Matematisk modellering: Hvor tidligt står Venus op?

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematisk modellering: Hvor tidligt står Venus op?"

Transkript

1 Matematisk modellering: Hvor tidligt står Venus op? Kasper Bjering Søby Jensen, ph.d. studerende i matematikkens didaktik ved Roskilde Universitet I LMFK bladet 2/2012 bragtes artiklen Anvendelse og modellering i matematik et teoretisk blik fra min hånd. I artiklen præsenterede jeg begrebet fuldbyrdet modellering, som dækkende over en matematisk aktivitet, hvor den i artiklen præsenterede modelleringscirkel aktiveres i sin helhed, se figur 1. Formålet med denne artikel er at give et mere omfattende eksempel på udfoldelse af en matematisk modelleringsproces. Almen undervisning i matematik kan oplagt have som mål at bringe de underviste i stand til i almindelighed at kunne aktivere matematik i de situationer, som tilværelsen bringer dem i. Meget erfaring og forskning siger, at en traditionel træning i algoritmer, som den, der afprøves i typeopgaverne ved skriftlig eksamen (med eller uden anvendt indpakning), ikke lærer eleverne at bruge matematik i andre situationer end netop ved opgaveregning i undervisningssammenhæng. Figur 1 Modelleringscirklen er en model af en matematisk modelleringsproces, se gennemgang i artikel i LMFK bladet 2/2012. Det er derfor oplagt, at et centralt element i matematikundervisning må være at bringe elever i situationer, hvor de selv må udfolde matematisk modellering i fuldt omfang. Som paradigmatisk eksempel på en ikke matematisk situation, hvor matematisk modellering kan bidrage til at søge et svar, stillede jeg som afslutning på min tidligere artikel følgende opgave :»Jeg er et A menneske. For et par år siden gik jeg en efterårsmorgen ved 6 tiden fra Trekroner station mod min arbejdsplads RUC. Mod øst stod Venus morgenstjernen smukt ved den gryende solopgang. Jeg spurgte mig selv: Venus befinder sig mellem Solen og Jorden og ses derfor altid tæt ved solopgang eller nedgang. Hvor tidligt står Venus egentlig op? Det må kunne undersøges med matematisk modellering«. Ydre modellering Teksten beskriver det, der i modelleringscirklen kaldes for en oplevet virkelighed. Modelleringens første proces er en motivation, hvor der fra den oplevede virkelighed afgrænses et undersøgelsesområde. Konkret er det her problemstillingen: Hvor tidligt står Venus op? I sig selv er det jo en ikke matematisk problemstilling. Og det er slet ikke på forhånd givet, hvordan et matematisk arbejde kan bidrage til svaret, endsige om det overhovedet kan. Første opgave er altså at afgrænse hvilke typer af svar, vi vil kunne forvente af en matematisk tilgang til problemet. Erfaring vil almindeligvis nok sige, at en simpel matematisk model sjældent er velegnet til at give meget præcise svar på meget specifikke spørgsmål. Hvornår Venus står op over København den 14. maj 2014, er et svært spørgsmål at besvare ved (simpel) modellering 1). Simple modeller vil i stedet ofte give svar af mere overordnet karakter. I denne situation kunne et bud være et svar på spørgsmålet: Hvor meget tidligere end solen, står Venus op?. Eller mere overordnet: Hvad er den størst mulige tidsforskel mellem Venus opgang og solopgang? Efter denne afgrænsning kan man begynde en systematisering af undersøgelsesområdet. Groft sagt betyder det, at man udvælger de træk ved situationen, som skal indgå i modellen. I et første modelleringsforsøg vil det typisk være nogle få træk, som kan forventes at være de mest afgørende. De valgte træk skal ligeledes have det kendetegn, at de skal kunne matematiseres, dvs. oversættes til objekter der kan behandles matematisk. Ofte vil det sige, at de skal kunne beskrives kvantitativt. Valget af træk er samtidigt et valg af, hvad der er kendte størrelser i modellen, samt hvilke størrelser i modellen, der skal udtrykkes ved det kendte. For undersøgelsen her vil en elev måske, fx fra fysik C eller grundskolen, kunne genkalde sig den simple model af Solsystemet, hvor planeterne bevæger 1) I stedet kan oplysningen søges via eksempelvis gratisprogrammet Stellarium. Svaret er i øvrigt ca. kl LMFK-bladet 4/2012

2 sig i koncentriske cirkulære baner, med Solen i centrum. Et opslag kan minde om, at Venus ligger mellem Solen og Jorden. Matematisk set peger det mod en plangeometrisk model, hvor solsystemet repræsenteres ved et plan, der indeholder Venus og Jordens baner som koncentriske cirkler, samt Solen, Venus og Jorden som punkter, placeret hhv. i centrum og på hver af de to cirkler. S w V Næste skridt kunne være at overveje, hvad en solopgang vil sige i modellen. Overvejelser kan her føre til erkendelsen af, at himmellegemers opgang har at gøre med Jordens rotation. For at denne bliver en del af modellen, kan man lade Jorden repræsentere af en roterende cirkel. J g R R a A d B C En observatør står således i et punkt på den roterende cirkels periferi og vil observere et himmellegemes opgang, når vedkommende når berøringspunktet for den tangent til jord cirklen, som går gennem det punkt, der repræsenterer himmellegemet. Det er således den tid, det tager en observatør at bevæge sig fra punktet med Venus opgang til punktet med solopgang, der skal findes. En principskitse af modellen ses på figur 2. De størrelser, som der oplagt kan antages kendt i denne model, er afstanden fra Solen til hhv. Jorden og Venus, Jordens radius og rotationstid samt Jordens og Venus omløbstid om Solen. Med lidt analyse af skitsen ses det, at svaret på tidsforskydningen T mellem Venus og solopgang må være T = (a/2p) 24 timer. Den egentlige matematiske opgave er således at bestemme a som funktion af de kendte størrelser. S J a V Indre modellering Når foregående afsnit hed ydre modellering, skyldes det, at arbejdet i hovedsagen foregik i et ikke matematisk domæne eller på grænsen til det matematiske. Det betyder ikke, at det ikke var en del af en matematisk modellering, for hele processen måtte styres af netop hensynet til, at vi skal ende op med en matematisk model. Dette afsnit hedder indre modellering, fordi der her gennemføres en matematisering af principskitsen på figur 2. Dette giver anledning til et matematisk system i form af en plangeometrisk figur, hvor på der kan laves mange forskellige matematiske undersøgelser. På figur 3 ses et bud på hvilken figur, man kunne forestille sig at komme frem til. Mere præcist en figur, der viser, hvor jeg selv endte. Herefter overgår man til modelleringsfasen matematisk analyse. De kendte størrelser i det matematiske system er SJ, SV og R. Tangentlinjen gennem S rører cirklen i A og kaldes l SA, mens tangentlinjen gennem V rører i punktet B og kaldes l VB. Linjerne l SA og l VB skærer hinanden i punktet C. Fra geometrien ved vi, at JA står vinkelret på Figur 2 En systematisering, hvor få centrale træk ved situationen er valgt ud til modellen. Figur 3 Det matematiske system, der gøres til genstand for en matematisk analyse. l SA og JB på l VB. Det er nu af forskellige veje muligt at indse (bevise), at ÐAJB er lig ÐSCV dvs. a = d. Man kan endvidere overbevise sig om, at DSJV er meget tæt på at være kongruent med DSCV, når afstanden fra V til l SA er meget større end R. De tilfælde, hvor det gælder, kan man altså sige at ÐSJV ÐSCV = ÐAJB, dvs. g d = a. De situationer, hvor dette ikke gælder, vil A og B være næsten sammenfaldende. Solen og Venus vil altså stå op næsten samtidigt. Vinklen g indgår i DSJV, hvor vi kender længden af to sider. Vi skal altså kende et stykke mere i trekanten for at kunne bestemme g. En mulighed er som sagt at søge T max svarende til når g er størst. Her vil forskellige både stringente og intuitive undersøgelser af figur 2 kunne vise, at det er g når l VB er tangent til Venus bane. I det tilfælde må ÐSVB være ret. Da R er meget mindre end VJ og VB er ÐSVB ÐSVJ. DSJV kan altså antages retvinklet med kendt hypotenuselængde SJ og kendt længde af a s modstående katete, SV. Deraf følger 2) : 2) Idet jordens baneradius er 1 AE og Venus er ca. 0,72 AE. LMFK-bladet 4/

3 SJ sin ( a) = = 0, 72 SV a = 0, 803 Og deraf følger, at den eftersøgte tidsforskel er: T = (0,803/2p) 24 timer 3 timer 4 min. En anden mulighed er at ville bestemme g som funktion af w, dvs. vinklen mellem sigtelinjerne fra Solen til hhv. Jorden og Venus. I så fald bliver opgavens svar en funktion a(w). Man får da først med cosinusrelationen: JV = SJ + SV 2 SJ SV cos( ω) Og derefter fås med sinusrelationen: ( ) = α ω = sin sin SV JV ω cos ( ) SV cos ( ω) SJ + SV 2 SJ SV cos( ω) Da det imidlertid ikke i almindelighed er så nemt at bestemme en værdi af vinkel w til at sætte ind i formlen, vil det være oplagt i stedet at søge et udtryk, hvor en mere præcis dato kan sættes ind. Da vi kender Jordens og Venus omløbstider om Solen (hhv. 365 og 225 dage), kan vi nemt opstille udtryk for den vinkelafstand, de tilbagelægger over en bestemt tid. Anvendeligheden forudsætter dog et eller andet nulpunkt at regne fra, hvor Jorden og Venus er på linje med Solen. Et sådan har vi netop haft, nemlig Venuspassagen den 6. juni Vi kan nu opstille et samlet udtryk for tidsforskellen T mellem Venus og solopgang som funktion af antal dage t efter den 6. juni 2012: α ( ω ( t) ) T ( t) = 24 timer = sin SV cos ( 0, 0107t) 24 SJ + SV 2 SJ SV cos ( 0, 0107t) timer ( ) 0, 72 cos 0, 0107t = sin cos ( t) 12,,, π timer På figur 4 er funktionen T(t) afbilledet med én periode, som viser sig at være på 587 dage. Det vil sige, at efter 587 dage vil Venus igen overhale Jorden (Venus passerer dog over eller under Figur 4 Graf af en periode af funktionen T(t). Figur 5 Graf for funktionen T(t) for 10 år. solskiven, hvorfor det ikke er en Venuspassage). På figur 5 ses grafen over lidt længere tid 10 år. Det næste skridt i modelleringscirklen er fortolkning. De to grafer giver gode anledninger til dette. Tre eksempler: Hvad betyder kurvens skæve form for udviklingen i Venus opgang og stemmer det med figur 2? Hvad betyder negative værdier af T? Og hvad siger det forhold, at grafen på figur 5 næsten rammer punkterne (4,0) og (8,0), om regelmæssighederne i fænomenet Venus passage? Model evaluering Til fuldbyrdet modellering hører også en kritisk evaluering af modellen med eventuelle justeringer til følge. Der er mindst fire fysiske forhold, som modellen ikke har taget højde for: Planetbaner er ikke cirkelformet, men ellipseformet. Begge planetbaners excentricitet er dog tæt på 0. For Jorden er den ca. 0,017 og for Venus ca. 0,007. Planetbanerne ligger ikke præcist i samme plan vinklen mellem Venus og Jordens baneplaner er ca. 3,4º. Det er derfor Venus oftest passerer over eller under solskiven. Ækvator ligger ikke i jordens baneplan. Faktisk hælder det ca. 23º i forhold til dette. Den vinkel, som Solen og Venus anskues fra, afhænger af, hvilken breddegrad man befinder sig på. Vi lader t repræsentere antal dage efter 6. juni 2012, x(t) Jordens vinkelafstand fra sin position på denne dato og y(t) Venus ditto. Man indser let følgende to sammenhænge: x ( t) = t 365 y ( t) = t 225 Samtidigt må der gælde, at w er givet som differensen mellem disse to: ( ) = ( ) ( ) ω t y t x t = 56π t , 0107t LMFK-bladet 4/

4 Alle disse punkter vil i større eller mindre grad betyde, at observationer af Venus og Solen ikke passer sammen med den her opstillede model. Det er således muligt at arbejde videre med, hvad et eller flere af disse punkter har af indflydelse, og om der kan korrigeres i modellen for denne. Mit gæt er, uden at have undersøgt det nærmere, at punkt 1 og 2 har lille betydning for modellens korrekthed, mens punkt 3 og 4 har stor. Både punkt 3 og 4 er ret svære at korrigere for. Men punkt 4 kan man godt undersøge kvalificeret på intuitiv vis. Man kan med fordel starte med at tegne Solen og Venus placering på himlen over horisonten set fra ækvator og nordpolen. En anden tilgang til evaluering er at holde modellen op imod data. Ifølge modellen indtræffer den største tidsforskydning ca. 72 dage efter Venuspassagen 3). Med det gratis computerprogram Stellarium kan man observere Venus og Solens placering på himlen, fx ved ækvator 4). Her kan Venus ses at øge afstanden til Solen frem til omkring 16. august, svarende til 71 dage. På denne dato er forskellen på Venus og solopgang ca. 3 timer og 9 minutter (kl hhv. 8.00). Ser vi i stedet på forskellen set fra København, så er største forskel naturligvis på samme dato, men tidsforskellen på Venus og solopgang er nu 3 timer og 48 minutter (kl hhv. 5.46). Så breddegraden spiller altså en rolle. Det ser dog ud som om modellen faktisk passer ganske fint ved ækvator. Det vil dog kræve yderligere undersøgelser at afgøre dette nøjere. Didaktiske overvejelser I forbindelse med mit ph.d projekt foretog jeg i foråret 2011 en større spørgeskemaundersøgelse blandt et velvalgt 3) Dette kan regnes ud fra: ω( t) = 0, 0107t = π 0, t = 71, 8 4) Her skal det understreges, at der naturligvis ikke er tale om empirisk data, men om data fra en anden model. Der er naturligvis også den mulighed at tjekke bagud med registreret data eller lave egne observationer. Fordelen ved Stellarium er fleksibiliteten i tid og sted. udsnit af gymnasieskolens matematiklærere. Ca. 500 blev inviteret til at svare, hvoraf 133 besvarede hele skemaet og ca. 200 svarede på nok til at indgå i mit datamateriale. I spørgeskemaet blev respondenterne bl.a. bedt om, for en serie på 16 opgaveformuleringer, at vurdere, om man anså opgaven for at være central for, en mulig sideaktivitet i eller ikke hjemmehørende i matematikfaget. En af opgaverne lød: Hvor tidligt står den indre planet Venus op?. Hverken mere eller mindre. 174 respondenter svarede, hvoraf 120 (69%) angav, at den ikke hørte hjemme. 52 (30%) angav, at den var en mulig sideaktivitet. Blot 2 (1%) angav, at opgaven repræsenterede noget centralt. 161 (93%) afviste at opgaven kunne stilles ved en 5 timers skriftlig eksamen på gymnasiets højeste niveau, mens 4 (2%) mente, den kunne og 9 (5%) ikke følte sig afklaret omkring dette. Jeg er klar over, at man skal tolke meget nænsomt på spørgeskemabesvarelser, men mener nu alligevel at kunne tolke en vis grad af afstandtagen til opgaven. Respondenterne havde på alle tidspunkter mulighed for at skrive frie kommentarer, hvilket mange heldigvis benyttede. Blandt de, som afviste opgaven og angav en fri kommentar, går tre typer af begrundelser igen: 1. Respondenten forstår ikke selv opgaven. 2. Respondenten mener ikke opgaven har noget med matematik at gøre evt. henvises den til undervisning i fysik og/eller astronomi. 3. Respondenten kan ikke lide opgaveformuleringen, fordi den er uoverskuelig, for matematisk kompliceret for eleverne, for uklart formuleret, uløselig pga. for få oplysninger, og lignende. Begrundelse 2 synes udfordret af denne artikel. Der er ganske meget matematik, der kan aktiveres i besvarelsen. Udregninger, opstilling af algebraiske udtryk, geometrisk ræsonnement, funktionsanalyse, osv. Man kan principielt mene, at en matematikundervisning slet ikke bør handle om Venus eller andre ikke matematiske objekter. Eller mere moderat, at det at vide noget eller opnå viden om ikke matematiske objekter ikke hører hjemme. Men at problemstillingen kan gives et meningsfuldt svar ved aktivering af matematik, er der vel næppe yderligere tvivl om. Begrundelse 3 handler om måden opgaven stilles på. Der er tale om en åben ikke matematisk opgaveformulering, som kræver selvstændig indhentning af information. Sådanne kan man mene principielt eller af hensyn til eleverne, ikke hører hjemme i matematik. Omvendt kan man hævde, med få undtagelser, at al praktisk anvendelse af matematik sker i sådanne åbne situationer, hvor man selv skal gennemføre en fuldbyrdet modellering. Hvis undervisningen skal afspejle dette og det er naturligvis en smagssag om den skal så kommer man ikke udenom ikke matematiske opgaveformuleringer som er uklare, åbne og ved første øjekast uoverskuelige og uløselige. Begrundelse 1 er i familie med begrundelse 3, bortset fra, at her er problemet flyttet fra eleven til læreren. Den amerikanske matematikdidaktiker Alan Schoenfeld pegede i 1980 erne på, at gennemsnitseleven i skolen adopterer den forestilling, at enten kan eleven løse matematikopgaven på 5 10 minutter, eller også kan eleven ikke løse den. Blandt lærere findes muligvis en lignende effekt. Enten genkendes opgaven øjeblikkeligt som en type, man kender til, eller også forstår man den ikke. Men arbejdet med rigtige anvendte problemstillinger vil kun ekstremt sjældent være overstået på 5 10 minutter, og man vil lige så sjældent opleve at have fundet indgangen til besvarelsen blot ved et øjekast. Den her præsenterede model tog mig timers refleksion og vandring ad blindspor at nå frem til. Bare det at afgrænse, hvad der egentlig kan svares på spørgsmålet, vil tage tid for de fleste. En grundlæggende didaktiske pointe ved at stille opgaver af denne slags er altså at få brudt elevers (og læreres) vaneforestillinger om, hvad matematik er for en disciplin. Hvis undervisning skal efter- 16 LMFK-bladet 4/2012

