe tal og antal samt læse og skrive tallene. I opgave 2b skal eleverne skrive et tal, som kan passe til ca besøgende. Ordet cirka indeholder ikke en klar definition, men et typiske svar vil være tal som er 50 over eller under Opgave 3 Opgaven sætter fokus på, hvordan et naturligt tal vokser på de forskellige positioner. Der er elever, som undrer sig over, at tusindepladsen forøges med kun 1, når man lægger 1000 til. Opgave 4 Eleverne skal forholde sig til forskellen mellem store tal og forsøge at tænke i regnestrategier fx en fylde op metode. Fra op til er der sket en stigning på 6 hundreder, 0 tiere og 3 enere dvs. at der er kommet 603 gæster ind. Opgave 5 Eleverne skal demonstrere, at de kan afrunde naturlige tal til nærmeste 10, 100 og De skal desuden gøre sig overvejelser om forskellen i afrundet svar og præcise svar. Lad dem gå ind i situationer, hvor afrundet svar er godt nok. At svare på hvad der er bedst afhænger af situationen. Skal man fx vide, om der er plads til alle på festivalen, kan et svar i tusinde være godt nok. Skal man svare på, hvor mange penge, der er kommet ind i entreindtægter, vil et præcist antal måske være bedre. IT regneark: Musikfestivalen På ark 1 skal eleverne afrunde besøgstal til nærmeste 100 og 1000 samt tegne et diagram over besøget. På ark 2 skal eleverne arbejde med funktionen Autosum. Eleverne vil gøre sig en vigtig erfaring, at et dokument kan bestå af flere ark. Opgave 6-9 Nogle elever kender sikkert en flippermaskine de har måske endda prøvet en. Det kan være værd at bringe sådanne erfaringer ud i klassen. Vi bygger fagligt videre på arbejdet med positioner knyttet til pointgivning på flippermaskinerne, når kuglen rammer forskellige forhindringer på dens vej mod mål. Det fagligt centrale i scenariet er, at man kan ramme fx hundredeforhindringen mere end 10 gange fx 13 gange. Det kræver så en oversættelse til 1 tusinde og 3 hundreder. Eleverne skal således kunne håndtere en sådan veksling mellem pladserne i et naturligt tal. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 36

37 IT-regneark: Flippermaskinen På ark 1 kan eleverne få regnearket til at udregne point på spil på flippermaskinen. På ark 2 anvender eleverne autosum til at samle point sammen. Udfordringen Vi ser på forskel mellem store tal og lægger op til, at eleverne selv finder strategisk gode måder at fylde tal op på fra fx op til i stedet for at foretage en standardopstilling med at låne. I det her tilfælde skal eleverne kunne kløve tallet til fx Eleverne kan fylde op fra position til position og ender med resultatet som tillægges den ene vi fjernede i starten. Det endelige svar er så Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 37

38 Nødhjælpen Kernebogen s Læringsmål Eleverne kan opfatte multiplikation som gentaget addition af det samme tal. kan omsætte multiplikationsprocesser til divisionsprocesser. kan genkende forskellige multiplikationsprocesser i virkeligheden. har udviklet en forretningsgang ved beregninger ved enkle multiplikationer af flercifrede tal. kan gennemskue forskellige multiplikationsalgoritmer. kan multiplicere med 0, 10 og 100. Faglige og metodiske kommentarer Arbejdet med antalsbestemmelse, der med fordel kan foretages ved hjælp af multiplikation, er omdrejningspunktet for dette scenarie. Der tages udgangspunkt i fortløbende addition. Indledende lægges der op til, at eleverne arbejder med optælling ved at tælle antallet af dåser i en række og derefter multiplicere med antallet af rækker i de tre forskellige rammetyper. For den blå ramme kan man tænke det som (fortløbende addition) (tabelkundskaber) 8 * 6 = 48 (matematisk symbolsprog) Eleverne bliver i dette afsnit introduceret til multiplikation som en kommunikativ regneoperation. Gennem arbejdet vil eleverne få mulighed for at gøre sig erfaringer med, at faktorernes orden er ligegyldig, da 8 * 6 = 6 * 8. En indsigt nogle elever stadig kan have svært ved. Det er basal viden, at eleverne har kendskab til de små tabeller. Hvis nogle elever finder det svært at forestille sig dåserne, så kan det være en god ide at bruge konkrete materialer fx centicubes. Eleverne kan også tegne dåserne som krydser på kvadratpapir. Kommentarer til opgaver og IT Opgave 1 2 I disse opgaver arbejdes der med fortløbende addition samt elevernes tabelkundskaber. Regnearket K4+ 03 bygger videre på, at eleverne skal opnå fortrolighed med enkelte grundlæggende funktioner. Opgave 3 Denne opgave har flere løsningsmuligheder fx 1 * 16, 2 * 8, 4 * 4. I denne opgave vil der være elever, der kan finde på at arbejde den modsatte vej og derfor foreslår at dividere. Dette kan være en oplagt lejlighed til at tale om multiplikation og division som modsatte regningsarter. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 38

39 Opgave 4 Denne opgave har flere løsningsmuligheder fx 1 * 36, 2* 18, 3* 12, 6 * 6. Det kan være en god ide at lade eleverne argumentere for, hvorfor nogle løsningsmuligheder er bedre end andre. Et spørgsmål til klassen kan være: Hvilken ramme skal Nødhjælpen vælge og hvorfor? Opgave 5 Der bliver i denne opgave sat fokus på at gange med en faktor blandt andet faktor 10. Vær i den sammenhæng opmærksom på, at eleverne ikke bare sætter et nul bag på som en udenadslære de ikke forstår. Spørg ind til, hvad det vil sige at gange med 10, så fokus er på deres forståelse af denne regneproces. Lad fx eleverne afprøve systemet med at gange med 10 ved at bruge lommeregneren og foretage forløbende multiplikation. I opgave b arbejdes der den modsatte vej. Nogle elever vil derfor foreslå at dividere. I denne situation vil det være relevant at tale om division og multiplikation som modsatte regningsarter og fokus bør derfor være på forskellige beregningsmåder. 2 rammer (72 : 36, , 2 * 36) 4 rammer (144 : 36, , , 2 *72, 4 *36) Osv. Opgave 6-7 Der er flere måder at løse denne opgave på. Det kan være hensigtsmæssigt at opdele dåserne i rektangler og derefter tælle sammen. Opgaven her lægger op til en samtale om regningsarternes hierarki. Det kan være en hjælp for nogle elever at bruge konkrete materialer, udregninger eller tegninger til at forklare deres løsningsforslag fx 4 * * * * 6. Bemærk, at man i opgave b i 1. udgaven har skrevet 1 * 6 som burde være 1 * 7. Ret det evt. i bogen eller accepter en løsning der passer til det skrevne. Næste opgave er et eksempel på division som det modsatte af en multiplikationsproces. Her skal eleverne bundte i enheder af 36 svarende til den grønne ramme. Opgave 8 Vi udvider opfattelsen af multiplikation ved at tilføre ekstra faktorer i regnestykkerne. Vi har her at gøre med regnestykket 3 * 2 som udvides til 3 * 2 * 8. Og derefter en udvidelse med et tocifret tal svarende til 3 * 4 * 12. Opgave 9 11 Eleverne skal her finde frem til en regnestrategi, som involverer gangestykker med flercifrede tal, der ikke blot kan regnes som hovedregning. Som grundregel er det befordrende for indsigten i en gangealgoritme, at man skitserer sig til et resultat, før man formaliserer det. Det anbefales, at eleverne kløver tallene, fx at de tænker på regnestykket 37 * 7 som 30 * * 7. Det er årsagen til, at vi forsøger at vise scenariet med melsække lagt i særlig rækkefølge. En skitse kunne være Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 39

40 Illustration af rektangel delt op i en side med 30 og 7 samt en side med 7. Inden i rektanglet står der henholdsvis 210 og 49. Sørg for at eleverne rationaliserer deres tegning af melsække så det blot er prikker eller endnu nemmere, at det fx er en tern. I opgave 11 beskriver vi igen den modsatte handling, at resultatet kendes men at multiplikationsstykket skal findes. Udfordringen I udfordringen bedes eleverne om at videreudvikle deres algoritme og skitser til multiplikation af tocifrede tal ganget med flercifrede tal. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 40

41 Feriecentret Kernebogen s Læringsmål Eleverne kan anvende store dele af multiplikationstabellen. har viden om den kommutative lov (a * b = b * a). genkende forskellige multiplikationsprocesser i virkeligheden. kan anvende og gennemføre multiplikation og addition i samme regneudtryk (den distributive lov). Faglige og metodiske kommentarer Eleverne skal primært opleve sammenhængen mellem division og multiplikation og arbejde med regneoperationernes hierarki. Det er centralt for elevernes indlæring, at de får forståelse for, at man kun kan multiplicere, når det drejer sig om gruppering af ens elementer. Det samme gør sig gældende for division. I dette scenarie vil eleverne opleve den kommutative lov og forskellen i de to muligheder. Fx (2 * 12) sovepladser i 12-sengshytter og (12 * 2) sovepladser i 2-sengshytter. Det vil blive suppleret af øvelser i, hvordan den distributive lov virker altså, at a(b + c) = ab + ac. Kommentarer til opgaver og IT Opgave 1 I opgave a skal eleverne kunne orientere sig på oversigtskortet af feriecentret og finde ud af, hvor mange der er af hver slags hytte. Nogle elever vil vælge at lave fortløbende addition fx = 24 sovepladser, hvor andre vil sige 2 hytter á 12 sovepladser = 2 * 12 = 24 sovepladser. Opgaven kalder på evner til at overskue information og fremkalde den nødvendige information. I opgave b anbefaler vi brug af digitale værktøjer fx lommeregner. Det er dog vigtigt, at eleverne er klar over, hvorvidt deres lommeregner har indbygget rigtige regnehierakiske beregninger eller ej. Lad eventuelt eleverne først afprøve deres lommeregner. Opgave 2 Dette er en åben opgave og derfor er der også flere løsningsmuligheder. Opgaven lægger op til forskellige overvejelser om fordelingen af elever og lærere i hytterne. Opgave 3 I opgave a og b vil eleverne (med rette) kunne blive i tvivl om de skal gange eller dividere. I dette tilfælde vises det at gange og division hænger tæt sammen. De kan fx løse opgave a ved at sige 48 : 6 = 8 eller ved at spørge: Hvad skal jeg gange med 6 for at få 48, altså 6 * x = 48. Opgave 4 Denne tegning kan fremstilles såvel som på computer. Til de elever, som synes, det er en uoverskuelig opgave, findes der et hjælpe-kopiark. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 41

42 Opgave 5 Denne opgave ligger meget op til faglig læsning i forhold til hvordan eleverne læser informationerne på siden og orienterer sig på siden. De skal samtidig kunne trække på deres viden fra de foregående opgaver om antallet af hytter og sengepladser. Denne viden skal de bruge når de færdiggør skemaet. IT regneark: Feriecentret Eleverne kan anvende regnearket til at udregne sengepladser. Opgave 6 Ligesom i opgave 3 er det her gældende, at eleverne kan løse opgaven ved hjælp af såvel gange som division. De kan sige 48 : 4 = 12 eller 4* antal hytter = 48 så må antallet af 4-sengshytter være 12. Opgave 7 I opgave a og b handler skal eleverne anvende de regnehierakiske regler. De skal vide, at man skal gange, før man lægger til. De skal således opdage, at Madsen har glemt denne regneregel. Han har bare regnet fra venstre mod højre og sagt 2 * 12 er 24, er 44 og 44 * 4 er 176. Det rigtige svar er 104. De kan evt. undersøge beregningen på lommeregner, fx om der kommer forskellige svar. Opgave 8 I denne opgave skal eleverne holde styr på de forskellige informationer, de har fået oplyst omkring hytter, antal sengepladser og så udvidelsen af feriecentret. Nogle vil have brug for at blive gjort opmærksomme på, at det kan være hensigtsmæssigt at bruge tegningen fra opgave 4 og skemaet fra opgave 5. Andre vil lynhurtigt kunne se, at det er svarene fra opgave 5. b der blot skal lægges sammen og hvortil de 48 nye sovepladser skal lægges oveni. Opgave 9 Eleverne bruger deres viden om hvordan de beregner sengepladser til en ny situation, som en form for repetition. Der kan være tvivl om, der i opgave b er tale om at den tænkte udvidelse har fundet sted eller om det er det feriecenter, der er oplyst fra begyndelsen af scenariet. Begge svar kan være rigtige det er kun et spørgsmål, hvad eleverne vælger. Udgangspunktet er, at udvidelsen ikke har fundet sted, men blot har været en plan fra lejrchefens side. Udfordringen Udfordringen i denne opgave ligger dels i, at eleverne skal løse opgaven ved hjælp af regnearket Hytteleje og dels i det åbne spørgsmål b, hvor eleverne selv skal tage stilling til, hvordan Madsen bedst muligt kan tjene 5000 kr. ekstra. Der er således mange svarmuligheder til opgave b. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 42

43 Aktiviteter Kernebogen side Tænk sig hvis der var kæmper til Materialer: Målebånd, lommeregner, regnearket Kæmpen Det er første gang, eleverne ser mærket med et stort M. Det er for at signalere, at der i opgaven er elementer af modelleringskompetencen. Eleverne skal forsøge at beregne sig til mål på kæmpen, som synes troværdige. Det gør de ud fra det fodaftryk, som er skitseret i bogen. Arbejdet består i at se, at der er en vis proportionalitet mellem elevens egen fods størrelse og kæmpens fods størrelse. Det typiske, eleverne gør, er at måle med deres egen fod eller sko, hvor mange gange den kan være på fodaftrykket. Det vil svare til ca. 5 gange med den fodstørrelse, der almindeligvis er hos en 4. klasses elev. Det kan være en god ide at medbringe fodaftrykket i form af et udklip fx fra en borddug, så eleverne rent fysisk får fodaftrykket udleveret. Når først eleverne finder denne proportionalitetsfaktor, kan arbejdet gå med mange andre mål, som man vil finde ved først at måle på sig selv og så gange op til kæmpens størrelse. Erfaringerne siger, at eleverne kan blive ganske grebet af denne aktivitet, så det kan være nødvendigt at aftale en tidsbegrænsning for hvor mange mål, der skal indgå i beskrivelsen af kæmpen. Nogle elever har måske bemærket, at sammenhængen mellem højde fodens længde ikke er entydig hvilket gør regnemodellen lidt ustabil. Lad det evt. indgå i en afsluttende snak med eleverne. Der vil givet være elever, som ønsker at tegne og dekorere denne her kæmpe evt. give ham navn og skrive om ham. I regnearket Kæmpen kan eleverne foretage beregninger af mål på Kæmpen. Fremstil jeres eget ti-talsystem Her skal eleverne opfinde et nyt hemmeligt talsprog. De bevarer grundtallet 10 og navnene på tallene, så i første omgang er det udelukkende cifrenes udseende, der laves om. Der skal altså ske en oversættelse fra de nye tegn til de gamle traditionelle tegn. Gør eleverne opmærksom på, at det er en god ide, hvis de ti cifre: er nemme at huske og gengive. er forskellige, så man ikke blander dem sammen. Eleverne skal fremstille en plustabel og en gangetabel samt en tallinje fra Når eleverne efterfølgende skal regne i dette nye tegnsprog, vil de opdage, at det kan være en hjælp at have disse i nærheden, når der regnes. Som en udvidelse kan man overveje, om nogle elever vil stille sig den udfordring, at cifrene får nye navne. Gangerier og lommeregner Materialer: Lommeregner, regnearket Gangerier Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 43

44 I denne spilleaktivitet berører eleverne indirekte arbejdet med kubiktal og kubikrod gennem en undersøgende og legende tilgang med lommeregneren. Læg mærke til, hvilke strategier eleverne anvender. Er der tale om et kvalificeret gæt eller et gæt ud i den blå luft? Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 44

45 Eftertanken Kernebogen side 25 Som afsluttende evaluering på kapitlet kan der anvendes: De tre kompetenceorienterede opgaver på Eftertankesiden. Et EVA-ark, som er en diagnostisk test, der undersøger elevernes målopfyldelse inden for kapitlets stofområde. Elevernes egen faglige logbog, hvor de formulerer deres viden. Påstanden I eftertankeopgaven Påstanden skal eleverne arbejde med tankegang- og ræsonnementskompetencen. Eleverne skal tage stilling til rigtigheden af hver af de tre påstande. De skal altså for hvert spørgsmål overveje argumenter for om påstanden er altid rigtig, nogle gange rigtig og aldrig rigtig. Første påstand er altid rigtig, så længe vi arbejder med de rationale tal. Anden påstand må også være rigtig, idet vi ved, at x * 0 = 0. Hvis der er mange faktorer i gangestykket 3 * 4 * 5 * 6 * 0. Tredje påstand er måske lidt mere besværlig. Hvis det kun er de naturlige tal, som indgår, er svaret at det nogle gange er rigtigt. Hvis man tænker på alle tænkelige situationer med tal, er der mange flere fx 0,5 * 200. Giv en historie I eftertankeopgaven Giv en historie skal eleverne arbejde med problembehandlingskompetencen ved at opstille et problem omkring gange. Der sættes fokus på deres forståelse af den kommutative lov. Vis det I eftertankeopgaven Vis det skal eleverne arbejde med kommunikationskompetencen. De indleder med at skaffe sig et overblik over gangestykker, der giver 336. Opløst i primtalsfaktorer er det 7 * 3 * 2 4. Eleverne kan således selv afgøre sværhedsgraden af det gangestykke de vil vise på en film fx 2 * 168 eller 21 * 16. De kan anvende deres mobiltelefon eller Ipad evt. kameraer fra skolen. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 45

46 At dele Kernebogen s Fælles Mål Eleven kan udvikle metoder til multiplikation og division med naturlige tal Eleven har viden om strategier til multiplikation og division Eleven kan udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger vedrørende hverdagsøkonomi Eleven har viden om beregninger med de fire regningsarter inden for de naturlige tal, herunder anvendelse af regneark Division og multiplikation er modsatte regningsarter. Hvor multiplikation kan forstås som gentaget addition, kan division ses som gentaget subtraktion. Division hænger altså sammen med multiplikation, hvilket kan få eleverne til at tro, at egenskaberne ved begge regningsarter direkte kan overføres hvilket ikke passer. Til eksempel gælder den kommutative lov ved multiplikation men ikke ved division. Regnestykket 12 : 3 er ikke det samme som 3 : 12. Der er forskel i svaret på problemstillingen 12 stykker slik skal deles mellem 3 børn, og så problemstilingen 3 stykker slik, skal deles mellem 12 børn. Desuden vil der altid med multiplikation blive et resultat inden for de hele tal, mens det ikke er tilfældet med division. Det er vigtigt at være opmærksom på, at mange elever anvender multiplikative strategier, når de dividerer. Det kan der være flere forklaringer på: De mestrer multiplikation. Da der er tale om modsatrettede regningsarter, kan det i nogle tilfælde være hurtigere og derfor mere hensigtsmæssigt at løse ved hjælp af multiplikation. De blander ofte multiplikation og division sammen. Vi siger fx 12 delt med 3, 12 divideret med 3, og hvor mange gange går 3 op i 12?. Denne type af formuleringer lægger umiddelbart op til, at eleverne tænker 3,6,9,12 fire gange går 3 op i 12 altså 12 divideret med 3 er 4. Eleverne anvender således en multiplikativ tankegang til at løse problemet 12 : 3. Dele eller dividere? Det er muligt at stille spørgsmål, som variationer af den samme problemstilling fx 24 : 3 = 8. Hvad er 24 divideret med 3? Hvad skal 24 deles med for at få 8? Hvad bliver 3 * 8? Hvad skal man gange 3 med for at få 24? Osv. Det kan være væsentlig, at eleverne oplever disse sprogbrug og kan genkende dem som divisionsopgaver. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 46

47 Der ligger en særlig overvejelse knyttet til sprogbrugen dele og division. Vi har valgt at kalde kapitlet at dele, idet det er det man oftest i dagligdagstale omtaler som en divisionsproces. Det ville dog være mere præcist at tale om at dividere, idet en deling af et tal kan foregå på mange måder. Med sprogbrugen at dividere beskriver man altså den særlig deling af et tal, hvor delene er lige store. Hvad er en division? I 4. klasse tager arbejdet med division typisk udgangspunkt i hverdagssituationer, som alle kender fx at dele en pose slik, en pizza eller nogle penge. Fokus er at dele retfærdigt eller dele lige. I en sådan sammenhæng mestrer de fleste elever en divisionsproces. Divisionsprocessen kan opdeles i delingsdivision og målingsdivision og med eller uden rest. Ordet til rest er valgt fremfor ordet til overs, fordi til rest læner sig bedst op af det faglige udtryk, trods det ikke typisk bruges i dagligdagssproget. Situationer med delingsdivison Lau og Lykke skal dele 18 lakridser. Hvor mange får de hver? Carla og August skal fordele 9 cd er mellem sig. Hvor mange får de hver? (Med rest som er udelelig man har ikke glæde af en ½ cd) Abdul og Ronan har 9 kr. Hvor mange får de hver? (Med rest der er delelig, idet den resterende ene krone kan veksles til øre) Situationer med målingsdivision Andrea skal hente 24 kasser med sodavandsis. Hun kan tage 4 kasser ad gangen. Hvor mange gange skal hun gå for at hente isene? Hichem har en beholder med 12 liter vand. Han skal hælde det på 2 liter dunke. Hvor mange dunke skal han bruge? Rosa tager fem kort af gangen af et spil kort på 52 og lægger de 5 kort i hver sin bunke. Hvor mange bunker får hun? (Her bliver der to kort i overskud, som er en rest, der ikke kan bruges) Division den svære regningsart? Det er et ofte stillet spørgsmål, hvor meget eleverne skal kunne udføre/kunne regne på papir, når nu den nye teknologi breder sig, som den gør. Som det ser ud i de forenklede Fælles Mål, er der stadig forventning om en vis kunnen i en sådan færdighed, men at det skal neddrosles i omfang og sværhedsgrad. I forlængelse af dette kan man som underviser fra tidligere fremkalde erindringer om uendelige mange lektioner til at indstudere sådanne færdigheder, idet det blev opfattet ganske vanskeligt af mange elever. Tiden kan måske bruges bedre. Inden man igangsætter formaliseringen af en mulig procedure for at dividere, bør eleverne have oplevet og afprøvet mange repræsentationsformer, som de kan bruge til at illustrere og skitsere regneprocessen. Her følger tre måder at repræsentere problemstillingen 24 divideret med 3. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 47

48 Som situation: 3 børn skal dele 24 bolcher. De får 8 bolcher hver. Som tegning: Tegning af tre bunker med hver 8 bolcher. Som beregning: 24 : 3 = 8 Sådanne repræsentationsformer skal give eleverne en grundlæggende forståelse for processerne og være nogle af de mentale billeder, eleverne skal skabe sig, når de skal overskue en division. Algoritmer På Viden om-siderne tages forskellige divisionsalgoritmer op til diskussion. Der er mulighed for at tage udgangspunkt i disse algoritmer, eller man kan lade eleverne undersøge hjemme, hvilke algoritmer forældre og evt. bedsteforældre anvender. Det centrale er, at eleverne kan gå ind i et valg af procedure der er ifølge Fælles Mål ikke tilsigtet læring i standardalgoritmer. Divisionsalgoritmer har mange udformminger søg evt. selv på nettet og find eksempler. Trods denne forskellighed er der træk ved de fleste af algoritmerne, som er identiske. Eksempel 87 : 3 = 29 Opgaven kan ved delingsdivision komme til at hedde: Tre personer skal dele 87 kr. Hvor mange kroner får de hver? Det vil sige, at de kan få 10 kr. to gange og 1 kr. kan de få 9 gange. Deleprocessen ser således ud: = 57 (De får 10 kr. hver) = 27 (De får igen 10 kr. hver) = 0 (De får 9 kr. hver) Den samme tænkning med at dele ud af mulige enere, tiere, hundreder osv og at foretage vekslinger går igen i de fleste algoritmer. Prøv selv. Det er vores opfattelse, at en algoritme som består af en blanding af papirregning, overslagsregning og hovedregning kan være hensigtsmæssig. Det omtaler vi som notatregning. Se også viden om videoerne henvendt til eleverne på kontextplus.dk. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 48

49 Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 49

50 Intro Kernebogen side Om klassesamtalen Undersøg hos eleverne, hvordan de opfatter en deling af noget. Hvor de støder ind på at noget eller nogen, der skal deles op. Isolér de situationer, hvor der udelukkende er tale om at dele lige. Diskuter, hvad der menes med det og lad eleverne komme med eksempler på både en lige deling og en anden deling. Adskil det at dele med det at dividere. Her kalder vi det at dele fordi det er hverdagsordet, men vi tænker kun i de situationer, hvor delene er lige store. Hvad vil det sige, at noget bliver til rest, når man deler? Giv eksempler på tal, som deles med rest, og nogle som ikke gør det. Hvordan ser et deletegn ud? På papir, på lommeregneren, i regneark? Om fotoet Hvor mange æg er der? Lad eleverne forklare, hvordan de kan finde frem til resultatet. Kom ind på sammenhængen mellem division og multiplikation. Snak om, hvordan viden om gangetabeller kan være en hjælp til at finde frem til resultatet. Hvor mange 6-bakker kan fyldes? Spørg ind til elevernes regnemåder. Det kan være en god ide, at eleverne har mulighed for at konkretisere opgaven fx ved at kunne manipulere med 36 centicubes og så dele dem ud i bunker af 6. Hvor mange æg bliver der til rest, hvis I skal fylde dem i 10-bakker? Følg op på det med rest. Hvad forstår eleverne ved ordet til rest? Lad eleverne komme med andre eksempler på rest. Hvilken slags æggebakke vil der være tale om, hvis der er 9 fyldte? Observér, hvilke strategier eleverne anvender. Det er her mest hensigtsmæssig at anvende multiplikative strategier, men det kan også for nogle eleverne være nødvendigt konkret at dele fx 72 centicubes ud i 9 bunker. Hvor mange æg er der i alt, hvis man har 5 fyldte æggebakker med 15 i hver? Eleverne skal her blive opmærksomme på, at der skal anvendes multiplikative strategier. Det kan lede til en snak om at division og multiplikation er modsatrettede regningsarter. Lad evt. eleverne lave opgaven om til en dele opgave. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 50

