Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
|
|
- Erling Graversen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside Juni Oktober Juni Oktober Januar Juni Andrew Swann Revision:.6, 27. juli 29.
2 Typisk forside SYDDANSK UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Lineær Algebra - MM55 Fredag d. 9. juni 29 kl Opgavesættet består af 5 opgaver med 2 delspørgsmål som tilsammen tæller points. Hver delopgave tæller 5 point. Beståelse kræver opnåelse af mindst 5 points. Eksamen varer 4 timer hvor alle sædvanlige hjælpemidler, bøger, noter samt lommeregner er tilladte. Der lægges vægt på, at de benyttede metoder og sætninger fremgår af besvarelsen, og at svarene begrundes. Bemærk, at senere delspørgsmål i en opgave ofte kan besvares uden at alle tidligere spørgsmål er besvaret. Det er således tilladt at bruge resultater fra tidligere delspørgsmål selvom disse ikke er besvaret.
3 Juni 27 3 Juni 27 Opgave I denne opgave må din lommeregners eventuelle program til direkte at finde determinanter ikke anvendes. Det samme gælder for et eventuelt program til at løse ligningssystemer. 3 2 A = 3 3 a og betragt det lineære ligningssystem 8 Ax = 2, x x = x 2 R 3 () b x 3 hvor a, b R. (a) Beregn determinanten af A. (b) For hvilke værdier af a, b har ligningssystemet () præcis én løsning. (c) For hvilke værdier af a, b har ligningssystemet () ingen løsning. (d) For hvilke værdier af a, b har ligningssystemet () uendeligt mange løsninger. Bestem i dette tilfælde den fuldstændige løsning. (e) Bestem rangen af A og dimensionen af nulrummet for A, N(A). (Bemærk at svaret i begge tilfælde afhænger af a). Opgave 2 I denne opgave må din lommeregners eventuelle program til at invertere matricer ikke anvendes. P 3 være vektorrummet af alle reelle polynomier af grad højst 2. Betragt afbildningen L: P 3 P 3 givet ved L(p(x)) = xp (x) + p(x), p P 3. (a) Vis at L er en lineær transformation. Betragt den ordnede basis E = [, x, x 2 ] for P 3.
4 4 (b) Bestem repræsentationsmatricen A for L mht. E. (c) Find dimensionen af billedrummet, L(P 3 ) og dimensionen af kernen for L, ker(l). F = [x +, x, x 2 ] være en anden ordnet basis for P 3. (d) Find overgangsmatricen S, som repræsenterer basisskiftet fra F til E. (e) Bestem repræsentationsmatricen B for L mht. F. Opgave 3 være to vektorer i R 3. v = og w = (a) Vis at v og w er lineært uafhængige i R 3. V være underrummet udspændt af v og w, dvs. V = Span(v, w). (a) Find en ortonormalbasis for V mht. det sædvanlige indre produkt i R 3 : hvor x, y = x y + x 2 y 2 + x 3 y 3, x y x = x 2 og y = y 2. x 3 y 3 (b) Bestem den ortogonale projektion af u på V, hvor u =. (c) x R 3. Vis at {v, w, x} er en basis for R 3, hvis og kun hvis x / V. Opgave 4 I denne opgave må din lommeregners eventuelle program til direkte at bestemme egenværdier og/eller egenvektorer ikke anvendes. Betragt matricen A givet ved: A = 2 2 5
5 Juni 27 5 (a) Gør rede for (uden at bestemme egenværdierne for A), at A kan diagonaliseres. (b) Find alle egenværdier for A samt de tilhørende egenrum. (c) Bestem en ortogonal matrix U, så U T AU = D, hvor D er en diagonal matrix. (d) B og C være to n n matricer, så BC = n n. Vis at λ = er en egenværdi for CB.
