Bevægelse i to dimensioner

Transkript

1 Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette behandler man bevægelsen langs hver af akserne for sig. Hvis man for eksempel betragter en partikel der bevæger sig, vil dens position være givet ved følgende to funktioner: x (t) y (t) som til et givet tidspunkt beskriver partiklens position med en x- og en y-koordinat. Opløsningen af en bevægelse i de to retninger langs koordinatakserne er entydig. Generelt kalder man de grafiske billeder, der fremkommer, for t tilhørende en given punktmængde (fx t R), for en parameterkurve, hvor t er parameteren. Funktionerne x (t) og y (t) kaldes for parameterfremstillingen. Hastighed, v er givet ved (gennemsnitshastigheden) v = s t For små t har vi dermed at denne brøk nærmer sig differentialkvotienten ds dt er hastigheden (den såkaldte momentanhastighed) givet ved og dermed v = ds dt y Hastigheden splittes også op i hastigheden langs x-aksen og hastigheden langs y-aksen (se figuren). Ved et givet tidspunkt er hastigheden bestemt ved v y v v x (t) = x (t) v y (t) = y (t) θ v x x Nogle gange viser det sig dog nyttigt at benytte andre parametre til beskrivelsen: v x (t) = v cos (θ) () v y (t) = v sin (θ) () Her er θ vinklen fra x-aksen til partiklens bevægelsesretning og v er farten, der kan bestemmes ud fra pythagoras sætning (se figur) v = v x + v y. Acceleration er defineret som hastighedsændring, så på tilsvarende måde beskrives partiklens acceleration i de to retninger ved at differentiere hastighedsfunktionerne a x (t) = v x (t) = x (t) a y (t) = v y (t) = y (t) Med parameterkurver kan man lave nogle grafiske billeder, som man typisk ikke kan lave med funktionsforskrifter. Nedenfor ses nogle eksempler.

2 Side af 7 x (t) = sin ( t) x (t) = t t x (t) = sin ( t) cos (t) x (t) = cos (t) y (t) = sin (t) y (t) = sin ( t) y (t) = t y (t) = sin ( t) sin (t) Her ser vi, at der flere steder er flere funktionsværdier for en given x-værdi, hvilket gør, at man ikke kan skrive en funktion op for dem. Når man skal tegne grafen for en parameterkurve, skal man for hver t-værdi udregne de tilhørende x- og y-værdier, hvilket giver det tilhørende punkt. Således løber man (i princippet) alle t-værdierne igennem. Det kan dog nemt gøres på grafregneren ved at ændre Graph-indstillingen i mode til PARAMETRIC. Så taster man blot x (t) og y (t) ind i Y=. Det skrå kast Det skrå kast er karakteriseret ved at noget kastes, stødes eller skydes skråt op i luften - i en givet vinkel fra jorden - med en eller anden begyndelseshastighed. Under bevægelsen er genstanden kun påvirket af tyngdekraften der i løbet af noget tid vil være skyld i, at genstanden har fundet tilbage til jorden. Uden at gå i dybden her, så tager formen af parameterkurven i det skrå kast udgangspunkt i følg. x (t) = () y (t) = g () da genstanden kun er påvirket af tyngdekraften, der påvirker i lodret retning og nedad (dermed minus). g kaldes tyngdeaccelerationen og er givet ved g = 9, 8 N. Ud fra disse kg accelerationsfunktioner kan man finde hastighedsfunktionerne x (t) = v,x () y (t) = v,y g t (6) hvor v,x er begyndelseshastigheden i x-retningen og v,y er begyndelseshastigheden i y- retningen med relationen v = v,x + v,y. Ud fra hastighedsfunktionerne findes stedfunktionerne x (t) = x + v,x t (7) y (t) = y + v,y t gt (8) med (x, y ) som startpositionen til tiden t =. Metoden til at komme frem til hastighedsfunktionerne og stedfunktionerne er det omvendte af differentialregning - integralregning, men man kan tjekke det ved at differentiere og se om det passer.

3 Side af 7 Oftest udtrykker man bevægelsen i det skrå kast ud fra startvinklen, θ, der dannes med vandret og størrelsen af starthastigheden, v. Dvs. at udrykkene i () og () for v bruges. Endvidere vælger man oftest (dog ikke altid) at indlægge et koordinatsystem således, at x =. Derved får vi x (t) = v cos (θ) t (9) y (t) = y + v sin (θ) t gt () Ved at isolere t i den første ligning kan man omskrive det som en funktion y (x) dvs. højde som funktion af længde: y (x) = y + sin (θ) cos (θ) x g v cos (θ) x () Her ser man, at det er en parabelbane med koefficienterne a = g sin(θ) v cos(θ), b = cos(θ) og c = y. Man kan gå videre ind i skråt kast her. Man kan fx regne på flyvetider og opstille hastighedsfunktionerne på samme måde som (9) og (). Desuden kan man beregne maksimal kastelængde, kastehøjde og optimal kastevinkel. Læg mærke til, at vi har etableret forbindelsen til parablerne, så det handler også her om at trække på den viden. Nogle af de ovenfor beskrevne ting er iøvrigt behandlet i andet udleveret matriale, der leverer en grundig gennemgang af det skrå kast. Kast i basketball Til højre er der en figur over en basketballspiller og to kast med forskellig kastehøjde. På figuren ses basketballen for hver af de to kast ca. 7 gange i sekundet. Hvis vi skal udtrykke forskellen i de to kast ud fra parametrene beskrevet i forrige afsnit, så vil vi nok sige, at de har forskellige værdier af kastevinklen θ og starthastigheden v. De to kast rammer dog begge tilsyneladende op i kurven. Det ses umiddelbart af figuren, at de to kast har parabellignende bevægelser, hvilket selvfølgelig også stemmer fint overens med forrige afsnit. På næste side er samme figur, hvor der indlagt et koordinatsystem således at x = og y =, da vi her antager at bolden slippes i en højde på meter. Kastevinklen θ indtegnet og starthastigheden v indtegnet som vektorpil. Desuden er de to parameterkurver, som bolden følger i de to tilfælde trukket op med kurver (to parabler). De formler, der beskriver bevægelserne i de to tilfælde, er givet i (9), () og () med y = (se figur).

4 Side af 7 Værdier af konstanter for de to kast: Enheder medtages ikke, men alt er i SI-enheder (dvs. m, s, N, osv.) Begge kast: Tyngdeacceleration: g = 9, 8 Startpostion (vandret): x = Kastehøjde: y = Afstand fra kaster til kurv: l = 6 Højt kast: Kastevinkel: θ = 7 Begyndelseshastighed: v =, Højt kast: Kastevinkel: θ = 6 Begyndelseshastighed: v = 8, θ 6 7 Ud fra de konstanter, der er beskrevet kan vi opstille stedfunktionerne (9) og () for det høje kast x (t) =, 9 t y (t) =, +, 8 t, 9t og hastighedsfunktionerne opnås ved differentiering v x (t) = x (t) =, 9 v y (t) = y (t) =, 8 9, 8t Funktionen y (x) som givet i () er givet ved y (x) =, +, 7x, 8x Tilsvarende kan (9), () og () skrives for det lave kast (hastighedsfunktionerne overlades til læseren): x (t) =, 7 t y (t) =, + 7, 78 t, 9t y (x) =, +, 7x, 6x Hvis vi kigger på det høje kast og vil regne på hvor højt bolden kommer op, så kender vi jo toppunktsformlen fra vores viden om parabler T (x top, y top ) = ( b, ) d a a, med d som den sædvanlige diskriminant d = b ac: x top =, 7 =, 9 (, 8) y top = (, 7 (, 8) ) (, 8) = 7, 96 Man kan dog også beregne det ved at se på hvornår y-hastigheden er nul v y =, hvilket netop er på toppunktet. Derudfra kan man beregne t-værdien og indsætte den i x (t) og

5 Side af 7 y (t). Husk på at stedfunktionernes ekstremumssteder jo netop er hastighedsfuntionernes nulpunktioner. Sådan hænger det sammen, når hastighedsfunktionen er den afledede funktion af stedfunktionen. Herved har vi at (vi regner stadig på det høje kast) v y = t =,8 =, 8 og dermed er x (, ) =, 9, 8 =, 9 og 9,8 y (, 8) = +, 8, 8, 9, 8 = 7, 96. Dette er selvfølgelig i overensstemmelse med resultatet fra toppunksformlen. Læg iøvrigt mærke til at toppunktets placering ikke er halvejs mellem kaster og kurv, hvilket jo blot afspejler den asymmetri, der er mellem kastehøjden og kurvens placering. Der er mange flere ting end banens toppunkt, der kan undersøges og der bliver senere remset nogle forslag op. Analyse af målinger fra videooptagelse På næste side er der en tabel med tider samt de tilhørende x- og y-koordinater for et kast optaget på videokamera (optaget d. 6/-). Punkterne er fremkommet ved at indlægge et koordinatsystem i billedet, hvor x = og x-aksen er langs gulvet. Derefter har jeg gennemgået basketballkastet en frame af gangen og udplukket nogle af dem. Dvs. bestemt værdierne af t, x og y. På næste side ses desuden tre grafer: en (t, x)-graf, en (t, y)-graf og en (x, y)-graf. Disse grafer kan man selv finde ved at indtaste punkterne i excel eller grafregneren. På graferne har jeg lavet en regression (indført en tendenslinje), hvilket også kan gøres i excel eller på grafregneren. Hvis I vil lave andengradspolynomiumstilpasning på grafregneren skal I bruge QuadReg, når I regression i Stat/List-editoren. Den første graf (øverst til højre) viser y (x) som et andengradspolynomium, hvilket passer med teorien. Det vi ser på grafen er boldens fysiske bevægelse - altså de steder den har været. Punkterne ligger pænt omkring det indtegnede polynomium, hvilket også underbygges af en korrelationskoefficient (eller forklaringsgrad) på r =, 998. Når punkterne ikke passer helt hænger det sammen med at bolden, i det program, jeg brugte til at prikke de enkelte værdier ud i, til tider kunne være ret uklar og udtværet. Dette bringer selvfølgelig en vis usikkerhed med sig. Dvs. at den afvigelse/usikkerhed, der er, den skyldes behandlingen af videoen og ikke uoverensstemmelse mellem teori og virkelighed. På de to næste grafer (dem under) ser vi hhv. x (t) og y (t). x (t) er boldens x-position til tiden t, hvor t = er ved kastets start (x () = x = ). Punkterne ligger på en ret linje, hvilket igen er helt i overensstemmelse med teorien (9). Vi kan aflæse af regressionsligningen af v cos (θ) =, 88. Den sidste graf afbilder y (t) hvilket også passer godt med teorien (). Det er et andengradspolynomium, og vi lægger mærke til, at koefficienten foran t er,, der passer nogenlunde (dog kun nogenlunde - den har lidt større nummerisk værdi) med den i teorien angivne på, 9. Af koefficenten foran t har vi at v sin (θ) = 6, 68. Ud fra de to ligninger kan man få, at tan (θ) =, 7 som også er i overensstemmelse med y (x) (husk at tan (θ) = sin(θ) og cos(θ) v = 6, 68 +, 88. Dette giver følgende værdier af kastevinkel og begyndelseshastighed: θ = 9, 8 og v = 7, 66. For det pågældende kast kan man beregne toppunkt for parabel, men det har vi gjort i forrige afsnit og princippet er præcis det samme. Derudover kan man se på, hvad der sker, hvis vinklen ændres, hvis begyndelseshastigheden ændres, hvis kastehøjden ændres og meget mere. I næste afsnit er der nogle forslag til, hvad man kan give sig i kast med i en nærmere analyse at et basketball kast.

6 Side 6 af 7 t x y y x Regression: x (t) =, 88 t r =, t Regression: y (x) =, x +, 697 x+, 7 r =, 998 y x Regression: y (t) =, t +6, 86 t+, 9 r =, t Hvad kan man undersøge ved det skrå kast i basketball? I dette afsnit er der nogle eksempler på ting, der kan analyseres nærmere i forbindelse med skrå kast i basketball. Der er selvfølgelig mange andre ting, der kan undersøges end disse eksempler. Se på et skudeksempel. Det kan være et af dem I har talmateriale på. Bestem kastevinklen. En basketballkurvs diameter er cm. Hvor meget kunne kastevinklen være ændret uden at bolden ville ramme forbi? Se på et eksempel, hvor en forsvarsspiller forsøger at blokere boldens bane. Vælg nogle passende værdier for blokkerens højde og afstand til kasterne. Hvilke krav stiller det til kastevinkel og begyndelseshastighed for at bolden skal kunne ramme mål?

7 Side 7 af 7 Pga. fysikken (tyngdekraften) behøver man kun to punkter for at bestemme bevægelsen af bolden. Det kan fx være - forudsat at bolden rammer kurven - kastehøjden y, højden af kurven, afstanden (den vandrette) til kurven og den tid, hvor bolden er i luften (flyvetiden). Prøv at opstille bevægelsesligningerne ud fra to punkter. De kan fx tage (, ) til t = og (, ) til t =,. Kastet svarer iøvrigt godt til et af dem som ikke er leveret som talmateriale til opgaven. Undersøg effekten af et jumpshot. Tag f.eks. udgangspunkt i et eksempel, hvor der hoppes for at skyde over en blokker. Hvor lille er den mindste kastevinkel ved en given afstand, hvormed man stadig kan lave mål i basketball. Hertil skal du bruge dimensionerne på kurven og bolden. Ved det skrå kast hvor y = kan man vise at den maksimale kastelængde er givet ved x max = v sin(θ) og den vinkel, der giver den x g max er θ = (kan du gøre det?). I basketball forholder det sig ikke helt så nemt. Bolden slippes jo i ca. m s højde og rammer kurven i m s højde. Kan du opstille en formel for xmax og den optimale kastevinkel i basketball - fx når y = m? Kan du generelt? Hvor meget skal vinklen for et bestemt skud ændres for at bolden rammer pladen og stadig går i kurven? kan du opstille en funktion for størrelsen af hastigheden som funktion af tiden? Sandsynligheden for at få et rent mål, dvs. et mål, der ikke rammer kanten, er højst ved høje skud, da nedfaldsvinklen φ er større. Man kan fx se på forholdet mellem kurvens areal projiceret ind på den vinkelrette retning, når den rammer kurven og boldens tværsnitsareal A kurv sin(φ) A bold. Her kan man se på, hvordan det forhold ændrer sig med nedfaldsvinklen. Man kan også opstille en formel, hvori det er kastevinklen, der indgår. Hvis vi ser på et kast, hvor bolden rammer pladen over kurven, så følger den en parabel før den rammer pladen. Der gør den også efter. Kan du bestemme forskriften for den parabel ud fra v og θ (x =,y = )? Her ses bort fra skru i bolden (som ellers sagtens kan have betydning) og energitab ved stødet med pladen.