51 Om klasseaktiviteten Eleverne skal hver især have en håndfuld centicubes og komme med deres umiddelbare gæt på antallet af centicubes. Lad derefter eleverne selv arbejde med at dele dem i bunker med lige mange i hver. Lad dem forsøge sig frem og se, hvordan de angriber problemstillingen. Det kan være en god ide for nogle elever at tegne de forskellige muligheder, så de bedre kan huske, hvor mange forskellige måder centicuberne kan inddeles på. Ved at gøre sig nogle erfaringer med at dele centicubes i lige store bunker udsættes eleverne for nogle situationer, som får dem til at reflektere over, at nogle tal kan deles på mange måder, andre på få måder. Således stifter de altså indirekte bekendskab med divisor-begrebet og får en indledende forståelse af, hvilke tal som har få divisorer, og hvilkd der har mange. Da det kun er en indledende øvelse, er det ikke vigtigt, at eleverne fordyber sig men får nogle indledende erfaringer. Det forventes ikke, at klassen som sådan opdager primtallene og deres egenskaber. Opsummér med eleverne, hvordan de har inddelt i bunker og tal evt. om hvilke vanskeligheder, de har haft med at finde løsninger. Supplerende aktiviteter Gangetabel Udlever en gangetabel, hvor der mangler en række tal eleverne skal forsøge at finde de manglende tal. De svage elever kan få hjælp af lommeregnere. Kortspil Man kan indlede kapitlet med, at eleverne selv medbringer forskellige kortspil fx Sorteper. Eleverne kan så i grupper prøve at spille spillene og gøre sig erfaringer med forskellige gruppestørrelser til spillene og dermed afprøve forskellige delesituationer. Snakken kan derefter gå på, hvad man skal gøre, når alle ikke umiddelbart kan få lige mange kort. Er det rimeligt at nogle har flere kort end andre? Skal vi tage kort fra, inden vi deler ud? Hvilke kort? Er det overhovedet sjovt at spille Sorteper, hvis man kun er to spillere? Osv. Penge Tag en håndfuld mønter (der må meget gerne være mønter af forskellig værdi altså både 50 øre, 1 kr., 2 kr., 5 kr., 10 kr. og 20 kr.) Eleverne skal tælle, hvor mange penge der er og tale om: hvad det vil sige at dele lige? hvad det vil sige at dele retfærdigt? kan pengene deles lige mellem personer? Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 51

52 hvornår bliver der rest? Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 52

53 Idrætsdagen Kernebogen s Læringsmål Eleverne ved, at division er en opdeling i lige store mængder. har viden om, at divison er det modsatte af at gange. kan genkende forskellige divisionsprocesser ud fra hverdagssituationer. kender forskellen mellem division med rest og uden rest. kan anvende og genkende situationer som delings- og målingsdivision. Faglige og metodiske kommentarer I dette scenarie skal eleverne arbejde med de overvejelser, man kan gøre sig, når man ved sportsaktiviteter skal inddele i forskellige holdstørrelser, og hvordan man skal forholde sig til restproblematikken. Eleverne bliver introduceret til såvel målingsdivision som delingsdivision. I scenariet fokuseres der på at undersøge, hvordan holddannelser til idrætsdage kan gøres med og uden rest. Vi har valgt dette emne som opstart på division, idet de fleste elever har været med til en idrætsdag, har prøvet forskellige former for holddannelser i idrætsundervisningen eller har nemt ved at forestille sig situationen. Eleverne kender således til problemet med at dele i lige store hold og med at blive til overs (rest). Scenariet holder sig inden for division med enkle tal. Arbejdet smidiggøres betydeligt, hvis eleverne har en rimelig paratviden om gangetabellen. Svage præsterende elever kan have brug for konkrete materialer eller en lommeregner. Man anvender som regel udtrykket går op om en division om at der ikke bliver en rest. Tal med eleverne om det til en indledning. I dette skal eleverne vide, at man selvfølgelig kan dele/dividere alle tal med alle tal det er i første omgang kun et spørgsmål om rest. Skulle nogle elever komme ind på, om man må dividere med 0, må man forklare sig og ikke kun svare, at det må man ikke. Her er det en god ide fx at spørge Hvad skal jeg gange 0 med for at få 3 eller når 0 børn deler 8 kr. hvor mange penge får de så? - og det kan jo ikke lade sig gøre. Rent praktisk giver det ikke mening at dele noget i nulbunker. Kommentarer til opgaver og IT Opgave 1-2 Vi indleder med en kort præsentation af klassen 4. a, som det hele handler om. En del af problematikken bliver at fordele eleverne på pigehold og drengehold, så det går op. Da alle hold nødvendigvis må være lige store for at gøre spillet retfærdigt, kan det illustrere division med og uden rest. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 53

54 I opgave to skal eleverne deles ud på hold for at se, hvor mange hold der kan blive og hvor mange elever der bliver til overs. Vi har kaldt det til rest, selv om vi er klar over det ikke er gængs sprogbrug. Vi har valgt dette kompromis for at smidiggøre senere matematiksprog om division. Det kan for nogle elever måske være en hjælp rent fysisk at have fx brikker med ansigter på, som repræsenterer de 26 elever fra 4. a. De kan så dele dem i bunker for et afklare restproblemet. Opgave 3 I denne opgave skal eleverne finde Deltagere pr. hold 3 Antal hold 8 Rest 2 divisorer i 26 altså undersøge de faktorer som giver tallet 26. Der kan måske være elever, der ved, at en division som 26 : 4 kan beregnes på lommeregner og giver værdien 6, Til de elever kan man tale om forskellen mellem de hele tal og så dele af hele tal. Det er fx umuligt i denne situation at tale om en ½ person. Det kan være en god ide, at eleverne systematiserer deres besvarelse som her. Opgave 4 I denne opgave er hovedfokus på det Gudrun Malmer i sin ALP-test kalder niveau 1. At kunne hente relevant information. Vi beder eleverne indledningsvis om at orientere sig i skemaet, idet det er den information, de skal forholde sig til i de næste opgaver. Opgave 5 6 Disse opgaver omhandler problemstillingen at undgå, at der er elever, som ikke kommer på et hold på idrætsdagen. Måske har nogle af eleverne oplevet det. I denne sammenhæng har eleverne i scenariet fået lov at vælge den sportsgren, de ville, men det kan som sagt resultere i, at det ikke går op med holdenes størrelser. Nogle elever kan have vanskeligheder med at orientere sig i de oplysninger, der skal anvendes til at løse opgaven. Man skal både opfatte holdenes størrelse i de tre sportsgrene og antallet af personer, som har valgt sportsgrenen. Der kan være brug for at indsamle og notere oplysningerne fra bogen for at overskue de relevante informationer. Det kan fx gøres ved, at eleverne tegner hvor mange, der er på hvert hold på de forskellige sportsgrene, og derefter tegner skemaet fra bogen og udfylder det. Der skal nu fokuseres på antal drenge og holdstørrelse af sportsgren. Det kan virke lidt omstændeligt, men det kan også antyde en notatteknik for eleverne for at overskue information i forbindelse med tekstopgaver i matematik. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 54

55 I det efterfølgende forfølges mulighederne for at blande og ændre på holdene, så man minimerer risikoen for at få elever til rest. IT og regneark: Idrætdagen I regnearket Idrætdagen kan eleverne få udregnet holdstørrelse og rest som supplement til opgave 5. Opgave 7 8 Begge de to opgaver omhandler dannelse af håndboldhold. Hvor opgave 7 er en lukket opgave med et rigtigt svar, åbnes der i opgave 8 op for flere svarmuligheder. I opgave 8 må eleverne selv bestemme antallet af håndboldshold og derudfra afgøre, hvor mange elever der i alt er tilstede, når der skal være henholdsvis 4 og 5 elever til rest. Udfordringen Eleverne kan anvende division såvel som multiplikation for at løse opgaven. Det kan give eleverne bedre mulighed for at kunne forestille sig løsningen, hvis man lader dem tegne opgaven. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 55

56 Freddys bageri Læringsmål Eleverne ved, at division er opdeling i lige store mængder. har viden om, at division er det modsatte af at gange. kan genkende forskellige divisionsprocesser ud fra hverdagssituationer. forstår, at division kan opfattes som et minusstykke, hvor man trækker det samme tal fra et bestemt antal gange. kan anvende forskellige divisionsalgoritmer ud fra egne valg. kan anvende division som både delings- og målingsdivision. Faglige og metodiske kommentarer Dette scenarie supplerer det forrige ved at arbejde med situationer fra virkeligheden, hvori der indgå divisionsprocesser. Vi øger divisionens sværhedsgrad mod behovet for at have en eller anden divisionsalgoritme for at kunne overskue beregningen. Det kan muligvis være en hjælp, at eleverne eller blot nogle af eleverne inddrager lommeregneren til hjælp. Det er afgørende, at eleverne får forståelse af, hvornår og hvordan man kan støde ind i problemstillinger i virkeligheden, som involverer brugen af division. Det er ikke noget ukendt fænomen, at eleverne ved tidligere tiders megen fokus på træning af regler og forretningsgange undlod ovenstående referencer til virkeligheden, så man ofte hørte elever i de ældste klasser stille spørgsmålet skal jeg gange eller dividere?. Vi går ikke ind i en større formalisering af divisonsalgorimer i selve scenariet det foreslår vi i stedet sker ved gennemgang af Viden om, hvor der som i forrige kapitel er en præsentation af mange forskellige forslag til mulig papirregning. I videoen Viden om At dele kan man se algoritmerne gennemgået. Hvis man vil arbejde med denne del, skal der anbefales selvstændig tid samt behov for at vedtage hvor svært et divisionsstykke, man mener en normalelev i klassen skal præstere med papirregning. Komplicerede divisionsstykker bør nok foregår på lommeregner, men der kan selvfølgelig være elever, som ønsker at udfordre sig selv her. Gå evt. på nettet og find youtube film af division og undersøg de mange forskellige traditioner, der er rundt om i verden. Kommentarer til opgaver og IT Opgave 1 Vi indleder med et par simple beregningsopgaver, som bør være enkle for de fleste elever. Her er divisionsscenariet at finde stk. pris - hvilket eleverne må kunne nikke genkendende til fra andre sammenhænge. Observér hvilke løsningsstrategier eleverne anvender. Prøver de sig frem? Gætter de? Tegner de mønter, hvor 20 kr. deles i fire bunker? Eller siger de 20 : 4? Eller Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 56

57 Opgave 2 Der kan være elever, som har svært ved at forstå, hvad der ligger i ordet sammenlign. Det er et af de førfaglige ord, som man måske skal inddrage i klassens samlede sprogbrug og måske have taget op inden man igangsætter scenariet. Når man sammenligner noget, undersøger man, om der kan være en forskel af en eller anden art. Det kan være størrelsen på to pinde den ene er større end den anden. Det kan være prisen på noget osv. I denne opgave skal man undersøge, hvad der bedst kan betale sig en situation, som eleverne sikkert kan forestille sig i andre sammenhænge. Det er ganske simpel hovedregning, men vi har som sagt sat mere fokus på, hvad det er man skal gøre end på beregningens kompleksitet. Opgave 3 4 Den første opgave er en opvarmning til, at tal kan blive store og være umiddelbart vanskelige at klare ved brug af brikker og hovedregning. Mange elever vil i denne opgave anvende en multiplikativ tankegang, idet de ved, at der er 10 æsker fyldt med 8 cupcakes i hver. I opgave 4 antyder vi, at der kan være brug for et notat på papir, ligesom bagermesterne gør. Vi har ikke angivet bagemester Freddys metode, idet vi gerne ser eleverne selv går på opdagelse i en mulig fremgangsmåde i at dele 192 : 8. Man kan overveje at inddrage lommeregneren til kontrol i kombination med elevernes notatregning. Vi kan, som tidligere anbefalet, kløve tallet på fornuftig vis. Det kan være en opdeling , men det er ikke umiddelbart enkelt som grundlag for en division med 8. Man kan i stedet for tænke i noget som 8 går op i fx som giver altså 24. Man kan også bruge en form for subtraktionsmetode. Først tager vi 80 cupcakes det svarer til 10 æsker så er der 112 cupcakes tilbage. Så tager vi 80 cupcakes mere det svarer til 10 æsker så er der 32 cupcakes tilbage. Så deler vi de sidste 32 cupcakes det svarer til 4 æsker. Sammenlagt bliver det 24 æsker uden noget til rest. Lad endelig eleverne bruge god tid til opgaven og måske sammenligne metoder på tværs af klassen. Opgave 5-6 Disse opgaver illustrerer en målingsdivision, som svarer til, at man foretager en gentagen subtraktion. Vi kombinerer det med opgaver, som involverer brug af multiplikation i opgave 6, så eleverne oplever disse regningsarter som to sider af samme sag. Opgave 7 I denne opgave arbejdes der blandt andet med halvering og division med rest, der tælles med. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 57

58 Opgave 8 I denne opgave arbejdes der med fordobling. Udfordringen På den viste tallinje er illustreret tanken bag ved fortløbende subtraktion eller mere præcist en målingsdivision. Eleverne skal her kunne beskrive en regnehistorie i stil med I en beholder er der 40 dl saft. Det skal hældes på flasker, hvor der kan være 8 dl. Det giver 5 flasker saft. Regnefortællingerne i den anden opgave er en fortsættelse af dette blot ud fra en symbolisering af en division. Til sidst rettes der fokus på, hvorfor den kommutative lov ikke gælder ved division. Eleverne skal vise ved hjælp af fx tegning hvorfor 4 dl : 2 ikke er det samme som 2 dl : 4. Der er flere forskningsresultater, der tyder på, at mange elever selv meget sent i grundskoleforløbet ikke har indset denne væsentlige forskel. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 58

