To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 2012 Trykfejl rettet 14. oktober 2013

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 2012 Trykfejl rettet 14. oktober 2013"

Transkript

1 To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 01 Trykfejl rettet 14. oktober 013

2 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 1/0 Indholdsfortegnelse Indledning...1 Newtons gravitationslov... Bevægelsesligninger for de to legemer...7 Energi og impulsmoment...8 Sammenfatning...9 Keplers love...10 Keplers 1. lov...10 Keplers. lov...11 Keplers 3. lov...11 Jordens bane...1 Jord-Måne systemet...14 Mekanisk energi...14 Impulsmoment...14 Banekurverne...14 Hastigheder...14 Hohmann-banen...16 Cirkelbaner...16 Ellipsebaner...17 Sammenfatning...19 Kilder...0 Indledning I denne note vil vi udlede bevægelsesligningerne for partikler, der bevæger sig i et gravitationsfelt. Der vil blive vist eksempler på planetbevægelser om Solen, dobbeltplanetsystemer, Keplers love vil blive undersøgt og endelig vil vi parametrisere bevægelsesligningerne, så man nemt kan løse dem i et for eksempel et regneark. Den tidslige afhængighed af bevægelsen vil vi dog ikke komme ind på her. Interesserede kan læse om dette problem i [1] og []. Artiklen er stærkt inspireret af en note, som Henry Nielsen skrev til 1. års fysikstudenterne i [3].

3 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side /0 Newtons gravitationslov Isaac Newton udgav i 1687 et stort værk om den klassiske mekanik, som stadigvæk er en yderst vigtig disciplin i dag. En af Newtons resultater var gravitationsloven, som vi kender på formen F = G M m r r r (1) hvor m, M er de to legemers masser, r er deres indbyrdes afstand og r er en enhedsvektor, der r viser retningen mellem de to legemer. Et eksempel kan ses i illustrationen herunder. De to legemer påvirker ifølge Newtons 3. lov hinanden med en lige stor men modsat rettet kraft. Dvs. legeme M føler en lige så stor kraft, som legeme m gør. Newtons. lov giver en sammenhæng mellem den resulterende kraft på et legeme og dets acceleration. Loven er den velkendte F res =m a Ved at bruge Newtons. lov kan vi opskrive accelerationen på for eksempel legeme m på følgende vis Illustration 1: To legemer, der påvirker hinanden med gravitationskraften F. F res = G M m r r r =m a =m d r m m dt G M r r r = d r m dt = r m. () Øvelse Opstil et udtryk for accelerationen af legeme M. Vi har endnu ikke defineret et koordinatsystem, hvilket man naturligvis skal gøre, når man skal løse (). Ligning () er ret svær at løse, hvis man vælger et almindeligt kartesisk koordinatsystem, så derfor vil vi foretage et skift til polære koordinater, og vi vil vælge centrum for koordinatsystemet i de to legemers massemidtpunkt. Stedvektorerne for de to legemer kalder vi for r m og r M, og vi definerer den relative stedvektor som r= r M r m. Illustration viser, hvordan de to legemers stedvektorer er placeret, og vektoren for massemidtpunktet, r mmp er også indtegnet.

4 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 3/0 Illustration : Et selvvalgt koordinatsystem er indtegnet, og vektorer til at markere vigtige positioner er indtegnet. Massemidtpunktet kan vi beregne ved hjælp af formlen r mmp = m r m +M r M m+m (3) Øvelse Eftervis formlen for massemidtpunktet. Vi kan nu opskrive de to oprindelige stedvektorer ved hjælp af r mmp og r : r m = r mmp M m+m r og r M = r mmp + m m+m r. (4) Øvelse Benyt (3) og definitionen af den relative stedvektor til at vise (4). Lad os vende tilbage til (), som er den ligning for legeme m, vi skal løse. Man kan også løse bevægelsesligningen for legeme M, men det er kun nødvendigt at løse den ene af de to ligninger.

5 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 4/0 G M m r r r =m r m G M m r r r =m ( r M (5) mmp r )''= M m m+m m+m r μ r Ved differentiationen ovenfor forsvinder leddet med massemidtpunktet, da koordinatsystemet ikke accelereres det er et inertialsystem. Det kan vi regne ud, da begge legemer samlet set udgør et fælles system, hvor summen af kræfterne i systemet er 0 ifølge Newtons 3. lov. (Kun gravitationskraften virker på de to legemer.) Da den samlede kraft er 0, er accelerationen af systemet 0. (Men accelerationen på de enkelte legemer er naturligvis ikke 0.) μ kaldes for den reducerede masse. Man kan forstå størrelsen intuitivt, hvis f.eks. vi betragter Sol- Jord-systemet. Der er m M og dermed m μ. Den reducerede masse kan altså forstås som en lille planet, der kredser om en stor stjerne. Kraften er parallel med r, og derfor må kraftmomentet M = r F= 0. Altså er impulsmomentet bevaret, da ( M = d L dt = d ( r p).) Hvis impulsmomentet er bevaret i både størrelse og retning, må dt stedvektor og hastighedsvektor til alle tider være vinkelrette på L, og derfor ligger banebevægelsen i et plan vinkelret på L ' s retning. Derfor lægger vi koordinatsystemet, så z-aksen peger i L ' s retning. I det valgte koordinatsystem er z=0 til alle tider. Vi opskriver den relative stedvektor, r, som et tal ganget en retningsvektor. Retningsvektoren for r kaldes e r. Den er givet ved udtrykket e r = r r = ( cos(ϕ) sin (ϕ)) (6) Dvs. r=r e r. Vi differentierer og får r=ṙ e r +r e r. I det følgende er det en nyttig ting at bruge hat-vektoren. Husk at a=( a ). Se også illustration 3. Lad os differentiere enhedsvektoren. e r =( cos(ϕ) sin(ϕ)) ( '= sin(ϕ) cos(ϕ) ) ϕ e ϕ ϕ. Bemærk at vi her har defineret den 'hattede' retningssvektor til e ϕ. Vi differentierer også denne og får e ϕ =( sin(ϕ) cos(ϕ) ) ( ' = cos(ϕ) sin (ϕ)) ϕ= e ϕ. r Nu kan vi finde r : r=ṙ e r +r e r r=(ṙ e r +r e r )' r=(ṙ e r +r e ϕ ϕ)' r= r e r +ṙ e r +ṙ e ϕ ϕ+r ( e ϕ ϕ+ e ϕ ϕ). Illustration 3: En vektor, der hattes svarer til at rotere den 90º mod uret.

6 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 5/0 Reglen om differentiation af et produkt er anvendt ovenfor. Til sidst substituerer vi de differentierede retningsvektorer væk. r= r e r +ṙ er +ṙ e ϕ ϕ+r ( eϕ ϕ+ e ϕ ϕ)= r e r +ṙ e ϕ ϕ+ṙ e ϕ ϕ+r ( e r ϕ + e ϕ ϕ) r=( r r ϕ ) e r +(ṙ ϕ+r ϕ) e ϕ (7) Udtrykket i (7) indsættes i (5): G m M r e r = μ r= μ (( r r ϕ ) e r +( ṙ ϕ+r ϕ) e ϕ ). På venstresiden er er der ingen størrelser, der peger vinkelret på e r. Altså må. led på højresiden være nul. Vi kan dermed i stedet for vektordifferentialligningen (5) nu løse to skalare differentialligninger: ϕ ṙ +r ϕ=0 (8) Vi kan altså sammenfatte følgende: G m M = G (m+m ) = r r ϕ μ r r (9) Vi har anvendt Newtons. lov samt hans gravitationslov til at opstille den resulterende kraft på to legemer med masserne m og M i den indbyrdes afstand r. Det gav en vektordifferentialligning. Vi har valgt et koordinatsystem med origo i massemidtpunktet for de to legemer. z-aksen peger i impulsmomentets retning, dvs. banebevægelsen foregår i (x, y)-planet. Vi har lavet et koordinatskift, så vi i stedet for at løse () for begge partikler nu kun løser ligningerne for den reducerede partikel med massen μ. Vi kan vha. (4) efterfølgnede beregne bevægelsen for de to legemer. Endelig har vi vha. vektorregning fået splittet (5) op i to skalare differentialligninger i stedet for én vektordifferentialligning. De to ligninger vil vi nu løse. Vi så på side 4 at impulsmomentet, L, er bevaret. Vi kan skrive impulsmomentet på to måder; en for den reducerede partikel og en for de to legemer m og M. Det viser sig, at det giver samme udtryk, som er: L m r m v m +M r M v M =μ r v L=μ r v ϕ =μ r r ϕ=μ r ϕ ϕ= L μ r (10) Opgave Ovenstående ligning skal vises. a) Benyt sammenhængen mellem stedvektorerne i formel (3) og (4) samt at r = v til at vise udtrykket før medførertegnet i formel (10) ovenfor. Husk også at vi har sat origo i massemidtpunktet. b) Vis resten idet du husker at v ϕ =r ϕ. (10) indsættes i (9) hvorved vi får en differentialligning, som kun afhænger af r og t: G m M μ r = r r ϕ L = r r ( μ r ) = r L μ r 3

7 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 6/0 r= G m M μ r + L μ r 3 (11) (11) kan man løse mht tiden, og når r(t) er kendt, kan man løse (10). Det er dog stadigvæk en ganske kompliceret opgave, så vi vil løse r (ϕ). Vi starter med (10) for at ændre differentiation mht. tid til differentiation mht. vinkel: ϕ= L μ r d ϕ dt = L μ r d dt = L μ r d d ϕ. Vi kan dermed omskrive venstresiden i (11), så formlen nu bliver L μ r d d ϕ ( L dr μ r d ϕ )= G m M + L μ r μ r L 3 μ d d ϕ ( L dr μ r d ϕ )= G m M μ + L μ r. For at forsimple sagerne vælger vi nu at løse problemet for den reciprokke afstand dvs. vi definerer u 1 r. Dermed bliver formlen L μ d d ( 1 u ) d ϕ (u d ϕ )= G m M μ + L u L d μ d ϕ (u ( 1) u du d ϕ )= G m M μ+ L u d u d ϕ = G m M μ +u L d u G m M μ +u= (1) d ϕ L (1) er en lineær. ordens differentialligning, som enhver gymnasieelev på mat A-niveau har lært at løse. Øvelse a) Vis at den generelle løsning til (1) er u=c 1 cos(ϕ)+c sin(ϕ)+r, hvor R= G m M μ L. b) Vis at c 1 cos(ϕ)+c sin(ϕ)= A cos(ϕ ϕ 0 ), hvor A cos(ϕ 0 )=c 1 og A sin (ϕ 0 )=c. c) Vis endelig at u=a cos(ϕ ϕ 0 )+ R, hvor R= G m M μ L. Ved hjælp af resultatet fra øvelsen ovenfor kan vi nu opskrive funktionen for r r=( A cos(ϕ ϕ 0)+ G m M μ 1 L ) (13) Endelig skal konstanten, A i (13) bestemmes. Vi definerer eccentriciteten, e r max r min r max +r min. Hvis cos(ϕ ϕ 0 )=1 er r mindst og hvis cos(ϕ ϕ 0 )= 1 er r størst. Dermed får vi ved indsættelse i definitionen af eccentriciteten at A= e G m M μ L. Dette udtryk indsættes i (13).

8 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 7/0 r=( e G m M μ cos(ϕ ϕ L 0 )+ G m M μ 1 L ) ( G m M μ ( L L ( G M m μ ) r= e cos(ϕ ϕ 0 )+1 1 ) (e cos(ϕ ϕ 0 )+1)) r= r 0 e cos(ϕ ϕ 0 )+1,r 0 = L G M m μ (14) r 0 er afstanden mellem de to legemer, når ϕ=ϕ 0 ± π. Ved at indsætte (14) i (10) og (11) kan vi få løst bevægelsesligningerne som funktion af tiden, men udtrykket bliver voldsomt indviklet, så det gøres ikke her. Bevægelsesligninger for de to legemer (6) og (14) indsættes i (4), for at vi kan få stedvektorerne for de to legemer r m = r mmp M m+m r og r = r + m M mmp m+m r r m = r mmp M m+m r e og r = r + m r M mmp m+m r e r r m = r mmp M m+m r 0 e cos(ϕ ϕ 0 )+1 e og r = r + m r M mmp m+m r 0 e cos(ϕ ϕ 0 )+1 e r r m = r mmp M m+m r 0 e cos(ϕ ϕ 0 )+1 ( cos(ϕ) sin(ϕ)) r M = r mmp + m m+m r 0 e cos(ϕ ϕ 0 )+1 ( cos(ϕ) sin(ϕ)), L r 0 = G M m μ. Illustration 4 viser en tegning af de to stedvektorer i (15) samt den relative stedvektor r i tilfældet M=3kg, m=1kg, e=0,8, r 0 =1. Altså er L= 3 G.(SI.) (15) Man ser af (15), at banekurvernes form er ens, da eccentriciteten er ens for m, M og μ. Massemidtpunktet er valgt som origo i illustration 4. (Derved forenkles formlerne i (15) også en smule.) Vi ser iøvrigt af (15) at impulsmomentets størrelse, har betydning for banekurvens form. Der er endnu en bevægelseskonstant, som er interessant i banebevægelsen, og det er naturligvis den mekaniske energi. Vi vil i det næste afsnit se på energi og impulsmoment.

9 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 8/0 Illustration 4: Den blå kurve er stedbevægelsen for μ, den røde for M og den grønne for m. Energi og impulsmoment Fra (10) så vi, at det samlede impulsmoment for legemerne m og M er identisk med impulsmomentet for den reducerede partikel. Vi kan udlede et udtryk for impulsmomentet ved at tage udgangspunkt i (14). L= r 0 G M m μ= r 0 G μ (m+m ). (16) Den mekaniske energi af systemet er E mek =E kin (m)+e kin (M )+E pot (r)= 1 (m v m+m v M )+ E pot (r). Den potentielle energi, kan vi udregne ved hjælp af definitionen af potentiel energi r E pot (r)= F y d r= r r ( F + F ) d r =G m M 1 r dr= G m M r. Ovenfor har vi benyttet at kraften er en radialkraft samt at nulpunktet er valgt i uendelig. Bemærk at den potentielle energi er en energi, der hører til systemet "to legemer." Dvs. systemets samlede mekaniske energi er E mek (r)= 1 (m v m+m v M ) G m M (18) r Vi lægger koordinatsystemet i massemidtpunktet og differentierer (15). Der indsættes i (18) og efter reduktion får vi følgende udtryk for den mekaniske energi (17)

10 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 9/0 E mek = G M m r 0 (e 1) (19) Øvelse a) Differentier (15) mht tiden. Husk også at vinklen, φ,samt enhedsvektoren skal differentieres. (Brug kædereglen samt reglen for differentiation af et produkt.) b) Beregn størrelsen af kvadratet på hastighederne, v m samt v M. c) Indsæt de fundne udtryk i (18) og reducer. Oftest skriver man energien som funktion af den halve storakse, a, for den reducerede partikel som er halvdelen af den maksimale baneradius for hver af de to legemer. Fra (14) får vi for legeme μ a= r +r max min = 1 ( r 0 1 e + r 0 1+e )= r 0 (0) 1 e Indsættes (0) i (19) fås E mek = G M m a (1) Sammenhængen mellem a og de halve storakser for legeme m og M er som følger a m = r max min m +r m = M (m+m ) (r max+r min ) = M m+m a, a M = r max min M +r M = m (m+m ) (r +r ) max min = m m+m a a m +a M =a Til sidst kan vi indsætte (0) i (16) og vi får L= r 0 G M m μ= (1 e ) a G μ (m+m ). Læg mærke til at den mekaniske energi er uafhængig af impulsmomentet, mens impulsmomentet afhænger af eccentriciteten e. Dvs. alle baner med samme halve storakse har samme energi uanset hvor excentriske deres baner er, men deres impulsmoment er ikke det samme. Sammenfatning Tolegemeproblemet kan karakteriseres ved de to legemers masser m og M, eccentriciteten, e, samt den halve storakse, a, hvor man har defineret sit koordinatsystems nulpunkt i massemidtpunktet. Impulsmomentet L er givet ved formlen Systemets mekaniske energi er givet ved formlen L= (1 e ) a G μ (m+m ). () E mek = G M m a (3) hvor a=a M +a m. a m og a M er den halve storakse for legemerne med masserne m og M. Stedbevægelsen er givet ved formlerne

11 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 10/0 r m = M m+m a (1 e ) e cos(ϕ)+1 ( cos(ϕ) sin (ϕ)) r M = m m+m a (1 e ) e cos(ϕ)+1 ( cos(ϕ) sin(ϕ)). (4) Ovenfor er tiden defineret, så ϕ(0)=0. Keplers love Newton anvendte Keplers 3 love til at udlede mekanikken, som gravitationskraften er en del af. Derfor er det måske lidt omvendt at udlede Keplers love ud fra Newtons teori, men vi gør det alligevel, da det kan give lidt mere fysisk indsigt i lovene. Keplers 1. lov Første lov lyder: "Planeterne bevæger sig i ellipsebaner omkring Solen, med Solen i det ene brændpunkt." Formel (14) er netop formlen for en ellipse, når man anvender polære koordinater. Dermed er udtrykkene i (4) også ellipsebaner, da eneste forskel fra (14) er en konstant. Det er altså nok at betragte formel (4), når man skal vise at banen er en ellipse. Vi kan overbevise os om dette ved at omregne til kartesiske koordinater. ( x y) = r= a (1 e ) e cos(ϕ)+1 ( cos(ϕ) sin (ϕ)) =r ( cos(ϕ) sin(ϕ)), r= a (1 e ) e cos(ϕ)+1 r e cos(ϕ)+r=a (1 e ) x=r cos(ϕ) y=r sin(ϕ) e x+ x + y =a (1 e ) x + y =a (1 e ) e x x + y =a (1 e ) +e x a (1 e ) e x (1 e ) x + y + a (1 e ) e x=a (1 e ) (5) e>1 (5) kan skrives på formen y h x i x= j, hvor h, i, j>0. Denne funktionstype fremstiller en hyperbel. e=1 I dette specialtilfælde bryder (0) sammen. Det betyder, at den halve storakse a er uendelig stor. Vi kan dog bruge formlen (14) for stedbevægelsen, og så bliver (5) en smule anderledes: r 0 r= e cos(ϕ ϕ 0 )+1 (1 e ) x + y r 0 e x=r 0 y r 0 x=r 0 x= y r 0 r 0. Ovenstående formel fremstiller en liggende parabel. e<1 (5) kan skrives på formen y +h x +i x= j, hvor h, i, j>0. Denne funktionstype fremstiller en ellipse. Kepler sagde også, at Solen er i det ene brændpunkt. Dette kan vi overbevise os om, da Solens masse er 1047 gange så stor som Jupiters masse, og Jupiters masse er den største i Solsystemet. Stedbevægelsen for Solen er altså med god tilnærmelse r M 0. Dermed bliver a M nærmest 0, og dermed bliver den halve storakse for planetbanen, a m =a. Det skal dog siges, at Solen

