To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 2012 Trykfejl rettet 14. oktober 2013

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 2012 Trykfejl rettet 14. oktober 2013"

Transkript

1 To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 01 Trykfejl rettet 14. oktober 013

2 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 1/0 Indholdsfortegnelse Indledning...1 Newtons gravitationslov... Bevægelsesligninger for de to legemer...7 Energi og impulsmoment...8 Sammenfatning...9 Keplers love...10 Keplers 1. lov...10 Keplers. lov...11 Keplers 3. lov...11 Jordens bane...1 Jord-Måne systemet...14 Mekanisk energi...14 Impulsmoment...14 Banekurverne...14 Hastigheder...14 Hohmann-banen...16 Cirkelbaner...16 Ellipsebaner...17 Sammenfatning...19 Kilder...0 Indledning I denne note vil vi udlede bevægelsesligningerne for partikler, der bevæger sig i et gravitationsfelt. Der vil blive vist eksempler på planetbevægelser om Solen, dobbeltplanetsystemer, Keplers love vil blive undersøgt og endelig vil vi parametrisere bevægelsesligningerne, så man nemt kan løse dem i et for eksempel et regneark. Den tidslige afhængighed af bevægelsen vil vi dog ikke komme ind på her. Interesserede kan læse om dette problem i [1] og []. Artiklen er stærkt inspireret af en note, som Henry Nielsen skrev til 1. års fysikstudenterne i [3].

3 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side /0 Newtons gravitationslov Isaac Newton udgav i 1687 et stort værk om den klassiske mekanik, som stadigvæk er en yderst vigtig disciplin i dag. En af Newtons resultater var gravitationsloven, som vi kender på formen F = G M m r r r (1) hvor m, M er de to legemers masser, r er deres indbyrdes afstand og r er en enhedsvektor, der r viser retningen mellem de to legemer. Et eksempel kan ses i illustrationen herunder. De to legemer påvirker ifølge Newtons 3. lov hinanden med en lige stor men modsat rettet kraft. Dvs. legeme M føler en lige så stor kraft, som legeme m gør. Newtons. lov giver en sammenhæng mellem den resulterende kraft på et legeme og dets acceleration. Loven er den velkendte F res =m a Ved at bruge Newtons. lov kan vi opskrive accelerationen på for eksempel legeme m på følgende vis Illustration 1: To legemer, der påvirker hinanden med gravitationskraften F. F res = G M m r r r =m a =m d r m m dt G M r r r = d r m dt = r m. () Øvelse Opstil et udtryk for accelerationen af legeme M. Vi har endnu ikke defineret et koordinatsystem, hvilket man naturligvis skal gøre, når man skal løse (). Ligning () er ret svær at løse, hvis man vælger et almindeligt kartesisk koordinatsystem, så derfor vil vi foretage et skift til polære koordinater, og vi vil vælge centrum for koordinatsystemet i de to legemers massemidtpunkt. Stedvektorerne for de to legemer kalder vi for r m og r M, og vi definerer den relative stedvektor som r= r M r m. Illustration viser, hvordan de to legemers stedvektorer er placeret, og vektoren for massemidtpunktet, r mmp er også indtegnet.

4 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 3/0 Illustration : Et selvvalgt koordinatsystem er indtegnet, og vektorer til at markere vigtige positioner er indtegnet. Massemidtpunktet kan vi beregne ved hjælp af formlen r mmp = m r m +M r M m+m (3) Øvelse Eftervis formlen for massemidtpunktet. Vi kan nu opskrive de to oprindelige stedvektorer ved hjælp af r mmp og r : r m = r mmp M m+m r og r M = r mmp + m m+m r. (4) Øvelse Benyt (3) og definitionen af den relative stedvektor til at vise (4). Lad os vende tilbage til (), som er den ligning for legeme m, vi skal løse. Man kan også løse bevægelsesligningen for legeme M, men det er kun nødvendigt at løse den ene af de to ligninger.

5 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 4/0 G M m r r r =m r m G M m r r r =m ( r M (5) mmp r )''= M m m+m m+m r μ r Ved differentiationen ovenfor forsvinder leddet med massemidtpunktet, da koordinatsystemet ikke accelereres det er et inertialsystem. Det kan vi regne ud, da begge legemer samlet set udgør et fælles system, hvor summen af kræfterne i systemet er 0 ifølge Newtons 3. lov. (Kun gravitationskraften virker på de to legemer.) Da den samlede kraft er 0, er accelerationen af systemet 0. (Men accelerationen på de enkelte legemer er naturligvis ikke 0.) μ kaldes for den reducerede masse. Man kan forstå størrelsen intuitivt, hvis f.eks. vi betragter Sol- Jord-systemet. Der er m M og dermed m μ. Den reducerede masse kan altså forstås som en lille planet, der kredser om en stor stjerne. Kraften er parallel med r, og derfor må kraftmomentet M = r F= 0. Altså er impulsmomentet bevaret, da ( M = d L dt = d ( r p).) Hvis impulsmomentet er bevaret i både størrelse og retning, må dt stedvektor og hastighedsvektor til alle tider være vinkelrette på L, og derfor ligger banebevægelsen i et plan vinkelret på L ' s retning. Derfor lægger vi koordinatsystemet, så z-aksen peger i L ' s retning. I det valgte koordinatsystem er z=0 til alle tider. Vi opskriver den relative stedvektor, r, som et tal ganget en retningsvektor. Retningsvektoren for r kaldes e r. Den er givet ved udtrykket e r = r r = ( cos(ϕ) sin (ϕ)) (6) Dvs. r=r e r. Vi differentierer og får r=ṙ e r +r e r. I det følgende er det en nyttig ting at bruge hat-vektoren. Husk at a=( a ). Se også illustration 3. Lad os differentiere enhedsvektoren. e r =( cos(ϕ) sin(ϕ)) ( '= sin(ϕ) cos(ϕ) ) ϕ e ϕ ϕ. Bemærk at vi her har defineret den 'hattede' retningssvektor til e ϕ. Vi differentierer også denne og får e ϕ =( sin(ϕ) cos(ϕ) ) ( ' = cos(ϕ) sin (ϕ)) ϕ= e ϕ. r Nu kan vi finde r : r=ṙ e r +r e r r=(ṙ e r +r e r )' r=(ṙ e r +r e ϕ ϕ)' r= r e r +ṙ e r +ṙ e ϕ ϕ+r ( e ϕ ϕ+ e ϕ ϕ). Illustration 3: En vektor, der hattes svarer til at rotere den 90º mod uret.

6 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 5/0 Reglen om differentiation af et produkt er anvendt ovenfor. Til sidst substituerer vi de differentierede retningsvektorer væk. r= r e r +ṙ er +ṙ e ϕ ϕ+r ( eϕ ϕ+ e ϕ ϕ)= r e r +ṙ e ϕ ϕ+ṙ e ϕ ϕ+r ( e r ϕ + e ϕ ϕ) r=( r r ϕ ) e r +(ṙ ϕ+r ϕ) e ϕ (7) Udtrykket i (7) indsættes i (5): G m M r e r = μ r= μ (( r r ϕ ) e r +( ṙ ϕ+r ϕ) e ϕ ). På venstresiden er er der ingen størrelser, der peger vinkelret på e r. Altså må. led på højresiden være nul. Vi kan dermed i stedet for vektordifferentialligningen (5) nu løse to skalare differentialligninger: ϕ ṙ +r ϕ=0 (8) Vi kan altså sammenfatte følgende: G m M = G (m+m ) = r r ϕ μ r r (9) Vi har anvendt Newtons. lov samt hans gravitationslov til at opstille den resulterende kraft på to legemer med masserne m og M i den indbyrdes afstand r. Det gav en vektordifferentialligning. Vi har valgt et koordinatsystem med origo i massemidtpunktet for de to legemer. z-aksen peger i impulsmomentets retning, dvs. banebevægelsen foregår i (x, y)-planet. Vi har lavet et koordinatskift, så vi i stedet for at løse () for begge partikler nu kun løser ligningerne for den reducerede partikel med massen μ. Vi kan vha. (4) efterfølgnede beregne bevægelsen for de to legemer. Endelig har vi vha. vektorregning fået splittet (5) op i to skalare differentialligninger i stedet for én vektordifferentialligning. De to ligninger vil vi nu løse. Vi så på side 4 at impulsmomentet, L, er bevaret. Vi kan skrive impulsmomentet på to måder; en for den reducerede partikel og en for de to legemer m og M. Det viser sig, at det giver samme udtryk, som er: L m r m v m +M r M v M =μ r v L=μ r v ϕ =μ r r ϕ=μ r ϕ ϕ= L μ r (10) Opgave Ovenstående ligning skal vises. a) Benyt sammenhængen mellem stedvektorerne i formel (3) og (4) samt at r = v til at vise udtrykket før medførertegnet i formel (10) ovenfor. Husk også at vi har sat origo i massemidtpunktet. b) Vis resten idet du husker at v ϕ =r ϕ. (10) indsættes i (9) hvorved vi får en differentialligning, som kun afhænger af r og t: G m M μ r = r r ϕ L = r r ( μ r ) = r L μ r 3

7 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 6/0 r= G m M μ r + L μ r 3 (11) (11) kan man løse mht tiden, og når r(t) er kendt, kan man løse (10). Det er dog stadigvæk en ganske kompliceret opgave, så vi vil løse r (ϕ). Vi starter med (10) for at ændre differentiation mht. tid til differentiation mht. vinkel: ϕ= L μ r d ϕ dt = L μ r d dt = L μ r d d ϕ. Vi kan dermed omskrive venstresiden i (11), så formlen nu bliver L μ r d d ϕ ( L dr μ r d ϕ )= G m M + L μ r μ r L 3 μ d d ϕ ( L dr μ r d ϕ )= G m M μ + L μ r. For at forsimple sagerne vælger vi nu at løse problemet for den reciprokke afstand dvs. vi definerer u 1 r. Dermed bliver formlen L μ d d ( 1 u ) d ϕ (u d ϕ )= G m M μ + L u L d μ d ϕ (u ( 1) u du d ϕ )= G m M μ+ L u d u d ϕ = G m M μ +u L d u G m M μ +u= (1) d ϕ L (1) er en lineær. ordens differentialligning, som enhver gymnasieelev på mat A-niveau har lært at løse. Øvelse a) Vis at den generelle løsning til (1) er u=c 1 cos(ϕ)+c sin(ϕ)+r, hvor R= G m M μ L. b) Vis at c 1 cos(ϕ)+c sin(ϕ)= A cos(ϕ ϕ 0 ), hvor A cos(ϕ 0 )=c 1 og A sin (ϕ 0 )=c. c) Vis endelig at u=a cos(ϕ ϕ 0 )+ R, hvor R= G m M μ L. Ved hjælp af resultatet fra øvelsen ovenfor kan vi nu opskrive funktionen for r r=( A cos(ϕ ϕ 0)+ G m M μ 1 L ) (13) Endelig skal konstanten, A i (13) bestemmes. Vi definerer eccentriciteten, e r max r min r max +r min. Hvis cos(ϕ ϕ 0 )=1 er r mindst og hvis cos(ϕ ϕ 0 )= 1 er r størst. Dermed får vi ved indsættelse i definitionen af eccentriciteten at A= e G m M μ L. Dette udtryk indsættes i (13).

8 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 7/0 r=( e G m M μ cos(ϕ ϕ L 0 )+ G m M μ 1 L ) ( G m M μ ( L L ( G M m μ ) r= e cos(ϕ ϕ 0 )+1 1 ) (e cos(ϕ ϕ 0 )+1)) r= r 0 e cos(ϕ ϕ 0 )+1,r 0 = L G M m μ (14) r 0 er afstanden mellem de to legemer, når ϕ=ϕ 0 ± π. Ved at indsætte (14) i (10) og (11) kan vi få løst bevægelsesligningerne som funktion af tiden, men udtrykket bliver voldsomt indviklet, så det gøres ikke her. Bevægelsesligninger for de to legemer (6) og (14) indsættes i (4), for at vi kan få stedvektorerne for de to legemer r m = r mmp M m+m r og r = r + m M mmp m+m r r m = r mmp M m+m r e og r = r + m r M mmp m+m r e r r m = r mmp M m+m r 0 e cos(ϕ ϕ 0 )+1 e og r = r + m r M mmp m+m r 0 e cos(ϕ ϕ 0 )+1 e r r m = r mmp M m+m r 0 e cos(ϕ ϕ 0 )+1 ( cos(ϕ) sin(ϕ)) r M = r mmp + m m+m r 0 e cos(ϕ ϕ 0 )+1 ( cos(ϕ) sin(ϕ)), L r 0 = G M m μ. Illustration 4 viser en tegning af de to stedvektorer i (15) samt den relative stedvektor r i tilfældet M=3kg, m=1kg, e=0,8, r 0 =1. Altså er L= 3 G.(SI.) (15) Man ser af (15), at banekurvernes form er ens, da eccentriciteten er ens for m, M og μ. Massemidtpunktet er valgt som origo i illustration 4. (Derved forenkles formlerne i (15) også en smule.) Vi ser iøvrigt af (15) at impulsmomentets størrelse, har betydning for banekurvens form. Der er endnu en bevægelseskonstant, som er interessant i banebevægelsen, og det er naturligvis den mekaniske energi. Vi vil i det næste afsnit se på energi og impulsmoment.

9 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 8/0 Illustration 4: Den blå kurve er stedbevægelsen for μ, den røde for M og den grønne for m. Energi og impulsmoment Fra (10) så vi, at det samlede impulsmoment for legemerne m og M er identisk med impulsmomentet for den reducerede partikel. Vi kan udlede et udtryk for impulsmomentet ved at tage udgangspunkt i (14). L= r 0 G M m μ= r 0 G μ (m+m ). (16) Den mekaniske energi af systemet er E mek =E kin (m)+e kin (M )+E pot (r)= 1 (m v m+m v M )+ E pot (r). Den potentielle energi, kan vi udregne ved hjælp af definitionen af potentiel energi r E pot (r)= F y d r= r r ( F + F ) d r =G m M 1 r dr= G m M r. Ovenfor har vi benyttet at kraften er en radialkraft samt at nulpunktet er valgt i uendelig. Bemærk at den potentielle energi er en energi, der hører til systemet "to legemer." Dvs. systemets samlede mekaniske energi er E mek (r)= 1 (m v m+m v M ) G m M (18) r Vi lægger koordinatsystemet i massemidtpunktet og differentierer (15). Der indsættes i (18) og efter reduktion får vi følgende udtryk for den mekaniske energi (17)

10 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 9/0 E mek = G M m r 0 (e 1) (19) Øvelse a) Differentier (15) mht tiden. Husk også at vinklen, φ,samt enhedsvektoren skal differentieres. (Brug kædereglen samt reglen for differentiation af et produkt.) b) Beregn størrelsen af kvadratet på hastighederne, v m samt v M. c) Indsæt de fundne udtryk i (18) og reducer. Oftest skriver man energien som funktion af den halve storakse, a, for den reducerede partikel som er halvdelen af den maksimale baneradius for hver af de to legemer. Fra (14) får vi for legeme μ a= r +r max min = 1 ( r 0 1 e + r 0 1+e )= r 0 (0) 1 e Indsættes (0) i (19) fås E mek = G M m a (1) Sammenhængen mellem a og de halve storakser for legeme m og M er som følger a m = r max min m +r m = M (m+m ) (r max+r min ) = M m+m a, a M = r max min M +r M = m (m+m ) (r +r ) max min = m m+m a a m +a M =a Til sidst kan vi indsætte (0) i (16) og vi får L= r 0 G M m μ= (1 e ) a G μ (m+m ). Læg mærke til at den mekaniske energi er uafhængig af impulsmomentet, mens impulsmomentet afhænger af eccentriciteten e. Dvs. alle baner med samme halve storakse har samme energi uanset hvor excentriske deres baner er, men deres impulsmoment er ikke det samme. Sammenfatning Tolegemeproblemet kan karakteriseres ved de to legemers masser m og M, eccentriciteten, e, samt den halve storakse, a, hvor man har defineret sit koordinatsystems nulpunkt i massemidtpunktet. Impulsmomentet L er givet ved formlen Systemets mekaniske energi er givet ved formlen L= (1 e ) a G μ (m+m ). () E mek = G M m a (3) hvor a=a M +a m. a m og a M er den halve storakse for legemerne med masserne m og M. Stedbevægelsen er givet ved formlerne

11 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 10/0 r m = M m+m a (1 e ) e cos(ϕ)+1 ( cos(ϕ) sin (ϕ)) r M = m m+m a (1 e ) e cos(ϕ)+1 ( cos(ϕ) sin(ϕ)). (4) Ovenfor er tiden defineret, så ϕ(0)=0. Keplers love Newton anvendte Keplers 3 love til at udlede mekanikken, som gravitationskraften er en del af. Derfor er det måske lidt omvendt at udlede Keplers love ud fra Newtons teori, men vi gør det alligevel, da det kan give lidt mere fysisk indsigt i lovene. Keplers 1. lov Første lov lyder: "Planeterne bevæger sig i ellipsebaner omkring Solen, med Solen i det ene brændpunkt." Formel (14) er netop formlen for en ellipse, når man anvender polære koordinater. Dermed er udtrykkene i (4) også ellipsebaner, da eneste forskel fra (14) er en konstant. Det er altså nok at betragte formel (4), når man skal vise at banen er en ellipse. Vi kan overbevise os om dette ved at omregne til kartesiske koordinater. ( x y) = r= a (1 e ) e cos(ϕ)+1 ( cos(ϕ) sin (ϕ)) =r ( cos(ϕ) sin(ϕ)), r= a (1 e ) e cos(ϕ)+1 r e cos(ϕ)+r=a (1 e ) x=r cos(ϕ) y=r sin(ϕ) e x+ x + y =a (1 e ) x + y =a (1 e ) e x x + y =a (1 e ) +e x a (1 e ) e x (1 e ) x + y + a (1 e ) e x=a (1 e ) (5) e>1 (5) kan skrives på formen y h x i x= j, hvor h, i, j>0. Denne funktionstype fremstiller en hyperbel. e=1 I dette specialtilfælde bryder (0) sammen. Det betyder, at den halve storakse a er uendelig stor. Vi kan dog bruge formlen (14) for stedbevægelsen, og så bliver (5) en smule anderledes: r 0 r= e cos(ϕ ϕ 0 )+1 (1 e ) x + y r 0 e x=r 0 y r 0 x=r 0 x= y r 0 r 0. Ovenstående formel fremstiller en liggende parabel. e<1 (5) kan skrives på formen y +h x +i x= j, hvor h, i, j>0. Denne funktionstype fremstiller en ellipse. Kepler sagde også, at Solen er i det ene brændpunkt. Dette kan vi overbevise os om, da Solens masse er 1047 gange så stor som Jupiters masse, og Jupiters masse er den største i Solsystemet. Stedbevægelsen for Solen er altså med god tilnærmelse r M 0. Dermed bliver a M nærmest 0, og dermed bliver den halve storakse for planetbanen, a m =a. Det skal dog siges, at Solen

12 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 11/0 ikke står helt stille i sin bane. Den kredser omkring det fælles tyngdepunkt med Jupiter med en radius på ca. 0,005AU, hvilket svarer til en Solradius. Kepler havde altså ikke helt ret i at Solen står stille i det ene brændpunkt, men tilnærmelsen er god. Øvelse a) Vælg tilfældige h, i, j-værdier og tegn y(x) for eccentricitet hhv større eller mindre end 1. b) Vælg en tilfældig r 0 og tegn y(x) for e=1. Keplers. lov Anden lov lyder: "Aksen mellem planeten og Solen gennemstryger lige store arealer i lige store tidsrum." (10) siger ϕ= L μ r. Vi fandt også på side 4, at L=konstant både i størrelse og retning. Betragt illustration 5. Arealet af trekanten er da= 1 r r d ϕ. Her har vi tilnærmet arealet som værende arealet af en trekant, hvor grundlinien er r og højden er r d ϕ. Vi kan dele med tidsrummet dt og vi får dermed da dt =1 r r d ϕ dt = 1 r L μ r = L μ. Da impulsmomentet er konstant, har vi altså vist at arealhastigheden er konstant dette er jo netop Keplers. lov. Keplers 3. lov Illustration 5: Aksen mellem Sol og planet overstryger arealet da i tidsrummet dt. Tredie lov lyder: "For en planet gælder at den halve storakse i tredie potens over kvadratet på omløbstiden er en konstant." T L Hvis vi integrerer udtryket for Keplers. lov, får vi da=a= 0 μ dt= L μ T. Fra matematikken ved vi, at arealet af en ellipse er A=π a b, hvor a, b er hhv. Halve storake og -lilleakse. Dermed kan vi sætte de to udtryk sammen, så vi får π a b= L T μ. (6) Fra () får vi L= r 0 G μ (m+m )= a (1 e ) G μ (m+m ). Vi mangler at finde et udtryk for b. Betragt illustration 6. Hvis vi kan finde koordinaterne for c, har vi automatisk b. Vi ved fra tidligere at a= r 0 1 e og r = r 0 min. Illustration 6 viser, at liniestykket fra origo til aksen, der er 1+e sammenfaldende med b er x =a r min. Dvs. x =a a (1 e ) =a e. Da x=r cos(ϕ) og 1+e y=b=r sin(ϕ) finder vi ved substitution

13 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 1/0 r 0 x= a e = cos(ϕ) cos(ϕ)= e. e cos(ϕ)+1 Vi kan bruge Pythagoras' sætning til at finde en sammenhæng mellem x, b og r: (e a) +b =r. Dvs. (e a) +b = (a (1 e )) (e cos(ϕ)+1) = (a (1 e )) (e ( e)+1) =a b=a 1 e Til sidst kan vi indsætte udtrykkene for a og b i (6) Illustration 6: Ellipse med koordinatsystemets origo i brændpunktet. π a a 1 e = a (1 e ) G μ (m+m ) T μ π a 4 (1 e )= a (1 e ) G μ (m+m ) T 4 μ a 3 ) G =(m+m (7) T 4 π Kepler påstod, at højresiden er en konstant, men vi ser, at den faktisk varierer en smule, da planeternes masser, m, varierer. Leddet er dog tilnærmelsesvist konstant pga. Solens store masse ift. planetmasserne. Jordens bane Som vi har set viste Kepler, at planeterne bevæger sig i ellipsebaner omkring Solen. Den opdagelse gjorde han ved at studere Marsbanen. Man kan dog også studere Jordens egen bane ved at gøre som Cassini og nogle Jesuitterpræster gjorde i 1650'erne i San Petronio-katedralen i Bologna. [4] Ved at måle Solens diameter på gulvet hver dag hele året Illustration 7: En meridianpassage optaget i rundt, vil man opdage, at Petronio-katedralen i Bologna. [5] den varierer i løbet af året fordi Jordens afstand til Solen varierer. Illustration 8: En skitse af hvordan Solskiven aftegnes på et gulv, hvis der er et punktformet hul i loftet af en bygning. Solens vinkeldiameter på himmelen udtrykker et direkte mål for afstanden til Solen. Det kan man se af illustration 8. Tilnærmelsesvist gælder: tan ( α )= D r d b D r b d. Afstanden til Solen r JS =r+r J, men man kan i en første approksimation sætte Jordens radius, R J, til 0. Det er jo et relativt mål for afstanden man får, (D kræves kendt, hvis et absolut mål for afstanden skal beregnes) men for at finde eccentriciteten gør det ikke noget, da formen på ellipsebanen er den samme. Vi kender sammenhængen mellem største og mindste afstand og eccentriciteten fra definitionen, som står på side 6. e= r max r min r max +r min. r er den relative stedvektor mellem Jorden og Solen, dvs. ved at finde største og mindste afstand for Solen-Jorden, kan eccentriciteten bestemmes. Det viser sig, at

14 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 13/0 den for Jordbanen er e=0,0167. Man kan ved denne metode også finde den halve storakse for Jorden og Solen da a= r +r max min. Denne formel kræver dog, at man kan finde de absolutte længder, r. Dette var ikke en enkel sag at finde, men man kan, ved for eksempel at observere en Venustransit, bestemme den astronomiske enhed. [6] På den måde har man fundet, at middelafstanden mellem Solen og Jorden er a=1, m. Ved at måle et siderisk omløb for Sol-Jord-systemet kan man veje Jord-Sol-systemet. Omløbstiden for Jorden kan måles ved, at man en dag måler Solens position på himmelen f.eks. lige før Solopgang. Næste gang Solen ved solopgang står nøjagtigt på samme position på himmelen, er et siderisk omløb passeret. En måling viser, at det sideriske omløb T=365,56361 middelsoldøgn. Man kan nu benytte Keplers 3. lov til at finde Solens og Jordens samlede masse: a 3 +m) 4 π (1, m) 3 =G (M (M +m)= =1, kg. T 4 π 6, N m kg (365, s) Hvis man vil finde afstandene for de øvrige planeter, kan man også benytte sig af Keplers 3. lov, men det kræver først, at man har fundet de sideriske omløbstider for planeterne. Teorien for at finde disse værdier kan læses i [7]. Hvis man vil bestemme Jordens absolutte masse (og dermed også Solens), kan man i princippet sende en satellit i omløb om Jorden, og så benytte Keplers 3. lov til at veje Jorden. Men det er noget lettere og en hel del billigere at udføre Cavendish' eksperiment i stedet for. [8] Jordens masse er i dag kendt til at være m=5, kg. Dvs. resultatet i beregningen ovenfor i praksis viser Solens masse. Ved brug af formlerne på side 9 kan vi finde den halve storakse for Jordens bane omkring massemidtpunktet samt for Solens bane omkring massemidtpunktet. a m = M m+m a= 1, kg 1, kg+5, kg 1,00 AU =( ) AU, a M = m m+m a= 5, kg 1, kg+5, kg 1,00 AU =3, AU. Det er altså åbenlyst, at Jordens bane til stor præcision beskrives af den reducerede partikels bevægelse 1. Solbanens halve storakse er altså ca. 450km, som man kan sammenligne med dens radius på km. Det er dog en smule anderledes for Jupiter, da den vejer 318 gange så meget som Jorden. Sol- Jupiter-systemets halve storakse er a=5,03au, og dens eccentricitet e=0,0484. Her er Solens halve storakse a Sol =4, AU =7, km=1,07 R Sol. Her er det altså tydeligt, at Sol-Jupitersystemet ikke beskrives særligt godt af den reducerede partikels bevægelse. Øvelse a) Beregn impulsmoment og mekanisk energi for Jord-Sol-systemet. b) Gentag beregningen for Sol-Jupiter-systemet. 1 Bemærk dog, at med vores valg af relativ stedvektor vil den reducerede partikels bane skulle spejles 180º for at den viser Jordens bane.

15 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 14/0 Jord-Måne systemet Jorden og Månen er sammenlignelige i størrelse. Månens masse m=7, kg=0,013 M Jord. Middelafstanden mellem de to kloder er a=3, m, og eccentriciteten er e=0,0549. Den anomalistiske måned, som er defineret som tiden fra perigæum til perigæum, er 7, middelsoldøgn. Månebanen er svær at beregne præcist, fordi der i realiteten er tale om et trelegemeproblem. (Solen, Jorden og Månen.) Vi vil dog antage et to-legemeproblem og undersøge bevægelsen uden hensyntagen til Solens træk i Jorden og Månen. Mekanisk energi 11 N m E mek = G M m 6, kg 5, kg 7, kg = = 3, J. a 3, m Impulsmoment L= (1 e ) a G μ (m+m ) L= (1 0,0549 ) 3, N m m 6, kg (7, kg) 6, kg Banekurverne 34 kg m L=,86 10 s. (4) giver os formlerne for banekurven. Kurverne ser ud som vist på illustration 9. a Månen =3, m a Jorden =4, m r Månen max =4, m r Månen min =3, m r Jorden max =4, m r Jorden min =4, m. Illustration 9 er tegnet i Freemat, og koden til at lave beregningerne kan f. eks. se ud som vist i slutningen af dette afsnit. Freemat er i øvrigt en gratis Matlab-klon, som kan hentes i [9]. Hastigheder Man kan altid differentiere stedfunktionerne for at få hastighederne i alle punkter. Det er gjort på side 4-5. Ved lidt videre manipulation får man Illustration 9: Den blå kurve viser Månens bane, og den grønne viser Jordens bane. Enhederne langs akserne er i meter.

16 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 15/0 v(ϕ)= ṙ +(r ϕ) = ( e L sin (ϕ) μ a (1 e )) +( L μ r ), v m (r)= M m+m v(ϕ),v J (r)= m m+m v(ϕ). Hvis m<<m kan man også anvende energiformlen og sætte E kin (M ) 0. Dermed giver 1 mekanikkens energisætning os, at m v(r) = G M m + G M m v(r)= a r G M ( r 1 a ). Nedenfor er vist en sammenligning af v(r) for Månen beregnet ved en direkte metode, samt ved hjælp af ovenstående tilnærmede formel. (x-aksen viser φ målt i radianer.) Som man kan se, er den relative fejl på Månens hastigheder konstant lig med 0,61%. Energibetragtninger giver altså en rigtig god tilnærmelse for Månens hastighed. Det samlede program til at tegne ovenstående banekurver samt hastighedskurver kan se ud som i eksemplet nedenfor. mj=5.976e4; mm=7.348e; my=mm*mj/(mm+mj); a= e8; e=0.0549; phi=(1:100)*.*pi/99.; r=a*(1-e^)/(e*cos(phi)+1); rxm=-mj/(mm+mj)*r.*cos(phi); rym=-mj/(mm+mj)*r.*sin(phi); rxj=mm/(mm+mj)*r.*cos(phi); ryj=mm/(mm+mj)*r.*sin(phi); plot(rxm,rym); plot(rxj,ryj); plot(rxm,rym,rxj,ryj); figure(1);title('jord-måne-systemet'); rm=sqrt(rxm.^+rym.^); rj=sqrt(rxj.^+ryj.^); rmmax=max(rm); rmmin=min(rm); rjmax=max(rj); rjmin=min(rj); L=((1.-e^)*(mj+mm)*a*6.674e-11*my^)^0.5; v=sqrt((e*sin(phi)*l/(my*a*(1.-e^))).^+(l/(my.*r)).^);

17 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 16/0 vm=mj/(mm+mj)*v; vj=mm/(mm+mj)*v; figure();plot(phi,vm); figure();title('månens hastighed'); figure();xlabel('phi'); figure();ylabel('v (m/s)'); figure(3);plot(phi,vj); figure(3);title('jordens hastighed'); figure(3);xlabel('phi'); figure(3);ylabel('v (m/s)'); vmca=sqrt(6.674e-11*mj*(./r-1./a)); figure(4);plot(phi,vmca); figure(4);title('månens hastighed udfra energibetragtning.'); figure(4);xlabel('phi'); figure(4);ylabel('v (m/s)'); dvm=(vm-vmca)./vm*100.; figure(5);plot(phi,dvm); figure(5);axis([ ]); figure(5);title('relative afvigelser af Månens hastighed.'); figure(5);ylabel('%'); figure(5);xlabel('phi'); Hohmann-banen Walther Hohmann regnede i 195 ud, hvordan man mest økonomisk kunne flytte sig fra én bane om et centrallegeme til en ny. Det viser sig, at man skal skifte bane via en ellipsebane. Herunder følger et par eksempler på baneskift. Hastigheden i en ellipsebane for et legeme, der kredser et meget tungere legeme, er i en given afstand, r, givet ved formlen (vist på side 15) v i= G M ( r i 1 a i ) og impulsmomentet er givet ved L i = (1 e ) a i G m M =m i r i v i. Ovenfor er benyttet at M>>m. Cirkelbaner Rumskibet starter i bane 1, og vi vil løfte den op i en højere bane kaldet bane. Rumskibet løftes i en ellipsebane, og vi konstruerer banen ved momentant at øge hastigheden fra v 1 til v t. Betragt illustration 10. Her ser man transportbanen markeret med en stiplet kurve. Transportbanens halve storakse er a t = +a dvs. den mekaniske energi i transportbanen er E mek = G M m +a. Nu kan vi finde den hastighed, som er krævet for at flytte rumskibet ud i transportbanen: Δ E mek =E t E 1 = G M m +a Dermed må hastigheden skulle øges med, ( G M m )=Δ E a kin = 1 1 m (v t v 1 ) og v t = G M ( 1 1 +a )= G M a ( +a ). Illustration 10: Transportbanen for rumskib, der flyttes fra en indre bane til en ydre.

18 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 17/0 Δ v 1 =v t v 1= G M a ( +a ) G M = ( G M a (8) +a 1) Når rumskibet er kommet op i transportbanens aphelafstand, skal der atter tilføres energi, så eccentriciteten bliver 0, eller sagt på en anden måde skal hastigheden i aphel øges til v cirkel (a ). Når rumskibet når aphel af transportbanen er v aphel= G M ( a +a )= G M a ( +a ). Dermed kan vi beregne Δ v =v cirkel v aphel= G M G M a a ( +a ) = G M a ( 1 +a ). (9) Man kan altså flytte et rumskib fra en bane til en bane længere væk ved at lave to hastighedsændringer, hvor hastighedsændringerne er givet ved (8) og (9). Bemærk, at hvis man vil flyve fra Jorden til en anden planet, skal man også beregne den energitilførsel, der skal til, for at rumskibet kan blive frigjort fra Jordens tyngdefelt. Øvelse Udled ligninger for det tilfælde, hvor man ønsker at flytte fra en ydre bane til en indre. Eksempel Vi ønsker at flytte en rumsonde fra Jordbanen til Marsbanen i tilfældet, at der er tale om cirkelbevægelser i begge baner. De halve storakser er =1AU og a =1,881AU. Vi antager, at rumskibet allerede er fri af Jordens tyngdefelt. (Dvs. Rumskibet skal være skudt afsted med en teoretisk starthastighed på 11,km/s. I praksis behøver man ikke skyde raketten afsted som et projektil, men den kinetiske energi, der svarer til en starthastighed på 11,km/s kræves for at undslippe Jordens tyngdefelt.) = v G M Sol 1 = G 1, kg =9,8 km/ s. 1, m 1+1,881 ) 1 =4,5 km/ s Δ v = G 1, kg 1,881 1, m ( 1 1AU (1+1,881) AU ) =3,6 km/s. Δ v 1= G 1, kg 1, m ( 1,881 Vi kan også beregne flyvetiden, for transportbanen udgør jo en ellipse med Solen i det ene brændpunkt, så vi kan bruge Keplers 3. lov: T = 1 4 π ( a +a 3 1 ) =, s=316 dage. G M Ellipsebaner I Dette eksempel betragtes det tilfælde, at vi har to ellipsebaner, hvis storakser er sammenfaldende. Lad den indre bane have parametrene e 1,, og den ydre bane have parametrene e, a. Vi vælger, at skyde raketten afsted, når den er i aphel for den indre bane og så lade transportbanen skære perihel for den ydre bane. Situationen er Illustration 11: Raketten afskydes fra aphel i indre bane og skydes op i perihel for den ydre bane.

19 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 18/0 skitseret i illustration 11. Den halve storakse for transportbanen er a t = r 1 r 1 aphel =(1+e 1 ) og r per =(1 e ) a. aphel +r per Ved indsættelse i formlen for mekanisk energi, kan vi finde tilvæksten i mekanisk energi, for at flytte rumskibet fra bane 1 til transportbanen.. Δ E mek = 1 m (v t v(r ap 1 ) G M m )= G m M (1+e 1 ) +(1 e ) a v t = G M (1+e 1 ) ( a (1 e ) (1+e 1 )+a (1 e )) Altså kan vi nu beregne den hastighedstilvækst, som rumskibet skal øges for at løfte den ud i transportbanen = Δ v G M 1 (1+e 1 ) ( a (1 e ) (1+e 1 )+a (1 e )) ( G M (1+e 1 ) 1 ) Δ v 1= G M ( (1+e 1 ) a (1 e ) 1) (1+e 1 )+a (1 e ) 1 e (30) Når rumskibet er nået ud til transportbanens perihel, er dens hastighed ). (1 e ) a (1+e 1 ) +(1 e ) a v(r t per )= G M ( r t per 1 a t )= G M ( r per 1 a t )= G M ( For at komme ind i den nye bane, skal sluthastigheden være v = ( G M r 1 per a ) = ( G M a (1 e ) 1 a ) = ( G M 1+e a (1 e )) Altså må den sidste hastighedsændring blive Δ v =v v(r per t )= ( G M 1+e a (1 e )) G M (1+e 1 ) (1 e ) a ((1+e 1 ) +(1 e ) a ) Δ v = G M a (1 e ) ( 1+e (1+e 1 ) ) (31) (1+e 1 ) +(1 e ) a Eksempel. Satellit omkring Jorden Lad =50000km og e 1 =0,1. Vi ønsker at flytte satellitten op i en ny bane med a =60000km og e =0. Dermed får vi i aphel som følger: v 1= G 5, kg ( (1+0,1) 5, m 1 )=,55 km/s 5, m Δ v 1= G 5, kg 6, m (1 0) 5, m (1+0,1)+6, m (1 0) 1 0,1 ) =196m /s 5, m (1+0,1) (

20 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 19/0 Δ v = G M a (1 e ) ( 1+e (1+e 1 ) ) (1+e 1 ) +(1 e ) a =56,6m/s. Sammenfatning Denne artikel har beskrevet -legemeproblemet samt Hohmann-baner. Emnet er slet ikke udtømt med denne korte note, og den interesserede læser kunne f. eks. arbejde videre med Lagrangepunkter, Gravity assist eller udføre en analyse af flerlegemeproblemer ved hjælp af numeriske metoder. -o-

Keplers love og Epicykler

Keplers love og Epicykler Keplers love og Epicykler Jacob Nielsen Keplers love Johannes Kepler (57-60) blev i år 600 elev hos Tyge Brahe (546-60) i Pragh, og ved sidstnævntes død i 60 kejserlig astronom. Kepler stiftede således

Læs mere

Venus relative størrelse og fase

Venus relative størrelse og fase Venus relative størrelse og fase Steffen Grøndahl Planeten Venus er værd at studere i teleskop. Med blot en forstørrelse på 20-30 gange, kan man se, at Venus ikke er punktformet og at den ligesom Månen

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Hvordan Kepler fandt sine love

Hvordan Kepler fandt sine love Hvordan Kepler fandt sine love stronomerne forstod ikke at overmande denne krigsgud (Mars). Men den fortræffelige hærfører Tycho har under 0 års nattevågen udforsket al hans krigslist; og jeg omgik ved

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Anvendelser af integralregning

Anvendelser af integralregning Anvendelser af integralregning I 1600-tallet blev integralregningen indført. Vi skal se, hvor stærkt et værktøj det er til at løse problemer, som tidligere forekom uoverstigelige. I matematik-grundbogen

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet RT1: fstandsberegning (Fra katederet) 5 RT2: Bold og Glob 6 OT1:Bestemmelse af Jordens radius 9 OT2:Modelafhængighed 11 OT3:fstanden til Månen 12 OT4:Månens

Læs mere

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

1. Bevægelse... 3 2. Det frie fald... 6 3. Kræfter... 8 4. Newtons love... 9 5. Gnidningskræfter... 12 6. Arbejde... 13 7. Mekanisk energi...

1. Bevægelse... 3 2. Det frie fald... 6 3. Kræfter... 8 4. Newtons love... 9 5. Gnidningskræfter... 12 6. Arbejde... 13 7. Mekanisk energi... Indholdsfortegnelse 1. Bevægelse... 3. Det frie fald... 6 3. Kræfter... 8 4. Newtons love... 9 5. Gnidningskræfter... 1 6. Arbejde... 13 7. Mekanisk energi... 19 Opgaver... 5 1. Bevægelse En vigtig del

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... 6 Hvordan må bølgefunktionen se ud...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå?

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? Differentialregning - Rayleigh spredning - oki.wpd INDLEDNING Hvem har ikke betragtet den flotte blå himmel på en klar dag og beundret den? Men hvorfor er himlen

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

. Verdensbilledets udvikling

. Verdensbilledets udvikling . Verdensbilledets udvikling Vores viden om Solsystemets indretning er resultatet af mange hundrede års arbejde med at observere himlen og opstille teorier. Stjernerne flytter sig ligesom Solen 15' på

Læs mere

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf.

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Eksamensspørgsmål 1a sommeren 2009 (reviderede) 1. Procent- og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar renteformlen og forklar hvorledes hver

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

Jordens mærkelige følgesvende

Jordens mærkelige følgesvende Jordens mærkelige følgesvende opdagelsen af Jordens første trojanske asteroide Af Tobias Cornelius Hinse, Korea Astronomy and Space Science Institute og René Michelsen Blandt Solsystemets utallige asteroider,

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

Vejledende opgaver i kernestofområdet i fysik-a Elektriske og magnetiske felter

Vejledende opgaver i kernestofområdet i fysik-a Elektriske og magnetiske felter Oktober 2012 Vejledende opgaver i kernestofområdet i fysik-a Elektriske og magnetiske felter Da læreplanen for fysik på A-niveau i stx blev revideret i 2010, blev kernestoffet udvidet med emnet Elektriske

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Hvor hurtigt kan du køre?

Hvor hurtigt kan du køre? Fart Hvor hurtigt kan du køre? I skal nu lave beregninger over jeres testresultater. I skal bruge jeres testark og ternet papir. Mine resultater Du skal beregne gennemsnittet af dine egne tider. Hvilket

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart det grundlæggende Grete Ridder Ebbesen frit efter GeoGebra Quickstart af Markus Hohenwarter Virum, 28. februar 2009 Introduktion GeoGebra er et gratis og meget brugervenligt

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123 Vejledende løsning hfmac123 Side 1 Opgave 1 På en bankkonto indsættes 30.000 kr. til en rentesats på 2,125 % i 7 år. Beregning af indestående Jeg benytter formlen for kapitalfremskrivning: K n=k 0 (1+r

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Det skrå kast uden luftmodstand

Det skrå kast uden luftmodstand Det skrå kast uden luftmodstand I dette lille tillæg skal i smart benytte ektorer til at udlede udtryk for stedfunktionen og hastigheden i det skrå kast uden luftmodstand. Vi il gøre brug af de fundamentale

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2013 Institution ZBC Ringsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B Jacob Debel 12HTX11 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Modul 11-13: Afstande i Universet

Modul 11-13: Afstande i Universet Modul 11-13 Modul 11-13: Afstande i Universet Rumstationen ISS Billedet her viser Den Internationale Rumstation (ISS) i sin bane rundt om Jorden, idet den passerer Gibraltar-strædet med Spanien på højre

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Cresta Asah Fysik rapport 16 oktober 2005. Einsteins relativitetsteori

Cresta Asah Fysik rapport 16 oktober 2005. Einsteins relativitetsteori Einsteins relativitetsteori 1 Formål Formålet med denne rapport er at få større kendskab til Einstein og hans indflydelse og bidrag til fysikken. Dette indebærer at forstå den specielle relativitetsteori

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Tavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen.

Tavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen. Fag: Matematik Hold: 21 Lærer: ASH 33-34 35-36 lære at læse og forstå en lønseddel samt vide hvordan deres skat bliver beregnet. Se i øvrigt fælles mål Arbejde med regnehieraki og regneregler. 36-38 Elevere

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang, trin 1 ISBN: 978-87-92488-17-6 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014 Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,

Læs mere

Transit af XO-2b. Jonas Bregnhøj Nielsen. Lars Fogt Paulsen

Transit af XO-2b. Jonas Bregnhøj Nielsen. Lars Fogt Paulsen Transit af XO-2b Udarbejdet af: Kasper Lind Jensen Jonas Bregnhøj Nielsen Lars Fogt Paulsen Indholdsfortegnelse Baggrund... 3 XO-2b... 4 Beskrivelse af observationer... 4 Datareduktion... 5 Diskussion...

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 1 ISBN: 978-87-92488-11-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Emne Tema Materialer

Emne Tema Materialer 32 36 Uge 35 Fag: Matematik Hold: 20 Lærer: Trine Koustrup Undervisningsmål 9. klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Målsætningen med undervisningen er at eleverne udvikler deres kunnen,opnår

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Mellem stjerner og planeter

Mellem stjerner og planeter Mellem stjerner og planeter Et undervisningsmateriale for folkeskolens 8. til 10. klassetrin om Tycho Brahes målinger af stjernepositioner samt ændringen af verdensbilledet som følge af målingerne. Titelbladet

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau

Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau Sådan bedømmes opgaverne ved skriftlig studentereksamen i matematik En vejledning for elever Skriftlighedsgruppe 01.04.09 Dette dokument henvender

Læs mere

Enkelt og dobbeltspalte

Enkelt og dobbeltspalte Enkelt og dobbeltsalte Jan Scholtyßek 4.09.008 Indhold 1 Indledning 1 Formål 3 Teori 3.1 Enkeltsalte.................................. 3. Dobbeltsalte................................. 3 4 Fremgangsmåde

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 15 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik A Jan Houmann

Læs mere

2. En knallert må i Danmark køre 30 km/t. Hvordan er Dæmonens hastighed i toppen af loopet, i forhold til en knallert, der kører 30 km/t.?

2. En knallert må i Danmark køre 30 km/t. Hvordan er Dæmonens hastighed i toppen af loopet, i forhold til en knallert, der kører 30 km/t.? Inspirationsark 1. I Tivoli kan du lave et forsøg, hvor du får lov til at tage et plastikglas med lidt vand med op i Det gyldne Tårn. Hvad tror du der sker med vandet, når du bliver trukket ned mod jorden?

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere