Hvordan Kepler fandt sine love
|
|
- Hilmar Dahl
- 9 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Hvordan Kepler fandt sine love stronomerne forstod ikke at overmande denne krigsgud (Mars). Men den fortræffelige hærfører Tycho har under 0 års nattevågen udforsket al hans krigslist; og jeg omgik ved hjælp af den moderlige jords omløb selv alle hans krumninger (Johannes Kepler, ) Kepler drømte om at finde planeternes sande baner. Han var klar over at det eneste sted han kunne få adgang til præcise data var hos den danske astronom Tycho Brahe (! ), der havde tilbragt tyve år på øen Hven med at udføre omhyggelige målinger af stjernernes og planeternes postioner. I februar 1600 blev Kepler ansat som matematisk assistent hos Tycho Brahe og fik overdraget arbejdet med at udarbejde en beskrivelse for Mars bane, der var lige så præcis som Tycho Brahes målinger, dvs. den skulle kunne gengive Mars position med en nøjagtighed på 4 buesekunder. Kepler bekendtgjorde i sit overmod, at det ville tage ham 8 dage at løse denne opgave. Det skulle imidlertid komme til at tage ham 6 år at løse problemet med at finde en præcis beskrivelse af den sande bane for Mars. Første trin i løsningen af opgaven er en omhyggelig beregning af udvalgte Mars postioner rundt langs banen. Udgangspunktet er omløbstiden for Mars omkring en, som blev fastlagt til 687 dage. Hver gang der går 687 dage er Mars altså tilbage i den samme position i forhold til en. Ved at slå op i Tycho Brahes tabeller med 687 dages mellemrum kunne Kepler derfor finde retningen til såvel en som til Mars på sådanne sammenhørende datoer. Men dermed kunne han også beregne vinklen mellem en og Mars på sådanne sammenhørende datoer: Jorden Mars en Jorden 687 dage senere Keplers bestemmelse af Marspositioner Dermed har han to uafhængige sigtelinjer til Mars set fra Jordens to positioner og kan dermed bestemme Mars position i forhold til Jordens to positioner. Forudsætningen for at kunne gennemføre en sådan beregning er derfor, at Kepler kender Jordens position i forhold til en de pågældende datoer (idet han nok kan slå vinklen op i Tycho Brahes tabeller, men Jordens bane er ikke cirkelformet, så han mangler at kende afstanden). Kepler tog her udgangs punkt i en simpel men velprøvet model for Jordens bane omkring en. I denne model er Jordens bane omkring en nok cirkelformet, men en ligger ikke i centrum for banen. I stedet flyttes en ud til et punkt som ligger 0,018 astronomiske enheder fra centrum. Forholdet mellem ens afstand til centrum og Jordens afstand til centrum er altså 0,018. Dette kaldes ens excentricitet e. (Den moderne værdi for excentriciteten er e 0,0167). 1
2 Jord radius astronomisk enhed 0,018 E C Vinklen vokser jævnt Keplers model for Jordens bane Lige modsat en ligger ens antipunkt, og det er omkring dette punkt Jorden roterer med konstant vinkelhastighed. Herved opnåede Kepler, at Jorden bevæger sig hurtigst, når den er tættest på en (i perihelet) og langsomst, når den er fjernest fra en (i aphelet). Modellen gør også rimeligt rede for forskellen i længden af de fire årstider. Selvom vi nu ved, at modellen er forkert, var den altså i så god overensstemmelse med Tycho Brahes data at den ikke forstyrrede de følgende beregninger. På basis af denne model for Jordens bane som altså tillod Kepler at finde Jordens position i forhold til en på et vilkårligt tidspunkt bestemte Kepler nu en lang række positioner for Mars rundt langs banen. Med disse positioner som udgangspunkt blev det klart, at Mars ikke følger en cirkelbane, men nok en oval bane med to symmetriakser og et centrum: Mars b 0,99573a 0,096a a 1,5 E Keplers ovalbane for Mars Forholdet mellem lilleaksen b og storeaksen a kunne Kepler bestemme til b a 0,99573
3 Ydermere stod det klart fra begyndelsen at en ikke lå i centrum for den ovale bane, men forskudt langs storeaksen med en excentricitet givet ved e 0,096, dvs. forholdet mellem ens afstand til centrum og den halve storeakse a er netop givet ved dette tal: e SC a (Den moderne værdi er givet ved 0,0934). I begyndelsen prøvede Kepler nu sig frem med forskellige former for banebeskrivelser baseret på ideen om epicykler, dvs. han lod et fiktivt centrum C * bevæger sig rundt på ovalens omskrevne cirkel og lod så Mars bevæge sig rundt på en eller flere cirkler med centrum i C *. C* Mars Keplers epicykelmodel for Marsbanen 3
4 Keplers første lov: Den første ligning Keplers originaltegning af modellen for Marsbanen Efter fire års forgæves beregninger måtte han imidlertid indse, at han ikke kunne komme videre med epicyklerne. f kringlede omveje gjorde han nu i stedet en bemærkelsesværdig iagttagelse i sin jagt på at forstå ovalens form. Mars b 0,99573a 0,096a Keplers første bemærkelsesværdige iagttagelse Ved at beregne afstanden fra en til Mars på det tidspunkt, hvor Mars krydser lilleaksen opdagede han at afstanden fra en til Mars var endog meget tæt på den halve storeakse: SM (0,096a) + (0,99573a) 1, 00003a a 4
5 Men det er en meget vigtig ledetråd, for blandt alle ovalerne er ellipsen karakteriseret ved at afstanden fra brændpunktet til lilleaksens toppunkt netop er den halve storeakse. Det kunne derfor pege på at baneformen i virkeligheden var elliptisk med en i det ene brændpunkt. Kepler overbeviste nu sig selv om, at ellipsebanen var den søgte kandidat til Marsbanen ved endnu et inspireret gæt: Kepler antog, at det fiktive center C * netop ville passere lilleaksen samtidigt med Mars: C* Mars Keplers anden bemærkelsesværdige iagttagelse Men så er projektionen af forbindelsesstykket mellem en og det fiktive center, dvs. SC * på radius for det fiktive center, dvs. CC * netop lig med den halve storeakse a, dvs. det samme som afstanden fra en til Mars. Kepler fik nu det lykkelige indfald at gætte på, at dette ville være tilfældet overalt langs Mars bane! Projektionen af forbindelsesstykket fra en til det fiktive center C * er netop lig med afstanden fra en til Mars. Kaldes retningsvinklen for den fiktive radius for θ (Keplervinklen) ser vi derfor, at afstanden fra en til Mars er givet ved den simple ligning C* Mars r aecos(θ) θ ae r a ae cos(θ) (Keplers første ligning) 5
6 Spørgsmålet er så blot hvad der fastlægger retningen fra en til Mars. Efter kringlede og endnu flere fejlslagne forsøg gættede Kepler til sidst på, at Mars netop lå på den linje fra det fiktive center C *, der står vinkelret på storeaksen: C* M (a cos(θ), a sin(θ)) (a cos(θ), b sin(θ)) θ S v Keplers model for det fiktive center C * Til sin store glæde opdagede han nemlig, at dette passede perfekt med at banen var en ellipse med en i det ene brændpunkt. I så fald er afstanden fra en til Mars nemlig lig med længden af den tilhørende brændstråle. Men der kender vi jo en simpel formel: r a ex a ea cos(θ) i perfekt overensstemmelse med Keplers første ligning. Vi har her udnyttet, at ellipsen er en fladtrykt cirkel, hvorfor det fiktive center har koordinaterne Mars får så koordinaterne dvs. vi har netop C * ( a cos( θ), a sin( θ)) M ( a cos( θ), b sin( θ)) x a cos(θ) Kepler checkede nu sin ellipsemodel mod Tycho Brahes Marsdata og opdagede at de endelig passede. Overbevist om sin teoris storslåethed overførte han derefter stort set uden videre undersøgelser sin model til alle de øvrige planetbaner, inklusive Jordens bane! Dermed var han nået frem til den første af sine berømte planetlove: 6
7 Keplers første lov: Planeterne bevæger sig i ellipseformede baner omkring en med en i det ene brændpunkt. C* M θ r S fstanden fra en til planeten er givet ved Keplers første ligning r a ae cos(θ) hvor θ er Keplervinklen, dvs. retningsvinklen for den fiktive radius. Bemærkning: I vore dage ville man nok ikke hæfte sig så meget ved den fiktive radius og den tilhørende retningsvinkel θ. I stedet ville man udtrykke afstanden fra en til planeten direkte ved planetens egen retningsvinkel v i forhold til storeaksen. Hertil lægger vi mærke til, at vi har to formler for x-koordinaten til planeten. Dels kan den udtrykkes direkte ved retningsvinklen: x ae + r cos(v) Dels kan den som før udtrykkes ved hjælp af Keplervinklen θ, dvs. der gælder også: Der gælder derfor sammenhængen: x a cos(θ) ae + r cos( v) a cos( θ) r cos( v) a cos( θ) ae er cos( v) aecos( v) ae Sammenligner vi det med Keplers første lov: r a ae cos(θ) ser vi, at de minder meget om hinanden, idet leddet aecos(θ) optræder i dem begge, men med modsat fortegn. Vi kan derfor nemt eliminere dette led: er cos( v) + r ae cos( θ) ae Men så er det jo trivielt at isolere r: + a ae cos( θ) a(1 e ) 7
8 a(1 e ) r 1+ e cos( v) Denne formel har ydermere den fordel at den også gælder for hyperbelbaner og passende omskrevet endda også for parabelbaner. Hertil bemærker vi, at når v 90, så er der netop tale om den halve bredde, dvs. p. Samtidigt er cos(v) 0, hvorfor vi slutter at der må gælde p a(1 e Dermed kan formlen for ellipsen også skrives på formen ) p r 1+ e cos( v) og det er på denne form, den kan anvendes på alle keglesnit! Men som vi skal se er den ikke til nogen hjælp, når vi kommer til Keplers anden lov! 8
9 Keplers anden lov: Den anden ligning Det lykkedes også for Kepler gennem kringlede omveje at fastlægge dynamikken for banebevægelsen. Udgangspunktet var hans primitive cirkelmodel for Jordens bevægelse, der i første omgang også blev brugt på planeterne: Planet Vinklen vokser jævnt C En simpel model for planetdynamik Udgangspunktet var en excentrisk sol med et modsat antipunkt, hvor vinklen til planeten med udgangspunkt i antipunktet vokser jævnt. Det fører til, at planeten bevæger sig langsomst i det fjerneste punkt fra en, dvs. aphelet, og tilsvarende hurtigst i det nærmeste punkt, dvs. perihelet. Det passede fint med en generel observation om planethastighederne, ifølge hvilken de synes at bevæge sig langsommere, jo længere væk de var fra en. Kepler kiggede nu nærmere planetens bevægelse lige i nærheden af aphelet og tilsvarende lige i nærheden af perihelet. I stedet for at kigge på vinklen fra antipunktet, betragtede han nu forbindelseslinjen fra planeten til en: H θ C θ Planet h Kepler opdager arealloven 9
10 Kepler vidste nu, at planeten i det samme lille tidsrum t ville overstryge den samme lille vinkel θ set fra antipunktet. Men så vil de to små retvinklede trekanter (med fælles toppunkt i ) være ligedannede, dvs. højderne h og H vil forholde sig som afstandene til antipunktet: h H R R Re + Re R(1 e) R(1 + e) 1 e 1+ e Ser vi i stedet på forbindelseslinjen til en, ser vi derfor at de tilsvarende retvinklede trekanter (med fælles toppunkt i ens centrum), har samme areal: 1 e 1+ e 1 ½h G ½h R (1 + e) ½H R (1 + e) ½H R (1 e) ½ H g De arealer, der overstryges af forbindelseslinjen til en er derfor lige store. Selv om Kepler kun havde argumenteret for reglen i forbindelse med meget små tidsrum lige omkring aphelet og perihelet udvidede han den til vilkårlige tidsrum overalt langs banen. I stedet for vinklen set fra antipunktet er det altså arealet set fra en, der vokser jævnt. Og selv om cirkelbanen i virkeligheden er er forkert og må erstattes med en ellipsebane, flyttede han blot beskrivelsen med sig over til ellipsen (hvor antipunktets rolle overtages af det andet brændpunkt), og nåede på den måde til sidst frem til den berømte anden lov. Keplers anden lov: Hvis en, der befinder sig i det ene brændpunkt, forbindes med planeten, så vil det overstrøgne areal vokse jævnt med tiden. Da hele ellipsens areal er πab, vil det overstrøgne areal derfor være givet ved formlen overstrøget πab t T hvor T er omløbstiden og t er den tid, der er gået siden planeten startede i perihelet (svarende til retningsvinklen v 0 ). 10
