Sortering i lineær tid

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Sortering i lineær tid"

Transkript

1 Sortering i lineær tid

2 Nedre grænse for sammenligningsbaseret sortering Nedre grænser kræver en præcis beregningsmodel.

3 Nedre grænse for sammenligningsbaseret sortering Nedre grænser kræver en præcis beregningsmodel. Grundlæggende handling: sammenligning af to elementer i input. Grundlæggende svar: opstilling som skal laves for at få sorteret orden.

4 Nedre grænse for sammenligningsbaseret sortering Nedre grænser kræver en præcis beregningsmodel. Grundlæggende handling: sammenligning af to elementer i input. Grundlæggende svar: opstilling som skal laves for at få sorteret orden. Model for sammenligningsbaserede sorteringsalgoritmer: Labels for indre knuder: array-indeks for to input elementer der sammenlignes. Labels for blade (svar når algoritmen stopper): hvilken opstilling der skal laves for at få sorteret orden.

5 Nedre grænse for sammenligningsbaseret sortering Nedre grænser kræver en præcis beregningsmodel. Grundlæggende handling: sammenligning af to elementer i input. Grundlæggende svar: opstilling som skal laves for at få sorteret orden. Model for sammenligningsbaserede sorteringsalgoritmer: Labels for indre knuder: array-indeks for to input elementer der sammenlignes. Labels for blade (svar når algoritmen stopper): hvilken opstilling der skal laves for at få sorteret orden. Worst-case køretid: længste rod-blad sti = træets højde.

6 Sammenligningsbaseret sortering For en fast samling af n elementer er der n! = n forskellige input (rækkefølger af elementer). Hvis algoritmen (træet) skal kunne sortere alle disse, skal der være mindst n! blade - ellers vil der være to forskellig input som leder til samme svar, og for det ene input må svaret være forkert.

7 Sammenligningsbaseret sortering For en fast samling af n elementer er der n! = n forskellige input (rækkefølger af elementer). Hvis algoritmen (træet) skal kunne sortere alle disse, skal der være mindst n! blade - ellers vil der være to forskellig input som leder til samme svar, og for det ene input må svaret være forkert. Et træ af højde h har højst 2 h blade (da det fulde træ har det).

8 Sammenligningsbaseret sortering For en fast samling af n elementer er der n! = n forskellige input (rækkefølger af elementer). Hvis algoritmen (træet) skal kunne sortere alle disse, skal der være mindst n! blade - ellers vil der være to forskellig input som leder til samme svar, og for det ene input må svaret være forkert. Et træ af højde h har højst 2 h blade (da det fulde træ har det). 2 h antal blade n!

9 Sammenligningsbaseret sortering For en fast samling af n elementer er der n! = n forskellige input (rækkefølger af elementer). Hvis algoritmen (træet) skal kunne sortere alle disse, skal der være mindst n! blade - ellers vil der være to forskellig input som leder til samme svar, og for det ene input må svaret være forkert. Et træ af højde h har højst 2 h blade (da det fulde træ har det). 2 h antal blade n! h log(n!) = log( n)

10 Sammenligningsbaseret sortering For en fast samling af n elementer er der n! = n forskellige input (rækkefølger af elementer). Hvis algoritmen (træet) skal kunne sortere alle disse, skal der være mindst n! blade - ellers vil der være to forskellig input som leder til samme svar, og for det ene input må svaret være forkert. Et træ af højde h har højst 2 h blade (da det fulde træ har det). 2 h antal blade n! h log(n!) = log( n) = log(1) + log(2) +... log(n/2) + log(n) n 2 log(n 2 ) = n (log(n) 1) 2

11 Sammenligningsbaseret sortering For en fast samling af n elementer er der n! = n forskellige input (rækkefølger af elementer). Hvis algoritmen (træet) skal kunne sortere alle disse, skal der være mindst n! blade - ellers vil der være to forskellig input som leder til samme svar, og for det ene input må svaret være forkert. Et træ af højde h har højst 2 h blade (da det fulde træ har det). 2 h antal blade n! h log(n!) = log( n) = log(1) + log(2) +... log(n/2) + log(n) n 2 log(n 2 ) = n (log(n) 1) 2 h = Ω(n log n)

12 Counting sort Elementer heltal: elementer kan bruges som array-indekser ( at bruge sammenligninger på elementer). Counting sort: Sorterer n heltal af størrelse mellem 0 og k. Inputarray: A (længde n) Outputarray: B (længde n) Array af tællere for hver mulig elementværdi: C (længde k + 1)

13 Counting sort Tid: O(n + k) Counting-Sort(A,B,k) for i = 0 to k C[i] = 0 for j = 1 to A.length C[A[j]] + + for i = 1 to k C[i] = C[i] + C[i 1] for j = A.length downto 1 B[C[A[j]]] = A[j] C[A[j]] Bemærk: stabil (da sidste løkke løber baglæns gennem både A og B), dvs at elementer med ens værdier beholder deres indbyrdes plads.

14 Radix sort Radix sort: Sorterer n heltal alle med d cifre i base (radix) k. (dvs. cifrene er heltal i {0, 1, 2,..., k 1}) På figuren nedenfor er der 7 heltal med 3 cifre i base 10. Radix-Sort(A,d) for i = 1 to d use a stable sort to sort A on digit i from right Tid: O(d(n + k)) hvis der bruges Counting Sort i løkken. Korrekthed: Efter i te iteration er løkken er A sorteret hvis man kun kigger på de i cifre mest til højre.

15 Radix sort Eksempel: 32-bits heltal Countingsort sorterer disse i tid O(n ) Dette er O(n) hvis n 2 32 =

16 Radix sort Eksempel: 32-bits heltal Countingsort sorterer disse i tid O(n ) Dette er O(n) hvis n 2 32 = Se som 2-cifrede tal i base 2 16 (bemærk: sorteret orden er den samme) Radixsort sorterer disse i tid O(2(n )) Dette er O(n) hvis n 2 16 =

17 Radix sort Eksempel: 32-bits heltal Countingsort sorterer disse i tid O(n ) Dette er O(n) hvis n 2 32 = Se som 2-cifrede tal i base 2 16 (bemærk: sorteret orden er den samme) Radixsort sorterer disse i tid O(2(n )) Dette er O(n) hvis n 2 16 = Se som 4-cifrede tal i base 2 8 (bemærk: sorteret orden er den samme) Radixsort sorterer disse i tid O(4(n )) Dette er O(n) hvis n 2 8 = 256

Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden

Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden Sortering 1 / 34 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 2 / 34 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden

Læs mere

Sortering. De n tal i sorteret orden. Eksempel: Kommentarer:

Sortering. De n tal i sorteret orden. Eksempel: Kommentarer: Sortering Sortering Input: Output: n tal De n tal i sorteret orden Eksempel: Kommentarer: 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 Sorteret orden kan være stigende eller faldende. Vi vil i dette kursus

Læs mere

Sortering af information er en fundamental og central opgave.

Sortering af information er en fundamental og central opgave. Sortering Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 Mange opgaver er hurtigere i sorteret information (tænk på ordbøger, telefonbøger,

Læs mere

Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden

Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden Sortering 1 / 32 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 2 / 32 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden

Læs mere

Sortering ved fletning (merge-sort)

Sortering ved fletning (merge-sort) Sortering 1 Sortering ved fletning (merge-sort) 7 2 9 4 2 4 7 9 7 2 2 7 9 4 4 9 7 7 2 2 9 9 4 4 2 Del-og-hersk Del-og-hersk er et generelt paradigme til algoritmedesign Del: opdel input-data S i to disjunkte

Læs mere

Sortering. Sortering ved fletning (merge-sort) Del-og-hersk. Merge-sort

Sortering. Sortering ved fletning (merge-sort) Del-og-hersk. Merge-sort Sortering Sortering ved fletning (merge-sort) 7 2 9 4! 2 4 7 9 7 2! 2 7 9 4! 4 9 7! 7 2! 2 9! 9 4! 4 1 2 Del-og-hersk Merge-sort Del-og-hersk er et generelt paradigme til algoritmedesign Del: opdel input-data

Læs mere

Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jens Myrup Pedersen (JMP) Mm4: Sorting algorithms - October 23, 2009

Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jens Myrup Pedersen (JMP) Mm4: Sorting algorithms - October 23, 2009 Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jens Myrup Pedersen (JMP) Mm4: Sorting algorithms - October 3, 009 Algorithms and Architectures II. Introduction to analysis and design of

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2010 Projekt, del III Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 24. april, 2010 (let justeret 10. maj og 21. maj 2010) Dette projekt udleveres i tre

Læs mere

Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer

Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Tirsdag den 24. juni 2014, kl. 10:00 14:00 Besvarelsen skal afleveres elektronisk. Se

Læs mere

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for

Læs mere

Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer

Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Algoritmers effektivitet Størrelse af inddata Forskellige mål for køretid Store -notationen Klassiske effektivitetsklasser Martin Zachariasen DIKU 1 Algoritmers

Læs mere

Datastrukturer (recap)

Datastrukturer (recap) Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang

Læs mere

Datastrukturer (recap)

Datastrukturer (recap) Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang

Læs mere

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for

Læs mere

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012 Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk

Læs mere

DM507 - Algoritmer og datastrukturer

DM507 - Algoritmer og datastrukturer - Algoritmer og datastrukturer Køretid g(n) Udtryk Beskrivelse lim n f(n) o(f) Vokser langsommere end f = 0 O(f) Vokser højst så hurtigt som f < Θ(f) Vokser som f = c(c > 0) Ω(f) Vokser mindst så hurtigt

Læs mere

Opgave 1 (10%) I det følgende angiver log n 2-tals-logaritmen af n. Ja Nej. n+3n er O(2n)? n 6 er O(n 5 )? nlogn er O(n 2 /logn)? 4n 3 er O(3n 4 )?

Opgave 1 (10%) I det følgende angiver log n 2-tals-logaritmen af n. Ja Nej. n+3n er O(2n)? n 6 er O(n 5 )? nlogn er O(n 2 /logn)? 4n 3 er O(3n 4 )? Eksamen juni Algoritmer og Datastrukturer (-ordning) Side af sider Opgave (%) I det følgende angiver log n -tals-logaritmen af n. n+n er O(n)? n 6 er O(n )? nlogn er O(n /logn)? n er O(n )? n er O(n )?

Læs mere

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille Prioritetskøer og hobe Philip Bille Plan Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Konstruktion af hob Hobsortering Prioritetskøer Prioritetskø Vedligehold en dynamisk mængde S af

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:

Læs mere

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: 23n log n. 4 n (log n) log n

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: 23n log n. 4 n (log n) log n Eksamen. kvarter 00 Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Side af sider Opgave (%) Ja Nej n er O(n )? n er O(n )? n er O(n + 0 n)? n + n er O(n )? n log n er Ω(n )? Opgave (%) Opskriv følgende funktioner

Læs mere

Mm6: More sorting algorithms: Heap sort and quick sort - October 29, 2008

Mm6: More sorting algorithms: Heap sort and quick sort - October 29, 2008 Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jimmy Jessen Nielsen (JJE) Mm6: More sorting algorithms: Heap sort and quick sort - October 9, 008 Algorithms and Architectures II. Introduction

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 02105, F14 side 1 af 14 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 2014. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer 1 Kursusnummer: 02105 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del III Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 29. april, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 1. Datalogisk Institut Aarhus Universitet. Mandag den 22. marts 2004, kl

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 1. Datalogisk Institut Aarhus Universitet. Mandag den 22. marts 2004, kl Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 1 Datalogisk Institut Aarhus Universitet Mandag den. marts 00, kl..00 11.00 Navn Gerth Stølting Brodal Årskort 1 Dette eksamenssæt består af en kombination

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 0. juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)

Læs mere

Analyse af algoritmer

Analyse af algoritmer Analyse af algoritmer Analyse af algoritmer Køretid Pladsforbrug Asymptotisk notation O, Θ og Ω-notation. Eksperimentiel analyse af algoritmer Philip Bille Analyse af algoritmer Analyse af algoritmer Køretid

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN. Grundkurser i Datalogi

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN. Grundkurser i Datalogi DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 1 (tretten) Eksamensdag: Tirsdag den 8. april 2008,

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne: Opgave

Læs mere

BRP Sortering og søgning. Hægtede lister

BRP Sortering og søgning. Hægtede lister BRP 18.10.2006 Sortering og søgning. Hægtede lister 1. Opgaver 2. Selection sort (udvælgelsessortering) 3. Kompleksitetsanalyse 4. Merge sort (flettesortering) 5. Binær søgning 6. Hægtede lister 7. Øvelser:

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F0 side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 00. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

DM02 Kogt ned. Kokken. Januar 2006

DM02 Kogt ned. Kokken. Januar 2006 DM02 Kogt ned Kokken Januar 2006 1 INDHOLD Indhold 1 Asymptotisk notation 2 2 Algoritme analyse 2 3 Sorterings algoritmer 2 4 Basale datastrukturer 3 5 Grafer 5 6 Letteste udspændende træer 7 7 Disjunkte

Læs mere

1. Redegør for Lister, stakke og køer mht struktur og komplexitet af de relevante operationer

1. Redegør for Lister, stakke og køer mht struktur og komplexitet af de relevante operationer 1. Redegør for Lister, stakke og køer mht struktur og komplexitet af de relevante operationer på disse. Typer af lister: Array Enkelt linket liste Dobbelt linket Cirkulære lister Typer af køer: FILO FIFO

Læs mere

DM02 opgaver ugeseddel 2

DM02 opgaver ugeseddel 2 DM0 opgaver ugeseddel af Fiona Nielsen 16. september 003 Øvelsesopgaver 9/9, 10/9 og 11/9 1. Vis, at 1 3 + 3 3 + 5 3 +... + (n 1) 3 = n 4 n. Omskriver til summationsformel: (i 1) 3 = n 4 n Bevis ved induktion

Læs mere

Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jimmy Jessen Nielsen (JJE) Mm3: More about recurrences - October 10, 2008

Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jimmy Jessen Nielsen (JJE) Mm3: More about recurrences - October 10, 2008 Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jimmy Jessen Nielsen (JJE) Mm3: More about recurrences - October 10, 2008 1 Algorithms and Architectures II 1. Introduction to analysis and

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 3. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Varighed: timer Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Algoritmisk geometri

Algoritmisk geometri Algoritmisk geometri 1 Intervalsøgning 2 Motivation for intervaltræer Lad der være givet en database over ansatte i en virksomhed Ansat Alder Løn Ansættelsesdato post i databasen Antag, at vi ønsker at

Læs mere

Analyse af ombytningspuslespil

Analyse af ombytningspuslespil Analyse af ombytningspuslespil 1 / 7 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset webside. 2 / 7 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, F side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 9. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. jælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. et er ikke tilladt at medbringe

Læs mere

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: n 2 n (log n) 2. 3 n /n 2 n + (log n) 4

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: n 2 n (log n) 2. 3 n /n 2 n + (log n) 4 Eksamen. kvarter 00 Side 1 af sider Opgave 1 ( %) Ja Nej n log n er O(n / )? n 1/ er O(log n)? n + n er O(n )? n( n + log n) er O(n / )? n er Ω(n )? Opgave ( %) Opskriv følgende funktioner efter stigende

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 3 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 29. maj 203. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 02326. jælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. et er ikke tilladt at medbringe

Læs mere

Prioritetskøer. Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer på hobe Hobkonstruktion Hobsortering. Philip Bille

Prioritetskøer. Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer på hobe Hobkonstruktion Hobsortering. Philip Bille Prioritetskøer Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer på hobe Hobkonstruktion Hobsortering Philip Bille Prioritetskøer Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 2. maj 200. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:

Læs mere

Analyse af algoritmer. Analyse af algoritmer. Analyse af algoritmer. Køretid

Analyse af algoritmer. Analyse af algoritmer. Analyse af algoritmer. Køretid Philip Bille Mål. At bestemme og forudsige resourceforbrug og korrekthed af algoritmer Eks. Virker min algoritme til at beregne korteste veje i grafer? Hvor hurtigt kører min algoritme til at søge efter

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 0205, Forår 205 side af 5 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 205. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursusnummer: 0205 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: (logn) 5. 5n 2 5 logn. 2 logn

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: (logn) 5. 5n 2 5 logn. 2 logn Eksamen august 0 Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Side af sider Opgave (%) n +n er O(n )? Ja Nej n er O(n )? n+n er O(n. )? n+n er O(8n)? n logn er O(n )? Opgave (%) Opskriv følgende funktioner

Læs mere

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Læs mere

Sammenhængskomponenter i grafer

Sammenhængskomponenter i grafer Sammenhængskomponenter i grafer Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv

Læs mere

MM4. Algoritmiske grundprincipper. Lister, stakke og køer. Hash-tabeller og Træer. Sortering. Søgning.

MM4. Algoritmiske grundprincipper. Lister, stakke og køer. Hash-tabeller og Træer. Sortering. Søgning. MM Algoritmiske grundprincipper. Lister, stakke og køer. Hash-tabeller og Træer. Sortering. Søgning. MM MM MM MM MM Sortering Sorteringsalgoritmer : Virkemåde og anvendelser Kompleksitet Algoritmen Sorteringsalgoritmer

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Divide-and-Conquer algoritmer

Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer

Læs mere

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste

Læs mere

22 Hobe. Noter. PS1 -- Hobe. Binære hobe. Minimum-hob og maximum-hob. Den abstrakte datatype minimum-hob. Opbygning af hobe. Operationen siv-ned.

22 Hobe. Noter. PS1 -- Hobe. Binære hobe. Minimum-hob og maximum-hob. Den abstrakte datatype minimum-hob. Opbygning af hobe. Operationen siv-ned. 22 Hobe. Binære hobe. Minimum-hob og maximum-hob. Den abstrakte datatype minimum-hob. Opbygning af hobe. Operationen siv-ned. Indsættelse i hobe. Sletning af minimalt element i hobe. Repræsentation. 327

Læs mere

Søgning og Sortering. Søgning og Sortering. Søgning. Linæer søgning

Søgning og Sortering. Søgning og Sortering. Søgning. Linæer søgning Søgning og Sortering Søgning og Sortering Philip Bille Søgning. Givet en sorteret tabel A og et tal x, afgør om der findes indgang i, så A[i] = x. Sorteret tabel. En tabel A[0..n-1] er sorteret hvis A[0]

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 2 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 23. maj 20. Kursusnavn: lgoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: lle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Søgning og Sortering. Philip Bille

Søgning og Sortering. Philip Bille Søgning og Sortering Philip Bille Plan Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsesortering Flettesortering Søgning Søgning 1 4 7 12 16 18 25 28 31 33 36 42 45 47 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Læs mere

Introduktion. Introduktion. Algoritmer og datastrukturer. Eksempel: Maksimalt tal

Introduktion. Introduktion. Algoritmer og datastrukturer. Eksempel: Maksimalt tal Philip Bille Algoritmer og datastrukturer Algoritmisk problem. Præcist defineret relation mellem input og output. Algoritme. Metode til at løse et algoritmisk problem. Beskrevet i diskrete og entydige

Læs mere

Introduktion. Algoritmer og datastrukturer Toppunkter Algoritme 1 Algoritme 2 Algoritme 3. Philip Bille

Introduktion. Algoritmer og datastrukturer Toppunkter Algoritme 1 Algoritme 2 Algoritme 3. Philip Bille Introduktion Algoritmer og datastrukturer Toppunkter Algoritme 1 Algoritme 2 Algoritme 3 Philip Bille Introduktion Algoritmer og datastrukturer Toppunkter Algoritme 1 Algoritme 2 Algoritme 3 Algoritmer

Læs mere

Minimum udspændende Træer (MST)

Minimum udspændende Træer (MST) Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen kreds af kanter. Træer

Læs mere

Geometrisk skæring. Afgørelse af om der findes skæringer blandt geometriske objekter Bestemmelse af alle skæringspunkter

Geometrisk skæring. Afgørelse af om der findes skæringer blandt geometriske objekter Bestemmelse af alle skæringspunkter Planfejning 1 Skæring 2 Geometrisk skæring Afgørelse af om der findes skæringer blandt geometriske objekter Bestemmelse af alle skæringspunkter Løsningsmetoder: Rå kraft Planfejning (eng. plane sweep)

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E (eller V og E (mis)bruges som V og E ).

Læs mere

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DTOI, RUS UNIVERSITET Science and Technology ESEN lgoritmer og Datastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. juni 0, kl. 9.00-.00

Læs mere

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er en unik simpel vej mellem ethvert par af punkter i

Læs mere

Kvartetafstand Chris Christiansen

Kvartetafstand Chris Christiansen Kvartetafstand Chris Christiansen 1 af 58 Oversigt Kvartetafstanden. Skitsering af algoritmer. Implementering og tool. Eksperimenter. Visualisering. 2 af 58 Afstand mellem træer 3 af 58 Træer Rodet Urodet

Læs mere

Divide-and-Conquer algoritmer

Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 036, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 3. maj 0. Kursusnavn: lgoritmer og datastrukturer Kursus nr. 036. Varighed: timer Tilladte hjælpemidler: lle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Introduktion til DM507

Introduktion til DM507 Introduktion til DM507 Rolf Fagerberg Forår 2017 1 / 20 Hvem er vi? Underviser: Rolf Fagerberg, IMADA Forskningsområde: algoritmer og datastrukturer 2 / 20 Hvem er vi? Underviser: Rolf Fagerberg, IMADA

Læs mere

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo Philip Bille Nærmeste naboer. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle key[] og satellitdata data[]. operationer. PREDECESSOR(k): returner element med største nøgle k.

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed:

Læs mere

Målet for disse slides er at beskrive nogle algoritmer og datastrukturer relateret til at gemme og hente data effektivt.

Målet for disse slides er at beskrive nogle algoritmer og datastrukturer relateret til at gemme og hente data effektivt. Merging og hashing Mål Målet for disse slides er at beskrive nogle algoritmer og datastrukturer relateret til at gemme og hente data effektivt. Dette emne er et uddrag af kurset DM507 Algoritmer og datastrukturer

Læs mere

Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel:

Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Opbyg løsningen skridt for skridt ved hele tiden af vælge lige

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del II Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 15. marts, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 12 (tolv) Eksamensdag: Fredag den 1. april 200, kl..00-11.00

Læs mere

Søgning og Sortering. Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsessortering Flettesortering. Philip Bille

Søgning og Sortering. Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsessortering Flettesortering. Philip Bille Søgning og Sortering Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsessortering Flettesortering Philip Bille Søgning og Sortering Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsessortering

Læs mere

Rolf Fagerberg. Forår 2015

Rolf Fagerberg. Forår 2015 Forår 2015 Dagens program 1 2 3 4 5 Underviser:, IMADA Forskningsområde: algoritmer og datastrukturer Deltagere: BA i Datalogi BA i Software Engineering BA i Matematik-Økonomi BA i Anvendt Matematik BA

Læs mere

Rolf Fagerberg. Forår 2015

Rolf Fagerberg. Forår 2015 Forår 2015 Dagens program 1 2 3 4 5 Underviser:, IMADA Forskningsområde: algoritmer og datastrukturer Underviser:, IMADA Forskningsområde: algoritmer og datastrukturer Deltagere: BA i Datalogi BA i Software

Læs mere

Tilgang til data. To udbredte metoder for at tilgå data: Sekventiel tilgang Random access: tilgang via ID (også kaldet key, nøgle) for dataelementer.

Tilgang til data. To udbredte metoder for at tilgå data: Sekventiel tilgang Random access: tilgang via ID (også kaldet key, nøgle) for dataelementer. Merging og Hashing Tilgang til data To udbredte metoder for at tilgå data: Sekventiel tilgang Random access: tilgang via ID (også kaldet key, nøgle) for dataelementer. API for sekventiel tilgang (API =

Læs mere

Rolf Fagerberg. Forår 2014

Rolf Fagerberg. Forår 2014 Forår 2014 Mål for i dag Dagens program: 1 2 3 4 5 6 Forudsætninger: Format: Programmering og Diskret matematik I (forelæsninger), TE (øvelser), S (arbejde selv og i studiegrupper) Eksamenform: Skriftlig

Læs mere

Sommeren 2001, opgave 1

Sommeren 2001, opgave 1 Sommeren 2001, opgave 1 Vi antager at k 3, da det ellers er uklart hvordan trekanterne kan sættes sammen i en kreds. Vi ser nu at for hver trekant er der en knude i kredsen, og en spids. Derfor er n =

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Mandag den 7. juni 00, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)

Læs mere

Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jimmy Jessen Nielsen (JJE) Mm2: Rekursive algoritmer og rekurrens - October 10, 2008

Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jimmy Jessen Nielsen (JJE) Mm2: Rekursive algoritmer og rekurrens - October 10, 2008 Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jimmy Jessen Nielsen (JJE) Mm2: Rekursive algoritmer og rekurrens - October 10, 2008 1 Algorithms and Architectures II 1. Introduction to analysis

Læs mere

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Indledning I det følgende introduceres et par abstrakte

Læs mere

Algoritmer og invarianter

Algoritmer og invarianter Algoritmer og invarianter Iterative algoritmer Algoritmen er overordnet set een eller flere while eller for-løkker. Iterative algoritmer Algoritmen er overordnet set een eller flere while eller for-løkker.

Læs mere

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid 6 april Løsning af N P -hårde problemer Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid Oversigt Grænseværdier (repetition) Branch-and-bound algoritmens komponenter Eksempler

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 5 (fem) Eksamensdag: Fredag den 10. august 007, kl.

Læs mere

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter.

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter. Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter Philip Bille Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening

Læs mere

Beat the Clock Sorteringsnetværk

Beat the Clock Sorteringsnetværk Aktivitet 8 Beat the Clock Sorteringsnetværk Resumé Selvom computer er hurtige, er der en grænse for, hvor hurtigt de kan løse et problem. En måde at speed e det op på er at bruge flere computere til at

Læs mere

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb. Philip Bille

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb. Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor

Læs mere

Perspektiverende Datalogi Klassiske Algoritmer. Gerth Stølting Brodal

Perspektiverende Datalogi Klassiske Algoritmer. Gerth Stølting Brodal Perspektiverende Datalogi Klassiske Algoritmer Gerth Stølting Brodal Ugens Program Mandag 10.15 12.00 Introduktion til Algoritmik Gerth Stølting Brodal Tirsdag 9.15 12.00 Øvelser Open Learning Center 12.15

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 25. juni 200, kl. 9.00-.00

Læs mere

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter.

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter. Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter Philip Bille Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening

Læs mere

UNION-FIND. UNION-FIND-problemet. Forbundethed kan være svær at afgøre (især for en computer) Eksempel på udførelse

UNION-FIND. UNION-FIND-problemet. Forbundethed kan være svær at afgøre (især for en computer) Eksempel på udførelse UNION-FIND-problemet UNION-FIND inddata: en følge af heltalspar (p, q); betydning: p er forbundet med q uddata: intet, hvis p og q er forbundet, ellers (p, q) Eksempel på anvendelse: Forbindelser i computernetværk

Læs mere

Perspektiverende Datalogi Klassiske Algoritmer

Perspektiverende Datalogi Klassiske Algoritmer Perspektiverende Datalogi Klassiske Algoritmer Gerth Stølting Brodal 1 Indhold Eksempler på beregningsproblemer Algoritmer og deres analyse Korrekthed af algoritmer Ressourceforbrug for algoritmer Kompleksitet

Læs mere

Sidste gang Motivation Definitioner Approximations-algoritme for knudeoverdækning Approximations-algoritme for TSP med trekantsulighed

Sidste gang Motivation Definitioner Approximations-algoritme for knudeoverdækning Approximations-algoritme for TSP med trekantsulighed Approximations-algoritmer Sidste gang Motivation Definitioner Approximations-algoritme for knudeoverdækning Approximations-algoritme for TSP med trekantsulighed Negativt resultat om generel TSP Approximations-algoritme

Læs mere

17 Søgning og Søgetræer.

17 Søgning og Søgetræer. 17 Søgning og Søgetræer. Lineær og inær søgning i lister. inære søgetræer. Søgning efter knude i træ. Indsættelse af knude i træ. Søgning i og sortering af inært søgetræ. Sletning af knude i inært søgetræ.

Læs mere