59 Aktiviteter Lommeregneren og det gode gæt Materialer: Lommeregner, tre terninger Faglige og metodiske kommentarer Vi har valgt spillesituationen som grundlag for leg og læring omkring division. Det skyldes, at der gennem spillene opstår mulighed for, at eleverne sætter sig ind i opgaveløsninger på en helt anden motiverende facon. I Lommeregneren og det gode gæt skal eleverne sætte deres færdigheder og hukommelse omkring division og gangetabeller på spil. Vi sætter fokus på det kvalificerede gæt og lægger samtidig vægt på, at hovedregning er en central og moderne vigtig færdighed i matematik. Der sendes også et signal om, at det er i orden at være tæt på uden at være helt præcis eller måske snarere turde gætte, hvis man ikke lige kan gennemskue det nøjagtige resultat. Man kan evt. udvide spillet med flere terninger eller ved at anvende 10-sidede terninger. I forbindelse med inddragelse af 10-sidede terninger skal man være opmærksom på at nul kan forekomme som divisor. Eleverne skal inden de går i gang have styr på, hvad der i spillet menes med det Store tal og det Lille tal. Begræns spillet på en eller anden måde fx ved at sige bedst af ti slag eller noget i den stil. Lommeregneren og flest brikker Materialer: Lommeregner, brikker, 2 terninger Faglige og metodiske kommentarer Eleverne skal i Lommeregeneren og flest brikker arbejde med opdeling i lige store mængder og samtidig få erfaringer med, at nogle antal har mulighed for mange måder at blive opdelt på i lige store mængder. En øvelse som er i familie med den efterfølgende aktivitet omkring fænomenet divisor i et tal. Et eksempel: Elev A får terningskastet 4 og 5 som multipliceret giver 20. Eleven tager nu 20 brikker, som ligger i en stor bunke foran begge spilerne. De 20 brikker deles på så mange måder, hun kan gennemskue, Det er divisionsstykkerne 20 : 4, 20 : 5, 20 : 10 og 20 : 2. Dvs hun kan notere sig 4 point. Det kan drøftes om 20 : 1 er et resultat, så der er tale om den samlede mængde lad eleverne selv træffe dette valg Hun lægger nu brikkerne tilbage og beder sin makker om at slå med terningerne. Vælg også i denne aktivitet en eller anden form for tidsbegrænsning. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 59

60 Eleverne vil undervejs opleve, at der er gode slag og dårlige slag fx vil et slag som to seksere være et godt slag, mens et slag som to enere ikke giver noget. Det er afgørende, om man tidligere har vedtaget, at 20 : 1 er et resultat eller ej. I så fald vil 1 : 1 kunne indgå som 1 point ellers ikke. Division og taltavle Materialer: Taltavle til 49, lommeregner Faglige og metodiske kommentarer Der ligger en sporglig finulighed i divisor i til forskel fra udtrykket en divisor. Der kan være lidt uklarhed i sprogbrugen og de faglige definitioner, som man som lærer bør være opmærksom på. Divisor anvendes i flæng om både det tal, man dividerer med fx a : b, hvor b er divisoren og om de tal, som går op i et tal uden rest. Som eksempel kan nævnes, at 24 har følgende divisorer 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 og 24. Det kan være lidt forvirrende. Vi har bemærket, at der for at skelne, er der faglitteratur, som anvender sprogbrugen divisor i et tal, som vi har taget til os for at skelne. Dvs. at tallet 5 indgår i 24 : 5 som divisor men det er ikke en divisor i tallet, idet der opstår en rest ved divisionen. Ovenstående er ikke meningen, at eleverne skal udsættes for, men blot en faglig kommentar, så man som lærer kan være forberedt, hvis diskussionen opstår. Det skal siges, at det kan være et lidt større arbejde at gennemføre denne analyse af divisorer i, men på mange måder opnår eleverne et godt talkendskab, som de kan profitere af senere. Hvis de tænker tilbage på øvelsen med at undersøge hundredetavlen for tabelmønstre, kan de anvende resultaterne herfra i denne opgave. Appeller til eleverne om at få øje på mønstre og måske dele dem i klassen, så hvert tal ikke skal opfattes som en ny opgave. Eleverne vil blandt andet opleve, at primtallene er karakteriseret ved kun at have 1 og tallet selv som divisor i tallet altså netop kun to divisorer. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 60

61 Eftertanken Som afsluttende evaluering på kapitlet kan der anvendes: De tre kompetenceorienterede opgaver på Eftertankesiden. Et EVA-ark, som er en diagnostisk test, der undersøger elevernes målopfyldelse inden for kapitlets stofområde. Elevernes egen faglige logbog, hvor de formulerer deres viden. Hvorfor det? I eftertankeopgaven Hvorfor det? skal eleverne arbejde med kommunikationskompetencen og ræsonnementskompetencen. I ordet forklaring lægger vi også en forventning om, at eleverne anvender argumenter, så det ikke kun er ren beskrivelse. Man skal ikke underkende vanskelighederne af at give sådanne sproglige forklaringer, idet man meget ofte gør ting og har viden, som giver problemer at sprogliggøre. Der ligger imidlertid megen læringsværdi i at prøve, ud over at det er en del af en matematisk færdighed, så er der værdi for læreren i at lytte til dette forståelsesniveau. I forbindelse med opgave a vil dette ofte være eksemplets kraft, som viser, at den kommutative lov kke gælder for division. De kan også bruge lommeregner og vise resultaternes forskellighed. De mange svar I eftertankeopgaven De mange svar skal eleverne arbejde med en åben opgave knyttet til problembehandlingskompetencen. Her kan eleverne trække på deres løsning af opgaverne på Aktivitetssiderne Vis det I eftertankeopgaven Vis det skal eleverne arbejde med kommunikationskompetencen. Har de løst den tilsvarende opgave i foregående kapitel kan de anvende den tekniske tilgang igen nu blot med division. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 61

62 Om form og tegning Kernebogen side Fælles Mål Eleven kan kategorisere polygoner efter sidelængder og vinkler Eleven har viden om vinkeltyper og sider i enkle polygoner Eleven kan gengive træk fra omverdenen ved tegning samt tegne ud fra givne betingelser Eleven kan beskrive placeringer i koordinatsystemets første kvadrant Eleven har viden om geometriske tegneformer, der kan gengive træk fra omverdenen, herunder tegneformer i digitale værktøjer Eleven har viden om koordinatsystemets første kvadrant Man kan beskue geometrien ud fra forskellige perspektiver. som måling og beregning knyttet til figurer fx omkreds og areal. som geometriske figurer der danner mønstre og kunst. Som figurer med særlige geometriske egenskaber og sammenhænge. Beskrive figurer i et koordinatsystem. I dette kapitel har vi valgt at sætte hovedfokus på det sidste, samt medtaget en indledende systematisering af koordinatsystemet. Geometrisk forståelse Ifølge det hollandske forskerægtepar, Van Hielen, som beskæftiger sig med matematikdidaktik, kan elevers udvikling af geometrisk forståelse inddeles i 5 niveauer. Generelt opfatter Van Hielen disse niveauer som et produkt af erfaring og undervisning snarere end alder og modning. En elev skal have nok erfaringer med de geometriske ideer på et niveau for at flytte til et højere. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 62

63 Niveau 0: Visualisering Elever på niveau 0 vil ofte sige alle disse figurer fra A E er trekanter, undtagen E, idet den er for "tynd". De kan sige F er "hovedet". Elever på et senere niveau 1 vil erkende, at kun E og F er gyldige trekanter. På dette niveau 0 er udgangspunktet for et barns tankegang prototypiske enkeltfigurer, som barnet lærer at klassificere ud fra et helhedsindtryk. Elever siger, "Det er en cirkel", som regel uden yderligere beskrivelse. Elever identificerer på den måde prototyper af basale geometriske figurer (trekant, cirkel, firkant). Disse visuelle prototyper kan derefter anvendes til at identificere andre figurer. En form er en cirkel, fordi det ligner en sol. En form er et rektangel, fordi det ligner en dør eller en kasse og så videre. Et kvadrat synes at være en anden slags form end et rektangel, og en rombe ligner ikke andre parallelogrammer, så de figurer er klassificeret fuldstændig adskilt i barnets sind. Hvis en figur ikke i tilstrækkelig grad ligner sin prototype, kan barnet afvise klassificeringen. Således kan elever på dette tidspunkt vægre sig ved at kalde en tynd, kileformet figur med fx sider 1, 20, 20 en, fordi det er så anderledes end en ligesidet trekant, der er den sædvanlige prototype for en rigtig trekant". Figurer med afrundede eller ufuldstændige sider kan accepteres som "trekanter", hvis de synsmæssigt ligner en ligesidet trekant. Kvadrater kaldes nogle gange for "diamanter", hvis det er et hjørne i kvadratet, som vender opad. Elever på dette niveau tror ofte, at noget er sandt, hvis det er baseret på et enkelt eksempel. Niveau 1: Analyse. Figurerne repræsenterer på dette niveau en række egenskaber, som kategoriserer det. En elev på dette niveau kan sige, "Et kvadrat har 4 lige store sider og 4 lige store vinkler. Dens diagonaler er vinkelrette." Egenskaberne er vigtigere end udseendet af figuren. Hvis en figur skitseres og læreren hævder, at den har lige store sider og vinkler, accepterer eleverne, at det er et kvadrat, selvom det er dårligt tegnet. Egenskaber er dog endnu ikke endeligt indset på dette niveau. Eleverne kan diskutere egenskaberne for grundlæggende figurer og anerkende dem ved disse egenskaber, men generelt ikke tillade kategorier som overlapper. For eksempel vil de stadig insistere på, at "et kvadrat er ikke et rektangel". Eleverne begynder at bemærke mange egenskaber ved figurer, men kan ikke nødvendigvis se sammenhængen mellem disse egenskaber; Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 63

64 derfor kan de ikke reducere listen af egenskaber til en kortfattet definition med nødvendige og tilstrækkelige betingelser. De vil normalt ræsonnere induktivt ud fra eksempler og eksperimenter med figurer. Niveau 2: Abstraktion Eleverne forstår, at egenskaber kan relateres og ét sæt egenskaber kan indebære en anden egenskab. Eleverne kan ræsonnere med enkle argumenter om geometriske figurer. En elev kan tænke i retning af: "En ligebenet trekanter er symmetrisk, så de to vinkler ved grundlinjen skal være lige store. Elever anerkender relationen mellem forskellige typer af figurer. De anerkender, at alle kvadrater er rektangler, men ikke alle rektangler er kvadrater, og de forstår, hvorfor kvadratet er en type af rektangel baseret på en forståelse af egenskaberne. De kan afgøre, om det er muligt eller ikke at have en rektangel, der er for eksempel også er en rombe. De forstår nødvendige og tilstrækkelige betingelser, og kan beskrive definitioner. Men de kan endnu ikke forstå betydning af et geometrisk logisk ræsonnement, hvor man via en kæde af logiske argumenter beviser sig frem til en egenskab. Da de to næste niveauer typisk vil beskrive elever fra de ældste klasser og ungdomsuddannelserne vælger vi at springe dem over til senere klassetrin. Eleverne i en fjerde klasse vil givet have et spænd af viden, som strækker sig fra det 0. niveau til det 2. niveau, men nok typisk bevæge sig på de to første niveauer. Geometriske egenskaber Parallelitet I afsnittet introduceres begrebet parallelitet. Parallel-begrebet ligger til grund for en stor del af den traditionelle geometri også kaldet Euklidsk geometri. Eleverne skal være klar over at parallel med refererer til rette linjer. Hvis to linjer er parallelle, betyder det, at de ikke har punkter til fælles uanset, hvor meget man forlænger linjerne. Der er derfor lige stor afstand mellem linjerne. Togskinner eller veje kan indgå som eksempler fra hverdagen, men dog også indeholde et problem, idet begge dele kan krumme og dermed risikere at krydse hinanden. Parallelitetsbegrebet er med til at definere geometriske figurer som kvadrat, rektangel og parallelogram, hvorfor dette begreb er en forudsætning for at kunne arbejde med at analysere forskellige figurers egenskaber. Linjer, som krydser parallelle linjer har særlige egenskaber knyttet til vinklers størrelse, som vi introducerer på dette klassetrin. Denne viden skal senere anvendes til at se og indse vinkelstørrelser i diverse kategorier af fx firkanter som romber. Vinkelbegrebet Vinkelbegrebet kan opfattes på flere måder, hvoraf to hovedperspektiver kan være: en drejning fx at urets store viser kan drejes et antal grader omkring et fælles omdrejningspunkt. En form for dynamisk beskrivelse af bevægelse. Man kan også tale om, at en figur drejes et antal grader. en statisk beskrivelse af to linjer, som mødes i et punkt og dermed danner en vinkel. Man kan her opfatte de to linjer, som stråler ud fra et punkt. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 64

65 I fjerde klasse fokuseres der primært på det relative i en vinkelmåling og en vinkelbeskrivelse knyttet til den sidste opfattelse som beskrivelse af det rum, der opstår, når to linjer mødes eller udstråler fra et punkt. Vi indfører således ikke gradmåling, men forholder os udelukkende til om en vinkel er større eller mindre end en anden vinkel. Der er dog brug for en tidlig indsigt i den rette vinkel, så vi kan kategorisere forskellige figurer. Vi indfører den ved at eksemplificere rette vinkler fra hverdagen fx som den vinkel, der er i et hjørne af et stykke papir, en vinkel, hvor man kan sætte en centicube i vinkelrummet, så det fylder det ud el. lign. Kan eleverne se det, kan de også se, om en vinkel er større og mindre end en ret vinkel henholdsvis en stump og spids vinkel. Koordinatsystemet For mange elever vil koordinatsystemet mere ligne et kort, hvor man kan finde og beskrive positioner og områder. De kender måske til kort, hvor man kan bestemme et sted ved angivelser som A3, eller spilleplader som skak, hvor man kan flytte en brik fra C4 til D5 eller lignende. Bemærk, at der her er en væsentlig forskel mellem angivelse af område og punkt. Hvis det er et område, som angives, vil B3 og 3B beskrive det samme område. Hvis det er et punkt, er der forskel på (3,4) og (4,3). Udover det skal eleverne få øje på, at koordinatsystemet blot er to tallinjer, som krydser hinanden i punktet (0,0). Det betyder, at det første punkt er som på linealen er 0 og ikke 1. Det kan indebære fejl hos eleverne. Det betyder, at punkterne på førsteaksen skal hedde (, 0) og punkterne på andenaksen (0, ). Vi har med vilje kaldt akserne for førsteaksen og andenaksen, fordi det giver indikationer på, at man starter på førsteaksen, når talparret for et punkt skal findes. Det er IKKE hele koordinatsystemet som indgår. Vi holder os til den virkelige verden og dermed kun de positive tal. Kordinatsystemet udvides i femte klasse sammen med introduktionen af de negative tal. Se også viden om videoerne henvendt til eleverne på kontextplus.dk. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 65

66 Intro Kernebogen s. Om klassesamtalen Lad eleverne finde parallelle linjer i lokalet eller på billeder. Tegn en linje på tavlen. Lad tre elever tegne linjer, som er parallelle på øjemål - og lad dem forklare, hvad de gør for at sikre sig, de er parallelle. Vis, hvordan en vinkel kan opstå, hvis man lader to linjer mødes i et punkt. Tegn nogle vinkler og spørg om, hvilken vinkel der er størst mindst osv. Undlad at sætte enheder i form af grader på. Lad eleverne nøjes med en relativ måling af vinkler, altså om en vinkel er større eller mindre end en anden vinkel. Introducer evt. højre og venstre vinkelben Kig på papir, bøger med mere, som har rette vinkler. Brug evt. illustrationen, at man kan tegne en tern eller sætte en centicube i et hjørne, der er retvinklet. Tegn to vinkler på hver sit papir og lav en konkurrence om, hvilken vinkel der er størst. Snyd lidt ved at lade den mindste vinkel have lange vinkelben, som vi ved, nogle elever forestiller sig, har indflydelse på vinkelstørrelsen. Diskuter med eleverne, hvordan man kan sammenligne vinkler for at se, hvilken der er størst. Kan gøres på IWB, men også ved at kalkere en vinkel oven på en anden. Bed et antal elever om hver at tegne en firkant på tavlen. Diskuter forskelle og ligheder, i det de har tegnet. Lad kravet om rette linjer til disse figurer indgå, hvilket kan kræve en lineal, så der ikke opstår krumme linjer, når eleverne tegner. Undersøg ligheder og forskelle. Hvilke typer af firkanter er der? Kom ind på ord som sider hjørner og vinkler, som beskriver figuren. Kom ind på, at der er figurer, som har buede linjer, men at dem, vi her ser på, er kantede figurer, som består af rette linjer. Spørg om, man kan forestille sig en figur, som har flere hjørner end sider? (Hvad man i den klassiske geometriske sammenhæng ikke kan). Lav om på firkanterne, så der opstår nye egenskaber, eller så der mangler egenskaber, som den tidligere figur har haft. Gør firkanten så skæv som muligt fx ved at lade konkave firkanter indgå og spørg til, om eleverne vil acceptere dem som firkanter. Lad eleverne tegne et kvadrat og sammenligne, hvordan de har gjort det. Tegn derefter et kvadrat med spidserne opad og bed eleverne om at overveje, om det er et kvadrat eller ej. Bed dem argumentere for deres synspunkter. Spørg til egenskaber på trekanter og firkanter som: (tegn det evt.) Et rektangel Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 66

67 Et kvadrat Et parallelogram Diskuter evt. med eleverne om: Et kvadrat er et rektangel? Et rektangel er et kvadrat? Om fotoet I første omgang er elevernes tolkning af billedet helt åbent, og beskrivelsen vil sikkert ikke være matematisk. De fleste kan nok se, at det stammer fra mere sydlandske himmelstrøg så lad blot fantasien råde om deres oplevelser knyttet til huse, ferie, Sydeuropa etc. For at føre eleverne videre over i næste spørgsmål, bør man være opmærksom på, hvilke beskrivelser der kan indeholde geometriske iagttagelser. Overvej, om de bør have fotografiet i papirudgave, så der kan tegnes og måles på det. Se kontextplus.dk Hvor mange forskellige figurer kan I se? Lad eleverne selv overveje, hvad de ser af forskellige figurer fx Arten af polygoner som trekanter, firkanter m.m. Arten af firkanter og trekanter. Ligedannede figurer med samme form men forskellig størrelse. Indledningsvis vil det være en optælling i, hvor mange trekanter og firkanter der er. Ved de næste spørgsmål kan man gruppere disse i undergrupper som rektangler, kvadrater osv. En differens i elevernes angivelse af antal, kan måske skyldes, at nogen ser husets murede gavl som en eller to trekanter, afhængigt af, om den hvide del tælles med alene, eller om hele gavlen også betragtes som en selvstændig trekant. Der er ikke et bestemt svar det beror på de præmisser, man vælger at se tingene som. Er der figurer, som har samme form? Her tænkes form som typer af firkanter og trekanter og dermed de egenskaber, som knytter sig til det. Der vil således typisk kunne komme mange forskellige rektangler frem, som har forskellige former, men hvor alle opfylder kravet om at være rektangler. Hvis det er muligt, kan man berøre, at de modstående sider er parallelle og der er en ret vinkel i alle hjørner. Er der figurer, som har samme form og samme størrelse? Nogle af rektanglerne har samme form men ikke samme størrelse (ligedannede), og igen andre har samme form og samme størrelse (de er kongruente). Det er det sidste, vi forsøger at finde eksempler på i fotografiet. Om klasseaktiviteten Aktiviteten kræver lidt plads, idet eleverne ikke skal sidde for tæt på hinanden, når der skal tegnes. Det vil forstyrre, når de skal afgive deres tegneordre. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 67

68 På et kopiark foreslås der en række figurer, som den elev, der skal afgive ordren, kan anvende som inspiration. Man kan evt. bruge det, som det første der afprøves, så man kender aktiviteten. Det anbefales dog, at man lader eleverne selv finde på. Det er en god ide indledningsvis at bruge ternet papir, så eleverne kan orientere sig ved at tælle tern. Indgå nogle klare aftaler med eleverne om, hvad den, der modtager tegneordren, må spørge om, og hvad den, der afgiver tegneordren, må svare og sige. Udvid evt. sværhedsgraden med, at der kun må svares ja og nej på spørgsmål, eller der kun må gives ordre og ikke stilles spørgsmål. Aktiviteten kan også udvides til, at man tegner på blankt papir. Den kan dog give vanskeligheder, når eleverne endnu ikke har kendskab til vinkelmåler. Man kan så lave aftaler om at forsimple tegningen af figuren til at handle om lodrette og vandrette streger eller lignende. Supplerende aktiviteter En elev tænker på en bestemt kategori af en figur, og må kun svare med ja eller nej: Eksempler på spørgsmål til den tænkte figur: Har figuren mere end tre side? Har figuren rette vinkler? Har figuren lige lange sider? Der kan arbejdes uden for klassen. Dan figur Eleverne kan udenfor arbejde med et langt reb, hvor enderne er bundet sammen. Hele klassen stiller sig rundt om rebet. Læreren eller en elev siger en figur, fx retvinklet trekant, femkant osv. Klassen skal nu danne figuren. De første opgaver kan fx være et kvadrat, en ligesidet trekant, et rektangel hvor den ene side er dobbelt så stor som den anden osv. Find flest vinkler Opgaven kan foregå i skolegården. Eleverne udstyres med blyant og papir. Herefter går de rundt og finder vinkler, rette, stumpe og spidse. Stedet noteres ned på papiret. Det er bedst, hvis eleverne ikke åbenlyst viser for hinanden, hvilke vinkler de finder. Efter ca. 15 minutter kaldes eleverne sammen, og det skal afgøres, hvem der fandt flest af hver. For at måle om en vinkel er ret, kan eleverne folde et stykke A4-papir, så den bliver mere robust. Herefter har de et redskab til at måle, om en vinkel er ret. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 68

69 Er vejene parallelle? Kernebogen side Læringsmål Eleverne Kan genkende og bruge begrebet parallelitet ved beskrivelsen af geometriske tegninger. Ved, at afstanden mellem to parallelle linjer måles vinkelret på linjerne. Ved, at to linjer, som mødes i et punkt, danner en vinkel. Kan genkende og tegne retvinklede, stumpe og spidse vinkler. Kan sammenligne to vinkler og vurdere, hvilken vinkel der er den største. Kan udvælge ensliggende vinkler ved parallelle linjer. Faglige og metodiske kommentarer Mange elever har kendskab til fænomenet parallelitet gennem fortællinger om linjer der aldrig vil røre hinanden eller lignende beskrivelser. Det indgår i hverdagssprog som parallelparkering, parallelklasse osv. Ord der ikke nødvendigvis handler om linjer. Eleverne skal således orienteres mod det geometriske begreb. Vær opmærksom på, at man kan omtale linjestykker som værende parallelle i forhold til hinanden, selvom de ikke ligger op ad hinanden - det vil vise sig, hvis man forlænger linjerne. På et bykort kan to veje fx være parallelle i forhold til hinanden, selvom der ligger en vej eller nogle huse imellem dem. I hverdagssproget indgår beskrivelser af parallelveje, som vi her vil bruge som billede på fænomenet. Veje kan dog dreje og krumme og i den sammenhæng ophører ligheden med den klassiske geometri, idet parallelitet som sagt er knyttet til uendelige rette linjer. Kan man konstatere, at hvis vejene forlænges der de paralelle, bør det accepteres som svar. Nogle elever kan have en tendens til at tegne parallelle linjer, som orienterer sig vandret og lodret. De bør opleve, at linjer kan ligge skråt og stadig være parallelle. Vi har derfor valgt at lade skrå parkeringsbåse indgå i scenariet (opgave 5). Når veje ikke er parallelle vil de møde hinanden eller krydse hinanden. Det betyder, at der opstår vinkler som rette, spidse og stumpe. En erfaring eleverne forhåbentlig vil gøre sig, er, at to lige veje, som begge står vinkelret på en tredje vej, vil stå parallelt i forhold til hinanden. Da veje ofte ikke vises som enkelte linjer på et kort, indgår der i scenariet oversættelse af korttegning til geometrisk tegning. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 69

70 Kommentarer til opgaver og IT Opgave 1 Formålet med opgaven er, at eleverne skal kunne genkende parallelitet, selvom vejene ikke ligger lige op ad hinanden. Man kan diskutere om Vinkelvej er parallel med men dele er. Der kan være elever, som tænker, at Parkvej fortsætter over Fasanvej. I forbindelse med fænomenet vinkelret og veje, skal eleverne se, at der kan være tale om forskellige situationer som Illustration af vinkelret- der indtegnes vinkelretgradtegnet Det vil være formålstjenligt, at eleverne i opgave c tegner evt. kalkerer vejene og angiver den vinkel, de omtaler som IKKE værende ret vinkel. Opgave 2 5 Tegneøvelsen giver eleverne en bedre fornemmelse for parallelitet. Efter arbejdet med tegnetrekant og lineal, kan eleverne gennem Geogebrafilerne; Parallelle linjer og Parallelle linjer 2, se, hvordan to linjer, som skal bevare paralleliteten, optræder, når der flyttes med den ene af linjerne. Der sættes i opgaven fokus på, at afstanden mellem parallelle linjer er den vinkelrette afstand. Opgave 6 Bredden på Granvej og Solvej vil måske udfordre nogle elever, da afstanden skal måles vinkelret på linjerne. Opgave 7 Eleverne skal have opmærksomhed på, at de sorte streger i den højre model udgør en vej, selv om den er en tynd streg. Vi har valgt at farve vinkelrummene, så man kan tale om den røde, den grønne og den røde vinkel. Den rette vinkel er sædvanligvis blevet markeret med et kvadrat, så det billede ønsker vi at skabe tidligt hos eleverne. Eleverne kan evt. henvises til Viden Om på side 58 59, for at få hjælp til at definere vinklerne yderligere. På den måde, vil de også få erfaringer med at bruge Viden Om til faglig læsning. Opgave 8 Kan eleverne argumentere for, at en isoleret del af Vinkelvej står vinkelret på Poppevej, bør det anerkendes. Opgave 9 Svaret kan afhænge af køreretningen. Vigtigst er, at eleverne kan navngive vinklerne. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 70

71 Udfordringen Jernbanesvellerne viser, at skinnerne dels ligger parallelt og dels krydser hinanden. Det centrale er, at man tegner de to par skinner parallelle hvad de formodes at være, så togene ikke kører ind i hinanden og det tredje par togskinner krydser disse. Størrelsen på den vinkel de krydser med, er ikke afgørende. Den er ikke tænkt at skulle være vinkelret. Der tænkes udelukkende i en relativ måling som ens, større eller mindre. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 71

