Differential- regning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Differential- regning"

Transkript

1 Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul

2 Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7 Differentialregning del udgave 6 6 Karsten Juul Dette hæfte kan downloades fra wwwmatdk Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren med det samme sender en til som dels oplyser at dette hæfte benyttes, dels oplyser om hold, lærer og skole

3 Tretrinsreglen Definition af differentialkvotient Oplæg Figur a viser en interaktiv figur med grafen for funktionen (*),75,5 Linjen m er tangent til grafen for f () i grafpunktet med førstekoordinat Linjen l går gennem grafpunkterne med førstekoordinater og Man kan trække det hvide punkt frem og tilbage på førsteaksen og derved ændre tallet l går gennem punkterne (, y) (, f () ) og (, y ) (,75, f (,75) ) så l 's hældningskoefficient er y y f (,75) f (),75 hvilket er lig tallet på figur a,75 På figur b er så nær at l 's hældningskoefficient er næsten den samme som hældningskoefficienten for tangenten m Tangenthældningen f () er grænseværdien af l 's hældningskoefficient når går mod (c) Definition Ved differentialkvotienten f ( ) af en funktion f () i et tal forstås grænseværdien for gående mod af hældningskoefficienten for linjen gennem grafpunkterne med førstekoordinater og Med symboler kan denne definition skrives sådan: f ( ) lim f ( ) () f () l () f () f ( ) l,75 l 's hældn,75 m () Figur a,5 l 's hældn,75 m () Figur b Differentialregning Side 59 6 Karsten Juul

4 Øvelse (a) På figur a skærer l grafen i to punkter Beregn andenkoordinaten til hvert af disse punkter (b) Beregn hældningskoefficienten for linjen l på figur b (c) I tidligere afsnit har du (uden bevis) fået oplyst nogle formler der kan bruges til at beregne differentialkvotienter Brug disse til at beregne hældningskoefficienten for tangenten m i ramme Tretrinsreglen Oplæg Vi vil bruge definition c til at beregne hældningskoefficienten f () for tangenten m i ramme Dette gør vi i tre trin: () Grafpunkterne med førstekoordinater og har andenkoordinater, 5 og,75,5 Linjen l gennem disse to punkter har derfor hældningskoefficienten (,75,5 ),5 () Vi får lommeregneren til at reducere dette udtryk (se figur d) og får at det er lig,5 (,5) () Med metoden fra ramme 9 får vi at for gående mod er grænseværdien af l 's hældningskoefficient lig,5 (,5),75 Hældningskoefficienten f () for tangenten m er altså, 75 Figur d (e) Metode (tretrinsreglen) Differentialkvotienten f ( ) for en funktion f () i et tal kan bestemmes ved at gennemføre følgende tre trin: () Opskriv udtrykket for hældningskoefficienten for linjen gennem f-grafens punkter med førstekoordinater og () Omskriv udtrykket fra () så man kan bestemme dets grænseværdi for gående mod () Bestem denne grænseværdi Denne grænseværdi er f ) ( Differentialregning Side 6 6 Karsten Juul

5 4 Øvelse Gennemfør det der er beskrevet i oplægget i ramme 5 Kontinuerte funktioner (f) Regel Eksempel Da er Et regneudtryk med en variabel som er opbygget af de "sædvanlige" symboler, er kontinuert i enhver værdi af hvori udtrykket er defineret ( ) ( ) ( ) lim ( ) ifølge metoden fra ramme 9 For ifølge denne metode er grænseværdien lig værdien af for, da er kontinuert i 6 Øvelse (a) Bestem grænseværdien af (b) Bestem (c) Bestem lim ( ) lim 8 ( + ) for gående mod 7 Øvelse Brug tretrinsreglen (e) til at bestemme differentialkvotienten i 4 af Husk at du evt kan lade lommeregneren foretage reduktionen i trin () 8 Øvelse Brug tretrinsreglen (e) til at bestemme differentialkvotienten i af Differentialregning Side 6 6 Karsten Juul

