Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer."

Transkript

1 Grådige algoritmer

2 Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

3 Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Opbyg løsningen bid for bid ved hele tiden af vælge hvad der lige nu ser ud som bedste valg (uden at tænke på resten af løsningen). Dvs. man håber på at lokal optimering giver global optimering.

4 Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Opbyg løsningen bid for bid ved hele tiden af vælge hvad der lige nu ser ud som bedste valg (uden at tænke på resten af løsningen). Dvs. man håber på at lokal optimering giver global optimering. Mere præcist kræver metoden en definition af bedste valg (også kaldet grådig valg ), samt et bevis for gentagen brug af dette ender med en optimal løsning.

5 Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Opbyg løsningen bid for bid ved hele tiden af vælge hvad der lige nu ser ud som bedste valg (uden at tænke på resten af løsningen). Dvs. man håber på at lokal optimering giver global optimering. Mere præcist kræver metoden en definition af bedste valg (også kaldet grådig valg ), samt et bevis for gentagen brug af dette ender med en optimal løsning. Mange grådige algoritmer kan forklares som specialtilfælde af begrebet Matroide (afsnit 16.4, ikke pensum), men vi vil nøjes med at tænke på grådige algoritmer som et løst princip, hvor bedste valg og korrekthedsbevis skal opfindes individuelt fra problem til problem.

6 Eksempel: et simpelt skeduleringsproblem Input: en samling aktiviteter, hver med en starttid og sluttid. Output: en størst mulig mængde af ikke-overlappende aktivititer.

7 Eksempel: et simpelt skeduleringsproblem Input: en samling aktiviteter, hver med en starttid og sluttid. Output: en størst mulig mængde af ikke-overlappende aktivititer. Grådigt forslag: Sorter aktiviteter efter stigende sluttid For hver aktivitet a taget i den rækkefølge: If a overlapper allerede valgte aktiviteter: Skip a Else Vælg a... Tid

8 Analyse Vi vil vise følgende invariant: Der findes en optimal løsning OPT som indeholder de af algoritmen indtil nu valgte aktiviteter.

9 Analyse Vi vil vise følgende invariant: Der findes en optimal løsning OPT som indeholder de af algoritmen indtil nu valgte aktiviteter. Når algoritmen er færdig, følger korrekthed af denne invariant: Algoritmens valgte aktiviteter ligger inden i en optimal løsning OPT. Pga. algoritmens virkemåde vil alle ikke-valgte aktiviteter overlappe en af de valgte. Altså kan algoritmens løsning ikke udvides og stadig være en løsning. Specielt kan OPT ikke være større end algoritmens valgte løsning, som derfor er lig med OPT.

10 Analyse Bevis for invariant ved induktion: Basis: Klart før første iteration af for-løkken (da ingen aktiviteter er valgt). Skridt: Lad OPT være den optimale løsning fra induktionsudsagnet før iterationen. Vi skal vise at der findes en optimal løsning OPT i induktionsudsagnet efter iterationen. If-case: Her vælger algoritmen intet nyt, så OPT kan bruges som OPT.

11 Analyse Else-case: Lad input efter sortering være aktiviteterne a 1, a 2,..., a n, lad a i være algoritmens senest valgte aktivitet og lad a j være aktiviteten, som vælges i denne iteration. Pga. invarianten indeholder OPT a i. I OPT kan a i ikke være den sidste (for så kunne OPT udvides med a j ). Lad a k være den næste i OPT efter a i. Da a j er den første aktivitet efter a i som ikke overlapper a i, må j k. Hvis j = k kan OPT genbruges som OPT. Ellers skifter vi a j i OPT ud med a i. Dette giver ikke overlap med andre aktiviteter i OPT (de stopper enten før a i eller starter efter a k og dermed efter a j ) og bevarer størrelsen. Vi har derfor en ny optimal løsning OPT som opfylder invarianten. [NB: I første iteration findes a i ikke, men vi kan sætte j = 1 og sige noget tilsvarende.]

12 Analyse Else-case: Lad input efter sortering være aktiviteterne a 1, a 2,..., a n, lad a i være algoritmens senest valgte aktivitet og lad a j være aktiviteten, som vælges i denne iteration. Pga. invarianten indeholder OPT a i. I OPT kan a i ikke være den sidste (for så kunne OPT udvides med a j ). Lad a k være den næste i OPT efter a i. Da a j er den første aktivitet efter a i som ikke overlapper a i, må j k. Hvis j = k kan OPT genbruges som OPT. Ellers skifter vi a j i OPT ud med a i. Dette giver ikke overlap med andre aktiviteter i OPT (de stopper enten før a i eller starter efter a k og dermed efter a j ) og bevarer størrelsen. Vi har derfor en ny optimal løsning OPT som opfylder invarianten. [NB: I første iteration findes a i ikke, men vi kan sætte j = 1 og sige noget tilsvarende.] Køretid:

13 Analyse Else-case: Lad input efter sortering være aktiviteterne a 1, a 2,..., a n, lad a i være algoritmens senest valgte aktivitet og lad a j være aktiviteten, som vælges i denne iteration. Pga. invarianten indeholder OPT a i. I OPT kan a i ikke være den sidste (for så kunne OPT udvides med a j ). Lad a k være den næste i OPT efter a i. Da a j er den første aktivitet efter a i som ikke overlapper a i, må j k. Hvis j = k kan OPT genbruges som OPT. Ellers skifter vi a j i OPT ud med a i. Dette giver ikke overlap med andre aktiviteter i OPT (de stopper enten før a i eller starter efter a k og dermed efter a j ) og bevarer størrelsen. Vi har derfor en ny optimal løsning OPT som opfylder invarianten. [NB: I første iteration findes a i ikke, men vi kan sætte j = 1 og sige noget tilsvarende.] Køretid: Sortering + O(n).

14 Rygsæksproblemet Rygsæk som kan bære W kg. Ting med værdi og vægt. Ting nr. i Vægt w i Værdi v i

15 Rygsæksproblemet Rygsæk som kan bære W kg. Ting med værdi og vægt. Ting nr. i Vægt w i Værdi v i Mål: tag mest mulig værdi med uden at overskride vægtgrænsen.

16 Rygsæksproblemet Fractional version af problemet (dele af ting kan medtages i rygsækken) kan løses med en grådig algoritme: vælg tingene efter aftagende nytte = værdi/vægt. Et simplet udskiftningsargument viser, at den optimale løsning kun kan være som den af algoritmen valgte.

17 Rygsæksproblemet Fractional version af problemet (dele af ting kan medtages i rygsækken) kan løses med en grådig algoritme: vælg tingene efter aftagende nytte = værdi/vægt. Et simplet udskiftningsargument viser, at den optimale løsning kun kan være som den af algoritmen valgte. NB: Denne grådige algoritme virker IKKE for 0-1 versionen af problemet (hvor kun hele ting kan medtages):

18 Rygsæksproblemet Fractional version af problemet (dele af ting kan medtages i rygsækken) kan løses med en grådig algoritme: vælg tingene efter aftagende nytte = værdi/vægt. Et simplet udskiftningsargument viser, at den optimale løsning kun kan være som den af algoritmen valgte. NB: Denne grådige algoritme virker IKKE for 0-1 versionen af problemet (hvor kun hele ting kan medtages):

19 Rygsæksproblemet Fractional version af problemet (dele af ting kan medtages i rygsækken) kan løses med en grådig algoritme: vælg tingene efter aftagende nytte = værdi/vægt. Et simplet udskiftningsargument viser, at den optimale løsning kun kan være som den af algoritmen valgte. NB: Denne grådige algoritme virker IKKE for 0-1 versionen af problemet (hvor kun hele ting kan medtages): Eksempel på at grådige valg ikke bare kan antages at virke for alle problemer (lokal optimering giver ikke altid global optimering).

20 Huffman-koder Kodning af sekvens af tegn (fil) via binære koder (for at gemme på disk, sende over netværk,... ). Ønsker kortest mulig fil (kompression).

21 Huffman-koder Kodning af sekvens af tegn (fil) via binære koder (for at gemme på disk, sende over netværk,... ). Ønsker kortest mulig fil (kompression). Eksempel:

22 Huffman-koder Kodning af sekvens af tegn (fil) via binære koder (for at gemme på disk, sende over netværk,... ). Ønsker kortest mulig fil (kompression). Eksempel: Fixed-length version: 3 ( ) = bits Variable-length version: = bits

23 Prefix-kode = træer Kodeord = sti i binært træ: 0 gå til venstre, 1 gå til højre Prefix(-fri) kode: ingen kode for et tegn er starten (prefix) af koden for et andet tegn ( dekodning utvetydig). Så tegn svarer til knuder med nul børn (blade).

24 Prefix-kode = træer Kodeord = sti i binært træ: 0 gå til venstre, 1 gå til højre Prefix(-fri) kode: ingen kode for et tegn er starten (prefix) af koden for et andet tegn ( dekodning utvetydig). Så tegn svarer til knuder med nul børn (blade). For en givet fil (tegn og deres frekvenser), find bedste variable-length prefix-kode. Dvs. for Cost(tree) = kodet fil, find træ med lavest cost.

25 Prefix-kode = træer Kodeord = sti i binært træ: 0 gå til venstre, 1 gå til højre Prefix(-fri) kode: ingen kode for et tegn er starten (prefix) af koden for et andet tegn ( dekodning utvetydig). Så tegn svarer til knuder med nul børn (blade). For en givet fil (tegn og deres frekvenser), find bedste variable-length prefix-kode. Dvs. for Cost(tree) = kodet fil, find træ med lavest cost. Optimale træer kan ikke have knuder med kun ét barn (alle tegn i undertræet for en sådan knude kan forkortes med en bit, jvf. (a) ovenfor). Så kun knuder med to eller nul børn findes.

26 Huffmans algoritme Byg op nedefra (fra mindste til største frekvenser) ved hele tiden at lave flg. grådige valg : slå de to deltræer med de to mindste samlede frekvenser sammen:

27 Køretid Givet en en tabel med n tegn og deres frekvenser laver Huffmans algoritme n 1 iterationer. (Der er n træer til start, ét træ til slut, og hver iteration mindsker antallet med præcis én.)

28 Køretid Givet en en tabel med n tegn og deres frekvenser laver Huffmans algoritme n 1 iterationer. (Der er n træer til start, ét træ til slut, og hver iteration mindsker antallet med præcis én.) Ved at bruge en (min-)prioritetskø, f.eks. implementeret ved en heap, kan hver iteration udføres med: to ExtractMin-operationer én Insert-operation O(1) andet arbejde.

29 Køretid Givet en en tabel med n tegn og deres frekvenser laver Huffmans algoritme n 1 iterationer. (Der er n træer til start, ét træ til slut, og hver iteration mindsker antallet med præcis én.) Ved at bruge en (min-)prioritetskø, f.eks. implementeret ved en heap, kan hver iteration udføres med: to ExtractMin-operationer én Insert-operation O(1) andet arbejde. Hver prioritetskø-operation tager hver O(log n) tid.

30 Køretid Givet en en tabel med n tegn og deres frekvenser laver Huffmans algoritme n 1 iterationer. (Der er n træer til start, ét træ til slut, og hver iteration mindsker antallet med præcis én.) Ved at bruge en (min-)prioritetskø, f.eks. implementeret ved en heap, kan hver iteration udføres med: to ExtractMin-operationer én Insert-operation O(1) andet arbejde. Hver prioritetskø-operation tager hver O(log n) tid. Så samlet køretid for de n iterationer er O(n log n).

31 Korrekthed Resumé: Huffmans algoritme vedligeholder en samling træer F. Vægten af et træ er summen af hyppigheden i dets blade. I hvert skridt slår Huffman to træer med mindste vægte sammen, indtil der kun er ét træ. Vi vil bevise følgende invariant: Træerne i F kan slås sammen til et optimalt træ. Når algoritmen stopper, indeholder F kun ét træ, som derfor ifølge invarianten må være et optimalt træ.

32 Korrekthed Vi vil bevise følgende invariant: Træerne i F kan slås sammen til et optimalt træ. Beviset er via induktion over antal skridt i algoritmen. Basis: Ingen skridt er taget. Da består F af n træer, som hvert kun er et blad. Disse er netop bladene i ethvert optimalt træ, så invarianten er oplagt opfyldt. Induktionsskridt: antag invarianten er opfyldt før et skridt i algoritmen, og lad os vise at den er opfyldt efter skridtet.

33 Korrekthed Lad træerne i F (før skridtet) være t 1, t 2, t 3,..., t k. hvor algoritmen slår t 1 og t 2 sammen. Dvs. at med hensyn til vægt gælder følgende for træerne: t 1 t 2 t 3 t k, Ifølge induktionsantagelsen kan træerne slås sammen til et optimalt træ. Lad T være toppen af dette træ dvs. et træ, hvis blade er rødderne i t 1, t 2, t 3,..., t k.

34 Korrekthed Hvis rødderne i t 1 og t 2 er søskende i T, er det klart at invarianten igen gælder efter næste skridt i Huffman. Da det samlede træ er det samme, er det stadigt et optimalt træ.

35 Korrekthed Hvis rødderne i t 1 og t 2 ikke er søskende i T, finder vi et andet top-træ T (dvs. en anden sammenlægning af træerne i F ) som også giver et optimalt træ, og hvor t 1 og t 2 er søskende: Se på et blad i T af størst dybde. Da k 2, har bladet en forælder. Denne forælder har mindst ét undertræ, altså har den to (i optimale træer har ingen knuder ét undertræ, som bemærket tidligere). Dens andet undertræ må være et blad, ellers er det første blad ikke et dybeste blad. Altså findes to blade i T som er søskende og begge er af størst dybde. Lad disse indeholde rødderne af t i og t j, med i < j.

36 Korrekthed Mulige situationer: Handling som giver T fra T : i j Ingen i j Byt t 2 og t j i j Byt t 1 og t j i, j Byt t 1 og t i, samt t 2 og t j

37 Korrekthed Mulige situationer: Handling som giver T fra T : i j Ingen i j Byt t 2 og t j i j Byt t 1 og t j i, j Byt t 1 og t i, samt t 2 og t j For et byt af t 1 og t i gælder, at eftersom t i s rod mindst har samme dybde som t 1 s rod, og den samlede frekvens af t i er mindst lige så stor som den samlede frekvens af t 1, vil der være flere tegn i filen, som kan få kortere kodeord, end der er tegn som kan få længere kodeord. Desuden er forandringerne i længde af kodeord den samme for både forlængelse og forkortelse (nemlig forskellen i dybde mellem t 1 og t i ).

38 Korrekthed Mulige situationer: Handling som giver T fra T : i j Ingen i j Byt t 2 og t j i j Byt t 1 og t j i, j Byt t 1 og t i, samt t 2 og t j For et byt af t 1 og t i gælder, at eftersom t i s rod mindst har samme dybde som t 1 s rod, og den samlede frekvens af t i er mindst lige så stor som den samlede frekvens af t 1, vil der være flere tegn i filen, som kan få kortere kodeord, end der er tegn som kan få længere kodeord. Desuden er forandringerne i længde af kodeord den samme for både forlængelse og forkortelse (nemlig forskellen i dybde mellem t 1 og t i ). Så den kodede fils længde stiger ikke ved byt af t 1 og t i, dvs. træet kan ikke blive dårlige ved byt af t 1 og t i.

39 Korrekthed Mulige situationer: Handling som giver T fra T : i j Ingen i j Byt t 2 og t j i j Byt t 1 og t j i, j Byt t 1 og t i, samt t 2 og t j For et byt af t 1 og t i gælder, at eftersom t i s rod mindst har samme dybde som t 1 s rod, og den samlede frekvens af t i er mindst lige så stor som den samlede frekvens af t 1, vil der være flere tegn i filen, som kan få kortere kodeord, end der er tegn som kan få længere kodeord. Desuden er forandringerne i længde af kodeord den samme for både forlængelse og forkortelse (nemlig forskellen i dybde mellem t 1 og t i ). Så den kodede fils længde stiger ikke ved byt af t 1 og t i, dvs. træet kan ikke blive dårlige ved byt af t 1 og t i. Tilsvarende kan vises for et byt af t 1 og t j, og for et byt af t 2 og t j.

40 Korrekthed Mulige situationer: Handling som giver T fra T : i j Ingen i j Byt t 2 og t j i j Byt t 1 og t j i, j Byt t 1 og t i, samt t 2 og t j For et byt af t 1 og t i gælder, at eftersom t i s rod mindst har samme dybde som t 1 s rod, og den samlede frekvens af t i er mindst lige så stor som den samlede frekvens af t 1, vil der være flere tegn i filen, som kan få kortere kodeord, end der er tegn som kan få længere kodeord. Desuden er forandringerne i længde af kodeord den samme for både forlængelse og forkortelse (nemlig forskellen i dybde mellem t 1 og t i ). Så den kodede fils længde stiger ikke ved byt af t 1 og t i, dvs. træet kan ikke blive dårlige ved byt af t 1 og t i. Tilsvarende kan vises for et byt af t 1 og t j, og for et byt af t 2 og t j. Da træet var optimalt før byt, er det også efter. Og t 1 og t 2 er nu søskende.

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for

Læs mere

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Læs mere

Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel:

Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Opbyg løsningen skridt for skridt ved hele tiden af vælge lige

Læs mere

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille Prioritetskøer og hobe Philip Bille Plan Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Konstruktion af hob Hobsortering Prioritetskøer Prioritetskø Vedligehold en dynamisk mængde S af

Læs mere

Minimum udspændende Træer (MST)

Minimum udspændende Træer (MST) Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen kreds af kanter. Træer

Læs mere

Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden

Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden Sortering 1 / 34 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 2 / 34 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden

Læs mere

Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden

Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden Sortering 1 / 32 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 2 / 32 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden

Læs mere

Sortering af information er en fundamental og central opgave.

Sortering af information er en fundamental og central opgave. Sortering Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 Mange opgaver er hurtigere i sorteret information (tænk på ordbøger, telefonbøger,

Læs mere

Sortering. De n tal i sorteret orden. Eksempel: Kommentarer:

Sortering. De n tal i sorteret orden. Eksempel: Kommentarer: Sortering Sortering Input: Output: n tal De n tal i sorteret orden Eksempel: Kommentarer: 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 Sorteret orden kan være stigende eller faldende. Vi vil i dette kursus

Læs mere

Prioritetskøer. Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer på hobe Hobkonstruktion Hobsortering. Philip Bille

Prioritetskøer. Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer på hobe Hobkonstruktion Hobsortering. Philip Bille Prioritetskøer Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer på hobe Hobkonstruktion Hobsortering Philip Bille Prioritetskøer Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer

Læs mere

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste

Læs mere

Sammenhængskomponenter i grafer

Sammenhængskomponenter i grafer Sammenhængskomponenter i grafer Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv

Læs mere

Datastrukturer (recap)

Datastrukturer (recap) Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Mandag den 7. juni 00, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning

Læs mere

Datastrukturer (recap)

Datastrukturer (recap) Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2010 Projekt, del III Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 24. april, 2010 (let justeret 10. maj og 21. maj 2010) Dette projekt udleveres i tre

Læs mere

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning

Læs mere

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af

Læs mere

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo Philip Bille Nærmeste naboer. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle key[] og satellitdata data[]. operationer. PREDECESSOR(k): returner element med største nøgle k.

Læs mere

22 Hobe. Noter. PS1 -- Hobe. Binære hobe. Minimum-hob og maximum-hob. Den abstrakte datatype minimum-hob. Opbygning af hobe. Operationen siv-ned.

22 Hobe. Noter. PS1 -- Hobe. Binære hobe. Minimum-hob og maximum-hob. Den abstrakte datatype minimum-hob. Opbygning af hobe. Operationen siv-ned. 22 Hobe. Binære hobe. Minimum-hob og maximum-hob. Den abstrakte datatype minimum-hob. Opbygning af hobe. Operationen siv-ned. Indsættelse i hobe. Sletning af minimalt element i hobe. Repræsentation. 327

Læs mere

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb. Philip Bille

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb. Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde bedste den kombinatoriske struktur blandt mange mulige. Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde

Læs mere

Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer

Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Tirsdag den 24. juni 2014, kl. 10:00 14:00 Besvarelsen skal afleveres elektronisk. Se

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne: Opgave

Læs mere

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er en unik simpel vej mellem ethvert par af punkter i

Læs mere

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af

Læs mere

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter.

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter. Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter Philip Bille Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening

Læs mere

Mindste udspændende træ

Mindste udspændende træ Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation af vægtede grafer Egenskaber for mindste udspændende træer Prims algoritme Kruskals algoritme Philip Bille Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 0205, Forår 205 side af 5 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 205. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursusnummer: 0205 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det

Læs mere

Sortering i lineær tid

Sortering i lineær tid Sortering i lineær tid Nedre grænse for sammenligningsbaseret sortering Nedre grænser kræver en præcis beregningsmodel. Nedre grænse for sammenligningsbaseret sortering Nedre grænser kræver en præcis beregningsmodel.

Læs mere

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: 23n log n. 4 n (log n) log n

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: 23n log n. 4 n (log n) log n Eksamen. kvarter 00 Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Side af sider Opgave (%) Ja Nej n er O(n )? n er O(n )? n er O(n + 0 n)? n + n er O(n )? n log n er Ω(n )? Opgave (%) Opskriv følgende funktioner

Læs mere

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter.

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter. Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter Philip Bille Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 2. maj 200. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 3. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Varighed: timer Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 0. juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Har en hvis lighed med divide-and-conquer: Begge opbygger løsninger til større problemer

Læs mere

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo Philip Bille er. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle x.key og satellitdata x.data. operationer. PREDECESSOR(k): returner element x med største nøgle k. SUCCESSOR(k):

Læs mere

Minimum udspændende Træer (MST)

Minimum udspændende Træer (MST) Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen lukket kreds af kanter

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 02105, F14 side 1 af 14 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 2014. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer 1 Kursusnummer: 02105 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det

Læs mere

Algoritmer og invarianter

Algoritmer og invarianter Algoritmer og invarianter Iterative algoritmer Algoritmen er overordnet set een eller flere while eller for-løkker. Iterative algoritmer Algoritmen er overordnet set een eller flere while eller for-løkker.

Læs mere

Algoritmisk geometri

Algoritmisk geometri Algoritmisk geometri 1 Intervalsøgning 2 Motivation for intervaltræer Lad der være givet en database over ansatte i en virksomhed Ansat Alder Løn Ansættelsesdato post i databasen Antag, at vi ønsker at

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del III Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 29. april, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således

Læs mere

Dynamisk programmering. Flere eksempler

Dynamisk programmering. Flere eksempler Dynamisk programmering Flere eksempler Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z}, {A,C,G,T}, {,1} Streng = sekvens x 1 x 2 x 3... x n af tegn fra et alfabet: helloworld

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN. Grundkurser i Datalogi

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN. Grundkurser i Datalogi DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 1 (tretten) Eksamensdag: Tirsdag den 8. april 2008,

Læs mere

Minimum udspændende Træer (MST)

Minimum udspændende Træer (MST) Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen kreds af kanter. Træ

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 1. Datalogisk Institut Aarhus Universitet. Mandag den 22. marts 2004, kl

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 1. Datalogisk Institut Aarhus Universitet. Mandag den 22. marts 2004, kl Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 1 Datalogisk Institut Aarhus Universitet Mandag den. marts 00, kl..00 11.00 Navn Gerth Stølting Brodal Årskort 1 Dette eksamenssæt består af en kombination

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del II Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 15. marts, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således

Læs mere

Dynamisk programmering. Flere eksempler

Dynamisk programmering. Flere eksempler Dynamisk programmering Flere eksempler Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z}, {A,C,G,T}, {,1} Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z},

Læs mere

Korteste veje. Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs. Philip Bille

Korteste veje. Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs. Philip Bille Korteste veje Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs Philip Bille Korteste veje Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed:

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 3 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 29. maj 203. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 02326. jælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. et er ikke tilladt at medbringe

Læs mere

Divide-and-Conquer algoritmer

Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F0 side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 00. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 2 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 23. maj 20. Kursusnavn: lgoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: lle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012 Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk

Læs mere

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: n 2 n (log n) 2. 3 n /n 2 n + (log n) 4

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: n 2 n (log n) 2. 3 n /n 2 n + (log n) 4 Eksamen. kvarter 00 Side 1 af sider Opgave 1 ( %) Ja Nej n log n er O(n / )? n 1/ er O(log n)? n + n er O(n )? n( n + log n) er O(n / )? n er Ω(n )? Opgave ( %) Opskriv følgende funktioner efter stigende

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Tirsdag den 27. maj 2003, kl. 9.00 3.00 Opgave (25%) For konstanten π = 3.4592... gælder identiteten π 2 6 =

Læs mere

Divide-and-Conquer algoritmer

Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 036, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 3. maj 0. Kursusnavn: lgoritmer og datastrukturer Kursus nr. 036. Varighed: timer Tilladte hjælpemidler: lle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E (eller V og E (mis)bruges som V og E ).

Læs mere

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Vejnetværk

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Vejnetværk Philip Bille Orienteret graf (directed graph). Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. Vejnetværk Knude = vejkryds, kant = ensrettet vej. deg + (6) =, deg - (6) = sti fra til 6 8 7 9

Læs mere

Rolf Fagerberg. Forår 2013

Rolf Fagerberg. Forår 2013 Forår 2013 Mål for i dag Dagens program: 1 2 3 4 5 6 Forudsætninger: DM536 og DM537 Timer: 50% forelæsninger, 50% øvelser Forudsætninger: DM536 og DM537 Eksamenform: Skriftlig eksamen: Timer: 50% forelæsninger,

Læs mere

Orienterede grafer. Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer.

Orienterede grafer. Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer. Orienterede grafer Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer Philip Bille Orienterede grafer Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk

Læs mere

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: (logn) 5. 5n 2 5 logn. 2 logn

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: (logn) 5. 5n 2 5 logn. 2 logn Eksamen august 0 Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Side af sider Opgave (%) n +n er O(n )? Ja Nej n er O(n )? n+n er O(n. )? n+n er O(8n)? n logn er O(n )? Opgave (%) Opskriv følgende funktioner

Læs mere

DM02 Kogt ned. Kokken. Januar 2006

DM02 Kogt ned. Kokken. Januar 2006 DM02 Kogt ned Kokken Januar 2006 1 INDHOLD Indhold 1 Asymptotisk notation 2 2 Algoritme analyse 2 3 Sorterings algoritmer 2 4 Basale datastrukturer 3 5 Grafer 5 6 Letteste udspændende træer 7 7 Disjunkte

Læs mere

Målet for disse slides er at beskrive nogle algoritmer og datastrukturer relateret til at gemme og hente data effektivt.

Målet for disse slides er at beskrive nogle algoritmer og datastrukturer relateret til at gemme og hente data effektivt. Merging og hashing Mål Målet for disse slides er at beskrive nogle algoritmer og datastrukturer relateret til at gemme og hente data effektivt. Dette emne er et uddrag af kurset DM507 Algoritmer og datastrukturer

Læs mere

Tilgang til data. To udbredte metoder for at tilgå data: Sekventiel tilgang Random access: tilgang via ID (også kaldet key, nøgle) for dataelementer.

Tilgang til data. To udbredte metoder for at tilgå data: Sekventiel tilgang Random access: tilgang via ID (også kaldet key, nøgle) for dataelementer. Merging og Hashing Tilgang til data To udbredte metoder for at tilgå data: Sekventiel tilgang Random access: tilgang via ID (også kaldet key, nøgle) for dataelementer. API for sekventiel tilgang (API =

Læs mere

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer Philip Bille Orienteret graf. Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. deg + (7) =, deg - (7) = Lemma. v V deg - (v) = v V deg + (v) = m. Bevis. Hver kant har netop en startknude og slutknude.

Læs mere

Mm6: More sorting algorithms: Heap sort and quick sort - October 29, 2008

Mm6: More sorting algorithms: Heap sort and quick sort - October 29, 2008 Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jimmy Jessen Nielsen (JJE) Mm6: More sorting algorithms: Heap sort and quick sort - October 9, 008 Algorithms and Architectures II. Introduction

Læs mere

.. if L(u) + w(u, v) < L(v) then.. begin... L(v) := L(u) + w(u, v)... F (v) := u.. end. med længde L(z)}

.. if L(u) + w(u, v) < L(v) then.. begin... L(v) := L(u) + w(u, v)... F (v) := u.. end. med længde L(z)} Procedure Dijkstra(G = (V, E): vægtet sh. graf,. a, z: punkter) { Det antages at w(e) > 0 for alle e E} For alle v V : L(v) := L(a) := 0, S := while z / S begin. u := punkt ikke i S, så L(u) er mindst

Læs mere

Mindste udspændende træ

Mindste udspændende træ Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation af vægtede grafer Egenskaber for mindste udspændende træer Prims algoritme Kruskals algoritme Philip Bille Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation

Læs mere

Bevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse

Bevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse Bevisteknikker Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:

Læs mere

Om binære søgetræer i Java

Om binære søgetræer i Java Om binære søgetræer i Java Mads Rosendahl 7. november 2002 Resumé En fix måde at gemme data på er i en træstruktur. Måden er nyttig hvis man får noget data ind og man gerne vil have at det gemt i en sorteret

Læs mere

Opgave 1 (10%) I det følgende angiver log n 2-tals-logaritmen af n. Ja Nej. n+3n er O(2n)? n 6 er O(n 5 )? nlogn er O(n 2 /logn)? 4n 3 er O(3n 4 )?

Opgave 1 (10%) I det følgende angiver log n 2-tals-logaritmen af n. Ja Nej. n+3n er O(2n)? n 6 er O(n 5 )? nlogn er O(n 2 /logn)? 4n 3 er O(3n 4 )? Eksamen juni Algoritmer og Datastrukturer (-ordning) Side af sider Opgave (%) I det følgende angiver log n -tals-logaritmen af n. n+n er O(n)? n 6 er O(n )? nlogn er O(n /logn)? n er O(n )? n er O(n )?

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2016 Projekt, del I Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 29. februar, 2016 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 12 (tolv) Eksamensdag: Fredag den 1. april 200, kl..00-11.00

Læs mere

Analyse af ombytningspuslespil

Analyse af ombytningspuslespil Analyse af ombytningspuslespil 1 / 7 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset webside. 2 / 7 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset

Læs mere

DM507 - Algoritmer og datastrukturer

DM507 - Algoritmer og datastrukturer - Algoritmer og datastrukturer Køretid g(n) Udtryk Beskrivelse lim n f(n) o(f) Vokser langsommere end f = 0 O(f) Vokser højst så hurtigt som f < Θ(f) Vokser som f = c(c > 0) Ω(f) Vokser mindst så hurtigt

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2015 Projekt, del I Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 3. marts, 2015 Dette projekt udleveres i to dele. Hver del har sin deadline, således

Læs mere

Geometrisk skæring. Afgørelse af om der findes skæringer blandt geometriske objekter Bestemmelse af alle skæringspunkter

Geometrisk skæring. Afgørelse af om der findes skæringer blandt geometriske objekter Bestemmelse af alle skæringspunkter Planfejning 1 Skæring 2 Geometrisk skæring Afgørelse af om der findes skæringer blandt geometriske objekter Bestemmelse af alle skæringspunkter Løsningsmetoder: Rå kraft Planfejning (eng. plane sweep)

Læs mere

Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation)

Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisteknikker 1 Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:

Læs mere

Induktive og rekursive definitioner

Induktive og rekursive definitioner Induktive og rekursive definitioner Denne note omhandler matematiske objekter, som formelt er opbygget fra et antal basale byggesten, kaldet basistilfælde eller blot basis, ved gentagen brug af et antal

Læs mere

Introduktion til DM507

Introduktion til DM507 Introduktion til DM507 Rolf Fagerberg Forår 2017 1 / 20 Hvem er vi? Underviser: Rolf Fagerberg, IMADA Forskningsområde: algoritmer og datastrukturer 2 / 20 Hvem er vi? Underviser: Rolf Fagerberg, IMADA

Læs mere

Rolf Fagerberg. Forår 2015

Rolf Fagerberg. Forår 2015 Forår 2015 Dagens program 1 2 3 4 5 Underviser:, IMADA Forskningsområde: algoritmer og datastrukturer Underviser:, IMADA Forskningsområde: algoritmer og datastrukturer Deltagere: BA i Datalogi BA i Software

Læs mere

Forén og find. Forén og find. Forén og find. Anvendelser

Forén og find. Forén og find. Forén og find. Anvendelser Phlp Blle (unon-fnd). Vedlgehold en dynamsk famle af mængder under operatoner: INIT(n): opret mængder {}, {},, {n} UNION(,): forener de to mængder der ndeholder og. Hvs og er samme mængde skal der ngentng

Læs mere

Algoritmer og Datastrukturer 1. Gerth Stølting Brodal Aarhus Universitet

Algoritmer og Datastrukturer 1. Gerth Stølting Brodal Aarhus Universitet Algoritmer og Datastrukturer 1 Gerth Stølting Brodal Aarhus Universitet Kursusbeskrivelsen Kursusbeskrivelsen: Algoritmer og datastrukturer 1 Formål Deltagerne vil efter kurset have indsigt i algoritmer

Læs mere

Forén og find. Forén og find. Forén og find. Forén og find

Forén og find. Forén og find. Forén og find. Forén og find Phlp Blle (unon-fnd). Vedlgehold en dynamsk famle af mængder under operatoner: INIT(n): opret mængder {}, {},, {n-} UNION(,): forener de to mængder der ndeholder og. Hvs og er samme mængde skal der ngentng

Læs mere

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid 6 april Løsning af N P -hårde problemer Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid Oversigt Grænseværdier (repetition) Branch-and-bound algoritmens komponenter Eksempler

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F09 side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 009. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

1. Redegør for Lister, stakke og køer mht struktur og komplexitet af de relevante operationer

1. Redegør for Lister, stakke og køer mht struktur og komplexitet af de relevante operationer 1. Redegør for Lister, stakke og køer mht struktur og komplexitet af de relevante operationer på disse. Typer af lister: Array Enkelt linket liste Dobbelt linket Cirkulære lister Typer af køer: FILO FIFO

Læs mere

Sortering ved fletning (merge-sort)

Sortering ved fletning (merge-sort) Sortering 1 Sortering ved fletning (merge-sort) 7 2 9 4 2 4 7 9 7 2 2 7 9 4 4 9 7 7 2 2 9 9 4 4 2 Del-og-hersk Del-og-hersk er et generelt paradigme til algoritmedesign Del: opdel input-data S i to disjunkte

Læs mere

M=3 kunde forbindelse. oprettet lokation Steinerkant

M=3 kunde forbindelse. oprettet lokation Steinerkant M=3 åben facilitet kunde forbindelse lukket facilitet oprettet lokation Steinerkant v Connected facility location-problemet min i f i y i + d j c ij x ij + M c e z e (1) j i e hvorom gælder: x ij 1 j (2)

Læs mere

16 Træer. Noter. Definition af et træ. Definitioner i tilknytning til træer. Repræsentation af træer. Binære træer. Den abstrakte datatype.

16 Træer. Noter. Definition af et træ. Definitioner i tilknytning til træer. Repræsentation af træer. Binære træer. Den abstrakte datatype. 16 Træer. Definition af et træ. Definitioner i tilknytning til træer. Repræsentation af træer. Binære træer. Den abstrakte datatype. Gennemløb af binære træer. Træer i Eiffel. 229 Definition af et træ.

Læs mere