11 Kepler fandt nu en formel for det overstrøgne areal. Keplers arealberegning Først udvides det overstrøgne areal til en hel centralsektor med toppunkt i ellipsens centrum. Det sker ved at tilføje den viste trekant. Dernæst udnyttes det, at ellipsen er en fladtrykt cirkel med fladtrykningsfaktoren a b, hvorfor der må gælde ellipsesektor b a cirkelsektor b a θ π πa 1 θab Det samme gælder for trekanterne: ellipsetre kant b b 1 1 cirkeltrek ant a ae sin( θ) abe sin( θ) a a lt i alt finder vi derfor det følgende udtryk for det overstrøgne areal: overstrøge t 1 1 ellipse trekant θab abe sin( θ) Kombinerer vi de to fundne udtryk for det overstrøgne areal finder vi hermed Keplers anden ligning: πab t T 1 1 π θab abe ( θ) t θ esin( θ) T Læg mærke til at den giver tiden t (fra perihelpassagen) som funktion af Keplervinklen θ. Det ville selvfølgelig være endnu bedre, om vi kunne have fundet Keplervinklen θ som funktion af tiden t. Men det lader sig desværre ikke gøre, da ligningen ikke kan løses eksplicit med hensyn til θ. 11
12 Som det ses af ligningen bevæger det fiktive center C * sig ikke jævnt rundt på cirklen, idet der er en lille korrektion e sin(θ), der skal trækkes fra. Men forskellen er så lille, fordi excentriciteten e er så lille, at vi kan løse ligningen iterativt: θ π t + e sin( θ) T Hvis vi for eksempel vil finde Keplervinklen hørende til en kvart periode, fås derfor i første omgang: π T θ π T 4 Indsættes det nu i den itereative formel fås i første omgang: θ π π π + e sin( ) + e I næste omgang fås så: θ π π + e sin( + e) π + e cos( e) osv. I løbet af gangske få iterationer vil værdien nu stabilisere sig på et bestemt decimaltal. Med e 0,096 fås således: ltså er Keplervinklen givet ved θ (målt i radianer!). Det fiktive center C * befinder sig nu i punktet (a cos(θ), a sin(θ)), mens planeten befinder sig i punktet (a cos(θ), b sin(θ)), og vi er derfor nu i stand til at regne sig frem i hvilken retning set fra Jorden vi skal kigge for at få øje på planeten en kvart periode efter at den har passeret perihelet. Dermed var Kepler nået frem til kronen på sit værk: Han kunne nu opstille planettabeller over ens, månens og planeternes fremtidige positioner med hidtil uset nøjagtighed. Det er yderst bemærkelsesværdigt, at Kepler nåede frem til både at finde en korrekt beskrivelse af baneformen, og af dynamikken for planetens bevægelse rundt i ellipsebanen, på et tidspunkt, hvor den moderne differentialregning ikke var opfundet. Det blev Newton, der senere hen skulle såvel opfinde differentialregningen, som bruge den i forbindelse med sin berømte gravitationslov til at udlede Keplers love på et fysisk grundlag. Men det er en anden historie. 1
Keplers love og Epicykler
Keplers love og Epicykler Jacob Nielsen Keplers love Johannes Kepler (57-60) blev i år 600 elev hos Tyge Brahe (546-60) i Pragh, og ved sidstnævntes død i 60 kejserlig astronom. Kepler stiftede således
Læs mereKeplers Love. Om Kinematik og Dynamik i Renæssancens Astronomi. Folkeuniversitetet 9. oktober 2007
Keplers Love Om Kinematik og Dynamik i Renæssancens Astronomi Folkeuniversitetet 9. oktober 2007 Poul Hjorth Institut for Matematik Danmarke Tekniske Universitet Middelalderens astronomi var en fortsættelse
Læs mereDen syvende himmel. Ib Michelsen. Ikast
Den syvende himmel Ib Michelsen Ikast 2018 Antikken Den syvende himmel Aristoteles Filosof og matematiker (384f.v.t. 322 f.v.t.), Platons elev, samler Antikkens viden op, som senere overtages af og indgår
Læs mereKeplers ellipse. Perihel F' Aphel
Keplers ellipse Keplers udgangspunkt er ellipsen opfattet som en fladtrykt cirkel. Han har selfølgelig stadigæk brug for brændpunkter mm. Konstruktionen af disse er simpel ud fra ellipsens omskrene rektangel.
Læs mereLysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009
Lysets hastighed Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.1.009 Indholdsfortegnelse 1. Opgaveanalyse... 3. Beregnelse af lysets hastighed... 4 3.
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereUdledning af Keplers love
Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg
Læs mereNOGET OM ELLIPSEN. Mogens Esrom Larsen 20. april Institut for Matematiske Fag Matematisk Afdeling Københavns Universitet
Noget om ellisen NOGET OM ELLIPSEN Mogens Esrom Larsen 20. aril 2012 Institut for Matematiske Fag Matematisk Afdeling Københavns Universitet Ellisen som keglesnit. Ellisen er et af de første matematiske
Læs mereBjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003
Keglesnitsværktøjer De følgende værktøjer er beregnet til at tegne keglesnit på forskellig vis, såsom ellipser og hyperbler ud fra centrum, toppunkter, halvakser og lignende. Der er faktisk allerede inkluderet
Læs mereTYCHO BRAHE OG SOLSYSTEMET
TYCHO BRAHE OG SOLSYSTEMET TIL UNDERVISEREN Dette undervisningsmateriale tager udgangspunkt i programserien Store Danske Videnskabsfolk og specifikt udsendelsen om Tycho Brahe. Skiftet fra det geocentriske
Læs mereTrigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet
Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet RT1: fstandsberegning (Fra katederet) 5 RT2: Bold og Glob 6 OT1:Bestemmelse af Jordens radius 9 OT2:Modelafhængighed 11 OT3:fstanden til Månen 12 OT4:Månens
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereVenus relative størrelse og fase
Venus relative størrelse og fase Steffen Grøndahl Planeten Venus er værd at studere i teleskop. Med blot en forstørrelse på 20-30 gange, kan man se, at Venus ikke er punktformet og at den ligesom Månen
Læs mereProjekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje
Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen
Læs mereMatematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.
2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereProjekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning
Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,
Læs mereKeplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre).
Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Johannes Kepler (1571-1630) var på mange måder en overgangsfigur i videnskabshistorien. Han ydede et stort bidrag til at matematisere
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereGeometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit
Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer
Læs mereAfstandsformlen og Cirklens Ligning
Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.
Læs mereProjekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler
Hvad er matematik? Projekter: Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er, at den har et såkaldt
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereIntroduktion til cosinus, sinus og tangens
Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,
Læs mereKometer. Af Mie Ibsen & Marcus Guldager Nordsjællands Grundskole & Gymnasium. http://esamultimedia.esa.int/images/science/rosetta2.
Kometer Af Mie Ibsen & Marcus Guldager Nordsjællands Grundskole & Gymnasium http://esamultimedia.esa.int/images/science/rosetta2.jpg Indholdsfortegnelse side Introduktion... 2 Problemformulering... 2 Baggrund...
Læs mereOpgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.
Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereArbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:
Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius
Læs mereØvelse 1. bygges op, modellen
Johannes Kepler (1571-1630) var på mange måder en overgangsfigur i videnskabshistorien. Han ydede et stort bidrag til at matematisere naturvidenskaberne, og han søgte hele sit liv at finde de fysiske love,
Læs mereProjekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske
Læs mereOle Christensen Rømer 1644-1710
Ole Christensen Rømer 1644-1710 Ole Rømer Født den 25. september 1644 i Kannikegade i Aarhus Boede i en ejendom ved Mindet (nær Åboulevarden 12) Flyttede til en ejendom i Skolegade efter en brand Student
Læs mereDet er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.
Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereVerdensbilleder Side 1 af 7
Verdensbilleder ide 1 af 7 Verdensbilleder A. elvstændigt arbejde som forberedelse: 1. Følgende tekster læses grundigt forud, og der tages notater om personer, årstal, betydningsfulde opdagelser, samt
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMellem stjerner og planeter
Mellem stjerner og planeter Et undervisningsmateriale for folkeskolens 8. til 10. klassetrin om Tycho Brahes målinger af stjernepositioner samt ændringen af verdensbilledet som følge af målingerne. Titelbladet
Læs mereFormelsamling i astronomi. Februar 2016
Formelsamling i astronomi. Februar 016 Formelsamlingen er ikke komplet det bliver den nok aldrig. Men måske kan alligevel være til en smule gavn. Sammenhæng mellem forskellige tidsenheder Jordens sideriske
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mereArealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig
Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs mereFormelsamling i astronomi. November 2015.
Formelsamling i astronomi. November 015. Formelsamlingen er ikke komplet det bliver den nok aldrig. Men måske kan alligevel være til en smule gavn. Sammenhæng mellem forskellige tidsenheder: Jordens sideriske
Læs mereHarmonisk oscillator. Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall
Harmonisk oscillator Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall November 27, 2007 Formål At studere den harmoniske oscillator, som indgår i mange fysiske sammenhænge. Den harmoniske oscillator illustreres
Læs mereKapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).
Læs mereProjekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter
Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af
Læs mereElementær Matematik. Trigonometriske Funktioner
Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Introduktion til ovaler: Ovato Tondo fra Rafaels skole En oval er en lukket krum kurve med to vinkelrette symmetriakser, storeaksen og lilleaksen, og dermed også et symmetricentrum. Der findes mange forskellige
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mere1. En nyttig formel Lad mig uden bevis angive en nyttig trigonometrisk formel, som i dag kaldes for en logaritmisk formel: (1) sin( A) sin( B) = 1 [ cos( A B) cos( A+ B) ] 2 Navnet skyldes løst sagt, at
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereDen Flydende Kran Samson
Den Flydende Kran Samson Formål: Kranen Samson, har en maksimal løfteevne på 900 tons, kranarmen er på 67 meter. Formålet med dette projekt er at løse nogle forskellige opgaver om geometrien for kranen.
Læs mereVinklens påvirkning på skuddet af Claus Kjeldsen
Vinklens påvirkning på skuddet af Claus Kjeldsen Indledning Det er velkendt, at mange skytter skyder over målet, når der skydes i kuperet terræn, eller fra bygninger, hvor man ikke skyder lige på målet
Læs mereTilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.
Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end
Læs mereI kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:
INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en
Læs mereAfstande i Universet afstandsstigen - fra borgeleo.dk
1/7 Afstande i Universet afstandsstigen - fra borgeleo.dk Afstandsstigen I astronomien har det altid været et stort problem at bestemme afstande. Først bestemtes afstandene til de nære objekter som Solen,
Læs mereUser s guide til cosinus og sinusrelationen
User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereMatematikkens mysterier - på et højt niveau. Kenneth Hansen. 5. Kurver og keglesnit
Matematikkens mysterier - på et højt niveau af Kenneth Hansen 5. Kurver og keglesnit 5. Kurver og keglesnit 5.1 Kurver: Parameterfremstilling og ligning 5. Hastighed, acceleration og tangenter 7 5.3 Kurveundersøgelser
Læs mereProjekt 6.5 Ellipser brændpunkter, brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser
Projekt 65 Ellipser brændpunkter brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser Ellipsens ligning undersgte vi kapitel i bog B I det flgende skal vi undersge ellipser som banekurver og vise hvorledes
Læs mereVi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.
Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,
Læs mere5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer
Læs mereπ can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π
can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds
Læs mereSvar på opgave 322 (September 2015)
Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereTeorien. solkompasset
Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................
Læs meregeometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er
Læs mereVenuspassage - en astronomisk meterstok
Downloaded from orbit.dtu.dk on: Dec 19, 2015 Venuspassage - en astronomisk meterstok Linden-Vørnle, Michael Published in: Aktuel Naturvidenskab Publication date: 2012 Document Version Forlagets endelige
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 22. august, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs mereGrafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer
Grafværktøjer til GeoMeter Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Når man installerer GeoMeter på sin maskine følger der en lang række specialværktøjer med. Men det er også muligt at skræddersy sine
Læs mere1 Geometri & trigonometri
1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereIb Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1
Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er
Læs mereResonans 'modes' på en streng
Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.
Læs mere20 = 2x + 2y. V (x, y) = 5xy. V (x) = 50x 5x 2.
17 Optimering 17.1 Da omkræsen skal være 0cm har vi at 0 = x + y. Rumfanget V for kassen er en funktion der afhænger af både x og y givet ved V (x, y) = 5xy. Isolerer vi y i formlen for omkredsen og indsætter
Læs mereDenne pdf-fil er downloadet fra Illustreret Videnskabs website (www.illvid.dk) og må ikke videregives til tredjepart.
Kære bruger Denne pdf-fil er downloadet fra Illustreret Videnskabs website (www.illvid.dk) og må ikke videregives til tredjepart. Af hensyn til copyright indeholder den ingen fotos. Mvh Redaktionen Nye
Læs mereEksperimentel Matematik
Eksperimentel Matematik 4 bidrag Ib Michelsen 2007 Trekanter - der ligner hinanden Ib Michelsen VUC Skive-Viborg ib.michelsen@mimimi.dk Geometri C 2 6 timer Faglige mål Ensvinklede og ligedannede trekanter
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs merecvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty
cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11
Læs mereProblemløsning i retvinklede trekanter
Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug
Læs mereMånedens astronom februar 2006 side 1. 1: kosmologiens fødsel og problemer
Månedens astronom februar 2006 side 1 Verdensbilleder * Det geocentriske * Det geo-heliocentriske * Det heliocentriske 1: kosmologiens fødsel og problemer Astronomien er den ældste af alle videnskaber
Læs mereGeometri, (E-opgaver 9d)
Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige
Læs mereProjekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten
Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Midtnormalerne i en trekant Konstruer et linjestykke (punkt-menuen) og navngiv endepunkterne A og B (højreklik og vælg: Etiket), dvs. linjestykket betegnes AB.
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)
Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,
Læs mere1. En nyttig formel Lad mig uden bevis angive en nyttig trigonometrisk formel, som i dag kaldes for en logaritmisk formel: (1) sin( A) sin( B) = 1 [ cos( A B) cos( A+ B) ] 2 Navnet skyldes løst sagt, at
Læs mereMellem stjerner og planeter
Mellem stjerner og planeter Et undervisningmateriale for gymnasieklasser om begrebet parallakse og statistik. Titelbladet fra Tycho Brahes bog De Nova Stella, udgivet i 1573. Oversat fra latin står der
Læs mereVejledende besvarelse
Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer
Læs mereDifferentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P
Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene
Læs mereDimissionstale 26. juni 2015 ved rektor Hanne Hautop
Dimissionstale 26. juni 2015 ved rektor Hanne Hautop Kære HFere, Kære STXere, Kære Studenter I dag er det en festdag. I er blevet studenter I er i centrum, og I skal fejres. Nogle af jer er sikkert stolte,
Læs merePythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen
MATEMATIKBANKENS P.E.T. KOMPENDIUM Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen FORENKLEDE FÆLLES MÅL FOR PYTHAGORAS, ENSVINKLEDE TREKANTER
Læs mereVEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.
VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af
Læs mereSvar på sommeropgave (2019)
Svar på sommeropgave (9) Opgave: I B er O centrum for den omskrevne cirkel og DE er en korde parallel med. En cirkel med centrum O gerer DE, B og den omskrevne cirkel, og en cirkel med centrum O gerer
Læs mereMatematik. Meteriske system
Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122
Læs mere1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen
1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten
Læs mere