Kvant 2. Notesamling....Of doom!

Transkript

1 Kvant 2 Notesamling...Of doom!

2 Indhold 1 To-partikelsystemer 1 2 Brint 1 3 Perturbation Udartet perturbationsteori Zeeman-effekt Tidsafhængig perturbation Variationsprincippet 5 5 WKB-approximation TM Tunnelering Snedige ting Symmetriske perturbationsmatricer Harmonisk oscillator Feynman-Hellmannteoremet Slater-determinant Kommutatorer for brint

3 1 To-partikelsystemer For skelnelige partikler i tilstande ψ a og ψ b kan den samlede bølgefunktion skrives som: ψ(r 1, r 2 ) = ψ a (r 1 )ψ b (r 2 ) (1) For ikke-skelnelige partikler ser det straks værre ud (dam dam dammmmm). De skal opfylde symmetrikravet (5.14): ψ(r 1, r 2 ) = ± ψ(r 2, r 1 ) (2) (plus for bosoner (som er symmetriske) og minus for fermioner (som er antisymmetriske)). Generelt kan en bølgefunktion skrives som et produkt af en rumdel φ(r) og en spindel χ(s) som kan være individuelt symmetriske eller antisymmetriske. Afhængigt af dette bliver den samlede bølgefunktion: symmetrisk symmetrisk = symmetrisk symmetrisk antisymmetrisk = antisymmetrisk antisymmetrisk antisymmetrisk = symmetrisk For systemer med to fermioner (ihvertfald med to elektroner), er det er snedigt at huske på at: Tilstande med antisymmetrisk spindel kaldes singlet-tilstande Tilstande med symmetrisk spindel kaldes triplet-tilstande 2 Brint Oversigt over egenværdier L, S og J-operatoerer på brint: 1

4 L 2 l m l = 2 l(l + 1) l m l L z l m l = m l l m l L ± l m l = (l m l )(l ± m l + 1) l (m l ± 1) S 2 s m s = 2 s(s + 1) s m s S z s m s = m s s m s S ± s m s = (s m s )(s ± m s + 1) s (m s ± 1) J 2 j m j = 2 j(j + 1) j m j J z j m j = m j j m j J ± j m j = (j m j )(j ± m j + 1) j (m j ± 1) -hvor J L + S er god at bruge ved spin-orbit-kobling. Kvantetallene kan kun antage bestemte værdier: n: 1, 2, 3,... l: 0, 1,..., n 1 m l : l, l + 1,..., l s: 0, 1/2, 1, 3/2,... m s : s. s + 1,..., s j: l s, l s + 1,..., l + s m j : j. j + 1,...j Relevante kommutatorer er opgivet i afsnit 6.5! 3 Perturbation Man pertuberer når hamiltonoperatoren for et kendt system (med hamiltonoperator Ĥ0 ) ændres en lille smule Ĥ0 Ĥ0 + Ĥ. Vi skal vist kunne udregne førsteordenskorrektionerne til både energier (E 1 n) og bølgefunktioner (ψ 1 n) og andenordenskorrektioner til energier (E 2 n). Det er ikke så slemt hvis energiniveauerne ikke er udartede: Førsteordensperturbation af energien findes med (6.9) fra Griffiths: E 1 n = ψ 0 n Ĥ ψ 0 n (3) 2

5 Andenordensperturbation af energien findes ved (6.15): E 2 n = m n ψ 0 m Ĥ ψ 0 n 2 E 0 n E 0 m (4) Til beregning af førsteordensperturbationer til bølgefunktioner kan jeg personligt anbefale ligning (6.13): ψ 1 n = m n 3.1 Udartet perturbationsteori ψm 0 Ĥ ψn 0 En 0 Em 0 ψm 0 (5) Det ser straks værre ud med udartet perturbationsteori - Så er man nødt til at bruge (6.27) som siger: E 1 ± = 1 2 (W aa + W bb ± (W aa W bb ) W ab 2 ) (6) - hvor W erne er defineret som perturbationens matrixelementer i basen af ψ er, dvs. W ij ψ 0 i Ĥ ψ 0 j. Det er dermed ulejligheden værd at udtrykke Ĥ i en basis hvor den er diagonal da dette vil betyde at W ab = 0, hvilket gør (6) mere overskuelig. Dette kan gøres på to måder: Hvis man er 1337 hax0r til at regne matrixelementer, kan man benytte sig af, at en matrices egenværdier er uafhængige af, hvilken basis de udtrykkes i, og skifte base til en god linearkombination TM af ψa 0 og ψb 0, ved at løse egenværdiligningen: ( Waa W ab W ba W bb ) ( α β ) ( = E 1 α β ) (7) (Dette er ækvivalent med at løse ligning (6.22) og (6.24) i Griffiths hvis man bedre kan lide det) Hvis man er snedig kan man bruge moralen fra teoremet på side og finde en operator  som kommuterer med både Ĥ0 og Ĥ og finde en linearkombination af egentilstande til Ĥ 0 som også er egentilstand til  (husk at alle linearkombinationer af egentilstande til Ĥ 0 automatisk er egentilstande til Ĥ 0 ). Ofte er det snedigt at anvende paritetsoperatoren A: Âf(x) = f( x) (som har egenværdierne ±1, da Â2 f(x) = f(x)). Endnu en grund til at paritetsoperatoren er et kløgtigt valg er at [Â, Ĥ0 ]f(x) = (V ( x) V (x))f( x), dvs. de kommuterer for symmetriske potentialer. Eksempelvis er bølgefunktionen i opgave 6.7 udtrykt ved ψ(x) = αe (ikx) + βe ( ikx), og man kan med lidt snilde se at for at ψ kan være egenfunktion for  skal koefficienterne opfylde β = ±α. Dette trick er absurd smart, og det kan virkelig anbefales at lære det. 3

6 3.2 Zeeman-effekt Zeeman-effekten er den opsplitning af energiniveauerne i atom som forekommer når det placeres i et eksternt magnetisk felt. Helt generelt for Zeeman-effekt er perturbationen givet ved Ĥ Z = (µ l + µ s ) B ext, hvor µ s = e m S, µ l = e 2m L. Man taler om stærk eller svag Zeeman-effekt afhængigt af forholdet mellem det interne (fine structure) og eksterne magnetiske felt: Der er stærk Zeeman-effekt hvis Der er svag Zeeman-effekt hvis Hvor B int = 1 e 4πɛ 0 mc 2 a 12T 3 B ext B int B ext B int Svag Zeeman Gode kvantetal: n, l, j og m j, Ved svag Zeeman-effekt dominerer det interne magnetfelt (finstrukturen) og det eksterne magnetfelt behandles derfor som perturbationen. Dermed er E 0 givet ved den almindelige grundenergi for brint (ligning 6.67): E nj = 13.6eV n 2 [1 + α2 n 2 ( n )] j + 1/2 3/4 De voksne (Griffiths, ligning 6.76) siger at førsteordensperturbationsenergien findes ved: [ ] EZ 1 = µ Bg J B ext m j, hvor µ B e 2m og g J 1 + j(j+1) l(l+1)+3/4 2j(j+1) Stærk Zeeman Gode kvantetal: n, l, m l og m s, Ved stærk Zeeman-effekt dominerer det eksterne magnetfelt og det interne magnetfelt betragtes som perturbationen. Altså er E 0 givet ved den normale grundtilstandsenergi for brint (uden finstruktur) plus energien fra Ĥ Z, dvs. E nml m s (8) = 13.6eV n 2 + µ B B ext (m l + 2m s ) (9) Igen har de voksne (ligning 6.82) udregnet førsteordensperturbationsenergien for os: E 1 fs = 13.6eV n 3 α 2 [ ] 3 l(l + 1) 4n ml m s l(l + 1/2)(l + 1) } {{ } =1, for l=0 4

7 Middel-Zeeman tjah... se side Tidsafhængig perturbation I tidsafhængig perturbationsregning afhænger ændringen af hamiltonoperatoren af tiden, Ĥ (t). De voksne (Griffiths) siger at diagonalelementerne i perturbationen ofte forsvinder, Ĥ aa = Ĥ bb = 0. Hvis dette er tilfældet, og hvis den upertuberede tilstand skrives som Ψ(t) = c a (t)ψ a e ieat/ +c b (t)ψ b e iebt/, kan man ved hjælp af den tidsafhængige schrödingerligning og lidt fancy footwork TM deducere sig frem til at koefficienterne opfylder: ċ a = i Ĥ abe iω0t, ċ b = i Ĥ bae iω0t (10) hvor ω 0 E b E a. I tilfælde af at Ĥ aa, Ĥ bb at bruge 0 ser det hele straks sortere ud og man er nødt til Og ikke nok med det! Ydermere er ċ a = i (c aĥ aa + c b Ĥ abe iω0t ) (11) ċ b = i (c bĥ bb + c a Ĥ bae iω0t ) (12) Ved at integrere (10) kan man få et fint udtryk for c b som funktion af tiden. Tidspunktet hvor perturbationen starter kaldes t 0 og det antages at c a (t 0 ) = 1, c b (t 0 ) = 0. Koefficienterne skal naturligvis opfylde at c a 2 + c b 2 = 1. Anyway: c (1) b (t) = i t t 0 Ĥ ab(t )e iω0t dt (13) Det er praktisk hvis man skal udregne sandsynligheden for at måle et system i tilstand b som funktion af tiden, da denne er P (1) a b (t) = c b(t) 2 (14) til første orden. Skal man finde anden orden eller højere er der en fin guide på side Variationsprincippet Variationsprincippet er en fantastisk metode til at estimere en øvre grænse for grundtilstandsenergien for et system uden en kendt bølgefunktion, som DU kan prøve derhjemme! Det eneste du skal bruge er en normaliseret testfunktion 5

8 ψ test, som i princippet kan antage en hvilken som helst form, og systemets hamiltonoperator. Variationsprincippet (ligning 7.1 i bogen) siger da: E gs ψ test Ĥ ψ test Ĥ (15) hvor det er værd at skrive sig bag øret at Ĥ = T + V ( T og V er forventningsværdierne af hhv kinetisk og potentielenergi for testfunktionen). Dermed er E gs ψ test T ψ test + ψ test V ψ test } {{ } } {{ } T V (16) Ofte vælger man at bruge en gaussisk funktion, ψ test = Ae bx2, A = ( ) 2b 1/4 π, som altid opfylder T = 2 b 2m. Da variationsprincippet giver en øvre grænse for grundtilstandsenergien vil det være kløgtigt, strategisk og smart at minimere højresiden af (16) ved at differentiere mht b. 5 WKB-approximation TM WKB er en metode til at approximere bølgefunktioner i potentialer som afhænger af x. Den virker fortræffeligt hvis: bølgefunktionens amplitude ændrer sig laaaaangsomt man ikke approximerer i nærheden af klassiske turning points, dvs hvor E V man gør det rigtigt Selve approximationen er udtrykt i ligning 8.10 i bogen: ψ(x) C e ± i p(x)dx, p(x) = 2m(E V (x)) (17) p(x) I nærheden af disse turning points er man nødt til at anvende nogle lappefunktioner som er djælvelsk besværlige at arbejde med. Heldigvis har Griffiths udført en del af fodarbejdet i et par eksempler i afsnit 8.1 og 8.3 og udregnet nogle betingelser som skal opfyldes i forskellige potentialer: Potentialer med to lodrette vægge: -med koordinater x = 0 og x = a (ligning 8.16): a 0 p(x)dx = nπ (18) Potentialer med én lodret væg -med koordinat x = 0 og turning point i x = x 2 (ligning 8.47): x2 0 p(x)dx = (n 1/4)π (19) 6

9 Potentialer uden lodrette vægge -med turning points i x = x 1 og x = x 2 (ligning 8.51): x2 5.1 Tunnelering x 1 p(x)dx = (n 1/2)π (20) Hvis man er i besiddelse af en linearkombination af snilde og snarrådighed, som ingen grænser kender, kan man også bruge WKB-metoden til at beregne tunnelleringskoefficienter: For en partikel som i området 0 < x < a har E < V kan tunneleringssandsynligheden findes (8.22) i Griffiths: 6 Snedige ting T = e 2γ, γ = 1 a 6.1 Symmetriske perturbationsmatricer Fra problem 7.15: I perturbationssærtilfældet hvor ψ a Ĥ ψ b = ψ b Ĥ ψ a = h således at den samlede hamiltonoperator er ( ) Ea h Ĥ = Ĥ0 + Ĥ = h Eb 0 2m(V (x) E)dx (21) bliver perturbationsenergierne E 1 a = E 1 b = 0, og: h 2 Ea 2 = (E b E a ), h 2 E2 b = (E b E a ) (22) 6.2 Harmonisk oscillator I harmoniske potentialer er det ofte givtigt at skrive x om til hæve/sænkeoperatorer, dvs benytte at: x = 2mω (â + + â ), â + ψ n = n + 1 ψ n+1 â ψ n = n ψ n 1 Ved høje potenser af x kan det dog være at man bliver gladere for at bruge tricket beskrevet i afsnit

10 6.3 Feynman-Hellmannteoremet Feynman-Hellmannteoremet ser sådan her ud hvis både ψ n, Ĥ og E n kan afhænge af en parameter λ: E n λ = ψ n Ĥ λ ψ n (23) Man kan ofte få nogle fornuftige ligninger hvis man differentierer efter parametre som kun ét led i Ĥ afhænger af. Et glimrende eksempel er vores allesammens harmoniske oscillator, der som bekendt har Ĥ = 2 [ 2 2m x + 1 ] [ 2 mω2 x 2 og E n = ω(n + 1/2). (24) Hvis man gerne vil beregne forventningsværdien af potentialet kan man enten være hardcore og skrive x 2 -leddet ud som hæve/sænkeoperatorer, eller man kan være snedig og differentiere mht ω, da det første led i Ĥ så forsvinder. Dette giver: E n = (n + 1/2) ω (25) Ĥ ω = mωx2 = 2 V ω, (26) V = ω 2 ψ n Ĥ ω ψ n V = ω 2 (n + 1/2) = 1 2 E n (27) -Især hvis ens potentiale afhænger af f.eks. x 128 vil man hellere bruge denne metode end at omskrive V (â + + â ) 128 (avavav). 6.4 Slater-determinant Hvis man skal konstruere en antisymmetrisk rumdel ud fra et større antal bølgefunktioner end man umiddelbart kan overskue, kan man opskrive den som Slater-determinanten: ψ(r 1, r 2,, r n ) = ψ a (r 1 ) ψ b (r 1 ) ψ n (r 1 ) ψ a (r 2 ) ψ b (r 2 ) ψ n (r 2 ) ψ a (r n ) ψ b (r n ) ψ n (r n ) (28) 6.5 Kommutatorer for brint Snedige kommutatorer: [L S, L] = i (L S) [L S, S] = i (S L) [L S, J] = [L S, L 2 ] = [L S, S 2 ] = [L S, J 2 ] = 0 8