Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller

Transkript

1 Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige

2 Estimator og estimat E stikprøve statistik er et umerisk mål for e opsummerede karakteristik af stikprøve. f E populatios parameter er et umerisk mål for e opsummerede karakteristik af populatioe. f μ E estimator af e populatios parameter er e stikprøve statistik, der bruges til at estimere populatios parametere. Et estimat af e parameter er e bestemt umerisk værdi af e stikprøve statistik. Et pukt-estimat er e ekelt værdi, der bruges som et estimat for e populatios parameter. Et iterval-estimat estimat er et iterval, der bruges som et estimat for e populatios parameter. Eksempel: er e estimator for μ. er et (pukt) estimat af μ.

3 Populatios fordelig, stikprøve, populatios middelværdi og stikprøve geemsit. Populatios middelværdi (μ) = E[ ] Frekves fordelig af populatioe er selv e stokastisk variabel, der følger e fordelig. Stikprøve Stikprøve geemsit ( ) 1 = i = 1 i

4 Stikprøve-fordelig Atag 1,,, er e uafhægig stikprøve, hvor μ =E[] og =V[] er populatioes middelværdi og varias. 1 Stikprøve-middelværdie er = i = 1 i De forvetede værdi af stikprøve-middelværdie er lig med populatios-middelværdie E( ) = μ = Variase af stikprøve middelværdie er lig med populatios variase divideret med stikprøve-størrelse V ( ) μ = =

5 Stikprøve-fordelig Normalfordelt stikprøve Hvis ormal fordelt, så er ormalfordelt: ~ N μ, Hvilke fordelig følger, hvis stikprøve ikke er ormalfordelt?

6 Stikprøve fordeliger Uiform populatio af heltal fra 1 til 8: P() P() P() P() P() P() V() V() = = E[ E[ ] ] - - (E[]) (E[]) = = = = P() Uiform Distributio (1,8) E() = μ = 4.5 V() = = 5.5 SD() = =.913

7 Stikprøve fordeliger Der er 8*8 = 64 forskellige me lige sadsylige stikprøver af tal, ma ka tage (med tilbagelægig) fra e uiform populatio af heltallee fra 1 til 8: Stikprøver af tal fra Uiform (1,8) ,1 1, 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8,1,,3,4,5,6,7,8 3 3,1 3, 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 4 4,1 4, 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 5 5,1 5, 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 6 6,1 6, 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 7 7,1 7, 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 8 8,1 8, 8,3 8,4 8,5 8,6 8,7 8,8 Hver af disse stikprøver har et geemsit. For eksempel er geemsittet af (1,4) lig.5 og geemsittet af (8,4) er 6.0. Stikprøve geemsit

8 Stikprøve fordeliger Sadsyligheds fordelige af stikprøve middelværdie kaldes stikprøve fordelige af stikprøve middelværdie rdie. Stikprøve fordelige P() P() -μ (-μ ) P()(-μ ) P() Stikpøve fordelig E( ) = 4,5 = μ V ( ) =,65 = = 5,5

9 Stikprøvefordelig af middelværdie Ved at at sammelige populatios-fordelige og og stikprøve-fordelige af af middelværdie, ser ser ma at: at: Stikprøve-fordelige er er mere klokkeformet og og de er er symmetrisk. Begge har samme middelværdi. Stikprøve fordelige er er mere kompakt, med e e midre varias. P() P() Uiform Distributio (1,8) Stikpøve-fordelig

10 De cetrale græseværdi sætig (CLT) Stikprøve fordelige af middelværdie af e stikprøve taget fra e vilkårlig populatio er approksimativ ormal fordelt for tilstrækkelig store. I adre ord: Hvis 1,, er e uafhægig stikprøve fra e vilkårlig populatio, så gælder ~ N μ, hvis er stor ok. Jo større er, jo tættere er stikprøve middelværdie på at følge e ormal-fordelig. I praksis er >30 ok.

11 Eksempler: Stikprøvefordelige for Normal Uiform Skewed Geeral Populatio = = 30 μ μ μ μ

12 Summeopgave Geemsitslø et år efter edt cad.oeco uddaelse: kr/md Hvad er sadsylighede for at 5 tilfældigt udvalgte cad.oeco er har e geemsitslø på midre ed 9.000kr/md? Atag, at stadard afvigelse er kedt og er.500kr/md.

13 Populatios og stikprøve adele Populatios adele er adele af succeser i populatioe: p = N Stikprøve adele er adele af succeser i stikprøve: p ˆ = Stikprøve adele er et estimat af populatios adele p.

14 Populatios og stikprøve adele - fortsat P( 5 ) = De tilsvarede estimator er P ˆ = Hvor følger e biomial fordelig med atals parameter og sadsyligshedparameter p, dvs. ~B(,p). Eksempel: =10 og p=0.40 P ( ˆ P 0.5) = P 0.5 = P( 5) Da ~B(5,0.4) ka vi slå op i Tabel 1 side 773 for de kumulerede biomialfordelig:

15 Populatios og stikprøve adele - fortsat Gekald at = 1 + +, hvor i er et Beroulli forsøg, hvor sadsylighede for succes er P( i =1)=p. Derfor E[ i ]=p og V[ i ]=p(1-p). Ifølge CLT har vi (approksimativt): Pˆ = ~ N p, ( 1 p) Approksimatioe er god, hvis både p og (1-p) er større ed 5. p Eksempel: =10 og p=0.40 (her er approksimatioe ikke god) ˆ ˆ P p p P P = P = P Z (1 ) / (1 ) / = p p p p ( ) ( ) 74

16 Cetral og ikke-cetral estimator E cetral (ubiased( ubiased) estimator rammer i geemsit målet. Bias E ikke-cetral (biased( biased) estimator rammer i geemsit ikke målet.

17 Effektiv estimator E E estimator er er effektiv hvis hvis de de har har e e relativ lille lille varias (og (og stadard afvigelse). E effektiv estimator er, geemsitlig set, tættest på parametere, der estimeres. E ieffektiv estimator er, geemsitlig set, lægere væk fra parametere, der estimeres.

18 Kosistet og sufficiet estimator E E estimator er er kosistet hvis hvis sadsylighede for for at at ligge ligge tæt tæt på påde parameter, de de estimerer, stiger, år år størrelse på påstikprøve stiger. Kosistes = 10 = 100

19 Estimatorere Alle de geemgåede estimatorer er de bedste i ovefor ævte forstad. Se på estimatet for variase: s = i= 1 ( i ) 1 Hvorfor divideres med -1 og ikke med? Fordi ellers er de ikke e cetral estimator. Desude hadler det også om atallet af frihedsgrader Bemærk: = ( ) = 0 i 1 i

20 Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt

21 Kofides itervaller Et pukt-estimat estimerer værdie af e ukedt populatios parameter ved e ekelt værdi. F: Middelhøjde bladt oeco studerde =17,73. Et kofides iterval er et iterval, der estimerer værdie af e ukedt populatios parameter. Kaldes også et iterval estimat. Samme med itervallet gives et mål for, hvor sikker ma er på, at de sade populatios parameter ligger i itervallet. Dette mål kaldes for kofides iveauet. Et pukt estimat ideholder ikke meget iformatio om de faktiske værdi af μ f hvor sikkert er vores pukt estimat? Et iterval estimat ideholder flere iformatioer, for eksempel: Vi er 95% sikre på, at itervallet [164,8 ; 180,7] ideholde de sade middelværdi μ. Eller vi er 90% sikre på, at itervallet [166,1 ; 179,3] ideholder de sade middelværdi μ.

22 Kofidesiterval for middelværdie - år er ormal-fordelt eller stikprøve er stor Da ~ N( μ, ) gælder følgede: P μ 1.96 < < μ = 0.95 P 1.96 < μ < = 0.95 E 95% kofidesiterval for middelværdi Bemærk at estimatore er ± 1.96 er ersattet med estimatet.

23 Mellemregiger , , , ,96 / 1.96 ) ( (0,1) ,96) 1.96 ( = + < < = + < < = < < = < < = < < P P P P μ, ~N Z ~N Z P μ μ μ μ μ : at gælder Da hvor, ,05 0,05 0,95

24 Kofides iterval for middelværdi f() % falder edefor itervallet Samplig Distributio of the Mea.5% μ % μ 95% falder idefor itervallet.5% μ % falder over itervallet Approksimativt 95% af af stikprøve middelværdiere ka ka forvetes at at falde idefor itervallet μ 196., μ Omvedt, cirka.5% ka ka forvetes at at være uder μ 196. og ka og.5% ka at forvetes at være over μ Så Så5% ka ka forvetes at at være udefor itervallet...

25 Kofides iterval for middelværdi f() * Samplig Distributio of the Mea 95%.5%.5% μ μ 196. μ * Approksimativt 95% 95% af af itervallere ±1.96 omrig stikprøve middelværdie ka ka forvetes at at ideholde de de faktiske værdi af af populatios middelværdie, μ. μ *5% *5% af af sådae itervaller omkrig stikprøve middelværdie ka ka forvetes ikke ikke at at ikludere de de faktiske værdi af af populatios middelværdie.

26 Et (1-α )100% kofides iterval for μ z α Vi defierer som de z-værdi, hvor sadsylighede for at Z er α α højere ed dee værdi, er. Kaldes også fraktile eller de kritiske værdi. (1-α)100% kaldes kofides-iveauet. f(z) α -5-4 Stad ard Norm al z α 0 Z fordelig 1 z α ( 1 α ) 3 α 4 5 P z > z = α/ α P z < z = α/ α P z < z < z = α α α ( 1 ) (1 α) 100% kofidesiterval: ± z α

27 Kritiske værdier for z og kofides-iveauer ( 1 α) α z α f(z) α -5-4 Stad ard Norm al Distrib utio z α 0 Z 1 z α ( 1 α ) 3 α 4 5

28

29 Kofides iveau og bredde af kofidesitervallet Når Når ma ma tager tager stikprøver fra fra de de samme samme populatio og og bruger bruger de de samme samme stikprøve størrelse, så såjo jo højere højere et et kofides-iveau, jo jo bredere et et kofides-iterval. Sta d ard Nor m al Distri b uti o Sta d ard Nor m al Distri b uti o f(z) 0. f(z) Z 80% kofides iterval : ± Z 95% kofides iterval : ±

30 Stikprøvestørrelse og bredde af kofidesitervallet Når ma tager stikprøver fra fra de samme populatio og og bruger det det samme kofides iveau, så såjo jo større stikprøvestørrelse,,, jo jo smallere et et kofides iterval. S am p lig D is trib utio o f the M e a S am p lig D is trib utio o f the M e a f() 0. f() % kofidesiterval: = 0 95% kofidesiterval: = 40

31 Eksempel på tavle

32 Studet s t fordelig Hvis populatios stadard afvigelse,, er ukedt, erstat med stikprøve stadard afvigelse, s. Hvis populatioe er ormal, så er: t = μ s / t-fordelt med (-1) frihedsgrader (degrees of freedom). t fordelige er klokkeformet og symmetrisk og defieret ved atal frihedsgrader (df). Middelværdie er altid lig 0. Variase af t er større ed 1, me går mod 1, år atallet af frihedsgrader vokser. t fordelige er fladere og har tykkere haler e stadard ormal fordelige. t fordelige går mod stadard ormal fordelige å atallet af frihedsgrader vokser. 0 μ Stadard ormal t, df=0 t, df=10

33 Kofides iterval for μ år er ukedt - t fordelige Et Et (1-α)100% kofides iterval for for μ år år er er ukedt (og (og ma atager e e ormalfordelt populatio): ± t α s hvor t er i t -1 α er værdie i t fordelige med -1 frihedsgraders, hvor α sadsylighede for for at at t t er er højere ed ed dee værdi, er er..

34 t Fordelige df t t t 0.05 t t f(t) t D is trib utio : d f=1 0 Areal = 0.10 Areal = 0.10 } } -.8 } t.8 } Areal = 0.05 Arela = 0.05 For For store store frihedsgrader ka kat t fordelige approksimeres ved ved e e stadard ormal ormal fordelig.

35 Eksempel 6- E E aktie aalytiker vil vil estimere de geemsitlige gevist på påe bestemt aktie. E E stikprøve på på15 dage giver e e geemsitlig gevist på på =10.37% og og e e stadard afvigelse på pås = 3.5%. Atag e e ormal populatio og og giv giv et et 95% kofides iterval for for de geemsitlige gevist på pådee aktie. df t t t 0.05 t t De kritiske værdi af t for df = ( -1) = (15-1) = 14 og et højre halet areal på α/ = 0.05 er: t = Kofides itervallet er: s ± t0. 05 = ± = ± = , [ ]

36 Kofides iterval for populatios adele, p, for store stikprøver Estimatore af populatios adele, p, er stikprøve adele, pˆ. Hvis stikprøve størrelse er stor, så er pˆ approksimativ ormal fordelt, med E( pˆ) = p og pq V( pˆ) =, hvor q=(1- p). Når populatio adele er ukedt, bruges de estimerede værdi, pˆ. E stikprøve er stor ok, år både p og q er større ed 5. Et (1-α)100% kofides iterval for populatios adele, p, er givet ved: ˆ ˆ p± ˆ z pq α hvor stikprøve adele, pˆ, er lig med atallet af succes'er i stikprøve,, divideret med atallet af forsøg (stikprøve størrelse),, og qˆ =1-pˆ.

37 Eksempel 6-4 Hvor stor stor e e adel har har udeladske firmaer af af det det amerikaske marked for for et et eller eller adet produkt. E E stikprøve på på100 forbrugere udtages og og af af disse bruger det det udeladske produkt; reste bruger det det amerikaske produkt. Giv Giv et et 95% 95% kofidesiterval for for adele af af brugere af af udeladske produkter. pˆ ± z α pq ˆ ˆ (0.34)(0.66) = 0.34 ± = 0.34 ± (1.96)( ) = 0.34 ± = [ 0.47,0.438]

38 Kofides iterval for populatios variase: Chi i ade (χ ) fordelige Stikprøve variase, s², er e cetral estimator for populatios variase ². Kofides itervaller for populatios variase baseres på χ fordelige. χ fordelige er sadsyligheds fordelige for e sum af uafhægige kvadrerede stadard ormal fordelte stokastiske variable. Middelværdie er lig med atallet af frihedsgrade, E()=df Variase er lig med to gage atallet af frihedsgrader, V()=df

39 χ fordelige E χ fordelt stokastisk variabel ka ikke være egativ, så de er begræset af 0 til vestre. Fordelige er højre skæv. Fordelige går mod ormal fordelige, år atallet af frihedsgrader vokser. f ( χ ) C hi-sq uare D istrib utio: df=10, df=3 0, df= df = df = df = χ Hvis stikprøve er taget fra e ormal fordelig, så er de stokastisk e variabel : ( 1) s χ = χ fordelt med ( -1) frihedsgra der.

40 Sadsyligheder i χ fordelige Areal i højre hale Areal i vestre hale df

41 Kofides iterval for populatios variase Et (1-α)100% kofides iterval for populatios variase * (hvis populatioe er ormal fordelt) er givet som: ( ) s 1, ( 1 ) s χ α χ α 1 α hvor er fraktile i χ fordelige og χ α χ α 1 er 1 α fraktile. Bemærk: Bemærk: Fordi Fordi χχ fordelige fordelige er er skæv, skæv, er er kofides-itervallet kofides-itervalletfor for populatiosvariasevariase ikke ikke symmetrisk. populatios- symmetrisk.

42 Eksempel 6-5 E E maskie fylder kaffekader (med kaffe ;-) ;-) Hvis Hvis det det geemsitlige idhold er er forskellig fra fra hvad det det skal skal være, ka ka maskie justeres. Hvis Hvis variase er er for for høj, høj, skal skal maskie sedes til til reparatio. E E stikprøve på på30 30 kader giver et et varias estimat på påss = 18,540. Giv Giv et et 95% 95% kofides iterval for for populatios variase,.. ( 1) s ( 1) s, χ χ 1 α α (30 1)18540 (30 1)18540 =, = [ 11765,33604]

43 Eksempel Areal i højre hale df Chi-Square Distributio: df = f(χ ) χ χ 40 = χ =