72 For fulde sejl Læringsmål Eleverne Kan genkende og beskrive ligheder og forskelle mellem forskellige typer af firkanter. Kan genkende og beskrive ligheder og forskelle mellem forskellige typer af trekanter. Kan tegne og konstruere forskellige enkle typer af firkanter og trekanter. Faglige og metodiske kommentarer Scenariet omhandler egenskaber ved forskellige typer af firkanter og trekanter. Det er ikke nødvendigvis væsentligt, at man kan navngive de forskellige typer, men mere centralt, at eleverne har en begyndende erkendelse af, at firkanter ikke bare er firkanter, men at disse kan kategoriseres i undergrupper med særlige egenskaber. Inden for trekanter fokuseres der på ligesidede, ligebenede og retvinklede trekanter. Inden for firkanter fokuseres der på kvadrater, rektangler, parallelogrammer og romber. Eleverne skal få erfaringer med, at kvadratet kan skubbes til at danne en rombe og, at rektanglet kan skubbes til at danne et parallelogram. Der bør indgå sprogbrug som vinkler, sider (og ikke kanter), hjørner (eller vinkelspidser), modstående sider og parallelle sider. Kommentarer til opgaver og IT Opgave 1 I denne opgave optræder alle typer af trekanter. Opgaven går fra at genkende trekanter, til at udpege ens vinkler. Nogle elever kan måske navngive enkelte vinkler som spidse. Opgave 2 Opgaven går fra skitse til præcis tegning, hvor der arbejdes med målbare sider. Det er ikke sikkert, at alle elever forstår, hvad en skitse er, så det kan være nødvendigt at eksemplificere inden scenariet igangsættes. Bemærk, at arbejde med målestoksforhold kan være vanskeligt fornogle elever. De skal have hjælp til at omsætte at 2 cm svarer til 1 m fx at Ocean er 8 cm høj. Lad dem evt. tegne en målestok på et ternet papir, som er 10 cm og med angivelse af meter. It og Geogebra: Leg med linjer I Leg med linjer og Leg med linjer 2, arbejder eleverne med nogle grundlæggende funktioner i programmet, som de til stadighed vil have behov for at vende tilbage til. Nemlig at danne linjestykker med givne længder, bestemme længder og flytte punkter. Desuden indeholder filen en analytisk opgave, hvor de ud af tre givne linjestykker skal finde ud af, om de kan danne en trekant. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 72

73 Opgave 3 Besvarelserne i opgave 3 kan relateres til Van Hielens niveauer. I forbindelse med opgaven kan der henvises til Viden om side It og Geogebra: Trekanter der ligner Eleverne kan ikke blot danne trekanterne i forskellige størrelser. Der kan også stilles krav om, at den blå trekant er retvinklet, og den grønne er ligebenet. Trekantens farve skal ligeledes gengives. Opgave 4 Vi bruger her forestillingen om tovet, der skal syes ind i kanten af sejlene, som en mulighed for at give eleverne et mentalt billede af omkreds. Det tydeliggøres, at der er tale om et længdemål. Tovets længde skal således resultatet af en additionsopgave, da sidemålene på sejlene er givet. Der kan være elever, som bliver usikker på, hvad der er Magdalenes sejl. Der skal så henvises til de skitserede sejl på side 50. I forbindelse med svaret på største omkreds kan indgå omtale af den længste snor eller lignende. Opgave 5 Igen skal eleverne forholde sig til en frihåndstegning af figuren, så det ligner bedst muligt. Her er det således målene, som skal passe ikke akkuratessen i indtegningen på stoffet. Ternet papir kan være en hjælp til eleverne. Der står i princippet ikke, at stoffet er rektangulært, men kun at det er firkantet, så alternative løsninger må accepteres. De fleste elever vil formodentlig med rette tænke i sædvanligt stof fra en rulle, som vil fremstå rektangulært. Opgave 6 De elever, som evt. ikke kan beskrive en forskel, kan stilles spørgsmålet: Beskriv ligheden mellem sejl C og sejl F. Eleverne kan evt. foretage en øvelse, hvor de bygger et rektangel af 4 parvise lige store strimler karton fx 2 x 4 cm og 2 x 6 cm. Sæt strimlerne sammen i hvert hjørne med en soldat og lad eleverne forme forskellige typer af parallelogrammer herunder et rektangel. It og Geogebra: Ocean-sejlet og Columbus-sejlet. I opgaverne med Ocean- og Columbussejlet, skal eleverne overføre sejlenes forme over på noget sejllærred. I alle opgaver, skal sejlene flyttes. I nogle opgaver, drejes der også om et punkt. Der er opgaver hvor eleverne skal overveje om man kan nøjes med 9 m stof, til at fremstille seks sejl. Hvis eleverne har forstået at lade sejlens hypotenuser mødes, vil svaret være, ja. Opgave 7 Der kan laves den samme praktiske øvelse som omtalt i tidligere opgave men nu med fire lige store strimler karton så kvadrat og rombe kan formes. I opgaven b tales der om, at de modstående sider har en bestemt længde, men det fremgår ikke, at de Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 73

74 modstående nødvendigvis skal være parallelle. Denne mulighed bør derfor også accepteres, selv om den ikke er tilsigtet. Eleverne skal se, at sidernes længde bevares, men at vinklerne ændres. Hvis eleverne tidligere har arbejdet med GeoGebrafilerne, Leg med linjer og Leg med linjer 2, vil de have mulighed for at fremstille opgaven ved hjælp af GeoGebra. Opgave 8 GeoGebrafilen Ocean-sejlet kan benyttes forud for besvarelsen. Selve besvarelsen kræver dog et målestoksforhold, hvor 2 cm svarer til 1 m. It og Geogebra: Lige store sider I GeoGebrafilerne Lige store sider og Lige store sider 2, skal eleverne omdanne nogle figurer, så de har lige store sider. Det kan være lidt af en tålmodighedsopgave at få siderne til at passe. Derfor introduceres værktøjet Regulær polygon. Ved hjælp af denne, kan der dannes en figur med lige lange sider og lige store vinkler. Udfordringen Bemærk, at Kontext+ 4 Kernebog 1. udgave 1. oplag side 53 viser et stykke stof med en længde på 5 m det skal ændres til 4 m. I opgaveteksten skal 12 m x 5 m ændres til 12 m x 4 m. GeoGebrafilen Ocean-sejlet 2 kan øves inden arbejdet med denne opgave. En mulig løsningsstrategi kan være at udklippe modeller af sejl og lærred, hvorefter det kan afprøves, om alle sejl kan fremstilles. En anden strategi kan være at tegne sejlene på stoffet. I princippet er det den samme opgave, som blot løses mere praktisk. Endelig kan opgaven løses ved hjælp af GeoGebra, hvis eleverne på dette tidspunkt har overblik over de funktioner, der indtil nu er blevet præsenteret i programmet. En besvarelse kan også tage hensyn til, om sejlene tegnes op ad hinanden, således, at der ikke skal klippes så meget i stoffet. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 74

75 Træerne skal fældes Læringsmål Eleverne Kender til opbygningen af koordinatsystemets 1. kvadrant. Kender til at første- og andenakse er tallinjer der skærer i nulpunktet. Kan beskrive et punkts placering med talpar. Kan se forskellen i placering i talpar som (6,4) og (4,6). Kan aflæse et punkt i koordinatsystemets 1. kvadrant. Kan afsætte et ordnet talpar i koordinatsystemet. Faglige og metodiske kommentarer Dette scenarie skal introducere eleverne for punkter organiseret i et systematisk gitternet. Nogle elever vil kunne fortælle, hvor præcist man ser træerne stå i rad og række i nogle skove og plantager. Det er oplevelser af den slags, vi vil bringe ind som en del af et indledende arbejde med koordinatsystemet. Det er centralt, at eleverne får øje på, at der skal være et fixpunkt - et nulpunkt - hvis man skal give punkterne navn som talpar. I denne her sammenhæng er det venstre nederste træ, som får navnet (0,0) og bliver markeret med rødt. En organisering af punkterne, som modsvarer 1. kvadrant i et koordinatsystem. Det vil givet koste lidt overvejelser for nogle elever at erkende, at det første træ har pladsen 0 i stedet for 1, idet man jo burde starte med at tælle 1. træ andet træ osv. Prøv evt. at inddrage andre sammenhænge, hvor det samme sker fx i en elevator er man på 0. etage inden man kommer til 1. etage. Et måleredskab starter også i 0, og ikke i 1. Præsenter ved en indledning måden man skriver talpar på med parenteser og komma mellem de to tal ikke at forveksle med decimaltal. Eleverne kan måske have svært ved at forstå, betydningen af forskellen mellem fx (2,3) og (3,2). Her er det oplagt at fremstille forskellen visuelt i 1. kvadranten. Opgave 1 Forberedelsen til at arbejde med koordinater kræver en vis orden. Derfor er det vigtigt, at koordinatpunkterne, der viser træerne, er sat med samme afstand og i lineære forløb. Brug ternet papir eller 1 cm prikpapir som hjælpemiddel. Opgave 2 Eleverne skal have forstået princippet med at et punkts talpar består af (førsteakse, andenakse). Er de i tvivl, så lad dem finde forskellen på fx (2,5) og så (5,2). De skal også være klar over, at den første række træet er (0,0) (1,0) osv. så det niende træ har talparret (8,0) (og ikke 9,0). Arbejdet tager lidt tid men det kan give eleverne en koncentration om systematikken i koordinatsystemet. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 75

76 Opgave 3 Opgaveformuleringen, som bl.a. fortæller at, den første række træer skal fældes, kan måske give nogle elever problemer med at notere svaret i 1. koordinaten, og derfor skriver, (1,0), (1,1), (1,2,) osv. I sådanne tilfælde kan evt. henvises til den indledende samtale om opbygningen af 1. kvadranten. Opgave 4 Der kan være brug for at tegne et nyt net af træer, men der lægges op til at anvende kortet fra opgave 1. Eleverne skal få øje på en sammenhæng i systematikken i talparrene og måden linjerne tegnes på kortet over træerne. Opgave 5 I Kontext udgave 1. oplag skal (9,0) erstattes af (7,0). Det betyder, at begge træer skal fældes. Udfordringen Undersøgelsen kan foretages på udleveret koordinatpapir. GeoGebrafilen Skovstien indeholder en selvstændig opgave, men dens opbygning, gør den også egnet til at vise udfordringens besvarelse. Nogle elever kan selv udvide udfordringen til at undersøge linjer, hvor kun 1. koordinaten er ens og linjer, hvor kun 2. koordinaten er ens. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 76

77 Aktiviteter Trekantspillet Materialer: 2 farveblyanter, spilleplade Det anbefales, at eleverne spiller spillet et par gange for at forstå reglerne. Spillet kræver overblik og mod. Overblik i forhold til at bygge videre på trekanter, som i sidste ende kan give mange point. Mod, når man lader modstanderen lukke en mindre trekant, for selv senere at kunne lukke en større og dermed opnå flere point. Når to elever har spillet mod hinanden, kan der rokeres. På den måde kan en elev måske få et indblik i en andens taktik. Hvis nogle elever har svært ved at åbne op, så trekanterne bliver store, kan reglerne ændres, så en side mindst skal bestå af to streger. Er der plads? Vælger eleverne i denne opgave at lade en lille gruppe elever stå på et indtegnet areal, kan der spørges ind til, om alle indbyggere i byen er på størrelse med eleverne i en 4. klasse. I overvejelsen om en bys (af en vis størrelse) indbyggere kan stå i skolegården, arbejdes der med modelleringskompetencen. Befolkningsgrundlaget vurderes, mht. antal små børn, større børn og voksne. Elever fra indskolingen og udskolingen (evt. lærere) kan inviteres til at fungere som objekter til hjælp til at danne sig et overblik over, hvad der kræves af plads. En overvejelse kan også være, at diskutere hvor meget plads der skal være omkring mennesker. I nogle lokaler har brandvæsenet skrevet, hvor mange personer der må være i lokalet. Kan der findes frem til sådan en forskrift på skolen, kan der gives et bud på, hvor mange klasser der må være forsamlet der. Tangram Man kan evt. fortælle denne historie som en indledning til aktiviteten: For flere tusinde år siden, var der en kineser, som hed Tan. En dag, tabte han en kvadratisk flise, som gik i syv stykker. Forgæves forsøgte Tan at samle stykkerne igen, men uden held. Til gengæld, kunne han få en masse spændende figurer ud af de 7 brikker. Tan kunne samle dyr, mennesker, skibe og meget mere. Men han fik altså ikke samlet flisen til et kvadrat. Tangrambrikker kan kopieres. De kan også konstrueres eller samles ved hjælp af GeoGebrafilerne Tangram 1 og Tangram 2. Evt. kan de findes på nettet. Nogle ligger også inde med Tangrambrikker som konkrete materialer. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 77

78 Googler man, vil man ikke blot finde onlinespil med tangramopgaver, men også tangrammønstre i det offentlige rum fx er mange gange på Hvidovre Hospital udsmykket med tangramfigurer. Der kan arbejdes med tangram mange steder på nettet, fx Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 78

79 Eftertanken Som afsluttende evaluering på kapitlet kan der anvendes: De tre kompetenceorienterede opgaver på Eftertankesiden. Et EVA-ark, som er en diagnostisk test, der undersøger elevernes målopfyldelse inden for kapitlets stofområde. Elevernes egen faglige logbog, hvor de formulerer deres viden. Påstanden a. Et kvadrat er et rektangel. Påstanden er altid rigtig. Enkelte elever vil måske se det som en uoverensstemmelse, at en figur som først er defineret som et kvadrat også kan være et rektangel. En vej til en forståelse, kan være at tegne et kvadrat, hvorefter de kendetegn et rektangel har, knyttes til tegningen. b. En ligesidet trekant kan have en ret vinkel. Påstanden er aldrig rigtig. Først og fremmest skal eleverne have styr på betydningen af en ligebenet trekant i forhold til en ligesidet trekant. Men ved at få opgaven, at tegne en retvinklet trekant hvor alle sider er 5 cm, vil eleverne erfare, at opgaven ikke kan lykkes. c. Når man deler en firkant i to trekanter, så er trekanterne ens. Påstanden er kun nogle gange rigtig. Eleverne kan forsøge med forskellige situationer, hvor det er rigtigt og situationer, hvor det er forkert. I et kvadrat, en rombe, et rektangel og et parallelogram er det altid rigtigt, men i andre skæve firkanter er det ikke sandt. d. I et koordinatsystem er (2,3) det samme som(3,2). Påstanden er aldrig rigtig. Find 5 fejl De skærer hinanden og er parallelle. Problem: Parallelle linjer skærer ikke hinanden. Jeg tegner en firkant ved siden af, som har fem rette vinkler og tre hjørner. Problem 1: En firkant har ikke fem rette vinkler. Problem 2: En firkant har heller ikke tre hjørner. Jeg tegner en ny firkant, som jeg deler i to trekanter. De er begge ligesidede trekanter Problem: Ingen firkant som bliver delt i to trekanter kan blive ligesidede. De fire vinkler i den ligesidede trekant er alle stumpe vinkler. Problem: En trekant kan højest have en stump vinkel. Vis det En åben opgave. Eleverne vælger selv sit medie at vise det i og med. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 79

80 Om Brøker Fælles Mål Eleven kan anvende decimaltal Eleven har viden om og brøker i brøkbegrebet og decimaltals hverdagssituationer opbygning i titalssystemet Brøker (fra latin: fractus "brudt ) er traditionelt vanskeligt stof for mange elever og tit også et fagligt område, som mange voksne er noget usikre i. Det er en central og nødvendig udvidelse af talbegrebet men et meget stort abstraktionsspring for eleverne. Det vil bl.a. kunne ses ved, at de ofte tænker og regner, som man gør i de naturlige tal. Hvor man kan bruge de naturlige tal til at tælle med, forholder det sig anderledes med brøker. Brøker er rationale tal (forholdstal) til forskel for de naturlige tal, som er absolutte tal. Det indebærer blandt andet det mystiske, at brøknavne kan være meget forskellige, idet der er tale om samme forhold. Forholdet 2/4 svarer til forholdet 4/8, hvilket er meget anderledes end de naturlige tal, hvor 35 nu engang er 35. Kapitlet skal ses som det indledende arbejde i at trænge ind i brøkernes verden. Vi behandler senere brøker som decimatal. Det centrale i denne introduktion er forståelse af selve brøkbegrebet og ikke så meget brøkregning. Det venter vi med til lidt senere klassetrin. Vi kan dog ikke helt undgå det, men det er neddroslet. Vi arbejder i dette kapitel med to forskellige forståelser af brøkbegrebet: 1) Brøker kan repræsentere delene af en helhed en del af et område (fx ½ sandwich, ½ æble, ½ ton grus), en del af et antal (fx 2 kugler ud af 4 kugler), en del af en værdi (fx 3 kr. ud af 12 kr.) 2) Brøker kan repræsentere et tal på en tallinje, som gør det muligt at regne og sammenligne størrelser på brøktal. I den første sammenhæng vil en brøk som a/b repræsentere den fysiske verden. Det betyder, at både a og b er naturlige tal. Brøken giver her ikke mening, hvis man ikke kender dem helhed, den er en del af. I det her tilfælde vil 1/3 således kunne være noget vidt forskelligt, idet det skal Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 80

81 opfattes som 1/3 af noget. Det giver derfor ikke mening at lægge 1/3 plus 1/3 sammen, hvis ikke der er tale om den samme helhed. I den anden sammenhæng vil en brøk som a/b være et bestemt tal på tallinjen. En position som ligger fast og brøktallet er derfor ikke afhængig af helheden. Her er 1/3 altid samme sted. Man kan pege på, hvor tallet 1/3 ligger, og man kan forøge længden med 1/3 og få 2/3. Her kan man regne og sammenligne brøker. Brøker som del af en helhed En brøk, som ¾ kan repræsentere en del af noget. Både tæller og nævner må da være naturlige tal. Nævneren repræsenterer et antal lige store dele og tælleren angiver, hvor mange af delene der er tale om. Pointen med, at brøkdele er lige store dele er ikke altid erkendt af eleverne. Flere kan således erklære, at en figur som er opdelt i tre dele (¼, ¼ og ½) hver især udgør tredjedele, idet der er tre områder i figuren. Det betyder, at ½ kan være forskellig afhængig af helheden. Et udsagn som dette er en ½! giver ikke mening, hvis man ikke samtidig får at vide, hvad det er halvdelen af. Udover at gå fra en helhed til en del bør eleverne også have erfaringer i den modsatte proces. At bevæge sig fra en del til helheden. Ved man, at 3 kr. er ¼ af hele beløbet, kan man regne sig til helheden ved at multiplicere med 4. Bemærk dog, at hvor der er entydighed i helheder knyttet til antal og værdier, er der mange svar, hvis der er tale om at gå fra delfigur til en hel figur. Hvis et kvadrat udgør en ¼n kan den hele figur se ud på mange forskellige måder. Brøker som tal I opfattelsen af brøker som tal vil man kunne definere tælleren og nævneren a/b anderledes. Der er ikke helt enighed i defintionen, idet man i nogle sammenhænge erklærer, at a og b kan være hele tal (altså også de negative tal), nogle steder at a er helt tal og og b et naturligt tal og andre steder udvider man værdien a til at være også irrationale tal. Dette kun til orientering. Vi betragter a/b som et positivt rationalt tal. De fleste elever opfatter dog ikke brøker som tal på en tallinje. De vil typisk anvende brøkbegrebet som en del af en helhed. Man bør dog som lærer have forskellen Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 81

82 for øje og vurdere om, der i forklaringer eller diskussioner kan være en sammenblanding, der kan forvirre eleverne. Elevernes opfattelser Eleverne opfatter intuitivt brøker som noget småt, tiltrods for, at 24/3 også kan være en brøk. Man kan høre sprogbrug som det er kun en brøkdel osv.. Øv! Du har snydt mig, jeg har kun fået en brøkdel af det, du har fået. Sætninger som jeg skal lige have et halvt glas mælk, vi har aftalt at dele så jeg skal ha halvdelen, vi skal dele denne sandwich i 4 lige store stykker, indgår i elevernes hverdagssprog. Omtalen af brøkdele bør derfor indledningsvis være ægte brøker, hvad vi da også har valgt i dette introducerende kapitel. Mange elever vurderer brøktallenes størrelse ved, at se på nævneren fx vil de vælge ¼ som større end 1/3, fordi 4 er større end 3. Der ligger således en arbejdsopgave i at få dem til at indse, at delene bliver mindre jo større nævneren bliver. Nogle elever har også vanskeligt ved at forstå, at det er delen af det hele. Hvis de skal vurdere delen i en farvet figur som denne, vil nogle elever beskrive den gule del som 2/4, idet det angiver henholdsvis den gule og den røde del. Eller evt. 4/2, hvis det er det røde område, de skal beskrive. Se også viden om videoerne henvendt til eleverne på kontextplus.dk. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 82

83 Intro Kernebogen s. Om klassesamtalen Kapitlet er mange elevers første møde med en mere formel undervisning i brøker i matematik. Det er derfor vigtigt at afdække, hvilken forforståelse de har: Kender I ordet brøk? Hvad betyder brøk? Kan I komme med eksempler på, hvor man bruger brøker? Hvad betyder det, når man fx siger: Jeg har spist en halv banan. Hvordan kan man vide, at man har spist en halv banan? Hvordan kan man vide, at noget er halvdelen af noget? Hvis jeg nu tager et stykke papir og skærer det over i lige store stykker, hvor stor en brøkdel er så hvert stykke papir? Kom ind på, hvordan man kan sige brøker fx halve og fjerdedele. Der er måske en læringsgevinst indledningsvis at omtale brøker fx 2/5 som to ud af fem frem for 2 femtedel, eller anvende begge dele. Afprøv forskellige små øvelser omkring brøkdele ved at bruge antallet af elever som helheden. Hvis jeg nu siger halvden af eleverne i 4. klasse skal stå op Hvordan kan vi så vide, at det er halvdelen? Hvis jeg nu siger en fjerdedel af de elever der står op skal sætte sig ned Hvordan kan vi vide, hvor mange der skal sætte sig? Hvor stor en brøkdel af klassen står nu op og hvor stor en brøkdel sidder ned? Om fotoet Fotoet lægger op til indledende samtaler om del helhedsrelationer. Der gives mulighed for at tale om to repæsentationer af brøker. Brøker som antal Brøker som område Hvor mange frugter er der? På et bord ligger der nogle frugter og to kager. Der sættes først fokus på del og helhed knyttet til antal. I det her tilfælde er der tale om samlet 20 stykker frugt. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 83

84 Hvor stor en del af frugterne er æbler? Eleverne tæller antallet af æbler her 4 æbler. Spørgsmålet drejer sig som om at forholde sig til sprogbrugen en del af. Der kan være flere sproglige vendinger som 4 af de 20 4 ud af 20 eller lignende. Det er vigtigt, at eleverne sætter de to antal i forhold til hinanden og ikke blot nøjes med at svare 4, når man spørger. Beskriv nogle brøkdele med frugterne Gentag øvelsen med bananer og applesiner. Fortsat evt. med gentagelser, hvor der fjernes 2 bananer, 2 æbler og og 2 applesiner. Lad eleverne selv finde på. De kan tilføje andre frugter. Hvor stor en del af den ene kage er skåret fra? Kagerne lægger op til en samtale om brøker som en del af et område. Der er her tale om vurdering af det fraskårne i den kage, der er øverst på fotografiet. Hvordan kan man finde ud af, hvor meget der er spist? Der er ca. afskåret en fjerdedel. Lad eleverne komme med egen betagtninger om, hvor en stor en del, de mener, det er. Nå frem til en fremkommelig løsning. Lav evt en rektangulær tegning, som viser, hvordan der er skåret i kagen. Spørg evt. ind til andre måder at skære kagen på, hvis det var fjerdedele. Indgå i andre beskæringer, fx at der skal skæres ½ eller 1/3 af kagen. Beskriv de brøkdele den anden kage er delt op i. Bemærk, at det er den samme slags kage. Her er den skåret op i mindre lige store stykker - samlet 12. Spørg ind til, om eleverne kan se, at man har forsøgt at skære kagen op i i lige store stykker. Hvor stor en del er hvert stykke? Tegn kagen delt op i brøkdele. Kan man lave andre brøkdele? Spørg til, hvor stor en del af kagen som skal fjernes, hvis man tager 3/12. Fortsat med: Hvor stor en del er tilbage? Kan man skære kagen på en anden måde, så der stadig er tolv dele? Behøver kagestykkerne at være ens for at udgøre den samme brøkdel? Om klasseaktiviteten Hensigten med denne opgave er, at eleverne får erfaringer med at halve kan se meget forskellige ud, men stadigvæk udgøre det halve. Der er fokus på brøker som areal. Henled eventuelt elevernes opmærksomhed på tegningen, hvor de kan se eksempler på forskellige typer af halve. Lad eleverne arbejde i makkerpar, så de kan diskutere forskellige løsninger/repræsentationer af halve. Lad eleverne lime deres forskellige forslag op på et A3-papir og hænge dem op i klassen. Det kan være en god ide at anvende sort papir, hvis eleverne har hvide kvadratstykker. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 84

85 Afslut med en klassesamtale, hvor eleverne fortæller om udvalgte repræsentationer ud fra spørgsmål som: Hvordan kan man vide, at det er en halv? Overbevis resten af os om, at det passer? Hvilke forskelle er der mellem de forskellige halve? Hvilke ligheder er der mellem de forskellige halve? Kan vi samle det i nogle grupper? Supplerende aktiviteter En indledning til arbejdet med brøker kunne være, at læreren siger ud i lokalet: Gi mig en halv! Eleverne skal parvis tage stilling til hvilke informationer, der behøves for at kunne udføre handlingen. Det kunne handle om overvejelser over En halv af hvad? (Et antal, et område, et mål, etc.) Hvad er helheden? (Man er nødt til at kende helheden for at kunne beskrive delen.) Aktiviteten afsluttes med, at læreren samler op på elevernes overvejelser og fremstiller en liste over, hvad man er nødt til at vide for at kunne give en halv. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 85

86 Frokost i det grønne Læringsmål Eleverne Kan anvende brøker til at beskrive forhold i hverdagslignende sammenhænge. Kan anvende brøker til at beskrive delen af et område, og et antal. Kender notationen med tæller og nævner i en brøk. Ved hvad tæller og nævner står for i en brøk. Kan sammenlige størrelsen på brøker. Ved at brøkdele kan have forskellige brøknavne. Kan beskrive en helhed, hvis man kender enkle brøkdele. Kunne placere enkel ægte brøker på tallinje og kunne sammenligne brøktallenes størrelse. Faglige og metodiske kommentarer I dette kapitel præsenteres et scenarie, hvor en gruppe elever i en 4. klasse skal på skovtur. Eleverne er delt op i fire forskellige grupper med forskellige antal elever i hver gruppe med forskellige antal sandwich. I opgave 1 til 8 arbejder eleverne med at dele sandwich i lige store stykker, der skal relateres til antallet af elever i grupperne, og til hvor mange sandwich hver gruppe har smurt. Der er således tale om at se brøker som del af et område her en sandwich. Det kan være centralt, at gøre klassen opmærksom på de fire grupper og deres forskellige antal sandwich og gruppestørrelse. Man skal her anvende brøker til beskrivelse af dele af en helhed. Det drejer sig om at tage stilling til, hvor meget hver elev får hvilket ikke umiddelbart er gennemskueligt. Det skal brøkdelene være med til at afsløre. På side 67 præsenteres eleverne for gule rektangler/brøkstrimler, der fungerer som modeller af de sandwich, der skal deles lige. Det betyder, at eleverne skal forestille sig, at alle dele af sandwichen er lige store, og at de derfor ikke skal tage hensyn til, om der er tale om endestykker eller midterstykker eller De gule rektangler/brøkstrimlerne findes som kopiark, som eleverne kan tegne på. I opgaverne 9 11 samt i udfordringen skal eleverne fordele småkager ligeligt imellem sig. De skal arbejde med brøker som et antal. Her kan det være hensigtsmæssigt at finde nogle repræsentationer for småkagerne, som fx centicubes, knapper eller småkager. Eleverne arbejder her med brøker som en del af et antal. I opgaverne ændres scenariet til at eleverne skal dele saft ud fra nogle kander. Fortæl eleverne, at de skal tegne rektangler og anvende dem som modeller for kanderne. Man kan henlede elevernes opmærksomhed på tegningerne nederst til venstre på s. 70 og øverst til højre på s. 71. Der er tale om en forlængelse af foregående scenarie. Det centrale i dette tema er at arbejde med situationer, hvor en brøkdel som fx 1/3 mangler 2/3 op til en hel. Vi Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 86

87 bruger en situation som hvis bægret er en 1/3 fyldt, flyder der så saft ud, hvis jeg hælder en 1/3 del til i bægret Her kan det være hensigtmæssigt at tale om tælleren og nævnerens betydning, når man skal afgøre, hvor mange dele der går på en hel. Bemærk, at der skal arbejdes med skitser og omtrentlige øjemål og ikke opmålinger i de enkelte opgaver. Eleverne kan også anvende papirstrimler som kander og afsætte de forskellige brøker - ved foldning eller ved måling - på strimlerne. Strimlerne kan anvendes som måleredskaber. Kopiarket med brøkstrimler kan eventuelt anvendes her. Kommentarer til it og opgaverne Opgave 1 Lad eleverne gå på opdagelse på siden og sæt eventuelt fokus på, hvor på siden eleverne kan finde den information, som de skal anvende for at kunne løse opgaverne. Det kan være hensigtsmæssigt, at eleverne har disse oplysninger stående på et stykke papir, når de arbejder med scenariet, eller at disse oplysninger skrives på tavle eller IWB. Opgave 2 og 3 I denne opgave er der fokus på sammenligning, og at brøkdele kun er meningsfulde, hvis man kender helheden. Der er ligeledes fokus på, at selvom brøkdelen er den samme behøver den ikke repræsentere samme fysiske mængde. De gule strimler, der findes som kopiark anvendes som modeller for sandwichene. Gør eleverne opmærksomme på, at de gule strimler angiver hvor mange sandwich, der er i henholdsvis gruppe B, C, og D. Der er flere forskellige måder at dele sandwichene på. Man kan dele i halve eller i fjerdedele eller i tredjedele og sjettede. Lad eleverne selv vælge, men man kan evt. spørge ind til deres valg og deres argumantation for valgene. Opgave 4 Hvis eleverne er i vanskeligheder, så foreslå dem, at de skal lede efter grupper, hvor der er flere sandwich end elever. Man kan også opfordre dem til at anvende de gule strimler, der findes som kopiark. Strimlerne kan understøtte elevernes forståelse af, hvordan man kan dele sandwichene ligeligt mellem eleverne dette vil være en god forøvelse til opgaverne. Man kan opfordre eleverne til at skønne, om de får henholdsvis mere eller mindre end en ½ sandwich. Her kan tegninger ligeledes være en god støtte. Man kan evt. bede eleverne om at huske tilbage på situationer, hvor de har skullet dele forskellige ting ligeligt mellem sig. Opgave 5 og 6 Her er der forskellige muligheder for at arbejde med opgaven. Introducer evt. at det er muligt at sammenligne ved at lægge tegningerne op ved siden af hinanden. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 87

88 Opgave 7 Her er der fokus på at forskellige brøker betyder det samme. Når man arbejder med brøker som en del af et område, er det muligt at vise, at fx to kvarte lagt ved siden af hinanden er det sammen som en halv. Opgave 8 Denne opgave giver mulighed for, at eleverne udtrykker deres forståelse af brøker som en del af et område. Der er tale om en regnehistorie, der har fokus på processer, der handler om, hvordan man anvender algoritmer og problemløsningsstrategier. Her kan det være en fordel at hjælpe eleverne til at anvende de begreber, de har brugt i de foregående opgaver. Det kan fx foregå ved at sætte ordkort med de forskellige ord og begreber op på væggen el. lign. Opgave 9 11 Eleverne skal undersøge situationer med fordeling af antal småkager til enkelte elever og de omtalte grupper af elever. Her skal eleverne gøre sig erfaringer med, at brøker kan være dele af et antal. Gør eleverne opmærksomme på, at det er vigtigt at kende til helheden for at kunne bestemme delen. Da antallet af småkager er forskellige i de forskellige grupper, så kan kan antallet være forskellig, selvom brøken er den samme. Udfordringen Denne opgave handler ligeledes om antal, men det kan være vanskeligt for nogle elever når antal og brøkdel skifter, fordi helheden ændrer sig, og dermed antallet af småkager i de fire kagedåser. Opgave a fungerer som støtte til arbejdet med opgave b. Eleverne skal forholde sig til antallet gruppemedlemmer og det samlede antal af småkager. Småkagerne skal fordeles i kagedåserne på en sådan måde, at alle elever får lige mange småkager. Resultat: a. Gruppe B: 21 småkager (udregnes i opgave 11) Gruppe C: 24 småkager (kan læses i linje 3 på side 69) b. Gruppe A skal have 42 småkager, Gruppe B skal have 21 småkager, Gruppe C skal have 28 småkager og Gruppe D skal have 14 småkager. Opgave 12 I denne opgave er der fokus på at inddele en linje i brøkdele som forløber for en tallinje. I opgave 12a skal eleverne anvende de blå kander lige ovenover spørgsmålet og indse, at de skal starte med af afgøre, hvor mange dele der er valgt. I opgave 12b skal eleverne anvende kanderne med orange saft, som står på bordet på tegningen: Eleverne skal afgøre, hvor stor en brøkdel der ca. er af saft. Bemærk, at der IKKE er lagt op til en præcis angivelse, men et fornuftigt gæt. Eleverne kan evt. tegne kander, som svarer til tegningen og skitsere på øjemål, hvor meget saft der er. Der hører et arbvejdark til opgaverne med kanderne indtegnet til de elever, som har brug for et forlæg. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 88

89 Forslag til løsning: Den første kande er ca. halvt fyldt med saft. Den anden kande er næsten helt fyldt. ca. 9/10 dele er fyldt med saft. Der kan være andre forslag som 7/8 osv. Det centrale er, at det er en stor brøkdel som vælges. Den tredje kande er ca. fyldt med ¾ saft. Den fjerde kande er ca. halvt fyldt. Den fjerde kande er ca. 4/5 fyldt med saft. Opgave 13 På baggrund af opgave 12a skal eleverne selv tegne og skravere brøkdele af saft i kander. De tegner fem lige store rektangler fx 12 cm lange. Her skal eleverne selv etablere en opdeling af kanderne i henholdsvis fjerde, ottende, femte og sjettedele. Inddelingen skal foregå på øjemål og ikke ved måling. Fjerdedele og ottendele kan fremkomme ved halvering. Sjettedelene kan sættes efter først at have delt i tredjedele og så i sjettedele her kan en længde på de 12 cm være behjælpelig idet der kan tælles tern. Femtedele kan være lidt svær. Her må man på øjemål sætte streger lidt frem og tilbage og så nå et rimeligt resultat. Bemærk, om eleverne har forstået, at det er lige store dele, så de ikke blot sætter et antal streger. I opgave 13 er der ligeledes en henvisning til to GeoGebrafiler, som eleverne kan anvende. Opgave I disse opgaver skal eleverne sammenligne og forholde sig til brøkdele med forskellige nævnere. Det er en hjælp, at eleverne forstår den tegning, der er i højre side, inden de går i gang. Anna har her tegnet to kander, hvor den ene er inddelt i fjerdedele og den anden i tredjedele. Hun kan af sin skitse se, at en tredjedel saft oven i ¾ saft vil flyde over. Eleverne skal vise det samme som Anna. Her vil det være praktisk, at anbefale eleverne at arbejde med kander, som er fx 12 tern høje, idet det er enklere for dem at inddele med de næste brøkdele, som optræder. Udfordringen Opgaven er indledningen til en addition af brøktal, som eleverne må finde en form på fx ved at fremstille en kande med 12 cm (og dermed 24 tern) som inddeles i de anviste brøkdele. Dvs at ½ og 1/3 skal tegnes sammen i den ene kande og 1/3 og ¼ skal tegnes sammen i den anden kande. I opgave c kan der være elever, som vil kunne rumme, at der er tale om fællesnævnere, men så vil der være behov for at gå til 24-dele: Den ene kande er 12/24 + 8/24 = 20/24 Den anden kande er 8/24 + 6/24 = 14/24 Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 89

90 Ovenstående vil dog ses ved at skitsere de sammenlagte brøkdele på tegnede kander af 24 tern. Klassefesten Læringsmål Eleverne Kan omsætte sproglige udtryk til symboler. Kan anvende brøker som et mål til at angive dele af 1 liter. Kan placere enkle ægte brøktal på en tallinje. Kan sammenligne størrelsen på brøktal ved brug af en tallinje. Faglige og metodiske kommentarer I dette kapitel er der fokus på brøker som et måltal (fx ½ så meget ananasjuice som vand ), og at dette måltal kan beskrives ved hjælp af en skala som tallinje (linjen på et målebæger). Mange elever vil have bemærket, at brøker ofte indgår i opskrifter. Vi har derfor valgt dette scenarie, fordi det er muligt direkte at omsætte brøkforståelse til konkret handling. Hvis brøkdelene ikke er korrekte, vil drinksne ikke smage særlig godt. Disse drinks kan blandes og drikkes, hvis man ønsker, at eleverne skal have en konkret erfaring med at blande de beskrevne forhold. I dette scenarie vil eleverne få brøkerne repræsenteret i sproglig form, som det kommer til udtryk i de tre drinksopskrifter. Eleverne skal afkode og forstå opskrifterne og omskrive til matematisk notation med tæller og nævne. Senere i scenariet skal de forholde sig til brøkernes relative størrelse. Det sidste kan være vanskeligt, idet eleverne fx i opgave 4 skal forstå, at ¾ ligger mellem 7/10 og 8/10. Bemærk, at eleverne kan tegne/måle sig til denne placering og behøver ikke at regne sig til den. Der arbejdes ligeledes med omregninger, og at forskellige brøker kan udtrykke den samme brøkdel. Eleverne får brøknavnene opgivet, bortset fra et af stederne i hver opskrift, hvor de selv skal ræsonnere sig frem til brøkdelen. Opgave 1-3 Her skal eleverne omskrive sproglige beskrivelser til matematiske notationer. En del elever kan have vanskeligt ved at læse og udtale disse ord, og vil have behov for hjælp og støtte til afkodning og forståelse af ordene. Opgave 4-5 Her arbejdes der med brøker som tal på en tallinje. Eleverne skal anvende tallinjerne til at udforske relationerne mellem de forskellige brøktal. Det kan fx handle om at eleverne indser at 2/10 er det samme som 1/5. Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 90

91 Udfordringen Udfordringen i denne opgave er, at eleverne skal omsætte og strukturere en række sproglige relationer af hvis, så typen for, at opgaven kan løses, og at de givne informationer løbende skal sættes i relation til hinanden. Eleverne skal ind i overvejelser over halvdelen af halvdelen af halvdelen. Aktiviteter Vis din brøkdel Materialer: Centicubes i to farver og brøkkort med forskellige brøknavne Aktiviteten har fokus på del og helhed samt brøk som et område. Eleverne skal fremstille et sæt kort med forskellige brøknavne. Eleverne skal vende et kort og bygge en visuel model af brøkdelen. Man skal være opmærksom på, at delen og helheden skal indgå i modellen. Delen skal være i en farve og resten af figuren i en anden farve (se eksemplet). Der er tale om makkerarbejde, men kan evt. tælle point for rigtige besvarelser. Lad eleverne bygge hver deres model og derefter sammenligne deres resultater. Et eksempel: Delene bliver mindre og mindre Materialer: Papir, saks, plancheark Et eksempel: Kontext+ 4 endelig lærervejledning Side 91