Matematisk modellering: Hvor tidligt står Venus op?

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematisk modellering: Hvor tidligt står Venus op?"

Transkript

1 Matematisk modellering: Hvor tidligt står Venus op? Kasper Bjering Søby Jensen, ph.d. studerende i matematikkens didaktik ved Roskilde Universitet I LMFK bladet 2/2012 bragtes artiklen Anvendelse og modellering i matematik et teoretisk blik fra min hånd. I artiklen præsenterede jeg begrebet fuldbyrdet modellering, som dækkende over en matematisk aktivitet, hvor den i artiklen præsenterede modelleringscirkel aktiveres i sin helhed, se figur 1. Formålet med denne artikel er at give et mere omfattende eksempel på udfoldelse af en matematisk modelleringsproces. Almen undervisning i matematik kan oplagt have som mål at bringe de underviste i stand til i almindelighed at kunne aktivere matematik i de situationer, som tilværelsen bringer dem i. Meget erfaring og forskning siger, at en traditionel træning i algoritmer, som den, der afprøves i typeopgaverne ved skriftlig eksamen (med eller uden anvendt indpakning), ikke lærer eleverne at bruge matematik i andre situationer end netop ved opgaveregning i undervisningssammenhæng. Figur 1 Modelleringscirklen er en model af en matematisk modelleringsproces, se gennemgang i artikel i LMFK bladet 2/2012. Det er derfor oplagt, at et centralt element i matematikundervisning må være at bringe elever i situationer, hvor de selv må udfolde matematisk modellering i fuldt omfang. Som paradigmatisk eksempel på en ikke matematisk situation, hvor matematisk modellering kan bidrage til at søge et svar, stillede jeg som afslutning på min tidligere artikel følgende opgave :»Jeg er et A menneske. For et par år siden gik jeg en efterårsmorgen ved 6 tiden fra Trekroner station mod min arbejdsplads RUC. Mod øst stod Venus morgenstjernen smukt ved den gryende solopgang. Jeg spurgte mig selv: Venus befinder sig mellem Solen og Jorden og ses derfor altid tæt ved solopgang eller nedgang. Hvor tidligt står Venus egentlig op? Det må kunne undersøges med matematisk modellering«. Ydre modellering Teksten beskriver det, der i modelleringscirklen kaldes for en oplevet virkelighed. Modelleringens første proces er en motivation, hvor der fra den oplevede virkelighed afgrænses et undersøgelsesområde. Konkret er det her problemstillingen: Hvor tidligt står Venus op? I sig selv er det jo en ikke matematisk problemstilling. Og det er slet ikke på forhånd givet, hvordan et matematisk arbejde kan bidrage til svaret, endsige om det overhovedet kan. Første opgave er altså at afgrænse hvilke typer af svar, vi vil kunne forvente af en matematisk tilgang til problemet. Erfaring vil almindeligvis nok sige, at en simpel matematisk model sjældent er velegnet til at give meget præcise svar på meget specifikke spørgsmål. Hvornår Venus står op over København den 14. maj 2014, er et svært spørgsmål at besvare ved (simpel) modellering 1). Simple modeller vil i stedet ofte give svar af mere overordnet karakter. I denne situation kunne et bud være et svar på spørgsmålet: Hvor meget tidligere end solen, står Venus op?. Eller mere overordnet: Hvad er den størst mulige tidsforskel mellem Venus opgang og solopgang? Efter denne afgrænsning kan man begynde en systematisering af undersøgelsesområdet. Groft sagt betyder det, at man udvælger de træk ved situationen, som skal indgå i modellen. I et første modelleringsforsøg vil det typisk være nogle få træk, som kan forventes at være de mest afgørende. De valgte træk skal ligeledes have det kendetegn, at de skal kunne matematiseres, dvs. oversættes til objekter der kan behandles matematisk. Ofte vil det sige, at de skal kunne beskrives kvantitativt. Valget af træk er samtidigt et valg af, hvad der er kendte størrelser i modellen, samt hvilke størrelser i modellen, der skal udtrykkes ved det kendte. For undersøgelsen her vil en elev måske, fx fra fysik C eller grundskolen, kunne genkalde sig den simple model af Solsystemet, hvor planeterne bevæger 1) I stedet kan oplysningen søges via eksempelvis gratisprogrammet Stellarium. Svaret er i øvrigt ca. kl LMFK-bladet 4/2012