12 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 11/0 ikke står helt stille i sin bane. Den kredser omkring det fælles tyngdepunkt med Jupiter med en radius på ca. 0,005AU, hvilket svarer til en Solradius. Kepler havde altså ikke helt ret i at Solen står stille i det ene brændpunkt, men tilnærmelsen er god. Øvelse a) Vælg tilfældige h, i, j-værdier og tegn y(x) for eccentricitet hhv større eller mindre end 1. b) Vælg en tilfældig r 0 og tegn y(x) for e=1. Keplers. lov Anden lov lyder: "Aksen mellem planeten og Solen gennemstryger lige store arealer i lige store tidsrum." (10) siger ϕ= L μ r. Vi fandt også på side 4, at L=konstant både i størrelse og retning. Betragt illustration 5. Arealet af trekanten er da= 1 r r d ϕ. Her har vi tilnærmet arealet som værende arealet af en trekant, hvor grundlinien er r og højden er r d ϕ. Vi kan dele med tidsrummet dt og vi får dermed da dt =1 r r d ϕ dt = 1 r L μ r = L μ. Da impulsmomentet er konstant, har vi altså vist at arealhastigheden er konstant dette er jo netop Keplers. lov. Keplers 3. lov Illustration 5: Aksen mellem Sol og planet overstryger arealet da i tidsrummet dt. Tredie lov lyder: "For en planet gælder at den halve storakse i tredie potens over kvadratet på omløbstiden er en konstant." T L Hvis vi integrerer udtryket for Keplers. lov, får vi da=a= 0 μ dt= L μ T. Fra matematikken ved vi, at arealet af en ellipse er A=π a b, hvor a, b er hhv. Halve storake og -lilleakse. Dermed kan vi sætte de to udtryk sammen, så vi får π a b= L T μ. (6) Fra () får vi L= r 0 G μ (m+m )= a (1 e ) G μ (m+m ). Vi mangler at finde et udtryk for b. Betragt illustration 6. Hvis vi kan finde koordinaterne for c, har vi automatisk b. Vi ved fra tidligere at a= r 0 1 e og r = r 0 min. Illustration 6 viser, at liniestykket fra origo til aksen, der er 1+e sammenfaldende med b er x =a r min. Dvs. x =a a (1 e ) =a e. Da x=r cos(ϕ) og 1+e y=b=r sin(ϕ) finder vi ved substitution

13 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 1/0 r 0 x= a e = cos(ϕ) cos(ϕ)= e. e cos(ϕ)+1 Vi kan bruge Pythagoras' sætning til at finde en sammenhæng mellem x, b og r: (e a) +b =r. Dvs. (e a) +b = (a (1 e )) (e cos(ϕ)+1) = (a (1 e )) (e ( e)+1) =a b=a 1 e Til sidst kan vi indsætte udtrykkene for a og b i (6) Illustration 6: Ellipse med koordinatsystemets origo i brændpunktet. π a a 1 e = a (1 e ) G μ (m+m ) T μ π a 4 (1 e )= a (1 e ) G μ (m+m ) T 4 μ a 3 ) G =(m+m (7) T 4 π Kepler påstod, at højresiden er en konstant, men vi ser, at den faktisk varierer en smule, da planeternes masser, m, varierer. Leddet er dog tilnærmelsesvist konstant pga. Solens store masse ift. planetmasserne. Jordens bane Som vi har set viste Kepler, at planeterne bevæger sig i ellipsebaner omkring Solen. Den opdagelse gjorde han ved at studere Marsbanen. Man kan dog også studere Jordens egen bane ved at gøre som Cassini og nogle Jesuitterpræster gjorde i 1650'erne i San Petronio-katedralen i Bologna. [4] Ved at måle Solens diameter på gulvet hver dag hele året Illustration 7: En meridianpassage optaget i rundt, vil man opdage, at Petronio-katedralen i Bologna. [5] den varierer i løbet af året fordi Jordens afstand til Solen varierer. Illustration 8: En skitse af hvordan Solskiven aftegnes på et gulv, hvis der er et punktformet hul i loftet af en bygning. Solens vinkeldiameter på himmelen udtrykker et direkte mål for afstanden til Solen. Det kan man se af illustration 8. Tilnærmelsesvist gælder: tan ( α )= D r d b D r b d. Afstanden til Solen r JS =r+r J, men man kan i en første approksimation sætte Jordens radius, R J, til 0. Det er jo et relativt mål for afstanden man får, (D kræves kendt, hvis et absolut mål for afstanden skal beregnes) men for at finde eccentriciteten gør det ikke noget, da formen på ellipsebanen er den samme. Vi kender sammenhængen mellem største og mindste afstand og eccentriciteten fra definitionen, som står på side 6. e= r max r min r max +r min. r er den relative stedvektor mellem Jorden og Solen, dvs. ved at finde største og mindste afstand for Solen-Jorden, kan eccentriciteten bestemmes. Det viser sig, at

14 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 13/0 den for Jordbanen er e=0,0167. Man kan ved denne metode også finde den halve storakse for Jorden og Solen da a= r +r max min. Denne formel kræver dog, at man kan finde de absolutte længder, r. Dette var ikke en enkel sag at finde, men man kan, ved for eksempel at observere en Venustransit, bestemme den astronomiske enhed. [6] På den måde har man fundet, at middelafstanden mellem Solen og Jorden er a=1, m. Ved at måle et siderisk omløb for Sol-Jord-systemet kan man veje Jord-Sol-systemet. Omløbstiden for Jorden kan måles ved, at man en dag måler Solens position på himmelen f.eks. lige før Solopgang. Næste gang Solen ved solopgang står nøjagtigt på samme position på himmelen, er et siderisk omløb passeret. En måling viser, at det sideriske omløb T=365,56361 middelsoldøgn. Man kan nu benytte Keplers 3. lov til at finde Solens og Jordens samlede masse: a 3 +m) 4 π (1, m) 3 =G (M (M +m)= =1, kg. T 4 π 6, N m kg (365, s) Hvis man vil finde afstandene for de øvrige planeter, kan man også benytte sig af Keplers 3. lov, men det kræver først, at man har fundet de sideriske omløbstider for planeterne. Teorien for at finde disse værdier kan læses i [7]. Hvis man vil bestemme Jordens absolutte masse (og dermed også Solens), kan man i princippet sende en satellit i omløb om Jorden, og så benytte Keplers 3. lov til at veje Jorden. Men det er noget lettere og en hel del billigere at udføre Cavendish' eksperiment i stedet for. [8] Jordens masse er i dag kendt til at være m=5, kg. Dvs. resultatet i beregningen ovenfor i praksis viser Solens masse. Ved brug af formlerne på side 9 kan vi finde den halve storakse for Jordens bane omkring massemidtpunktet samt for Solens bane omkring massemidtpunktet. a m = M m+m a= 1, kg 1, kg+5, kg 1,00 AU =( ) AU, a M = m m+m a= 5, kg 1, kg+5, kg 1,00 AU =3, AU. Det er altså åbenlyst, at Jordens bane til stor præcision beskrives af den reducerede partikels bevægelse 1. Solbanens halve storakse er altså ca. 450km, som man kan sammenligne med dens radius på km. Det er dog en smule anderledes for Jupiter, da den vejer 318 gange så meget som Jorden. Sol- Jupiter-systemets halve storakse er a=5,03au, og dens eccentricitet e=0,0484. Her er Solens halve storakse a Sol =4, AU =7, km=1,07 R Sol. Her er det altså tydeligt, at Sol-Jupitersystemet ikke beskrives særligt godt af den reducerede partikels bevægelse. Øvelse a) Beregn impulsmoment og mekanisk energi for Jord-Sol-systemet. b) Gentag beregningen for Sol-Jupiter-systemet. 1 Bemærk dog, at med vores valg af relativ stedvektor vil den reducerede partikels bane skulle spejles 180º for at den viser Jordens bane.

15 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 14/0 Jord-Måne systemet Jorden og Månen er sammenlignelige i størrelse. Månens masse m=7, kg=0,013 M Jord. Middelafstanden mellem de to kloder er a=3, m, og eccentriciteten er e=0,0549. Den anomalistiske måned, som er defineret som tiden fra perigæum til perigæum, er 7, middelsoldøgn. Månebanen er svær at beregne præcist, fordi der i realiteten er tale om et trelegemeproblem. (Solen, Jorden og Månen.) Vi vil dog antage et to-legemeproblem og undersøge bevægelsen uden hensyntagen til Solens træk i Jorden og Månen. Mekanisk energi 11 N m E mek = G M m 6, kg 5, kg 7, kg = = 3, J. a 3, m Impulsmoment L= (1 e ) a G μ (m+m ) L= (1 0,0549 ) 3, N m m 6, kg (7, kg) 6, kg Banekurverne 34 kg m L=,86 10 s. (4) giver os formlerne for banekurven. Kurverne ser ud som vist på illustration 9. a Månen =3, m a Jorden =4, m r Månen max =4, m r Månen min =3, m r Jorden max =4, m r Jorden min =4, m. Illustration 9 er tegnet i Freemat, og koden til at lave beregningerne kan f. eks. se ud som vist i slutningen af dette afsnit. Freemat er i øvrigt en gratis Matlab-klon, som kan hentes i [9]. Hastigheder Man kan altid differentiere stedfunktionerne for at få hastighederne i alle punkter. Det er gjort på side 4-5. Ved lidt videre manipulation får man Illustration 9: Den blå kurve viser Månens bane, og den grønne viser Jordens bane. Enhederne langs akserne er i meter.

16 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 15/0 v(ϕ)= ṙ +(r ϕ) = ( e L sin (ϕ) μ a (1 e )) +( L μ r ), v m (r)= M m+m v(ϕ),v J (r)= m m+m v(ϕ). Hvis m<<m kan man også anvende energiformlen og sætte E kin (M ) 0. Dermed giver 1 mekanikkens energisætning os, at m v(r) = G M m + G M m v(r)= a r G M ( r 1 a ). Nedenfor er vist en sammenligning af v(r) for Månen beregnet ved en direkte metode, samt ved hjælp af ovenstående tilnærmede formel. (x-aksen viser φ målt i radianer.) Som man kan se, er den relative fejl på Månens hastigheder konstant lig med 0,61%. Energibetragtninger giver altså en rigtig god tilnærmelse for Månens hastighed. Det samlede program til at tegne ovenstående banekurver samt hastighedskurver kan se ud som i eksemplet nedenfor. mj=5.976e4; mm=7.348e; my=mm*mj/(mm+mj); a= e8; e=0.0549; phi=(1:100)*.*pi/99.; r=a*(1-e^)/(e*cos(phi)+1); rxm=-mj/(mm+mj)*r.*cos(phi); rym=-mj/(mm+mj)*r.*sin(phi); rxj=mm/(mm+mj)*r.*cos(phi); ryj=mm/(mm+mj)*r.*sin(phi); plot(rxm,rym); plot(rxj,ryj); plot(rxm,rym,rxj,ryj); figure(1);title('jord-måne-systemet'); rm=sqrt(rxm.^+rym.^); rj=sqrt(rxj.^+ryj.^); rmmax=max(rm); rmmin=min(rm); rjmax=max(rj); rjmin=min(rj); L=((1.-e^)*(mj+mm)*a*6.674e-11*my^)^0.5; v=sqrt((e*sin(phi)*l/(my*a*(1.-e^))).^+(l/(my.*r)).^);

17 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 16/0 vm=mj/(mm+mj)*v; vj=mm/(mm+mj)*v; figure();plot(phi,vm); figure();title('månens hastighed'); figure();xlabel('phi'); figure();ylabel('v (m/s)'); figure(3);plot(phi,vj); figure(3);title('jordens hastighed'); figure(3);xlabel('phi'); figure(3);ylabel('v (m/s)'); vmca=sqrt(6.674e-11*mj*(./r-1./a)); figure(4);plot(phi,vmca); figure(4);title('månens hastighed udfra energibetragtning.'); figure(4);xlabel('phi'); figure(4);ylabel('v (m/s)'); dvm=(vm-vmca)./vm*100.; figure(5);plot(phi,dvm); figure(5);axis([ ]); figure(5);title('relative afvigelser af Månens hastighed.'); figure(5);ylabel('%'); figure(5);xlabel('phi'); Hohmann-banen Walther Hohmann regnede i 195 ud, hvordan man mest økonomisk kunne flytte sig fra én bane om et centrallegeme til en ny. Det viser sig, at man skal skifte bane via en ellipsebane. Herunder følger et par eksempler på baneskift. Hastigheden i en ellipsebane for et legeme, der kredser et meget tungere legeme, er i en given afstand, r, givet ved formlen (vist på side 15) v i= G M ( r i 1 a i ) og impulsmomentet er givet ved L i = (1 e ) a i G m M =m i r i v i. Ovenfor er benyttet at M>>m. Cirkelbaner Rumskibet starter i bane 1, og vi vil løfte den op i en højere bane kaldet bane. Rumskibet løftes i en ellipsebane, og vi konstruerer banen ved momentant at øge hastigheden fra v 1 til v t. Betragt illustration 10. Her ser man transportbanen markeret med en stiplet kurve. Transportbanens halve storakse er a t = +a dvs. den mekaniske energi i transportbanen er E mek = G M m +a. Nu kan vi finde den hastighed, som er krævet for at flytte rumskibet ud i transportbanen: Δ E mek =E t E 1 = G M m +a Dermed må hastigheden skulle øges med, ( G M m )=Δ E a kin = 1 1 m (v t v 1 ) og v t = G M ( 1 1 +a )= G M a ( +a ). Illustration 10: Transportbanen for rumskib, der flyttes fra en indre bane til en ydre.

18 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 17/0 Δ v 1 =v t v 1= G M a ( +a ) G M = ( G M a (8) +a 1) Når rumskibet er kommet op i transportbanens aphelafstand, skal der atter tilføres energi, så eccentriciteten bliver 0, eller sagt på en anden måde skal hastigheden i aphel øges til v cirkel (a ). Når rumskibet når aphel af transportbanen er v aphel= G M ( a +a )= G M a ( +a ). Dermed kan vi beregne Δ v =v cirkel v aphel= G M G M a a ( +a ) = G M a ( 1 +a ). (9) Man kan altså flytte et rumskib fra en bane til en bane længere væk ved at lave to hastighedsændringer, hvor hastighedsændringerne er givet ved (8) og (9). Bemærk, at hvis man vil flyve fra Jorden til en anden planet, skal man også beregne den energitilførsel, der skal til, for at rumskibet kan blive frigjort fra Jordens tyngdefelt. Øvelse Udled ligninger for det tilfælde, hvor man ønsker at flytte fra en ydre bane til en indre. Eksempel Vi ønsker at flytte en rumsonde fra Jordbanen til Marsbanen i tilfældet, at der er tale om cirkelbevægelser i begge baner. De halve storakser er =1AU og a =1,881AU. Vi antager, at rumskibet allerede er fri af Jordens tyngdefelt. (Dvs. Rumskibet skal være skudt afsted med en teoretisk starthastighed på 11,km/s. I praksis behøver man ikke skyde raketten afsted som et projektil, men den kinetiske energi, der svarer til en starthastighed på 11,km/s kræves for at undslippe Jordens tyngdefelt.) = v G M Sol 1 = G 1, kg =9,8 km/ s. 1, m 1+1,881 ) 1 =4,5 km/ s Δ v = G 1, kg 1,881 1, m ( 1 1AU (1+1,881) AU ) =3,6 km/s. Δ v 1= G 1, kg 1, m ( 1,881 Vi kan også beregne flyvetiden, for transportbanen udgør jo en ellipse med Solen i det ene brændpunkt, så vi kan bruge Keplers 3. lov: T = 1 4 π ( a +a 3 1 ) =, s=316 dage. G M Ellipsebaner I Dette eksempel betragtes det tilfælde, at vi har to ellipsebaner, hvis storakser er sammenfaldende. Lad den indre bane have parametrene e 1,, og den ydre bane have parametrene e, a. Vi vælger, at skyde raketten afsted, når den er i aphel for den indre bane og så lade transportbanen skære perihel for den ydre bane. Situationen er Illustration 11: Raketten afskydes fra aphel i indre bane og skydes op i perihel for den ydre bane.

19 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 18/0 skitseret i illustration 11. Den halve storakse for transportbanen er a t = r 1 r 1 aphel =(1+e 1 ) og r per =(1 e ) a. aphel +r per Ved indsættelse i formlen for mekanisk energi, kan vi finde tilvæksten i mekanisk energi, for at flytte rumskibet fra bane 1 til transportbanen.. Δ E mek = 1 m (v t v(r ap 1 ) G M m )= G m M (1+e 1 ) +(1 e ) a v t = G M (1+e 1 ) ( a (1 e ) (1+e 1 )+a (1 e )) Altså kan vi nu beregne den hastighedstilvækst, som rumskibet skal øges for at løfte den ud i transportbanen = Δ v G M 1 (1+e 1 ) ( a (1 e ) (1+e 1 )+a (1 e )) ( G M (1+e 1 ) 1 ) Δ v 1= G M ( (1+e 1 ) a (1 e ) 1) (1+e 1 )+a (1 e ) 1 e (30) Når rumskibet er nået ud til transportbanens perihel, er dens hastighed ). (1 e ) a (1+e 1 ) +(1 e ) a v(r t per )= G M ( r t per 1 a t )= G M ( r per 1 a t )= G M ( For at komme ind i den nye bane, skal sluthastigheden være v = ( G M r 1 per a ) = ( G M a (1 e ) 1 a ) = ( G M 1+e a (1 e )) Altså må den sidste hastighedsændring blive Δ v =v v(r per t )= ( G M 1+e a (1 e )) G M (1+e 1 ) (1 e ) a ((1+e 1 ) +(1 e ) a ) Δ v = G M a (1 e ) ( 1+e (1+e 1 ) ) (31) (1+e 1 ) +(1 e ) a Eksempel. Satellit omkring Jorden Lad =50000km og e 1 =0,1. Vi ønsker at flytte satellitten op i en ny bane med a =60000km og e =0. Dermed får vi i aphel som følger: v 1= G 5, kg ( (1+0,1) 5, m 1 )=,55 km/s 5, m Δ v 1= G 5, kg 6, m (1 0) 5, m (1+0,1)+6, m (1 0) 1 0,1 ) =196m /s 5, m (1+0,1) (

20 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 19/0 Δ v = G M a (1 e ) ( 1+e (1+e 1 ) ) (1+e 1 ) +(1 e ) a =56,6m/s. Sammenfatning Denne artikel har beskrevet -legemeproblemet samt Hohmann-baner. Emnet er slet ikke udtømt med denne korte note, og den interesserede læser kunne f. eks. arbejde videre med Lagrangepunkter, Gravity assist eller udføre en analyse af flerlegemeproblemer ved hjælp af numeriske metoder. -o-

Udledning af Keplers love

Udledning af Keplers love Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg

Læs mere

Formelsamling i astronomi. November 2015.

Formelsamling i astronomi. November 2015. Formelsamling i astronomi. November 015. Formelsamlingen er ikke komplet det bliver den nok aldrig. Men måske kan alligevel være til en smule gavn. Sammenhæng mellem forskellige tidsenheder: Jordens sideriske

Læs mere

Keplers love og Epicykler

Keplers love og Epicykler Keplers love og Epicykler Jacob Nielsen Keplers love Johannes Kepler (57-60) blev i år 600 elev hos Tyge Brahe (546-60) i Pragh, og ved sidstnævntes død i 60 kejserlig astronom. Kepler stiftede således

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Venus relative størrelse og fase

Venus relative størrelse og fase Venus relative størrelse og fase Steffen Grøndahl Planeten Venus er værd at studere i teleskop. Med blot en forstørrelse på 20-30 gange, kan man se, at Venus ikke er punktformet og at den ligesom Månen

Læs mere

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

Kræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter.

Kræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. Kræfter og Energi Jacob Nielsen 1 Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. kraften i x-aksens retning hænger sammen med den

Læs mere

Keplers Love. Om Kinematik og Dynamik i Renæssancens Astronomi. Folkeuniversitetet 9. oktober 2007

Keplers Love. Om Kinematik og Dynamik i Renæssancens Astronomi. Folkeuniversitetet 9. oktober 2007 Keplers Love Om Kinematik og Dynamik i Renæssancens Astronomi Folkeuniversitetet 9. oktober 2007 Poul Hjorth Institut for Matematik Danmarke Tekniske Universitet Middelalderens astronomi var en fortsættelse

Læs mere

Kometer. Af Mie Ibsen & Marcus Guldager Nordsjællands Grundskole & Gymnasium. http://esamultimedia.esa.int/images/science/rosetta2.

Kometer. Af Mie Ibsen & Marcus Guldager Nordsjællands Grundskole & Gymnasium. http://esamultimedia.esa.int/images/science/rosetta2. Kometer Af Mie Ibsen & Marcus Guldager Nordsjællands Grundskole & Gymnasium http://esamultimedia.esa.int/images/science/rosetta2.jpg Indholdsfortegnelse side Introduktion... 2 Problemformulering... 2 Baggrund...

Læs mere

Den astronomiske enhed

Den astronomiske enhed Bestemmelse af Den astronomiske enhed Snapshot fra Stellarium Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus Juni 2012. (Redigeret maj 2015.) Bestemmelse af den astronomiske enhed. side 1/10

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Relativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015

Relativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Relativitetsteori Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Koordinattransformation i den klassiske fysik Hvis en fodgænger, der står stille i et lyskryds,

Læs mere

Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen

Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser John V Petersen Newtons love 2016 John V Petersen art-science-soul Indhold 1. Indledning og Newtons love... 4 2. Integration af Newtons 2. lov og bevægelsesligningerne...

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

Teoretiske Øvelser Mandag den 31. august 2009

Teoretiske Øvelser Mandag den 31. august 2009 agpakke i Astronomi: Introduktion til Astronomi Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 3. august 009 Teoretiske Øvelser Mandag den 31. august 009 Øvelse nr. 1: Keplers og Newtons love Keplers 3. lov giver en sammenhæng

Læs mere

Lysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009

Lysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009 Lysets hastighed Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.1.009 Indholdsfortegnelse 1. Opgaveanalyse... 3. Beregnelse af lysets hastighed... 4 3.

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. Kenneth Hansen. 5. Kurver og keglesnit

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. Kenneth Hansen. 5. Kurver og keglesnit Matematikkens mysterier - på et højt niveau af Kenneth Hansen 5. Kurver og keglesnit 5. Kurver og keglesnit 5.1 Kurver: Parameterfremstilling og ligning 5. Hastighed, acceleration og tangenter 7 5.3 Kurveundersøgelser

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, lørdag den 13. december, 2014 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle tilladte hjælpemidler på

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

RKS Yanis E. Bouras 21. december 2010

RKS Yanis E. Bouras 21. december 2010 Indhold 0.1 Indledning.................................... 1 0.2 Løsning af 2. ordens linære differentialligninger................ 2 0.2.1 Sætning 0.2............................... 2 0.2.2 Bevis af sætning

Læs mere

Mekanik Legestue I - Gaussriffel og bil på trillebane

Mekanik Legestue I - Gaussriffel og bil på trillebane Mekanik Legestue I - Gaussriffel og bil på trillebane Øvelsesvejledning til brug i Nanoteket Udarbejdet i Nanoteket, Institut for Fysik, DTU Rettelser sendes til Ole.Trinhammer@fysik.dtu.dk September 2012

Læs mere

INERTIMOMENT for stive legemer

INERTIMOMENT for stive legemer Projekt: INERTIMOMENT for stive legemer Formålet med projektet er at træne integralregning og samtidig se en ikke-triviel anvendelse i fysik. 0. Definition af inertimoment Inertimomentet angives med bogstavet

Læs mere

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål.

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. Labøvelse 2, fysik 2 Uge 47, Kalle, Max og Henriette Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. 1. Vi har to forskellige størrelser: a: en skive

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Hvordan Kepler fandt sine love

Hvordan Kepler fandt sine love Hvordan Kepler fandt sine love stronomerne forstod ikke at overmande denne krigsgud (Mars). Men den fortræffelige hærfører Tycho har under 0 års nattevågen udforsket al hans krigslist; og jeg omgik ved

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk Mekanik 2 Skriftlig eksamen 16. april 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Exoplaneter fundet med Kepler og CoRoT

Exoplaneter fundet med Kepler og CoRoT Exoplaneter fundet med Kepler og CoRoT Analyse af data fra to forskningssatellitter Af Hans Kjeldsen, Institut for Fysik og Astronomi, Aarhus Universitet I denne artikel demonstreres det hvordan man kan

Læs mere

Fysik i billard. Erik Vestergaard

Fysik i billard. Erik Vestergaard Fysik i billard Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/aviad Desuden egne illustrationer Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Stern og Gerlachs Eksperiment

Stern og Gerlachs Eksperiment Stern og Gerlachs Eksperiment Spin, rumkvantisering og Københavnerfortolkning Jacob Nielsen 1 Eksperimentelle resultater, der viser energiens kvantisering forelå, da Bohr opstillede sin Planetmodel. Her

Læs mere

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen

Matematik A. Højere teknisk eksamen Matematik A Højere teknisk eksamen Matematik A 215 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet, det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 4 sider Skriftlig prøve, den 29. maj 2006 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr. 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle "Vægtning": Eksamenssættet vurderes samlet. Alle svar

Læs mere

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1 Matematik A eksamen 14. august 2014 www.matematikhfsvar.page.tl Delprøve 1 Info: I denne eksamensopgave anvendes der punktum som decimaltal istedet for komma. Eks. 3.14 istedet for 3,14 Opgave 1 - Andengradsligning

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Vejledende eksamensopgaver 16. januar 2008 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 13 sider Skriftlig prøve, lørdag den 23. maj, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne: Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:

Læs mere

Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre).

Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Johannes Kepler (1571-1630) var på mange måder en overgangsfigur i videnskabshistorien. Han ydede et stort bidrag til at matematisere

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

Kapitel 10. B-felt fra en enkelt leder. B (t) = hvor: B(t) = Magnetfeltet (µt) I(t) = Strømmen i lederen (A) d = Afstanden mellem leder og punkt (m)

Kapitel 10. B-felt fra en enkelt leder. B (t) = hvor: B(t) = Magnetfeltet (µt) I(t) = Strømmen i lederen (A) d = Afstanden mellem leder og punkt (m) Kapitel 10 Beregning af magnetiske felter For at beregne det magnetiske felt fra højspændingsledninger/kabler, skal strømmene i alle ledere (fase-, jord- og eventuelle skærmledere) kendes. Den inducerede

Læs mere

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet RT1: fstandsberegning (Fra katederet) 5 RT2: Bold og Glob 6 OT1:Bestemmelse af Jordens radius 9 OT2:Modelafhængighed 11 OT3:fstanden til Månen 12 OT4:Månens

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Matematik A studentereksamen

Matematik A studentereksamen Xxxx Side 1 af 11 Opgave 7 Jeg aflæser af boksplottet for personbeskatningen i 2007 medianen til. Første og anden kvartil aflæser jeg til hhv. og. Den mindst observerede personbeskatning i år 2007 var

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Skriftlig eksamen 25. januar 2008 Tillae hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Anvendelser af integralregning

Anvendelser af integralregning Anvendelser af integralregning I 1600-tallet blev integralregningen indført. Vi skal se, hvor stærkt et værktøj det er til at løse problemer, som tidligere forekom uoverstigelige. I matematik-grundbogen

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas UVB Skoleår: 2013-2014 Institution: Fag og niveau: Lærer(e): Hold: Teknisk Gymnasium Skive Matematik A Claus Vestergaard og Franka Gallas 3. A Titel 1: Rep af 1. og 2. år + Gocart Titel 2: Vektorer i rummet

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

Bringing Mathematics to Earth... using many languages 155

Bringing Mathematics to Earth... using many languages 155 Bringing Mathematics to Earth... using many languages 155 Rumrejser med 1 g acceleration Ján Beňačka 1 Introduktion Inden for en overskuelig fremtid vil civilisationer som vores være nødt til at fremskaffe

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2008-juni 2011 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Newton-Raphsons metode

Newton-Raphsons metode Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Resonans 'modes' på en streng

Resonans 'modes' på en streng Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Camilla, Kristoffer, Sofie, Lisa, Barbara. Abisha, Andreas, Sebastian, Nanna. Når du skal regne med vektorer i Maple, skal du bruge Gym-pakken:

Camilla, Kristoffer, Sofie, Lisa, Barbara. Abisha, Andreas, Sebastian, Nanna. Når du skal regne med vektorer i Maple, skal du bruge Gym-pakken: Vektorer i Maple En arbejdsseddel Vælg eventuelt >View>Expand all sections. Husk også, at du kan få brug for at markere udregninger og trykke Enter i det følgende. Rammer for arbejdet Gruppe 1 Kristine,

Læs mere

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse. Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen

Læs mere

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål

Læs mere

Beregning af angrebspunktet for luftens kræfter for henholdsvis en konisk, parabolsk, elliptisk og tangent ogive spids

Beregning af angrebspunktet for luftens kræfter for henholdsvis en konisk, parabolsk, elliptisk og tangent ogive spids Beregning af angrebspunktet for luftens kræfter for henholdsvis en konisk, parabolsk, elliptisk og tangent ogive spids Jørgen Franck Til beregning af angrebspunktet for luftens kræfter på raketspidser

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Danske koordinatsystemr (referencesystemer) MicroStation V8i. Begreber

Danske koordinatsystemr (referencesystemer) MicroStation V8i. Begreber Danske koordinatsystemr (referencesystemer) MicroStation V8i Begreber 1 Columbus tog fejl! - jorden er flad når vi tegner i MicroStation!!! Geodætiske begreber definition af jorden Jordens overflade Jordens

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, torsdag den 24. maj, 2007, kl. 9:00-13:00 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr. 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt. "Vægtning":

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere