MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE"

Transkript

1 MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo 5.kapitel skrevet af: Jan Philip Solovej Institut for de Matematiske Fag Københavns Universitet Forår 3 På dansk ved Jacob Stevne Jørgensen, sommer

2 Forord til den danske udgave, Kros noter, som introducerer studerende til teorien for funktioner af flere variable, har igennem en årrække været anvendt ved undervisningen i kurset MatIntro ved Københavns Universitet. I denne sammenhæng har noterne vist, at de opfylder deres formål på udmærket måde. Uanset at dansk og norsk skriftsprog er meget nært beslægtede, er der dog visse forskelle i sprogbrugen, som gør, at vi har fundet det ønskeligt at have en dansk udgave af Kros noter. Dette notesæt er i alt væsenligt en direkte oversættelse af Kros notesæt, men hans liste af trykfejl m. v. er indarbejdet, og på nogle få punkter er teksten ændret således, at den passer bedre til den undervisning, der gives ved kurset MatIntro under Københavns Universitet. Den danske oversættelse er foretaget af Jacob Stevne Jørgensen i samarbejde med de lærere der skal holde kurset i efteråret, Erik Christensen, Søren Eilers og Niels Grønbæk. Tilføjelse til forord, Ved revisionen af Funktioner af flere variable er der tilføjet kapitel 5, Multiple integraler. Dette kapitel udgøres af Jan Philip Solovejs notesæt, der indtil forelå som separat kursusmateriale.

3 Indhold Visualisering 7. Funktioner af flere variable Grafer for funktioner af to variable Konturer Niveaukurver Grafer for funktioner af tre variable Andre koordinatsystemer Polære koordinater Cylinderkoordinater Kuglekoordinater Formelsamling for koordinatsystemer Opgaver Kontinuitet og differentiation 4. Topologiske begreber *Formelle definitioner Grænseværdier Kontinuitet Ekstremalværdisætningen *Bevis for ekstremalværdisætningen Differentiation Retningsafledede Partielt afledede C -funktioner Gradienten Tangentplan for grafen Differentiabilitet Kædereglen Niveaukurver, niveauflader og gradienten Højere ordens afledede Hessematricen

4 .5. Symmetri af blandede partielt afledede *Bevis for sætning Opgaver Største- og mindsteværdier 9 3. Nødvendige betingelser Tilstrækkelige betingelser *Største- og mindsteværdier for andengradspolynomier 3.. *Taylors formel *Bevis for ABC-kriteriet Opgaver Lagranges multiplikatormetode Ma/min-problemer med bibetingelser *Bevis for Lagranges multiplikatormetode Opgaver Multiple integraler Plan- og rumintegraler Transformation Polære og sfæriske koordinater Facit 6

5 5 Indledning De funktioner, du er mest vant til fra tidligere, er funktioner af en variabel det vil sige, at der til et givet reelt tal svarer en funktionsværdi y = f(), der er et reelt tal. I dette hæfte vil vi studere funktioner af flere variable, det vil sige funktioner, hvor der til et sæt af n reelle tal,,..., n svarer et reelt tal y = f(,,..., n ). Vi vil specielt interessere os for, hvordan man differentierer sådanne funktioner. Teorien vil nok på mange måder minde dig om det, du ved om differentiation af funktioner af en variabel, men der vil også være vigtige forskelle specielt kommer geometriske betragtninger til at spille en vigtigere rolle i den nye teori. Før vi begynder med matematikken, er der et spørgsmål, vi bør afklare hvad er egentlig hensigten med at studere funktioner af flere variable? Tænker du dig om, er det ikke vanskeligt at finde eksempler på situationer, hvor vi har brug for funktioner af flere variable til at beskrive, hvad der foregår. Her er nogle eksempler: * Du opvarmer en metalstang fra den ene ende og vil undersøge, hvordan varmen breder sig til andre dele af stangen. Da vil temperaturen T afhænge af afstanden til opvarmingspunktet og af tiden t siden opvarmingen begyndte. Vi får altså en funktion T (, t) af to variable. * Du slår en guitarstreng an, så den begynder at vibrere op og ned. For at beskrive bevægelsen af strengen, må du kende udslaget u(, t) i positionen til tiden t. Dette er en funktion af to variable. * Du er interesseret i at studere, hvordan saltkoncentrationen i havet varierer. For at angive positionen har du brug for tre variable, y, z, og for at angive tiden har du brug for en fjerde variabel t. Koncentrationen c bliver da en funktion c(, y, z, t) af fire variable. * Du driver en virksomhed, der producerer n forskellige varetyper. Bruttoindtægten afhænger af priserne p, p,..., p n, du kan få for disse varer. Den er altså en funktion I(p,..., p n ) af n variable. Sandsynligvis har du ikke store problemer med at fortsætte denne liste af eksempler på egen hånd.