2 sig i koncentriske cirkulære baner, med Solen i centrum. Et opslag kan minde om, at Venus ligger mellem Solen og Jorden. Matematisk set peger det mod en plangeometrisk model, hvor solsystemet repræsenteres ved et plan, der indeholder Venus og Jordens baner som koncentriske cirkler, samt Solen, Venus og Jorden som punkter, placeret hhv. i centrum og på hver af de to cirkler. S w V Næste skridt kunne være at overveje, hvad en solopgang vil sige i modellen. Overvejelser kan her føre til erkendelsen af, at himmellegemers opgang har at gøre med Jordens rotation. For at denne bliver en del af modellen, kan man lade Jorden repræsentere af en roterende cirkel. J g R R a A d B C En observatør står således i et punkt på den roterende cirkels periferi og vil observere et himmellegemes opgang, når vedkommende når berøringspunktet for den tangent til jord cirklen, som går gennem det punkt, der repræsenterer himmellegemet. Det er således den tid, det tager en observatør at bevæge sig fra punktet med Venus opgang til punktet med solopgang, der skal findes. En principskitse af modellen ses på figur 2. De størrelser, som der oplagt kan antages kendt i denne model, er afstanden fra Solen til hhv. Jorden og Venus, Jordens radius og rotationstid samt Jordens og Venus omløbstid om Solen. Med lidt analyse af skitsen ses det, at svaret på tidsforskydningen T mellem Venus og solopgang må være T = (a/2p) 24 timer. Den egentlige matematiske opgave er således at bestemme a som funktion af de kendte størrelser. S J a V Indre modellering Når foregående afsnit hed ydre modellering, skyldes det, at arbejdet i hovedsagen foregik i et ikke matematisk domæne eller på grænsen til det matematiske. Det betyder ikke, at det ikke var en del af en matematisk modellering, for hele processen måtte styres af netop hensynet til, at vi skal ende op med en matematisk model. Dette afsnit hedder indre modellering, fordi der her gennemføres en matematisering af principskitsen på figur 2. Dette giver anledning til et matematisk system i form af en plangeometrisk figur, hvor på der kan laves mange forskellige matematiske undersøgelser. På figur 3 ses et bud på hvilken figur, man kunne forestille sig at komme frem til. Mere præcist en figur, der viser, hvor jeg selv endte. Herefter overgår man til modelleringsfasen matematisk analyse. De kendte størrelser i det matematiske system er SJ, SV og R. Tangentlinjen gennem S rører cirklen i A og kaldes l SA, mens tangentlinjen gennem V rører i punktet B og kaldes l VB. Linjerne l SA og l VB skærer hinanden i punktet C. Fra geometrien ved vi, at JA står vinkelret på Figur 2 En systematisering, hvor få centrale træk ved situationen er valgt ud til modellen. Figur 3 Det matematiske system, der gøres til genstand for en matematisk analyse. l SA og JB på l VB. Det er nu af forskellige veje muligt at indse (bevise), at ÐAJB er lig ÐSCV dvs. a = d. Man kan endvidere overbevise sig om, at DSJV er meget tæt på at være kongruent med DSCV, når afstanden fra V til l SA er meget større end R. De tilfælde, hvor det gælder, kan man altså sige at ÐSJV ÐSCV = ÐAJB, dvs. g d = a. De situationer, hvor dette ikke gælder, vil A og B være næsten sammenfaldende. Solen og Venus vil altså stå op næsten samtidigt. Vinklen g indgår i DSJV, hvor vi kender længden af to sider. Vi skal altså kende et stykke mere i trekanten for at kunne bestemme g. En mulighed er som sagt at søge T max svarende til når g er størst. Her vil forskellige både stringente og intuitive undersøgelser af figur 2 kunne vise, at det er g når l VB er tangent til Venus bane. I det tilfælde må ÐSVB være ret. Da R er meget mindre end VJ og VB er ÐSVB ÐSVJ. DSJV kan altså antages retvinklet med kendt hypotenuselængde SJ og kendt længde af a s modstående katete, SV. Deraf følger 2) : 2) Idet jordens baneradius er 1 AE og Venus er ca. 0,72 AE. LMFK-bladet 4/

