(VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE)

Transkript

1 (VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE) x-klassere Gammel Hellerup Gymasium

2 Idholdsfortegelse INDLEDNING... 3 DESKRIPTIV STATISTIK... 3 Eksempler ide for deskriptiv statistik Normalfordeligskurver Biomialformle vs. ormalfordeligskurve STIKPRØVEUDTAGNING OG EKSPERIMENTELT ARBEJDE Oversigt over og kort forklarig på cetrale begreber Begrebere avedt ide for aturvideskabere TEST Biomialtest test test (chi-i-ade-test) GOF test (chi-i-ade-test) Uafhægighedstest t-test (Studet's t-test) t-test: Oe-Sample-t-test t-test: Two-Sample-paired-differece-t-test (parvise observatioer) t-test: Two-Sample-t-test (ikke-parvise observatioer) z-test Nogle poiter Mere om statistik (gruppeopgaver og fremlæggelser) BILAG A: Biomialfordelig BILAG B: fordelig og sigifikasiveauer

3 INDLEDNING Det er umuligt at komme med e fyldestgørede beskrivelse af, hvorda ma ide for aturvideskabere er kommet frem til de eorme mægde vide, der til stadighed udbygges, justeres, glemmes og forkastes. Vide ka være opstået geem gode ideer, tilfældigheder, opmærksomme iagttagelser af uvetede hædelser, forkerte udregiger og fejl, der udliger hiade, gruppers systematiske arbejde og ekeltpersoers vedholdede fokuserig på problemer. Ide for videskabsteorie forsøger ma at give e slags ideal for, hvorda videskab burde bedrives, og hvorda ma udgår forkert vide. Ide for aturvideskabe avedes de såkaldt hypotetisk-deduktive metode koblet samme med falsifikatiospricippet. Det går kort fortalt ud på, at ma har e hypotese (også kaldet e teori), som ma udleder ogle kosekveser af. Disse kosekveser skal ifølge falsifikatiospricippet testes med heblik på at få forkastet hypotese. Hvis dette mislykkes, er hypotese ikke blevet forkastet, me derimod styrket. Det er i testige af e hypotese, at matematikke - eller mere præcist statistikke - kommer id i billedet. Statistik går ud på at: 1) Idsamle datamateriale. 2) Orgaisere det idsamlede materiale, så det ka behadles. 3) Aalysere og/eller teste det idsamlede materiale i forhold til e hypotese. 4) Vurdere aalyse eller testresultatet. 5) Præsetere data og koklusioer på e overskuelig måde. Når du læser oveståede 5 pukter, skulle du gere kue se, at det mider e hel del om det at skrive e rapport i kemi eller fysik. Og idee med dette forløb er også at give e samlet geemgag af de metoder, ma som udgagspukt skal avede, år ma skal tilege sig y vide ide for aturvideskabere - dvs. år ma skal forske. Forløbet begyder med videskabsteori. Derefter behadles puktere 2) og 5), der er de såkaldte deskriptive statistik. Så geemgås pukt 1). Og edelig puktere 3) og 4). DESKRIPTIV STATISTIK Statistik: Metodisk idsamlig, systematiseret opstillig og matematisk testig af hypotese på baggrud af talmateriale. DESKRIPTIV STATISTIK Deskriptiv statistik kaldes også for beskrivede statistik. Bemærk, at det er beskrivede statistik. Deskriptiv statistik ideholder ige aalyse eller vurderig. Aalysere og vurderigere kommer, år vi er færdige med at opstille vores data. 3

4 Vi har såda set allerede ærmet os deskriptiv statistik i vores regressiosopgaver, me da vi aldrig teger grafere eller i hvert fald ikke skal bruge grafere til oget, har det ikke været rigtig statistik, og desude er disse grafer, der viser e udviklig over tid, ormalt ikke oget, ma behadler uder emet Deskriptiv statistik. Det behadles uder emet Fuktioer. I de del af de deskriptive statistik, som vi u skal beskæftige os med, og som ormalt er det, ma forbider med deskriptiv statistik, hadler det om at udrege ogle karakteristiske størrelser (deskriptorer), der fortæller oget cetralt om et datamateriale, samt at få opstillet datamaterialet på e overskuelig måde, så ma efterfølgede ka vurdere det. Deskriptorere, vi skal se på, er: Observatiossættets størrelse, typetal, middelværdi, media, midste og største observatio, fraktiler, kvartiler, varias og spredig. Når vi arbejder ide for deskriptiv statistik, aveder vi frekveser i stedet for sadsyligheder, fordi vi idsamler oget datamateriale og foretager beregiger på dette ude iddragelse af oge teori, hvorudfra vi kue have ræsoeret os frem til ogle sadsyligheder. Frekvesere bereges ud fra de observerede hyppigheder. Når vi seere skal se på hypotesetest, arbejder vi både med hyppigheder og sadsyligheder, da vi tager udgagspukt i e såkaldt ulhypotese, der giver os ogle sadsyligheder, som vi ka avede til at berege forvetede hyppigheder, der skal sammeliges med observerede hyppigheder. Vores skema fra Sadsylighedsregig og kombiatorik vil derfor blive omformet til følgede: Grupperede og ikke-grupperede observatiossæt Vi tager u udgagspukt i, at ma har idsamlet oget datamateriale. Det kue være: Ma har målt højde af alle de uge mæd, der var til sessio i Ma har registreret atallet af sygedage i 2014 for alle ladets gymasielærere. Ma har registreret karakterere til de skriftlige sommereksame for matematik A-elever på stx i Ma har målt de geemsitlige årlige edbørsmægde i Damark i periode Ma har registreret atallet af biler for hver husstad i Damark. Hele poite med deskriptiv statistik er som ævt, at ma skal have opstillet sie data på e så overskuelig måde som muligt, samt at ma skal have bereget ogle størrelser, der fortæller oget om datamaterialet. 4

5 Det første, ma i de forbidelse skal afgøre, er, om ma skal gruppere sit datamateriale eller ej. Hvis ma, som det f.eks. er tilfældet med højde af uge mæd på sessio, har foretaget e tilsvarede idsamlig tidligere, eller hvis det, som f.eks. i tilfældet med karakterere, giver sig selv fra start, ka afgørelse være foretaget ide idsamlige. Me ellers skal ma kigge på sit materiale og se, hvad der vil være mest hesigtsmæssigt med heblik på de mest overskuelige opstillig. Bemærk, at dette er e væsetlig forskel fra hypotesetest, hvor det er e dødssyd først at vælge sit statistiske test efter at have set på datamaterialet. Ikke-grupperede observatiossæt: Dette vælges, hvis de observerede størrelse er af e såda art, at de ku ka atage et ikke for stort atal veldefierede værdier. F.eks. hvis ma observerer elevers karakterer. Her er mulighedere -3, 0, 2, 4, 7, 10 og 12. Eller hvis ma observerer atallet af hudehvalpe ved e fødsel. Her er mulighedere 1, 2, 3, 4,, 15 (hvor det veldefierede maksimum ka sættes ud fra det højest observerede). I vores eksempler fra før vil det være oplagt ikke at gruppere observatiossættet i tilfældee med karakterer og atal biler. Grupperet observatiossæt: Her grupperes observatioere i passede itervaller. Atallet af itervaller må ikke være for småt, da ma så mister for meget iformatio om det idsamlede materiale. Det må heller ikke være for stort, da overskuelighede så forsvider. Selve itervalstørrelse skal ma også selv vælge. De fleste itervaller bør for overskuelighedes skyld være lige store, me sommetider ka ma med fordel gøre itervallere i edere større, da ma så udgår flere itervaller med få eller ige observatioer. Ma ka evt. også gøre de cetrale itervaller midre, hvis ma i dette område øsker ikke at miste for meget iformatio. Det er vigtigt at bemærke, at ma grupperer for overskuelighedes skyld, me at det sker på bekostig af oget tabt iformatio. Ma har vedtaget, at itervallere er lukket mod højre og åbe mod vestre. Når ma har besluttet sig agåede grupperig eller ikke-grupperig, ka ma opstille et skema, tege diagrammer og berege eller bestemme deskriptorer. Vi geemgår først dette teoretisk, hvorefter der følger e række eksempler: 5

6 Skema Skemaet agives i begge tilfældee Ikke-grupperet og Grupperet): Observatiossættets størrelse: *** Observatio (f.eks. Karakter/Højde i cm) -3 / ]140;150] 0 / ]150;155] Hyppighed / Itervalhyppighed 2 8 Frekves / Itervalfrekves (%) 3% 12% Kumuleret frekves / itervalfrekves (%) 3% 15% 100% De tredje række udfyldes ved at rege på ade række. De fjerde række følger af tredje række. Hyppighed: Atallet af de pågældede observatio. Dvs. at ovefor har 2 elever fået målt e højde mellem 141 cm og 150 cm (begge iklusive). Frekves: Bereges som: Hyppighed Frekves. Observatiossættets størrelse Ma får så et decimaltal mellem 0 og 1, der ka agives i procet. Kumuleret frekves: Frekvesere til og med de pågældede observatio lægges samme. Dvs. at ovefor viser de kumulerede frekves, at 15% af elevere har højder på 155 cm eller midre. Kotrol: De kumulerede frekves skal ved sidste observatio give 100% (evt. ka der være e decimal til forskel pga. afrudiger udervejs). Diagrammer Skemaet ka bruges til at tege kurver eller diagrammer, der skal gøre det observerede talmateriale overskueligt for læsere. I alle tilfælde agives observatioere ud af 1. akse. Husk, at skalae på 1. akse skal være jæv (med midre der er e god grud til f.eks. at gøre de logaritmisk eller adet). Så hvis f.eks. karakterere -3, 0, 2, 4, 7, 10 og 12 skal agives, skal afstade mellem 4 og 7 være 1½ gag så stor som afstade mellem 2 og 4. Med grupperede observatiossæt afsættes itervaledepuktere. Og husk edu egag, at skalae skal være jæv, dvs. store itervaller kommer til at fylde mere på akse. Ma ka for både grupperede og ikke-grupperede observatiossæt afbilde frekveser og kumulerede frekveser, og der er derfor 4 forskellige typer af diagrammer, der ka teges. 6

