Det skrå kast - med luftmodstand. Erik Vestergaard

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Det skrå kast - med luftmodstand. Erik Vestergaard"

Transkript

1 Det srå ast - ed luftodstand Eri Vestergaard

2 Eri Vestergaard Eri Vestergaard, Haderslev 9.

3 Eri Vestergaard 3. Indledning Denne note an danne udgangspunt for et 3g-projet i ateati og fysi ed enet det srå ast ed luftodstand eller so et oplæg til et studieretningsprojet. Noten er udforet, så læseren selv sal udfylde detaljer genne løsning af opgaver. For det srå ast uden luftodstand er stedfuntionen so beendt givet ved følgende udtry, hvor det antages, at () = y() = og at genstanden starter i puntet (,) til tiden t = sat at hastighedsvetoren har størrelsen v og danner en vinel på α i forhold til -asen: () ( t) = v cos( α) y( t) = g t + v sin( α) Forlerne er standard i gynasiet og vi vil ie udlede de her. Når der regnes ed en luftodstand bliver situationen en del sværere og ere broget. For det første bliver der un tale o tilnærede odeller og så bør an endda benytte forsellige odeller i forsellige situationer. En indiator for, hvornår an bør anvende hvilen odel er det såaldte Reynolds tal (Reynolds nuber): () Re = L ρ v η hvor ρ er densiteten af det ediu, genstanden bevæger sig igenne, η er ediets dynaise visositet (dynaic viscosity), v er hastigheden af genstanden i forhold til ediet og L er en arateristis længde for objetet, for esepel diaeteren i tilfældet ed en ugle. Esepel Lad os sige, at vi har at gøre ed en tennisbold, so sendes af sted ed en hastighed af 5 35 /s. Mediet er luft ed en dynais visositet på,8 N s/. Densiteten af atosfæris luft ved stueteperatur er,4 g/ 3. En tennisbold har en diaeter oring 6,5 c. Dered fås den diensionsløse størrelse: (3) L ρ v,65,4 g/ 35/s Re = = = 5 5 η,8 N s/ 3 Erfaringer har vist, at hvis Re<, så er det en god odel at antage at luftodstanden er proportional ed hastigheden. Hvis deriod < Re< 3, så er det en bedre odel at antage at luftodstanden er odsat rettet hastigheden og proportional ed vadratet på farten. For Reynoldstal ielle og er situationen en elleting. Hvis Reynoldstallet er lille, så er flowet rundt o genstanden lainær (lainar), hvilet betyder, at der ie dannes hvirvler. Hvis deriod Reynoldstallet er stort, så er flowet turbulent. Hvis Reynoldstallet sal være indre end, så sal genstanden enten befinde sig i en væse ed ret stor visositet eller også sal genstanden være yderst lille og ie

4 4 Eri Vestergaard have for stor hastighed. Dette vil sjældent være tilfældet for bevægelse i atosfæris luft. Alligevel vil vi starte ed at betragte dette tilfælde, da probleet forholdsvist net lader sig løse ateatis. Læseren opfordres til at løse opgaverne undervejs. Der forudsættes endsab til den indledende teori for differentialligninger af første orden.. Hastighedsproportional luftodstand - odel I dette afsnit sal vi undersøge tilfældet hvor luftodstanden er proportional ed hastighedsvetoren. Nærere bestet er luftodstanden en raftvetor, so er odsat rettet bevægelsen, altså odsat rettet hastighedsvetoren v, og størrelsen er proportional ed genstandens fart v. Opgave Benyt fysise arguenter, herunder Newtons. lov, til at arguentere for at genstanden sal tilfredsstille følgende differentialligning: (4) v = g v eller srevet ud i oordinater v = ( v, v ) : (5a) ( v) = v (5b) ( vy ) = vy g y Vis desuden, at hvis genstanden til tiden t= befinder sig i (,) og hastighedsvetoren til sae tidspunt danner vinlen α ed -asen, så har vi følgende randbetingelser, hvor r ( t) = ( ( t), y( t)) er genstandens stedvetor: (6) () = y() = (7) v () = v cos( α ), v () = v sin( α ) y

5 Eri Vestergaard 5 Opgave 3 I denne opgave vil du blive ledt fre til en løsning til det differentialligningssyste, der blev opstillet i opgave. a) Beær først, at differentialligningerne (5a) og (5b) begge er af velendte standardtyper! Benyt din viden o løsningerne til disse typer til at vise, at løsningerne til (5a) og (5b) er på følgende for, hvor c og c er arbitrære onstanter: v = c e y ( ) ( ) v = c e g b) Benyt randbetingelserne (6) til at finde de arbitrære onstanter. Vis at (8) v = v cos( α) e ( ) g ( ) vy = v sin( α ) + e g c) Nu har du bestet hastighedsoordinaterne. For at bestee stedoordinaterne sal du integrere. Vis, at stedoordinaterne er på følgende for, hvor c 3 og c 4 er arbitrære onstanter: ( ) ( t) = v cos( α) e + c3 g g y( t) = v sin( α ) + e t + c d) Benyt randbetingelserne (6) til at vise at: c c ( ) 4 = v cos( α) g = v sin( α ) e) Indsæt værdierne for de arbitrære onstanter fra d) og osriv stedoordinaterne fra c) til følgende udtry: (9) ( t) r ( t) = = y( t) v cos( α) ( ( ) e ) g g v e t ( ) sin( α ) + ( ) Med resultatet i (9) har vi løst bevægelsesprobleet. På næste side er afbildet baneurven for en tennisbold ed asse =,575 g, begyndelsesfart v = 35 /s og startvinel α = 5. Luftodstandsparaeteren er =, 65 N/(/s) og g = 9,8 /s. Baneurven er saenlignet ed den, an ville få, hvis der ie var nogen luftodstand. So nævnt er denne odel ie optial i den givne situation, da Reynoldstallet

6 6 Eri Vestergaard er for stort. Vi sal dog senere se, at urven ie er så langt fra den urve an ville få ved at benytte den ere orrete odel, so vi sal se på i næste afsnit. 3. Hastighedsvadratis luftodstand - odel Ifølge afsnit er det for langt de fleste ast i atosfæris luft ere nøjagtigt at benytte odel, hvor luftodstanden antages odsat rettet bevægelsen og i størrelse er proportional ed vadratet på farten. Opgave 4 Arguenter for, at vi i odel for det srå ast sal løse følgende differentialligning, hvor D er en onstant: () v = g D v v og srevet ud i oordinater: () ( + ) ( ) v = D v v v y v = g D v + v v y y y Det viser sig, at den salede odstandsoefficient D afhænger af ediets densitet ρ, tværsnitsarealet A vinelret på genstandens bevægelse sat genstandens for og overfladefrition. De to sidstnævnte er indeholdt i den såaldte Drag Coefficient, C d. Man har fundet følgende udtry for den salede odstandsoefficient D: () D = ρ C A d Esepel 5 Lad os bestee den salede odstandsoefficient for en tennisbold, so bevæger sig i atosfæris luft ved en teperatur på C. En tennisbold har typis en diaeter på 6,5 c. Dered an vi bestee det areal, so vender op od bevægelsesretningen:

7 Eri Vestergaard 7 A= π d = π (,65) =,338. Luftens assefylde ved C er på,4 4 4 g/ 3. Drag oefficienten for en tennisbold er typis,5-,6. Vi sætter den til,5. Det giver følgende værdi for tennisboldens salede odstandsoefficient: = ρ 3 d =,4 g/,5, =,9 g/ D C A Differentialligningssysteet () er desværre ie af en sipel natur. For det første er systeet oblet, hvored enes at de to uendte funtioner, v og v y, so vi ønser at bestee, figurerer i begge ligninger. Man an dered ie løse ligningerne hver for sig, undtagen i specialtilfælde. Desuden er differentialligningssysteet ie lineært, hvilet betyder at den ofattende teori, an ender ohandlede lineære differentialligninger, ie an anvendes. Ovenstående betyder, at vi ie an finde løsninger i for af færdige funtionsudtry. Vi å nøjes ed at bestee tilnærede funtionsværdier for løsningerne i en ræe punter ved hjælp af såaldte nuerise etoder. Før vi gør det, sal vi dog i opgave 6 se på et specieltilfælde, hvor det lader sig gøre at bestee en løsnings på funtionsfor. Opgaven er ie helt ne og ræver endsab til den løsningsetode, so går under navnet separation-af-variable-etoden. Opgave 6 (Det frie fald ed luftodstand) I tilfældet ed det frie fald bliver probleet -diensionalt. Vi an nøjes ed at regne ed en y-oordinat, so afhænger at tiden t. a) Lav en tegning af situationen, hvor du tegner raftpile på genstanden. Arguenter for at vi sal løse følgende differentialligning: (3) v = g + D v b) Indfør for oversuelighedens syld en størrelse givet ved = g D og vis, at ligningen (3) an osrives til: D (4) v = ( v ) Konstater ved separation af variable, at vi sal løse følgende ligning: D (5) dv dt = v c) For at unne bestee integralet på venstre side i (5) er det en stor fordel at deoponere integranden i partialbrøer (Partial-Fraction Decoposition) før an foretager integrationen. Vis at (6) v = v v+ d) Vis at integrationen af (5) fører til følgende ligning: D v D (7) ln v ln v+ = t + c ln = t + c v+ hvor c er en arbitrær onstant.

8 8 Eri Vestergaard e) Lad os vedtage, at genstanden slippes til tidspuntet t=. Vis at i dette tilfælde sal hastighedsløsningen v (til 7) opfylde: (8) v = e v+ D NB! Hus at du un betragter den løsning, so går igenne puntet ( t, v ) = (,). f) Isoler v i (8) og vis at an får følgende: (9) D D D D g D g e e e g e e v = D = D D = D D g D g e e e + + e + e Eller hvis an foretræer de hyperbolse funtioner: g D g () v( t) = tanh D Ved integration af () for at finde stedfuntionen y( t ) an an vise, at an får følgende endelige løsning til probleet: D g () y( t) = ln cosh t + y D Lad os se på et par onsevenser af ovenstående løsninger. g) Vis ved hjælp af den sidste ligning i (9), at an har følgende grænseværdi: g () v( t) for t D Overvej hvad () betyder fysis set. Vil det sae se for alle typer genstande?

9 Eri Vestergaard 9 Den sidste del af noten er ret avanceret. So tidligere nævnt å an ty til nuerise etoder, når an sal bestee løsninger til den generelle differentialligning (). For at unne gøre det, sal vi osrive differentialligningssysteet lidt, så det bliver af. orden! Det an gøres ved et lille tric ved at indføre to nye oordinater, so er lig ed henholdsvis hastigheden i -asens retning ( t) = ( t) og hastigheden i y-asens retning 4 ( t) = y ( t). ( t) = ( t) (3) ( t) = ( t) = v ( t) ( t) = y( t) 3 ( t) = y ( t) = v ( t) 4 y Opgave 7 Vis at differentialligningssysteet () giver anledning til følgende syste af differentialligninger af. orden, ed ovenstående for øje: (4) ed randbetingelserne: (5) d dt d dt d3 dt d4 dt = 4 ( ) D = + = 4 ( ) D = g + () = () = v cos( α) () = 3 () = v sin( α) idet vi ønser at bevægelsen starter i (,): ( (), y ()) = (, ) og at hastigheden til tiden er givet ved: ( (), y ()) = ( v cos( α), v sin( α )). Differentialligningssysteet i (4) og (5) er et esepel på et syste, so vi lidt ere generelt og abstrat an srive på følgende vetorfor : dx (6) = F( t, X ) ; X ( t) = X dt hvor X ( t) = ( ( t), ( t ),, n( t)) og hvor F( t, X ) = ( f( t, X ), f( t, X ),, fn( t, X )) for givne funtioner f ( t, X ), i=,,, n. I dette tilfælde har vi altså: i

10 Eri Vestergaard (7) hvor (8) f( t,,, 3, 4) f( t,,, 3, 4) F( t, X ) = f3( t,,, 3, 4 ) f4( t,,, 3, 4) f ( t,,,, ) = 3 4 ( ) D f ( t,,,, ) = f ( t,,,, ) = ( ) D f ( t,,,, ) = g I dette tilfælde har vi at gøre ed et autonot syste, da t ie figurerer på højre side! Opgave 8 (CAS værtøj til løsning af odel ) Du an forsøge at løse differentialligningssysteet fra opgave 7 ved at benytte et avanceret CAS progra, såso Maple. Du an passende benytte den såaldte lassise 4. ordens Runge Kutta etode. Opgave 7 (Svær Microsoft Ecel til løsning af odel ) Hvis du ie har et CAS værtøj til rådighed, og du er hård til at prograere, så an du selv lave et lille Ecel VBA-progra, hvor du ipleenterer den lassise 4. ordens Runge Kutta etode til løsning af differentialligningssysteet. På vetorfor lyder etoden således: Antag at et datapunt ( t, X ) er endt. Det næste punt ved sridt på h i tid fås på følgende åde: (9) K = F( t, X ) K = F( t + h, X + h K ) K3 = F( t + h, X + h K ) K4 = F( t + h, X + h K3) K+ K+ K3+ K4 K = 6 Næste punt: ( t+, X + ) = ( t + h; X + h K).

11 Eri Vestergaard Forslag til yderligere undersøgelser Undersøg astelængden og astehøjden, når der er luftodstand. Undersøg, hvor an sal sigte, hvis an sal rae en genstand i en given position. Man å nødvendigvis sigte højere Du an eventuelt nøjes ed at igge på tilfældet uden luftodstand her.

Frit fald med luftmodstand

Frit fald med luftmodstand Frit fald med luftmodstand Indholdsfortegnelse ABSTRACT... INDLEDNING... 2 NEWTONS 2. LOV... 2 BEVIS FOR SEPARATION AF DE VARIABLE... 3 FRIT FALD UDEN LUFTMODSTAND... 7 FRIT FALD MED LUFTMODSTAND... 8

Læs mere

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo 5.kapitel skrevet af: Jan Philip Solovej Institut for de Matematiske Fag Københavns Universitet Forår 3 På

Læs mere

Tillæg til partikelfysik

Tillæg til partikelfysik Tillæg til partikelfysik Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 015 Forsidebillede er fra CERN s Photo Service og viser CMS detektoren hos CERN. CMS står for Compact

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse ISBN 978-87-7066-498- Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Læs mere

Mekanik. Notecentralen. - Indledende niveau - Uden differentialregning. Ole Trinhammer

Mekanik. Notecentralen. - Indledende niveau - Uden differentialregning. Ole Trinhammer Notecentralen Mekanik - Indledende niveau - Uden differentialregning Ole Trinhammer. udgave af første 3 kapitler af Amtrup og Trinhammer Obligatorisk Fysik, Gyldendal Indhold Forord 1 Gode råd til eleven

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Hvordan gør de professionelle?

Hvordan gør de professionelle? Hvordan gør de professionelle? ( Oversat af Ivan Larsen, Samsø Dart Club, Marts 2010 fra How the Pros do it af: Ken Berman 1999 ) Der er to aspekter i det at blive en god dartspiller, det er præcision

Læs mere

Sådan gør du i GeoGebra.

Sådan gør du i GeoGebra. Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Positiv Ridning Systemet Arbejder min hest korrekt? Af Henrik Johansen

Positiv Ridning Systemet Arbejder min hest korrekt? Af Henrik Johansen Positiv Ridning Systemet Arbejder min hest korrekt? Af Henrik Johansen Denne test af, hvordan din hest arbejder, tager ca. tre minutter og bør indgå i opvarmningen hver dag. Du må vide, nøjagtig hvad der

Læs mere

HER ER FAMILIEN DANMARK

HER ER FAMILIEN DANMARK HER ER FAMILIEN DANMARK Der er cirka 800.000 børnefamilier i Danmark, men en børnefamilie er faktisk et vidt begreb, og det kan man for alvor få syn for, hvis man dykker ned i Danmarks Statistiks tal om

Læs mere

Prokrastineringsformlen i praksis. Afviklet arbejde. Udnyttet tid

Prokrastineringsformlen i praksis. Afviklet arbejde. Udnyttet tid Figur fra Dansen på deadline side 52 slut Afviklet arbejde halvdelen Udnyttet tid om prokrastineringsformlen bliver det forhåbentlig lettere for dig at undersøge, hvad det er, der skaber problemer, når

Læs mere

To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 2012 Trykfejl rettet 14. oktober 2013

To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 2012 Trykfejl rettet 14. oktober 2013 To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 01 Trykfejl rettet 14. oktober 013 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 1/0 Indholdsfortegnelse

Læs mere

At udvikle og evaluere praktisk arbejde i naturfag

At udvikle og evaluere praktisk arbejde i naturfag Kapitel 5 At udvikle og evaluere praktisk arbejde i naturfag Robin Millar Praktisk arbejde er en væsentlig del af undervisningen i naturfag. I naturfag forsøger vi at udvikle elevernes kendskab til naturen

Læs mere

Hvordan skaber vi som ledere engagement? Hvordan anerkender vi, at medarbejderne tager imod forandringen i forskellige hastigheder?

Hvordan skaber vi som ledere engagement? Hvordan anerkender vi, at medarbejderne tager imod forandringen i forskellige hastigheder? 1 Hvilken forandring skal vi gennemføre? 1 Hvordan skaber vi som ledere engagement? 1 Hvordan får vi sat læringen i system? 2 3 Hvilke vilkår er der for forandringen? Hvordan gør vi? 2 3 Hvordan anerkender

Læs mere

Det vi skal gøre, og det vi kan gøre

Det vi skal gøre, og det vi kan gøre TEMA Stress Værktøj 2 Det vi skal gøre, og det vi kan gøre Hvis der er tid og overskud 1 Indhold Introduktion Formålet med dette værktøj Prioritering af tiden Kerneydelserne og det ekstra Kerneydelserne

Læs mere

INDHOLDSFORTEGNELSE. Side Indledning 2. Kapitel 1 Introduktion til funktioner af 2 variable 3 Niveaukurver 5

INDHOLDSFORTEGNELSE. Side Indledning 2. Kapitel 1 Introduktion til funktioner af 2 variable 3 Niveaukurver 5 INDHOLDSFORTEGNELSE Side Indledning Kapitel 1 Introduktion til funktioner af variable 3 Niveaukurver 5 Kapitel Partiel differentiation og gradienten 7 Kapitel 3 Differentialet 1 Fejlvurdering 13 Tangentplan

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Statistik. Erik Vestergaard

Statistik. Erik Vestergaard Statistik Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematiksider.dk Erik Vestergaard www.matematiksider.dk 3 1. Grupperede observationer I statistik beskæftiger man sig med indsamling, bearbejdelse og

Læs mere

Spørgeskemaundersøgelser man selv står for

Spørgeskemaundersøgelser man selv står for 2 Spørgeskemaundersøgelser man selv står for Hvorfor? Man kan vælge at gennemføre en mindre spørgeskemaundersøgelse hvis man ønsker at få et overblik over forældrenes mere overordnede holdning til forskellige

Læs mere

Løs nu opgaverne i a) brug alt materialet her samt evt. regnearkene i Fronter som hjælp.

Løs nu opgaverne i a) brug alt materialet her samt evt. regnearkene i Fronter som hjælp. Udarbejdet af Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Indhold Introduktion til materialet. s. 2 Introduktion til chi i anden test. s. 4 Et eksempel hastighed og ulykker på motorveje s. 8 Sådan udregnes

Læs mere

EDB-programmer til matematikundervisningen GeoMeter en dansk udgave af Geometers SketchPad

EDB-programmer til matematikundervisningen GeoMeter en dansk udgave af Geometers SketchPad EDB-programmer til matematikundervisningen GeoMeter en dansk udgave af Geometers SketchPad af Bjørn Felsager, Knud Nissen og Niels Fruensgaard Flagskibet blandt geometriprogrammer The Geometers SketchPad

Læs mere

Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal

Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal Indhold Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal... 1 Procent... 1 Hvad er én procent?... 1 Procentsatser over

Læs mere