5 lade det indtryk, at matematik er et vigtigt og brugbart værktøj til at behandle virkelige problemstillinger med, samt at dette kræver mange, lange og svære ræsonnementer, så kommer man næppe udenom åbne anvendte problemer, der inviterer eleven til selvstændig fuldbyrdet modellering. Til sådanne invitationer vil jeg tilføje tre væsentlige kommentarer: Fuldbyrdet modellering er svært. Få kan finde ud af det første gang, de prøver. Opgaven skal have form som den står her: Hvor tidligt står Venus op. Yderligere informationer og bearbejdninger må som udgangspunkt findes og gøres af eleven selv. Læreren skal naturligvis vejlede undervejs. Men en udfoldet opgavetekst, der guider eleven sikkert frem til enkeltstående algoritmiske rutine eksercitser, vil ikke give indtryk af virkeligt modelleringsarbejde. Kontrakten for opgaven skal være klar. Målet er ikke at levere en tekst der formelt set må regnes for et svar på spørgsmålet. Et opslag i Stellarium og svaret Kl den 14. maj 2014 set fra København er ikke acceptabelt, selvom det teknisk set er rigtigt. Dette fordi målet ikke er at svare på spørgsmålet, men at demonstrere, at man kan aktivere matematisk kompetence i besvarelsen. Denne kontrakt opstår ikke automatisk, men skal etableres aktivt gennem undervisningen og stiller store krav til lærerens faglige vurdering af besvarelsen. Jeg håber, at denne artikel sætter nogle tanker i gang derude. Og også gerne at nogen reagerer. Dels på det faglige indhold i artiklen, men også på det didaktiske. Hvilke erfaringer er der med denne type opgave? Hvilke holdninger er der til dem har de noget at gøre i matematikundervisning? Jeg tænker i øvrigt, at potentialet for at arbejde med modeller (især geometriske) ud fra spørgsmål om den nære astronomi, er ganske stort. Her blot et par ideer til, hvad man kunne kaste sig over: Hvornår lyser Venus kraftigst på himlen? Hvorfor er Merkurpassager hyppigere end Venuspassager? Hvor meget hyppigere er de? Hvor stor forskel er der på synligheden af Mars, når den er mest hhv. mindst synlig? Hvad med for Jupiter og Saturn? Kan Jorden ses fra Jupiter? Kan den kinesiske mur ses fra Månen? Hvorfor virker Solen og Månen omtrent lige store set fra Jorden? Hvor langt kan man se langs overfladen på Jorden? På Mars? På en vilkårlig planet? Og så kan man tænke over endnu en anvendt problemstilling, som jeg vil forsøge at komme med et bud på en modelleringsløsning af i et senere nummer af LMFK bladet: Hvordan udvikler befolkningstallet sig i et land med et barnspolitik? LMFK-bladet 4/