6 6 Oktober 27 Opgave I denne opgave må din lommeregners eventuelle program til at løse ligningssystemer ikke anvendes. A = , 2 lad b R og betragt det lineære ligningssystem Ax = 2 x 3, x = x 2 R 3. () x b 3 (a) For hvilke værdier af b er det lineære ligningssystem () konsistent. Bestem i dette tilfælde samtlige løsninger til (). (b) Bestem en basis for A s rækkerum og bestem dimensionen af nulrummet N(A) for A. (c) Find nulrummet for A T, dvs. find de x R 4, som løser ligningen A T x =. (d) Benyt svaret på spørgsmål c) til at afgøre om det lineære ligningssystem 2 Ax = er konsistent. Opgave 2 I denne opgave må din lommeregners eventuelle program til at invertere matricer ikke anvendes. Betragt afbildningen T : R 3 R 2 givet ved x ( ) T x 2 3x + x = 2. x x 2x 2 3
7 Oktober 27 7 (a) Vis at T er en lineær transformation. Udstyr R 3 med standardbasen E og R 2 med standardbasen F, dvs. E =,, og F = [( ), ( )]. (b) Bestem repræsentationsmatricen A for T mht. E og F. [( ) ( )] Betragt nu F 2 =,. (c) Gør rede for at F også er en basis for R 2 og bestem overgangsmatricen S, som repræsenterer basisskiftet fra F til F. (d) Bestem repræsentationsmatricen C for T når R 3 udstyres med den ordnede basis E og R 2 udstyres med den ordnede basis F. Dvs. find en 2 3 matrix C, så [T (x)] ef = C [x] E, x R 3. Opgave 3 P 4 være vektorrummet bestående af polynomier af grad mindre end fire, dvs. P 4 = {a + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 a, a, a 2, a 3 R}. (a) Vis at er et underrum i P 4. (b) Vis at {x, x 3 } udgør en basis for S. Udstyr P 4 med det indre produkt S = {p P 4 p() = og p () = } p, q = p( )q( ) + p()q() + p()q() + p(2)q(2). (c) Find en ortonormal basis for S mht. det givne indre produkt. (d) Bestem den ortogonale projektion af q(x) = x + på S. (e) p og p 2 være to lineært uafhængige polynomier i P 4. Vis at {p, p 2 } er en basis for S hvis og kun hvis p i, x = og p i, x 3 =, i =, 2.
8 8 Opgave 4 I denne opgave må din lommeregners eventuelle program til direkte at bestemme egenværdier og/eller egenvektorer ikke anvendes. Betragt matricen A givet ved: 3 7 A = (a) Vis, at A har egenværdierne 5, og -4. (b) Bestem for hver af A s egenværdier det tilhørende egenrum. (c) Gør rede for at R 3 har en ortonormal basis bestående af egenvektorer for A, og bestem en ortogonal matrix U samt en diagonalmatrix D, så U T AU = D. (d) B og C være to n n matricer. Antag at der findes en basis {x,..., x n } for R n bestående af egenvektorer for både B og C (ikke nødvendigvis med samme egenværdier). Vis at BC = CB. (Vink: Benyt at D D 2 = D 2 D, hvis D og D 2 er to n n diagonalmatricer.)
9 Juni 28 9 Juni 28 Opgave A = a og betragt det lineære ligningssystem x Ax = 3, hvor x = x 2. b x 3 (a) Angiv for hvilke reelle tal a, b systemet ikke har nogen løsning. (b) Angiv for hvilke reelle tal a, b systemet har en entydigt bestemt løsning. Bemærk at det ikke er nødvendigt at finde denne løsning. (c) Angiv for hvilke reelle tal a, b systemet har uendeligt mange løsninger, og find disse løsninger. (d) Antag at a er valgt så at det A =. Bestem rangen af A og find en basis for nulrummet til A i dette tilfælde. Opgave 2 være to vektorer i R 4. v =, v 2 = 2 (a) Vis at v og v 2 er lineært uafhængige i R 4. (b) V være underrummet udspændt af v og v 2. Find en ortonormalbasis for V med hensyn til det sædvanlige skalarprodukt i R 4. (c) Find den ortogonale projektion af v = på V.
10 (d) w =, w 2 =. 2 Vis at w, w 2 er en basis for V. Opgave 3 P 3 = {a + bx + cx 2 a, b, c R} være vektorrummet af alle polynomier af grad højst 2, og lad T : P 3 P 3 være givet ved (a) Vis at T er en lineær afbildning. T (p(x)) = xp (x) + 3p(). (b) Find matricen der repræsenterer T med hensyn til den ordnede basis E = [, x, x 2 ] for P 3. (c) F = [+x, x, x+x 2 ] være en anden ordnet basis for P 3. Find matricen der beskriver basisskift fra F til E. Bemærk at det ikke skal vises at F er en basis for P 3. (d) Find matricen der repræsenterer T i basen F. Opgave 4 A = 2. (a) Find alle egenværdier til A. (b) Find det tilhørende egenrum for hver egenværdi til A. (c) Find en ortogonalmatrix X og en diagonalmatrix D således at D = X T AX. (d) Antag at B er en symmetrisk reel n n-matrix, der kun har én egenværdi λ. Vis at B = λ I, hvor I er identitetsmatricen med n søjler og n rækker.
11 Oktober 28 Oktober 28 Opgave Betragt det lineære ligningssystem hvor B og C er givne reelle tal. y + 2z = x + 4y + 3z = C x + y + Bz = B (a) Opstil den udvidede matriks for systemet og reducer den til trappeform. De enkelte rækkeoperationer bedes angivet. (b) For hvilke værdier af talparret (B, C) er systemet inkonsistent? (c) For hvilke værdier af talparret (B, C) har systemet præcis løsning? (d) Bestem den fuldstændige løsning til systemet for alle værdier af talparret (B, C). Opgave 2 2 B være matricen B = 2. 2 (a) Vis, at egenværdierne for B er og 4. (b) Bestem en basis for hvert af egenrummene. (c) Løs begyndelsesværdiproblemet x (t) = 2x(t) + y(t) + z(t), y (t) = x(t) + 2y(t) + z(t), z (t) = x(t) + y(t) + 2z(t), x() =, y() = 2, z() = 3. (d) Bestem en ortogonal matriks Q og en diagonal matriks D med Q T BQ = D.
12 2 Opgave 3 I denne opgave betragtes vektorrummet P 3 af polynomier af grad højst 2. Det udstyres med et indre produkt defineret ved formlen p(x), q(x) = p( )q( ) + p()q() + p()q(), p(x), q(x) P 3. (a) Bestem de to indre produkter og de to normer, x,, x 2,, S = {p(x) P 3 p( ) = p() = }. x. (a) Gør rede for, at S er et underrum af P 3, og at x 2 er en ortonormal basis for S. (b) Bestem en ortonormal basis for det ortogonale komplement S. (c) Bestem den ortogonale projektion af polynomiet + 2x på hvert af underrummene S og S. Opgave 4 B være en 3 3 matriks, som opfylder matriksligningen B 2 4B + 4I 3 =, hvor I 3 og er henholdsvis enhedsmatricen og nulmatricen i R 3 3. β være en egenværdi for B. (a) Gør rede for, at β opfylder ligningen og bestem herfra værdien af β. β 2 4β + 4 =, nu b R 3 være en vektor som ikke tilhører egenrummet E(β), og sæt b 2 = Bb βb. (a) Vis, at b 2 er en egenvektor for B med egenværdi β. Antag yderligere, at dim(e(β)) = 2 og lad b 3 være valgt så b 2, b 3 er en basis for E(β). (a) Vis, at F = [b, b 2, b 3 ] er en basis for R 3. (b) Bestem matricen for den lineære afbildning L B : R 3 R 3 med hensyn til basen F, altså den matriks, som i forelæsningerne er betegnet [L B ] F F.
13 Januar 29 3 Januar 29 Opgave (25 point) I denne opgave må din lommeregners/computers eventuelle program til direkte at bestemme egenværdier og/eller egenvektorer ikke anvendes. Det samme gælder for et eventuelt program til at løse differentialligningssystemer. Betragt matricen ( ) 7 3 B =. 3 7 (a) Bestem en ortogonal matriks Q og en diagonalmatriks D, som opfylder (b) Løs begyndelsesværdiproblemet Q T BQ = D. x (t) = 7x(t) + 3y(t), y (t) = 3x(t) + 7y(t), x() = 4, y() = 2. Opgave 2 (25 point) Det anses for velkendt (og skal altså ikke vises), at de fire matricer ( ) ( ) ( ) ( ) A =, A 2 =, A 3 =, A 4 =, udgør en basis for vektorrummet W = M 2 2 (R) af reelle 2 2 matricer. {( ) } x y V = x, y, z R W, z ( ) a b og lad A = være en fast valgt matriks fra V. c (a) Vis, at V er et underrum af W og angiv en (ordnet) basis for V. (b) Vis, at forskriften G(X) = AX, X V, definerer en lineær afbildning G: V V, og bestem matricen for G med hensyn til den basis for V, som du har angivet i (a).
14 4 Opgave 3 (25 point) I denne opgave må din lommeregners/computers eventuelle program til løsning af lineære ligningssystemer ikke anvendes. Det samme gælder for et eventuelt program til at udføre rækkeoperationer på en matriks. Betragt det lineære ligningssystem hvor A og B er konstanter. x + 2y =, 2x + 5y + z = B, 2x + 6y + Az = B +, (a) Angiv den udvidede matriks for systemet, og brug rækkeoperationer til at skaffe nuller under diagonalen i matricen. Rækkeoperationerne bør fremgå af besvarelsen. (b) For hvilke værdier af talparret (A, B) har systemet (i) ingen løsning? (ii) præcis én løsning? (iii) uendelig mange løsninger? (c) Bestem samtlige løsninger til systemet (for alle værdiier af (A, B)) Opgave 4 (25 point) I denne opgave betragtes vektorrummet C[, 2] af kontinuerte funktioner f : [, 2] R, udstyret med det sædvanlige indre produkt f, g = 2 f(t)g(t)dt. Med V betegner vi underrummet udspændt af de tre funktioner, t og t 2. (a) Bestem en ortonormal basis for V. (b) Bestem projektionen af funktionen t 3 på underrummet V.
15 Juni 29 5 Juni 29 Opgave I denne opgave må din lommeregners eventuelle program til at løse ligningssystemer ikke benyttes. Q = (a) Gør rede for at Q er en ortogonal matrix. (b) Løs det lineære ligningssystem hvor b = (,, ) T. Q x = b, Opgave 2 A = (a) Vis at A er rækkeækvivalent til U = (b) Bestem baser for A s nulrum, N(A), rækkerum samt søjlerum. (c) Angiv dimensionen af A s nulrum, rækkerum og søjlerum. (d) For hvilke a R har ligningssystemet A x = a løsninger?
16 6 (e) Bestem disse løsninger. Opgave 3 V være vektorrummet af alle reelle, uendeligt mange gange differentiable funktioner og lad S være rummet udspændt af funktionerne f, f 2, f 3 givet ved: f (t) = e t, f 2 (t) = e t, f 3 (t) = te t for t R (a) Det oplyses at f, f 2 og f 3 er lineært uafhængige i V. Redegør for at F = [f, f 2, f 3 ] således udgør en ordnet basis for S. L: S V være givet ved (b) Vis at L er lineær. (c) Vis at L(S) S. L(f) = f f, for f S. (d) Find matricen B hørende til L med hensyn til den ordnede basis F. (e) Bestem egenværdierne for matricen B. (f) C være matricen som repræsenterer den lineære transformation med hensyn til en anden basis E for S. Hvilke egenværdier har matricen C? (Der ønskes naturligvis en begrundelse for dit svar.) Opgave 4 I denne opgave betragtes R 4 med det sædvanlige indre produkt. (Det vil sige at for x = (x, x 2, x 3, x 4 ) T og y = (y, y 2, y 3, y 4 ) T er x, y = x y + x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 4 y 4.) x =, y = og lad S være underrummet udspændt af x og y, d.v.s., S = span(x, y). (a) Find en ortonormal basis {u, u 2 } for S. v = , v 2 = 2 2
17 Juni 29 7 (b) Vis at {v, v 2 } udgør en ortonormal basis for S. (c) Gør rede for at T = {u, u 2, v, v 2 } udgør en ortonormal basis for R 4. (d) Fremstil e = (,,, ) T som linearkombination af vektorerne i T. Opgave 5 I denne opgave må din lommeregners eventuelle program til direkte at bestemme egenværdier og/eller egenvektorer ikke anvendes. Betragt matricen M givet ved: M = (a) Bestem alle egenværdier med tilhørende egenvektorer for M. (b) Gør rede for at R 3 har en ortonormal basis bestående af egenvektorer for M. (c) Bestem en ortogonal matrix Q, så Q T MQ = D hvor D er en diagonal matrix.
Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. januar,
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mere(Prøve)eksamen i Lineær Algebra
(Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 4 januar, 2 Kl 9-3 Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Læs merePrøveeksamen A i Lineær Algebra
Prøveeksamen A i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Der må gøres brug af bøger, noter mv Der må ikke benyttes lommeregner,
Læs mereEksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 4. januar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereDiagonalisering. Definition (diagonaliserbar)
1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereLøsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.
Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,
Læs mereLineær Algebra eksamen, noter
Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 6. juni, 26. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af nummererede sider med ialt 5 opgaver. Alle opgaver er multiple
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 8 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. januar,. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Torsdag den 8. august, 2. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Læs mereNoter til Lineær Algebra
Noter til Lineær Algebra Eksamensnoter til LinAlg Martin Sparre, www.logx.dk, August 2007, Version π8 9450. INDHOLD 2 Indhold 0. Om disse noter.......................... 3 Abstrakte vektorrum 4. Definition
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mereLineær Algebra, kursusgang
Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.
Læs mereUge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement
OPGAVER 1 Opgaver til Uge 11 Lille Dag Opgave 1 Det ortogonale komplement a) I R 2 er der givet vektoren (3, 7). Angiv en basis for det ortogonale komplement. b) Find i R 3 en basis for det ortogonale
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Fredag
Læs mereLineær algebra 1. kursusgang
Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra
Læs mereDesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.
er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).
Læs mereBesvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1
Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.
Læs mereNøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mere(Prøve)eksamen i Lineær Algebra
(Prøve)eksamen i Lineær Algebra Maj 016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt
Læs mere2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010
1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra
Læs mereOversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3
Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus
Læs mereFigur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Læs mereUnderrum - generaliserede linjer og planer
1 Om miniprojekt 2 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer. Systematisk information om grafer/netværk (som i Dagens anvendelse kursusgang 9): Flyforbindelser. Skemalægning.
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. februar, 3. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 9 nummererede
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereLineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering
Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
Læs mereDesignMat Uge 11 Lineære afbildninger
DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 7
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den 9. februar, 4. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 6
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige
Læs mereDesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereLineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mereLinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013
LinAlg 2013 Q3 Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 1 Lineær algebra Dispositioner - Dispo 0 2013 Contents 1 Løsninger, og MKL, af lineære ligningssystemer 3 2 Vektorrum
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 8 januar, Kl 9- Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mereMat10 eksamensspørgsmål
Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereEksempel på 2-timersprøve 2 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Februar 4 Opgave Maplekommandoerne expand( (z-*exp(i*pi/))*(z-*exp(-i*pi/))*(z-exp(i*pi/))*(z-exp(-i*pi/))): sort(%); resulterer i polynomiet z 4 z + z
Læs mereDesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I
DesignMat Uge Systemer af lineære differentialligninger I Preben Alsholm Efterår 008 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden I Lineært differentialligningssystem
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereLineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed
Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a 1,..., a p R n. En vektor v = c 1 a 1
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereØlopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereMatematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,
Læs mereSymmetriske matricer
Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A
Læs mereMatematik og FormLineære ligningssystemer
Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereEKSAMEN Flerdimensional Analyse Sommer sider
EKSAMEN Flerdimensional Analyse Sommer 2008 5 sider Formaliteter Eksamen er en 24-timers eksamen, der udleveres mandag den 23/6-2008 klokken 0.00 og afleveres tirsdag den 24/6-2008 inden klokken 0.00.
Læs mereEkstremum for funktion af flere variable
Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereLidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion
Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.
Læs mereDefinition 13.1 For en delmængde af vektorer X R n er det ortogonale komplement. v 2
Oersigt [LA],, Komplement Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på ektor Projektion på basis Kortest afstand August 00, opgae 6 Tømrermester Januar
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier
Læs mereSymmetriske matricer. enote Skalarprodukt
enote 19 1 enote 19 Symmetriske matricer I denne enote vil vi beskæftige os med et af de mest benyttede resultater fra lineær algebra den såkaldte spektralsætning for symmetriske matricer. Den siger kort
Læs mereMat 1. 2-timersprøve den 5. december 2016.
Mat. -timersprøve den 5. december 6. JE 4..6 Opgave > restart;with(linearalgebra): Et inhomogent lineært ligningssystem bestående at tre ligninger med fire ubekendte, x og x 4 har totalmatricen T = [A
Læs mereVektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor
enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske
Læs mereOpgave nr. 1. Find det fjerde Taylorpolynomium. (nul). Opgave nr Lad der være givet et sædvanligt retvinklet koordinatsystem
\ De reelle tal betegnes i det følgende med m og de komplekse tal med
Læs mereLineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære
Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =
Læs mereLinAlgDat 2014/2015 Google s page rank
LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en
Læs mereUge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =
OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform
Læs mereMatematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed
Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 8 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a1,...,
Læs mereSylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 4 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 32 Vægtet mindste kvadraters metode For et lineært ligningssystem (af m ligninger
Læs mereLineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger
enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mere