Netværk og Algoritmer A juni 2010

Transkript

1 Netværk og Algoritmer Aalborg Universitet 28. juni 2010

2 Ernö Rubik Født i Ungarn i 1944 Ingeniør med speciale i arkitektur Patent i 1977 Varemærke

3 Rubik s Terningen 26 cubies 6 faces 9 facelets pr. face

4 Problemanalyse Fællesskaber Time-wise Twist-wise Algoritmer Begynder algoritmen Kociemba s optimale løser

5 How have the upper and lower bounds of the Rubik s Cube progressed and how have they been proven? How efficient is Kociemba s optimal solver compared to beginner s algorithm and how can this be tested?

6 Grænser optimale løser

7 Gruppe definition (set, operator) Rubik s gruppen M 1 M 2 G Tomt move: e M = M Invers move: M M = e Associative lov: (M1 M 2 ) M 3 = M 1 (M 2 M 3 )

8 Undergruppe H-gruppen Relabel Alle cubies har korrekt orientation Cubies i midterlag Lukket under A-moves: U, U, U2, D, D, D2, R2, L2, F2, B2

9 Undergruppe H-gruppen Relabel Alle cubies har korrekt orientation Cubies i midterlag Lukket under A-moves: U, U, U2, D, D, D2, R2, L2, F2, B2

10 Undergruppe H-gruppen Relabel Alle cubies har korrekt orientation Cubies i midterlag Lukket under A-moves: U, U, U2, D, D, D2, R2, L2, F2, B2

11 Den øvre grænse 22 Rokickis set solver Den nedre grænse 20 Super flip Udvikling

12 Den Øvre Grænse a Relabeling b r(a) b H c b^-1 cb e f fb

13 Den Øvre Grænse a Relabeling b r(a) H a A ab A h e

14 Den Øvre Grænse a Relabeling b r(a) H a A ab A h e

15 Den Nedre Grænse

16 Udvikling 55 Upper bound Thistlewaite Kloosterman Reid Winther Lower bound Reid Reid Radu Radu Kunkle & Cooperman Radu & Rokicki Radu & Rokicki Radu & Rokicki

17 Funktionalitet Opdelt i 5 trin LLCornerPos I = Correctly placed corners Algorithm = U,R,U,L,U,R,U,L I = 4? Yes NEXT No I = 0? Yes Algorithm No Find correct corner Algorithm Based on corner I = 4? Yes NEXT No Algorithm

18 Implementeringen Lineær eksekvering Skal være tro til den originale algoritme Twist reducering Effektivisering Flere algoritmer Forskellige udgangspunkter

19 Funktionalitet Undergruppen H Bredde først søge algoritme

20 Start Return Yes Is the cube solved No No Is in H Yes solvefromh Is length shorter than solution? Increase the length of move sequence Yes No Initialize move sequence with S moves Not ending with A moves Permute With the move sequence Is in H No Permute With the Inverse move sequence Yes No Is new solution shorter Yes Save new solution Yes Used all moves No Increment the move sequence

21 Problemstillinger ved implementeringen Manglende opslag Langsom Effektivisering Flere H er Nogle opslag Længde Sidste move sekvenser

22

23 Computertests Kociemba s optimale løser

24 50 scrambles per terning løste terninger 151 træk i gennemsnit Løsning på under et millisekund Maksimalt 241 træk Minimum 56 træk Avg. moves to solve Scramble length

25 Kociemba s optimal solver Altid optimal løsning Lang tid for hver løsning Løsning efter 18 millioner år I H findes altid en løsning inden 256 år

26 How have the upper and lower bounds of the Rubik s Cube progressed and how have they been proven? Den øvre grænse er bevist med Rokicki s set solver. Den nedre grænse bevist ved test Upper bound Thistlewaite 45 Kloosterman Reid Winther Reid Radu Radu Kunkle & Cooperman Radu & Rokicki 20 Lower bound Reid Radu & Rokicki Radu & Rokicki

27 How efficient is Kociemba s optimal solver compared to beginner s algorithm and how can this be tested? Twist-wise Vores begynderalgoritme bruger i snit 151 træk Vores Kociemba bruger højest 22 træk Time-wise Vores begynderalgoritme bruger under 1 ms Vores Kociemba bruger op til 18 mio. år Computertests Computerimplementering af løsningsalgoritmer

28 I Projektplanlægning I I I I Gruppesamarbejde I I I I I Roller Kalender Rettelser løbende To mands grupper Mødetid Fælles Pauser Samarbejde med vejleder Læringsma l

29