Elektrostatisk energi

Transkript

1 Elektomagnetisme ide 1 af 8 Elektostatik Elektostatisk enegi Fo et legeme, de bevæge sig fa et punkt til et andet, e tilvæksten i potentiel enegi høende til en konsevativ 1 kaft F givet ved minus det abejde, som den konsevative kaft udføe: f Δ F E W F d, pot, F = i f E F d, E. ( ) F ( ) pot, F pot, ef ef i (.1) Coulombkaften e konsevativ, og dens potentielle enegi kaldes den elektostatiske enegi. Den elektostatiske enegi af en punktladning anbagt i punktet e således ifølge udtyk (1.9) og (1.17) givet ved el ( ) C = = : ef ef ef E F d E d E d E ( ) = ϕ ( ) el. (.) Bemæk, at popotionaliteten i udtyk (.) således e den samme som i udtyk (1.9). Bemæk endvidee, at den elektostatiske enegi og Coulombkaften e noget, som ladningen opleve, hvoimod E-feltet og det elektostatiske potential eksistee uafhængigt af ladningen. 1 En kaft e konsevativ, hvis det abejde, den udføe mellem to punkte, e uafhængig af den valgte vej. Hvis integalene i udtyk (.1), og demed den potentielle enegi, va afhængig af vejen, ville den potentielle enegi ikke væe veldefineet. Demed kan potentiel enegi (og potentiale) kun indføes fo konsevative kæfte såsom tyngdekaften, fjedekaften og Coulombkaften. Thomas B. Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 13/9/7

2 Elektomagnetisme ide af 8 Elektostatik Ledee : Ledee og dielektika Indeholde et stot antal fie ladningsbæee (eks. e ), som vil sætte sig i bevægelse, hvis det pågældende mateiale udsættes fo et E-felt, sådan at de vil gå en elektisk støm: De to pole angive en foskel i det elektostatiske potential, som således vokse i x-aksens etning: ϕ ϕ ϕ F ee e( ϕ ) e xˆ yˆ zˆ e = = = + + x y z ϕ = e xˆ. x Det angivne lineæt voksende potential svae således til et konstant E-felt, hvis feltstyke ϕ ϕ E= E = xˆ = > x x angive hældningen, svaende til at E-feltet angive, hvo hutigt potentialet vaiee. e E e + ϕ ( x) x E 1 x De vil således gå en elektisk støm i ledeen, så længe de e en potentialfoskel ( spændingsfoskel ) og demed et E-felt. Omvendt e E = i en lede, hvoi de ikke gå en støm. En lede, hvoi de ikke gå en støm, siges at væe i statisk ligevægt. Dielektika (isolatoe): Ladningene e så kaftigt bundet til stoffets atome/molekyle, at de ikke umiddelbat kan sætte sig i bevægelse. Halvledee betagtes i denne fobindelse som ledee. Thomas B. Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 13/9/7

3 Elektomagnetisme ide 3 af 8 Elektostatik Gauss lov Fo en lukket flade ha det lukkede E fladeintegal elle fluxen af E-feltet gennem flg. fotolkning: E nda ˆ (.3) da θ E cosθ da e et infinitesimalt udsnit af fladen. e en udadettet enhedsnomalvekto. En ˆ = E 1cos θ = Ecosθ e nomalkomposanten 3 af E-feltet. E-feltets flux E nda ˆ e således en infinitesimal sum af E-feltets nomalkomposante ove den lukkede flade elle med ande od et mål fo antallet af E-feltlinie, de netto set udgå fa fladen. 4 E I det flg. udegnes fluxen med en punktladning anbagt inde i : E nda ˆ = ˆ nda 3 ˆ nˆ = da cosθ = da; θ ˆ 3 Pojektionen af E-feltet på nomalen til fladeaealet da. 4 E nˆ da = ϕ nˆ da e også integalet af den etningsafledede af potentialet vinkelet indad på. Thomas B. Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 13/9/7

4 Elektomagnetisme ide 4 af 8 Elektostatik cosθ da e det infinitesimale aeal, som udspændes af umvinklen umvinkle Ω mellem ovefladeaeal dω, idet definees som foholdet A og på samme måde som adiane i en kugle, θ definees som foholdet mellem buelængde s og adius i en cikel: Demed fås: cosθ E nda ˆ = da = d Ω 4π = 4π =. (.4) cikel da dω s θ, θ = ad, θ Hvis punktladningen e anbagt uden fo blive fluxen: E nda ˆ 1 = EndA ˆ + EndA ˆ 1 cosθ = da + = Ω Ω Ω Ω =, 1 ( d d ) cosθ da (.5) θ s π = = π. θ cosθda A Ω A Ω, Ω = stead 4π, Ω kugle = = 4 π. eftesom θ > 9 fo. om det femgå af FIGURE -7 gælde ovenstående esultate, uanset fomen af. 1 Ω Thomas B. Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 13/9/7

5 Elektomagnetisme ide 5 af 8 Elektostatik Vi ha hemed udledt Gauss lov, ifølge hvilken fluxen af E-feltet gennem en lukket flade e popotional med ladningen Q omsluttet af : Q EndA ˆ =. (.6) Fo en kontinuet ladningsfodeling beskevet ved ladningstætheden ρ( ) få Gauss lov fomen hvo V e umfanget omsluttet af. 1 E nda ˆ = ρ dv, (.7) V Det antal E-feltlinie, de netto set udgå fa en lukket flade, e således popotionalt med den omsluttede ladning. Bemæk, at feltlinie, de tænge ind i fladen, give anledning til en negativ flux, idet e udadettet. Essensen af Gauss lov e således, at E- felte udgå fa positive ladninge og ende på negative ladninge. Flux > Flux < Thomas B. Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 13/9/7

6 Elektomagnetisme ide 6 af 8 Elektostatik Divegenssætningen: Det kan vises, at ethvet vektofelt F opfylde flg. Divegenssætning : FdV= F nda ˆ, (.8) hvo e den lukkede flade, som omslutte umfanget V. V Integalet (den infinitesimale sum) af et vektofelts divegens ove et umfang V e således lig fluxen af det pågældende vektofelt gennem den omsluttende flade, og da denne flux e et udtyk fo antallet af feltlinie, som udgå fa V, e F således et udtyk fo hvo mange feltlinie, de udgå fa et punkt. F e altså positiv i et punkt, hvis de flyde flee feltlinie væk fa punktet ( kilde ), end de flyde til, negativ hvis omvendt ( dæn ), og nul, hvis de e balance. Ved at kombinee Gauss lov med divegenssætningen fås ρ dv = E nˆ da = E dv, V V og da dette udtyk holde fo vilkåligt V, må integandene væe ens: E = ρ. (.9) Dette udtyk e Gauss lov på diffeentialfom, og udtyk (.6) og (.7) e Gauss lov på integalfom, hvoi kaldes en gaussisk flade. E e altså positiv, hvis de netto set flyde E-feltlinie væk, svaende til at de e en positiv ladningstæthed ρ ( ) i punktet: E-feltlinie udgå fa positive ladninge og ende på negative ladninge. Thomas B. Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 13/9/7

7 Elektomagnetisme ide 7 af 8 Elektostatik Beegning af E-feltet fa en (uendeligt) lang, homogen stang vha. Gauss lov: Q EndA ˆ = : E Q λl =. Pga. stangens symmeti, heunde dens uendelige længde, må E væe ettet vinkelet på stangen 5, og pga. otationssymmetien vil E l endvidee kun afhænge af : E nˆ da= E nˆ da= E() da= E() da= E() A = E() π l: E ( ) λ = ˆ π n 1 (.1) Bemæk, hvodan Gauss lov lægge op til at udnytte poblemets indbyggede symmeti. 6 1 π Altenativet til Gauss lov ville væe E ( ) = ˆ xxˆ λdx. xx 5 Alle E-feltbidag til venste på figuen vil blive udlignet af lige så stoe bidag til høje. 6 Bemæk desuden, hvodan den vilkåligt valgte længde l nødvendigvis gå ud af beegningen. Thomas B. Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 13/9/7

8 Elektomagnetisme ide 8 af 8 Elektostatik E-feltet inden i og lige uden fo en lede i statisk ligevægt: Hvis E inde i en lede, vil de væe en Coulombkaft på fie ladningsbæee og demed gå en støm. å inde i en lede i statisk ligevægt e E =. (.11) Ved at tage ledeens oveflade som en gaussisk flade kan det demed vises, at de ikke kan væe netto-ladning inde i en lede i statisk ligevægt: Q= E nˆ da=. (.1) Med ande od sidde al ladningen på ovefladen af en lede i statisk ligevægt. Da E = inde i en lede i statisk ligevægt, og da E = ϕ, e potentialet konstant inde i ledeen, som demed udgø et ækvipotentialomåde og dens oveflade en ækvipotentialflade. Da E-feltet pege i den etning, hvoi potentialet aftage hutigst, e E vinkelet på ovefladen af en lede i statisk ligevægt. E-feltstyken umiddelbat uden fo ledeen findes vha. en Gaussisk flade i fom af en infinitesimal cylinde: Q EndA ˆ = : E Q σ d =, E nda ˆ = EdA= E da= Ed: d d σ E = nˆ. (.13) d Thomas B. Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 13/9/7