6 6

7 Kapitel Visualisering. Funktioner af flere variable Dette kapitel vil beskrive, hvorledes vi bærer os ad med at skitsere grafen for en funktion af flere variable. Vi er vant til at tegne grafen for en funktion af en variabel i et to-dimensionalt koordinatsystem. Det viser sig, at grafen for en funktion af to variable kan tegnes i et tre-dimensionalt koordinatsystem. Har vi flere variable begrænses mulighederne for at tegne grafen. Rummet, vi lever i, har simpelthen ikke høj nok dimension til at grafen lader sig tegne. Men heldigvis findes der andre måder at visualisere grafen på. Lad os starte med at sætte navn på tingene. De reelle tal kender du forhåbentligt allerede, og vi betegner de reelle tal med R. Når vi arbejder med to variable, for eksempel og y, kan vi danne parret (, y). Mængden af alle talpar (, y), hvor og y er reelle, kalder vi R. Vi kalder ofte et sådant talpar for et punkt, og tænker på R som en plan. Mængden af alle taltripler af reelle tal kalder vi R 3, og vi tænker på et taltripel som et punkt i rummet. Generelt kalder vi mængden af n-tupler af reelle tal for R n, og et punkt, altså et n-tupel, kan skrives som (,,..., n ), hvor hver af,,..., n er et reelt tal. Vi er nu klar til at definere hvad en funktion af flere variable er:. Definition En reel funktion af n variable er en funktion med reelle værdier defineret på en delmængde A af R n. Vi skriver f : A R. Sagt på en anden måde er f en regel, der til hvert punkt (,,..., n ) A tilordner et tal f(,,..., n ) R. Vi kalder A for definitionsmængden for f, og ofte skriver vi D f i stedet for A. Funktionen har også en værdi- 7

8 8 KAPITEL. VISUALISERING mængde, V f, som er defineret ved V f = {f(,,..., n ) (,,..., n ) A}. Med andre ord er værdimængden mængden af alle funktionsværdier. De fleste funktioner, vi støder på, er givet ved formeludtryk. Her er nogle eksempler:. Eksempel a) f(,, 3, 4 ) = Dette er en funktion af fire variable og definitionsmængden er hele R 4. Vælger vi et punkt i R 4, for eksempel (,,, ), kan vi udregne den tilhørende funktionsværdi f(,,, ) = 3 ( ) ( )3 = + = 3. b) f(,, 3 ) =. Dette er en funktion af tre variable, som er defineret for alle (,, 3 ) i R 3 undtagen (,, ). Definitionsmængden er følgelig D f = R 3 {(,, )}. c) f(, y, t) = t. Dette er en funktion af tre variable, som er defineret i alle punkter hvor t >. Bemærk, at vi bruger, y og t som variabelnavne i stedet for, og 3. Dette er helt almindeligt når funktioner bruges i praksis, hedder de variable ofte noget helt andet end,,..., n. πt e ( y). Grafer for funktioner af to variable Noget af det første, vi gør, når vi studerer en funktion af to variable, er, at lave en skitse af grafen. Også i tilfælde med flere variable er det vigtigt at danne sig et billede af, hvordan funktionen ser ud, men har den mere end to variable, er det umuligt at lave en tegning af grafen i almindelig forstand. Heldigvis giver tovariabel-tilfældet os megen intuition, som vi kan bygge på, når vi skal studere funktioner af flere variable. I dette afsnit vil vi derfor se ganske nøje på, hvordan vi tegner grafen for en funktion af to variable. For at undgå alt for mange indices vil vi kalde de variable og y i stedet for og, og vi vil bruge z som betegnelse for funktionsværdien. Vi har altså funktioner z =f(, y). flertal af indeks

9 .. GRAFER FOR FUNKTIONER AF TO VARIABLE 9 z (,y,f(,y)) f(,y) y (,y,) Figur.: Punkt på grafen for f Før vi kaster os ud i eksempler, må vi præcisere, hvad grafen for en funktion af to variable er. Den befinder sig i et tredimensionalt koordinatsystem. Akserne navngiver vi efter de variable, i vores tilfælde bliver det -, y- og z-aksen. Givet variabelværdier og y, således at (, y) ligger i definitionsmængden for f, kan vi finde funktionsværdien i dette punkt, dvs. f(, y). Taltriplet (, y, f(, y)) er koordinaterne til et punkt i det tredimensionale koordinatsystem. Punktet ligger på grafen for funktionen f. Se figur.. Vi definerer grafen for f som mængden af alle punkter af formen (, y, f(, y)), hvor (, y) ligger i definitionsmængden for f. Bemærk, at vi i princippet kan aflæse funktionsværdien for f, hvis vi har en tegning af grafen. For at aflæse f(, y) finder man først (, y, ), derefter bevæger man sig lodret (dvs. parallelt med z-aksen) til man støder på grafen. Dette vil ske i et punkt (, y, z). Funktionsværdien f(, y) er da z-værdien i dette punkt. Se figur...3 Eksempel Brug af it-værktøjer er ofte nyttigt, når man skal se på grafen for en funktion af to variable. Vi vil se nærmere på, hvordan vi kan bruge computerprogrammet Maple til at tegne graferne for følgende funktioner: a) f(, y) = y b) g(, y) = cos( + y ) c) h(, y) = 4 3y +y +

10 KAPITEL. VISUALISERING z (,y,f(,y)) y (,y,) Figur.: Aflæsning af funktionsværdien Vi definerer funktionerne i Maple ved at give følgende kommandoer: f:= (,y) -> *y; g:= (,y) -> cos(^+y^); h:= (,y) -> (4-3*y)/(^+y^+); For at tegne graferne for disse funktioner skriver vi plot3d(f(,y), =-.., y=-..); plot3d(g(,y), = , y= ); plot3d(h(,y), =-3..3, y=-4..); Vi har i hvert af tilfældene angivet et område for og y. For eksempel har vi for funktionen h ladet gå fra 3 til 3 og y gå fra 4 til. Graferne, der fremkommer, kan du se på figurerne.3,.4 og.5. Stoffet, vi har gennemgået hidtil, har sigtet efter at give dig en god intuition om, hvad grafen for en funktion af to variable er, men vi har ikke undersøgt, hvordan man i praksis kan skitsere grafen. At bruge it-værktøj, som i eksemplerne ovenfor, er ofte praktisk, men det er også nyttigt at beherske kunsten at skitsere en graf uden andre hjælpemidler end papir og blyant. Når man studerer grafen ved håndkraft, bliver forståelsen af grafens kvalitative egenskaber ofte dybere end ved brug af it-værktøj. Og med træning og erfaring kan det tilmed være hurtigere at skitsere grafen på papir end at bruge et computerprogram.

11 .. GRAFER FOR FUNKTIONER AF TO VARIABLE 4 y 4 Figur.3: Grafen for f(, y) = y y Figur.4: Grafen for g(, y) = cos( + y )

12 KAPITEL. VISUALISERING y 3 Figur.5: Grafen for h(, y) = 4 3y +y + Vi skal nu se på to forskellige hjælpemidler til anskueliggørelse af grafer kaldet konturer og niveaukurver. Konturen for grafen over en linje i y-planen bliver en funktion af én variabel, som vi kan tegne grafen for. Ved at sætte mange konturer sammen kan vi danne os et billede af grafen. Vi giver en præcis definition af begrebet kontur..4 Definition En kontur for en funktion f(, y) af to variable er grafen for en funktion f γ af én variabel, som fremkommer ved at indsætte parameterfremstillingen (, y) = γ(t) for en ret linje l. Funktionen f γ er defineret for de t R, for hvilke γ(t) D f Rent geometrisk er konturen snittet mellem grafen for f og den lodrette plan i det 3-dimensionale rum, som indeholder l. Vi får herved Kontur l (f) := {(, y, z) R 3 (, y) l D f og z = f(, y)}. Niveaukurver er snit mellem grafen og planer, der er parallelle med yplanen, og en samling af niveaukurver beskriver grafen på samme måde som højdekurver på et kort beskriver terrænnet. Den matematiske definition er som følger:.5 Definition Niveaukurven N c for en funktion f(, y) af to variable er punktmængden N c := {(, y) R (, y) D f og f(, y) = c}

13 .. GRAFER FOR FUNKTIONER AF TO VARIABLE 3 Bemærk, at ifølge definitionen er niveaukurven N c en del af y-planen. Undertiden er det praktisk at opfatte den som en del af planen z = c i det tre-dimensionale rum, dvs. mængden {(, y, c) (, y) N c }. Dette svarer til at højdekurven i højden c ude i naturen forløber i rummet, mens den på et kort naturligvis forløber i kortets plan... Konturer De simpleste eksempler på konturer for en funktion f af to variable og y får vi ved at indsætte en fast værdi for en af de variable. Da bliver det tilbageværende en funktion af en variabel, som vi kan tegne grafen for. Lad os se på nogle eksempler..6 Eksempel I dette eksempel vil vi forsøge at skitsere grafen for f(, y) = + 4 y + 4y Idéen bag konturer er at indsætte et tal for en af de variable. Så får vi en funktion af den anden variabel, som vi ved, hvordan man tegner grafen for. Vi prøver at indsætte nogle værdier for y. For eksempel y =, y =, y =, y =, y =, y = 3, y = 4 og y = 5. Der er ikke nogen speciel grund til at vi valgte netop disse tal, andre valg kan fungere lige så godt. Lad os se, hvad der sker, når vi sætter dem ind: y = giver f(, ) = + 4 y = giver f(, ) = y = giver f(, ) = + 4 y = giver f(, ) = y = giver f(, ) = y = 3 giver f(, 3) = y = 4 giver f(, 4) = + 4 y = 5 giver f(, 5) = Tegner vi graferne, får vi parabler, som alle har samme form. Den eneste forskel er en forskydning i z-retningen. Se figur.6. Nu forsøger vi at indsætte værdier for, og derefter tegne z = f(, y) som en funktion af y for de valgte -værdier. Vi prøver med = 4, = 3,

14 4 KAPITEL. VISUALISERING z z z z (a) y = (b) y = (c) y = (d) y = z z z z (e) y = (f) y = 3 (g) y = 4 (h) y = 5 Figur.6: Konturer for f(, y) = + 4 y + 4y =, =, = og = Da får vi: = 4 giver f( 4, y) = 6 y + 4y = 3 giver f( 3, y) = 6 y + 4y = giver f(, y) = y + 4y = giver f(, y) = y + 4y = giver f(, y) = y + 4y = giver f(, y) = 6 y + 4y Igen får vi parabler, og disse kan du se i figur.7. Vi sætter nu disse grafer sammen i et 3-dimensionalt koordinatsystem. Da fremkommer fladen i figur.8. Her er konturerne fra figur.6 tegnet op parallelt med -aksen, og konturerne fra figur.7 ligger parallelt med y-aksen..7 Eksempel Lad f være givet ved f(, y) = ln( + y) y Som i eksemplet ovenfor skal vi indsætte nogle værdier for og y, tegne konturerne for disse værdier, og til sidst sætte dem sammen og få grafen for

15 .. GRAFER FOR FUNKTIONER AF TO VARIABLE z z z y y y 5 5 (a) = 4 5 (b) = 3 5 (c) = z z z y y y 5 5 (d) = 5 (e) = 5 (f) = Figur.7: Konturer for f(, y) = + 4 y + 4y z 4 3 y Figur.8: Konturerne for f sammensat til grafen for funktionen.

16 6 KAPITEL. VISUALISERING f frem. Vi vælger konturer for =, =, = og y =, y = og y =. De funktioner, vi ønsker at tegne er: = giver f(, y) = ln(y ) y = giver f(, y) = ln(y) y = giver f(, y) = ln(y + ) y y = giver f(, ) = ln( ) + y = giver f(, ) = ln() y = giver f(, ) = ln( + ) Vi tegner konturerne i figur.9. Vi ser, at når vi indsætter forskellige -værdier, så får vi konturer med samme form. Lavere -værdier forskyder konturen ned mod højre, højere -værdier forskyder konturen op mod venstre. Bemærk, at funktionen f(, y) = ln( + y) y, set som funktion af y, har en lodret asymptote i y =. Ligeledes ser vi, at når vi indsætter forskellige værdier for y, så får vi igen konturer med samme form. Lavere y-værdier forskyder konturen op mod højre, mens højere y-værdier forskyder konturen ned mod venstre. Som funktion af har f(, y ) en lodret asymptote i = y. Grafen for f får vi ved at sammensætte konturerne. Den er tegnet i figur..8 Eksempel Lad f være givet ved f(, y) = y + Vi ønsker at tegne grafen for f. Lad os derfor diskutere hvordan forskellige konturer ser ud. Vi ser først på, hvad der sker, hvis vi sætter y til at være en konstant. y = c giver z = f(, c) = c + Ved at omskrive denne ligning ser vi, at konturen over y = c er de (, z) hvor z og z + ( ) = c Konturen er altså halvcirkelen med radius c og centrum i (, ) med z. Grafen bliver derfor øvre halvdel af en liggende dobbeltkegle med akse =, z =. For at tegne grafen kan det være en god idé først at tegne konturen over =, fordi c = f(, c) er størsteværdien for konturen over linjen y = c.

17 .. GRAFER FOR FUNKTIONER AF TO VARIABLE z z z y y y (a) = 4 (b) = 4 (c) = z z z (d) y = 4 (e) y = 4 (f) y = Figur.9: Konturer for f(, y) = ln( + y) y 5 4 z 3 y Figur.: Grafen for f(, y) = ln( + y) y.

18 8 KAPITEL. VISUALISERING Figur.: Grafen for f(, y) = y +. Derefter kan man tegne halvcirklerne hængende ned fra denne kurve. Vi har at f(, y) = y + = y = y Og vi kan tegne grafen som vist i figur.. Nogle gange kan det også være hensigtsmæssigt at tegne konturerne for f over en linje, der ikke er parallel med koordinatakserne. Her er et eksempel på dette..9 Eksempel I dette eksempel betragter vi funktionen f(, y) = y Men i modsætning til eksemplerne ovenfor indsætter vi ikke konstanter for eller y for at danne konturer. Derimod vil vi se, hvordan grafen ser ud over linjer, der går gennem origo. Rette linjer i y-planen, som går gennem origo, kan skrives på formen y = a, undtagen linjen =. Hvis vi indsætter y = a i funktionen f, får vi f(, a) = a = a Vi ser, at over linjer y = a er f konstant lig a. Dermed kan vi tegne grafen. Se figur.... Niveaukurver Niveaukurven for en funktion f af to variable i højden c er kurven i yplanen som fremkommer, når man løser ligningen f(, y) = c. Ved at tegne

19 .. GRAFER FOR FUNKTIONER AF TO VARIABLE z y Figur.: Grafen for f(, y) = y. flere niveaukurver for samme funktion kan man til sidst skitsere grafen. Vi ser på et eksempel:. Eksempel Brug niveaukurver til at skitsere grafen for f(, y) = + 4y. For at finde niveaukurverne forsøger vi at løse ligningen + 4y = c. Løsningskurvens udseende er selvfølgelig afhængig af værdien af c. Hvis c er negativ, har ligningen ingen løsninger, da + 4y for alle og y. For c = er der kun én løsning, nemlig = y =. Og for c > får vi ellipser. Jo større c bliver, des større bliver ellipserne. Se figur.3 for en skitse af niveaukurverne for c =, c =, c = 3 og c = 4. Vi bruger niveaukurverne som hjælpemiddel til at skitsere grafen. Se figur.4. Afslutningsvis i dette afsnit vil vi se på nogle eksempler, hvor vi både bruger konturer og niveaukurver til effektivt at kunne skitsere grafen for nogle funktioner af to variable.. Eksempel Lad f være givet ved f(, y) = y + y

20 KAPITEL. VISUALISERING y.5.5 Figur.3: Niveaukurver for f(, y) = + 4y med c =, c =, c = 3 og c = z y Figur.4: Grafen for f(, y) = + 4y.

21 .. GRAFER FOR FUNKTIONER AF TO VARIABLE 6 c= 3 c= y 4 c=5 c=3 c= c=3 c= c= c= 3 Figur.5: Niveaukurver for f(, y) = y + y. For at undersøge denne funktion ser vi først på niveaukurverne. Lad c være et reelt tal. Da ønsker vi at løse c = f(, y) = y + y. Vi undersøger først tilfældet c =, og vi får nedenstående ligning til bestemmelse af niveaukurven. = y + y, som kan omformes til = y + y = ( )( + y). Heraf ses, at N må bestå af de to rette linjer = og y = +. For c ved vi nu, at intet punkt af formen (, y) ligger i N c, og vi kan omforme ligningen c = y + y til y = + + c. Vi ser da, at for c består N c af to kurver y = + + c y = + + c < < < < Betragt figur.5, og læg mærke til, at niveaukurverne N c for c < findes i områderne mod nord og syd, mens niveaukurverne for c > findes i

22 KAPITEL. VISUALISERING områderne mod øst og vest. Enhver af disse kurver har linjerne = og y = + som asymptoter. Når vi nu skal tegne grafen, er det godt at tegne nogle konturer. Derefter kan vi ophænge niveaukurverne på disse. Vi ønsker at udvælge konturerne med omhu, målet er at vælge dem, så vi med få konturer formår at få hængt samtlige niveaukurver op. Se først på konturen over y =. (y = er en ret linje gennem punktet (, )). Vi får at f(, ) = + = ( ) + Til denne kontur får vi fæstnet alle niveaukurverne med c. For at fæstne de resterende niveaukurver ser vi på konturen over y =. (Dette er også en ret linje gennem (, )). Dette giver f(, ) = + = ( ) På denne kontur kan vi fæstne alle niveaukurver med c. Vi skitserer nu først de to konturer, derefter fæstner vi niveaukurverne til disse og endelig får vi grafen frem, se figur.6. Eksempel En affin funktion i to variable er en funktion f på formen f(, y) = a + by + d hvor a, b og d er reelle tal. Grafen består af punkter (, y, z), som opfylder z = a + by + d, og er altså en plan i R 3. Dette fremgår (selvfølgelig) også ved at betragte niveaukurver og konturer. Vi ser først på niveaukurverne, det vil sige, at vi forsøger at løse ligningen c = f(, y) = a + by + d Kurverne, som fremkommer for forskellige værdier af c, er parallelle rette linjer i y-planen, bortset fra hvis a = b =. I dette tilfælde bliver niveaukurverne den tomme mængde for c d og hele y-planen for c = d. Konturen over den rette linje y = k + l finder vi ved at indsætte i funktionsudtrykket. Vi får: f(, k + l) = a + bk + bl + d = (a + bk) + (d + bl)

23 .. GRAFER FOR FUNKTIONER AF TO VARIABLE z 4 y z 4 y (a) Konturerne (b) med niveaukurver z y (c) Grafen Figur.6: At tegne grafen for f(, y) = y + y

24 4 KAPITEL. VISUALISERING Vi tænker på udtrykkene som står inde i parenteserne som konstanter og ser, at konturen er en ret linje. Også konturerne over linjer på formen = k bliver rette linjer, fordi f(k, y) = ak + by + d = by + (ak + d). Så alle niveaukurverne og alle konturerne er rette linjer, i overensstemmelse med at grafen for en affin funktion er en plan i R 3..3 Grafer for funktioner af tre variable Når man møder funktioner af tre (eller flere) variable kan man ikke længere tegne grafen af den grund, at rummet i den fysiske verden, vi lever i, har 3 dimensioner, mens det matematiske rum, hvor den abstrakte graf ligger, har 4 eller flere dimensioner. Der er simpelthen ikke plads nok til at tegne grafen. En slags visualisering af grafen kan man få ved at betragte 3-dimensionale billeder af grafen, f.eks. ved at generalisere begrebet niveaukurve. Herved fremkommer begrebet niveauflade. Lad os se på nogle eksempler med funktioner af tre variable..3 Eksempel Lad f : R 3 R være givet ved f(, y, z) = + y + z. Vi ønsker at visualisere grafen for f ved hjælp af niveauflader. Niveaufladerne fremkommer ved at løse ligningen c = f(, y, z) = + y + z. Vi ser, at hvis c <, har ligningen ingen løsning, fordi, y og z for alle, y og z. Hvis c =, er den eneste løsning (, y, z) = (,, ), og for c > beskriver ligningen c = + y + z en ellipsoide. Se figur.7 for niveaufladerne c =, c =, c = 3 og c = 4..4 Eksempel Lad g være funktionen givet ved g(, y, z) = z + + y. Niveaufladerne for g finder vi ved at løse ligningen c = z + + y.

25 .4. ANDRE KOORDINATSYSTEMER 5 y y (a) c = (b) c = y y (c) c = 3 (d) c = 4 Figur.7: Niveauflader for f(, y, z) = + y + z Dette udtryk kan omskrives således, at z bliver en funktion af og y, det vil sige z = c + y. Dermed kan man se, at niveaufladerne er cirkulære kegler med toppunkt i (,, c). Disse er skitseret i figur.8.4 Andre koordinatsystemer.4. Polære koordinater Når vi skal angive positionen til et punkt i planen, er det mest almindelige at opgive - og y-koordinaten som vist i figur.9. og y kaldes de kartesiske koordinater til punktet. I en del sammenhænge er det imidlertid lettere og mere nyttigt at bruge polære koordinater (r, θ) som vist i figur.9. Her betegner r afstanden fra punktet til origo, mens θ er vinklen mellem vektoren OP og den positive del af -aksen. Vinklen θ er kun bestemt op til et heltalligt multiplum af π, men som regel vælger man θ til at ligge i intervallet [, π[ eller alternativt [ π, π[. Før vi begynder at benytte polære koordinater til at studere grafer af to

26 6 KAPITEL. VISUALISERING z z y (a) c = y (b) c = 3 4 z y (c) c = 3 4 Figur.8: Niveauflader for g(, y, z) = z + + y y y (, y) P r θ O Figur.9: Kartesiske- og polære koordinater

27 .4. ANDRE KOORDINATSYSTEMER 7 P r y θ O Figur.: Omregning mellem kartesiske og polære koordinater variable, skal vi se på, hvordan man udtrykker et punkt givet i kartesiske koordinater i polære koordinater, og omvendt. Grundlaget for omregningen er elementær trigonometri. Se på den retvinklede trekant i figur.. Kateterne har længde og y, hypotenusen har længde r, og vinklen i origo er θ. For at finde de polære koordinater for punktet (, y) udregner vi først r = + y. Derefter udregner vi sin θ = y r Der er to vinkler i første omløb med samme sinus, men ved at se på hvilken kvadrant punktet (, y) ligger i, er det ikke vanskeligt at vælge den rigtige vinkel. Sommetider må vi også gå den anden vej at vi kender de polære koordinater r og θ, og ønsker at finde de kartesiske koordinater og y. Dette er lettere vi observerer bare at = r cos θ y = r sin θ.5 Eksempel Find de polære koordinater til punktet med kartesiske koordinater ( 6, 3 ). Vi udregner afstanden fra punktet til origo: r = + y = ( 6) + ( 3 ) = 36 + = 48 = 4 3 For at bestemme vinklen θ kan vi for eksempel udregne sinus: sin θ = y r = =.

28 8 KAPITEL. VISUALISERING z 3 r Figur.: Funktionen z = e r Der findes to vinkler i første omløb med sin θ =, nemlig θ = π og θ = 5π. 6 6 Eftersom vores punkt ( 6, 3 ) ligger i anden kvadrant, må vi have θ = 5π. 6 De polære koordinater til ( 6, 3 ) bliver dermed r = 4 3, θ = 5π. 6 Da vi kan angive punkter i planen ved hjælp af polære koordinater (r, θ) i stedet for kartesiske koordinater (, y), kan vi også beskrive funktioner af to variable ved hjælp af polære koordinater i stedet for kartesiske z = g(r, θ) z = f(, y) Dette gør man ved at sætte g(r, θ) = f(r cos θ, r sin θ). Ofte kan det være nyttigt at omskrive en funktion til polære koordinater for at få et bedre indtryk af grafen..6 Eksempel Hvis vi omskriver z = e ( +y ) til polære koordinater, får vi z = e r. Tegner vi z = e r som en funktion af én variabel, får vi grafen i figur.. Grafen for funktionen z = e ( +y ) får vi ved at rotere denne graf omkring z-aksen (se figur.). Vi tager endnu et eksempel med:.7 Eksempel Omskriver vi funktionen z = y til polære koordinater, får vi z = y = (r cos θ) (r sin θ) = r (cos θ sin θ) = r cos θ. Det betyder, at hvis vi holder vinklen θ konstant og varierer afstanden r, så følger z en parabelbue z = r cos θ. Fortegnet for cos θ afgør om parablen

29 .4. ANDRE KOORDINATSYSTEMER 9 z y Figur.: Funktionen z = e r roteret om z-aksen z P z r θ y Figur.3: Cylinderkoordinater vokser opad eller nedad når r øges, og størrelsen på cos θ afgør hvor hurtig denne vækst er. Forsøg at lave en skitse af grafen ud fra den information, du nu har..4. Cylinderkoordinater Også for funktioner af tre variable kan det ofte svare sig at omskrive til andre koordinatsystemer. Vi vil hurtigt berøre to sådanne koordinatsystemer cylinderkoordinater og kuglekoordinater. Figur.3 viser grundidéen for cylinderkoordinater; vi angiver positionen til punktet P ved hjælp af de tre størrelser r, θ og z. Cylinderkoordinater er nært beslægtet med polære koordinater vi har bare hægtet en tredje koordinat z på.

30 3 KAPITEL. VISUALISERING.8 Eksempel Skriv funktionen u = f(, y, z) = ( + y )e z ved hjælp af cylinderkoordinater. Da + y = r, har vi u = r e z.9 Eksempel Beskriv niveaufladerne for f(, y, z) = + y ved hjælp af cylinderkoordinater. Igen kan vi indsætte + y = r. Dette giver u = f(, y, z) = + y z z = r z Niveaufladen c = u bliver dermed givet af ligningen c = r z Dette udtryk kan omskrives til formen z = r c Kigger vi på snittet af denne flade med planen y =, får vi ligningen z = c, som i z-planen beskriver en parabel. Fladen z = r findes ved at rotere ovennævnte parabel om z-aksen, og den kaldes derfor en omdrejningsparaboloide. c.4.3 Kuglekoordinater I kuglekoordinater beskrives positionen for et punkt P (, y, z) ved hjælp af en længde ρ og to vinkler θ og φ. Figur.4 viser idéen ρ er afstanden fra P til origo, φ er vinklen mellem z-aksen og vektoren OP, og θ er den samme vinkel som for cylinderkoordinaterne, nemlig vinklen mellem -aksen og projektionen OP af OP ned på y-planen. Vinklen φ ligger mellem og

31 .4. ANDRE KOORDINATSYSTEMER 3 z φ ρ P y θ P Figur.4: Kuglekoordinater π, mens θ ligger mellem og π. For at udtrykke, y og z ved hjælp af ρ, φ og θ, observerer vi først at z = ρ cos φ Vi ser også at OP = OP sin φ = ρ sin φ. Dette betyder, at = OP cos θ = ρ cos θ sin φ y = OP sin θ = ρ sin θ sin φ Lad os se, hvordan disse formler bruges i praksis:. Eksempel Hvilken type flade beskriver ligningen + y + z = a hvor a > er en konstant? For at svare på dette spørsmål forsøger vi at sætte formlerne for kuglekoordinater ind i ligningen. Dette giver + y + z = ρ cos θ sin φ + ρ sin θ sin φ + ρ cos φ = a. Vi reducerer lidt på udtrykket i midten og får ρ cos θ sin φ + ρ sin θ sin φ + ρ cos φ = ρ (( cos θ + sin θ ) sin φ + cos φ ) = ρ ( sin φ + cos φ ) = ρ.

32 3 KAPITEL. VISUALISERING Ligningen kan altså reduceres til ρ = a. Men da både a og ρ er større end eller lig med, beskriver ρ = a fladen. Fladen er altså en kugle med radius a.. Eksempel Omskriv til kuglekoordinater. Vi ser at så u = + y z + y = (ρ cos θ sin φ) + (ρ sin θ sin φ) = ρ sin φ z = ρ cos φ u = ρ sin φ ρ cos φ = ρ cos φ. Dette betyder, at u er uafhængig af vinklen θ. Holder vi vinklen φ konstant, vokser eller aftager u proportionalt med ρ. Om u er positiv ( eller ) negativ π afhænger af størrelsen på φ. Vi ser, at u er positiv for φ, 3π og negativ 4 4 ( ) ( for φ, π 3π )., π 4 4 Til sidst tager vi et eksempel, hvor vi beskriver en niveauflade ved hjælp af kuglekoordinater:. *Eksempel Lad funktionen f være givet ved f(, y, z) = z + y. Definitionsmængden for f er alle (, y, z) R 3, hvor både og z. Vi omskriver funktionsudtrykket til sfæriske koordinater: g(ρ, θ, φ) = cos θ tan φ + tan θ. Bemærk, at ρ ikke indgår i dette funktionsudtryk. Det betyder, at for alle punkter på en ret linje i R 3, som går gennem origo, er funktionsværdien den samme. Vi ønsker at beskrive niveaufladerne for f. Derfor ser vi på ligningen cos θ tan φ + tan θ = c.

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo Forår 3 På dansk ved Jacob Stevne Jørgensen, sommer Forord til den danske udgave Kros noter, som introducerer

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Her skal du lære om 1. Funktioner i flere variable 2. Grafen og niveaukurver 3. Grænseovergange og grænseværdier 4. Kontinuitet i flere variable 5. Polære koordinater

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

Funktioner af flere variable

Funktioner af flere variable Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2015-forår 2016 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning

Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik, niveau

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere