Oversigt [LA] 6, 7, 8
|
|
- Silje Skov
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller princippet Beregn invers matrix Calculus Uge
2 To ubekendte grafisk [LA] 6 Lineære ligningssystemer Figur y 2x y = 1 (1, 1) skæringspunkt 1 x x + y = 2 To ligninger i to ubekendte Calculus Uge
3 Ligninger på matrix form [LA] 6 Lineære ligningssystemer Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås a 11 x a 1n x n = b 1 a 21 x a 2n x n = b 2 a m1 x a mn x n = b m På matrix form A = (a ij ) m n-matrix, b = (b i ) m-søjle, x = (x j ) n-søjle Ax = b. Calculus Uge
4 Koefficient matrix Definition 6.4 Givet ligningssystemet Ax = b [LA] 6 Lineære ligningssystemer 1. A koefficientmatrix 2. b = 0 homogent system 3. b 0 inhomogent system 4. Partikulær løsning en funden løsning, fuldstændig løsning mængden af alle løsninger Calculus Uge
5 Løsningsrummet [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning Løsningsmængden til et homogent lineært ligningssystem med n ubekendte Ax = 0 er et lineært underrum N A R n kaldet løsningsrummet eller nulrummet. Dimensionen er antal frihedsgrader. dim N A Bevis Ax = 0, Ay = 0 A(x + y) = 0 Calculus Uge
6 Uendelig mange løsninger [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning 6.10 For et homogent ligningssystem Ax = 0 er følgende ækvivalent: 1. Der er en løsning Der er uendelig mange løsninger. 3. Nulrummet N A Antallet af frihedsgrader er > 0. Bevis Benyt, at et ikke-nul underrum er en uendelig mængde. Calculus Uge
7 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel x 3 = x 4 og x 1 = x x 4 og x 2 kan vælges frit. x 1 + x 2 = 0 x 3 + x 4 = 0 Calculus Uge
8 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel fortsat x 1 x 2 x 3 x 4 = x 2 x 2 x 4 = x 2 x x Løsningsrummet er span af vektorerne 1 1 0, Calculus Uge
9 Uafhængige søjler [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning 6.13 Søjlerne a 1,..., a n i en m n-matrix A er lineært uafhængige, hvis og kun hvis nulrummet N A = 0. Bevis Matrixmultiplikationen giver Ax = j x j a j Så x N A er 0, når søjlerne er lineært uafhængige. Calculus Uge
10 Løsninger og nulrum [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning 6.15 Givet en partikulær løsning u til det lineære ligningssystem med n ubekendte Ax = b så er løsningsmængden {x R n Ax = b} = u + N A Bevis Simple regneregler for matrix multiplikationen giver Au = b, Ax = 0 A(u + x) = b Calculus Uge
11 Test Løsningsmængde [LA] 6 Lineære ligningssystemer Test Betragt et inhomogent lineært ligningssystem A x = b (b 0). Hvilket af følgende udsagn er sandt (uanset hvordan A ser ud) (a) 0 er altid en løsning. (b) 0 er aldrig en løsning. (c) b er altid en løsning. Løsning Gør prøve Afkryds det sande: A 0 = 0 b (a) (b) (c) Calculus Uge
12 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel 6.17 x 1 + x 2 = 1 x 3 + x 4 = 2 1. x 3 = 2, x 1 = 1 og x 2 = x 4 = 0 2. Giver en partikulær løsning (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (1, 0, 2, 0) Calculus Uge
13 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel fortsat x 1 x 2 x 3 x 4 = 1 x 2 x 2 2 x 4 = x x x Løsningsmængden er (1, 0, 2, 0) plus en vilkårlig vektor fra underrummet af alle linearkombinationer af vektorerne ( 1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1) Calculus Uge
14 Konsistens [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning 6.18 Det lineære ligningssystem med n ubekendte Ax = b har en løsning, hvis og kun hvis b Span(a 1,..., a n ), altså b er en linearkombination af søjlerne i koefficientmatricen. Bevis Matrixmultiplikationen giver en linearkombination af søjler Ax = j x j a j = b Calculus Uge
15 Søjlerum og rang [LA] 6 Lineære ligningssystemer Definition For en m n-matrix A er søjlerummet R A = Span(a 1,..., a n ) underrummet i R m udspændt af søjlerne i A og rækkerummet R A T = Span(a 1,..., a m ) underrummet i R n udspændt af rækkerne i A. Dimensionen af søjlerummet kaldes rangen rang A = dim Span(a 1,..., a n ) Calculus Uge
16 3 ligninger 4 ubekendte [LA] 7 Gauss elimination Eksempel rækkereduktion 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 3x 1 2x 2 4x 3 3x 4 = 20 2x 1 + 5x x x 4 = 34 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 1 + 5x x x 4 = 34 Calculus Uge
17 Eliminer en ubekendt [LA] 7 Gauss elimination Eksempel fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 1 + 5x x x 4 = 34 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 2 + 8x x 4 = 18 Calculus Uge
18 Eliminer endnu en [LA] 7 Gauss elimination Eksempel fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 2 + 8x x 4 = 18 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 3 3x 4 = 6 Calculus Uge
19 En ubekendt er fri [LA] 7 Gauss elimination Eksempel fortsat Heraf 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 3 3x 4 = 6 x 3 = 3 + 3x 2 4 x 2 = 4 2x 3 6x 4 = 2 9x 4 x 1 = 8 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 4 3x 4 Calculus Uge
20 Brug matrixform [LA] 7 Gauss elimination Eksempel fortsat Løsning x 3 = x 4 x 2 = 2 9x 4 x 1 = 4 3x 4 På matrix form x 1 x 2 x 3 x 4 = 4 3x 4 2 9x x 2 4 = x x Calculus Uge
21 Eliminations strategi [LA] 7 Gauss elimination Definition 7.3 Rækkeoperationer Ombytning af to ligninger Multiplikation af ligning med tal 0 Addition af et multiplum af en ligning til en anden 1. Bevarer løsningsmængden. 2. Bringer ligningssystemet på række-echelon form, trappeform. 3. Løsningsmængden kan opskrives ved baglæns substitution. Calculus Uge
22 Skalpellen frem, fjern ubekendte [LA] 7 Gauss elimination Eksempel 7.4 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 3x 1 2x 2 4x 3 3x 4 = 20 2x 1 + 5x x x 4 = 34 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 1 + 5x x x 4 = 34 Calculus Uge
23 Skær videre [LA] 7 Gauss elimination Eksempel fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 1 + 5x x x 4 = 34 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 2 + 6x x 4 = 18 Calculus Uge
24 Videre [LA] 7 Gauss elimination Eksempel fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 2 + 6x x 4 = 18 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 4 = 6 Calculus Uge
25 Afslut bagfra [LA] 7 Gauss elimination Eksempel fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 4 = 6 Heraf x 4 = 2 x 2 = 4 2x 3 6x 4 = 16 2x 3 x 1 = 8 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 2 Calculus Uge
26 En fri tre bundne [LA] 7 Gauss elimination Eksempel fortsat Løsning x 4 = 2 x 2 = 16 2x 3 x 1 = 2 På matrix form x 1 x 2 x 3 x 4 = x 3 x 3 = x Calculus Uge
27 Rækkeoperationer reduceret matrix [LA] 7 Gauss elimination Definition 7.5 Rækkeoperationer på en matrix Ombytning af to rækker Multiplikation af række med tal 0 Addition af et multiplum af en række til en anden Bringer matricen på (reduceret) række-echelon form (trappeform), 1 på pivot indgange 0 0 1?? 0?? ?? Calculus Uge
28 Strategi på matrix form [LA] 7 Gauss elimination Bemærkning 7.6 Fra et lineært ligningssystem tilordnes en augmenteret matrix Ax = b (A b) Rækkeoperationer på et ligningssystem svarer til rækkeoperationer på den augmenterede matrix. Det reducerede ligningssystem opskrives fra den reducerede matrix. Calculus Uge
29 Strategi på matrix form [LA] 7 Gauss elimination Eksempel (7.4 igen) 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 3x 1 2x 2 4x 3 3x 4 = 20 2x 1 + 5x x x 4 = Calculus Uge
30 Øvelse gør mester [LA] 7 Gauss elimination Eksempel fortsat Calculus Uge
31 Atter øvelse [LA] 7 Gauss elimination Eksempel fortsat Calculus Uge
32 Afslut elegant [LA] 7 Gauss elimination Eksempel fortsat Det reducerede ligningssystem x 1 = 2 x 2 + 2x 3 = 16 x 4 = 2 Calculus Uge
33 En fri tre bundne [LA] 7 Gauss elimination Eksempel fortsat Løsning x 4 = 2 x 2 = 16 2x 3 x 1 = 2 På matrix form x 1 x 2 x 3 x 4 = x 3 x 3 = x hvor x 3 vælges frit. Calculus Uge
34 Struktur er sagen [LA] 7 Gauss elimination Sætning 7.8 Givet et ligningssystem, hvor der er flere ubekendte end ligninger. 1. Hvis systemet er homogent, så har det uendelig mange løsninger. 2. Hvis systemet er konsistent, så har det uendelig mange løsninger. Bevis Den reducerede koefficientmatricen har mindst 1 pivotfri søjle ?? 0?? ?? Calculus Uge
35 Konsistens [LA] 7 Gauss elimination Sætning 7.10 Det inhomogene ligningssystem Ax = b er konsistent, hvis og kun hvis række-echelon formen af den augmenterede matrix (A b) ikke har en pivot i sidste søjle. Bevis Række-echelon formen 0 0 1?? 0?? c ?? c c r giver løsning x ji = c i og øvrige x j = 0. Calculus Uge
36 Test ligningssystem [LA] 7 Gauss elimination Test Et homogent lineært ligningssystem med 4 ubekendte og 3 ligninger har: (a) Altid højst 1 løsning. (b) Altid uendelig mange løsninger. (c) Undertiden ingen løsninger. (d) Mindst 1 løsning. Afkryds de to rigtige: Løsning Sætning 7.8 sikrer uendelig mange løsninger. (a) (b) (c) (d) Calculus Uge
37 En sjov variation Eksempel 7.12 Løs matrixligningen ( ) ( ) 2 1 x 11 x x 21 x 22 Skrives som ligningssystemet = [LA] 7 Gauss elimination ( ) x 11 + x 21 = 1 5x x 21 = 0 2x 12 + x 22 = 0 5x x 22 = 1 Calculus Uge
38 Det er rigtig sjovt [LA] 7 Gauss elimination , ( ) x 11 x 12 x 21 x 22 = ( ) Calculus Uge
39 Operationer og multiplikation [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.3 Rækkeoperationer på en m n-matrix A fremkommer ved Udfør rækkeoperationen på m m-enhedsmatricen og få en elementærmatrix E Venstre multiplicer den oprindelige matrix med den fremkomne elementærmatrix EA. Calculus Uge
40 Smart overbevisende Ombytning af to rækker ( ) ( ) 0 1 a 11 a a 21 a 22 = [LA] 8 Elementærmatricer ( ) a 21 a 22 a 11 a 12 Multiplikation af række med tal r 0 ( ) ( ) ( ) 1 0 a 11 a 12 a 11 a 12 = 0 r a 21 a 22 ra 21 ra 22 Addition af et multiplum af en række til en anden ( ) ( ) 1 r a 11 a a 21 a 22 = ( a 11 + ra 21 a 12 + ra 22 a 21 a 22 ) Calculus Uge
41 Rangformlen [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.4 For en m n-matrix A gælder: 1. Antal pivot er er rangen rang A. 2. Antal pivot er dimensionen af rækkerummet rang A T. 3. Antal af søjler uden pivot er er antal af frihedsgrader dim N A. 4. Antal frihedsgrader plus antal pivot er er antal søjler, rangformlen dim N A + rang A = n Calculus Uge
42 Enten-eller [LA] 7 Gauss elimination Sætning 8.7 En kvadratisk matrix kan ved rækkeoperationer enten føres over i identitetsmatricen eller føres over i en matrix med en nulrække nederst Bevis Matricen på reduceret trappeform 1? Calculus Uge
43 Ensidig invers er tosidig [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.8 Lad A, B være kvadratiske matricer af samme størelse. Så gælder AB = I BA = I En højre invers er også en venstre invers. Bevis Hvis AB = I har alle ligningssystemer Ax = b en løsning x = Bb. Den reducerede form af A kan da ikke have en 0-række og er derfor enhedsmatricen I. Altså findes en matrix C så CA = I. Til slut er C = C(AB) = (CA)B = B. Calculus Uge
44 Invertibel som produkt [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.10 En invertibel matrix kan skrives som et produkt af elementærmatricer. Hvis E 1,..., E k er elementærmatricer svarende til rækkeoperationer, som fører en matrix A i identitetsmatricen, så er A = E 1 1 E k 1 Bevis Der findes en følge af elementærmatricer E 1,..., E k så produktet E k E 1 A = I. Så fås, at A = E 1 1 E k 1 og da de inverse til elementærmatricer igen er elementærmatricer haves produktfremstillingen. Calculus Uge
45 Invers ved operationer [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.13 En kvadratisk matrix A er invertibel, hvis og kun hvis dens reducerede form er enhedsmatricen I. I så fald er den augmenterede matrix (A I) (I A 1 ) Den inverse matrix beregnes ved rækkeoperationer på den augmenterede matrix. Calculus Uge
46 Invers 2x2-matrix Eksempel 8.14 Løs matrixligningen, i.e. beregn invers, ( ) ( ) 2 1 x 11 x 12 = 5 3 x 21 x 22 [LA] 8 Elementærmatricer ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) Calculus Uge
47 Invers 2x2-matrix [LA] 8 Elementærmatricer Eksempel fortsat Rækkereduktionen ( ) ( ) giver den inverse ( ) 1 ( ) = Calculus Uge
48 Invers 2x2-matrix Eksempel - forsat Gør prøve ( ) 1 ( ) = [LA] 8 Elementærmatricer Udregn ( ) ( ) = ( ) Calculus Uge
Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Læs mereOversigt [LA] 6, 7, 8
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Læs mereTo ligninger i to ubekendte
Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus
Læs mereEksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens
Læs mereDefinition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereNøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Læs mereEksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge
Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereNøgleord og begreber
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereMatematik og FormLineære ligningssystemer
Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation
Læs mereMatematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet
Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem
Læs mereMatematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer
Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2016 1 / 10 Ligningssystemer og matricer Ligningssystem totalmatrix Til et ligningssystem
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereLineære ligningssystemer
enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Læs mereLineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger
enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra fortsat
Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse
Læs mereLineær algebra 1. kursusgang
Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra
Læs mereLineære ligningssystemer og Gauss-elimination
Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g
Læs mereDet Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version
Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereLINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER
LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 006 NIELSEN - SALOMONSEN INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AARHUS UNIVERSITET 006 Indhold Forord 5. Vektorer og linearkombinationer 7. Basis og dimension
Læs mereNøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mereMatematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Læs mereMATRICER LINEÆRE LIGNINGER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af programmerne TI-Nspire og Maple 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 5 udgave 05 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan dels kan løse lineære
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereMATRICER LINEÆRE LIGNINGER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af programmerne TI-Nspire og Maple 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 x x x x 4 udgave 04 FORORD Dette notat giver en gennemgang af de matrixoperationer,
Læs mereUnderrum - generaliserede linjer og planer
1 Om miniprojekt 2 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer. Systematisk information om grafer/netværk (som i Dagens anvendelse kursusgang 9): Flyforbindelser. Skemalægning.
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix
Læs mereLineær Algebra, kursusgang
Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.
Læs mereEksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10
Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,
Læs mereOversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3
Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:
Læs mereForelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling
Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 6. juni, 26. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af nummererede sider med ialt 5 opgaver. Alle opgaver er multiple
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereLineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed
Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a 1,..., a p R n. En vektor v = c 1 a 1
Læs mereDesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix
Læs mereDesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination
DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mere(Prøve)eksamen i Lineær Algebra
(Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.
Læs mereMatematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C
Læs mereForslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:
Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning
Læs mere(Prøve)eksamen i Lineær Algebra
(Prøve)eksamen i Lineær Algebra Maj 016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereDesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereLineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære
Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereDesignMat Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).
Læs mereMatematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed
Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 8 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a1,...,
Læs mere1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.
SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereDesignMat Uge 11. Vektorrum
DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en
Læs mereIndhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer
Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n, C n Matricer 8 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 8 5 Invers matrix 6 6 Transponeret og adjungeret matrix 9 Række- og søjleoperationer Lineære
Læs mereMATRICER LINEÆRE LIGNINGER. Usikkerhedsberegning
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER LINEÆRE LIGNINGER Usikkerhedsberegning med inddragelse af lommeregner (TI89) og programmerne TI-Nspire og Mathcad 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 = x x x x. udgave 0 FORORD Dette
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Fredag
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs mereMatematik H1. Lineær Algebra
Matematik H Forelæsningsnoter til Lineær lgebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af smus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk fdeling ugust ii oplag, juli 4 Forord Gennem en særlig aftale varetages
Læs mereDefinition 13.1 For en delmængde af vektorer X R n er det ortogonale komplement. v 2
Oersigt [LA],, Komplement Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på ektor Projektion på basis Kortest afstand August 00, opgae 6 Tømrermester Januar
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereLineære ligningssystemer
enote 6 1 enote 6 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Læs mere2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010
1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik
Læs mereVektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor
enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. januar,
Læs mereUndervisningsnotat. Matricer
Undervisningsnotat. Matricer januar, C Definition En matrix er en ordnet mængde tal opstillet i m rækker og n søjler. Matricen A kunne være defineret som vist nedenfor. Hvert element i matricen er forsynet
Læs mereLineær Algebra eksamen, noter
Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,
Læs mereMatrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Læs mereNote om endelige legemer
Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på
Læs mereMATRICER LINEÆRE LIGNINGER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af lommeregner (TI89) og programmerne TI-Nspire og Mathcad 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 x x x x 3 udgave 03 FORORD Dette notat giver en
Læs mereCarl Friedrich Gauß ( ), malet af Christian Albrecht Jensen. Lineær algebra. Ib Michelsen
Carl Friedrich Gauß 777 8, malet af Christian Albrecht Jensen Lineær algebra Ikast Ikast Version Hæftet her skal ses som et supplement til Klaus Thomsens forelæsninger på Aarhus Universitet og låner flittigt
Læs mereMATRICER LINEÆRE LIGNINGER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 6. udgave 2016 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode dels uden regnemidler dels med regnemidler.
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Torsdag den 8. august, 2. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Læs mereMATRICER LINEÆRE LIGNINGER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 6 udgave 06 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode dels uden regnemidler
Læs mereMat10 eksamensspørgsmål
Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002
Læs mereDesignMat Uge 11 Vektorrum
DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation
Læs mereDesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.
er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).
Læs mereMatematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer
Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 12 Matrixmultiplikation Am n = [aij ], Bn
Læs mereEksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 4. januar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereMASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
Læs mereDiagonalisering. Definition (diagonaliserbar)
1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og
Læs mereMatricer og Matrixalgebra
enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mere