MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE"

Transkript

1 MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo 5.kapitel skrevet af: Jan Philip Solovej Institut for de Matematiske Fag Københavns Universitet Forår 3 På dansk ved Jacob Stevne Jørgensen, sommer

2 Forord til den danske udgave, Kros noter, som introducerer studerende til teorien for funktioner af flere variable, har igennem en årrække været anvendt ved undervisningen i kurset MatIntro ved Københavns Universitet. I denne sammenhæng har noterne vist, at de opfylder deres formål på udmærket måde. Uanset at dansk og norsk skriftsprog er meget nært beslægtede, er der dog visse forskelle i sprogbrugen, som gør, at vi har fundet det ønskeligt at have en dansk udgave af Kros noter. Dette notesæt er i alt væsenligt en direkte oversættelse af Kros notesæt, men hans liste af trykfejl m. v. er indarbejdet, og på nogle få punkter er teksten ændret således, at den passer bedre til den undervisning, der gives ved kurset MatIntro under Københavns Universitet. Den danske oversættelse er foretaget af Jacob Stevne Jørgensen i samarbejde med de lærere der skal holde kurset i efteråret, Erik Christensen, Søren Eilers og Niels Grønbæk. Tilføjelse til forord, Ved revisionen af Funktioner af flere variable er der tilføjet kapitel 5, Multiple integraler. Dette kapitel udgøres af Jan Philip Solovejs notesæt, der indtil forelå som separat kursusmateriale.

3 Indhold Visualisering 7. Funktioner af flere variable Grafer for funktioner af to variable Konturer Niveaukurver Grafer for funktioner af tre variable Andre koordinatsystemer Polære koordinater Cylinderkoordinater Kuglekoordinater Formelsamling for koordinatsystemer Opgaver Kontinuitet og differentiation 4. Topologiske begreber *Formelle definitioner Grænseværdier Kontinuitet Ekstremalværdisætningen *Bevis for ekstremalværdisætningen Differentiation Retningsafledede Partielt afledede C -funktioner Gradienten Tangentplan for grafen Differentiabilitet Kædereglen Niveaukurver, niveauflader og gradienten Højere ordens afledede Hessematricen

4 .5. Symmetri af blandede partielt afledede *Bevis for sætning Opgaver Største- og mindsteværdier 9 3. Nødvendige betingelser Tilstrækkelige betingelser *Største- og mindsteværdier for andengradspolynomier 3.. *Taylors formel *Bevis for ABC-kriteriet Opgaver Lagranges multiplikatormetode Ma/min-problemer med bibetingelser *Bevis for Lagranges multiplikatormetode Opgaver Multiple integraler Plan- og rumintegraler Transformation Polære og sfæriske koordinater Facit 6

5 5 Indledning De funktioner, du er mest vant til fra tidligere, er funktioner af en variabel det vil sige, at der til et givet reelt tal svarer en funktionsværdi y = f(), der er et reelt tal. I dette hæfte vil vi studere funktioner af flere variable, det vil sige funktioner, hvor der til et sæt af n reelle tal,,..., n svarer et reelt tal y = f(,,..., n ). Vi vil specielt interessere os for, hvordan man differentierer sådanne funktioner. Teorien vil nok på mange måder minde dig om det, du ved om differentiation af funktioner af en variabel, men der vil også være vigtige forskelle specielt kommer geometriske betragtninger til at spille en vigtigere rolle i den nye teori. Før vi begynder med matematikken, er der et spørgsmål, vi bør afklare hvad er egentlig hensigten med at studere funktioner af flere variable? Tænker du dig om, er det ikke vanskeligt at finde eksempler på situationer, hvor vi har brug for funktioner af flere variable til at beskrive, hvad der foregår. Her er nogle eksempler: * Du opvarmer en metalstang fra den ene ende og vil undersøge, hvordan varmen breder sig til andre dele af stangen. Da vil temperaturen T afhænge af afstanden til opvarmingspunktet og af tiden t siden opvarmingen begyndte. Vi får altså en funktion T (, t) af to variable. * Du slår en guitarstreng an, så den begynder at vibrere op og ned. For at beskrive bevægelsen af strengen, må du kende udslaget u(, t) i positionen til tiden t. Dette er en funktion af to variable. * Du er interesseret i at studere, hvordan saltkoncentrationen i havet varierer. For at angive positionen har du brug for tre variable, y, z, og for at angive tiden har du brug for en fjerde variabel t. Koncentrationen c bliver da en funktion c(, y, z, t) af fire variable. * Du driver en virksomhed, der producerer n forskellige varetyper. Bruttoindtægten afhænger af priserne p, p,..., p n, du kan få for disse varer. Den er altså en funktion I(p,..., p n ) af n variable. Sandsynligvis har du ikke store problemer med at fortsætte denne liste af eksempler på egen hånd.

6 6

7 Kapitel Visualisering. Funktioner af flere variable Dette kapitel vil beskrive, hvorledes vi bærer os ad med at skitsere grafen for en funktion af flere variable. Vi er vant til at tegne grafen for en funktion af en variabel i et to-dimensionalt koordinatsystem. Det viser sig, at grafen for en funktion af to variable kan tegnes i et tre-dimensionalt koordinatsystem. Har vi flere variable begrænses mulighederne for at tegne grafen. Rummet, vi lever i, har simpelthen ikke høj nok dimension til at grafen lader sig tegne. Men heldigvis findes der andre måder at visualisere grafen på. Lad os starte med at sætte navn på tingene. De reelle tal kender du forhåbentligt allerede, og vi betegner de reelle tal med R. Når vi arbejder med to variable, for eksempel og y, kan vi danne parret (, y). Mængden af alle talpar (, y), hvor og y er reelle, kalder vi R. Vi kalder ofte et sådant talpar for et punkt, og tænker på R som en plan. Mængden af alle taltripler af reelle tal kalder vi R 3, og vi tænker på et taltripel som et punkt i rummet. Generelt kalder vi mængden af n-tupler af reelle tal for R n, og et punkt, altså et n-tupel, kan skrives som (,,..., n ), hvor hver af,,..., n er et reelt tal. Vi er nu klar til at definere hvad en funktion af flere variable er:. Definition En reel funktion af n variable er en funktion med reelle værdier defineret på en delmængde A af R n. Vi skriver f : A R. Sagt på en anden måde er f en regel, der til hvert punkt (,,..., n ) A tilordner et tal f(,,..., n ) R. Vi kalder A for definitionsmængden for f, og ofte skriver vi D f i stedet for A. Funktionen har også en værdi- 7

8 8 KAPITEL. VISUALISERING mængde, V f, som er defineret ved V f = {f(,,..., n ) (,,..., n ) A}. Med andre ord er værdimængden mængden af alle funktionsværdier. De fleste funktioner, vi støder på, er givet ved formeludtryk. Her er nogle eksempler:. Eksempel a) f(,, 3, 4 ) = Dette er en funktion af fire variable og definitionsmængden er hele R 4. Vælger vi et punkt i R 4, for eksempel (,,, ), kan vi udregne den tilhørende funktionsværdi f(,,, ) = 3 ( ) ( )3 = + = 3. b) f(,, 3 ) =. Dette er en funktion af tre variable, som er defineret for alle (,, 3 ) i R 3 undtagen (,, ). Definitionsmængden er følgelig D f = R 3 {(,, )}. c) f(, y, t) = t. Dette er en funktion af tre variable, som er defineret i alle punkter hvor t >. Bemærk, at vi bruger, y og t som variabelnavne i stedet for, og 3. Dette er helt almindeligt når funktioner bruges i praksis, hedder de variable ofte noget helt andet end,,..., n. πt e ( y). Grafer for funktioner af to variable Noget af det første, vi gør, når vi studerer en funktion af to variable, er, at lave en skitse af grafen. Også i tilfælde med flere variable er det vigtigt at danne sig et billede af, hvordan funktionen ser ud, men har den mere end to variable, er det umuligt at lave en tegning af grafen i almindelig forstand. Heldigvis giver tovariabel-tilfældet os megen intuition, som vi kan bygge på, når vi skal studere funktioner af flere variable. I dette afsnit vil vi derfor se ganske nøje på, hvordan vi tegner grafen for en funktion af to variable. For at undgå alt for mange indices vil vi kalde de variable og y i stedet for og, og vi vil bruge z som betegnelse for funktionsværdien. Vi har altså funktioner z =f(, y). flertal af indeks

9 .. GRAFER FOR FUNKTIONER AF TO VARIABLE 9 z (,y,f(,y)) f(,y) y (,y,) Figur.: Punkt på grafen for f Før vi kaster os ud i eksempler, må vi præcisere, hvad grafen for en funktion af to variable er. Den befinder sig i et tredimensionalt koordinatsystem. Akserne navngiver vi efter de variable, i vores tilfælde bliver det -, y- og z-aksen. Givet variabelværdier og y, således at (, y) ligger i definitionsmængden for f, kan vi finde funktionsværdien i dette punkt, dvs. f(, y). Taltriplet (, y, f(, y)) er koordinaterne til et punkt i det tredimensionale koordinatsystem. Punktet ligger på grafen for funktionen f. Se figur.. Vi definerer grafen for f som mængden af alle punkter af formen (, y, f(, y)), hvor (, y) ligger i definitionsmængden for f. Bemærk, at vi i princippet kan aflæse funktionsværdien for f, hvis vi har en tegning af grafen. For at aflæse f(, y) finder man først (, y, ), derefter bevæger man sig lodret (dvs. parallelt med z-aksen) til man støder på grafen. Dette vil ske i et punkt (, y, z). Funktionsværdien f(, y) er da z-værdien i dette punkt. Se figur...3 Eksempel Brug af it-værktøjer er ofte nyttigt, når man skal se på grafen for en funktion af to variable. Vi vil se nærmere på, hvordan vi kan bruge computerprogrammet Maple til at tegne graferne for følgende funktioner: a) f(, y) = y b) g(, y) = cos( + y ) c) h(, y) = 4 3y +y +

10 KAPITEL. VISUALISERING z (,y,f(,y)) y (,y,) Figur.: Aflæsning af funktionsværdien Vi definerer funktionerne i Maple ved at give følgende kommandoer: f:= (,y) -> *y; g:= (,y) -> cos(^+y^); h:= (,y) -> (4-3*y)/(^+y^+); For at tegne graferne for disse funktioner skriver vi plot3d(f(,y), =-.., y=-..); plot3d(g(,y), = , y= ); plot3d(h(,y), =-3..3, y=-4..); Vi har i hvert af tilfældene angivet et område for og y. For eksempel har vi for funktionen h ladet gå fra 3 til 3 og y gå fra 4 til. Graferne, der fremkommer, kan du se på figurerne.3,.4 og.5. Stoffet, vi har gennemgået hidtil, har sigtet efter at give dig en god intuition om, hvad grafen for en funktion af to variable er, men vi har ikke undersøgt, hvordan man i praksis kan skitsere grafen. At bruge it-værktøj, som i eksemplerne ovenfor, er ofte praktisk, men det er også nyttigt at beherske kunsten at skitsere en graf uden andre hjælpemidler end papir og blyant. Når man studerer grafen ved håndkraft, bliver forståelsen af grafens kvalitative egenskaber ofte dybere end ved brug af it-værktøj. Og med træning og erfaring kan det tilmed være hurtigere at skitsere grafen på papir end at bruge et computerprogram.

11 .. GRAFER FOR FUNKTIONER AF TO VARIABLE 4 y 4 Figur.3: Grafen for f(, y) = y y Figur.4: Grafen for g(, y) = cos( + y )

12 KAPITEL. VISUALISERING y 3 Figur.5: Grafen for h(, y) = 4 3y +y + Vi skal nu se på to forskellige hjælpemidler til anskueliggørelse af grafer kaldet konturer og niveaukurver. Konturen for grafen over en linje i y-planen bliver en funktion af én variabel, som vi kan tegne grafen for. Ved at sætte mange konturer sammen kan vi danne os et billede af grafen. Vi giver en præcis definition af begrebet kontur..4 Definition En kontur for en funktion f(, y) af to variable er grafen for en funktion f γ af én variabel, som fremkommer ved at indsætte parameterfremstillingen (, y) = γ(t) for en ret linje l. Funktionen f γ er defineret for de t R, for hvilke γ(t) D f Rent geometrisk er konturen snittet mellem grafen for f og den lodrette plan i det 3-dimensionale rum, som indeholder l. Vi får herved Kontur l (f) := {(, y, z) R 3 (, y) l D f og z = f(, y)}. Niveaukurver er snit mellem grafen og planer, der er parallelle med yplanen, og en samling af niveaukurver beskriver grafen på samme måde som højdekurver på et kort beskriver terrænnet. Den matematiske definition er som følger:.5 Definition Niveaukurven N c for en funktion f(, y) af to variable er punktmængden N c := {(, y) R (, y) D f og f(, y) = c}

13 .. GRAFER FOR FUNKTIONER AF TO VARIABLE 3 Bemærk, at ifølge definitionen er niveaukurven N c en del af y-planen. Undertiden er det praktisk at opfatte den som en del af planen z = c i det tre-dimensionale rum, dvs. mængden {(, y, c) (, y) N c }. Dette svarer til at højdekurven i højden c ude i naturen forløber i rummet, mens den på et kort naturligvis forløber i kortets plan... Konturer De simpleste eksempler på konturer for en funktion f af to variable og y får vi ved at indsætte en fast værdi for en af de variable. Da bliver det tilbageværende en funktion af en variabel, som vi kan tegne grafen for. Lad os se på nogle eksempler..6 Eksempel I dette eksempel vil vi forsøge at skitsere grafen for f(, y) = + 4 y + 4y Idéen bag konturer er at indsætte et tal for en af de variable. Så får vi en funktion af den anden variabel, som vi ved, hvordan man tegner grafen for. Vi prøver at indsætte nogle værdier for y. For eksempel y =, y =, y =, y =, y =, y = 3, y = 4 og y = 5. Der er ikke nogen speciel grund til at vi valgte netop disse tal, andre valg kan fungere lige så godt. Lad os se, hvad der sker, når vi sætter dem ind: y = giver f(, ) = + 4 y = giver f(, ) = y = giver f(, ) = + 4 y = giver f(, ) = y = giver f(, ) = y = 3 giver f(, 3) = y = 4 giver f(, 4) = + 4 y = 5 giver f(, 5) = Tegner vi graferne, får vi parabler, som alle har samme form. Den eneste forskel er en forskydning i z-retningen. Se figur.6. Nu forsøger vi at indsætte værdier for, og derefter tegne z = f(, y) som en funktion af y for de valgte -værdier. Vi prøver med = 4, = 3,

14 4 KAPITEL. VISUALISERING z z z z (a) y = (b) y = (c) y = (d) y = z z z z (e) y = (f) y = 3 (g) y = 4 (h) y = 5 Figur.6: Konturer for f(, y) = + 4 y + 4y =, =, = og = Da får vi: = 4 giver f( 4, y) = 6 y + 4y = 3 giver f( 3, y) = 6 y + 4y = giver f(, y) = y + 4y = giver f(, y) = y + 4y = giver f(, y) = y + 4y = giver f(, y) = 6 y + 4y Igen får vi parabler, og disse kan du se i figur.7. Vi sætter nu disse grafer sammen i et 3-dimensionalt koordinatsystem. Da fremkommer fladen i figur.8. Her er konturerne fra figur.6 tegnet op parallelt med -aksen, og konturerne fra figur.7 ligger parallelt med y-aksen..7 Eksempel Lad f være givet ved f(, y) = ln( + y) y Som i eksemplet ovenfor skal vi indsætte nogle værdier for og y, tegne konturerne for disse værdier, og til sidst sætte dem sammen og få grafen for

15 .. GRAFER FOR FUNKTIONER AF TO VARIABLE z z z y y y 5 5 (a) = 4 5 (b) = 3 5 (c) = z z z y y y 5 5 (d) = 5 (e) = 5 (f) = Figur.7: Konturer for f(, y) = + 4 y + 4y z 4 3 y Figur.8: Konturerne for f sammensat til grafen for funktionen.

16 6 KAPITEL. VISUALISERING f frem. Vi vælger konturer for =, =, = og y =, y = og y =. De funktioner, vi ønsker at tegne er: = giver f(, y) = ln(y ) y = giver f(, y) = ln(y) y = giver f(, y) = ln(y + ) y y = giver f(, ) = ln( ) + y = giver f(, ) = ln() y = giver f(, ) = ln( + ) Vi tegner konturerne i figur.9. Vi ser, at når vi indsætter forskellige -værdier, så får vi konturer med samme form. Lavere -værdier forskyder konturen ned mod højre, højere -værdier forskyder konturen op mod venstre. Bemærk, at funktionen f(, y) = ln( + y) y, set som funktion af y, har en lodret asymptote i y =. Ligeledes ser vi, at når vi indsætter forskellige værdier for y, så får vi igen konturer med samme form. Lavere y-værdier forskyder konturen op mod højre, mens højere y-værdier forskyder konturen ned mod venstre. Som funktion af har f(, y ) en lodret asymptote i = y. Grafen for f får vi ved at sammensætte konturerne. Den er tegnet i figur..8 Eksempel Lad f være givet ved f(, y) = y + Vi ønsker at tegne grafen for f. Lad os derfor diskutere hvordan forskellige konturer ser ud. Vi ser først på, hvad der sker, hvis vi sætter y til at være en konstant. y = c giver z = f(, c) = c + Ved at omskrive denne ligning ser vi, at konturen over y = c er de (, z) hvor z og z + ( ) = c Konturen er altså halvcirkelen med radius c og centrum i (, ) med z. Grafen bliver derfor øvre halvdel af en liggende dobbeltkegle med akse =, z =. For at tegne grafen kan det være en god idé først at tegne konturen over =, fordi c = f(, c) er størsteværdien for konturen over linjen y = c.

17 .. GRAFER FOR FUNKTIONER AF TO VARIABLE z z z y y y (a) = 4 (b) = 4 (c) = z z z (d) y = 4 (e) y = 4 (f) y = Figur.9: Konturer for f(, y) = ln( + y) y 5 4 z 3 y Figur.: Grafen for f(, y) = ln( + y) y.

18 8 KAPITEL. VISUALISERING Figur.: Grafen for f(, y) = y +. Derefter kan man tegne halvcirklerne hængende ned fra denne kurve. Vi har at f(, y) = y + = y = y Og vi kan tegne grafen som vist i figur.. Nogle gange kan det også være hensigtsmæssigt at tegne konturerne for f over en linje, der ikke er parallel med koordinatakserne. Her er et eksempel på dette..9 Eksempel I dette eksempel betragter vi funktionen f(, y) = y Men i modsætning til eksemplerne ovenfor indsætter vi ikke konstanter for eller y for at danne konturer. Derimod vil vi se, hvordan grafen ser ud over linjer, der går gennem origo. Rette linjer i y-planen, som går gennem origo, kan skrives på formen y = a, undtagen linjen =. Hvis vi indsætter y = a i funktionen f, får vi f(, a) = a = a Vi ser, at over linjer y = a er f konstant lig a. Dermed kan vi tegne grafen. Se figur.... Niveaukurver Niveaukurven for en funktion f af to variable i højden c er kurven i yplanen som fremkommer, når man løser ligningen f(, y) = c. Ved at tegne

19 .. GRAFER FOR FUNKTIONER AF TO VARIABLE z y Figur.: Grafen for f(, y) = y. flere niveaukurver for samme funktion kan man til sidst skitsere grafen. Vi ser på et eksempel:. Eksempel Brug niveaukurver til at skitsere grafen for f(, y) = + 4y. For at finde niveaukurverne forsøger vi at løse ligningen + 4y = c. Løsningskurvens udseende er selvfølgelig afhængig af værdien af c. Hvis c er negativ, har ligningen ingen løsninger, da + 4y for alle og y. For c = er der kun én løsning, nemlig = y =. Og for c > får vi ellipser. Jo større c bliver, des større bliver ellipserne. Se figur.3 for en skitse af niveaukurverne for c =, c =, c = 3 og c = 4. Vi bruger niveaukurverne som hjælpemiddel til at skitsere grafen. Se figur.4. Afslutningsvis i dette afsnit vil vi se på nogle eksempler, hvor vi både bruger konturer og niveaukurver til effektivt at kunne skitsere grafen for nogle funktioner af to variable.. Eksempel Lad f være givet ved f(, y) = y + y

20 KAPITEL. VISUALISERING y.5.5 Figur.3: Niveaukurver for f(, y) = + 4y med c =, c =, c = 3 og c = z y Figur.4: Grafen for f(, y) = + 4y.

21 .. GRAFER FOR FUNKTIONER AF TO VARIABLE 6 c= 3 c= y 4 c=5 c=3 c= c=3 c= c= c= 3 Figur.5: Niveaukurver for f(, y) = y + y. For at undersøge denne funktion ser vi først på niveaukurverne. Lad c være et reelt tal. Da ønsker vi at løse c = f(, y) = y + y. Vi undersøger først tilfældet c =, og vi får nedenstående ligning til bestemmelse af niveaukurven. = y + y, som kan omformes til = y + y = ( )( + y). Heraf ses, at N må bestå af de to rette linjer = og y = +. For c ved vi nu, at intet punkt af formen (, y) ligger i N c, og vi kan omforme ligningen c = y + y til y = + + c. Vi ser da, at for c består N c af to kurver y = + + c y = + + c < < < < Betragt figur.5, og læg mærke til, at niveaukurverne N c for c < findes i områderne mod nord og syd, mens niveaukurverne for c > findes i

22 KAPITEL. VISUALISERING områderne mod øst og vest. Enhver af disse kurver har linjerne = og y = + som asymptoter. Når vi nu skal tegne grafen, er det godt at tegne nogle konturer. Derefter kan vi ophænge niveaukurverne på disse. Vi ønsker at udvælge konturerne med omhu, målet er at vælge dem, så vi med få konturer formår at få hængt samtlige niveaukurver op. Se først på konturen over y =. (y = er en ret linje gennem punktet (, )). Vi får at f(, ) = + = ( ) + Til denne kontur får vi fæstnet alle niveaukurverne med c. For at fæstne de resterende niveaukurver ser vi på konturen over y =. (Dette er også en ret linje gennem (, )). Dette giver f(, ) = + = ( ) På denne kontur kan vi fæstne alle niveaukurver med c. Vi skitserer nu først de to konturer, derefter fæstner vi niveaukurverne til disse og endelig får vi grafen frem, se figur.6. Eksempel En affin funktion i to variable er en funktion f på formen f(, y) = a + by + d hvor a, b og d er reelle tal. Grafen består af punkter (, y, z), som opfylder z = a + by + d, og er altså en plan i R 3. Dette fremgår (selvfølgelig) også ved at betragte niveaukurver og konturer. Vi ser først på niveaukurverne, det vil sige, at vi forsøger at løse ligningen c = f(, y) = a + by + d Kurverne, som fremkommer for forskellige værdier af c, er parallelle rette linjer i y-planen, bortset fra hvis a = b =. I dette tilfælde bliver niveaukurverne den tomme mængde for c d og hele y-planen for c = d. Konturen over den rette linje y = k + l finder vi ved at indsætte i funktionsudtrykket. Vi får: f(, k + l) = a + bk + bl + d = (a + bk) + (d + bl)

23 .. GRAFER FOR FUNKTIONER AF TO VARIABLE z 4 y z 4 y (a) Konturerne (b) med niveaukurver z y (c) Grafen Figur.6: At tegne grafen for f(, y) = y + y

24 4 KAPITEL. VISUALISERING Vi tænker på udtrykkene som står inde i parenteserne som konstanter og ser, at konturen er en ret linje. Også konturerne over linjer på formen = k bliver rette linjer, fordi f(k, y) = ak + by + d = by + (ak + d). Så alle niveaukurverne og alle konturerne er rette linjer, i overensstemmelse med at grafen for en affin funktion er en plan i R 3..3 Grafer for funktioner af tre variable Når man møder funktioner af tre (eller flere) variable kan man ikke længere tegne grafen af den grund, at rummet i den fysiske verden, vi lever i, har 3 dimensioner, mens det matematiske rum, hvor den abstrakte graf ligger, har 4 eller flere dimensioner. Der er simpelthen ikke plads nok til at tegne grafen. En slags visualisering af grafen kan man få ved at betragte 3-dimensionale billeder af grafen, f.eks. ved at generalisere begrebet niveaukurve. Herved fremkommer begrebet niveauflade. Lad os se på nogle eksempler med funktioner af tre variable..3 Eksempel Lad f : R 3 R være givet ved f(, y, z) = + y + z. Vi ønsker at visualisere grafen for f ved hjælp af niveauflader. Niveaufladerne fremkommer ved at løse ligningen c = f(, y, z) = + y + z. Vi ser, at hvis c <, har ligningen ingen løsning, fordi, y og z for alle, y og z. Hvis c =, er den eneste løsning (, y, z) = (,, ), og for c > beskriver ligningen c = + y + z en ellipsoide. Se figur.7 for niveaufladerne c =, c =, c = 3 og c = 4..4 Eksempel Lad g være funktionen givet ved g(, y, z) = z + + y. Niveaufladerne for g finder vi ved at løse ligningen c = z + + y.

25 .4. ANDRE KOORDINATSYSTEMER 5 y y (a) c = (b) c = y y (c) c = 3 (d) c = 4 Figur.7: Niveauflader for f(, y, z) = + y + z Dette udtryk kan omskrives således, at z bliver en funktion af og y, det vil sige z = c + y. Dermed kan man se, at niveaufladerne er cirkulære kegler med toppunkt i (,, c). Disse er skitseret i figur.8.4 Andre koordinatsystemer.4. Polære koordinater Når vi skal angive positionen til et punkt i planen, er det mest almindelige at opgive - og y-koordinaten som vist i figur.9. og y kaldes de kartesiske koordinater til punktet. I en del sammenhænge er det imidlertid lettere og mere nyttigt at bruge polære koordinater (r, θ) som vist i figur.9. Her betegner r afstanden fra punktet til origo, mens θ er vinklen mellem vektoren OP og den positive del af -aksen. Vinklen θ er kun bestemt op til et heltalligt multiplum af π, men som regel vælger man θ til at ligge i intervallet [, π[ eller alternativt [ π, π[. Før vi begynder at benytte polære koordinater til at studere grafer af to

26 6 KAPITEL. VISUALISERING z z y (a) c = y (b) c = 3 4 z y (c) c = 3 4 Figur.8: Niveauflader for g(, y, z) = z + + y y y (, y) P r θ O Figur.9: Kartesiske- og polære koordinater

27 .4. ANDRE KOORDINATSYSTEMER 7 P r y θ O Figur.: Omregning mellem kartesiske og polære koordinater variable, skal vi se på, hvordan man udtrykker et punkt givet i kartesiske koordinater i polære koordinater, og omvendt. Grundlaget for omregningen er elementær trigonometri. Se på den retvinklede trekant i figur.. Kateterne har længde og y, hypotenusen har længde r, og vinklen i origo er θ. For at finde de polære koordinater for punktet (, y) udregner vi først r = + y. Derefter udregner vi sin θ = y r Der er to vinkler i første omløb med samme sinus, men ved at se på hvilken kvadrant punktet (, y) ligger i, er det ikke vanskeligt at vælge den rigtige vinkel. Sommetider må vi også gå den anden vej at vi kender de polære koordinater r og θ, og ønsker at finde de kartesiske koordinater og y. Dette er lettere vi observerer bare at = r cos θ y = r sin θ.5 Eksempel Find de polære koordinater til punktet med kartesiske koordinater ( 6, 3 ). Vi udregner afstanden fra punktet til origo: r = + y = ( 6) + ( 3 ) = 36 + = 48 = 4 3 For at bestemme vinklen θ kan vi for eksempel udregne sinus: sin θ = y r = =.

28 8 KAPITEL. VISUALISERING z 3 r Figur.: Funktionen z = e r Der findes to vinkler i første omløb med sin θ =, nemlig θ = π og θ = 5π. 6 6 Eftersom vores punkt ( 6, 3 ) ligger i anden kvadrant, må vi have θ = 5π. 6 De polære koordinater til ( 6, 3 ) bliver dermed r = 4 3, θ = 5π. 6 Da vi kan angive punkter i planen ved hjælp af polære koordinater (r, θ) i stedet for kartesiske koordinater (, y), kan vi også beskrive funktioner af to variable ved hjælp af polære koordinater i stedet for kartesiske z = g(r, θ) z = f(, y) Dette gør man ved at sætte g(r, θ) = f(r cos θ, r sin θ). Ofte kan det være nyttigt at omskrive en funktion til polære koordinater for at få et bedre indtryk af grafen..6 Eksempel Hvis vi omskriver z = e ( +y ) til polære koordinater, får vi z = e r. Tegner vi z = e r som en funktion af én variabel, får vi grafen i figur.. Grafen for funktionen z = e ( +y ) får vi ved at rotere denne graf omkring z-aksen (se figur.). Vi tager endnu et eksempel med:.7 Eksempel Omskriver vi funktionen z = y til polære koordinater, får vi z = y = (r cos θ) (r sin θ) = r (cos θ sin θ) = r cos θ. Det betyder, at hvis vi holder vinklen θ konstant og varierer afstanden r, så følger z en parabelbue z = r cos θ. Fortegnet for cos θ afgør om parablen

29 .4. ANDRE KOORDINATSYSTEMER 9 z y Figur.: Funktionen z = e r roteret om z-aksen z P z r θ y Figur.3: Cylinderkoordinater vokser opad eller nedad når r øges, og størrelsen på cos θ afgør hvor hurtig denne vækst er. Forsøg at lave en skitse af grafen ud fra den information, du nu har..4. Cylinderkoordinater Også for funktioner af tre variable kan det ofte svare sig at omskrive til andre koordinatsystemer. Vi vil hurtigt berøre to sådanne koordinatsystemer cylinderkoordinater og kuglekoordinater. Figur.3 viser grundidéen for cylinderkoordinater; vi angiver positionen til punktet P ved hjælp af de tre størrelser r, θ og z. Cylinderkoordinater er nært beslægtet med polære koordinater vi har bare hægtet en tredje koordinat z på.

30 3 KAPITEL. VISUALISERING.8 Eksempel Skriv funktionen u = f(, y, z) = ( + y )e z ved hjælp af cylinderkoordinater. Da + y = r, har vi u = r e z.9 Eksempel Beskriv niveaufladerne for f(, y, z) = + y ved hjælp af cylinderkoordinater. Igen kan vi indsætte + y = r. Dette giver u = f(, y, z) = + y z z = r z Niveaufladen c = u bliver dermed givet af ligningen c = r z Dette udtryk kan omskrives til formen z = r c Kigger vi på snittet af denne flade med planen y =, får vi ligningen z = c, som i z-planen beskriver en parabel. Fladen z = r findes ved at rotere ovennævnte parabel om z-aksen, og den kaldes derfor en omdrejningsparaboloide. c.4.3 Kuglekoordinater I kuglekoordinater beskrives positionen for et punkt P (, y, z) ved hjælp af en længde ρ og to vinkler θ og φ. Figur.4 viser idéen ρ er afstanden fra P til origo, φ er vinklen mellem z-aksen og vektoren OP, og θ er den samme vinkel som for cylinderkoordinaterne, nemlig vinklen mellem -aksen og projektionen OP af OP ned på y-planen. Vinklen φ ligger mellem og

31 .4. ANDRE KOORDINATSYSTEMER 3 z φ ρ P y θ P Figur.4: Kuglekoordinater π, mens θ ligger mellem og π. For at udtrykke, y og z ved hjælp af ρ, φ og θ, observerer vi først at z = ρ cos φ Vi ser også at OP = OP sin φ = ρ sin φ. Dette betyder, at = OP cos θ = ρ cos θ sin φ y = OP sin θ = ρ sin θ sin φ Lad os se, hvordan disse formler bruges i praksis:. Eksempel Hvilken type flade beskriver ligningen + y + z = a hvor a > er en konstant? For at svare på dette spørsmål forsøger vi at sætte formlerne for kuglekoordinater ind i ligningen. Dette giver + y + z = ρ cos θ sin φ + ρ sin θ sin φ + ρ cos φ = a. Vi reducerer lidt på udtrykket i midten og får ρ cos θ sin φ + ρ sin θ sin φ + ρ cos φ = ρ (( cos θ + sin θ ) sin φ + cos φ ) = ρ ( sin φ + cos φ ) = ρ.

32 3 KAPITEL. VISUALISERING Ligningen kan altså reduceres til ρ = a. Men da både a og ρ er større end eller lig med, beskriver ρ = a fladen. Fladen er altså en kugle med radius a.. Eksempel Omskriv til kuglekoordinater. Vi ser at så u = + y z + y = (ρ cos θ sin φ) + (ρ sin θ sin φ) = ρ sin φ z = ρ cos φ u = ρ sin φ ρ cos φ = ρ cos φ. Dette betyder, at u er uafhængig af vinklen θ. Holder vi vinklen φ konstant, vokser eller aftager u proportionalt med ρ. Om u er positiv ( eller ) negativ π afhænger af størrelsen på φ. Vi ser, at u er positiv for φ, 3π og negativ 4 4 ( ) ( for φ, π 3π )., π 4 4 Til sidst tager vi et eksempel, hvor vi beskriver en niveauflade ved hjælp af kuglekoordinater:. *Eksempel Lad funktionen f være givet ved f(, y, z) = z + y. Definitionsmængden for f er alle (, y, z) R 3, hvor både og z. Vi omskriver funktionsudtrykket til sfæriske koordinater: g(ρ, θ, φ) = cos θ tan φ + tan θ. Bemærk, at ρ ikke indgår i dette funktionsudtryk. Det betyder, at for alle punkter på en ret linje i R 3, som går gennem origo, er funktionsværdien den samme. Vi ønsker at beskrive niveaufladerne for f. Derfor ser vi på ligningen cos θ tan φ + tan θ = c.

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet

Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet af Michael Flemming Hansen Version 1.0 1. februar 2012 Indhold 1 Funktioner af en variabel 4 1.1 Komplekse tal........................... 4 1.1.1

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

MM01 (Mat A) Ugeseddel 1

MM01 (Mat A) Ugeseddel 1 Institut for Matematik og Datalogi 2. august 200 Syddansk Universitet, Odense HJM/LL MM0 (Mat A) Ugeseddel Velkommen til kurset MM0 (Matematik A). Forelæsninger: afholdes i to ugentlige timer, onsdag kl.

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej Supplement til Matematik 1GB Jan Philip Solovej ii c 2001 Jan Philip Solovej, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Alle har tilladelse til at reproducere hele eller dele af dette materiale

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh101-mat/a-27052010 Torsdag den 27. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Matematik for C niveau

Matematik for C niveau Matematik for C niveau M. Schmidt 2012 1 Indholdsfortegnelse 1. Tal og bogstavregning... 5 De elementære regnings arter og deres rækkefølge... 5 Brøker... 9 Regning med bogstavudtryk... 12 Talsystemet...

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Undervisningsplan Side 1 af 11

Undervisningsplan Side 1 af 11 Undervisningsplan Side 1 af 11 Lektionsantal: 12 UV lektioner pr. uge I alt ca. 240 lektioner. Fordelt mellem underviserne således: Erik Kyster (EK) 6 lektioner pr. uge og Esben Stehr (EST) 6 lektioner

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Indhold 1. Lineær programmering i 2 variable: x og y... 1 Eksempel 1: Elementær grafisk løsning i 2d... 1 Eksempel 1: Grafisk løsning i

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Projekt 4.6 Didaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer

Projekt 4.6 Didaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer rojekter: Kapitel. rojekt.6 Eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer rojekt.6 idaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 16. august 2010. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 16. august 2010. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh10-mat/a-1608010 Mandag den 16. august 010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består af

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2015 Institution VUC Vest, Stormgade 47, 6700 Esbjerg Uddannelse HF net-undervisning, HFe Fag og niveau

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2013 Institution ZBC Ringsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B Jacob Debel 12HTX11 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014 Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11.

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2010/11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Zealand Business College Hhx Matematik

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 15 Institution VUC Thy-Mors Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik niveau A Knud Søgaard

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b stk. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 Opagve 6 Variables a isoleres: M = S 1 + a = a + b b a b a = b 1 ( ) 1 b 1 a = b 1 a = b 1 1 b 1 a = b Hvis b = 1, så gælder ligningen

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014 Kom hurtigt i gang Maplesoft, 014 Kom hurtigt i gang med Maple Start Maple. Opstartsbilledet sådan ud Klik på knappen New Document, og du får nyt ark altså et blankt stykke papir, hvor første linje starter

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Undervisningsbeskrivelse Termin Maj/juni 2015 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik B Janne Skjøth Winde 2.s mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Differentialligninger af første orden

Differentialligninger af første orden Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere