Frit fald med luftmodstand

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Frit fald med luftmodstand"

Transkript

1 Frit fald med luftmodstand Indholdsfortegnelse ABSTRACT... INDLEDNING... 2 NEWTONS 2. LOV... 2 BEVIS FOR SEPARATION AF DE VARIABLE... 3 FRIT FALD UDEN LUFTMODSTAND... 7 FRIT FALD MED LUFTMODSTAND... 8 FRIT FALD LUFTMODSTAND, DER ER PROPORTIONAL MED HASTIGHEDEN FRIT FALD MED LUFTMODSTAND, DER ER PROPORTIONAL MED KVADRATET PÅ HASTIGHEDEN FORSØG FORSØG - VOLLEYBALLEN DATABEHANDLING FORSØG - VOLLEYBALL KONKLUSION LITTERATURLISTE... 3 BILAG BILAG Model Model ABSTRACT This paper investigates the free fall in a gravitational field with air resistance. The study theoretically describes the motion of a vertical throw by putting forward differential equations and subsequently solving them using mathematical demonstrations. The differential equations are advanced based on physical law such as Newton s second law. Two different experiments are made and the data from the experiments are compared with the theoretical description of the motion for a vertical throw. The results are as might be expected not exactly the same but especially for one of the experiments the results were incredibly close. With aberrations from 0.75 % to % it is hard to mae a conclusion but especially for the

2 experiment with aberrations on % the sources of errors were many. So all in all the models were satisfying. Indledning Denne opgave omhandler det frie fald med luftmodstand. Der opstilles en differentialligning, der besriver det frie fald med luftmodstand. Differentialligningen løses i de to tilfælde hvor modstanden er proportional med hhv. v og v 2. Til at løse differentialligningen bruges der en metode, der aldes separation af de variable som i opgaven bevises. Det teoretise beregninger sammenlignes med data fra to forsøg, henholdsvis et forsøg med et lodret ast af en volleyball og et lodret ast af et æmpeaffefilter. Under hele opgaven understøttes beregningerne med fysise begreber heriblandt Newtons 2. lov. Newtons 2. lov Den engelse naturvidensabsmand Isaac Newton ( ) opstillede i sit vær Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Latin. Oversat til dans: Naturfilosofiens matematise principper) i 687 meaniens bevægelseslove, den indeholdte den matematise formel, der lyder; raften på et legeme er lig med dets masse ganget med dets acceleration. Det vil sige: F = m a hvor F angiver raften. m angiver massen af genstanden. a angiver accelerationen, der er et udtry for ændringen af hastigheden per tidsenhed. Denne formel er endt som Newtons 2. lov men aldes også raftloven. Det an umiddelbart være svært af forstå, hvad en raft er men det er sådan set ie så indvilet. En raft an give en genstand (materiel partiel) en acceleration mest endt er no tyngderaften. Hvis Genstanden/partielen ie er påviret af ræfter vil dens acceleration være lig med nul. [XII] 2

3 For en partiel med massen m gælder følgende sammenhæng mellem tilvæsten i tid af partilens impuls p og de ræfter, der virer på partilen. dp = F dt res, hvor p = m v er partilens impuls 2. I ovenstående ligning angiver venstre side den tidslige differentialvotient af en tidsafhængig impuls p. Højre side definerer størrelsen af det, der aldes den resulterende raft F res. Denne beregnes som vetorsummen af de virende eneltræfter. Partilens impuls an derfor ændres enten ved at partilens masse forandres eller ved at partilens hastighed ændres. Hvis massen m af partilen er onstant fremommer ligningen: d(m v ) dt = m dv dt = m a = F res I ovenstående ligning definerer dv = a partilens acceleration, der er forsellig fra nul, hvis dt hastigheden v afhænger af tiden t. 3 Bevis for separation af de variable Bevis for sætningen separation af de variable, som er differentialligninger af formen dy dx = h(x) g(y) eller y = h(x) g(y). 2 [VIII] 3 [XIII] 3

4 Figur, der viser det interval løsningen ligger i. 4 Sætning: Lad h(x) være ontinuert i et interval I og lad g(y) være ontinuert og forsellig fra nul i interval J. dy = h(x) g(y) eller dx y = h(x) g(y) løses i I J. Der gælder da at løsningerne til differentialligningen dy = h(x) g(y) eller dx y = h(x) g(y) er de samme som løsningerne til G(y) = H(x) + ( er en vilårlig onstant), hvor y er den ubeendte funtion og G(y) er en stamfuntion til g(y), det betyder at G(y) = g(y) dy. H(x) er en stamfuntion til h(x), det vil sige at H(x) = h(x)dx. Bemærninger: Ligningen G(y) = H(x) + an ved brug af det ubestemte integral omsrives til: dy = h(x)dx. g(y) Vi ommer frem til denne ligning ved at foretage følgende omsrivninger af den oprindelige differentialligning: dy dx = h(x) g(y) (ganger med dx på begge sider af lighedstegnet) 4 Figuren er fremstillet direte efter figuren i ilde [III] s

5 dy = h(x) g(y)dx dy = h(x)dx g(y) dy = h(x)dx g(y) (dividerer med g(y), der som tidligere nævnt er forselligt fra nul) (indsætter et integraltegn på begge sider af lighedstegnet) Beviset: Vi sal da vise at: f(x) er en løsning til differentialligningen y = h(x) g(y) præcis når f(x) er en løsning til ligningen G(y) = H(x) +. Vi antager først, at f(x) er løsning til y = h(x) g(y) (med andre ord: vi ved at f(x) indsat på y s plads vil få ligningen til at stemme, altså glæder der at f (x) = h(x) g f(x). Vi sal nu vise at f(x) er løsning til G(y) = H(x) +, dvs. vi sal vise, at der gælder følgende: G(f(x)) = H(x) + eller at G f(x) H(x) =. Vi sal således vise, at funtionen G f(x) H(x) er en onstant. Dette an vi gøre ved at differentiere funtionen, og indse at differentialoefficienten er nul (her huses, at G(y) er en stamfuntion til g(y) sammensat funtion): og at H(x) er en stamfuntion til h(x), samt hvordan vi differentiere em G f(x) H(x) = G f(x) f (x) H (x) = g f(x) f (x) h(x) Vi ved af f (x) = h(x) g(f(x)). Dette indsættes i ligningen ovenover og derved får vi: 5

6 G f(x) + H(x) = h(x) g f(x) h(x) = h(x) h(x) = 0 g f(x) Vi antager nu at f(x) er løsning til G(y) = H(x) +, og sal derfor vise at f(x) er løsning til y = h(x) g(y), altså vise at f (x) = h(x) g f(x). Da f(x) er løsning til G(y) = H(x) +, ved vi at G(f(x)) = H(x) +. Ved at differentiere på begge sider af lighedstegnet får vi: g f(x) f (x) = h(x) f (x) = h(x) g(f(x)), hvilet var hvad vi ønsede. Sætningen, der umiddelbart virer lidt uoversuelig aldes separation af de variable. For at oversueliggøre sætningen ser vi igen på differentialligningen dy = h(x) g(y) dx Ved multipliation med dx og division med g(y) på begge sider af lighedstegnet fås: dy = h(x) g(y) dx dy = h(x) g(y) dx dy = h(x)dx g(y) Tager vi herefter integralet på begge sider af lighedstegnet, fremommer: dy = h(x) dx g(y) Ovenstående er aurat det sammen som indholdet af bemærningen, der underbygger sætningen. Her er det dog vigtigt at understrege at en løsning un ligger i et interval, hvormed der menes en sammenhængende talmængde. 5 5 Beviset er inspireret af [XIV] side -4 og [III] side

7 Frit fald uden luftmodstand Når der er tale om et frit fald uden luftmodstand menes der en genstand, som frit bevæger sig lodret i tyngdefeltet. Det vil sige en endimensionel bevægelse, hvor genstanden udeluende er påviret af tyngdefeltet. Hvis vi tager udgangspunt i et frit faldende objet her på jorden, vil objetet påvires af jordens tyngdefelt dvs. tyngdeaccelerationen. Vi antager, at tyngdeaccelerationen er onstant og fastlagt til 9,866 m s 2 her i Danmar.6 Tyngdeaccelerationen på jorden varierer i forhold til hvilen breddegrad du befinder dig på, idet jorden ie er uglerund men lidt fladtryt. Tyngdeaccelerationen ved ævator er lavest, 9,780 m s2, idet afstanden til centrum af jorden er længst på det pågældende sted. Tyngdeaccelerationen er imidlertid størst ved jordens poler. Her er tyngdeaccelerationen hele 9,83 m s 2.7 Den gennemsnitlige tyngdeacceleration er fastlagt til 9,807 m s 2.4 Tyngdeaccelerationen på en bestemt loalitet an beregnes på følgende måde: g = 9,8062 0, cos(2 φ) + 0, cos2(2 φ), hvor φ er breddegraden. 8 Ydermere sal man være opmærsom på at tyngdeaccelerationen også ændre sig ift. hvor højt over jordens overflade du befinder dig. Da objetet un er påviret af tyngderaften, aldet F t, er den resulterende raft F res = F t. Vi alder da objetets masse m og F t =, hvor g er tyngdeaccelerationen. Tyngderaften er negativ da den er nedadrettet. Derfor gælder følgende: F res = Ifølge Newtons 2. lov er F res = a m, hvor a er accelerationen. Hvis dette indsættes i ovenstående formel fremommer: 6 [XI] s [XI] s [V] 7

8 a m = a m m = m a = g Det vil sige at bevægelsens acceleration er onstant nedadrettet. 9 Hvis man ønser at regne på det frie fald uden luftmodstand an man benytte følgende formler: v y = g t + v 0y og y(t) = 2 g t2 + v 0 t + y 0 y(t) er en stedfuntion for et frit fald med onstant tyngdeacceleration g, begyndelseshastigheden v 0y og begyndelsespositionen y 0. v y er den tilhørende hastighedsfuntionen. 0 Frit fald med luftmodstand Når man regner på et frit fald med luftmodstand bliver det stras langt mere ompliceret end uden luftmodstand. Der sal endda anvendes forsellige modeller i forsellige tilfælde. En måde hvorpå man an bestemme hvilen model, der sal bruges i det pågældende tilfælde er Reynolds tal (Reynolds number), der bestemmes på følgende måde: L ρ v Re = η hvor ρ angiver densiteten af det medium, genstanden bevæger sig i, esempelvis luft. η angiver mediets dynamise visositet. 9 [VI] s. 209 og [VII] s [VI] s. 209 [XV] s. 3 8

9 v angiver genstandens hastighed i forhold til mediet. L angiver den arateristis længde af genstanden, det an esempelvis være diameteren for en ugle. Det har vist sig at hvis Reynoldstallet er mindre end en (Re<) er det udmæret at formode at luftmodstanden er proportional med hastigheden. Sal Reynoldstallet være mindre end, sal genstanden enten være yderst lille og ie have for stor hastighed eller befinde sig i en væse med ret stor visositet. Dette vil nærmest aldrig være tilfældet for bevægelse i atmosfæris luft. Befinder Reynoldstallet sig derimod i intervallet fra tusind til trehundredetusind (000<Re<300000) an man med fordel forudsætte at luftmodstanden er proportional med vadratet på farten, det vil sige at luftmodstanden er modsatrettet hastigheden. Forholder det sig sådan at Reynoldstallet ligger i intervallet et til et-tusind (<Re<000) er der tale om en mellemting, hvilet betyder at det er vanseligt at benytte en model. Hveren modellen hvor luftmodstanden er proportional med hastigheden eller modellen hvor luftmodstanden er proportional med vadratet på hastigheden passer tilfredsstillende. Er Reynoldstallet lille er flowet rundt om genstanden laminært, hvormed der menes at der ie dannes en masse hvirvler. Men er Reynoldstallet stort dannes der en masse hvirvler, hvilet aldes turbulent. Frit fald luftmodstand, der er proportional med hastigheden. Hvis vi iagttager det srå ast med hastighedsproportional luftmodstand i et oordinatsystem, vil en genstand i frit fald, der er sendt af sted med en hastighed på v 0 i vinlen α fra. asen til retningen af v 0 aldet elevationsvinlen (af frans: élévation = stigning) 2, være påviret af disse ræfter: 2 [VII] s

10 Billedet er opieret fra ilde [XV] s. 4. Vi ser igen på Newtons 2. lov, der som tidligere nævnt fortæller at: F res = m a altså, at den resulterende raft på genstanden, er lig massen for genstanden gange genstandens acceleration. Hvilet også an srives på følgende måde: d(m v ) dt Dernæst udnytter vi at der gælder følgende: = m dv dt dv dt = v = a Vi an derfor indsætte v på s a plads i formlen = m a = F res F res = m a = m v Den resterende raft i et sråt ast med luftmodstand er tyngderaften minus luftmodstanden. Det an srives på følgende måde: F res = m g v Det er da muligt at opstille følgende differentialligning for det srå ast: m v =, v hvor oordinatsættet til v = v x og oordinatsættet til g = 0 v y g. angiver en luftmodstandparameter for genstanden. Hvis vi indsætter oordinaterne i ovenstående differentialligning, fremommer følgende oordinater: 0

11 m (v x ) = m 0 v x (v x ) = m v x m v y = m ( g) v y v y = m v y g Hvis genstanden befinder sig i (0,0) til tiden t=0 og hastighedsvetoren til samme tidspunt danner vinlen α med -asen, så har vi randbetingelser, hvor r = (x(t), y(t)) er genstandens stedvetor: v x (0) = v 0 cos(α), x(0) = y(0) = 0 v y (0) = v 0 sin(α) Det srå ast er et frit fald i to dimensioner, hvilet betyder at det er nødvendigt at arbejde både med en x- og en y-oordinaten til vetorerne. Men da jeg blot besæftiger mig med det frie fald i en dimension nemlig det lodrette ast, behøver jeg udeluende at arbejde med y-oordinaten: v y = m v y g Denne differentialligning er en. ordens lineær differentialligning på formen y = a y + b der har løsningen: hvor c er en vilårlig onstant. y = c e a t b a, Beviset for samtlige løsninger af differentialligningen y = a y + b an ses i bilag model 2 (+ model ). Samtlige løsninger til differentialligningen v y = m v y g er da v y = c e m t m g. Jeg anvender nu randbetingelserne til at bestemme den vilårlige onstant c: v y = c e m t (indsætter randbetingelserne v y (0) = v 0 sin(α) og t=0) v 0 sin(α) = c e m 0 (lægger m g til på begge sider af lighedstegnet) v 0 sin(α) + = c e 0

12 c = v 0 sin(α) + (e 0 = og c =c) Jeg indsætter nu udtryet for c i v y = c e m t m g : v y = v 0 sin(α) + e m t Vi har nu bestemt hastighedsudtryet for vores genstand. For nu at bestemme stedfuntionen for genstanden, sal udtryet v y integreres, da vi ved at v(t)dt = y(t): v 0 sin(α) + e m t dt ( f(x)dx = f(x)dx) = v 0 sin(α) + = v 0 sin(α) + e m = v 0 sin(α) + m e m t e m t m t dt ( e x dx = ) dt t + c 2 ( m g dt = m g t) Ved integrationen fremommer udtryet: y(t) = m v 0 sin(α) + e m t hvor c 2 er en vilårlig onstant. Ved at benytte randbetingelserne, an onstanten c 2 bestemmes: y(t) = m v 0 sin(α) + e m t t + c 2 t + c 2 (indsætter randbetingelserne y(0)=0 og t=0) 0 = m v 0 sin(α) + e m c 2 (isolerer c 2 ) c 2 = m v 0 sin(α) + 2

13 Konstanten indsættes nu i udtryet: y(t) = m v 0 sin(α) + Vi har nu vores y(t)-udtry. e m t t + m v 0 sin(α) + Frit fald med luftmodstand, der er proportional med vadratet på hastigheden. Ser man en genstand i frit fald, må den resulterende raft på genstanden F res være: F luft = 2 c w ρ A v 2 Hvor 3 c w er formmodstanden også aldet drag oefficient, bestemt af formen og overflade fritionen for genstanden. ρ er mediets densitet. A er genstandens største overfladeareal, vinelret på bevægelsesretningen. v er genstandens hastighed. Dvs. at for en genstand i frit fald, må den resulterende raft på genstanden F res være: Dvs. F res = + F luft F res = + 2 c w ρ A v 2 For at forenle ligningen, indføres onstanten D, der gives ved D = 2 c w ρ A, således at ligningen ommer til at se ud på følgende måde: 3 [X] s. 23 3

14 F res = + D v 2 Ifølge Newtons 2. lov 4 er F res = m a, og i og med at vi ved, at a = dv = v må genstanden i frit fald opfylde følgende differentialligning: dt m v = + D v 2 Jeg indfører størrelsen, som er givet ved = g m D for ganse enelt at oversueliggøre differentialligningen. Ydermere gør indførelsen af mig i stand til at løse differentialligningen. Jeg foretager nu følgende smarte omsrivninger: m v = + D v 2 m v ( ) = D v 2 m v + = D v 2 m v D m v D + g m D = v2 + g m D = v (træer (-m g) fra på begge sider af lighedstegnet) (ophæver minusparentesen) (dividerer med D på begge sider af lighedstegnet) (for at ophæve i 2. på v 2 tager jeg vadratroden på begge sider af lighedstegnet) (størrelsen indsættes i stedet for g m D.) m v D + = v (træer fra på begge sider af lighedstegnet) m v D + = v 4 [VI] s

15 m v D = v m v = D v2 2 m v = (v 2 2 ) D (ophæver vadratroden ved at sætte i 2. på begge sider af lighedstegnet) (ganger med D på begge sider af lighedstegnet) (dividerer med m på begge sider af lighedstegnet) v = v2 2 D m = D m (v2 2 ) Jeg har nu differentialligningen v = D m (v2 2 ), som jeg ønser at løse. For at løse denne må man havde endsab til metoden separation af de variable. Denne sætning er bevist i afsnittet Bevis for separation af de variable. Ovenstående differentialligning er på tilsvarende form som dy = h(x) g(y) eller dx y = h(x) g(y), der jo netop er grundstene i separation ad de variable. Leddene i ovenstående differentialligning svarer til hhv. D m = h(x) og (v2 2 ) = g(y). Da det fremgår af mit bevis at g(y) dy = h(x)dx an jeg omsrive min differentialligning til: (v 2 2 ) dv = D m dt For at bestemme integralet på venstre side er det til stor gavn først at opløse integralet i partialbrøer 5. Det er nemlig væsentlig nemmere at foretage den efterfølgende integrationen, hvis (v 2 2 ) deomponeres til partialbrøer. Jeg fatorisere først nævneren ved at benytte vadratsætningen a 2 b 2 = (a + b) (a b): v 2 2 = (v + ) (v ) dvs. 5 [IX] s

16 v 2 2 = (v + ) (v ) Hele grundidéen med at omsrive til partialbrøer er at omsrive nævneren til en sum af to brøer. I mit tilfælde omsriver jeg nævneren v 2 2 til v + og v. Derfor omsriver jeg på følgende snedige måde: v 2 2 = A v + + B A(v ) + B(v + ) = v v 2 2 = (A v A ) + (B v + B ) v 2 2 = A v A + B v + B v 2 2 Da (A v + B v) A + B (A + B) v A + B = v 2 2 = v 2 2 A + B = 0 A + B = an jeg beregne værdierne af hhv. A og B udtryt ved. Jeg får da to ligninger med 3 ubeendte:. ligning: A + B = 2. ligning: A + B = 0 Jeg isolere B i ligning 2: A + B = 0 B = 0 A = A Jeg indsætter ovenstående på B s plads i ligning og isolere derefter A: A + B = (indsætter B = A) A A = (dividere med på begge sider af lighedstegnet) A A = 6

17 2 A = 2A 2 = 2 A = 2 (dividere med -2 på begge sider af lighedstegnet for af isolere A) Jeg har nu fundet ud af at B = A og at A =. Det vil sige at: 2 B = A = 2 = 2 Jeg ved da at A = 2 B = 2. Jeg indsætter nu A og B i B v + A v+ : B v + A v + = 2 v 2 v + Brøen srevet ud som en sum af partialbrøen er: v 2 2 = 2 v 2 v + Jeg an nu integrere: (v 2 2 ) dv = D m dt Jeg starter med at integrere venstre side, som jeg lige har opløst til partialbrøer: v 2 2 dv = 2 v 2 v + dv Jeg regner nu videre på partialbrøomsrivningen: 7

18 2 v 2 v + dv = 2 v 2 v + dv (sætter ud foran brøerne) 2 ( f(x) ± g(x) dx = f(x)dx ± g(x)dx) = 2 dv v 2 dv v+ (sætter og ud foran integraletegnet da 2 2 regnereglen f(x)dx = f(x)dx for integration gælder) = 2 v dv 2 v + dv = ln( v ) ln ( v + ) 2 2 (ganger = ln( v ) 2 ln( v + ) 2 dx = ln x x ln( v ) og ln ( v + ) op i tælleren på brøerne og ) 2 2 Jeg integrere nu højre side af dv = D dt: (v 2 2 ) m D D t dt = + c, m m hvor c er en tilfældig onstant. Dvs. ln( v ) 2 ln( v + ) 2 = D t m + c (ganger med 2 på begge sider af lighedstegnet) 8

19 ln( v ) ln( v + ) = 2 v D t ln = 2 v + m + c e ln v v+ = e 2 D t m +c v v + = e2 D t m +c D t m + c (ln a = ln(a) ln (b)) b (ganger med e x, da e x og ln(x) ophæver hinanden) Jeg antager nu at min genstand slippes til tidspuntet t=0. Ydermere beregner jeg un løsningen, der går igennem puntet (v,t)=(0,0). v v + = e2 v v + = e2 D t m +c D t m +c (ophæver numeristegnet. Idet indholdet er negativt 0 = = ommer der et minus). 0+ (jeg indsætter nu t=0 og v=0. Når jeg indsætter t=0 i e 2 D t m +c giver hele udtryet 2 D 0 = 0 dvs. det giver m ec ) = = = = e2 D 0 m +c = e c (jeg finder værdien af c. Et hvilet som helst tal x indsat i e x = e c = dvs. c = 0 dvs. bliver nødvendigvis nødt til at være nul) v v + = e2 D t m Jeg isolerer v på følgende måde: 9

20 v v + = e2 v v + v v + = e2 m t D D = e2 m t m t D v = e 2 D m t (v + ) v = v e 2 D m t + e 2 D m t v = v e 2 D m t + e 2 D m t + (ganger med - på begge sider af lighedstegnet) (ganger med v+ på begge sider af lighedstegnet) (ganger parentesen på højre side ud) (lægger til på begge sider af lighedstegnet) (lægger v e 2 D m t til på begge side af lighedstegnet) v + v e 2 D m t = e 2 D m t + (sætter v uden for en parentes (på venstre side)) v + e 2 D m t = e 2 D m t + (sætter uden for en parentes (på højre side)) v + e 2 D m t = e 2 D m t (isolerer v ved at dividerer med + e 2 D m t ) v = e2 m t D + e 2 D m t e m t D e D m t v = e D m t + e D m t (ganger tæller og nævner i brøen med e D m t og sifter fortegn på ) 20

21 (indsætter betydningen af. = g m D ) D g m t D g v = D e e m t D g e m t D g + e m t Srevet som en hyperbols funtion 6 : tanhx = ex e x e x +e x v(t) = D tanh D g m t Ved at integrerer ovenstående hastighedsudtry fremommer stedfuntionen y(t): v(t) = m g D tanh D g t m (integrere v(t)) D tanh D g t dt m (benytter regnereglen for ubestemte integraler om at f(x)dx = f(x)dx) D tanh D g t dt m (integrerer tanh D g m t ved at benytte følgende D D g m integrations reglen for tanh: tanh(a x) = ln (cosh(a x))). a D g ln cosh m t + y 0 (ganger m g D og tælleren på D g m ) D g m dvs. m g D ganges ind i 6 [XVI] under afsnittet Standard algebraic expressions. 2

22 D D g m D g ln cosh m t + y 0 D D g ln cosh D g m t + y 0 m m D D g ln cosh D g m t + y 0 m 2 D 2 ln cosh D g m t + y 0 m g D (jeg opløser vadratrødderne i ved at sætte dem i 2.) D g m (tager vadratroden af tæller og nævner i første brø for at opløse i 2.) m D ln cosh D g m t + y 0 Dvs. y(t) = m D ln cosh D g m t + y 0, hvilet er stedfuntionen, hvor s 0 angiver startpositionen for genstanden. Grænseværdien er da: v(t) for t D Det betyder set med fysierens øjne at den hastighed hvormed en faldende genstand falder på et tidspunt vil blive onstant. Denne onstante hastighed sætter ind i m g, der er det øjebli luftmodstanden bliver stor no til at udligne tyngdefeltets påvirning af genstanden. Som tidligere nævnt bliver accelerationen lig nul når de resulterende ræfter er nul. D 22

23 Forsøg I forbindelse med udarbejdelsen af denne opgave har jeg foretagen en ræe forsøg med frit fald med luftmodstand. Forsøgene sal ansueliggøre det frie fald i et tyngdefelt med luftmodstand. Jeg har valgt af medtage to forsøg i denne opgave. Et hvor luftmodstanden er betragtelig og et hvor luftmodstanden er af mindre betydning. De to forsøg går i al sin enelthed ud på undersøge et lodret ast med hhv. en volleyball og fem æmpeaffefilter. Jeg benyttede en Go!Motion ultralydssensor fra Vernier til at foretage målingerne. Disse målinger blev da indsat i computerprogrammet Logger Pro, der tegner hhv. en v(t)-graf og en y(t)-graf.. forsøg - volleyballen Jeg placerede Go!Motion ultralydssensoren i loftet hvorefter jeg anbragte en volleyball et lille stye under sensoren. Idet jeg gav slip på bolden målte ultralydssensoren hvor langt væ bolden var til de forsellige tider t. Disse data fremgi da i programmet Logger Pro. Ydermere blev følgende grafer tegnet: y(t)-graf (aldes ofte også s(t)-graf): v(t)-graf: 23

24 Jeg benyttede herefter et udsnit af hvert datasæt til at passe en forsrift ind på urven fra ultralydssensoren ved at bruge funtionen Curve Fit i Logger Pro. Datasættet, som jeg udfører beregninger ud fra: Tid [s] Position [m] Hastighed m s 0,6 0,048 0,05,47 0,528 0,,08,009 0,5,046,485 0,2 0,96,965 0,25 0,85 2,455 0,3 0,75 2,94 2. forsøg æmpeaffefiltrene Jeg udførte forsøget på næsten sammen måde som forsøg. Jeg anvendte det samme udstyr, men jeg placerede dog ultralydssensoren på gulvet. Jeg placerede da 5 æmpeaffefiltre lige over sensoren i lidt over 2 meters højde. Herefter slap jeg affefiltrene og ultralydssensoren målte da affefiltrenes højde til tiden t. Igen fremgi datasættet af programmet Logger Pro. Fælgende grafer blev tegnet: y(t)-graf (aldes ofte også s(t)-graf): 24

25 v(t)-graf: Jeg benyttede igen et udsnit af hvert datasæt til at passe en forsrift ind på urven fra ultralydssensoren ved at bruge funtionen Curve Fit i Logger Pro. Datasættet, som jeg udfører beregninger ud fra: Tid [s] Position [m] Hastighed m s

26 Databehandling Efterprøvning af vores teoretise beregninger.. forsøg - volleyball Volleybolden vejer 272,9 g Den en diameter på 2cm. c w -værdien antager jeg er på 0,47. Re = L ρ v η 0,2 m,204 g = m m s,8 0 5 s = N m 2 Da Reynoldstallet befinder sig i intervallet fra tusind til trehundredetusind (000<Re<300000) an man forudsætte at luftmodstanden er proportional med vadratet på farten. Det betyder at det teoretise v(t)-udtry for volleyballen ser ud på følgende måde: v(t) = D tanh D g m t + v 0 Jeg bestemmer filtrenes hastighed til tiden t=0,30 s: Den teoretis beregnede værdi for hastigheden er: 26

27 v(0,30 s) = 2 tanh 2 0,2729g 9,82 m s 2 g,204 m3 0,47 π (0,05m)2,204 g m 3 0,47 π (0,05m)2 9,82 m s 2 0,2729g = 2,867 m s Ligesom før, sammenlignes der med en graf-værdi for datasættet: m 0,30 s + 0,048 s Boldens y(t)-værdi an bestemmes ved: y(t) = m D ln cosh D g m t + y 0 v(0,30s) = 2,846 m s y(0,30 s) = 2 0,2729g g,204 m3 0,47 π (0,05m)2 ln cosh 2 +,6 m = 0,72 m Grafen fra datasættet giver følgende resultat:,204 g m 3 0,47 π (0,05m)2 9,82 m s 2 0,2729g y(0,30 s) = 0,75 m 0,30 s For begge forsøg har jeg beregnet v(t)-værdier og y(t)-værdier tilhørende t-værdierne, der er inluderet i datasættet. Disse beregninger er alle vedlagt som bilag. 27

28 2. forsøg æmpeaffefiltre Datasætter går fra t=0 til t=0,55s. 0 affefiltre vejer 64,28 g. 5 affefiltre må altså veje: 64,28 g 2 = 32,4 g. Jeg har antaget, at affefiltrene har en c w -værdi på 0,5 (det har desværre ie været muligt at finde den rigtige værdi). Desuden har filtrene en diameter på 36 cm. Filtrenes gennemsnitlige hastighed i faldet an aflæses af hældningen på y(t)-grafen, altså 2,80 m s. Reynoldstallet for filtrene an nu bestemmes: L ρ v 0,36 m,204 g Re = = m 3 2,80 m s η,8 0 5 s = N m 2 Da Reynoldstallet befinder sig i intervallet fra tusind til trehundredetusind (000<Re<300000) an man forudsætte at luftmodstanden er proportional med vadratet på farten. Det betyder at det teoretise v(t)-udtry for affefiltrene ser ud på følgende måde: v(t) = D tanh D g m t + v 0 Jeg bestemmer filtrenes hastighed til tiden t=0,55s: Den teoretis beregnede værdi for hastigheden er: v(0,55 s) = 2 tanh 2 0,0324g 9,82 m s 2 g,204 m3 0,5 π (0,8m)2,204 g m 3 0,5 π (0,8m)2 9,82 m s 2 0,0324g m 0,55s = 2,995 s Til sammenligning har jeg fittet en graf på mine datapunter fra forsøget, og får følgende: 28

29 v(0,65s) = 2,428 m s Stedfuntionen for filtrene er nu også endt, og følgende an beregnes for tiden t=0,55s: y(t) = m D ln cosh D g m t + y 0 y(0,55s) = 2 0,0324 g g,204 m3 0,5 π (0,8 m)2 ln cosh 2 +,943 m = 0,869 m,204 g m 3 0,5 π (0,8 m)2 9,82 m s 2 0,0324 g 0,55 s Jeg har igen til sammenligning fittet en graf på mine datapunter. Dataværdien for tiden t=0,55 er således: y(0,55s) = 0,762 m Delonlusion Der er en procentvis afvigelse for volleyballen i højden til tiden t=0,30 seund på 0,85 % fra den teoretise beregning af højden til netop denne tid. Ydermere er der en procentvis afvigelse af hastigheden for volleybal-forsøget på 0,75 % fra den teoretise udregning til tiden t=0,30 seund. Disse meget små afvigelser an syldes at volleyballen ie har en helt jævn overflade, hvilet an give små målefejl fra ultralydssensorens side. Lige så godt gi det dog ie med affefilterforsøget. Afvigelserne er meget store. Den procentvise afvigelse i højden til tiden t=0,55 seund er hele 2,33 % fra den teoretise højde til samme tidspunt. Værre bliver det med hastigheden. Hastigheden af affefilteret afviger 49,29 % fra den teoretise hastighed til tiden t=0,55 seund. Der er i dette forsøg også lidt flere fejlilder en ved volleyball-forsøget, hvilet an være forlaringen på de store afvigelser. Fejlilderne unne esempelvis være at der ie er endsab til drag oefficientens størrelse for et æmpeaffefilter så der er blevet i den teoretise beregning regnet med en formmodstand, der svarer til en egle. Det 29

30 an godt have en relativt stor betydning for resultatet. Ydermere svævede affefiltrene lidt hvilet gjorde det svært at afvile hele faldet lige præcis over hovedet på ultralydssensoren. Og da det an give store udsving i målingerne hvis den faldende genstand ie befinder sig lige præcis over sensoren an det også være medvirende til de store afvigelser. Konlusion Man an opstille en differentialligning ud fra fysise argumenter heriblandt Newtons 2. lov. m v = + D v 2 Det var da muligt at løse ligningen i de 2 tilfælde hvor modstanden er proportional med hhv. v og v 2. For at løse denne differentialligning måtte jeg bevise sætningen separation af de variable. Udledningerne gav en stedfuntion og en hastighedsfuntion i både tilfældet med v og v 2. Differentialligningen giver for v hastighedsudtryet v y = v 0 sin(α) + m g e m t m g og stedfuntionen y(t) = m v 0 sin(α) + m g e m t m g t + m v 0 sin(α) + m g For v 2 er hastighedsudtryet v(t) = m g y(t) = m D ln cosh D g m t + y 0. D tanh D g t + v m 0 og stedfuntionen Mine to forsøg viste begge et reynoldstal der var højere end 000 og derfor var modstanden i begge forsøg proportional med v 2. Forsøget med volleyballen gav et datasæt der var meget sammenligneligt med den teoretise beregninger. De procentvise afvigelser var på under %. Dog var affefilterforsøget mindre overensstemmende med den teoretise beregning. Det syldes no fejlilderne. Så jeg synes, at man på baggrund af denne opgave an onludere at de fremstillede udtry forlarer et lodret asts bevægelse rigtig fint. 30

31 Litteraturliste [I] Albertsen Preben, Søren Andersen Hauge, Vibee Axelsen, Bus Hanne og Nyvad Annette: Formelsamling Kemi A, Kemiforlaget,. udgave 2. Oplag [II] Andersen Eri Strandgaard, Jespersgaard Paul og Østergaard Ove Grønbæ: Databog fysi emi, F & K forlaget, 0. udgave 5. oplag [III] Carstensen Jens og Frandsen Jesper: Matemati 2, Forlaget systime a/s, 985. [IV] Dejgaard Jørgen og Schomacer Gert: Matematis formelsamling stx A, Matematilærerforeningen, [V] DEN STORE DANSKE Gyldendals åbne encylopædi: Tyngdeacceleration, vitation/tyngdeacceleration, 5/2 20. [VI] Elvejær Finn og Benoni Torben: FysiABbogen2, systime,. udgave. oplag [VII] Elvejær Finn og Nielsen Børge Degn: Fysiens Verden 2 Meani, bølger, atom- og ernefysi, Gjellerup & Gad, 989. [VIII] Fysinoter.d: Impuls og raft, 7/2- [IX] Hebsgaard Thomas: Matemati højniveau 2, TRIP, 990. [X] Jaobsen Kurt, Kragelund Jeppe, Rygaard Poulsen Jette og Schmidt Martin: Fysi i overbli ompendium i fysi, Fysiforlaget, 6. udgave

Det skrå kast - med luftmodstand. Erik Vestergaard

Det skrå kast - med luftmodstand. Erik Vestergaard Det srå ast - ed luftodstand Eri Vestergaard Eri Vestergaard www.ateatisider.d Eri Vestergaard, Haderslev 9. Eri Vestergaard www.ateatisider.d 3. Indledning Denne note an danne udgangspunt for et 3g-projet

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Mekanik. Notecentralen. - Indledende niveau - Uden differentialregning. Ole Trinhammer

Mekanik. Notecentralen. - Indledende niveau - Uden differentialregning. Ole Trinhammer Notecentralen Mekanik - Indledende niveau - Uden differentialregning Ole Trinhammer. udgave af første 3 kapitler af Amtrup og Trinhammer Obligatorisk Fysik, Gyldendal Indhold Forord 1 Gode råd til eleven

Læs mere

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo 5.kapitel skrevet af: Jan Philip Solovej Institut for de Matematiske Fag Københavns Universitet Forår 3 På

Læs mere

Tillæg til partikelfysik

Tillæg til partikelfysik Tillæg til partikelfysik Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 015 Forsidebillede er fra CERN s Photo Service og viser CMS detektoren hos CERN. CMS står for Compact

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Løs nu opgaverne i a) brug alt materialet her samt evt. regnearkene i Fronter som hjælp.

Løs nu opgaverne i a) brug alt materialet her samt evt. regnearkene i Fronter som hjælp. Udarbejdet af Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Indhold Introduktion til materialet. s. 2 Introduktion til chi i anden test. s. 4 Et eksempel hastighed og ulykker på motorveje s. 8 Sådan udregnes

Læs mere

INDHOLDSFORTEGNELSE. Side Indledning 2. Kapitel 1 Introduktion til funktioner af 2 variable 3 Niveaukurver 5

INDHOLDSFORTEGNELSE. Side Indledning 2. Kapitel 1 Introduktion til funktioner af 2 variable 3 Niveaukurver 5 INDHOLDSFORTEGNELSE Side Indledning Kapitel 1 Introduktion til funktioner af variable 3 Niveaukurver 5 Kapitel Partiel differentiation og gradienten 7 Kapitel 3 Differentialet 1 Fejlvurdering 13 Tangentplan

Læs mere

Uafhængighed et eksempel på en rød tråd i statistikken

Uafhængighed et eksempel på en rød tråd i statistikken Uafhængighed et eksempel på en rød tråd i statistikken Statistiknoter til TI-Nspire CAS version 3.1 Bjørn Felsager Revideret November 2011 329 Uafhængighed et eksempel på en rød tråd i statistikken Chi-i-anden-testen

Læs mere

Introduktion til den specielle relativitetsteori

Introduktion til den specielle relativitetsteori Introduktion til den specielle relativitetsteori Mogens Dam Niels Bohr Institutet 18. september 2007 7. udgave Denne tekst søger for at dokumentet printer som tiltænkt Forord Denne indføring i den specielle

Læs mere

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse ISBN 978-87-7066-498- Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Læs mere

#$%%&'()*')'*!$+!,-!%&,-.&/!,)(! %0()'*!$+!/&$(.)++&/&'2&!5/&2.6

#$%%&'()*')'*!$+!,-!%&,-.&/!,)(! %0()'*!$+!/&$(.)++&/&'2&!5/&2.6 !!!!!!!""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""! #$%%&'()*')'*!$+!,-!%&,-.&/!,)(! %0()'*!$+!/&$( /&$(1&$/1,-1 2-34(&/!.)++&/&'2&!5/&2.6!5/&2.6! 1,789:;:?!@7>A7

Læs mere

To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 2012 Trykfejl rettet 14. oktober 2013

To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 2012 Trykfejl rettet 14. oktober 2013 To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 01 Trykfejl rettet 14. oktober 013 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 1/0 Indholdsfortegnelse

Læs mere

Det binære talsystem og lidt om, hvordan computeren virker

Det binære talsystem og lidt om, hvordan computeren virker Det binære talsystem og lidt om, hvordan computeren virker Det binære talsystem...2 Lidt om, hvorledes computeren anvender det binære talsystem...5 Lyst til at lege med de binære tal?...7 Addition:...7

Læs mere

Hvad er tal? Af Terese M. O. Nielsen

Hvad er tal? Af Terese M. O. Nielsen Hvad er tal? Af Terese M. O. Nielsen Hvad er tal?... 5 Indledning... 5 Emner - 1g... 6 Regning - tal og repræsentationer af tal... 6 Litteratur... 6 Potenstal - definitioner og beviste sandheder... 6 Oversigt

Læs mere

HVOR SIKKER ER ASSYMETRISK KRYPTERING? Nat-Bas Hus 13.2 1 semesters projekt, efterår 2004 Gruppe 12

HVOR SIKKER ER ASSYMETRISK KRYPTERING? Nat-Bas Hus 13.2 1 semesters projekt, efterår 2004 Gruppe 12 HVOR SIKKER ER ASSYMETRISK KRYPTERING? Nat-Bas Hus 13.2 1 semesters projekt, efterår 2004 Gruppe 12 Udarbejdet af: Vejleder: Tomas Rasmussen Mads Rosendahl. Abstract Dette projekt har til formål at undersøge

Læs mere

Hvad er matematik? Grundbog. Bjørn Grøn Bjørn Felsager Bodil Bruun Olav Lyndrup. L&R Uddannelse

Hvad er matematik? Grundbog. Bjørn Grøn Bjørn Felsager Bodil Bruun Olav Lyndrup. L&R Uddannelse 0. Hvad er matematik? Hvad er matematik? C Grundbog Bjørn Grøn Bjørn Felsager Bodil Bruun Olav Lyndrup L&R Uddannelse 1 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Forord.........................................................

Læs mere

Statistik. Erik Vestergaard

Statistik. Erik Vestergaard Statistik Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematiksider.dk Erik Vestergaard www.matematiksider.dk 3 1. Grupperede observationer I statistik beskæftiger man sig med indsamling, bearbejdelse og

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Hvordan Kepler fandt sine love

Hvordan Kepler fandt sine love Hvordan Kepler fandt sine love stronomerne forstod ikke at overmande denne krigsgud (Mars). Men den fortræffelige hærfører Tycho har under 0 års nattevågen udforsket al hans krigslist; og jeg omgik ved

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Den lille hjælper. Krogårdskolen. Hvordan løses matematik? Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9.

Den lille hjælper. Krogårdskolen. Hvordan løses matematik? Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9. Den lille hjælper Krogårdskolen Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9. klasse Hvordan løses matematik? Positionssystem... 4 Positive tal... 4 Negative tal... 4 Hele tal...

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Matematisk modellering: Hvor tidligt står Venus op?

Matematisk modellering: Hvor tidligt står Venus op? Matematisk modellering: Hvor tidligt står Venus op? Kasper Bjering Søby Jensen, ph.d. studerende i matematikkens didaktik ved Roskilde Universitet I LMFK bladet 2/2012 bragtes artiklen Anvendelse og modellering

Læs mere

Software version 3.6. Eksempelsamlingen 1. del: Introduktion til værkstederne

Software version 3.6. Eksempelsamlingen 1. del: Introduktion til værkstederne Software version 3.6 Eksempelsamlingen 1. del: Introduktion til værkstederne Eksempelsamlingen 1. del Introduktion til værkstederne Copyright december 2013 by Texas Instruments Eksempelsamlingen vedligeholdes

Læs mere

AFFINE KRYPTOSYSTEM. Programmering og Talteori med TI-Nspire. Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen. Haslev Gymnasium og HF Juli 2009 03-07-2009 12:15

AFFINE KRYPTOSYSTEM. Programmering og Talteori med TI-Nspire. Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen. Haslev Gymnasium og HF Juli 2009 03-07-2009 12:15 AFFINE KRYPTOSYSTEM Programmering og Talteori med TI-Nspire Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen Haslev Gymnasium og HF Juli 2009 03-07-2009 12:15 Forord Indholdsfortegnelse Forord... 3 1. Introduktion til

Læs mere

Forældres brug af tid og penge på deres børn. Jens Bonke

Forældres brug af tid og penge på deres børn. Jens Bonke Forældres brug af tid og penge på deres børn Jens Bonke Forældres brug af tid og penge på deres børn Rockwool Fondens Forskningsenhed og Syddansk Universitetsforlag 2009 GRAFISK TILRETTELÆGGELSE: Kim Lykke

Læs mere

EKSPERIMENTELLE BEVISER

EKSPERIMENTELLE BEVISER kapitel 4 EKSPERIMENTELLE BEVISER Der er et væld af, hvad man kunne kalde eksperimentelle beviser for, at relativitetsteorien er korrekt. Når jeg skriver beviser i anførelsestegn, er det i tråd med den

Læs mere