7 Frekves Ikke-grupperede observatiossæt Pide-, søjle- eller stolpediagram Hyppighede eller frekvese agives op ad 2. akse (ofte agivet i %). Grupperede observatiossæt Histogram Ofte vælger ma ikke at have e 2. akse. I stedet avedes et rektagel (kvadrat eller aflag) til at agive, hvorda der omreges fra areal til %. F.eks. 5% Frekvese for hvert iterval omreges til et areal, der afsættes som e søjle, hvor grudflade i søjle bestemmes af itervalbredde, og hvor søjles højde skal afsættes, så arealet af søjle kommer til at passe. Hvis to itervaller, hvor det ee er dobbelt så bredt som det adet, ideholder lige mage observatioer, vil søjlehøjde i det bredeste altså blive halvt så stor som i det adet. Udtagelse: Hvis alle itervaller er lige store, ka der godt laves e 2. akse med ehede %, hvor ma så ikke lægere skal agive et areal, me hvor søjlehøjde direkte agiver frekvese. Dee ehed er dog stregt taget forkert. Geerel 2. akse: Ma ka i alle tilfælde avede e 2. akse, hvis ma beytter sig af de rigtige ehed. Hvis ehede på 1. akse er kg, skal ehede på 2. akse være % kg, og hvis ehede på 1. akse er m2, skal ehede Kumuleret frekves Trappediagram 2. Akse går fra 0% til 100%. De kumulerede frekves for hver observatio afsættes som et pukt, og fra hvert pukt teges lijestykker lodret ed og vadret mod højre, så der daes e trappe. % på 2. akse være. Så vil frekvese kue aflæses som 2 m arealet af søjle. Dee geerelle metode gør det emmere at sammelige histogrammer med de klokkeformede ormalfordeliger. Sumkurve 2. akse går fra 0% til 100%. Der sættes først et pukt på 1. akse ved første itervals vestre edepukt. Derefter afsættes de kumulerede frekves for alle itervallere som et pukt ved højre itervaledepukt. Puktere forbides med rette lijestykker. Statistiske deskriptorer Ud fra skemaet eller diagrammere ka ma aflæse eller udrege de statistiske deskriptorer (se æste side): 7

8 Ikke-grupperede observatiossæt Grupperede observatiossæt Observatiossættets størrelse (beteges i edeståede med ) Atallet af observatioer. Hvis ma f.eks. har målt lægde af præriehudes fortæder, er atallet af observatioer det atal præriehude, ma har målt på. Typetal Typetallet er observatioe med de største hyppighed. Der ka godt være mere ed ét typetal. Middelværdi/Geemsit Agives som eller x. Når xi beteger de i te observatio og hi hyppighede og fi frekvese af dee, bereges middelværdie ved: 1 k xi hi i1 eller k i1 x i f Media De midterste observatio. Ekstreme værdier påvirker middelværdie, me ikke mediae. Derfor er mediae et bedre udtryk for hovedtedese i e observatiosserie. i Typeiterval Observatiositervallet med de største hyppighedstæthed. Det ses emmest på histogrammet, hvor det er itervallet med de højeste søjle. Der ka godt være mere ed ét typeiterval. Middelværdi/Geemsit (Agives som eller x ). Når m i beteger midtpuktet af det i te observatiositerval og h i hyppighede og f i frekvese for itervallet, bereges ved: 1 k mi hi i1 eller k i1 Bemærk: Dee udregede middelværdi vil som udgagspukt afvige e smule fra de middelværdi ma ville fide, hvis ma fadt de for alle observatioere, år de IKKE var grupperede. m i f Media De midterste observatio. Aflæses på sumkurve ved at gå vadret ud fra 2. akse ved 50% idtil kurve rammes, hvorefter ma går lodret ed til aflæses af mediae. Bemærk, at mediae IKKE er observatiositervallet, me et tal i itervallet (evt. med decimaler). i Nedre og øvre kvartil De midterste observatio i de edre halvdel af observatiossættet og de midterste observatio i de øvre halvdel. (Fraktiler) Hvis ma vil aflæse fraktiler, skal ma avede samme metode som med grupperede observatiossæt bare avedt på trappediagrammet i stedet for på sumkurve. Midste observatio og største observatio Varias Med de samme betegelser som for middelværdie bereges variase: k 1 var( x) x 2 i hi i1 Stadardafvigelse/Spredig Bereges som x var x Nedre og øvre kvartil De midterste observatio i de edre halvdel af observatiossættet og de midterste observatio i de øvre halvdel. Aflæses ligesom mediae blot skal ma gå ud fra heholdsvis 25% og 75%. Fraktiler (agives altid med e % fora) Agiver afgræsige af e vis adel observatioer. F.eks. er 10%-fraktile de observatio, hvor 10% af observatioere ligger uder. Fraktilere aflæses ligesom mediae, der bare er et adet ord for 50%-fraktile, ligesom edre kvartil er 25%-fraktile og øvre kvartil 75%-fraktile. Midste observatio og største observatio Bemærk, at dette er vestre itervaledepukt for det første iterval og højre edepukt for sidste iterval. Varias Med de samme betegelser som for middelværdie, bereges variase: k 1 var( ) 2 k x mi hi eller var( x) m 2 i fi i1 i1 Stadardafvigelse/Spredig x var x 8

9 Bemærk, at ogle af deskriptorere allerede kedes fra sadsylighedsregig. Ekelte deskriptorer kræver e uddybede forklarig, der følger på de æste sider. Typetal og typeiterval Typetal optræder ved ikke-grupperede observatiossæt, og typeitervaller optræder ved grupperede observatiossæt. Vi husker defiitioe fra sadsylighedsregig: Defiitio: I følgede defiitio avedes etalsbetegelser. Hvis der er flere størrelser, der opfylder betigelsere, er der flere typetal eller typeitervaller. a) Ide for statistik er typetallet observatioe med de største hyppighed. b) Ide for statistik er typeitervallet observatiositervallet med de største tæthed. c) Ide for sadsylighedsregig er typetallet de værdi af de stokastiske variabel, der har størst sadsylighed. Typetal er et meget simpelt begreb, der ikke plejer at volde problemer. Det er simpelthe det (eller de) tal i observatiossættet, der optræder flest gage, dvs. observatioe (eller observatioere) med de største hyppighed/frekves. Som det fremgår af oveståede formulerig, ka der godt være flere typetal, emlig hvis der er mere ed é observatio med de egeskab, at ige ade observatio har e større hyppighed. Et typeiterval er et lidt mere kompliceret begreb. I hvert fald skal ma passe lidt på, da ma i sjælde tilfælde ka gå i e "fælde". Der ka ligesom med typetal godt være flere typeitervaller, me forskelle mellem de to begreber er, at typeitervallet ikke ødvedigvis er itervallet (eller itervallere) med de største itervalhyppighed. Typeitervallet er det (eller de) iterval(ler), der har de største itervalhyppighedstæthed, dvs. der hvor itervalhyppighede delt med itervalbredde giver det største tal. Dette ses emmest i et histogram, hvor typeitervallet er itervallet med de højeste søjle. Hvis ma arbejder med itervaller med kostat itervalbredde, ka ma godt øjes med at se på itervalhyppighede, me hvis ma arbejder med forskellige itervalbredder, er det vigtigt at avede de rigtige defiitio. Kvartilsæt For grupperede observatioer bestemmes kvartilsættet ved hjælp af sumkurve. For ikke-grupperede observatioer fides der (midst) to forskellige metoder til at bestemme kvartilsættet, og faktisk ka de to metoder i ogle tilfælde give (oftest ku lidt) forskellige resultater. De slags er aturligvis total uhørt i "rigtig" matematik, me det er ikke oget problem i lige etop dee sammehæg. Trappediagramsmetode: Dee metode svarer til sumkurvemetode for grupperede observatioer. Kvartilere (edre kvartil, media og øvre kvartil) bestemmes ved at gå vadret ud fra 2. akse ved frekvesere 25%, 50% og 75%, idtil ma rammer trappe. Derfra går ma lodret ed på 1. akse og aflæser edre kvartil, media og øvre kvartil. Såda gør Gym-pakkes plottrappekurve. Dee metode ka give kvartilsæt, der afviger fra kvartilsættee bereget med 'spire eller Gympakkes kvartiler i Maple. 9

