Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Transkript

1 Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig betyder at oget varer ved, at det fortsætter ude afbrydelser og at der ikke sker pludselige sprig i udviklige I matematik avedes begrebet kotiuert populært sagt om fuktioer, hvis grafiske billeder er sammehægede kurver, der pricipielt ka teges i e streg, ude vi behøver at løfte blyate fra papiret De følgede tre eksempler illustrerer vores umiddelbare opfattelse af begrebere differetiabel, kotiuert og diskotiuert E fuktio f er differetiabel i et givet x 0, hvis grafe er lokalt lieær, dvs vi ka lægge e taget til grafe i puktet x0, f( x 0) E fuktio f er kotiuert i et givet x 0, hvis grafe fortsætter ubrudt igeem puktet x0, f( x 0) E fuktio f er diskotiuert i et givet x 0, hvis grafe ikke ka fortsættes ubrudt igeem puktet x0, f( x 0) De første graf er differetiabel i hele itervallet, specielt i x0 De ade graf er kotiuert i hele itervallet, specielt i x0, hvor de til gegæld ikke er differetiabel De sidste graf er diskotiuert i x0 At være differetiabel er fiere ed at være kotiuert forstået på de måde, at der er lagt flere fuktioer, der er kotiuerte, og hvis e fuktio er differetiabel, så er de også kotiuert Det viser vi på A-iveau Det ka også se ud som om det er et større apparat, ma skal have i svig, år ma udersøger differetiabilitet - med sekathældiger, sedige omskriviger, græseovergage og e masse regeregler Så ma kue tro, at kotiuitet var et begreb, ma fik styr på, før ma begydte at studere differetiabilitet, og at det er e oget mere ekel sag at udersøge kotiuitet Me det forholder sig stik modsat Efter at Newto og Leibiz i slutige af 600-tallet formulerede de første sammehægede teorier om differetial- og itegralregig skete der e ærmest eksplosiv udviklig ide for dee gre af matematikke geem de æste par hudrede år Det viste at være e meget praktisk orieteret videskab, der kue bidrage til at løse alkes problemer vedrørede mekaiske bevægelser, svigiger, himmelmekaik, væskestrømiger, elektriske kredsløb, igeiørmæssige kostruktiosopgaver og kemiske processer Side kom også biologiske fæomeer, geologiske processer og økoomiske modeller med id i differetial- og itegralregiges store værksted Det virkede! Det var ret set i matematikkes udviklig, ma begydte at beskæftige sig seriøst med kotiuitetsbegrebet Det var faktisk først omkrig det tidspukt, hvor ma opdager, at der er oget i matematikkes påstade og resultater, der ikke virker 03 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lrudk

2 Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer I slutige af 700-tallet havde de eksplosive udviklig i bruge af matematik ført til et voksede behov for at kue systematisere og lette beregigsarbejdet Polyomier er de ekleste fuktioer at hådtere, både med hesy til beregiger af fuktiosværdier og med hesy til at differetiere og itegrere Adre fuktioer ka tilærmes med polyomier, og take opstod, at måske er alle fuktioer i virkelighede polyomier, blot vi tager ok led med Og ok led kue godt betyde uedeligt mage led Det var her det gik galt, for forskelle på rigtig mage og uedeligt mage ka være dramatisk I 8 udgav e af datides største matematikere, de fraske Augusti Cauchy ( ) et stort værk, der skulle give hele fuktiosteorie og differetial- og itegralregige fast grud uder føddere Heri fider vi bla de første modere defiitio på, hvad det vil sige at e fuktio er kotiuert: f er kotiuert i et iterval, hvis det gælder, at e uedelig lille tilvækst h af variable x, giver e uedelig lille tilvækst f(x + h) - f(x) af fuktiosværdie(fra Cours d Aalyse) Cauchys defiitio uderstøtter ituitioe om, hvad vi skal forstå ved e sammehægede kurve Betragter vi graf r 3 ovefor, og lader vi x være tallet, så vil e uedelig lille tilvækst h af variable x ikke føre til e uedelig lille tilvækst f(x + h) - f(x) af fuktiosværdie, me faktisk føre til e tilvækst på ca Me ituitioe ka også føre til forkerte opfattelser Det skete faktisk for Cauchy i svaret på følgede spørgsmål: Er e sum af kotiuerte fuktioer kotiuert? Det forekommer idlysede, at har vi to kotiuerte fuktioer, dvs to sammehægede grafer, så vil summe af dem også være kotiuert Hvorda skulle der pludselig komme et sprig på de ye graf? Ligeledes må summe af tre, fire eller hudrede kotiuerte fuktioer give e kotiuert fuktio Me hvad hvis vi fortsætter? Hvad er situatioe hvis vi tager summe af uedeligt mage kotiuerte fuktioer? Det er ikke bare et teoretisk spørgsmål, me et meget praktisk spørgsmål ide for de teori om uedelige summer af trigoometriske fuktioer, som Cauchys samtidige Joseph Fourier var i færd med at udvikle Dee teori er side blevet kaldt Fourieraalyse Cauchy beviser, at e uedelig sum af kotiuerte fuktioer er kotiuert Me Fourier demostrerer æste på samme tid, at uedelige summer som disse si( x) si(3 x) si(5 x) si(7 x) si(9 x) (Fouriers firkatbølge), cosu cos3u cos5u cos7 u (Savtakfuktio) giver grafer med markate sprig Fuktioere er ikke blot matematikeres påfud: Idefor modere elektroik har ma brug for at kue bygge fx spædiger op, så de følger sådae kurver Cauchys ituitio holdt altså ikke Vi har brug for e mere præcis defiitio, der er formuleret symbolsk, så vi ka rege på det Vi bemærker i øvrigt, at Cauchy ku defierede kotiuitet i et helt iterval, ikke i et ekelt pukt Ud fra de ituitive opfattelse af kotiuitet som svarede til, at grafe er sammehægede, er forestillige om kotiuitet i et ekelt pukt også e svært begribelig egeskab Kotiuitet forstået som sammehæg vil ma umiddelbart kytte til et iterval Defiitio af kotiuitet kostruktio af de reelle tal Defiitio Kotiuitet i et bestemt pukt f er kotiuert i x 0, hvis der gælder: For ehver talfølge x x0 vil f x f x 0 03 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lrudk

3 Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Det udtrykkes kort: Når x x0 vil f x f x 0 Populært sagt»trækker«x ere f(x ) ere med sig på e jæv måde, så der ikke sker pludselige sprig eller ligede Kotiuitet bygger altså på græseværdibegrebet Det gjorde det også for Cauchy, der i sit omtalte værk skrev: Når e følge af tal ærmer sig e fast størrelse på e såda måde, at talfølges elemeter slutteligt adskiller sig fra de faste størrelse med så lidt som vi kue øske os, så siger vi, at de faste størrelse er græseværdi for de øvrige Defiitioe rejser umiddelbart et problem: Vi har e betigelse, der skal være opfyldt for ehver talfølge, med græseværdi x 0 Me det ka vi jo aldrig udersøge Derfor vælger vi altid»e vilkårlig talfølge«, der så at sige er»typisk«me kue vi ikke risikere at overse e meget speciel og uderlig talfølge? Betigelse er som ævt, at det skal gælde for ehver, dermed også for e såda meget speciel sag Dette problem bliver først løst med idførelse af de præcise og formelle defiitio på kotiuitet, såda som Weierstrass gjorde det i 860 ere Weierstrass metode er præseteret i A-boge og i et særskilt projekt Det, som voldte størst vaskelighed at få styr på, var at få udtrykt, at tallije selv er kotiuert At der ikke er huller i tallije, me at såfremt e følge af tal kovergerer mod oget, så er dette oget et tal er et symbol for det positive tal, hvorom der gælder, at x Me vi ved jo stregt taget ikke om et sådat tal fides Der fides fx ige løsiger til x Ved udregig ka vi se, at,4 og,5 Hvis fides, så må det derfor være et tal mellem,4 og,5 Ved udregig ka vi se, at,4 og,4 Hvis fides, så må det derfor være et tal mellem,4 og,4 Ud fra vores ituitio ka vi u se, at dee proces kue fortsættes, og fortsættes ige så læge vi orkede Me vi rammer aldrig et tal, der opfylder x! Vi ka jo ikke i praksis fortsætte uedeligt mage gage Derfor idfører vi græseværdibegrebet: Vi forestiller os, at vi kue fortsætte med fide tal, der er lidt for store, og tal, der er lidt for små, dvs tal y og z, således at y z, hvor der samtidig gælder, at z y bliver midre og midre Dvs vi forestiller os, at det giver god meig at tale om et tal, der først er edeligt fastlagt, år vi medtager uedeligt mage decimaler Dee forestillig spræger alle hidtidige rammer, og vi ka ikke argumetere for påstade om, at fides Det er et postulat, eller som vi siger i matematik: det er et aksiom Det er selve det grudlæggede aksiom i fastlæggelse af, hvad egetlig de reelle tal er, dvs i fastlæggelse af e tallije ude huller Axiom om de reelle tal Hvis to talfølger af ratioale tal, { y } og { z } opfylder: { y} er voksede og { z} er aftagede y z for alle Forskelle z y ærmer sig 0, år går mod uedelig så fides der et reelt tal x 0 på bude af itervalruse, { ]y ; z [ } Bemærkig Det er ikke så svært at vise, at der højst ka fides ét sådat tal Vis det selv, ved fx at atage, at der fides to, xog x, og føre dette til e modstrid 03 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lrudk

4 Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Vi har u værktøjet til at bevise: HOVEDSÆTNING OM KONTINUERTE FUNKTIONER (Af og til: Skærigssætige, eller Sætige om mellemliggede værdier) Hvis e fuktio f er kotiuert i ; så fc 0 Bevis: ab, og f har modsat forteg i de to edepukter, så fides et tal c a; b, Lad os sige, at fa 0, og fb 0 : a m3 A a, f a m m b B b, f b Tallet c vil vi fide ved e itervalruse: I a ; b, hvor fa 0, og 0 tri: I a; b tri: Lad m være midtpuktet mellem a og b f m, er vi færdige Hvis 0 Hvis fm 0, sættes I m ; b Hvis fm, sættes I a; m 0 f b : 3 tri: Lad m være midtpuktet i det ye iterval I Getag processe fra tri og kostruér herved et yt iterval I 3 Herved får vi kostrueret e følge: I I I3 I4 I5 I6 I Kostruktioe idebar, at vi bestadigt halverede itervallægde Derfor vil itervallægde gå mod 0 Me så vil dee itervalruse bestemme et tal c Da a c, vil f a f c, og da b c, vil f b f c Me fuktiosværdiere i edepuktere var jo bestadigt heholdsvis egative og positive: f a 0 f b Af og til kaldes dee for Bolzaos sætig, idet Bolzao var de første, der eksplicit formulerede de og forstod, at der måtte gives et bevis for de Has eget bevis var ikke i orde og kue ikke være det, idet ma på dette tidspukt, omkrig 80, ikke havde fået styr på de reelle tal Dette er e grudlæggede egeskab ved de reelle tal, som først blev formuleret i slutige af 800-talllet (som et axiom) af de tyske matematikere Georg Cator og Richard Dedekid Du ka læse mere om det i de idledede fortællig til A-boges kapitel 03 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lrudk

5 Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Derfor må der gælde: fc 0 ØVELSE 8 Gør det sidste argumet i beviset helt præcist SÆTNING : Sætige om mellemliggede værdier Hvis f er kotiuert i itervallet ab ;, og y er et tal mellem f c y Bemærkig De grafiske situatio kue være således: fa og fb, så fides et tal c mellem a og b, så f b y a f a c b Bevis: Hvis y f a eller y f b fa og Atag derfor at to tal:, er påstade triviel f a y f b Vi daer e y fuktio: gx y f x Om gx gælder: g er kotiuert g a y f a 0 gb y f b 0 fb er forskellige, og at eksempelvis De hovedsætig giver u, at der fides et c mellem a og b, så: g c 0 y f c 0 y f c Me det var jo præcis påstade i sætig fa er midre ed fb y ligger mellem de Bemærk Sætig ka formuleres på e lidt ade måde: Hvis f er kotiuert, og tallee c og d begge er med i så er hele itervallet cd ; med i Vm f Overvej dette! Vm f, Opgaver 03 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lrudk

6 Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Vis at 3 f x x x har et ulpukt mellem x = 0 og x = (Du behøver ikke at fide værdie af ulpuktet) Løs ved avedelse af fortegslije ulighede: og begrud di avedelse af fortegslije x 0 x 4 3 Fid forteg for: fx x x x Vis at ligige: x 5x 0 har tre løsiger i itervallet 4;4 (Du behøver ikke at fide værdie af løsigere) 5 Vis at fuktioe: atager værdie f x x a x b x a b for et eller adet x a; b 6 Vis at såfremt f er kotiuert i 0;, og der gælder, at: 0 fx for alle 0; så fides der et tal c 0;, hvor f c c x, (Hjælp: Betragt fuktioe c kaldes et fikspukt, og sætige kaldes e fikspuktsætig g x f x x, og aved de første hovedsætig om kotiuerte fuktioer) 7 Atag f er kotiuert i 0;, og at f0 f Vis at der fides et a 0;, så f a f a (Hjælp: Betragt fuktioe gx f x f x 8 (Svær) Atag f er kotiuert i 0;, og at f0 f med defiitiosmægde 0; ) Vis at der for ethvert helt tal fides et a 0;, så f a f a (Hjælp: Begyd med at betragte fuktioe gx f x f x del deræst op i flere tilfælde afhægig af, hvorda f og med defiitiosmægde 0;, og f ligger i forhold til hiade) 9 (Vigtig) Aved itervalrusetekikke til at vise Bolzao-Weierstrass sætig: Hvis x, x, x3,, x er e følge af reelle tal, der er begræset, dvs der fides et iterval [a;b], så alle x i ere ligger i dette, så har følge et fortætigspukt i ab ;, hvorved forstås et tal x 0, hvorom der gælder, at der ka udtages e delfølge z, z, z 3, af x i ere, som går mod x 0 : zk x0 år k (Hjælp: Halvér itervallet ab ; : I midst é af halvdelee ligger der uedeligt mage af x i ere Vælg dette iterval, og udtag et af x i ere som z Getag dee proces med halverig af itervallere Overvej øje, hvor det er, vi aveder, at ab ; er et lukket iterval) 03 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lrudk