Matematik og Statistik. Rubiks terning. Symmetri. Gruppe G Maj 2014

Transkript

1 Matematik og Statistik Rubiks terning Symmetri Gruppe G Maj 2014 Aalborg Universitet Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Ø Tfl

2

3 Institut for Matematiske Fag Matematik og Statistik Fredrik Bajers Vej 7G Tfl Titel: Tema: Rubiks terning Synopsis: Symmetri Projektperiode: P4, forårssemesteret 2014 Projektgruppe: G3-106 Deltagere: Rikke Lund Frederik V. Kjemtrup Pernille Andersen Nicolai A. Nielsen Vejleder: Martin Hubert Raussen Oplagstal: 7 Sidetal: 39 Afsluttet den: 23. maj 2014 Denne rapport omhandler symmetrien i Rubiks terning, et puslespil opfundet i Vi beskriver et træk på Rubiks terning samt en komposition og benytter dette til at udtrykke træk på terningen som en gruppe, som vi kan benytte gruppeteori til at undersøge. Denne gruppe af træk sammenligner vi med en mængde af konfigurationer af terningen, idet vi viser, at gruppen af træk er isomorf til en gruppe bestående af mængden af lovlige konfigurationer af terningen. Rapportens hovedresultat er en række betingelser, som afgør en konfigurations gyldighed. Disse betingelser benytter vi til at danne et billede af gruppens struktur og orden, og dermed finde antallet af lovlige konfigurationer, der eksisterer for Rubiks terning. Rapporten afrundes med et historisk perspektiv på de problemer, der indenfor det seneste århundrede er blevet løst ved hjælp af computerkraft, herunder også et problem involverende den optimale løsning af en vilkårlig konfiguration af Rubiks terning. Rapportens indhold er frit tilgængeligt, men offentliggørelse (med kildeangivelse) må kun ske efter aftale med forfatterne.

4

5 Læsevejledning Denne rapport er udarbejdet i foråret 2014 på fjerde semester for bacheloruddannelsen i Matematik og Statistik på Aalborg Universitet. Rapporten igennem vil der være en tombstone ( ) for hvert endt bevis. Der vil igennem rapporten fremtræde kildehenvisninger, og disse vil være samlet i en litteraturliste bagerst i rapporten. Kilder angives efter Harvardmetoden, sådan at kilderne refereres med [Efternavn År], og yderligere oplysninger findes i litteraturlisten. Figurer, tabeller og ligninger er nummereret efter kapitel, det vil sige, den første figur i kapitel 1 har nummer 1.1, den anden nummer 1.2 og så videre. Forståelse af denne rapport forudsætter, at læseren har grundlæggende kendskab til gruppeteori svarende til Kapitel 2 i [Lauritzen 2012]. Gennem rapporten betragter vi resultater fra dette kapitel som kendt stof, men refererer til dem om nødvendigt. Hvis en definition eller sætning har særlig betydning, præsenteres den dog i rapporten. Bemærk, at sammensætning af permutationer læses fra venstre mod højre i modsætning til [Lauritzen 2012]. I introduktionen til Rubiks terning benytter vi Singmaster-notation, dog med den forskel, at rotationer sker i positiv omløbsretning, hvor Singmaster benytter negativ omløbsretning.

6

7 Indholdsfortegnelse Kapitel 1 Indledning Introduktion til Rubiks terning Kapitel 2 Symmetrier Konfigurationer Sammensætning af konfigurationer Gruppevirkning Homomorfe afbildninger Kapitel 3 Lovlige konfigurationer 18 Kapitel 4 Rubiks gruppes struktur Dekomposition af Rubiks gruppe Rubiks gruppes center Kapitel 5 Historisk perspektiv Firfarvesætningen Keplers formodning Afrunding Litteraturliste 39

8

9 Indledning Kapitel 1 I dette kapitel benytter vi [Bellis 2014], [Frey m.fl. 2010] samt definitioner og resultater, der tager udgangspunkt i [Chen 2014]. Denne rapport omhandler Rubiks terning, et tredimensionalt puslespil opfundet i 1974 af den ungarske skulptør og arkitekturprofessor, Ernő Rubik. Terningen blev opfundet for at give studerende bedre forståelse for tredimensionale figurer, og derudover var Rubik interesseret i at implementere en mekanisme, der gjorde det muligt at rotere de enkelte dele af en figur uafhængigt af de andre dele og uden at skille figuren ad. Terningen viste sig at kunne betragtes matematisk, idet træk på terningen kan beskrives ved hjælp af gruppeteori. Ud fra teoretisk behandling af denne gruppe opnås resultater, som beskriver strukturen, ordenen og centret af gruppen. Disse resultater har gjort det muligt at bestemme det færrest mulige antal træk, der kræves for at løse enhver Rubiks terning. Dette beskrives sidst i rapporten. Først vil vi dog komme med en introduktion til Rubiks terning med udgangspunkt i gruppeteori. 1.1 Introduktion til Rubiks terning Rubiks terning består af 27 klodser, der danner en terning. Af de 27 klodser er 26 synlige. De synlige klodser inddeles i tre typer: Seks centerklodser, som hver har én synlig overflade. Otte hjørneklodser, som hver har tre synlige overflader. Tolv kantklodser, som hver har to synlige overflader. Enhver sammensætning af de 26 synlige klodser, både med hensyn til deres placering og deres orientering, er en konfiguration af terningen. Mængden af alle konfigurationer kalder vi Λ. Overfladen af Rubiks terning består af seks forskelligt farvede sider, hvor hver side er sammensat af én overflade på 3 3 klodser. Farven på en enkelt side er bestemt ved farven på centerklodsens synlige overflade. Når terningen har netop én farve på hver side, altså når overfladen på alle klodserne i en side har samme farve, siges den at være i startkonfigurationen, som vi i fremtiden vil betegne med s, se Figur

10 1.1. Introduktion til Rubiks terning Aalborg Universitet Figur 1.1. Rubiks terning i startkonfigurationen s. Vi betragter terningen som opbygget af tre lag, der er sammensat af 3 3 klodsers overflader. Disse lag bliver betegnet skiver i terningen. En enkelt skive kan roteres uafhængigt af de resterende skiver, uanset hvilken side af terningen, man betragter. Ved at rotere disse skiver, bringer man terningen i en ny konfiguration. Formålet med Rubiks terning er at bringe terningen fra en vilkårlig konfiguration over i startkonfigurationen ved hjælp af rotationer af de forskellige skiver. Her vil man dog aldrig rotere de midterste skiver, da dette kan udtrykkes som en rotation af de to tilhørende ydre skiver. Hvis man betragter terningen fra en given side, navngives siderne som front, back, up, down, left, right. For eksempel vil den blå side på Figur 1.1 være front, den røde side right, den gule side up og så videre. Idet en rotation af en af terningens skiver resulterer i en rotation af den tilsvarende side, kan vi navngive rotationer ud fra terningens sider. Af denne årsag noterer vi siderne med deres forbogstaver, og de danner så en mængde af rotationer N = {F, B, U, D, L, R}. Elementer i mængden N kaldes også basistræk, da de danner alle andre rotationer af terningens skiver. Basistræk beskriver en rotation på 90 i positiv omløbsretning af den benævnte side, betragtet frontalt. En rotation på 180 eller 270 kan udføres ved at gentage et basistræk henholdsvis to eller tre gange. For et x i N noterer vi to rotationer af siden x i ved x i x i eller x 2 i, og tre rotationer af x i ved x i x i x i = x 3 i. Det ses, at for alle rotationer vil den samme rotation gentaget fire gange ikke ændre på terningens konfiguration. Det medfører, at for alle x i N er x 4 i = x0 i = 1, hvor 1 noterer en tom rotation, altså en rotation, der ikke ændrer terningens konfiguration. Ud fra dette argument kan det ses, at x 5 i = x4 i x i = x i, x 6 i = x4 i x2 i = x2 i og så videre. For en enkelt side er det altså kun muligt at ændre konfigurationen af terningen ved at rotere siden 1, 2 eller 3 gange 90. Et træk M på Rubiks terning er givet ved funktionen ϕ M : Λ Λ, som anvender en ordnet liste af basistræk på en konfiguration og sender den over i en anden konfiguration. Et træk noteres med den ordnede liste (x k 1 1 xk 2 2 xkn n ), hvor x i N og k i Z/4Z. Listen læses som udfør først k 1 antal rotationer af siden x 1, dernæst k 2 antal rotationer af siden x 2,.... 2

11 Gruppe G Indledning Som nævnt tidligere har alle rotationer en invers modulo 4. Dette betyder, at for alle x i N har x k i invers x 4 k i, da x k i x 4 k i = x 4 i = 1. Et vilkårligt træk er sammensat af basistræk, og ved sammensætning af to vilkårlige træk M 1 og M 2 forstås, at først udføres det første træk, hvorefter det næste træk udføres. Dette noteres som (ϕ M1 ϕ M2 )(λ) = ϕ M1 M 2 (λ) for λ Λ. Vi konstruerer en invers til et vilkårligt træk på følgende måde. ( ) ( ) x k 1 1 xk 2 2 xk n 1 n 1 xkn n xn 4 kn x 4 k n 1 n 1 x 4 k 2 2 x 4 k 1 1 = 1. Et træk M = her, at når x k i er M 1 = ( ) ( x k 1 1 xk 2 2 xkn n har altså invers M 1 = x 4 kn n x 4 k 2 har en invers x 4 k i, er dette ensbetydende med, at ( x k i ( ) x 4 kn n x 4 k 2 2 x 4 k 1 1 ( ( ) 1 ( = x kn n x k 2 2 ) 1 ( ). Bemærk ) 1 = x 4 k i. Således 2 x 4 k 1 1 x k 1 1 ) 1 ). Det tomme træk, som ikke roterer nogen sider, defineres til at være et træk, som sender startkonfigurationen over i sig selv. Vi vil nu bevise, at et tomt træk også sender vilkårlige konfigurationer over i sig selv, og at det tomme træk derved kan betragtes som identiteten, som noteres Proposition: Hvis et træk overfører en konfiguration i sig selv, så er trækket det tomme træk. Lad T være et arbitrært træk på Rubiks terning, og lad s angive startkonfigurationen, så må enhver konfiguration λ Λ på terningen kunne beskrives ved λ = ϕ T (s). Vi benytter nu et træk M på terningen, som ikke ændrer konfigurationen, og vi vil vise, at dette træk er det tomme træk. (ϕ M ϕ T )(s) = ϕ T (s) ϕ MT (s) = ϕ T (s). Vi kan nu tage den inverse af trækket T på begge sider af lighedstegnet ϕ T 1 MT (s) = s Så er T 1 MT det tomme træk ifølge definitionen. Da T 1 MT = 1, må M = T T 1 = 1, og M er derfor også det tomme træk. Vi har, at to træk er ens, hvis de begge påvirker startkonfigurationen på samme måde, og vi benytter den ovenstående proposition til at vise, at dette er gældende for vilkårlige konfigurationer. 1.2 Proposition: To træk er ens, hvis de begge sender én konfiguration over i den samme konfiguration. 3

12 1.1. Introduktion til Rubiks terning Aalborg Universitet Lad M 1 og M 2 være træk. Hvis ϕ M1 (λ) = ϕ M2 (λ), har vi λ = ϕ M 1 1 M (λ), og ved 2 Proposition 1.1 er M1 1 M 2 = 1. Ved entydigheden af et elements invers er M 1 = M 2. Vi er nu klar til at beskrive Rubiks gruppe. 1.3 Definition (Rubiks gruppe): Gruppen G = (M, ) består af mængden M, der indeholder netop alle træk på Rubiks terning samt en komposition : M M M, hvor M a M b = M ab læses som anvend trækket M a på terningen og anvend derefter trækket M b på terningen. Gruppens neutrale element, det tomme træk, noteres ligesom den tomme rotation med 1. Det følger umiddelbart af definitionen, at gruppen er lukket under kompositionen, og at kompositionen er associativ. Da vi har defineret den inverse til et vilkårligt træk, har alle elementer også et invers element, og G er dermed en gruppe. Vi vil gerne undersøge gruppens struktur og for at gøre dette, skal vi bruge nogle generelle resultater, som bliver behandlet i næste kapitel. Disse resultater holder kun for endelige grupper, så vi skal sikre os, at G er endelig. I enhver konfiguration er centerklodserne fastlåste, da farven på en side er bestemt ud fra centerklodsens farve. Dermed er det kun hjørne- og kantklodsernes overflader, der skifter placeringer. Der er så 54 6 = 48 overflader, hvis placering bestemmer terningens konfiguration. Mængden Λ s elementer er så bestemt ud fra permutationer af de 48 farvede overflader, hvilket kan beskrives som symmetrigruppen S 48. Dette betyder også, at Λ S 48 = 48!, og mængden Λ er altså endelig. Vi definerer nu en afbildning ϕ: G Λ, givet ved M ϕ M (s), hvor s er startkonfigurationen. At ϕ er injektiv følger af Proposition 1.2, idet vi for alle M 1, M 2 G har, at ϕ M1 (s) = ϕ M2 (s) medfører, at M 1 = M 2. Funktionen ϕ afbilder G injektivt over i den endelige mængde Λ, og dermed er G en endelig gruppe. Mange af de permutationer, der udgør Λ, er dog ikke praktisk mulige. For eksempel eksisterer der ikke nogen konfiguration, hvor en kantklods har samme farve på begge overflader, eller en konfiguration, hvor kun to farver på en hjørneklods permuteres. Der eksisterer altså en delmængde af Λ, som kun indeholder de konfigurationer, der kan opnås ud fra træk anvendt på startkonfigurationen. Denne delmængde kalder vi Λ l. Da Rubiks gruppe G indeholder alle træk foretaget på Rubiks terning, og Λ l er alle lovlige konfigurationer af terningen, kan vi definere en afbildning ρ: G Λ l givet ved M ϕ M (s). Da Λ l Λ er denne afbildning også injektiv, men desuden surjektiv per konstruktion, fordi enhver lovlig konfiguration netop opnås ud fra et træk på Rubiks terning. Dette betyder, at ethvert træk foretaget på Rubiks terning korresponderer til en lovlig konfiguration. Vi har altså fra ρ en entydig sammenhæng mellem træk og konfigurationer, og kan således beskrive en konfiguration som netop et træk anvendt på startkonfigurationen. For bedre at kunne beskrive denne sammenhæng, skal vi dog bruge notation for en konfiguration af terningen. 4

13 Symmetrier Kapitel 2 Vi har vist, at Rubiks gruppe er endelig. Følgende resultater fra [Chen 2014] er nødvendige for senere at beskrive ordenen og strukturen af Rubiks gruppe. 2.1 Lemma: Lad G være en endelig gruppe, og lad g G. Så eksisterer et n N, sådan at g n = g 1. Lemmaet følger direkte af Prop i [Lauritzen 2012], som siger, at for et element g G, hvor G er endelig, er g G = e, og derfor er g G 1 = g Lemma: Lad (G, ) være en endelig gruppe, og lad H være en delmængde af G. Så er G = H, hvis og kun hvis ethvert element i G kan skrives som et endeligt produkt af elementer i H. Antag, at alle elementer i G kan skrives som endeligt produkt af elementerne i H. Så er G = H. Antag nu, at G = H. Dette medfører, at alle elementer i G kan skrives som et endeligt produkt af elementer h 1 h n, hvor h i enten ligger i H eller er invers til et element i H. Men fra Lemma 2.1 har vi for alle i {1,..., n}, at h n i = h 1 i for et n N. 2.3 Proposition: Lad (G, ) være en endelig gruppe og H en delmængde af G. Antag, at følgende gælder: 1. Alle elementer i H har egenskaben P. 2. Hvis g 1, g 2 G begge har egenskaben P, så har g 1 g 2 også egenskaben P. Dette medfører, at alle elementer i H har egenskaben P. Ved Lemma 2.2 kan ethvert element i H skrives som et endeligt produkt h 1 h n, hvor h i H og n N. Vi beviser ved induktion. Hvis n = 1, overholder h 1 egenskaben P ved antagelse. Antag, at produktet h 1 h n 1 overholder egenskab P. Så er produktet (h 1 h n 1 )h n et produkt af to elementer med egenskab P, da h n H, og ved antagelse har h 1 h n derfor egenskaben P. Propositionen giver struktur til Rubiks gruppe og indskrænker dennes orden. Da vi har, at N = {F, B, U, D, L, R} G, og G dannes ud fra sammensætning af basistrækkene i 5

14 2.1. Konfigurationer Aalborg Universitet N, gælder en egenskab for alle træk i G, hvis den gælder for et vilkårligt, endeligt produkt af elementer i N. Alle basistrækkene i N overholder hver for sig, at en hjørneklods bliver sendt over i en hjørneklods, og en kantklods bliver sendt over i en kantklods, mens centerklodserne bliver holdt fast. For alle kombinationer af elementer i N forbliver center-, hjørne- og kantklodser altså henholdsvis center-, hjørne- og kantklodser, og derfor gælder denne egenskab også for alle træk i Rubiks gruppe G. Ordenen af G kan derfor indskrænkes til produktet af antal mulige placeringer og antal mulige orienteringer af kant- og hjørneklodser, da centerklodserne er fastlåste. Vi kan altså beskrive en konfiguration ud fra hjørne- og kantklodsernes placering og orientering i forhold til centerklodserne. En hjørneklods placering er entydigt bestemt af centerklodserne i de tre tilstødende sider. Til hver hjørneklods hører tre forskellige orienteringer, da hjørneklodser har tre synlige overflader, der ikke parvist kan transponeres. Hjørneklodserne kan derfor sammensættes på 8!3 8 måder, da vi har 8 hjørneklodser med 3 synlige overflader. Placeringen af en kantklods bestemmes af de to tilstødende centerklodser, og hver klods har to forskellige orienteringer. Da der er 12 kantklodser med to synlige overflader, kan disse sammensættes på 12!2 12 måder. Vi har altså indskrænket gruppens orden til højst 12!2 12 8!3 8, som svarer til Λ. Dette er stadig ikke den rigtige orden af G, da G = Λ l, idet funktionen ρ, som afbilder G ind i Λ l, er surjektiv. For at nå frem til den rigtige orden, er det nødvendigt at kunne beskrive alle konfigurationer i Λ l. Derfor vil vi i næste afsnit definere en notation for konfigurationer. 2.1 Konfigurationer Som nævnt ovenfor er klodsernes orientering og placering entydigt bestemt ud fra centerklodserne i de tilstødende sider. Hver hjørneklods placering eller orientering af en overflade benævnes således ved en kombination af tre af bogstaverne f, b, r, l, u og d, og for en kantklods er det en kombination af to af dem. For hjørneklodserne beskrives orienteringen på en klods ved at betragte en bestemt overflade på den orienterede hjørneklods. For den overflade vi ønsker at beskrive, lader vi bogstavet stå til sidst. Rækkefølgen på de to forreste bogstaver er ligegyldig. På den måde får øverste overflade i forreste, venstre, øverste hjørneklods notationen lf u, den forreste overflade på samme klods benævnes ulf og den venstre overflade benævnes uf l. Kigger vi kun på hjørneklodsens placering og ikke dens orientering, er alle orienteringsnotationerne ækvivalente og beskriver den samme klods. Således er lfu = ulf = ufl. Når vi skal beskrive en bestemt overflade på en kantklods, lader vi bogstavet for den tilstødende centerklods stå til sidst, og bogstavet for centerklodsen, som kantklodsens anden overflade støder op til, stå først. Den forreste overflade på den forreste, højre kantklods benævnes således ved rf, og overfladen til højre benævnes f r. Når vi kun betragter kantklodsernes placering og ikke deres orientering, gælder det samme som ved hjørneklodserne. Orienteringsnotationerne er derved ækvivalente og står begge for den samme kantklods. Se illustration af dette på Figur

15 Gruppe G Symmetrier U F R Kantklodsen rf Hjørneklodsen uf l ufl lfu rf fr ulf Figur 2.1. Navngivning af hjørne- og kantklodser. Vi har nu beskrevet klodsernes navngivning, og det er nu muligt at beskrive alle mulige konfigurationer ud fra følgende information: Hjørneklodsernes placering. Kantklodsernes placering. Hjørneklodsernes orientering. Kantklodsernes orientering. Placeringen af hjørneklodserne kan beskrives som en permutation af de otte hjørneklodser, altså et element σ i symmetrigruppen af otte elementer S 8. Ved samme argument kan placeringen af kantklodserne beskrives som en permutation τ S 12 af de tolv kantklodser. Havde terningens sider alle haft samme farve, ville parret (σ, τ) beskrive enhver konfiguration. Vi mangler imidlertid en samlet notation for klodsernes orientering. Vi betragter en terning i en vilkårlig konfiguration, hvor de seks sider er navngivet ud fra mængden {F, B, U, D, L, R}. Vi introducerer en ordnet liste x, som beskriver de enkelte hjørneklodser x = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8 ) = (lfu, rfu, rbu, lbu, lbd, lfd, rfd, rbd), samt en ordnet liste y, som beskriver de enkelte kantklodser y = (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7, y 8, y 9, y 10, y 11, y 12 ) Indekseringen af klodserne ses på Figur 2.2. = (bu, ru, fu, lu, lb, rb, rf, lf, bd, rd, fd, ld). 7

16 2.1. Konfigurationer Aalborg Universitet x 1 y 4 y 3 U x 4 y 1 y 2 x 2 x 3 y 8 y 7 y 6 y 5 F R B L y 10 x 7 x 8 y 11 y 12 D y 9 x 6 x 5 Figur 2.2. Indeksering af klodserne. Vi nummererer nu hjørneklodsernes U- og D-flader med 0 og de resterende overflader med 1 og 2 i negativ omløbsretning, når man ser på en udfoldning af U- og D-fladen. Denne udfoldning illustreres på figur 2.3. x 1 x 5 x x Figur 2.3. Hjørneklodsernes nummerering. Kantklodserne nummeres med 0 og 1, hvor værdien 0 gives til de overflader, der befinder sig på de fire kantklodser på U-fladen og de fire på D-fladen, samt de to kantklodser på F - og B-fladen. De resterede overflader på kantklodser gives værdien 1. Se Figur 2.4 for illustration af nummerering U F 0 1 R 1 0 B 0 1 L D Figur 2.4. Nummerering på startkonfigurationen. 8

17 Gruppe G Symmetrier Værdierne bevares efter et vilkårligt træk og kan derfor beskrive klodsernes orienteringer i den nye konfiguration i forhold til den forrige. Betragt som eksempel en vilkårlig konfiguration, og nummerer klodserne som beskrevet ovenfor. Værdien er 0 for alle x i, hvilket kan skrives som x = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0). Foretages trækket R, ændres værdierne for x 2, x 3, x 7 og x 8, skrevet x = (0, 1, 2, 0, 0, 0, 2, 1), se Figur Figur 2.5. Nummerering efter trækket R på startkonfigurationen. Denne ordnede liste kan også beskrives ved x = (x 1, x 2 +1, x 3 +2, x 4, x 5, x 6, x 7 +2, x 8 +1). Ved denne notation er det tydeligt at se, hvilken hjørneklods, der har hvilken orientering. Vi kan altså ved hjælp af denne ordnede liste beskrive ændringen i orienteringen på hjørneklodserne, som hvert basistræk forårsager. Tabel 2.1 beskriver hvert enkelt basistræks påvirkning på både hjørne- og kantklodsernes orientering for en vilkårlig konfiguration. M x og y D (x 1, x 2, x 3, x 4, x 6, x 7, x 8, x 5 ) (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7, y 8, y 12, y 9, y 10, y 11 ) U (x 4, x 1, x 2, x 3, x 5, x 6, x 7, x 8 ) (y 2, y 3, y 4, y 1, y 5, y 6, y 7, y 8, y 9, y 10, y 11, y 12 ) R (x 1, x 3 + 1, x 8 + 2, x 4, x 5, x 6, x 2 + 2, x 7 + 1) (y 1, y 6, y 3, y 4, y 5, y 10, y 2, y 8, y 9, y 7, y 11, y 12 ) L (x 6 + 2, x 2, x 3, x 1 + 1, x 4 + 2, x 5 + 1, x 7, x 8 ) (y 1, y 2, y 3, y 8, y 4, y 6, y 7, y 12, y 9, y 10, y 11, y 5 ) F (x 2 + 1, x 7 + 2, x 3, x 4, x 5, x 1 + 2, x 6 + 1, x 8 ) (y 1, y 2, y 7 + 1, y 4, y 5, y 6, y , y 3 + 1, y 9, y 10, y 8 + 1, y 12 ) B (x 1, x 2, x 4 + 1, x 5 + 2, x 8 + 1, x 6, x 7, x 3 + 2) (y 5 + 1, y 2, y 3, y 4, y 9 + 1, y 1 + 1, y 7, y 8, y 6 + 1, y 10, y 11, y 12 ) Tabel 2.1. Basistrækkenes virkning på x og y. Vi vil nu vise, hvordan sammensætning af træk påvirker klodsernes orientering. Vi betragter i første omgang kantklodsernes orientering givet ved y, når vi foretager trækket F 2. Når trækket F foretages på startkonfigurationen, har kantklodsernes orientering følgende nummerering, som ses fra Tabel 2.1. y = (y 1, y 2, y 7 + 1, y 4, y 5, y 6, y , y 3 + 1, y 9, y 10, y 8 + 1, y 12 ). 9

18 2.1. Konfigurationer Aalborg Universitet Illustration af dette ses på Figur 2.6 y 1 y 4 U y 2 y 7 +1 y 7 L y 3 y 3 +1 F y y 11 R y 6 B y 5 y 8 y 8 +1 y 12 D y 10 y 9 Figur 2.6. Indeksering af kantklodser efter trækket F. Hvis vi foretager trækket F igen, og dermed har udført trækket F 2 på startkonfigurationen, fås følgende orienteringer for kantklodsen. y = (y 1, y 2, (y ) + 1, y 4, y 5, y 6, (y 8 + 1) + 1, (y 7 + 1) + 1, y 9, y 10, (y 3 + 1) + 1, y 12 ) = (y 1, y 2, y , y 4, y 5, y 6, y 8 + 2, y 7 + 2, y 9, y 10, y 3 + 2, y 12 ). y 1 y 4 U y 2 y 11 y L y 7 +1 y 7 F y 8 y 8 +1 R y 6 B y 5 y 3 +1 y 3 y 12 D y 10 y 9 Figur 2.7. Indeksering af kantklodser efter trækket F 2. 10

19 Gruppe G Symmetrier Dette svarer til, at kantklodsernes overflader har værdierne y = (0, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 2, 0). Vi kan dog se ud fra Figur 2.7, at kantklodsernes overflader efter trækket F 2 har værdierne y = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), altså er y = (0, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 2, 0) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0). Ud fra dette ses det, at y i Z/2Z, da sammensætning af orientering for kantklodser svarer til addition i Z/2Z. Eftersom vi har 12 kantklodser, må y (Z/2Z) 12. Når vi sammensætter konfigurationer, har vi altså, at kantklodsernes orientering følger kompositionen i gruppen (Z/2Z, +). På lignende vis har vi, at hjørneklodsernes orientering følger kompositionen i gruppen (Z/3Z, +), da vi har 8 hjørneklodser, har vi, at x (Z/3Z) 8. Nu kan en vilkårlig konfiguration beskrives med de fire informationer σ, τ, x og y således. 2.4 Definition: En konfiguration af Rubiks terning noteres ved (σ, τ, x, y), hvor σ S 8 beskriver hjørneklodsernes placering. τ S 12 beskriver kantklodsernes placering. x (Z/3Z) 8 beskriver hjørneklodsernes orientering. y (Z/2Z) 12 beskriver kantklodsernes orientering. Ved denne definition noteres startkonfigurationen (1, 1, 0, 0). For at beskrive Rubiks gruppes struktur er det desuden nødvendigt at introducere en sammensætning af konfigurationer. 2.2 Sammensætning af konfigurationer Vi kan beskrive en komposition mellem konfigurationer : Λ Λ Λ, givet ved λ 1 λ 2 λ 3 for λ 1, λ 2, λ 3 Λ. Kompositionen skal betragtes som, at det træk, der sender startkonfigurationen over i λ 2, foretages på konfigurationen λ 1. Dette bringer terningen i en ny konfiguration λ 3. Vi ønsker at beskrive sammensætning af vilkårlige konfigurationer, og for at gøre dette, starter vi med at sammensætte startkonfigurationen med en vilkårlig konfiguration (σ, τ, x, y). Vi får så følgende (1, 1, 0, 0) (σ, τ, x, y) = (σ, τ, x, y), (2.1) da et træk, der sender startkonfigurationen over i (σ, τ, x, y), benyttet på startkonfigurationen netop giver konfigurationen (σ, τ, x, y). Vi betragter nu en sammensætning af to andre konfigurationer (1, 1, x, y) og (σ, τ, 0, 0), som kun påvirker henholdsvis orientering og placering. 11

20 2.2. Sammensætning af konfigurationer Aalborg Universitet 2.5 Lemma: Konfigurationerne (1, 1, x, y) og (σ, τ, 0, 0) kan sammensættes på to måder. (1, 1, x, y) (σ, τ, 0, 0) = ( σ, τ, σ 1 ( x), τ 1 ( y) ). (2.2) (σ, τ, 0, 0) (1, 1, x, y) = (σ, τ, x, y). (2.3) Hvis vi starter med den første mulighed, har vi generelt, at når vi sammensætter to konfigurationer fås en ny konfiguration. (1, 1, x, y) (σ, τ, 0, 0) = (σ, τ, x, y ). Da vi starter med klodserne i deres startplaceringer og derefter permuterer dem med henholdsvis σ og τ, har vi, at σ = σ og τ = τ. I konfigurationen (1, 1, x, y) har klods i orienteringen x i. Når vi sammensætter denne konfiguration med (σ, τ, 0, 0), bevares orienteringen af klodserne, men placeringen ændres, og derfor får klods σ(i) orienteringen x i. Det vil sige, at klods j = σ(i) får orientering x j, men idet (σ, τ, 0, 0) ikke ændrer orienteringen, har vi, at klods j skal have orientering x i = x σ 1 (j). Så fås x = (x 1, x 2,..., x 8) = ( x σ 1 (1), x σ 1 (2),..., x σ 1 (8)) = σ 1 ( x). På samme måde har vi, at y = (y 1, y 2,..., y 8) = ( y τ 1 (1), y τ 1 (2),..., y τ 1 (8)) = τ 1 ( y). Så har vi, at sammensætningen af de to konfigurationer er givet ved (1, 1, x, y) (σ, τ, 0, 0) = ( σ, τ, σ 1 ( x), τ 1 ( y) ). Den anden mulighed for sammensætning giver også en ny konfiguration (σ, τ, 0, 0) (1, 1, x, y) = (σ, τ, x, y ). I dette tilfælde er klodserne permuteret med σ og τ, og da vi ikke ændrer på klodsernes placering ved sammensætningen, har vi også her, at σ = σ og τ = τ. For klodsernes orientering ser vi, at hvis vi tager udgangspunkt i den første konfiguration og navngiver og nummererer klodsernes overflader som tidligere beskrevet, vil klodernes orientering efter sammensætning være givet netop ved x og y. Vi har altså, at x = x og y = y og dermed, har vi, at (σ, τ, 0, 0) (1, 1, x, y) = (σ, τ, x, y). Vi har nu bevist, hvorledes to konfigurationer, der ændrer henholdsvis orientering og placering, sammensættes. Vi kan benytte resultaterne fra Ligning (2.1), (2.2) og (2.3), når vi betragter sammensætning af to vilkårlige konfigurationer. 2.6 Sætning: Sammensætningen af to vilkårlige konfigurationer er givet ved (σ 1, τ 1, x 1, y 1 ) (σ 2, τ 2, x 2, y 2 ) = ( σ 1 σ 2, τ 1 τ 2, σ 1 2 ( x 1) + x 2, τ 1 2 ( y 1) + y 2 ). (2.4) 12

21 Gruppe G Symmetrier Sammensætningen af de to vilkårlige konfigurationer (σ 1, τ 1, x 1, y 1 ) og (σ 2, τ 2, x 2, y 2 ) kan omskrives ved hjælp af Ligning (2.3), og vi har, at (σ 1, τ 1, x 1, y 1 ) (σ 2, τ 2, x 2, y 2 ) = ( (σ 1, τ 1, 0, 0) (1, 1, x 1, y 1 ) ) ((σ 2, τ 2, 0, 0) (1, 1, x 2, y 2 ) ). Vi kan her udnytte resultatet fra Ligning (2.2): (σ 1, τ 1, 0, 0) ((1, 1, x 1, y 1 ) (σ 2, τ 2, 0, 0) ) (1, 1, x 2, y 2 ) = Med udgangspunkt i Ligning (2.3), kan vi udlede, at (σ 1, τ 1, 0, 0) (σ 2, τ 2, σ 1 2 ( x 1), τ 1 2 ( y 1) ) (1, 1, x 2, y 2 ). (σ 1, τ 1, 0, 0) (σ 2, τ 2, σ 1 2 ( x 1), τ 1 2 ( y 1) ) = ( σ 1 σ 2, τ 1 τ 2, σ 1 2 ( x 1), τ 1 2 ( y 1) ), idet klodsers placering ændres ved sammensætning af permutationer. På samme måde har vi fra Ligning (2.3), at (σ 1 σ 2, τ 1 τ 2, σ 1 2 ( x 1), τ 1 2 ( y 1)) (1, 1, x 2, y 2 ) = (σ 1 σ 2, τ 1 τ 2, σ 1 2 ( x 1) + x 2, τ 1 2 ( y 1) + y 2 ), fordi sammensætning af klodsernes orientering følger addition i Z/3Z og Z/2Z. Ud fra dette, får vi, at to vilkårlige konfigurationer (σ 1, τ 1, x 1, y 1 ) og (σ 2, τ 2, x 2, y 2 ) sammensættes således (σ 1, τ 1, x 1, y 1 ) (σ 2, τ 2, x 2, y 2 ) = ( σ 1 σ 2, τ 1 τ 2, σ 1 2 ( x 1) + x 2, τ 1 2 ( y 1) + y 2 ). Vi ønsker at bestemme den inverse til en vilkårlig konfiguration. 2.7 Sætning: Den inverse til en konfiguration (σ, τ, x, y) er givet ved (σ, τ, x, y) 1 = ( σ 1, τ 1, σ( x), τ( y) ). Vi benytter sammensætningen af to vilkårlige konfigurationer fra Sætning 2.6. (σ, τ, x, y) (σ, τ, x, y) 1 = (σ, τ, x, y) (σ 1, τ 1, σ( x), τ( y) ) Dermed er sætningen bevist. = ( σσ 1, ττ 1, (σ 1 ) 1 ( x) + σ( x), (τ 1 ) 1 ( y) + τ( y) ) = ( 1, 1, σ( x) + σ( x), τ( y) + τ( y) ) = (1, 1, 0, 0). For nemmere at kunne adskille de lovlige konfigurationer i Λ l fra de ulovlige konfigurationer i Λ, skal vi have defineret, hvordan Rubiks gruppe virker på Λ, samt hvad det vil sige, at en konfiguration har en bane. 13

22 2.3. Gruppevirkning Aalborg Universitet 2.3 Gruppevirkning Idéen om en gruppes virkning på en mængde er fundamental for forståelsen af sammenhængen mellem Rubiks gruppe, der består af træk, og mængden Λ, der består af konfigurationer. Vi starter med definitionen af gruppevirkning: 2.8 Definition (Gruppevirkning): En gruppe G siges at virke på en mængde A, hvis der eksisterer en afbildning α: A G A, noteret α(a, g) = a g, sådan at 1. a 1 = a for alle a A. 2. a (h g) = (a h) g for alle g, h G og alle a A. Som eksempel virker gruppen G på mængden af konfigurationer Λ. Det tomme træk afbilder en konfiguration i sig selv, og trækkenes anvendelse på en konfiguration er associativ ifølge Definition 1.3. Da vi har defineret en gruppes virkning på en mængde, kan vi definere banen for et element i en mængde. 2.9 Definition (Bane): Lad en gruppe G virke på en mængde A. Elementet a A har en såkaldt bane under G s virkning, som vi noterer med a G, og banen er givet ved a G = {a g g G}. Ovenstående definition kan illustreres med et eksempel. Startkonfigurationen (1, 1, 0, 0) har en bane under virkningen af G. Banen er lig mængden af alle konfigurationer, som et træk i G kan afbilde (1, 1, 0, 0) over i. Dette er altså alle konfigurationer, som kan opnås ved at udføre træk på startkonfigurationen, hvilket netop er de lovlige konfigurationer Λ l Definition (Stabilisator): Lad G være en gruppe, der virker på A, og lad X A. Hvis G virker på delmængden X, så er stabilisatoren af X givet ved G X = {g G X g = X}. I det tilfælde, hvor X = {x}, skriver vi G X som G x. En egenskab for stabilisatoren af en mængde er følgende Proposition: Lad G være en gruppe, der virker på A, og lad X A. Stabilisatoren G X er en undergruppe af G. Det neutrale element af G ligger i G X ifølge Definition 2.8. Lad g G X. Så er X g = X. Desuden er X 1 = X, igen fra Definition 2.8, så X 1 = X g X 1 g 1 = X g g 1 X g 1 = X 1 X g 1 = X. Så den inverse til et vilkårligt element i G X er også indeholdt i G X. 14

23 Gruppe G Symmetrier Lad nu to elementer g 1 og g 2 ligge i G X. Så er X (g 1 g 2 ) = (X g 1 ) g 2 = X g 2 = X. Derfor er G X lukket under komposition, og G X er en undergruppe af G. Når flere elementer er i samme bane, kan vi benytte følgende lemma Lemma: Lad en endelig gruppe G virke på en mængde A, og lad N være mængden af frembringere af G. Lad P være en egenskab, hvor følgende gælder: Når a A overholder P, og n N, så overholder a n også P. Så gælder det, at hvis a 0 A overholder P, så overholder alle elementer i banen af a 0 også P. Vi definerer en egenskab Q, sådan at når følgende gælder: Når a A overholder P, så overholder a g egenskaben P, så har vi, at g G overholder Q. Vi viser, at alle g G overholder egenskaben Q, da det vil betyde, at hvis a 0 A overholder P, så har vi, at a 0 g overholder P for alle g G, hvilket netop er banen af a 0. Ved antagelse overholder alle elementer i N egenskab Q. Ved Proposition 2.3 er det tilstrækkeligt at vise, at hvis g, h G overholder Q, så overholder hg egenskaben Q. Antag derfor, at a A overholder P, samt at g, h G overholder Q. Så overholder a h egenskaben P. Da g også overholder Q, har vi, at (ah) g overholder egenskaben P. Men gruppevirkning er associativ, så a (hg) må også overholde egenskaben P. Dermed overholder hg egenskaben Q, når g, h G overholder Q. Ifølge Proposition 2.3 har vi, at alle elementer i N = G overholder Q. Resultatet gælder for alle endelige grupper G og mængder A, og dermed også for G s virkning på Λ l. Som det sidste, inden vi gennemgår lovlige konfigurationer, vil vi definere nogle nyttige afbildninger, som vi skal bruge til at beskrive de lovlige konfigurationer. 2.4 Homomorfe afbildninger Vi definerer to afbildninger fra vores gruppe af træk G over i de symmetrigrupper, som svarer til trækket. Disse afbildninger kalder vi φ: G S 20 og ψ : G S 48. Afbildningen φ sender et træk over i permutationen af de 20 klodser, der kan skifte placering i terningen, da de seks centerklodser kan betragtes som ubevægelige. Afbildningen φ fortæller ikke noget om de 20 klodsers orienteringer. Til at beskrive klodsernes orienteringer har vi i stedet ψ, som sender et træk over i den permutation af de 48 bevægelige overflader, som trækket forårsager. 15

24 2.4. Homomorfe afbildninger Aalborg Universitet 2.13 Definition (Homomorfi): Lad G og H være grupper. En afbildning f : G H kaldes en homomorfi, hvis f(xy) = f(x)f(y) for alle x, y G. Afbildningerne φ og ψ er homomorfier, da permutationen af klodser og overflader efter to træk, svarer til permutationen efter det sammensatte træk. Som eksempel på afbildningerne betragter vi trækket R, som roterer højre skive én gang i positiv omløbsretning. Så er og φ(r) = (frd brd bru fru)(rf rd rb ru) ψ(r) = (frd drb bru urf)(rdf rbd rub rfu)(dfr bdr ubr fur)(rf rd rb ru)(fr dr br ur). At ψ beskriver den orienterede terning afspejles ved, at ψ(r) har tre 4-cykler for hjørneklodsernes flader og to 4-cykler for kantklodsernes. Derimod består φ(r) kun af to 4-cykler, en for hjørneklodser og en for kantklodser. Når vi foretager et træk, er vi nogle gange kun interesserede i, hvilken effekt trækket har på enten hjørne- eller kantklodserne. Dertil definerer vi følgende afbildninger. φ hjørne : G S 8, hvor φ hjørne (M) er det element i S 8, som fortæller, hvordan trækket M permuterer terningens otte hjørneklodsers placering. φ kant : G S 12, hvor φ kant (M) er det element i S 12, som fortæller, hvordan trækket M permuterer terningens 12 kantklodsers placering. ψ hjørne : G S 24, hvor ψ hjørne (M) er det element i S 24, som fortæller, hvordan trækket M permuterer de 24 af terningens overflader, der ligger på hjørneklodser. ψ kant : G S 24, hvor ψ kant (M) er det element i S 24, som fortæller, hvordan trækket M permuterer de 24 af terningens overflader, der ligger på kantklodser. Disse afbildninger kan betragtes parvist ved φ og ψ. Hertil introducerer vi en ny type homomorfi Definition (Inklusionshomomorfien): Afbildningen θ n,m : S n S m S m+n kaldes inklusionshomomorfien, og er defineret ved ( ) (σ, τ) 1 2 n n + 1 n + m σ(1) σ(2) σ(n) n + τ(1) n + τ(m), for σ S n og τ S m. For at beskrive homomorfien φ benytter vi så inklusionshomomorfien θ 8,12 : S 8 S 12 S 20, som afbilder et element (σ, τ) S 8 S 12 over i et nyt element i S 20. Vi kan nu udtrykke φ, først ved en afbildning af et element M G over i parret (φ hjørne (M), φ kant (M)), og derfra ved hjælp af inklusionshomomorfien θ 8,12 over i S 20. Altså har vi en afbildning 16 φ: G (φ hjørne,φ kant ) S 8 S 12 θ 8,12 S 20,

25 Gruppe G Symmetrier hvor φ(m) = θ 8,12 (φ hjørne (M), φ kant (M)) = θ 8,12 (φ hjørne (M)) θ 8,12 (φ kant (M)). Vi har, at θ 8,12 (φ hjørne (M)) og θ 8,12 (φ kant (M)) er disjunkte cykler i S 20. På samme måde kan vi udtrykke ψ ved hjælp af inklusionshomomorfien θ 24,24 : S 24 S 24 S 48, som afbilder et element (σ, τ) S 24 S 24 over i et nyt element i S 48. Så er ψ givet ved ψ : G (ψ hjørne,ψ kant ) θ 24,24 S 24 S 24 S 48, således at ψ(m) = θ 24,24 (ψ hjørne (M), ψ kant (M)) = θ 24,24 (ψ hjørne (M)) θ 24,24 (ψ kant (M)), hvor θ 24,24 (ψ hjørne (M)) og θ 24,24 (ψ kant (M)) er disjunkte cykler i S 48. Vi kan yderligere benytte homomorfier til at beskrive en sammenhæng mellem træk i Rubiks gruppe og konfigurationer i Λ l Definition (Isomorfi): Hvis en homomorfi f : G 1 G 2, hvor G 1 og G 2 er endelige grupper, er bijektiv, kaldes f en isomorfi. Så siges G 1 og G 2 at være isomorfe, hvilket noteres G 1 = G2. Denne definition gør det muligt at beskrive en gruppe, som er isomorf til Rubiks gruppe, og består af konfigurationer frem for træk. Som komposition for gruppen bruges den komposition, vi indførte i Sætning Definition: Gruppen K = (Λ l, ) består af mængden Λ l af lovlige konfigurationer på Rubiks terning, samt en komposition : Λ l Λ l Λ l, hvor (σ 1, τ 1, x 1, y 1 ) (σ 2, τ 2, x 2, y 2 ) = (σ 1 σ 2, τ 1 τ 2, σ 2 ( x 1 ) + x 2, τ 2 ( y 1 ) + y 2 ) Proposition: Rubiks gruppe G er isomorf til gruppen K. Vi introducerer afbildningen ρ : G K, som anvender et træk på startkonfigurationen. Afbildningen er injektiv ifølge Proposition 1.2 og surjektiv, da ρ(g) = K, idet Λ l netop består af de konfigurationer, der kan opnås ud fra træk på startkonfigurationen. Desuden er ρ en homomorfi, da et sammensat træk udført på startkonfiguration svarer til først at udføre det første træk og derefter udføre det andet træk. Vi er nu klar til at afgøre, hvornår en konfiguration af Rubiks terning ligger i banen for startkonfigurationen. 17

26 Lovlige konfigurationer Kapitel 3 Følgende sætning er et hovedresultat for teorien bag terningen, som også bliver gennemgået i [Chen 2014]. Den fortæller os, hvornår en konfiguration er lovlig og tilhører mængden Λ l. Senere benyttes betingelserne for en lovlig konfiguration til at beskrive Rubiks gruppes struktur. 3.1 Sætning: En konfiguration (σ, τ, x, y) ligger i Λ l, hvis og kun hvis sgn σ = sgn τ for σ S 8 og τ S 12, (3.1) xi 0 (mod 3) for x (Z/3Z) 8, (3.2) yi 0 (mod 2) for y (Z/2Z) 12. (3.3) Sætningen bevises sidst i afsnittet med udgangspunkt i en række resultater. Som det første vil vi vise en række egenskaber, som skal gælde, hvis en konfiguration er lovlig. Vi er dog nødt til først at bevise en hjælpesætning, som tager udgangspunkt i σ og τ. 3.2 Lemma: Antag, at terningen er i konfigurationen (σ, τ, x, y). Hvis man benytter trækket M G på terningen i denne konfiguration, opnås en ny konfiguration (σ, τ, x, y ). Så er σ = σφ hjørne (M) og τ = τφ hjørne (M). Lad M 0 være et træk, der sender startkonfigurationen over i konfigurationen (σ, τ, x, y). Det vil sige, at σ = φ hjørne (M 0 ), τ = φ kant (M 0 ). Det sammensatte træk M 0 M sender så startkonfigurationen over i (σ, τ, x, y ). Dermed er og σ = φ hjørne (M 0 M) = φ hjørne (M 0 )φ hjørne (M) = σφ hjørne (M) τ = φ kant (M 0 M) = φ kant (M 0 )φ kant (M) = τφ kant (M) i henhold til egenskaberne for homomorfien φ. Vi vil nu bevise, hvad der skal gælde, hvis en konfiguration er lovlig. 3.3 Lemma: Hvis konfigurationerne (σ, τ, x, y) og (σ, τ, x, y ) er i den samme bane, så gælder det, at (sgn σ)(sgn τ) = (sgn σ )(sgn τ ). 18

27 Gruppe G Lovlige konfigurationer Ifølge Lemma 2.12 er det nok at vise, at hvis (σ, τ, x, y) M = (σ, τ, x, y ), hvor M er et basistræk, så er (sgn σ)(sgn τ) = (sgn σ )(sgn τ ). Vi ved fra Lemma 3.2, at σ = σφ hjørne (M) og τ = τφ kant (M), og derfor kan det konkluderes, at: (sgn σ )(sgn τ ) = (sgn σφ hjørne (M)) (sgn τφ kant (M)) = (sgn σ)(sgn φ hjørne (M)) (sgn τ)(sgn φ kant (M)), da fortegnsfunktionen er en gruppehomomorfi. Hvis M er et af de seks basistræk, vil φ hjørne (M) og φ kant (M) være 4-cykler og dermed have negativt fortegn. Dermed gælder det, at (sgn σ)(sgn τ) = (sgn σ )(sgn τ ). 3.4 Korollar: Hvis (σ, τ, x, y) Λ l, så opfylder konfigurationen Ligning (3.1). Resultatet følger direkte af det foregående, da en lovlig konfiguration er i banen af startkonfigurationen (1, 1, 0, 0). 3.5 Lemma: Hvis en konfiguration (σ, τ, x, y ) er i banen af elementet (σ, τ, x, y), så er x i x i (mod 3) og y i y i (mod 2). Ifølge Lemma 2.12 er det tilstrækkeligt at vise resultatet for (σ, τ, x, y ) = (σ, τ, x, y) M, hvor M er et basistræk. Idet der kun er seks basistræk, er det muligt at verificere påstanden ved at se på alle basistrækkene. I Tabel 2.1 ses hvert enkelt basistræks påvirkning på klodsernes orientering. Det ses, at basistrækkene U og D ikke påvirker hjørneklodsernes orientering. De andre basistræk påvirker orienteringen på en sådan måde, at x i x i + 6 x i (mod 3). For kantklodser gælder samme argumentation, hvor basistrækkene U og D heller ikke påvirker orienteringen. De resterende basistræk påvirker kantklodsernes orientering på en sådan måde, at y i y i + 4 y i (mod 2). 3.6 Korollar: Hvis (σ, τ, x, y) Λ l, så opfylder konfigurationen Ligning (3.2) og (3.3). Korollaret følger direkte af Lemma 3.5, da startkonfigurationen er defineret ved (1, 1, 0, 0). For at færdiggøre beviset for Sætning 3.1 viser vi, at der findes et træk, som bringer Rubiks terning tilbage til startkonfigurationen (1, 1, 0, 0), når det virker på en konfiguration (σ, τ, x, y), der overholder betingelserne i Sætning 3.1. Hvis terningen kan løses med et træk på konfigurationen (σ, τ, x, y), så ligger konfigurationen i banen af (1, 1, 0, 0) og er dermed en lovlig konfiguration. De nødvendige og tilstrækkelige betingelser inddeles i fire punkter. Vi viser, at følgende fra Sætning 3.1 gælder, hvis (σ, τ, x, y) overholder Ligning (3.1), (3.2) og (3.3). 1. Der findes et træk M 1 G, sådan at (σ, τ, x, y) M 1 = (1, τ, x, y ). Altså findes der et træk, som sender hjørneklodserne til deres korrekte placering. 19

28 Aalborg Universitet 2. Der findes et træk M 2 G, sådan at (1, τ, x, y) M 2 = (1, τ, 0, y ). Altså et træk, som orienterer hjørneklodserne korrekt uden at ændre den korrekte placering af hjørneklodserne. 3. Der findes et træk M 3 G, sådan at (1, τ, 0, y) M 3 = (1, 1, 0, y ). Det vil sige, trækket sender kantklodserne til deres korrekte placering uden at ændre på den korrekte placering og orientering af hjørneklodserne. 4. Der findes et træk M 4 G, sådan at (1, 1, 0, y) M 4 = (1, 1, 0, 0). Altså et træk, der orienterer kantklodserne korrekt uden at påvirke placering på kant- og hjørneklodser samt orientering på hjørneklodser. Virkningen af M 1 M 2 M 3 M 4 på konfigurationen er da en løst Rubiks terning, og konfigurationen må ligge i banen af (1, 1, 0, 0), når den kan løses. Den er således lovlig under betingelserne i Sætning 3.1. For at bevise dette, skal vi først overveje følgende. Antag, at (σ, τ, x, y) overholder Ligning (3.1), (3.2) og (3.3). Så har vi fra Lemma 3.3 og 3.5, at der for en vilkårlig konfiguration (σ, τ, x, y ) i samme bane som (σ, τ, x, y) gælder, at sgn σ = sgn τ, x i 0 (mod 3) og y i 0 (mod 2). Dette betyder, at hvis vi kan vise, der eksisterer et træk M G, således at (σ, τ, x, y) M har formen (1, τ, x, y ), så følger det automatisk, at sgn τ = 1, x i 0 (mod 3) og y i 0 (mod 2). Derfor behøver vi blot bevise følgende fire propositioner. 3.7 Proposition: Hvis (σ, τ, x, y) er en konfiguration, der overholder Ligning (3.1), (3.2) og (3.3), så indeholder banen af (σ, τ, x, y) en konfiguration på formen (1, τ, x, y ). 3.8 Proposition: Hvis (1, τ, x, y) er en konfiguration med sgn τ = 1, som overholder Ligning (3.2) og (3.3), så indeholder banen af (1, τ, x, y) en konfiguration på formen (1, τ, 0, y ). 3.9 Proposition: Hvis (1, τ, 0, y) er en konfiguration med sgn τ = 1, som overholder Ligning (3.3), så indeholder banen af (1, τ, 0, y) en konfiguration på formen (1, 1, 0, y ) Proposition: Hvis (1, 1, 0, y) er en konfiguration, som overholder Ligning (3.3), så indeholder banen af (1, 1, 0, y) startkonfigurationen (1, 1, 0, 0). For at bevise Proposition 3.7 viser vi, at vi kan sende alle hjørneklodser til deres korrekte placering. Dette gøres ved at vise, at funktionen, som sender elementer fra Rubiks gruppe over i symmetrigruppen S 8, hvor hjørneklodserne ligger i, er surjektiv. Først skal vi dog bruge nogle hjælpesætninger Lemma: S n kan frembringes af mængden af 2-cykler i S n. Lemmaet følger direkte af Proposition i [Lauritzen 2012] Lemma: Hvis A er en delmængde af B, så er A en delmængde af B. 20

29 Gruppe G Lovlige konfigurationer B er den mindste gruppe, som indeholder B. B indeholder samtidig A og dermed den mindste undergruppe, der indeholder A, som netop er givet ved A Lemma: Lad f : G H være en homomorfi. Billedmængen af f er defineret til at være mængden im f = {f(g) g G}. Så gælder det, at im f er en undergruppe af H. Lemmaet følger af Proposition i [Lauritzen 2012] Lemma: Lad K 1 og K 2 være to forskellige, uorienterede hjørneklodser, og lad også K 1 og K 2 være to forskellige hjørneklodser. Der eksisterer et træk på Rubiks terning, som sender hjørneklodsen K 1 over i placeringen for K 1 og sender K 2 over i placeringen for K 2. Det er klart, at der altid eksisterer et træk M 1, som sender K 1 over i K 1 uafhængigt af K 2 og K 2, endda ved hjælp af højst to rotationer. Vi vil nu vise, at det også altid er muligt at finde et træk M 2, som sender K 2 over i K 2, uden at flytte K 1 igen. Det træk, som beviser lemmaet, er da trækket M = M 1 M 2. Vi kan betragte terningens hjørneklodser som opdelt i to lag, et øvre lag og et nedre lag, hver med fire hjørneklodser. Efter, at vi har foretaget trækket M 1, er der så fire mulige tilfælde: 1. K 1, K 2 og K 2 befinder sig alle i samme lag. 2. K 1 er i det ene lag, og K 2 og K 2 er i det andet. 3. K 1 og K 2 er i det ene lag, og K 2 er i det andet. 4. K 1 og K 2 er i det ene lag, og K 2 er i det andet. Terningens symmetri medfører, at det ikke har nogen betydning om K 1 befinder sig i det øvre eller nedre lag. Idet vi betragter mængden af hjørneklodser {K 1, K 2, K 8 }, skal vi nu vise, at der for alle tilfældene eksisterer et træk M 2, som flytter K 2 til placeringen K 2 og samtidig ligger i stabilisatoren for hjørneklodsen K 1. Altså et M 2, der ligger i undergruppen G K1 = { M G } M bevarer placeringen af K 1. Hvilke træk G K1 består af, afhænger af placeringen af K 1, men uanset denne placering, vil der tydeligvis altid være tre rotationer, som ikke påvirker K 1. For eksempel, hvis K 1 er i placeringen urf, er trækkene D, L, B G urf. Dermed er alle kombinationer af disse rotationer også i stabilisatorundergruppen. Vi argumenterer for de fire tilfælde enkeltvist, idet vi tager udgangspunkt i et eksempel, hvor K 1 er i position urf. Terningens symmetri gør, at hvis vi kan finde et egnet for hvert af tilfældene, hvor K 1 er i placeringen urf, kan det også lade sig gøre med en vilkårlig placering for K I første tilfælde kan vi altid flytte en vilkårlig hjørneklods i et lag over til en anden placering i samme lag, hvor trækket, vi benytter, ligger i G K1. For K 1 i placeringen urf, kan vi ved kombinationer af basistrækkene L og B flytte de resterende tre hjørneklodser i U-siden rundt til de andre hjørneplaceringer, idet L, B G urf. 21

30 Aalborg Universitet 2. I det andet tilfælde kan vi rotere siden indeholdende K 2 og K 2, indtil det ønskede resultat er opnået. For K 1 i placeringen urf, er trækket D G K1, og trækket kan så foretages, indtil K 2 er sendt over i K I tredje tilfælde er det muligt at sende K 2 over i samme lag som K 2. For K 1 i placeringen urf, er trækkene L og B i G K1, og det gælder, at L sender ulb over i dlb, L 3 sender ulf over i dlf og B sender urb over i drb. Når K 2 og K 2 er i samme lag, kan fremgangsmåden fra tilfælde 2 benyttes. 4. I fjerde tilfælde kan vi sende K 2 over i samme lag som K 1 og K 2 uden at ændre på placeringen for K 1. Når K 1 er i urf, har vi igen, at L, B, D G K1. L sender dlf over i ulf, L 3 sender dlb over i ulb og B 3 sender drb over i urb. Som i tilfælde 2, kan D benyttes til at sende K 2 til et af hjørnerne dlf, dlb eller drb. Når K 2 er flyttet til samme lag som K 1 og K 2 kan fremgangsmåden fra tilfælde 1 benyttes. Ved hjælp af trækket M 2 G K1 kan vi således sende en vilkårlig hjørneklods K 2 over i en vilkårlig placering K 2 uden at påvirke placeringen for K 1. Det betyder, at stabilisatorundergruppen G K1 virker transitivt på mængden af de resterende hjørneklodser. Altså har G K1 s virkning på de resterende hjørneklodser kun har én bane. Det betyder også, at der eksisterer et træk M = M 1 M 2, som sender to hjørneklodser til deres korrekte placeringer. Vi er nu klar til at bevise, at vi kan sende alle hjørneklodserne til deres korrekte placeringer Lemma: Homomorfien φ hjørne : G S 8 er surjektiv. Lad T betegne mængden af 2-cykler i S 8. Så har vi, at T er en frembringer for S 8, da alle permutationer i S 8 kan skrives som et produkt af 2-cykler ifølge Lemma For at bevise lemmaet er det tilstrækkeligt at vise, at T er en delmængde af billedmængden φ hjørne, da vi i så fald har, at S 8 = T im φ hjørne. Da im φ hjørne er en gruppe, har vi at im φ hjørne = im φ hjørne, da alle elementer i gruppen frembringer gruppen. Vi vil nu vise, at enhver 2-cykel i S 8 er i billedmængden af φ hjørne. U F R B L D Figur 3.1. Trækket M 0 = (D 3 R 3 DRF 3 ) 3 udført på startkonfigurationen. 22