6 9 Øvelse Brug tretrinsreglen (e) til at bestemme differentialkvotienten f ) for funktionen ( Differentiable funktioner Oplæg Vi vil forsøge at bestemme differentialkvotienten for tretrinsreglen: i ved hjælp af () Hældningskoefficienten for linjen gennem f-grafens punkter med førstekoordinater og er f ( ) () Vi lader lommeregneren reducere dette udtryk for hældningskoefficienten Vi får at vide at hældningskoefficienten er lig sign( ), dvs den er når er negativ, og når er positiv () Da hældningskoefficienten er når er negativ, og når er positiv, har den ikke nogen grænseværdi for gående mod Altså har ikke en differentialkvotient i (g) Definition af differentiabel funktion Man siger at en funktion f () er differentiabel i et tal hvis f ( ) hældningskoefficienten for linjen gennem grafpunkterne med førstekoordinater og har en grænseværdi for gående mod Øvelse (a) Forsøg at bestemme differentialkvotienten for i ved hjælp af tretrinsreglen f () (b) Hvorfor har hældningskoefficienten ikke en grænseværdi for gående mod? Differentialregning Side 6 6 Karsten Juul

7 Hvis differentiabel, så kontinuert Oplæg På figur h er tegnet grafen for en funktion f () som ikke er kontinuert i 4 Desuden er tegnet linjen l gennem grafpunkterne med førstekoordinater 4 og Det ses at hældningskoefficienten (*) f (4) 4 for l kan vi gøre så stor det skal være ved at vælge tæt nok på 4 Altså har (*) ikke nogen grænseværdi for gående mod 4, så f () er ikke differentiabel i 4 Figur h Hvis vi tegner grafen for en anden funktion f () der ikke er kontinuert i et tal, kan vi på lignende måde indse at funktionen heller ikke er differentiabel i tallet Der gælder: Hvis f () ikke er kontinuert i, så kan f () heller ikke være differentiabel i Dette er udtrykt i følgende sætning: (i) Sætning Når f () er en funktion, og er et tal, gælder Hvis f () er differentiabel i, så er f () kontinuert i Øvelse Vedr figur h f (4) (a) Bestem hældningskoefficienten for l når er 4, 5 og når er 4, 4 f (4) (b) Hvor tæt skal være på 4 for at er over? 4 Differentialregning Side 6 6 Karsten Juul

8 Formler for differentialkvotienter Differentialkvotient for (a) Sætning Når, gælder for ethvert tal at Bevis (* ) f () er differentiabel i og ( f ( ) ** ) For ethvert tal gælder at linjen gennem grafpunkterne med førstekoordinater og har hældningskoefficienten ( + )( ) + Da + er kontinuert i, har hældningskoefficienten en grænseværdi for gående mod (ifølge metoden fra ramme 9) Altså er (*) bevist Grænseværdien er værdien af + for, dvs + Altså er (**) bevist Øvelse (Uden hjælpemidler) (a) Udregn ( )( + + ) (b) Sætningen og beviset i ramme drejer sig om sætning med bevis der drejer sig om udtrykket for hældningskoefficienten Skriv en tilsvarende Brug svaret på (a) når du skal reducere Differentialregning Side 64 6 Karsten Juul

9 Differentialkvotient for a (b) Sætning For ethvert reelt tal a gælder: Hvis a så er a a Eksempel Hvis fås af sætning (b) at f ( ) Eksempel Vi vil finde differentialkvotienten for f Da ( ) fås Eksempel Vi vil finde differentialkvotienten af Da fås f ( ) 4 Øvelse Brug (b) til at bestemme differentialkvotienterne for følgende funktioner:,6, g ( ) og h( ),6 Differentialregning Side 65 6 Karsten Juul

10 5 Differentialkvotienten af og (c) Sætning Hvis så er Bevis Da f ( ) f ( ) kan vi bruge reglen for differentialkvotient af potens (regel b): hvilket skulle bevises (d) Sætning Bevis Hvis så er f ( ) Da kan vi bruge reglen for differentialkvotient af potens (regel b): f ( ) hvilket skulle bevises 6 Oversigt over differentialkvotienter f () f () k a a a f () f () a e k e ln a ln a e k k e cos sin sin cos Differentialregning Side 66 6 Karsten Juul

11 Regneregler for differentialkvotienter Differentialkvotient af f + g (a) Sætning om differentialkvotient af sum Bevis Hvis () to funktioner f () og g () er differentiable i et tal gælder: () Summen h ( ) + g( ) er differentiabel i, og () h ) f ( ) + g ( ) ( Linjen gennem h-grafens punkter med førstekoordinater og har hældningskoefficienten h (4) ( ) h ( ) ( + g( )) ( f ( ) + g( )) f ( f ( (5) + g( ) g( ) ) ) g( ) g( ) + Ifølge () har hvert af leddene i (5) en grænseværdi for gående mod Så må (4) også have dette, dvs vi har bevist () De to led i (5) har grænseværdierne f ( ) og g ( ), så udtrykket (5) må have grænseværdien f ( ) + g ( ) Dette er altså grænseværdien af (4), dvs vi har bevist () Øvelse (a) Brug (a) og 6 til at bestemme differentialkvotienten af hver af følgende: ln + e, (b) Bestem h () når h( ) + ln g ( ) +, p ( ) e + 6 og r( ) + e Differentialregning Side 67 6 Karsten Juul

12 Øvelse (a) Gæt ud fra tabellen grænseværdien af u ( ) for gående mod 4 (b) Gæt ud fra tabellen grænseværdien af u ( ) for gående mod 4 (c) Udfyld tabellens sidste række u ( ) + u ( ) : (d) Gæt ud fra den sidste række grænseværdien af u ) + u ( ) for gående mod 4 ( (e) Erstat tallene i tabellen med andre så der når går mod 4 gælder at summen af grænseværdierne af u ( ) og u ( ) er forskellig fra grænseværdien af u ) + u ( ), eller sig at det ikke kan lade sig gøre ( :,9,95,98 u ( ) :,5,, u ( ) : 5, 5,5 5, 4 Differentialkvotient af k f (b) Sætning om differentialkvotient af konstant gange funktion Hvis () en funktion f () er differentiabel i et tal og k er en konstant gælder: () Produktet h( ) k er differentiabelt i, og () h ) k f ( ) ( Eksempel Vi vil bestemme differentialkvotienten af Da og differentialkvotienten af er, fås af () i (b) at f ( ) Bemærk I () ovenfor står der k, der står ikke differentialkvotienten af k Hvis vi i eksemplet skulle have skrevet differentialkvotienten af, var resultatet blevet Hvis vi skal finde differentialkvotienten af g ( ) +, så skal vi derimod skrive differentialkvotienten af, altså Dette følger af () i sætning (a) Der gælder altså g ( ) + Differentialregning Side 68 6 Karsten Juul

13 5 Øvelse I ramme beviste vi sætning (a) ved hjælp af tretrinsreglen Sætning (b) kan bevises på lignende måde Gør det 6 Øvelse Brug (a), (b) og 6 til at bestemme differentialkvotienten for hver af følgende funktioner ln 4 ln, g( ) 4 + ln og h ( ) 4 7 Differentialkvotient af f g (c) Sætning om differentialkvotient af differens Hvis () to funktioner f () og g () er differentiable i et tal gælder: () Differensen h( ) g( ) er differentiabel i, og () h ) f ( ) g ( ) ( 8 Øvelse Sætning (c) kan bevises ved hjælp af tretrinsreglen på næsten samme måde som sætning (a) blev bevist, men du skal ikke bevise (c) på denne måde Du skal bevise (c) uden at bruge tretrinsreglen Det skal du gøre ved at bruge sætningerne (a) og (b) 9 Øvelse Brug (a), (b), (c) og 6 til at bestemme differentialkvotienten for hver af følgende funktioner ln, Øvelse (Uden hjælpemidler) g( ) e +, h( ) 4 ln Bestem en ligning for tangenten til grafen for funktionen + i punktet P (, f ()) Differentialregning Side 69 6 Karsten Juul

14 Differentialkvotient af f g (d) Sætning om differentialkvotient af produkt Bevis Hvis () to funktioner f () og g () er differentiable i et tal gælder: () Produktet h( ) g( ) er differentiabelt i, og () h ) f ( ) g( ) + f ( ) g ( ) ( Linjen gennem h-grafens punkter med førstekoordinater og har hældningskoefficienten h (4) ( ) h ( ) (5) g( ) f ( ) g( ) g( ) f ( ) g( ) + f ( ) g( ) f ( ) g( ) ( f ( )) g( ) + f ( ) ( g( ) g( )) f ( For gående mod gælder: ) g( ) g( ) g( ) + f ( ) Grænseværdierne af de to brøker i (5) er hhv f ) og g ) ifølge () Grænseværdien af g () er g ) da g () er kontinuert ifølge () ( Grænseværdien af f ) er f ) da f ) er en konstant ( ( Altså har (4) grænseværdien f ) g( ) + f ( ) g ( ), dvs () og () er bevist ( ( ( I tælleren er tilføjet f ) g( ) + f ( som er ( ) g( ( ) Øvelse Brug (d) til at bestemme differentialkvotienten for hver af følgende funktioner: ln og g( ) ( + ) e Differentialregning Side 7 6 Karsten Juul

15 Differentialkvotient af sammensat funktion Øvelse Der er givet funktionerne og g ( ) + (a) Bestem g () og f ( g() ) (b) Bestem g () og f ( g() ) (c) Bestem (t) f g(t) g og ( ) Øvelse Bestem f ( g() ) i hvert af følgende tilfælde: () ln( ) og g( ) () e og g ( ) + Definition af sammensat funktion (a) Definition Lad f () og g () være funktioner Man benytter følgende sprogbrug: f ( g() ) er en sammensat funktion hvor f () er den ydre funktion, og g () er den indre funktion Eksempler Hvis g ( ) og ( ) 8 Hvis g ( ) og I den sammensatte funktion ( ) f, så er ( g( ) ) 8 f, så er ( g( ) ) ( ) f er den indre funktion, og den ydre Bemærk at 'et i ikke er det der står i Man kunne have brugt forskellige bogstaver for de to 'er 4 Øvelse Angiv indre og ydre funktion for hver af følgende sammensatte funktioner: ( e ) +, g( ),7 e og ( ) ln( + ) h Differentialregning Side 7 6 Karsten Juul

16 5 Øvelse På hovedskærmen (den der fås frem ved at taste HOME ) kan man (som bekendt) bestemme en differentialkvotient ved hjælp af det blå d over 8-tallet F fås differentialkvotienten af hvis man skriver d(^,) og taster ENTER (a) Angiv differentialkvotienten for hver af funktionerne e, e + 5, e + 5 og e + Formuler en regel for at bestemme differentialkvotienter for funktioner af denne type Kontrollér om reglen også gælder når konstanterne er negative, og når konstanterne ikke er hele tal (b) Angiv differentialkvotienten for hver af funktionerne ln( ), ln( + ), ln( + 5), ln( + 5) Formuler en regel for at bestemme differentialkvotienter for funktioner af denne type Kontrollér om reglen også gælder når konstanterne er negative, og når konstanterne ikke er hele tal (c) Angiv differentialkvotienten for hver af funktionerne 4, ( +) 4, ( +5) 4 og ( +5) 4 Formuler en regel for at bestemme differentialkvotienter for funktioner af denne type Kontrollér om reglen også gælder når konstanterne er negative, og når konstanterne ikke er hele tal (d) Forestil dig at der i lommeregneren var indbygget to funktioner bip og pip hvor bip ( ) pip( ) Gæt differentialkvotienten af bip( a+ b) ved at sammenligne med dine svar på (a), (b) og (c) 6 Øvelse I tabellerne er funktionsværdierne afrundet til decimal Hvis der havde været flere decimaler, ville man kunne se at f-grafen og g-grafen krummer, 8, 9,,, g (), 6, 8,,, 4, 8, 9,,, f (), 4, 7,, 6, 9,, h ( ) f ( g( )) (a) Angiv skønnede værdier for g () og f () (b) Udfyld de tomme pladser i f ( g( )) -tabellen (c) Angiv skønnede værdier for () f g() h og ( ) Differentialregning Side 7 6 Karsten Juul

17 7 Øvelse (a) Om to funktioner f () og g () er oplyst at f ( 5) 4 og g ( ) Skriv tilnærmede værdier for de manglende funktionsværdier i f-tabellen og g-tabellen (b) Udfyld den tredje tabel, 8, 9,,, g () 5, 4, 8 4, 9 5, 5, 5, f () 7,, 9,, h ( ) f ( g( )) (c) Angiv en skønnet værdi for () f h (d) Udregn ( g( ) ) g () 8 Oplæg om differentialkvotient af sammensat funktion For at fremstille en vare skal man taste højden h i mm Prisen i kr afhænger af varens bredde b i mm Vi betragter følgende tre funktioner: br( h) bredde når højde er h, pr( b) pris når bredde er b, ( br( h) ) pris når højde er h PR( h) pr Når højde er mm, er bredde 9 mm, dvs br ( ) 9 Når højde er mm så øges bredde med mm hver gang højde øges mm, dvs b r ( ) Når bredde er 9 mm så øges pris med,5 kr hver gang bredde øges mm, dvs p r ( 9),5 Vi kan slutte at når højde øges mm, så øges pris i kr med (*),5 dvs P R ( ) Udregningen (*) kan også skrives Vi ser at r ( 9) br () r p eller p r ( br( ) ) b () ( br( h) ) br ( h) PR ( h) p r Differentialregning Side 7 6 Karsten Juul

18 9 Differentialkvotient af sammensat funktion (b) Sætning Hvis g () er differentiabel i og f () er differentiabel i g ( ) og funktionen ( ) f ( g( ) ) h er differentiabel i ( g( )) g ( ) h ( ) f, gælder at Eksemler på brug af sætning b Eksempel Vi vil bestemme differentialkvotienten af ln( + ) Det ses at ( g( )) h hvor h ( ) ln( ) og g ( ) + Da h ( ) og g ( ) er f ( ) h ( g( ) ) g ( ) g( ) + Eksempel Vi vil bestemme differentialkvotienten af Det ses at Da er + p ( ) 4( ) ( q( )) p ( ) r hvor r ( ) 4 + og q( ) r ( ) og q ( ) ( q( ) ) q ( ) ( q( ) ) ( ) ( ) p ( ) r Differentialregning Side 74 6 Karsten Juul

19 Øvelse Brug sætning b til at bestemme differentialkvotienten for hver af følgende funktioner: ln(4 ), g ( ) ( + + ), h ( ) + 4 Øvelse (Uden hjælpemidler) Bestem en ligning for tangenten til grafen for funktionen P (, f ( )) + i punktet Oversigt over regneregler for differentialkvotienter h () h () + g( ) f ( ) + g ( ) g( ) f ( ) g ( ) k f () k f () g( ) f ( ) g( ) + g ( ) g( ) f ( ) g( ) g ( ) ( g( ) ) f ( g() ) f ( g( ) ) g ( ) Differentialregning Side 75 6 Karsten Juul

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Øvelser. Differentialregning for gymnasiet og hf Karsten Juul. til hæftet

Øvelser. Differentialregning for gymnasiet og hf Karsten Juul. til hæftet Øvelser til hæftet Differentialregning fr gymnasiet g hf f () t s f f () 00 Karsten Juul Øvelserne i dette hæfte får eleverne til at pdage hvad det er der fregår i differentialregningen Dette pnår man

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

M A T E M A T I K A 2

M A T E M A T I K A 2 M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1)

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1) Matematik B2 Mike Auerbach (2) f a b () Matematik B2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

M A T E M A T I K B 2

M A T E M A T I K B 2 M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2 PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Trine Eliasen

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik, niveau

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

matx.dk Mikroøkonomi

matx.dk Mikroøkonomi matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Udforskning af differentiationsjunglen

Udforskning af differentiationsjunglen Matematik side 1/7 Udforskning af differentiationsjunglen Vi vil nu undersøge de svar Derive fremkommer med når vi be r maskinen om at differentiere! Hvad der gemmer sig bag ordet vender vi tilbage til

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Differentialregning ( 16-22)

Differentialregning ( 16-22) Differentialregning ( 16-22) 16-22. Side 1 Opgaver med rødt nummer er opgaver der går ud over B-niveauet. 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5)

Læs mere

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul Vektorer i planen Et oplæg 3 4 4 2 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der skal gennemgås før man begynder på en lærebogs fremstilling af emnet vektorer. Formålet med øvelserne er

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 side Der undervises efter: AB Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik AB ( Forlaget HAX) B2 Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik B2 ( Forlaget HAX) EKS Knud

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2015 Institution VUC Vest, Stormgade 47, 6700 Esbjerg Uddannelse HF net-undervisning, HFe Fag og niveau

Læs mere

Differentialligninger med TI-Interactive!

Differentialligninger med TI-Interactive! Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2014 Studenterkurset

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Line Dorthe

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

1 Differentialkvotient

1 Differentialkvotient gudmandsen.net Ophavsret Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

UNDERVISNINGSBESKRIVELSE

UNDERVISNINGSBESKRIVELSE UNDERVISNINGSBESKRIVELSE Termin Maj-juni 2014-2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF2 Matematik B Ineta Sokolowski mab2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Mette

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister. 1. Polynomier. 2. Polynomier.

Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister. 1. Polynomier. 2. Polynomier. Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister 1. Polynomier. Redegør for andengradspolynomiets graf og udled en formel for koordinatsættet til parablens toppunkt. 2.

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 5. Differentialregning

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 5. Differentialregning Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kennet Hansen 5. Differentialregning Hvornår skærer graferne for funktionerne ln og inanden? 5. Differentialregning 5. Differentialregning 5. Funktioner

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere