محاضرات في الرياضيات المالية

Transkript

1 محاضرات في الرياضيات المالية لطلبة السنة الثانية علوم التسيير اعداد د. منصر الياس 2016 /2015 1

2 2 ىوتحملا ةدئافلا 5...ةطيسبلا 1. ام يه ةدئافلا و اذامل فيرعت ةدئافلا اذامل 5...ةدئافلا 1.3. :ميهافم ثيدحتلا 6...ةلمسرلاو.2 ةدئافلا :ةطيسبلا فيرعت 7...باسحو.2.1 فيرعت ةدئافلا ةطيسبلا 7... باسح.2.2 ةدئافلا ةطيسبلا 7... رصانع.2.3 ةدئافلا 8...ةطيسبلا.2.4 ةدئافلا ةيلبقلا ةدئافلاو ةيدعبلا لدعملاو يلعفلا تلادعملا 11...ةيبسنلا.2.6 طسوتم لدعم 12...عاديلاا 14...نيرامت مصخلا فيرعت 18...مصخلا.2 مصخلا يراجتلا ةميقلاو ةيراجتلا ةميق مصخلا حيحصلا وا ينلاقعلا رصانع.4 ةلمكم 22...مصخلل 25...نيرامت ؤفاكت سوؤر 28...لاوملاا 1. ؤفاكت نيلامسأر فيرعت ديدحت1.2. خيرات ؤفاكتلا ؤفاكت لامسار عم ةعومجم نم سوؤر لاوملاا فيرعت خيرات قاقحتسلاا 31...كرتشملا ةصاخ ةلاح.2.3 خيرات قاقحتسلاا طسوتملا نيرامت

3 3 ةدئافلا 37...ةبكرملا.1 أدبم قاطنو قيبطت ةدئافلا ةبكرملا ةميقلا ةبستكملا لامسأرل رمثتسم ددعل لماك نم 37...تارتف باسح.3 ةميقلا ةبستكملا ةلاح يف حيحص ريغ ددع دوجو نم تارتفلا تلادعملا 40...ةئفاكتملا.5 ةلمسرلا ةئزجملا لدعملاو ىمسلاا ةميقلا ةيلاحلا لامسارل رمثتسي ددعل لماك نم تارتفلا مصخلا ةدئافب ةبكرم ةلداعم سأر لاملا ىلإ ةدئافلا 44...ةبكرملا.8.1 ؤفاكتلا نيب 44...نيلصأ.8.2 ؤفاكت سأر لاملا عم عومجم نم سوؤر لاوملاا ةلاح 8.3. قاقحتسلاا 45...طسوتملا.8.4 ؤفاكتلا نيتعومجم نم لوصلاا نيرامت 55...تاعفدلا.1 فيرعت تاعفدلا ةتباثلا ةميقلا ةبستكملا ةلسلسل نم تاعفدلا ةتباثلا ةرخؤم( 55...)دادسلا.2.2 ةميقلا ةيلاحلا ةلسلسل نم تاعفدلا ةتباثلا ةرخؤم( )دادسلا ةميقلا ةبستكملا ةلسلسل نم تاعفدلا ةتباثلا ةمدقم( 58...)دادسلا 2.4. ةميقلا ةيلاحلا ةلسلسل نم تاعفدلا ةتباثلا ةمدقم( )دادسلا ةلسلس مييقت نم تاعفدلا ةتباثلا يف يأ 59...تقو.2.6 ةلسلس لادبتسا تاعفد ةتباث تاعفدلا 64...ةريغتملا.3.1 تاعفدلا تاذ 64...ةيباسح ةيلاتتم 3.2. تاعفدلا تاذ ةيلاتتم ةيسدنه نيرامت 74...ضورقلا.1 ضورقلا ريغلا ةلباق ةئزجتلل فيرعت لودج 1.2. كلاتهلاا صئاصخلا 75...ةماعلا.1.4 ضورقلا ريغلا ةئزجملا طاسقأب ةتباث 76...

4 4.1.5 كلاهتسا ضرقلا ريغ يف ةمسقم رمتسملا ضرقلا ريغلا ئزجملا ددسملا يف ةياهنلا in fine تادنسلا فيرعت صئاصخ تادنسلا.2.4 ضرقلا يدنسلا تاعفدب 88...ةتباث 2.5. ضرقلا يدنسلا تاكلاتهاب ةتباث ضرقلا يدنسلا ددسملا يف 94...ةياهنلا.2.7 رادصإ ديدستلاو ةميقب نع ةفلتخم 95...ؤفاكتلا.2.8 رادصلإا ةميقب V e نع ةفلتخم 96...V n.2.9 لدعم 99...ةيدودرملا.2.10 لدعم ةفلكتلا نيرامت رايتخا تارامثتسلاا بيلاسلأا ةيلاملا رايتخلا تارامثتسلاا.1.1 رايعم ةميقلا ةيلاحلا (VAN :ةيفاصلا ةقيرط 1.2. لدعم دئاعلا يلخادلا TRI رايعم ةرتف دادرتسلاا 1.4. ةنراقملا نيب يرايعم VAN و TRI نيرامت عجارملا

5 البسيطة الفائدة 1. ما هي الفائدة و لماذا 1.1. تعريف الفائدة يمكن تعريف الفائدة على انها أجر الحصول على قرض نقدي. أي انها الثمن المدفوع من قبل المقترض للمقرض نظير الخدمة التي يقدمها له هذا األخير مقابل توفير مبلغ من المال لفترة من الزمن. ثالثة عوامل رئيسية تحدد تكلفة الفائدة: - المبلغ الممنوح - مدة القرض - ومعدل فائدة القرض دج لمدة ستة أشهر يقرض شخصا اخر Y مبلغا قيمته مثال 1: الشخص X وبعد هذه الفترة يسدد مبلغا مقداره D اذن الفائدة المدفوعة لX هي 800. D مثال 2: X يقترض D من البنك لشراء سلع. يقوم بسداد القرض عبر 36 دفعات شهرية قيمة كل منها D. 365 اذن الفائدة المدفوعة هي D D = 1140D لماذا الفائدة قدمت عدة أسباب لتبرير وجود واستخدام هذه الفائدة نذكر من بينها ما يلي: - الحرمان من االستهالك: عندما يمنح الشخص )المقرض( مبلغا من المال آلخر )المقترض( فهو يحرم نفسه من االستهال الفوري للسلع. ولذلك فمن الطبيعي أن يتلقى في مقابال من المقترض للتعويض عن هذا الحرمان المؤقت لالستهال. - عنصر الخطر: الشخص الذي يقرض المال هو يمنح مدة من الوقت للمقترض لمقترض قبل سداد الدين. طوال هذه المدة الزمنية يكون المقرض معرضا لخطر معلق ينشأ هذا الخطر على األقل مما يلي: 5

6 افالس المقترض إذا كان المقترض غير قادر على سداد ديونه مع وصول تاريخ االستحقاق هذا االمر يعرض المقرض لخطر فقدان األموال التي منحها. اذا فمن الطبيعي أن يتطلب تعويضا لتغطية المخاطر التي يمكن ان يتعرض لها أهمية هذا التعويض مرتبطة باحتمال التخلف عن السداد. التضخم: بين تاريخ منح القرض وتاريخ سداده قيمة القرض يمكن ان تنخفض بسبب انخفاض قيمة العملة المعروف أيضا تحت اسم التضخم. لذا يمكن للمقرض ان يطلب تعويضا عن ذلك مفاهيم: التحديث والرسملة وفقا لما سبق يظهر ان معدل الفائدة هومعدل تحويل المال عبر الزمن. هذه العالقة بين الوقت ومعدل الفائدة تعني أن مبالغين من المال ال يتكفاءان اال إذا تساوت قيمتهما في نفس التاريخ. لذلك للمقارنة بين مبلغين او مجموعة من المبالغ متاحة في تواريخ مختلفة يجب استخدام تقنيات حسابية محددة )الرسملة والتحديث(. التحديث: التحديث هو التقنية التي تعتمد على العودة بالقيمة المبلغ فيها قيمته. هذه االخيرة تسمى القيمة الحالية. ولذلك فإن القيمة C 0 لمبلغ من المال متاح في اللحظة في اللحظة في المستقبل t 0 الى لحظة قبلية معينة تحسب هي القيمة الحالية لمبلغ C n متاح بعد مدة t n يعرف القيمة الرسملة تهدف لحساب قيمة المبلغ الحالي في لحظة مستقبلية الرسملة وخالفا للتحديث المكتسبة. بعد عام كما هو مبين t C n لمبلغ حالي C 0 مودع بمعدل ولذلك فإن قيمة المبلغ المستقبلية هي في الشكل 6

7 2. الفائدة البسيطة: تعريف وحساب 2.1. تعريف الفائدة البسيطة يمكن تعريف الفائدة البسيطة بانها العائد الذي ينتج من استثمار اموال خالل مدة زمنية بمعدل متفق عليه. فاذا اقترض شخص مبلغا من المال لمدة محددة و بمعدل متفق عليه فانه يدفع للمقرض عند تسديد الدين المبلغ الذي اقترضه باإلضافة الى الفائدة المستحقة عليه من اقتراض المبلغ. يتميز حساب الفائدة البسيطة بمجموعة من العناصر - حساب الفائدة يتم دائما على اساس المبلغ المقترض. - ال يتم اضافة الفائدة للراس المال االصلي بمعنى اخر ان الفائدة ال تنتج فائدة. - فائدة بسيطة تتناسب مع المبلغ االصلي - يتم دفعها مرة واحدة في بداية العملية وهذا يعني عند تقديم القرض أو نهاية العملية أي عند تاريخ االستحقاق نعتبر مبلغا C 0 مودعا في اللحظة t 0 المكتسب هو المبلغ C. n. يتم تسديده يسدد في اللحظة t. n المبلغ المسدد هو المبلغ Cn C 0 C0 و C n يحمالن عدة تسميات المبلغ المستثمر او المودع المبلغ المقترض المبلغ االصلي او االولي المبلغ الحالي المبلغ المسترجع المبلغ المسدد المبلغ النهائي المبلغ المكتسب 2.2. حساب الفائدة البسيطة نعتبر t هو معدل ايداع المبلغ على نهاية المدة هو فترات n الفائدة المكتسبة في نهاية المدة هي I I = C t n/100. المبلغ المكتسب في C n معدل الفائدة عدد فترات االيداع قيمة المبلغ االصلي t n C0 I متناسب مع 7

8 t و مالحظة يجب التعبير عن n المعدل t سنوي. اذا كان بوحدات متجانسة..على سبيل المثال يعبر عن الفترات n n باألشهر يكون المعدل t شهري بالسنة يكون t= 4 ومقدار الفائدة المحصل عليها في نهاية العام هو: مثال: مبلغ C قيمته دج اودع بمعدل I = * 0.04 * 1 = عناصر الفائدة البسيطة القيمة األولية: C0 وهو رأس المال او المبلغ المودع او المقترض او المستثمر او امالل أو أي مبلغ أخر تقع عليه عملية التحويل من الشخص االول الى الشخص الثاني, وقد يطلق عليه المبلغ االصلي معدل الفائدة t معدل الفائدة هو تكلفة اقراض االموال او العائد من اقراض االموال. يفرض من قبل المقرض على المقترض مقابل إستخدام األصول يعبر عنه بنسبة الفائدة والذي المدة: n تمثل الفترة الزمنية التي تمتد فيها العملية االستثمارية أي من تاريخ ابتداء العملية االستثمارية حتي نهايتها. وهي قد تكون مدة القرض أو مدة ايداع أو مدة استثمار أو غري ذلك. وتكون اصغر وحداتها اليوم واكبر وحداتها السنة المدة خاضعة التفاقات محددة ولكن قابلة اعتمادا على نوع من القروض أو االستثمار. ولذلك فمن الضروري أن نوضح دائما ما هي االتفاقيات المبرمة إذا أردنا أن يكون لدينا فكرة واضحة عن ما يمثله حقا سعر الفائدة في هذه العملية. تكون المدة غالبا بالسنوات. فاذا كانت باألشهر نحولها الى السنوات بالقسمة على 12 اما اذا كانت بااليام تحول الى السنوات بالقسمة على 360. مالحظات: وفقا لوحدة المستخدمة لتحديد n )عدد الفترات( هذه الصيغة العامة I = C t n/100 تصبح: الفترة هي الفصل I=C t n/400 الفترة هي الشهر C t n/1200 =I الفترة هي نصف شهر C t n/2400 =I الفترة هي اليوم I=C t n/3600 8

9 لنقم بحساب الفائدة لمؤسسة تحصلت على قرض من البنك. منح القرض في 20 جوان و يسدد في 15 اوت من نفس السنة )القاعدة = 360 يوم( بمعدل 11. قيمة القرض دج. يتم تحديد عدد األيام قيمة الفائدة بين تاريخ المنح و تاريخ التسديد. n= (30-20) =56. I = /36000 = 4277 C n القيمة المكتسبة : تعني القيمة المكتسبة فترات االستثمار n: مجموع رأس المال األولي ( 0 C( والفوائد )I( المحصل عليها في نهاية Cn= C0 (1 + t n/100) مثال: اودعت 100 دج بفائدة بسيطة لمدة قدرها 47 يوما )365 يوما في السنة( بمعدل 3.5. مجموع المبلغ على الحساب البنكي بعد هو: C n =100 (1 + 3,5% 47/365) = 100,45 D القاسم الثابت: القاسم الثابت مرتبط بالمعدل t I = C n (36000/t) =C n/d 2.4. الفائدة القبلية والفائدة البعدية والمعدل الفعلي الفائدة القبلية والفائدة البعدية توجد صيغتين لتحصيل الفائدة: - الفائدة البعدية في هذه الحالة الفائدة تحسب آخرالمدة )أو المتأخرة( المقترض لديه قرض C 0 ويسدده Cn نهاية المدة. تكتب القيمة المكتسبة على الشكل Cn=C0 (1+t n/100) أما بالنسبة للقيمة الحالية فتكتب 9

10 C0=Cn/ (1+t n/100) مثال: أ- يودع السيد 2500 X دج بنسبة 5 لمدة 9 اشهر. القيمة المكتسبة من الصفقة عند االستحقاق هي: 2500(1+5 9/1200)=2593,75D 5600/ (1+7 11/1200)=5262,33D ب- المبلغ الذي يمكن أن يقترض اآلن بنسبة 7 إذا كانت قيمة تسديده 5600 دج بعد أحد عشر شهرا هي القيمة الحالية ل 5600 دج: 5600/ (1+7 11/1200)=5262,33D - الفائدة القبلية هي الفائدة المدفوعة مسبقا كما في حالة االجيو وعموالت الخصم. اذ يتم حسابها و تحصيلها عند تسليم االصل. C0 = Cn (1- t* n/100) Cn= C0/ (1- t* n/100) تكتب القيمة الحالية: و تكتب القيمة المكتسبة 6 ابتداء N الى غاية مثال: نعتبر مبلغ قيمته دجتم اقراضه بمعدل فائدة قبلي.N = n 252 يوما I= /36000= 4200 D قيمة الفائدة: = D القيمة الحالية للقرض هي: 10

11 معدل الفائدة الفعلي يتم دفع الفائدة البسيطة مقدما أو في في تاريخ استحقاق رأس المال. هاتين الصيغتين متعادلتين من الناحية المالية. المتفق عليه يسمى معدل الفائدة الفعلي معدل الفائدة البسيطة مع دفع الفائدة عند تسديد القرض. معدل الفائدة الفعلي )ينظر إليه كعملية بفائدة بعدية( لعملية فائدة قبلية أعلى من معدل الفائدة المعلن. البرهان: لدينا: n/100 = C 0 t و: n/100 = C n t* نستنتج: وبالتالي: t = t* / (1- n t*/100) C n C n C n t* n/100 = C 0 t n/100 = C n (1- t* n/100) t n/100 t = t* /(1 t*n/100) C 0 C 0 مثال: شخص يودع مبلغ دينار لمدة ستة أشهر بنسبة 10. ما هو المعدل الفعلي لهذا االستثمار t = t* /(1 t*n/1200) = 10/(1-10.6/1200) = 10,526% 2.5. المعدالت النسبية يعتبر معدلين انهما متناسبين اذا انتجا االستثمار بفائدة بسيطة. نفس القيمة المكتسبة من نفس رأس المال األولي في نهاية فترة نقول ان t و t p متناسبين اذا مثال نفس نظام الفائدة البسيطة المثال 12/t هو معدل شهري يتناسب مع المعدل السنوي (. t زمنية بوحدات مختلفة )على سبيل نعتبر المعامالت المالية التالية : يتم ايداع C 0 1. لمدة 1 سنة بمعدل فائدة سنوية t. 1 بعد 1 سنة القيمة المكتسبة هي:.t 12 C 0 (1 + t 1 ). يتم ايداع المبلغ C 0 لمدة 12 شهرا بمعدل فائدة شهرية.2 C 0 بعد 1 سنة القيمة المكتسبة هي: ). 12 t 12 (1 + 11

12 t 12 = 1 + t 1 القيمتان تتساويان اذا : نستنج ان المعدل السنوي المتناسب t 1 مع المعدل الشهري.12 يساوي t 12 t 12 1/m t p ) بصفة عامة المعدل السنوي )نضع t m t p. المتناسب مع معدل ب فترة من السنة يساوي 1 + p t p = 1 + t معدل األكثر شيوعا: المعدل السداسي =2/1t المعدل الفصلي =t 1/4 المعدل الشهري = 1/12t المعدل اليومي =360/1t t 12 =0,0507/12=0,004225= 0,4225%. m = 12 مثال المعدل السنوي هو نحسب المعدل الشهري النسبي. نحسب عدد الفترات m في السنة المعدل الشهري يساوي اذن اذا اودعنا 273 دج لمدة 7 اشهر بفائدة بسيطة بمعدل سنوي,5,07% المبلغ الذي بجب تسديده C 7 =273 (1+0, )=281,07D متوسط معدل االيداع تتم ثالثة االستثمارات من قبل الشخص نفسه ضمن الشروط التالية: المدة المعدل المبلغ C 1 t 1 n 1 C 2 t 2 n 2 C 3 t 3 n 3 T هو المعدل الوحيد الذي بطبق على المبالغ بترتيب و في المدد بالترتيب و المعدل المتوسط لاليداع الذي ينتج نفس الفائدة االجمالية 12

13 C 1 t 1 n 1 / C 2 t 2 n 2 / C 3 t 3 n 3 /36000 = C 1 T n 1 / C 2 T n 2 / C 3 T n 3 / اذن T= Ci ti ni / Ci ni T= C i t i n i / C i n i = / = 7,83%. مثال: 1( تحديد المعدل المتوسط لالستثمارات التالية: t 1 = 10 يوما n 1 = 20 C 1 = 1000 D t2 = 9 يوما n 2 = 25 C 2 = 2000 D t 3 يوما = 8 n 3 = 30 C 3 = 3000 D t 4 يوما = 7 n 4 = 35 C 4 = 4000 D 6 2( إذا تم ايداع 9000 مبلغ دج لمدة 3 أشهر 9 11 سنويا ما هومعدل االيداع المتوسط T = بمعدل سنويا و أشهر بمعدل لمدة دج 2.7. الفائدة االجمالية لمجموعة من المبالغ الفائدة االجمالية لمجموعة من المبالغ مودعة بنفس المعدل تعطى بالعبارة التالية I global = Ci ni /D D هو القاسم الثابت 13

14 تمارين التمرين 1 شخص يملك محفظة من االصول قيمها االسمية تتبع متتالية حسابية أساسها 3000 دج. إذا علمت ان قيمة االصل األول هي 8000 دج وقيمة مجموع االصول هو دج احسب عدد األصول. ماهي القيمة االسمية لكل أصل. التمرين 2 ثالثة مبالغ مجموعها دج تتبع متتالية حسابية متزايدة أساسها 5000 دج. معدل اإليداع بفائدة بسيطة للمبلغ األول يمثل 2/3 معدل إيداع الثاني. إذا علمت الدخل السنوي للمبلغ األول أكبر ب 900 دج من الدخل السنوي للمبلغ الثاني. احسب المعدلين. التمرين 3 يتم تقسيم مبلغ قيمته دج إلى ثالثة أجزاء تتبع متتالية حسابية والجزء األول هو يساوي )10/7( من الجزء الثالث. تودع االجزاء الثالثة لمدة سنة واحدة وبفائدة بسيطة حسب المعدالت بالتوالي تتبع متتالية هندسية متنازلة مجموعها يساوي 21. المدخوالن السنويان للجزأين األولين يتناسبان مع 28 و 17 بالتوالي. المطلوب 1. حساب االجزاء الثالثة ومعدل كل منها 2. المعدل المتوسط لإليداع للمبلغ دج التمرين 4 تم ايداع ثالثة مبالغ تتبع متتالية حسابية لمدة سنة واحدة بمعدالت تتبع متتالية هندسية. علما: - مجموع المبالغ الثالثة هو دج - قيمة المبلغ الثالث تمثل أربع مرات قيمة المبلغ االول - مجموع المعدالت الثالثة يساوي الفائدة المكتسبة من المبلغ الثاني أكبر بثالث مرات فائدة المبلغ االول. احسب المبالغ الثالثة والمعدالت الثالثة اهتالكها على مدى 5 سنوات. االهتالكات تتبع متتالية هندسية اساسها التمرين 5 آلة اكلفت دج يتم.0.5 حساب اإلهتالكات المتوالية. بين أربعة أشخاص الحصص تتبع متتالية حسابية أساسها دج قيمته التمرين 6: يتم تقسيم مبلغ مع العلم أن الحصة األولى اودعت بمعدل 7 سنويا بفائدة بسيطة. بعد كم من الوقت الفائدة المكتسبة من هذه الحصة تكون مساوية إلى 6000 دج. 14

15 التمرين 7: تكلف ماكنة دج و يجب اهتالكها على 7 سنوات. االهتالكات تتبع متتالية هندسية متنازلة. مجموع األقساط الثالثة األولى دج ومجموع األقساط الثالثة االخيرة 5250 دج. المطلوب حساب أساس المتتالية و االهتالكات المتتابعة. التمرين 8: يقسم شخص مبلغ بين أطفاله الستة بحيث تتبع الحصص متتالية هندسية. مع العلم أن مجموع الحصتين االولتين هو دج ومجموع الحصتين األخيرتين و دج. المطلوب حساب المبلغ الموزع و قيمة كل حصة التمرين 9: يتم تقسيم مبلغ إلى ثالثة أجزاء تتبع متتالية حسابية والجزء األول هو يساوي 70 من الجزء الثالث. توظف هذه االجزاء الثالثة بمعدالت t 3 t 2 t 1 تتبع في متتالية هندسية و مجموعها هو الدخل السنوي للجزئين األولين يساوي بالترتيب 84 دينار و 85 دينار. 1. حساب المعدالت وقيمة االجزاء الثالثة. 2. احسب متوسط معدل االيداع. التمرين 10: تسدد مؤسسة دينا عن طريق دفعات نهاية كل سنة لمدة 5 سنوات. الدفعات تتبع متتالية هندسية أساسها 1.2. قيمة الدفعة االخيرة د. / 1 ما هو مقدار الدين / 2 وتدفع باإلضافة إلى ذلك في نهاية كل عام فائدة المبلغ المتبقي في بداية العام. احسب معدل الفائدة مع العلم أن إجمالي المبلغ المدفوع بلغ دج ثم 2000 دج بفائدة بسيطة بمعدل سنوي يبلغ 8 ثم في 1 فيفرى التمرين 11: في 01/01/2002 يودع شخص المطلوب 12/1/2002 مدرج. يدفع هذا الشخص نفس المبلغ 500 دج. في كل شهر حتى الى غاية حساب القيمة التي اكتسبتها جميع الدفعات في 31/12/2002 مساء. التمرين 12: ال يزال عليه يقترض شخص دج بفائدة البسيطة. بعد عام يسدد دج. المبلغ المتبقي دج الديون تساوى بإضافة 1.5. بعد سنة اخرى قيمة فائدة مستحقة بالمعدل األول المطلوب تحديد المعدلين. التمرين 13: اإليداعات التي قام بها شخص خالل العام معروضة على النحو التالي: دج بمعدل 8.25 من 2 جانفي - 16 مارس دج بمعدل 6.85 من 17 مارس - 12 اوت دج بمعدل من 10 سبتمبر - 9 ديسمبر. 1. ما هو معدل العائد المتوسط لهذه االيداعات 2. أراد هذا الشخص أن يودع بالمعدل المتوسط مبلغا يساوي مجموع االستثمارات التي سبقت. ما هي المدة التي يتم فيها الحصول على فائدة اجمالية مساوية لتلك التي حصلت في الحالة السابقة 15

16 . t 2 األول و معدل +1 1 = t للمبلغ التمرين 14: يتم إيداع مبلغين من المال مجموعهما دج بمعدل t 1 الثاني هو د. الدخل السنوي للمبلغ األول هو دج في حين أن الدخل السنوي للمبلغ المطلوب وحساب قيمة المبلغين t 1 و t 2 1- تحديد كال 2- بعد كم من الوقت تتساوى القيمتين المكسبتين للمبلغين التمرين 15: يودع شخص مبلغا ثابتا S بفائدة بسيطة بمعدل t في بداية كل شهر اعتبارا من 1 جانفي. قيمة المجموع (رأس المال والفوائد( الذي سيحصل عليه هذا الشخص في 31 ديسمبر من نفس 1- ما العام 2- ما قيمة المجموع الذي سيحصل عليه هذا الشخص في نهاية الشهر n )اي بعد n دفعة( 3- من اجل = 2000 S و = 9 t اجب على األسئلة السابقة. تؤدي إلى القيمة اإلجمالية المكتسبة د 4- بحفظ نفس البيانات الرقمية احسب مدة العملية التي. t معدل الفائدة اعتمد البنك )يفترض أن كل الشهور لها نفس المدة( التمرين 16: شخص Y اودع في حساب مصرفي دج. خالل السنة األولى اصبح رصيد الحساب هو 1%+t. بعد عامين معدل الفائدة اعتمد البنك في السنة الثانية دج. إذا على مدى السنوات الثالث الموالية اعتمد البنك معدل الفائدة سنويا ما المبلغ المتراكم في الحساب في نهاية هذه السنوات الثالث قيمة بسعر فائدة قدره 6 او لمدة عام. لديه خيارين: يستعير 7000 دج 7000 دج التمرين 17: على شخص اقتراض لمدة وفي الحالة األخيرة فإنه قد يستثمر الفائض 8000 دج يقترض دج بسعر الفائدة اقل المعتمد على القرض دج الذي يجعل هذا سنة واحدة بسعر فائدة قدره 4. ما هو سعر الفائدة الشخص يفضل هذا الخيار على اقتراض ا 7000 دج التمرين 18 بسيطة يستثمر شخص دج في شهادة ضمان لمدة ستة أشهر لبنك تؤجر على أساس فائدة نسبة 9 الفائدة على هذه االستثمارات انتقل الى بمعدل سنوي قدره 8. بعد أربعة أشهر معدل هذه الزيادة في بيع شهادته وإعادة استثمار المبلغ المتراكم سنويا. هذا الشخص يريد االستفادة من إنهاء العقد الشهادة ( للشهرين االخيرين بمعدل 9. ما ينبغي أن يكون المنحة المطلوبة من البنك عند انطالقا من القيمة المتراكمة على الشهادة بعد 4 أشهر( حتى ال يكون هنا أي فائدة لهذا الشخص التخاذ مثل هذا االقرار التمرين 19: دج يتم ايداعهما بالفائدة البسيطة: مبلغان مجموعهما - أول معدل% t. - والدرجة الثانية % ( t-1 ) الدخل السنوي من أول 240 دج والثاني هو 300 دج. 1- عبر عن المبلغين بداللة. t 16

17 2. احسب المعدلين والمبلغين 3- عبر عن القيم المكتسبة للمبلغين المعلم. بداللة عدد سنوات االيداع ورسم بيانيا هذه الدوال في نفس التمرين 20 تحصل شخص على قرض قيمته X دينار يسدد عبر أربعة دفعات فصلية تتبع متتالية حسابية. الدفعة األولى ب 5600 دج تقدم بعد ثالثة اشهر. اذا علمت ان مجمع الدفعات يساوي الى دج و ان كل دفعة تتكون من ربع قيمة القرض و الفائدة البسيطة المرتبطة بالفصل المعنى محسوبة على أساس المباغ المستحق المتبقى في بداية الفصل 1. احسب قيمة كل دفعة 2. احسب فيمة القرض X و المعدل. t 17

18 الخصم 1. تعريف الخصم دفع الدين ما يتم بتسليم فوري أو مؤجل: نقدا بالشيك بنكي أو حوالة بريدية. أو من خالل إنشاء ورقة تجارية قابلة للتداول سواء تعلق المر بالكمبيالة او سند االمر. هنا نوعان رئيسيان من االوراق التجارية : الكمبيالة هي عبارة عن ورقة تجارية تتحرر وفق شكل معين يحتوي على بيانات أوجدها القانون وتتضمن أمر شخص يسمى الساحب إلى شخص يسمى المسحوب عليه بدفع مبلغ معين من النقود لشخص ثالث هو المستفيد : -الساحب يصدر األمر بدفع المبالغ المحررة بالورقة من مدينه المسحوبة عليه. - المستفيد ( الحامل ) وهو الشخص الذي صدرت الورقة لصالحه. السند ألمر هو عبارة عن ورقة يتعهد فيها محررها بأن يدفع مقابلها مبلغا معينا في تاريخ معين إلذن شخص آخر يسمى المستفيد. ويبين في السند تاريخ تحريره والمبلغ الواجب دفعه وإسم من تحرر تحت إذنه والميعاد الواجب الدفع فيه وإمضاء محرره. أما السند لحامله فيشمل كافة البيانات السابقة والمستفيد وإعطاء إسم من يدفع إليه المبلغ وتنتقل فيه الملكية بدون كتابة التحويل. يتاح لصاحب الورقة التجارية خياران. - يستطيع االحتفاظ بالورقة التجارية الى غاية يوم االستحقاق ثم يقدمها للمؤسسة المصرفية بمقابل مالي. في هذه الحالة تكون الورقة التجارية اذاة بسيطة للتحصيل. - كما يمكنه خصم الورقة التجارية. إذا كانت قبلت المؤسسة المصرفية فإنها تدفع للمستفيد قيمة الورقة ناقصة من الفوائد والعموالت التي تشكل تعويضا للمؤسسة المصرفية. الخصم ال يشمل نقل مخاطر عدم السداد من المسحوبة عليه ألنه في حالة عدم الدفع تقوم المؤسسة المصرفية بدفع المبلغ. - الخصم هو عادة عملية بفائدة قبلية ألنه في مقابل الورقة المؤسسة المصرفية تدفع فورا المبلغ أي القيمة االسمية للورقة ناقصة من الفوائد والعموالت. مثال: تم الدفع ل X فاتورة عن طريق ورقة تجارية بقيمة 7500 دج تاريخ استحقاقها هو 31 جانفي احتاج X إلى المال وشرع في التفاوض مع مصرفه في 27 نوفمبر أعطاه المصرف 7500 دج منقوصة من فائدة الفترة الممتدة بين 27 نوفمبر و 31 جانفي بمعدل يوجد 65 يوما من 27 نوفمبر - 31 جانفي )ال يتم احتساب اليوم األول( 18

19 نسمي الخصم E الفائدة التي يحتفظ بها البنك: E = /36000= D هي القيمة االسمية للورقة جانفي 2002 هو تاريخ االستحقاق - 27 نوفمبر 2001 هو تاريخ التفاوض أي D) (7500 D 169,27 هي القيمة الحالية للورقة. لتمثيل الوضع في نقدم الرسم البياني التالي: وفقا لمبدأ حساب الخصم يمكن لهذا األخير ان يكون تجاريا أو صحيحا. 2. الخصم التجاري والقيمة التجارية الخصم التجاري هو فائدة القيمة االسمية للورقة محسوب بمعدل الخصم اعتمادا على المدة بين يوم التفاوض )تسليم الورقة للبنك( و اليوم االستحقاق. نعتبر Ec= V t n/36000 V القيمة االسمية للورقة المخصومة t معدل الخصم n المدة باأليام )باستثناء يوم التفاوض( E c مقدار الخصم. E c = V n/ (36000/t) هذا التعبير يمكن تبسيطه بقسمة البسط والمقام على t: نضع D= 36000/t 19

20 Ec = V n/d اذن القيمة التجارية الحالية للورقة يعبر عنها ب. V c تمثل الفرق بين القيمة االسمية والخصم التجاري. V c = V E c نستبدل E c بالعبارة المحددة مسبقا وفقا لD : V c = V (V n/d) Vc= V (D n/d) اذن 12 جوان مثال: حدد مبالغ القيم الحالية والخصم التجاري لورقة قيمتها 5000 دج عرضت للخصم في مستحقة في 10 جويلية. معدل الخصم هو 10. حساب مقدار الخصم: E c = /3600=38,98D او E c = /36000= 38,89 D حساب القيمة التجارية الحالية V c = ,89= 4961,11D ويمكن الحصول على هذه القيمة باستعمال القاسم الثابت D: V c =5000 ( /3600)=4961,11D في الواقع الخصم التجاري هو غير منطقي ألنه ال يتم احتساب فائدة على المبلغ المدفوع فعال من قبل البنك على أساس القيمة الحالية التجارية ولكن على القيمة االسمية للورقة أي يحسب عل أساس المبلغ الذي يتم تسديده عند االستحقاق. وعليه فالمبدأ السليم يعتمد على حساب الفائدة البسيطة ضمن ما يسمى بالخصم الصحيح او العقالني. 3. قيمة الخصم الصحيح او العقالني القيمة الحالية الصحيحة )العقالنية( هي القيمة التي يضاف اليها فوائدها المحسوبة بمعدل الخصم على أساس عدد األيام الخصم تصبح مساوية للقيمة االسمية للورقة التجارية. الخصم الصحيح هو الفرق بين القيمة االسمية والقيمة الحالية الصحيحة وهو فائدة القيمة الحالية الصحيحة. 20

21 . بحكم التعريف يتم احتساب قيمة الخصم الصحيح مع التعبير التالي: Eندل r على الخصم الصحيح ب Er= Vr t n/36000 القيمة الحالية الصحيحة V r تدل على الفرق بين القيمة االسمية والخصم الصحيح Vr=V Er مالحظات يمكن التعبير عن الخصم والقيمة الحالية الصحيحين على أساس القيمة االسمية. من التعبير أعاله يستخلص: V=V r + E r غير ان E r = V r t n/36000 اذن V = V r + [V r t n/36000] V= V r [(36000+t n)/36000] Vr = V/ (36000+t n) هذا التعبير يمكن أن يكون مبسط باستخدام القاسم D. إذا نقسم البسط والمقام على t نحصل على: V r = [(36000 V/t)]/ [(36000/t + t n/t)] نعوض t/36000 V r Vr = D V/ (D+n) النهج هو نفسه للتعبير عن الخصم يستخلص E r = V V r غير ان الصحيح بالرجوع إلى القيمة االسمية. من التعبير األولي ل من V r =36000 V/ (36000+t n) E r = V- [36000 V/ (36000+t n)] Er= V t n/ (36000+t n) t مع التعويض كما في الحاالت السابقة إدخال القاسم D ب t/000 D 36 يصبح التعبير: يبسط هذا التعبير. تقسيم البسط والمقام على 21

22 وV هيV Er = V n/ (D+n) V=5000D, n= 28, t=10% et D =36000/10=3600 E r = ( )/[36000+(10 28)]=38,59D E r = /( )=38,59D مثال: نعيد البيانات من المثال السابق: او وبنفس الطريقة كما V r = ( )/[36000+(10 28)]=4961,41 D في المثال السابق يمكن تحديد هذه القيمة باستخدام D: V r = / ( )=4961,41D تعليق قيمة الخصم الصحيح ) دج( تكون أقل دائما من أ الخصم التجاري ) دج(. هذه نتيجة منطقية الن قيم t و n هي نفسها في كلتا الحالتين الفرق يتنج من أن القيمة الصحيحة r دائما أقل من القيمة االسميةV. 4961,41+38,59=5000D +E r V= V r المساواة E r المجموع r يؤكد E c E r مع العلم أن E c >E r نقوم بحساب E c = V n/d E r = V n/ (D+n) E c E r = [V n/d] [V n/ (D+n)] = V n 2 / (D (D+n)) = [V n/d+n] (n/d) = E r n/d. 4. عناصر مكملة للخصم عندما يتم خصم. يطرح البنك الخصم من القيمة االسمية. لتغطية خدماته. االجيو هو مجموع ما يحتفظ به البنك : االجيو= الخصم + العموالت كما يطرح أيضا العموالت المختلفة القيمة الصافية هي القيمة الحقيقية المحصلة من قبل بائع الورقة. 22

23 العموالت: يمكن أن تكون العموالت متناسبة أو ثابتة فهي تسمح للبنك أن تغطي خدماتها. العموالت متعددة )عمولة التظهير عمولة القبول..( تتناسب مع القيمة االسمية للورقة أو تكون ثابتة. عمولة التظهير: هي النسبة المئوية المحسوبة على القيمة االسمية للورقة )هدفها تغطية إعادة خصم محتملة مع البنك المركزي(. C e = V t n/36000 العمولة الثابتة )تكون على شكل نسبة مئوية أو الفية من القيمة االسمية او ب K دج( أخرى )مثل عمولة القبول والتعامل ( االجيو= الخصم + العموالت عموالت معدل الخصم الحقيقي: يدعى المعدل الحقيقي للخصم المعدل الوحيد الذي يجب تطبيقه االجيو. على القيمة االسمية للحصول علي Agio= V t r n/36000 tr = agio 36000/V n معدل العائد ويحسب هذا المعدل على القيمة الصافية للورقة tr = agio 36000/Vnette n 23

24 1/8 %, مثال: في 8 جويلية يتم خصم ورقة قيمتها 5400 دج مستحقة في 31 أوت: عناصر الخصم: معدل الخصم 4.5 عمولة التظهير 0.4. العمولة المستقلة عن الزمن 1( عمولة التظهير 0,4/4,5=3,24 36,45. او) C e = Vtn/36000= ,4/36000=3,24D D) 1/8% V=5400/800= 6,75D 2( العمولة المستقلة عن الزمن االجيو= الخصم + العموالت Agio= E c + commissions= 36,45+3,24+6,75=46,44D المعدل 3( الحقيقي: t r = agio /Vn =46, / =5,73 Agio = V.t r. n/36000 = [V.t.n/ V.t.n/ kv/100] الفحص / t r = (nt/n ) + (nt /n ) + (360k/n) = t + t + 360k/n = 4,5 + 0, /8 54 = 5,73 24

25 تمارين التمرين 1: 1. ورقة قيمتها 1530 دج تم خصمها ب 13 في 13 أكتوبر 2000 قيمتها الحالية دج. حدد تاريخ استحقاق هذه الورقة. 2. مصرفي يقدم 9 كمعجل خصم تجاري على األوراق التجارية. احسب القيم االسمية لهذه االوراق إذا تلقى الزبون: أ دينار لمدة 45 يوما ب دينار لمدة 7 أشهر. ج دينار للفترة من 6 سبتمبر - 30 ديسمبر. 3. مصرفي يمنح قيمة 4875 دج لزبون بعد خصم ورفة 5000 دج مستحقة بعد 75 يوما. ما هو معدل الخصم التمرين 2: ورقة تجارية مستحقة في 30 جويلية تم خصمها في 20 افريل ب 15. المطلوب 1. حساب الخصم التجاري والقيمة الحالية التجارية 2. حساب الخصم الصحيح و القيمة الحالية الصحيحة. التمرين 3: شخص X يقرض دينار لشخص Y لمدة 7 أشهر بمعدل سنوي قدره 8. بعد ثالثة أشهر والشخص X يحتاج لسيولة وقرر خصم الكمبيالة للبنك بمعدل 11. المطلوب 1- تحديد مقدار الخصم التجاري و القيمة الممنوحة للسيد X من قبل البنك. 2- تحديد القيمة الحالية الصحيحة ومقدار الخصم االصحيح. مقارنة النتائج مع )1(. علق الشروط 15 جوان وفق التمرين 4: ورقة تجارية قيمتها االسمية 4100 دج مستحقة في 2 اوت تم خصمها في التالية: معدل الخصم %9 ومعدل التظهير 0.5 العمولة المستقلة عن الزمن 0.2. المطلوب 1- حساب االجيو و القيمة الصافية للورقة. 2. حساب معدل الخصم الحقيقي. 3. حساب معدل العائد. التمرين 5: في 15 مارس في نبكين مختلفين األولى في البنكA في الظروف ووقتان تجاريتان تم خصمهما البنك B في الظروف,0,6= t,10,7=t الورقة الثانية في التالية 1/2=k,9,7=t.,0,6= t هي مستقلة عن الزمن(. الورقة الثانية 1/4=k )المعدالت معطاة ب ي العموالت المحسوبة ب k خصم الحقيقي 15 يوما من األولى. في هذه الظروف تبين أن للورقتين معدالت مستحقة باقل من متساوية. المطلوب 1- تحديد استحقاق كل من الورقتين 2- تأكد من أن معدالت الخصم الحقيقية متساوية. 25

26 60 يوما بالشروط التالية: معدل الخصم دينار مستحقة بعد التمرين 6: نخصم ورقة قيمتها 0.9 عمولة ثابتة 15 دينار. عمولة التطهير أ( احسب القيمة الصافية. إذا كانت الورقة» n «يوم فبل االستحقاق. الشروط األخرى المتبقية دون ب( أعرب عن االجيو تغيير. " يتغير من "0" إلى "90". ج( ارسم بيانيا دالة االجيو "n د( حدد عدد أيام المتبقية لالستحقاق إذا بلغ االجيو 135 دينار. التمرين 7: يقترح بنكان الشروط التالية للخصم: (k) معدل العمولة المستقلة عن الزمن ( t) عمولة التظهير (t) معدل الخصم Aالبنك 9,3 0,6 0,5 Bالنبك 9,9 0,6 0,4 ورقة تجارية قيمتها االسمية V مستحقة بعد n يوم طرحت على الخصم. المطلوب 1( تحديد عبارة معدل الخصم الحقيقي بداللة.n,t, t k 2( حساب معدل الخصم الحقيقي لكال البنكين. 3( تحديد حسب قيم n أي من البنكين يقترح شروط خصم افضل. % 9 هي 7868 دج. إذا خصمت السابق. احسب قيمة الورقة و تاريخ التمرين 8: القيمة الحالية لورقة تجارية في 25 آوت خصمت تجاريا ب الورقة قبل 30 يوم يكون الخصم أقل ب 72 دج من الخصم استحقاقها. التمرين 9 : تم خصم ورقة تجارية 2040 دج لمدة 90 يوما. عن طريق الخطأ تمت عملية الخصم بطريقة صحيحة )عقالنية( وبالتالي قيمتها الحالية أعلى ب 0.13 دج لو تم الخصم التجاريا. احسب معدل الخصم.. 10 التمرين 10: شخص اقترض لمدة سنة واحدة مبلغا قيمته دج بفائدة بسيطة قبلية. معدل الفائدة هو المطلوب حساب: الفائدةI و المبلغ المستلم فعليا S من قبل المقترض ومعدل الفائدة الحقيقي. التمرين 11: تقدم مؤسسة المالية لمدة ثالثة أشهر نوعين من االستثمارات: - اإليداع A: الفائدة بسيطة بعدية بمعدل 5. - االيداع B: فائدة بسيطة قبلية بمعدل 4.9. ما هو نوع االستثمار االفضل 26

27 التمرين 12: لدينا ثالثة ديونS 3S S2 مستحقة على التوالي في 1 و 2 و 5 أشهر. المطلوب 1- حساب القيمة الحالية A 0 بداللة S والمعدل الشهريi. -2 حساب A 0 من اجل = 100 S و =1,5% 5 i و S من اجل = A و. i=1% استخدم النظامين التحديث والتجاري والصحيح. بعد خمسة 140 دج بعد شهر 280 دج بعد شهرين و 420 دج التمرين 13: شخص يتحصل على القيم النقدية ثالثة مع العلم ان : الخصم العام هو 40 دج. أشهر. يوافق مصرفي لخصم المبالغ المطلوب حساب المعدل الشهري i في االفتراضات الثالثة التالية: 1- تحديث تجاري 2-.تحديث صحيح ( عقالنية(. -3 استخدم المصرفي الخصم الصيغة التالية: ) n Aحيث 0 = A يمثل A (1-ni+n 2 i 2 0 القيمة الحالية في n فترة. بمعدل i لمبلغ A n 5. معدل الفترةيرمز له ب. i التمرين 14: نعتبر 5 أقساط متساوية )كل قيمة منها S( تسدد في فترات المطلوب 1- عبر عن القيمة الحالية V 0 بداللة S و. i.2 حساب القيمة الحالية V 0 من اجل = 1000 S = i حساب الخصومات التجارية والصحيحة مع المقارنة بينهما. )استخدم نظامي الخصم التجاري والصحيح( 27

28 تكافؤ رؤوس االموال هنا حاجة إلى مفهوم التكافؤ عندما يتعلق األمر باستبدال رأسمال مبلغ اودين بصفة عامة دفعة بدفعة اخرى او مجموعة من الدفوعات. تطبيق هذا المبدأ يمكن من تبسيط إدارة الديون المدين و المستحقات. 1. تكافؤ رأسمالين الحالية قيمتيهما تساوت إذا تاريخ معين في التجارية. بفائدة بسيطة هذا 1.1. تعريف يكون ال أرسمالين متكافئين التاريخ يسمى التكافؤ. تاريخ نعين : :V 2 V 1 القيم االسمية لالصلين 1 و.2 n: 2 n 1 عدد األيام المتبقية بين تاريخ التكافؤ و تاريخ االستحقاق لالصلين 1 و 2. t: معدل الخصم :V C2 V C1 القيم الحالية التجارية لالصلين 1 و.2 في تاريخ التكافؤ القيم الحالية تجارية تكون متساوية: V c1 = V c2 V 1 (V 1.t. n 1 /36000)= V 2 (V 2. t. n 2 /36000) نقوم بتقسيم البسط والمقام على t ونعوض الكسر t/36000 بالقاسم D: V 1 (V 1. n 1 /D) = V 2 (V 2. n 2 /D) V 1 (D - n 1 /D) = V 2 (D n 2 /D) وبالتالي تكون معادلة التكافؤ على النحو التالي: V1. (D - n1) = V2. (D n2) 1.2. تحديد تاريخ التكافؤ تحديد تاريخ التكافؤ يستوجب اعتبار عدد األيام بين تواريخ التي تفصل بين االصل األول واالصل الثاني. 28

29 بn نفترض أن,k n 2 n= 1 + حيث k هي المسافة في األيام بين تاريخي االصلين األول والثاني. وبعبارة أخرى يفترض أن تاريخ استحقاق االصل الثاني أبعد ب k يوم من تاريخ التكافؤ مقارنة مع االصل األول. تمثيل البيانات من المشكلة: V 1. (D - n 1 ) = V 2. (D n 2 ) نعود لعبارة التكافؤ السابقة: V 1. (D - n 1 ) = V 2. (D (n 1 + k)) V 1. (D - n 1 ) - V 2. (D n 1 )= -V 2.k :n 1 +k نستبدل 2 تكتب على النحو: (D - n 1 ). (V 1 V 2 )= -V 2.k العبارة التي تم الحصول عليها من ( 1 D( - n كعامل n 1 المسافة باأليام من تاريخ استحقاقا الصل األول الى تاريخ التكافؤ معطاة بالعبارة: n1 = D+ k. [V2/ (V1 V2)] مالحظات: المدة بين تاريخ استحقاق االصل الثاني مع تاريخ التكافؤ ( 2 n( نحصل عنها من قيم n 2 = n 1 + k. أو عن طريق العبارة: n2 = D+ k. [V1/ (V1 V2)] و : k 29

30 مشكلة تاريخ التكافؤ ال تكون منطقية إال إذا كان تاريخ التكافؤ الحقا )بعد( تواريخ ايجاد االصول و سابقا )قبل( تواريخ استحقاقها. مشكلة ليس لها حل إذا كانت القيم االسمية متساوية وتواريخ استحقاق متطابقة. مثال: ما هو وتاريخ التكافؤ اصلين قيمنهما االسمية على التوالي من اثنين من اآلثار تصنيفات دج و يستحقان في 20 جويلية و 28 سبتمبر على التوالي معدل الخصم من 10 نضع =980,.6 1. V 2 = 1000 V = n 1 المسافة باأليام بين التاريخ المطلوب التكافؤ و 20 جويلية = n 2 المسافة باأليام بين التاريخ المطلوب التكافؤ و 28 سبتمبر قيمة k هو الفرق بين تاريخي استحقاق االصلين: = k 70 يوما. تحديد القيمةn1 : n 1 = D+ k. [V 2 / (V 1 V 2 )]= (36000/10)+(70).[1000/(980, )]=89,47 أو 89 يوما.. تاريخ التكافؤ قبل 89 يوما من 20 جويلية الموافق 22 ل أفريل. 2. تكافؤ راسمال مع مجموعة من رؤوس االموال 2.1 تعريف يكون رأسمال متكافئا مع مجموعة من رؤوس األموال في تاريخ معين إذا تساوت قيمته الحالية التجارية مع القيم الحالية التجارية لمجموعة رؤوس االموال. بفائدة بسيطة هذا التاريخ يسمى تاريخ التكافؤ. لتكن V القيمة االسميةلراسمال و V p V... 1 القيم االسمية ل p راسمال. مع مدد تفصلها من تاريخ التكافؤ على التوالي n 1 n, 2 n., p التكافؤ بمعدل الخصم t يكتب على الشكل V (V.t.n/36000) = [V 1 (V 1.t.n 1 /36000)] +. + [Vp (V p.t.n P /36000)] باستخدام القاسم =D t/36000 تصبح المساواة على الشكل V (V.n/D) = [V 1 (V 1.n 1 /D)] +. + [Vp (V p.n P /D)] V (V.n/D) = (V i V i.n i /D) (de i=1 à p) V (V.n/D) = Vi (1/D) Vi.ni (de i=1 à p) 30

31 مثال يعزم المدين تسديد دين مستحق ممثل ثالثة مبالغ: 1000 دج 1500Dدج و 2000 دج في مواعيد تفصلنا عن اليوم ب 30 و 35 و 40 يوما بدفعة واحدة بعد 38 أيام. ما هي القيمة اسمية للدفعة مع العلم ان المعدل هو 10 قيمة القاسم : 3600 = 36000/10 =.D عبارة التكافؤ تكتب في هذه الحالة: V (V.n/D)= (V 1 +V 2 +V 3 ) [(1/D)( V 1.n 1 + V 2.n 2 + V 3.n 3 ) التعبير العددي لهذه المعادلة هو: V (V. 38/3600) = ( ) 1/3600[( ) + ( ) + ( )] V. (1 0,010556) = /3600(162500) V = 4454,86/0,98944 =4502,40D 2.2. تاريخ االستحقاق المشترك في المثال السابق السؤال تمحور حول قيمة المبلغ الوحيد (V). اذا نقلنا السؤال الى تاريخ االستحقاق للمبلغ الوحيد. تتمحور المشكلة حينئذ حول تحديد تاريخ االستحقاق المشتر للمبالغ المعوضة. مثال: نعيد البيانات من المثال السابق. ما هو تاريخ استحقاق مبلغ وحيد قيمته 4502,40 دج D لتعويض المبالغ الثالثة موجه 4502,40 (4502,40 n/3600) = ( ) 1/3600[( ) + ( ) + ( )] 4502,40 [1-(n/3600)] = 4454,86 n= 3600.(4502, ,86)/4502,40 = 38, حالة خاصة تاريخ االستحقاق المتوسط تشير األمثلة المذكورة أعاله أن القيمة االسمية للمبلغ الوحيد ) دج( على مقربة من مجموع القيم االسمية للمبالغ المعوضة ) 4500 دج( يمكن أن يكون أكثر مالءمة اعتبار ان القيمة االسمية للمبلغ الوحيد ببساطة ناتجة عن مجموع تلك المبالغ المعوضة. 31

32 V (V.n * /D) = V i (1/D) V i.n i لننتقل االن الى تحديد تاريخ االستحقاق. V= V i العبارة تصبح: حيث * n هو االستحقاق المتوسط. نظرا ل V.n * /D = V i (1/D) V i.n i V.n * = V i.n i n * = Vi.ni /V وبالتالي: أو n * = Vi.ni / Vi مالحظة: قيمة * nهي المسافة باأليام بين تاريخ التكافؤ وتاريخ استحقاق المبلغ الوحيد. هذه المسافة هي المتوسط الحسابي للمسافات باأليام بين تاريخ التكافؤ وتواريخ استحقاق المبالغ المعوضة مرجحة بقيمها االسمية. قيمة * nمستقلة عن معدل الخصم. اذ أن حل المعادلة يؤدي إلى اختفاء القاسم D والذي يحتوي على معدل الخصم. مثال: حدد تاريخ االستحقاق المتوسط : V1 = 1000 D مستحق يوم 10 مارس. V2 = 1500D مستحق في 26 مارس. V3 = 2000 D مستحق في 11 ابريل نيسان. V4 = 2500D مستحق في 25 أبريل. نعتبر تاريخي التكافؤ: 28 فيفري و 10 مارس. تحديد تاريخ االستحقاق المتوسط من تاريخ التكافؤ 28 فيفري: = n 1 )مارس - 28 فيفري( = 10 يوما (= n 2 26 مارس - 28 فيفري( = 26 يوما 11(= n 3 أفريل 28- فيفري( = 42 يوما. (=n4 24 أفريل- 24 فيفري( = 55 يوما. عندما يذكر صراحة أن مشكلة هي استحقاق متوسط فهذا يعني أن القيمة االسمية للمبلغ الوحيد تساوي مجموع القيم االسمية للمبالغ المعوضة. خالف ذلك فمن الضروري أوال لمقارنة القيمة االسمية للمبلغ الوحيد مع القيم االسمية للمبالغ المعوضة. إذا كان هنا فرق اذن فالمشكلة كالسيكية تتمحور حول االستحقاق المشتر. V= V i = =7000D 32

33 n* = [( ) +( )+( )+( )]/7000 = 38,64 soit 39 يوم يفصل تاريخ االستحقاق المتوسط عن تاريخ التكافؤ 39 يوما هو تاريخ 8 أفريل. تحديد تاريخ االستحقاق المتوسط من تاريخ التكافؤ 10 مارس = n 1 10( مارس- 10 مارس( = 0 يوم. (=n 2 26 مارس - 10 مارس( = 16 يوما n 3 =) 11 أفريل 10- مارس( = 32 يوما = n 4 )أفريل مارس( = 45 يوما. n* = [(1000 0) +( )+( )+( )]/7000 = 28,64 أو 29 يوما. يفصل تاريخ االستحقاق المتوسط عن تاريخ التكافؤ 29 يوما هو تاريخ 8 أفريل. مالحظة: تظهر هذه التطبيقات أن االستحقاق المتوسط ال يرتبط بمعدل خصم أو تاريخ التكافؤ. 33

34 تمارين التمرين 1: ثالثة أوراق تجارية تم خصمها في 20 جويلية بمعدل خصم 12: الورقة االولى قيمتها 1400 دج مستحقة في 30 جويلية. الورقة الثانية قيمتها 1200 دج مستحقة في 15 أوت. الورقة الثالثة قيمتها 1000 دج مستحقة في 20 سبتمبر يوم التفاوض يتم استبدال هذه االوراق الثالثة بورقة وحيدة. المطلوب تحديد تاريخ استحقاق الورقة الوحيدة إذا كانت قيمتها االسمية تساوي 3350 دج. التمرين 2: مع العلم أنه في 06/14 القيمة الحالية الصحيحة للقيمة االسمية V 1 هي دج مستحقة في 16/08 والقيمة التجارية الحالية للقيمة االسمية V 2 هي دج مستحقة في 08/31 ومعدل الخصم 12. المطلوب.1 البحث V 1 و.V 2 2. تحديد تاريخ االستحقاق متوسط. 3. نعوض و بمبلغ وحيد مستحق في 09/09. احسب القيمة االسمية للمبلغ. V 2 V 1 التمرين 3: تاريخ االستحقاق المتوسط ألصلين اثنين هو 21 جويلية: - االصل االول قيمته 8000 دج مستحق في 15 جويلية - االصل الثاني قيمته 2530 دج مستحق في تاريخ يستوجب ايجاده V مستحقة يوم 23 سبتمبر بورقتين تجاريتين 24 جوان ورقة تجارية قيمتها االسمية التمرين 4: تم تعويض في V( 1 مستحقتان على التوالي في 6 أوت و 5 سبتمبر. مع V 2 متساويتا القيمة االسمية ( 2 = V V 1 و مجموع الخصمان التجاري والصحيح هو دج في حين أن جداءهما هو من هو العلم أن D8181. المطلوب.1 حساب القيمة االسمية لورقة معوضة وحيدة V )يعطى =V) )[(E c E r )/ (E c - E r )] 2. حساب معدل الخصم. 3. حساب القيمة االسمية المشتركة للورقتين. التمرين 5: شخص يطرح على الخصم بمعدل من 10 ورقتان مستحقتان في نهاية السنة. مجموع القيم االسمية للورقة رد له المصرفي 4500 دج مقابل الورقة األولى ودج 5500 للورقتان هو م دج. الثانية. تاريخ استحقاق الورقة األول اقل ب 90 يوما من تاريخ استحقاق الورقة الثانية. المطلوب لكال الورقتين 1- تحديد تاريخ االستحقاق 2. حساب القيم االسمية التمرين 6: 34

35 تشترى شركة البناء رافعة بسعر دج. ا اتفقت مع تاجر لدفع تكاليف الرافعة سند ألمر بنفس القيمة االسمية أول مستحق في غضون شهر واحد. المطلوب 1- حساب القيمة االسمية للسندات مع العلم أن نسبة تمويل عليها تحديد االستحقاق المتوسط ل 84 سند امر من خالل 84 التمرين 7: في 15 افريل وتعرض ثالثة اوراق التجارية للخصم في نفس البنك بنفس المعدل. البنك يمنح نفس القيمة الصافية لكل من االوراق الثالثة. مع العلم أن القيمة االسمية للورقة األولى هي = V و القيمة االسمية للورقة الثانية هي = V ومستحقة في 26 جوان و القيمة االسمية للورقة الثالثة هي = V3 مستحقة بعد 13 يوما المطلوب حساب ما يلي: 1- معدل الخصم t والمبلغ الممنوح من قبل البنك لكل من االوراق الثالثة )قرب النتيجة للوحدة االقرب(. 2 -تاريخ االستحقاق الورقة األولى. 3- تاريخ االستحقاق المتوسط. 4 -تاريخ استحقاق ورقة معوضة وحيدة قيمتها االسمية = V. 31 جويلية. المستفيد من دج مستحقة في التمرين 8: الشركة غير قادرة على الوفاء بدفع ورقة قيمتها هذا الورقة يعرض البدائل التالية: 31 جويلية يسمح باسترداد مبلغ جديدة تستحق في 30 سبتمبر و التي خصمها في ورقة دج بمعدل الخصم المطبق من قبل البنك 6. األولى و القيمة االسمية لكل واحدة منها 9425 دج تستحق في 31 أوت للورقة ثالثة اوراق جديدة 30 سبتمبر للورقة الثانية. المطلوب 1- حساب القيمة االسمية لورقة االقتراح األول. 2- تحديد استحقاق الورقة الثالثة في االقتراح الثاني مع االخذ بعين االعتباران المعدل المطبق هو نفسه: 6. التمرين 9: مجموع القيم االسمية لورقتين يساوي دج تاريخ االستحقاق المتوسط يأتي بعد 45 يوم. وبلغ مجموع الخصومات التي يتحملها الورقتان هو 305 دج. المطلوب 1- حساب معدل خصم 2- واحدة من الورقتين لديها قيمة اسمية دج و مستحقة بعد 30 يوما احسب عدد أيام استحقاق الورقة األخرى التمرين 10 : السيد Z يتوجه لتاجر سيارات لشراء سيارة بقيمة 9420 دينار. التاجر يقدم له خيار التسوية التالي: دفع 3000 دينار في يوم الشراء والباقي في اثني عشر ورقة تجارية شهرية قيمة كل منها 600 دينار تستحق األولى بعد شهر من الشراء. المطلوب 1( تحديد نسبة القرض الممنوح للمشتري من قبل التاجر. 35

36 وV 2( يقترح السيد Z لدفع 3000 دينار في اليوم من شراء وتعويض االثنتي عشرة ورقة تجارية بورقة وحيدة قيمتها 7200 دينار. وإذا اعتبرنا نفس المعدل حدد متى تدفع هذه الورقة. 3( وأخيرا يتم تبني الخيار التالي: دفع 4740 دينار في يوم الشراء ودفع الرصيد بواسطة ثالثة مبالغ تتبع متتالية هندسية اساسها 2 بحيث يدفع المبلغ االول في غضون 4 أشهر والثاني في ثمانية أشهر والثالث في 12 شهرا. باعتبار معدل 12. المطلوب حساب قيمة كل مبلغ دج. لسداد هذا قيمته في 1 مارس على قرض قصير األجل V 0 X التمرين 11 : تحصلت الشركة قيمة كل منها بالتتابع 3 V 2 الدين أصدرت الشركة لصالح المقرض ثالث سندات امر V 1 التوالي في التواريخ التالية: 30 أفريل 30 مستحقة غلى دج دج و دج جوان و 30 سبتمبر. بمعدل للخصم تأكد من أن حساب الفائدة تم يستحقان في 2- في 1 أفريل اذاطلبت الشركة المقرض تعويض المبالغ الثالثة بمبلغين متساويا القيمة 15 نوفمبر و 15 ديسمبر )معدل هو نفسه(. المطلوب أ- حساب قيمة ديون الشركة بتاريخ 1 أفريل. إلعادة جدولة ديونها. ب- حساب القيم االسمية للمبلغين 36

37 الفائدة المركبة 1. مبدأ ونطاق تطبيق الفائدة المركبة نقول عن أرس مال أنه وظف بفائدة مركبة إذا أضيفت الفائدة البسيطة الناتجة في نهاية وحدة الزمن إلى أرس المال الموظف ليشكال معا أرس مال جديد للوحدة الزمنية الموالية. هذا هو المعروف باسم رسملة الفوائد. يتم تطبيق هذه العملية عادة عندما فترة االستثمار تتجاوز سنة واحدة. مثال: حساب الفائدة على رأس المال قيمته دج توظف لمدة 3 سنوات بمعدل 5. راسمال مودع بفائدة مركبة راسمال مودع بفائدة بسيطة راسمال مودع نهاية الفترة الفوائد المنتجة راسمال مودع بداية الفترة راسمال مودع الفترة نهاية الفوائد المنتجة راسمال مودع بداية الفترة السنوات , , ,50 55, , ,625 القيمة المكتسبة لرأسمال مستثمر لعدد كامل من فترات.2 ليكن : C: 0 رأس المال األولي i: سعر الفائدة في الفترة لمدة سنة واحدة n: عدد فترات االستثمار n خالل فترات القيمة التي اكتسبها العاصمة C 0 C: n ويوضح الجدول التالي طريقة حساب الفائدة والقيمة المكتسبة في نهاية كل فترة: 37

38 الC القيمة المكتسبة نهاية الفترة فائدة الفترة رأسمال بداية الفترة الفترة 1 C 0 C 0.i C 1 = C 0 + C 0.i = C 0 (1+i) 2 C 1 C 1.i C 2 = C 1 + C 1.i = C 1 (1+i) = C 0 (1+i) 2 3 C 2 C 2.i C 3 = C 2 + C 2.i = C 2 (1+i)= C 0 (1+i) n C n-1 C n-1.i C n = C n-1 + C n-1.i = C n-1 (1+i) = C n-1 (1+i) n القيمة التي اكسبتها راس المال C 0 في نهاية فترات n بمعدل i تعطى بالصيغة التالية Cn = C0 (1 + i) n تتطبق إال إذا كان معدل الفائدة ومدة n متجانسان اي يعبر عنهما n = C 1) + (i n 0 مالحظات: - الصيغة في نفس الوحدة الزمنية لفترة الرسملة. على سبيل المثال إذا تم االتفاق بين المقرض والمقترض على في نهاية كل شهر فإن صيغة ال ينطبق إال إذا كان معدل الفائدة الشهري ويعبر ان يتم رسملة الفوائد عن فترة االستثمار باألشهر. - يوضح الجدول السابق أن القيم المكتسبة متتالية في نهاية الفترتين n بعد رسملة الفائدة في متتالية هندسية اساسها (i+1) و حدها األول الرأس المال األولي. C مثال: يتم ايداع مبلغ دينار لمدة 5 سنوات بمعدل 10. / 1 ماهي القيمة المكتسبة التي نحصل عليها في نهاية هذا االيداع / 2 إذا بعد نهاية مدة االيداع نرغب الحصول على دينار كم يجب أن نودع اليوم / 3 إذا كان المجموع المودع اليوم هو دينار بعد كم من الوقت سوف نحصل على مبلغ يعادل دينار / 4 إذا كان بعد 5 سنوات القيمة المكتسبة من هذا االيداع هي دينار. ماهو المعدل الذي تم به االيداع C n = C 0 (1 + i) n C 5 = (1 + 0,1) 5 = 16105,100 الحل: / 1 القيمة المكتسبة: 38

39 C n = C 0 (1 + i) n C 0 = C n (1 + i) n C0 = (1 + 0,1 ) -5 = 12418,426 / 2 القيمة الحالية المقابلة لقيمة مكتسبة ب دينار. 3/ مدة االيداع: C n = C 0 (1 + i) n log C n = log C 0 + n. log(1+i) n= [log C n log C 0 / log(1+i)] سنوات n=9 n= [log23580 log 10000/log (1+0,1)] = 9 4/ معدل االيداع C n = C 0 (1 + i) n (1+i) n = C n /C 0 i= (C n /C 0 ) n/1 1 i = (17821/10000) 1/5 1 = 0,1225. i= 12, 25% 3. حساب القيمة المكتسبة في حالة وجود عدد غير صحيح من الفترات C n = C (1 + i) n في بناء الصيغة 0 نعتبر n عدد صحيحا. غير انه في الواقع n يمكن أن يكون كسر )مثال 5 سنوات و 4 أشهر = n 5.)04/12 + حساب القيمة المكتسبة في هذه الحالة ممكن عبر حلين : C = C (1 + i) n بالنسبة للجزء الصحيح الذي يطبق عليه - استخدام الصيغة العامة n 0 حساب الفائدة المركبة طريقة الفائدة البسيطة للجزء الكسري من n هذا الحل هو يسمى الحل العقالني. C = C (1 + i) n لكل من الجزء الصحيح من - استخدام الصيغة العامة n 0 n.والجزء الكسري n.. وهذا هو الحل التجاري. الحل العقالني نضع n = k+ p/q. n القيمة المكتسبة هي C k = C 0 (1 + i) k C k i p/q = C 0 (1+i) k i p/q C n = C 0 (1 + i) k + C 0 (1+i) k i p/q = C 0 (1+i) k [1+ (i p/q)] فى الجزء الكامل ل دج يودع مثال: احسب باستخدام الحل العقالني, القيمة المكتسبة لراس المال قيمته بمعدل 6 فى المائة لمدة 5 سنوات و 7 اشهر. بفائدة مركبة

40 القيمة المكتسبة هى: C n = C 0 (1+i) n (1+i) p/q C 5 = (1,06) 5. (1+ 0,06. 7/12)= 55402,53 الحل التجاري: هنا يتم توسيع نطاق استخدام الصيغة العامة اذا n غير كامل مثال: )استئناف المثال السابق( = (1,06) 5 (1,06) 7/12 = (1,338225)(1,034574) = ,71 C 5 4. المعدالت المتكافئة تكون معدالت الفائدة عادة معدالت السنوية. ولكن يمكن اعتبار فترة أقصر من السنة على سبيل المثال السداسي الفصل الشهر او اليوم. أيضا فان الفوائد يمكن ان ترسمل كل عام الفصل الشهر او اليوم وهكذا عندما يكون معدل الفائدة السنوي ونعتبر فترة تقل عن السنة فان معدل الفائدة لفترة يجب ان يحسب. معدل i, k يعكس فترة k اصغر مرة من السنة, يعادل المعدل السنوي i اذا كان نفس المبلغ المودع يجني قيمة مكتسبة فى k.n فترة مساوية للتي يحصل عليها بمعدل i في n سنة من اإليداع. ليكن C: 0 المبلغ االصلى المودع ; : i ان معدل الفائدة; i: k معدل الفائدة لفترة k مرة اصغر من السنة مع: k=2 )اذا كانت فترة الرسملة هي السداسي () k=4 اذا كانت فترة الرسملة هي الفصل(; ( =12 )اذا كانت فترة الرسملة هي الشهر(. وهكذا: C n = C 0 (1 + i) n = (1+i k ) kn i= (1+i k ) k -1 i k = (1+i) 1/k -1 مثال: احسب المعدل الشهرى; فصلى, السداسي المكافئ للمعدل السنوى. 5%. المعدل الشهرى المكافئ )12=k(: i 12 = (1,05) 1/12-1=0,004074, soit 0,407%. معدل الفصلي المكافئ )4=k( i 4 = (1,05) 1/12-1 = 0,02272 soit 1,23% ; معدل السداسي المكافئ )2=k(: i 2 = (1,05) 1/2-1=0, soit 2,47%. الرسملة المجزئة والمعدل االسمى.5 المعدل االسمى هو معدل اضافة الفائدة المركبة. على اساس يعبر عنه الفائدة الذى سنوي يأخذ, ولكنه ال ا فى االعتبار 40

41 نعتبر رسملة في 1/kالسنة. نضع: j k = k i k معدل j k هو المعدل السنوى النسبى للمعدل i m من الفترة k/1 السنة. وعلى عكس ال معدل 1 k i = 1) + i k ) الذي هو المعدل السنوى الفعلى, المعدل jk هو المعدل السنوى االسمي. jk هو المعدل السنوى االسمى فى حالة الرسملة في 1/kالسنة المرفق للمعدل السنوى الفعلى. i تسمية المعدل االسمى تشير الى انه ذا قيمة نظرية تعكس تعريفا مسبقا, ولكن ليس دائما فى الواقع االقتصادى. وقد: j k = k[(1 + i) 1/k 1] اذن i = (1 + j k /k) k 1 هو المعدل السنوى االسمى فى حالة i = (1 + 1%) 12 1 = 12,68% j 12. j 12 مثال. -1 اذا كان 1% = 12 i فان 12%. = 12 1% = رسلمة شهرية. المعدل السنوى الفعلى يعادل ما يلى: 2- فى حالة الرهن العقارى, يذكر ان " معدل الفائدة هو 10% تدفع كل ثالثة اشهر". ما هو معدل الفائدة السنوية الفعلية? وما هو معدل الفائدة االسمى? ما هو معدل الفائدة الفصلي? 2,5% فى الفصل.2,5% = 4 i. الشرط يعنى ان معدالت الفائدة هي %10 هو اذن المعدل االسمى: 10%. = 4 j معدل الفائدة السنوية الفعلية هو 10,38% = 2,5%) + (1 = i < 1 m فى حالة رسملة لسنتين مثال(. المعدل الفعلي هو اعلى من المعدل االسمى )باستثناء اذا كان سرد مختلف المعدالت للمعدل.12% التكرار (m) التكرار في السنة المعدل المتناسب J m المعدل االسمي المعدل الفعلي سنة 1 12% 12,000% 12,000% سداسي 2 12% 6,000% 12,360% فصل 4 12% 3,000% 12,550% شهر 12 12% 1,000% 12,683% يوم % 0,033% 12,747% اذا كان المعدل االسمى هو,12%. المعدل السنوى الفعلى هو 12% مع رسملة سنوية و % 12,36 مع رسملة سداسية, الخ. 41

42 6. القيمة الحالية لرأسمال يستثمر لعدد كامل من الفترات التحديث هو عملية عكسية ل رسمل لة. تمكن من تحديد القيمة المكتسبة من الراس المال معينة قبل التاريخ n تاريخ االستحقاق. C0 = Cn (1+i) -n فى فترة C n 9%, مثال: ما هي القيمة الحالية بمعدل لمبلغ قيمته دج مستحق بعد 12 عاما. C 0 = C 12 (1+i) -12 = (1,09) -12 = (0,355534)= ,04 DA فى حساب االستثمارات. والواقع ان االستثمار عادة يقرر االستثمار التحديث يعرف تطبيقات واسعة بعد دراسة تقنية و اقتصادية و التي تبين التدفقات المالية التي يجلبها االستثمار مقابل كلفة االستثمار مثال: مبلغ مدفوع نقدا من اجل االستثمار فى عام 2000= دج. الجدول الزمنى للتدفقات النقدية المستردة نتيجة النشاط في نهاية السنة الخامسة من المفترض أن االستثمار يأخذ القيمة صفر و انه ليس هنا تدفق صرفه تم تحصيله. والسؤال المطروح هو ما إذا كان معدل االستثمار 8 مربح ماليا. التحديث يسمح بجمع التدفقات المحصلة في كل سنة و ومقارنة المجموع المحصل لحظة االستثمار. أنه يتيح بمعدل معين بمقارنة التدفقات في فترات مختلفة. عند الدفع في السنة 5 السنة 4 السنة 3 السنة 2 السنة الفيمة االولية -5 (1,09) -4 (1,09) -3 (1,09) -2 (1,09) -1 (1,09) معدل التحديث 4587, , , ,55 القيمة المحدثة 42

43 , , , ,15 القيمة المحدثة المتراكمة بمعدل التحديث هو 9%. العملية االستثمارية ليست مربحة من الناحية المالية ألنه في مقابل صرف األولي ب دج لم يتم استرجاع سوى دج. 7. الخصم بفائدة مركبة يطبق هذا الخصم إلى على االصول ذات آجال استحقاق تزيد عن سنة واحدة. في حالة الفائدة البسيطة يتم الحصول على خصم بمقدار الفارق بين القيمة االسمية والحالية. ال يزال هذا المبدأ ساري المفعول في حالة الفائدة المركبة يتغير فقط طريقة حساب القيمة الحالية. الخصم هو الفرق بين القيمة االسمية لألصل والقيمة الحالية بفائدة مركبة. الفرق بين الخصومات التجارية والصحيحة يكون منخفضا في حالة الفائدة البسيطة. لكن االمر غير ذلك في الفائدة المركبة اذ يكون هذا الفرق كبير بالنظر المدد الكبيرة. في هذه الحالة فإن مبدأ الخصم التجاري يعاقب بشكل مفرط بائع االصل لهذا يفضل أن يكون بديال هو الخصم الصحيح) العقالني(. ليكن V: القيمة االسمية لألصل E: قيمة الخصم بفائدة مركبة a: القيمة الحالية لألصل i: معدل الخصم n: مدة الخصم بالسنوات. بحكم التعريف الخصم يساوي: E= V- a a = V/(1+i) n = V(1+i) -n E= V[1- (1+i) -n ] يصبح: مثال: حدد بمعدل 6 الخصم والقيمة الحالية الصل دج يدفع في 4 سنوات قيمته االسمية تساوي القيمة الحالية: a = V (1+i) -n = (1+0,06) -4 =396046,83 E= V a = ,83 = ,17 43

44 8. معادلة رأس المال إلى الفائدة المركبة وخالفا للفائدة بسيطة التكافؤ بالفائدة المركبة هو الصحيح بغض النظر عن التاريخ المختار له. في الواقع إذا تساوت اثنتين أو أكثر من القيم الحالية في تاريخ معين هذه المساواة تكون فعالة مرة أخرى في وقت محدد لقيم مختلفة مما سبق التكافؤ بين أصلين يعتبر ان اصلي متكافئين اذا في تاريخ معين تتساوى قيمتهما الحاليتين بفائدة مركبة. ليكن V 1 و V: 2 القيم االسمية لكل من االصلين 1 و 2. n 1 و n: 2 عدد الفترات التي تفصل االصلين من تاريخ االستحقاق. :i المعدل يثبت التكافؤ في اللحظة الصفر اذا كانت القيم الحالية متساوية اي: V1 (1+i) -n1 = V2 (1+i) -n2 تهتم مسائل التكافؤ بشكل عام في البحث عن القيم V 1 أو V 2 أو n 1 n 2 يرغب مدين في تسديد دين في غضون ثالث سنوات قيمة الدين دج مستحق في 6 سنوات. المطلوب تحديد المبلغ الذي سيدفع بمعدل 10. مثال: (1,1) -6 = V 2 (1,1) -3 V 2 = (1,1) -6 /(1,1) -3 = (1,1) -3 = 37565,74. - يقرر مدين تسديد الديون قيمتها دج مستحقة في ست سنوات بمبلغ دج. المطلوب تحديد تاريخ التسديد. المعدل (1,1) -6 = 16528,93(1,1) -n2 44

45 -n 2 log(1,1) = log log(1,1) - log16528,93 n 2 = [6log(1,1) + log16528,93 - log 20000]/log(1,1) = تكافؤ رأس المال مع مجموع من رؤوس االموال يكافئ اصل مجموعة من االصول اذا في تاريخ معين اذا تتساوى قيمته الحالية مع مجموع القيم الحالية بفائدةمركبة لمجموعة االصول. نعين : V: القيمة االسمية للمبلغ الوحيد. n: عدد الفترات وبعد ذلك يتم دفع مبلغ مقطوع..k=1,.,p المال مع رأس القيمة االسمية لk V: k k=1,,p مع k عدد الفترات التي يتم دفع الراس المال n: k i: معدل التقييم ومجموعة االصول هي: التكافؤ في للحظة الصفر بين افلصل الوحيد V (1+i) -n = Vk (1+i) -nk مالحظة: المسائل المنشأة علىأساس المساواة بين القيمة الحالية لالصل ا وحيل د مع مجموع القيم الحالية لمجموعة االصول تشمل عموما البحث عن القيمة االسمية لالصل الوحيد أو في بعض األحيان تاريخ استحقاقه. في هاتين الحالتين االستحقاق الذي يتم تحديده هو استحقاق مشتر. 10 قيمة االسمية للدفعة واحدة تستحق في 7 سنوات موجهة لتعويض مثال: حدد بمعدل الديون التالية: n 1 n 2 n 3 =2 ;.V 1 = 1000 =4 ;.V 2 = 200 =6 ; = 3000 V 3 V (1,1) -7 = 1000(1,1) (1,1) (1,1) -6 التكافؤ في اللحظة الصفر يكتب: للحد من التغيرات الالزمة لحل هذه المعادلة ويمكن التعبير عن هذا التكافؤ في التاريخ اين المجهول لم يتم تحديثه اي في اللحظة 7. كما يجب تحويل المدد وفقا لذلك. V = 1000(1,1) (1,1) (1,1) = 7572,51D حالة االستحقاق المتوسط 45