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet RT1: fstandsberegning (Fra katederet) 5 RT2: Bold og Glob 6 OT1:Bestemmelse af Jordens radius 9 OT2:Modelafhængighed 11 OT3:fstanden til Månen 12 OT4:Månens

Læs mere

Venus relative størrelse og fase

Venus relative størrelse og fase Venus relative størrelse og fase Steffen Grøndahl Planeten Venus er værd at studere i teleskop. Med blot en forstørrelse på 20-30 gange, kan man se, at Venus ikke er punktformet og at den ligesom Månen

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

. Verdensbilledets udvikling

. Verdensbilledets udvikling . Verdensbilledets udvikling Vores viden om Solsystemets indretning er resultatet af mange hundrede års arbejde med at observere himlen og opstille teorier. Stjernerne flytter sig ligesom Solen 15' på

Læs mere

Hvorfor gør man det man gør?

Hvorfor gør man det man gør? Hvorfor gør man det man gør? Ulla Kofoed, lektor ved Professionshøjskolen UCC Inddragelse af forældrenes ressourcer - en almendidaktisk udfordring Med projektet Forældre som Ressource har vi ønsket at

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Evaluering af matematikundervisningen december 2014

Evaluering af matematikundervisningen december 2014 Evaluering af matematikundervisningen december 0 Evalueringen er udarbejdet på baggrund af et ønske om dokumentation for elevernes udbytte af matematikundervisningen. Af forskellige årsager er evalueringen

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Matematiklærernes dag 08.11.2010. Modellering

Matematiklærernes dag 08.11.2010. Modellering Matematiklærernes dag 08.11.2010 Modellering 0745 - Modellering Matematiklærernes dag 08.11.2010 Matematisk modellering I kursusbeskrivelsen Når man bruger matematik til at beskrive og forstå virkeligheden

Læs mere

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Nye Fælles Mål og årsplanen Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Interview Find en makker, som du ikke kender i forvejen Stil spørgsmål, så du kan fortælle os andre om vedkommende ift.:

Læs mere

Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse

Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse Dig selv 1. 32 sproglærere har besvaret spørgeskemaet, 15 underviser på mellemtrinnet, 17 på ældste trin. 2. 23 underviser i engelsk, 6 i fransk, 3 i tysk,

Læs mere

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performanc. Læringsmål Faglige aktiviteter. Emne Tema Materialer. ITinddragelse.

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performanc. Læringsmål Faglige aktiviteter. Emne Tema Materialer. ITinddragelse. Fag:matematik Hold:18 Lærer:ym Undervisningsmål 9/10 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer ITinddragelse Evaluering 33-37 Hovedvægten er elevernes forståelse for matematiske begreber.

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Fagplan for faget matematik

Fagplan for faget matematik Fagplan for faget matematik Der undervises i matematik på alle klassetrin (0. - 7. klasse). De centrale kundskabs- og færdighedsområder er: I matematik skal de grundlæggende kundskaber og færdigheder i

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Undervisningsbeskrivelse Termin Maj/juni 2015 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik B Janne Skjøth Winde 2.s mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 15 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C Kristian Møller

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Signe Skovsgaard

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Mundtlig matematik. - et udviklingsarbejde Startet på Skovshoved Skole fortsætter her. Ikke bare en proces, men i proces..

Mundtlig matematik. - et udviklingsarbejde Startet på Skovshoved Skole fortsætter her. Ikke bare en proces, men i proces.. Mundtlig matematik - et udviklingsarbejde Startet på Skovshoved Skole fortsætter her. Ikke bare en proces, men i proces.. Hjørring 7. sep. 2012 Line Engsig matematikvejleder på Skovshoved Skole og Mikael

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Keplers love og Epicykler

Keplers love og Epicykler Keplers love og Epicykler Jacob Nielsen Keplers love Johannes Kepler (57-60) blev i år 600 elev hos Tyge Brahe (546-60) i Pragh, og ved sidstnævntes død i 60 kejserlig astronom. Kepler stiftede således

Læs mere

Fagplan for matematik på Bakkelandets Friskole

Fagplan for matematik på Bakkelandets Friskole Fagplan for matematik på Bakkelandets Friskole Formål for faget matematik: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 10/11 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Matematik C Trille Hertz Quist 1.c mac Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj- juni, 14-15 Horsens HF & VUC HF 2- årigt Matematik

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Forår 2015 414 Københavns VUC Hf Matematik C Pia Hald ph@kvuc.dk

Læs mere

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik:

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik: TW 2011/12 Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag Formål for faget matematik: Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik C Angela

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget Fælles Mål II MATEMATIK Formål for faget Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv

Læs mere

Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard

Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard Lærervejledning til Matematik 1-2-3 på Smartboard Materialet består af 33 færdige undervisningsforløb til brug i matematikundervisningen i overbygningen. Undervisningsforløbene

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januer-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Niels Just Mikkelsen mac3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Forløb

Læs mere

Formål for faget Matematik

Formål for faget Matematik Formål for faget Matematik Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Indhold Indledning 2 Undervisningsforløbet 3 Mål for forløbet 3 Relationsmodellen 3 Planlægningsfasen

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold 2hf Mat C Trine Eliasen

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Bodil Krongaard Lindeløv mac2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Hvordan Kepler fandt sine love

Hvordan Kepler fandt sine love Hvordan Kepler fandt sine love stronomerne forstod ikke at overmande denne krigsgud (Mars). Men den fortræffelige hærfører Tycho har under 0 års nattevågen udforsket al hans krigslist; og jeg omgik ved

Læs mere

Sproginddragelse i matematikundervisningen. Eksempel fra Lundergårdskolen i Hjørring Efterår 2013 v/ Frank Overlund og Thomas Hjermitslev

Sproginddragelse i matematikundervisningen. Eksempel fra Lundergårdskolen i Hjørring Efterår 2013 v/ Frank Overlund og Thomas Hjermitslev Sproginddragelse i matematikundervisningen Eksempel fra Lundergårdskolen i Hjørring Efterår 2013 v/ Frank Overlund og Thomas Hjermitslev Mål og fokusområder der skal indgå i planlægning og gennemførelse

Læs mere

Oven over skyerne..! Få alt at vide om rumfart, rumstationer og raketter hér: http://www.geocities.ws/johnny97dk/rumfart/index.htm

Oven over skyerne..! Få alt at vide om rumfart, rumstationer og raketter hér: http://www.geocities.ws/johnny97dk/rumfart/index.htm Oven over skyerne..! Du skal lære mennesker, steder og ting ude i rummet og på jorden hvor du bor Du skal lære om stjernetegnene Du skal lave din egen planet-rap Du skal skrive et brev fra Månen Du skal

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf2 Matematik C Michael

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Eksperimenter med areal og rumfang. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Eksperimenter med areal og rumfang. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 5 Eksperimenter med areal og rumfang Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Areal og Rumfang 2 Red burhønsene. Vejledn. 3-7 Største

Læs mere

Emne Tema Materialer

Emne Tema Materialer 32 36 Uge 35 Fag: Matematik Hold: 20 Lærer: Trine Koustrup Undervisningsmål 9. klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Målsætningen med undervisningen er at eleverne udvikler deres kunnen,opnår

Læs mere

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen I dette kapitel beskrives det, hvilke Fælles Mål man kan nå inden for udvalgte fag, når man i skolen laver aktiviteter med Space Challenge.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold hf Matematik C Dorte Christoffersen

Læs mere

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Der arbejdes hen mod slutmålene i matematik efter 10. klassetrin. www.uvm.dk => Fælles Mål 2009 => Faghæfter alfabetisk => Matematik => Slutmål for faget

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik Spørgsmål til årsprøve 1v Ma 2008 side 1/5 Steen Toft Jørgensen Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik IT-værktøjer Jeg forventer, at I er fortrolige med lommeregner TI-89 og programmerne

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2006. Typeopgave 2. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time.

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2006. Typeopgave 2. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time. Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2006 05-B-2-U Typeopgave 2 Matematik Niveau B Delprøven uden hjælpemidler Prøvens varighed: 1 time. Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Matematik B stx, maj 2010

Matematik B stx, maj 2010 Bilag 36 Matematik B stx, maj 2010 1. Identitet og formål 1.1. Identitet Matematik bygger på abstraktion og logisk tænkning og omfatter en lang række metoder til modellering og problembehandling. Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Afsluttende: Maj-juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Favrskov Gymnasium Stx Matematik

Læs mere

24. maj 2015. Kære censor i skriftlig fysik

24. maj 2015. Kære censor i skriftlig fysik 24. maj 2015 Kære censor i skriftlig fysik I år afvikles den første skriftlig prøve i fysik den 26. maj, mens den anden prøve først er placeret den 2. juni. Som censor vil du normalt kun få besvarelser

Læs mere

Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet?

Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks familie skal flytte til et nyt hus. De har fået lov til at bestemme, hvordan væggene på deres værelser skal se ud. Emma og Frederik

Læs mere

Matematik for hf C-niveau

Matematik for hf C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for hf C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for hf C-niveau

Læs mere

Intuition og inspiration

Intuition og inspiration Intuition og inspiration Jeg havde en følelse af skæbne, at selv om jeg var blevet tildelt livet af skæbnen, så havde jeg noget, jeg skulle opfylde. Det gav mig en indre sikkerhed. Ofte havde jeg den følelse,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Vestegnens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C Jack

Læs mere

Benyt evt. programmeringsguiden Kør frem vælg sekunder i stedet for rotationer.

Benyt evt. programmeringsguiden Kør frem vælg sekunder i stedet for rotationer. Lego Mindstorms Education NXT nat1 nat april 2014 Dette dokument ligger på adressen: http://www.frborg-gymhf.dk/eh/oev/legonxtnat1nat2014.pdf Følgende er en introduction til Lego Mindstorms NXT. Her er

Læs mere

Grundlæggende metode og videnskabsteori. 5. september 2011

Grundlæggende metode og videnskabsteori. 5. september 2011 Grundlæggende metode og videnskabsteori 5. september 2011 Dagsorden Metodiske overvejelser Kvantitativ >< Kvalitativ metode Kvalitet i kvantitative undersøgelser: Validitet og reliabilitet Dataindsamling

Læs mere

INVITATION. graphic art & communication. dalhoff group ApS

INVITATION. graphic art & communication. dalhoff group ApS INVITATION Præsentation Mit navn er Henning Dalhoff og jeg har mere end 25 års erfaring som grafisk designer og illustrator og har igennem årene opbygget stor erfaring med at udvikle grafiske løsninger

Læs mere

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07. Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.54 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: 2

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2015 Institution VUC Vest, Stormgade 47, 6700 Esbjerg Uddannelse HF net-undervisning, HFe Fag og niveau

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

Eksamensopgaver i matematik

Eksamensopgaver i matematik Eksamensopgaver i matematik med TI-Nspire CAS ver. 2.0 Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen Marts 2010 Indholdsfortegnelse Indledning...1 Bedømmelse af besvarelse...2 Eksempel 1 Lineære sammenhænge...3 Eksempel

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen Lærervejledning Træn matematik på computer Materialet består af 31 selvrettende emner til brug i matematikundervisningen i overbygningen. De fleste emner består af 3 sider med stigende sværhedsgrad. I

Læs mere

Lærervejledning. Matematik i Hasle Bakker 4.-6. klasse

Lærervejledning. Matematik i Hasle Bakker 4.-6. klasse Lærervejledning Matematik i Hasle Bakker 4.-6. klasse Lærervejledning I Matematik for 4.-6. klasse sendes eleverne gruppevis ud i for at løse matematikopgaver med direkte afsæt i både natur og menneskeskabte

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Årstid/årstal Institution Uddannelse Hf/hfe/hhx/htx/st x/gsk/gif/fagpakke/hf+ Fag og niveau Fagbetegnelsen

Læs mere