3 SJ sin ( a) = = 0, 72 SV a = 0, 803 Og deraf følger, at den eftersøgte tidsforskel er: T = (0,803/2p) 24 timer 3 timer 4 min. En anden mulighed er at ville bestemme g som funktion af w, dvs. vinklen mellem sigtelinjerne fra Solen til hhv. Jorden og Venus. I så fald bliver opgavens svar en funktion a(w). Man får da først med cosinusrelationen: JV = SJ + SV 2 SJ SV cos( ω) Og derefter fås med sinusrelationen: ( ) = α ω = sin sin SV JV ω cos ( ) SV cos ( ω) SJ + SV 2 SJ SV cos( ω) Da det imidlertid ikke i almindelighed er så nemt at bestemme en værdi af vinkel w til at sætte ind i formlen, vil det være oplagt i stedet at søge et udtryk, hvor en mere præcis dato kan sættes ind. Da vi kender Jordens og Venus omløbstider om Solen (hhv. 365 og 225 dage), kan vi nemt opstille udtryk for den vinkelafstand, de tilbagelægger over en bestemt tid. Anvendeligheden forudsætter dog et eller andet nulpunkt at regne fra, hvor Jorden og Venus er på linje med Solen. Et sådan har vi netop haft, nemlig Venuspassagen den 6. juni Vi kan nu opstille et samlet udtryk for tidsforskellen T mellem Venus og solopgang som funktion af antal dage t efter den 6. juni 2012: α ( ω ( t) ) T ( t) = 24 timer = sin SV cos ( 0, 0107t) 24 SJ + SV 2 SJ SV cos ( 0, 0107t) timer ( ) 0, 72 cos 0, 0107t = sin cos ( t) 12,,, π timer På figur 4 er funktionen T(t) afbilledet med én periode, som viser sig at være på 587 dage. Det vil sige, at efter 587 dage vil Venus igen overhale Jorden (Venus passerer dog over eller under Figur 4 Graf af en periode af funktionen T(t). Figur 5 Graf for funktionen T(t) for 10 år. solskiven, hvorfor det ikke er en Venuspassage). På figur 5 ses grafen over lidt længere tid 10 år. Det næste skridt i modelleringscirklen er fortolkning. De to grafer giver gode anledninger til dette. Tre eksempler: Hvad betyder kurvens skæve form for udviklingen i Venus opgang og stemmer det med figur 2? Hvad betyder negative værdier af T? Og hvad siger det forhold, at grafen på figur 5 næsten rammer punkterne (4,0) og (8,0), om regelmæssighederne i fænomenet Venus passage? Model evaluering Til fuldbyrdet modellering hører også en kritisk evaluering af modellen med eventuelle justeringer til følge. Der er mindst fire fysiske forhold, som modellen ikke har taget højde for: Planetbaner er ikke cirkelformet, men ellipseformet. Begge planetbaners excentricitet er dog tæt på 0. For Jorden er den ca. 0,017 og for Venus ca. 0,007. Planetbanerne ligger ikke præcist i samme plan vinklen mellem Venus og Jordens baneplaner er ca. 3,4º. Det er derfor Venus oftest passerer over eller under solskiven. Ækvator ligger ikke i jordens baneplan. Faktisk hælder det ca. 23º i forhold til dette. Den vinkel, som Solen og Venus anskues fra, afhænger af, hvilken breddegrad man befinder sig på. Vi lader t repræsentere antal dage efter 6. juni 2012, x(t) Jordens vinkelafstand fra sin position på denne dato og y(t) Venus ditto. Man indser let følgende to sammenhænge: x ( t) = t 365 y ( t) = t 225 Samtidigt må der gælde, at w er givet som differensen mellem disse to: ( ) = ( ) ( ) ω t y t x t = 56π t , 0107t LMFK-bladet 4/

4 Alle disse punkter vil i større eller mindre grad betyde, at observationer af Venus og Solen ikke passer sammen med den her opstillede model. Det er således muligt at arbejde videre med, hvad et eller flere af disse punkter har af indflydelse, og om der kan korrigeres i modellen for denne. Mit gæt er, uden at have undersøgt det nærmere, at punkt 1 og 2 har lille betydning for modellens korrekthed, mens punkt 3 og 4 har stor. Både punkt 3 og 4 er ret svære at korrigere for. Men punkt 4 kan man godt undersøge kvalificeret på intuitiv vis. Man kan med fordel starte med at tegne Solen og Venus placering på himlen over horisonten set fra ækvator og nordpolen. En anden tilgang til evaluering er at holde modellen op imod data. Ifølge modellen indtræffer den største tidsforskydning ca. 72 dage efter Venuspassagen 3). Med det gratis computerprogram Stellarium kan man observere Venus og Solens placering på himlen, fx ved ækvator 4). Her kan Venus ses at øge afstanden til Solen frem til omkring 16. august, svarende til 71 dage. På denne dato er forskellen på Venus og solopgang ca. 3 timer og 9 minutter (kl hhv. 8.00). Ser vi i stedet på forskellen set fra København, så er største forskel naturligvis på samme dato, men tidsforskellen på Venus og solopgang er nu 3 timer og 48 minutter (kl hhv. 5.46). Så breddegraden spiller altså en rolle. Det ser dog ud som om modellen faktisk passer ganske fint ved ækvator. Det vil dog kræve yderligere undersøgelser at afgøre dette nøjere. Didaktiske overvejelser I forbindelse med mit ph.d projekt foretog jeg i foråret 2011 en større spørgeskemaundersøgelse blandt et velvalgt 3) Dette kan regnes ud fra: ω( t) = 0, 0107t = π 0, t = 71, 8 4) Her skal det understreges, at der naturligvis ikke er tale om empirisk data, men om data fra en anden model. Der er naturligvis også den mulighed at tjekke bagud med registreret data eller lave egne observationer. Fordelen ved Stellarium er fleksibiliteten i tid og sted. udsnit af gymnasieskolens matematiklærere. Ca. 500 blev inviteret til at svare, hvoraf 133 besvarede hele skemaet og ca. 200 svarede på nok til at indgå i mit datamateriale. I spørgeskemaet blev respondenterne bl.a. bedt om, for en serie på 16 opgaveformuleringer, at vurdere, om man anså opgaven for at være central for, en mulig sideaktivitet i eller ikke hjemmehørende i matematikfaget. En af opgaverne lød: Hvor tidligt står den indre planet Venus op?. Hverken mere eller mindre. 174 respondenter svarede, hvoraf 120 (69%) angav, at den ikke hørte hjemme. 52 (30%) angav, at den var en mulig sideaktivitet. Blot 2 (1%) angav, at opgaven repræsenterede noget centralt. 161 (93%) afviste at opgaven kunne stilles ved en 5 timers skriftlig eksamen på gymnasiets højeste niveau, mens 4 (2%) mente, den kunne og 9 (5%) ikke følte sig afklaret omkring dette. Jeg er klar over, at man skal tolke meget nænsomt på spørgeskemabesvarelser, men mener nu alligevel at kunne tolke en vis grad af afstandtagen til opgaven. Respondenterne havde på alle tidspunkter mulighed for at skrive frie kommentarer, hvilket mange heldigvis benyttede. Blandt de, som afviste opgaven og angav en fri kommentar, går tre typer af begrundelser igen: 1. Respondenten forstår ikke selv opgaven. 2. Respondenten mener ikke opgaven har noget med matematik at gøre evt. henvises den til undervisning i fysik og/eller astronomi. 3. Respondenten kan ikke lide opgaveformuleringen, fordi den er uoverskuelig, for matematisk kompliceret for eleverne, for uklart formuleret, uløselig pga. for få oplysninger, og lignende. Begrundelse 2 synes udfordret af denne artikel. Der er ganske meget matematik, der kan aktiveres i besvarelsen. Udregninger, opstilling af algebraiske udtryk, geometrisk ræsonnement, funktionsanalyse, osv. Man kan principielt mene, at en matematikundervisning slet ikke bør handle om Venus eller andre ikke matematiske objekter. Eller mere moderat, at det at vide noget eller opnå viden om ikke matematiske objekter ikke hører hjemme. Men at problemstillingen kan gives et meningsfuldt svar ved aktivering af matematik, er der vel næppe yderligere tvivl om. Begrundelse 3 handler om måden opgaven stilles på. Der er tale om en åben ikke matematisk opgaveformulering, som kræver selvstændig indhentning af information. Sådanne kan man mene principielt eller af hensyn til eleverne, ikke hører hjemme i matematik. Omvendt kan man hævde, med få undtagelser, at al praktisk anvendelse af matematik sker i sådanne åbne situationer, hvor man selv skal gennemføre en fuldbyrdet modellering. Hvis undervisningen skal afspejle dette og det er naturligvis en smagssag om den skal så kommer man ikke udenom ikke matematiske opgaveformuleringer som er uklare, åbne og ved første øjekast uoverskuelige og uløselige. Begrundelse 1 er i familie med begrundelse 3, bortset fra, at her er problemet flyttet fra eleven til læreren. Den amerikanske matematikdidaktiker Alan Schoenfeld pegede i 1980 erne på, at gennemsnitseleven i skolen adopterer den forestilling, at enten kan eleven løse matematikopgaven på 5 10 minutter, eller også kan eleven ikke løse den. Blandt lærere findes muligvis en lignende effekt. Enten genkendes opgaven øjeblikkeligt som en type, man kender til, eller også forstår man den ikke. Men arbejdet med rigtige anvendte problemstillinger vil kun ekstremt sjældent være overstået på 5 10 minutter, og man vil lige så sjældent opleve at have fundet indgangen til besvarelsen blot ved et øjekast. Den her præsenterede model tog mig timers refleksion og vandring ad blindspor at nå frem til. Bare det at afgrænse, hvad der egentlig kan svares på spørgsmålet, vil tage tid for de fleste. En grundlæggende didaktiske pointe ved at stille opgaver af denne slags er altså at få brudt elevers (og læreres) vaneforestillinger om, hvad matematik er for en disciplin. Hvis undervisning skal efter- 16 LMFK-bladet 4/2012

5 lade det indtryk, at matematik er et vigtigt og brugbart værktøj til at behandle virkelige problemstillinger med, samt at dette kræver mange, lange og svære ræsonnementer, så kommer man næppe udenom åbne anvendte problemer, der inviterer eleven til selvstændig fuldbyrdet modellering. Til sådanne invitationer vil jeg tilføje tre væsentlige kommentarer: Fuldbyrdet modellering er svært. Få kan finde ud af det første gang, de prøver. Opgaven skal have form som den står her: Hvor tidligt står Venus op. Yderligere informationer og bearbejdninger må som udgangspunkt findes og gøres af eleven selv. Læreren skal naturligvis vejlede undervejs. Men en udfoldet opgavetekst, der guider eleven sikkert frem til enkeltstående algoritmiske rutine eksercitser, vil ikke give indtryk af virkeligt modelleringsarbejde. Kontrakten for opgaven skal være klar. Målet er ikke at levere en tekst der formelt set må regnes for et svar på spørgsmålet. Et opslag i Stellarium og svaret Kl den 14. maj 2014 set fra København er ikke acceptabelt, selvom det teknisk set er rigtigt. Dette fordi målet ikke er at svare på spørgsmålet, men at demonstrere, at man kan aktivere matematisk kompetence i besvarelsen. Denne kontrakt opstår ikke automatisk, men skal etableres aktivt gennem undervisningen og stiller store krav til lærerens faglige vurdering af besvarelsen. Jeg håber, at denne artikel sætter nogle tanker i gang derude. Og også gerne at nogen reagerer. Dels på det faglige indhold i artiklen, men også på det didaktiske. Hvilke erfaringer er der med denne type opgave? Hvilke holdninger er der til dem har de noget at gøre i matematikundervisning? Jeg tænker i øvrigt, at potentialet for at arbejde med modeller (især geometriske) ud fra spørgsmål om den nære astronomi, er ganske stort. Her blot et par ideer til, hvad man kunne kaste sig over: Hvornår lyser Venus kraftigst på himlen? Hvorfor er Merkurpassager hyppigere end Venuspassager? Hvor meget hyppigere er de? Hvor stor forskel er der på synligheden af Mars, når den er mest hhv. mindst synlig? Hvad med for Jupiter og Saturn? Kan Jorden ses fra Jupiter? Kan den kinesiske mur ses fra Månen? Hvorfor virker Solen og Månen omtrent lige store set fra Jorden? Hvor langt kan man se langs overfladen på Jorden? På Mars? På en vilkårlig planet? Og så kan man tænke over endnu en anvendt problemstilling, som jeg vil forsøge at komme med et bud på en modelleringsløsning af i et senere nummer af LMFK bladet: Hvordan udvikler befolkningstallet sig i et land med et barnspolitik? LMFK-bladet 4/

Lysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009

Lysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009 Lysets hastighed Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.1.009 Indholdsfortegnelse 1. Opgaveanalyse... 3. Beregnelse af lysets hastighed... 4 3.

Læs mere

Venus relative størrelse og fase

Venus relative størrelse og fase Venus relative størrelse og fase Steffen Grøndahl Planeten Venus er værd at studere i teleskop. Med blot en forstørrelse på 20-30 gange, kan man se, at Venus ikke er punktformet og at den ligesom Månen

Læs mere

WORKSHOP 1A, DLF-kursus, Brandbjerg, 25. november 2015

WORKSHOP 1A, DLF-kursus, Brandbjerg, 25. november 2015 WORKSHOP 1A, DLF-kursus, Brandbjerg, 25. november 2015 At I får indblik i matematisk modellering, og i hvad undervisning i matematisk modellering kan bestå i på forskellige klassetrin. konkrete ideer til

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet RT1: fstandsberegning (Fra katederet) 5 RT2: Bold og Glob 6 OT1:Bestemmelse af Jordens radius 9 OT2:Modelafhængighed 11 OT3:fstanden til Månen 12 OT4:Månens

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Citation for published version (APA): Jensen, K. B. S. (2012). Anvendelse og modellering i matematik et teoretisk blik. LMFK-Bladet, 2012(2),

Citation for published version (APA): Jensen, K. B. S. (2012). Anvendelse og modellering i matematik et teoretisk blik. LMFK-Bladet, 2012(2), Anvendelse og modellering i matematik et teoretisk blik Jensen, Kasper Bjering Søby Published in: LMFK-Bladet Publication date: 2012 Document Version Også kaldet Forlagets PDF Citation for published version

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2018 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Klaus

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Kommentarer til matematik B-projektet 2015

Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Mandag d. 13/4 udleveres årets eksamensprojekt i matematik B. Dette brev er tænkt som en hjælp til vejledningsprocessen for de lærere, der har elever, som laver

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Hvorfor gør man det man gør?

Hvorfor gør man det man gør? Hvorfor gør man det man gør? Ulla Kofoed, lektor ved Professionshøjskolen UCC Inddragelse af forældrenes ressourcer - en almendidaktisk udfordring Med projektet Forældre som Ressource har vi ønsket at

Læs mere

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9 Indhold Indledning 7 Læsevejledning 9 1 Hvad er åbne opgaver? 13 2 Hvorfor arbejde med åbne opgaver? 17 3 Udfordringer i arbejdet med åbne opgaver 19 4 En ny didaktisk kontrakt 21 5 Et par eksempler 23

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2017 HANSENBERG

Læs mere

Eksempler på temaopgaver i matematik indenfor geometri

Eksempler på temaopgaver i matematik indenfor geometri Eksempler på temaopgaver i matematik indenfor geometri Med udgangspunkt i begrebsafklaringen fra dokumentet Matematik og den ny skriftlighed gives her fem eksempler på, hvordan de forskellige opgavetyper,

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

MATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål

MATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål MATEMATIK GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål KOMMENTAR Vi har i det følgende foretaget en analyse og en sammenstilling af vore materialer til skriftlig

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre).

Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Johannes Kepler (1571-1630) var på mange måder en overgangsfigur i videnskabshistorien. Han ydede et stort bidrag til at matematisere

Læs mere

Tabelrapport. Bilag til fagevaluering af matematik B på hhx og stx

Tabelrapport. Bilag til fagevaluering af matematik B på hhx og stx Tabelrapport Bilag til fagevaluering af matematik B på hhx og stx Tabelrapport Bilag til fagevaluering af matematik B på hhx og stx Tabelrapport Danmarks Evalueringsinstitut Citat med kildeangivelse er

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Det tilstræbte matematikindhold og teknologi spiller det sammen?

Det tilstræbte matematikindhold og teknologi spiller det sammen? 75 K O M M E N TA R E R Det tilstræbte matematikindhold og teknologi spiller det sammen? Henrik Bang Center for Computerbaseret Matematikundervisning, CMU Claus Larsen Center for Computerbaseret Matematikundervisning,

Læs mere

Evaluering af matematikundervisningen december 2014

Evaluering af matematikundervisningen december 2014 Evaluering af matematikundervisningen december 0 Evalueringen er udarbejdet på baggrund af et ønske om dokumentation for elevernes udbytte af matematikundervisningen. Af forskellige årsager er evalueringen

Læs mere

Fokusgruppeinterview. Gruppe 1

Fokusgruppeinterview. Gruppe 1 4 Fokusgruppeinterview Gruppe 1 1 2 3 4 Hvorfor? Formålet med et fokusgruppeinterview er at belyse et bestemt emne eller problemfelt på en grundig og nuanceret måde. Man vælger derfor denne metode hvis

Læs mere

Progression frem mod skriftlig eksamen

Progression frem mod skriftlig eksamen Progression frem mod skriftlig eksamen Ikke alle skal have 12 Eksamensopgavernes funktion i det daglige og til eksamen Progression i sættet progression i den enkelte opgave Hvornår inddrages eksamensopgaver

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

Jeg ville udfordre eleverne med en opgave, som ikke umiddelbar var målbar; Hvor høj er skolens flagstang?.

Jeg ville udfordre eleverne med en opgave, som ikke umiddelbar var målbar; Hvor høj er skolens flagstang?. Hvor høj er skolens flagstang? Undersøgelsesbaseret matematik 8.a på Ankermedets Skole i Skagen Marts 2012 Klassen deltog for anden gang i Fibonacci Projektet, og der var afsat ca. 8 lektioner, fordelt

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Verdensbilleder i oldtiden

Verdensbilleder i oldtiden Verdensbilleder Teksten består af to dele. Den første del er uddrag fra Stenomuseets skoletjeneste(http://www.stenomuseet.dk/skoletj/), dog er spørgsmål og billeder udeladt. Teksten fortæller om hvordan

Læs mere

Projekt 3.8. Månens bjerge

Projekt 3.8. Månens bjerge Projekt 3.8. Månens bjerge Introduktion til hvordan man kan arbejde med dette projekt. Det følgende kan integreres i et projekt om verdensbilleder, hvor man både kommer ind på diskussioner om at opnå erkendelse,

Læs mere

En Maple time med efterfølgende elevgruppe diskussion og refleksionssamtale med lærer.

En Maple time med efterfølgende elevgruppe diskussion og refleksionssamtale med lærer. Bilag 5 En Maple time med efterfølgende elevgruppe diskussion og refleksionssamtale med lærer. Indledning Vi har som led i projektet observeret en del lektioner, med helt eller delvis fokus på Maple-brug.

Læs mere

Hvad er matematik? Indskolingskursus

Hvad er matematik? Indskolingskursus Hvad er matematik? Indskolingskursus Vordingborg 25. 29. april 2016 Matematikbog i 50 erne En bonde sælger en sæk kartofler for 40 kr. Fremstillingsomkostningerne er 4/5 af salgsindtægterne. Hvor stor

Læs mere

. Verdensbilledets udvikling

. Verdensbilledets udvikling . Verdensbilledets udvikling Vores viden om Solsystemets indretning er resultatet af mange hundrede års arbejde med at observere himlen og opstille teorier. Stjernerne flytter sig ligesom Solen 15' på

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik Periode Mål Eleverne skal: 32/33 Få kendskab til opgavetypen og få rutine.

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer stille spørgsmål, som er karakteristiske for matematik og have blik for hvilke typer af svar, som kan forventes(tankegangskompetence) erkende, formulere, afgrænse og løse matematiske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2017 Marie

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE.

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. FRA FÆLLES MÅL Målsætninger for undervisningsforløbet er opsat efter kompetence, færdigheds og vidensmål samt læringsmål i lærersprog. Geometri og måling Fase 3 Geometriske

Læs mere

Spørgeskemaundersøgelse blandt lærere og censorer

Spørgeskemaundersøgelse blandt lærere og censorer Spørgeskemaundersøgelse blandt lærere og censorer Bilag til evaluering af matematik på stx DANMARKS EVALUERINGSINSTITUT Indledning Dette bilag til EVA s evaluering af matematik på stx indeholder i tabelform

Læs mere

1. En nyttig formel Lad mig uden bevis angive en nyttig trigonometrisk formel, som i dag kaldes for en logaritmisk formel: (1) sin( A) sin( B) = 1 [ cos( A B) cos( A+ B) ] 2 Navnet skyldes løst sagt, at

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Spørgeskemaundersøgelse blandt lærere og censorer

Spørgeskemaundersøgelse blandt lærere og censorer Spørgeskemaundersøgelse blandt lærere og censorer Bilag til evaluering af matematik A på hhx DANMARKS EVALUERINGSINSTITUT Indledning Dette bilag til EVA s evaluering af matematik a på hhx indeholder i

Læs mere

Ens eller forskellig?

Ens eller forskellig? Ens eller forskellig? Geometri i 5./6. klasse Niels Kristen Kirk, Christinelystskolen Kaj Østergaard, VIA UC Plan Didaktisk design - modellen Fra model til praksis indledende overvejelser En konkret udmøntning

Læs mere

SYNLIG LÆRING OG LÆRINGSMÅL I MATEMATIK. Sommeruni 2015. Louise Falkenberg og Eva Rønn

SYNLIG LÆRING OG LÆRINGSMÅL I MATEMATIK. Sommeruni 2015. Louise Falkenberg og Eva Rønn SYNLIG LÆRING OG LÆRINGSMÅL I MATEMATIK Sommeruni 2015 Louise Falkenberg og Eva Rønn UCC PRÆSENTATION Eva Rønn, UCC, er@ucc.dk Louise Falkenberg, UCC, lofa@ucc.dk PROGRAM Mandag d. 3/8 Formiddag (kaffepause

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Matematiklærernes dag 08.11.2010. Modellering

Matematiklærernes dag 08.11.2010. Modellering Matematiklærernes dag 08.11.2010 Modellering 0745 - Modellering Matematiklærernes dag 08.11.2010 Matematisk modellering I kursusbeskrivelsen Når man bruger matematik til at beskrive og forstå virkeligheden

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 2014 Institution Vid Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik A Hasse Rasmussen

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Undervisningsplan for matematik

Undervisningsplan for matematik Undervisningsplan for matematik Formål for faget Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne udvikler kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

************************************************************************

************************************************************************ Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man

Læs mere

Kompetencemål for Matematik, 4.-10. klassetrin

Kompetencemål for Matematik, 4.-10. klassetrin Kompetencemål for Matematik, 4.-10. klassetrin Matematik omhandler samspil mellem matematiske emner, matematiske arbejds- og tænkemåder, matematikdidaktisk teori samt matematiklærerens praksis i folkeskolen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Matematik og målfastsættelse

Matematik og målfastsættelse Matematik og målfastsættelse Målfastsættelse, feedforward og evaluering i matematik, oplæg og drøftelse 1 Problemløsning s e k s + s e k s t o l v 2 Punkter Målfastsættelse af undervisning i matematik

Læs mere

Skriftlige opgaver i matematik Teksttyper og stilladsering. Ved Morten Overgård Nielsen, KVUC

Skriftlige opgaver i matematik Teksttyper og stilladsering. Ved Morten Overgård Nielsen, KVUC Skriftlige opgaver i matematik Teksttyper og stilladsering Ved Morten Overgård Nielsen, KVUC Link til resultaterne fra udviklingsarbejde i matematik http://uvmat.dk/skrift/materialer.htm Alt materiale

Læs mere

Status på anvendt matematik i det almene gymnasium

Status på anvendt matematik i det almene gymnasium 57 Status på anvendt matematik i det almene gymnasium Kasper Bjering Søby Jensen, IMFUFA, RUC. Abstract. Teksten gør status på i hvilken grad anvendelse af matematik har været en selvstændig pointe i gymnasieskolens

Læs mere

Netopgaver. Kapitel 4 At tilpasse kurver til punkter

Netopgaver. Kapitel 4 At tilpasse kurver til punkter 1 Netopgaver Nogle af Omegas opgaver og et enkelt bevis er lagt her på nettet. Idéen til dette opstod, da vi kunne se, at sidetallet i Omega skulle holdes nede for at give en bekvem og håndterbar bog.

Læs mere

Verdensbilleder Side 1 af 7

Verdensbilleder Side 1 af 7 Verdensbilleder ide 1 af 7 Verdensbilleder A. elvstændigt arbejde som forberedelse: 1. Følgende tekster læses grundigt forud, og der tages notater om personer, årstal, betydningsfulde opdagelser, samt

Læs mere

Den Flydende Kran Samson

Den Flydende Kran Samson Den Flydende Kran Samson Formål: Kranen Samson, har en maksimal løfteevne på 900 tons, kranarmen er på 67 meter. Formålet med dette projekt er at løse nogle forskellige opgaver om geometrien for kranen.

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2017 Marie

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Den sproglige vending i filosofien

Den sproglige vending i filosofien ge til forståelsen af de begreber, med hvilke man udtrykte og talte om denne viden. Det blev kimen til en afgørende ændring af forståelsen af forholdet mellem empirisk videnskab og filosofisk refleksion,

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Nye Fælles Mål og årsplanen Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Interview Find en makker, som du ikke kender i forvejen Stil spørgsmål, så du kan fortælle os andre om vedkommende ift.:

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers

Læs mere

Årsplan matematik 9. kl. Formål

Årsplan matematik 9. kl. Formål Årsplan matematik 9. kl. Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede

Læs mere

UCC - Matematikdag - 08.04.14

UCC - Matematikdag - 08.04.14 I hold på 3-4 (a) Problemformulering: Hvor lang tid holder en tube tandpasta? Gå gennem modellens faser fra (a) til (f) Hvad er en matematisk modelleringsproces? Virkelighed (f) Validering (a) Problemformulering

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2013 Institution Campus Vejle, VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik A Pia Kejlberg

Læs mere

Colofon. Udgivet af Inerisaavik 2009 Udarbejdet af fagkonsulent Erik Christiansen Redigeret af specialkonsulent Louise Richter Elektronisk udgave

Colofon. Udgivet af Inerisaavik 2009 Udarbejdet af fagkonsulent Erik Christiansen Redigeret af specialkonsulent Louise Richter Elektronisk udgave Colofon Udgivet af Inerisaavik 2009 Udarbejdet af fagkonsulent Erik Christiansen Redigeret af specialkonsulent Louise Richter Elektronisk udgave Indhold Evaluering af matematik 2008 2 Tekstopgivelser 2

Læs mere

Engelsk på langs. Spørgeskemaundersøgelse blandt elever på gymnasiale uddannelser Gennemført af NIRAS Konsulenterne fra februar til april 2005

Engelsk på langs. Spørgeskemaundersøgelse blandt elever på gymnasiale uddannelser Gennemført af NIRAS Konsulenterne fra februar til april 2005 Engelsk på langs Spørgeskemaundersøgelse blandt elever på gymnasiale uddannelser Gennemført af NIRAS Konsulenterne fra februar til april 2005 DANMARKS EVALUERINGSINSTITUT Engelsk på langs Spørgeskemaundersøgelse

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X

Læs mere

INVITATION. graphic art & communication. dalhoff group ApS

INVITATION. graphic art & communication. dalhoff group ApS INVITATION Præsentation Mit navn er Henning Dalhoff og jeg har mere end 25 års erfaring som grafisk designer og illustrator og har igennem årene opbygget stor erfaring med at udvikle grafiske løsninger

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse

Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse Dig selv 1. 32 sproglærere har besvaret spørgeskemaet, 15 underviser på mellemtrinnet, 17 på ældste trin. 2. 23 underviser i engelsk, 6 i fransk, 3 i tysk,

Læs mere

Introduktion til Astronomi

Introduktion til Astronomi Introduktion til Astronomi Hans Kjeldsen Kontor: 1520-230 Email: hans@phys.au.dk Tlf.: 8942 3779 Introduktion til Astronomi 1 Introduktion til Astronomi Studieretning Astronomi 3. år Valgfag Relativistisk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 1.2.3.4. semester efterår 2013-forår 2015 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Jorden placeres i centrum

Jorden placeres i centrum Arkimedes vægtstangsprincip. undgik konsekvent at anvende begreber om det uendeligt lille eller uendeligt store, og han udviklede en teori om proportioner, som overvandt forskellige problemer med de irrationale

Læs mere

Matematik på Humlebæk lille Skole

Matematik på Humlebæk lille Skole Matematik på Humlebæk lille Skole Matematikundervisningen på HLS er i overensstemmelse med Undervisningsministeriets Fælles Mål, dog med få justeringer som passer til vores skoles struktur. Det betyder

Læs mere

Diakonalt nærvær fællesskab, der rækker ud. Fokusgruppeinterview og spørgeskemaundersøgelse. Refleksioner af sognediakon Hanne Hummelshøj Februar 2014

Diakonalt nærvær fællesskab, der rækker ud. Fokusgruppeinterview og spørgeskemaundersøgelse. Refleksioner af sognediakon Hanne Hummelshøj Februar 2014 Diakonalt nærvær fællesskab, der rækker ud. Refleksioner af sognediakon Hanne Hummelshøj Februar 01 Fokusgruppeinterview og spørgeskemaundersøgelse. Fokusgruppeinterview. Jeg har haft to fokusgruppeinterview

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Matematik, basis. Undervisningen på basisniveau skal udvikle kursisternes matematikkompetencer til at følge undervisningen

Matematik, basis. Undervisningen på basisniveau skal udvikle kursisternes matematikkompetencer til at følge undervisningen avu-bekendtgørelsen, august 2009 Matematik Basis, G-FED Matematik, basis 1. Identitet og formål 1.1 Identitet I matematik basis er arbejdet med forståelsen af de faglige begreber i centrum. Den opnåede

Læs mere

Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard

Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard Lærervejledning til Matematik 1-2-3 på Smartboard Materialet består af 33 færdige undervisningsforløb til brug i matematikundervisningen i overbygningen. Undervisningsforløbene

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2015 Institution Skive Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Niveau A Emil Hartvig emh@skivets.dk 1bhtx13 Oversigt over gennemførte

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Aktionslæring. Sommeruni 2015

Aktionslæring. Sommeruni 2015 Aktionslæring Sommeruni 2015 Indhold De fem faser i et aktionslæringsforløb - (KLEO) Interview (i flere afdelinger) Kontrakt - SMTTE Positioner, domæner Observation og observationsnotater Teamets rolle

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2016 Marie

Læs mere