10 Ordet-række-metode: Det er dee metode, som TI 'spire, Maple og Gym-pakkes kvartiler aveder (og som vist ok er de mest avedte iteratioalt set). Observatioere stilles op på e ordet række (dvs. efter størrelse med de midste først: F.eks Hvis der er et ulige atal observatioer, er mediae det midterste tal i række. Hvis der er et lige atal observatioer, er mediae geemsittet af de to midterste tal. Mediae deler observatiossættet i to lige store dele (hvis der er et ulige atal observatioer, og mediae derfor rammer et tal i række, fjeres dette tal og idgår altså ikke i oge af delee). De edre kvartil bestemmes efterfølgede som mediae af de edre halvdel, mes de øvre kvartil er mediae af de øvre halvdel. Eksempel 1: I oveståede række er der 19 observatioer. Det tiede tal, der er 7, er derfor mediae. Dette tal fjeres og deler u observatiossættet i: edre halvdel ; øvre halvdel. Der er et ulige atal observatioer i disse halvdele emlig 9 så de edre kvartil er det femte tal i de edre halvdel (dvs. 5) og de øvre kvartil er det femte tal i de øvre halvdel (dvs. 14). Desude er de midste observatio 1 og de største observatio 18. Eksempel 2: Et yt observatiossæt er 0, 0, 2, 2, 4, 7, 7, 10, 12, 12 Der er et lige atal observatioer emlig 10 og derfor er mediae geemsittet af de femte og de sjette observatio (der er 4 og 7). Mediae er altså 5,5, selvom der ikke er oge observatio, der har dee værdi. Mediasittet ligger mellem 4 og 7, så ige observatioer fjeres, år observatiossættet deles i to lige store dele: 0, 0, 2, 2, 4 edre halvdel ; 7, 7, 10, 12, 12 øvre halvdel Der er et ulige atal observatioer i disse halvdele emlig 5 så de edre kvartil er det tredje tal i de edre halvdel (dvs. 2) og de øvre kvartil er det tredje tal i de øvre halvdel (dvs. 10). Desude er de midste observatio 0 og de største observatio 12. Boxplot Media, edre kvartil, øvre kvartil, midste observatio og største observatio er fem deskriptorer, der fortæller e del om selve observatiossættet, og de ka opstilles askueligt i et såkaldt boxplot (opfudet i 1969). Først teges e 1. akse, præcis som hvis det var et pidediagram eller histogram (dvs. husk, at skalae som udgagspukt skal være jæv). Der er ige 2. akse. I e vilkårlig højde over 1. akse teges 5 lodrette lijer, der agiver heholdsvis midste observatio, edre kvartil, media, øvre kvartil og største observatio. De to yderste lijer teges lidt midre ed de adre. Derefter teges 4 vadrette streger, så ma får e box med udseedet: 10

11 Et boxplot ka også teges lodret (hvor 1.akse altså også agives lodret), og ma vil ofte afbilde flere bokse i samme diagram, så boksee ka sammeliges: Forskelle mellem edre og øvre kvartil - dvs. bokses bredde - beteges IQR (Iterquartile rage). Hvis afstade fra kvartileres edepukter til midste og største observatioere er større ed 1,5 IQR, så er disse ude for ormale og kaldes exceptioelle udfald. Hvis edepuktere ligger væsetligt tættere på, er det et meget kompakt observatiossæt. E såkaldt ormalfordelig, som vi skal se på seere, vil have følgede boxplot (hvor ma har erstattet midste og største observatio med græsere for exceptioelle udfald, da der ikke fides midste og største observatioer i ormalfordeliger): Hvis e størrelse følger e ormalfordelig, vil ma altså have 0,7% exceptioelle observatioer, hvis ma aveder dee regel fra boksplottet. Tallet 1,5 er ikke oget eksakt udreget tal. Joh Tukey, der opfadt boxplottet, skulle have udtalt, at tallet 1,5 kommer fra, at 1 er for lidt og 2 for meget. 11

12 Vigtigt: 'Exceptioelle' udfald er mere ed bare et ord. Det ka fugere som e regel for, hvorår e målig skal smides væk. Dvs. efter at have udført e hel måleserie (hvilket er ødvedigt, da ma skal kede kvartilsættet for at kue bestemme IQR og dermed afgøre, hvilke måliger der er exceptioelle), ka ma vælge at smide alle exceptioelle måliger væk, ide ma udreger de statistiske deskriptorer (middelværdi, spredig,...), da de vil give et misvisede billede. Til grud for dee hadlemåde ligger de take, at de exceptioelle udfald er e slags fejl (f.eks. målefejl) eller udtryk for e effekt, der vil være misvisede, hvis de iddrages (Skal dværges højde iddrages, hvis ma vil bestemme meeskers geemsitshøjde? Skal ådssvage iddrages, hvis ma skal bestemme de geemsitlige IQ?...) MEN ma skal være meget varsom med bare at smide exceptioelle måliger væk, for de kue jo ideholde oget "virkelig" iformatio. F.eks. opdagede ma hullet i ozolaget ogle år seere, ed ma kue have gjort, fordi software i de satellitter, der målte på ozolaget, smed disse exceptioelle, me rigtige, måliger væk. Det var først, da ogle forskere målte fra jorde, at ma blev opmærksom på dee fejl. Joh Tukey opfadt boxplottet som e måde at opstille resultater visuelt på, og for at ma kue sammelige forskellige observatiossæt (f.eks. kviders lø vs. mæds lø). Dette var tækt som et alterativ til de test, vi seere skal beskæftige os e hel del med. Tukey mete, at disse test blot var e jagt på tal, der fører til koklusioer, og at det oftest ikke er hesigtsmæssig, da sådae test tit forudsætter, at datamaterialet følger e bestemt fordelig (oftest e ormalfordelig). Som sagt skal vi dog bruge det meste af de resterede tid på disse test, der giver os ogle tal, som vi skal lære at forholde os til. Eksempler ide for deskriptiv statistik Eksempel 1 (ikke-grupperet): Matematikprøvekarakterer i 1.g-klasse. I e række prøver opåede e 1.g-klasse følgede karakterer: For at kue omrege hyppighedere til frekveser skal vi kede observatiossættets størrelse, der bereges ved at lægge samtlige hyppigheder samme: Frekvese af karaktere -3 er så: f 3 0, , 0% 137 Vi ka foretage alle udregigere i Maple ved (bemærk, at hyppighed er beskyttet i Gym-pakke, så her avedes Hyppighed): Vi har altså u skemaet: 12

13 De kumulerede frekves bereges ved at lægge alle frekvesere til og med frekvese for de pågældede observatio (karakter) samme. F.eks. får ma for karaktere 4: fkumuleret 8,0% 16,8% 8,8% 20,4% 54,0% Dette gøres for alle observatioere, og ma har så: Hvis ma vil have Gym-pakke i Maple til at foretage alt regearbejdet, skal ma have idtastet det opridelige skema med hyppighedere som e matrix. Dette gøres på følgede måde (bemærk de lodrette streg i midte af række): For at få frekvesere og de kumulerede frekveser ka ma derefter idtaste: Med Gym-pakke ka ma både tege pidediagram og trappediagram: 13

14 Det bemærkes, at ma udover selve diagrammere også har fået ogle deskriptorer forærede. Vi ser, at middelkaraktere er 4,8, samt at de 25% laveste af prøveresultatere var 2 eller deruder, at de 50% laveste af prøveresultatere var på 4 eller deruder, og at de 25% bedste prøveresultater var på 7 eller derover. Lad os u prøve at rege disse størrelser ud ved hjælp af formlere og desude bestemme adre deskriptorer. Vi ser, at typetallet er 7, da hyppighede er størst for dee karakter (svarede til at pide er højest i pidediagrammet). Middelværdie ka bereges både ud fra hyppigheder og ud fra frekveser: ki hi , i1 i1 k f 30, , , , , , ,095 4,753 i i Forskelle mellem de to resultater skyldes, at der i de ederste udregig er avedt afrudede tal. Variase bereges: i i var( k) k h 4, , , ,5 137 i1 Med Gym-pakke gøres det: Spredige er så: Eller med Gym-pakke: k var 18, ,304 Da der er 137 observatioer, er mediae de 69. observatio, hvis disse stilles ordet op. Da der er 46 observatioer på 2 eller deruder og 74 observatioer på 4 eller deruder, vil de 69. observatio være karaktere 4. Dvs. mediae er 4. 14

15 I de edre halvdel på 68 observatioer er det så geemsittet mellem observatio ummer 34 og observatio ummer 35, der er de edre kvartil. Observatio ummer 34 er 00, og observatio ummer 35 er 02, og derfor er de edre kvartil 1 (geemsittet mellem 0 og 2). Bemærk, at dee værdi afviger fra de værdi, der er bestemt ud fra trappediagrammet. De øvre kvartil er geemsittet mellem 103. og 104. observatio, og begge disse er 7, så 7 er de øvre kvartil. 10%-fraktile svarer til at besvare spørgsmålet: Hvad er de højeste karakter bladt de 10% dårligste resultater?. Hvis ma vil bestemme dee fraktil, ka ma med Gym-pakke skrive: Tilsvarede ka ma fide 50%-fraktile (svarede til mediae), 80%-fraktile og 90%-fraktile: Edelig ka ma tege et boksplot ud fra midste observatio -3, kvartilsættet (2,4,7) og øvre observatio 12. Ige ka Gym-pakke dog gøre det for os: Hvis ma har flere observatiossæt, ka ma godt plotte flere boksplot samme: Disse to klasser ser altså ud til at have klaret sig es. 15

16 Hvis ma måler dem med adre deskriptorer, f.eks. middelværdi og spredig, ses dog e lille forskel: Eksempel 2 (grupperet observatiossæt): Årlig edbørsmægde i Damark. Vi ser på følgede idsamlede data: Egetlig har ma allerede avedt deskriptiv statistik på datamaterialet, da ma har idsat edbørsmægde som fuktio af tide, hvilket viser e klar tedes til øget edbørsmægde. Vi vil u beskrive datamaterialet på e ade måde, emlig ved at gruppere materialet og lave histogram og sumkurve. Vi skal først have vurderet ogle passede itervaller for edbørsmægde. Det virker oplagt med e itervalbredde på 50 mm, me vi ka se, at der ligger mage måliger i området mm, og derfor iddeler vi i itervaller på 25 mm i dette område. Desude gøres de to yderste itervaller 100 mm brede (observatiossættets størrelse blev 136, så jeg må have overset et par år): 16

17 Nedbørsmægde ]450,550] ]550,600] ]600,625] ]625,650] ]650,675] ]675,700] ]700,725] ]725,750] ]750,800] ]800,850] ]850,950] Itervalhyppighed Her skulle have været itervalfrekves og kumuleret itervalfrekves, me jeg aveder Gym-pakke til udregigere. Bemærk, hvorda ma idtaster grupperede observatiossæt i Maple. Det bliver e 11x2-matrix, da der står e lodret streg efter agivelse af de 11 itervaller. Vi ka u avede Gym-pakke til at tege et histogram: Vi ka her aflæse, at typeitervallet er ]625,650], da det er de højeste søjle. Bemærk, at det IKKE er itervallet med de største itervalhyppighed, der er ]550,600]. Middelværdie er bereget ved at avede itervalmidtpuktere: mi hi , , , i1 Der er altså geemsitligt faldet 682 mm edbør om året i Damark i periode Bemærk, at dette tal højst sadsyligt vil afvige lidt fra e værdi, der var bereget som et geemsit af hvert ekelt år. På samme måde ka variase udreges ud fra itervalmidtpuktere. 17

18 Edelig ka ma med Gym-pakke få teget e sumkurve: Vi har her fået oplyst kvartilsættet, der bl.a. fortæller os, at i de 25% mest edbørsrige år faldt der midst 745 mm edbør, og i halvdele af åree i periode er der faldet højst 670 mm edbør. Lige som med de ikke-grupperede observatiossæt, ka ma desude bestemme fraktiler ved: Dvs. at i de 10% midst edbørsrige år faldt der højst 566 mm edbør. Ma ka også være iteresseret i at svare på de modsatte type spørgsmål, f.eks. I hvor stor e del af åree faldt der over 700 mm edbør? eller I hvor stor e del af åree faldt der mellem 600 og 700 mm edbør?. For at kue besvare dee type spørgsmål skal ma arbejde med sumkurve som et fuktiosudtryk. Dette ordes med Gym-pakke ved: Hvis ma vil se, hvorda e sumkurve ser ud som fuktio (ved e gaffelforskrift), skriver ma : 18

19 Vi ser først, hvorda vi med fuktiosudtrykket fider 10%-fraktile: Vi ser, at det stemmer med det tidligere udregede resultat. Spørgsmålet: I hvor stor e del af åree faldt der over 700 mm edbør? Vi skal huske, at fuktiosværdie agiver hvor stor e procetdel af observatioere, der ligger på eller uder de idsatte værdi, så vi skal have: Dvs. at i 41% af åree faldt der midst 700 mm edbør. Spørgsmålet: I hvor stor e del af åree faldt der mellem 600 og 700 mm edbør? Vi skal her have procetdele mellem de to værdier, dvs: Dvs. at i 40% af åree faldt der mellem 600 og 700 mm reg. Ma ka gøre præcis det samme med ikke-grupperede observatiossæt ved at erstatte sumkurve med trappekurve. Vores behadlig af datamaterialet i oveståede eksempel leder he til det vigtige spørgsmål, som ma altid bør stille sig, år ma arbejder med deskriptiv statistik: Hvad er det egetlig, jeg vil illustrere, og har jeg valgt de rette redskaber til dette? I vores eksempel ser det temmelig tåbeligt ud, hvad jeg har foretaget mig. Bemærk i eksemplet, at vi begyder med e grafisk fremstillig, der tydeligt viser e tedes til øget edbørsmægde. Dee iformatio går fuldstædig tabt, år vi går over til at tege et histogram og e sumkurve. Og edu værre: Vores diagrammer og deskriptorer er misvisede, for vi ka f.eks. ikke lægere forvete, at vi ku hvert fjerde år får e edbørsmægde over 745 mm (øvre kvartil). Lagt de fleste år efter år 2000 har haft edbørsmægder over 745 mm, fordi edbørsmægde er steget. Hvis vi ville illustrere dee tedes til øget edbørsmægde ved histogrammer, sumkurver eller boxplot, kue vi have iddelt vores iterval i to (f.eks. før og efter 1940) og så f.eks. teget boxplot for begge disse itervaller. Normalfordeligskurver Deskriptiv statistik har meget lidt med sadsylighedsregig at gøre, me hvis ma beskæftiger sig tilpas læge med deskriptiv statistik og får teget e masse pidediagrammer og histogrammer over mage forskellige tig, vil ma bemærke, at ma temmelig ofte får afbildiger, der ka tilærmes med e klokkeform, der stammer fra sadsylighedsregig. Dee klokkeform er e ormalfordeligskurve også kaldet e gausskurve og de er grafe for e tæthedsfuktio med fuktiosforskrifte: 1 f( x) e 2 Her er middelværdie, og er spredige. 19 x 2 2 2

20 Eksempler på ormalfordeligskurver med middelværdie 0 og forskellige sprediger er: Spredige 1 Spredige 2 Spredige 0,5 Spredige 3 Eksempler på ormalfordeliger med adre middelværdier: Middelværdi 50 og spredig 10 Middelværdi 50 og spredig 20 Det samlede areal uder e ormalfordeligskurve er selvfølgelig 1 (100%), for det er jo e tæthedsfuktio, me egetlig kræver det et bevis, som ikke kommer her. Normalfordeliger er helt cetrale ide for statistiske test. Alle de test, vi sart skal beskæftige os med, er baseret på e atagelse om, at de udersøgte størrelser (tilærmelsesvis) er ormalfordelte. Det skyldes De Cetrale Græseværdisætig, der i e meget kort, upræcis og ikke korrekt versio lyder: Alt er tilærmelsesvis ormalfordelt. Ordet cetral heviser til sætiges vigtighed ide for sadsylighedsregig (og statistiske test). Som sagt er oveævte ordlyd ikke korrekt, me de giver et meget godt billede af ormalfordeliges betydig. De Cetrale Græseværdisætig fides i mage forskellige mere eller midre stærke versioer. 20

21 X1 X 2... X De Cetrale Græseværdisætig: Lad S være e stokastisk variabel, der agiver det aritmetiske geemsit for idetiske stokastiske variable X ( i 1,2,3,..., ) med edelig middelværdi og spredig. Så vil S tilærmelsesvis være ormalfordelt med i middelværdie og spredig, år er tilpas stor, og tilærmelse bliver bedre, jo større er. Eksempel: Vi ved fra tidligere, at hvis ma måler baggrudsstrålige ide for 10 sekuder, vil de stokastiske variabel X, der agiver tælletallet, være poissofordelt. Poissofordelige med middelværdie har spredige, og vores stokastiske variabel X opfylder altså betigelse om edelig middelværdi og spredig. X1 X 2... X100 Se u på de stokastiske variabel S100, der svarer til, at ma 100 gage har 100 målt baggrudsstrålige i 10 sekuder og taget geemsittet af tælletallee. Dee stokastiske variabel vil tilærmelsesvis være ormalfordelt med middelværdie og spredige. Dvs. at hvis du masser af gage 100 gage måler baggrudsstrålige i sekuder (det bliver til rigtig mage måliger) og laver et histogram baseret på de målte værdier S, så vil dette histogram dae ormalfordeligeres klokkeform. for 100 Der er flere væsetlige tig at bemærke her: Selve tælletallet er poissofordelt, me hvis du måler tilpas mage gage og tager geemsittet af måligere, så vil dette geemsit tilærmelsesvis være ormalfordelt. Og dette gælder ikke bare for poissofordeliger. Det gælder for alle fordeliger med edelig middelværdi og spredig. Spredige for de pågældede ormalfordelig bliver midre, jo flere måliger, der foretages, da spredige er. Dvs. at sadsylighede for at ramme ide for et fastsat iterval omkrig middelværdie bliver større, jo flere måliger, der foretages. Det er meget vigtigt at skele mellem observatiossættets spredig (de ædrer sig ikke - bortset fra tilfældige udsvig - uaset hvor mage observatioer, der er i sættet) og spredige på middelværdie (de bliver midre, jo flere observatioer, der er i sættet). Vi har ovefor taget De Cetrale Græseværdisætig i si skrappeste versio. Vi har f.eks. forlagt, at de stokastiske variable X skulle være idetiske (og dermed uafhægige). i Faktisk er det ikke altid ødvedigt. Sætige gælder som udgagspukt også, selvom de stokastiske variable ikke er idetiske. De skal bare være uafhægige og have veldefierede, edelige middelværdier og sprediger. Og faktisk gælder de også for visse tilfælde med uedelige sprediger. Sadsylighedere skal bare falde hurtigt ok. Som ævt er det samlede areal uder e ormalfordeligskurve 1 (100%). På samme måde har ma i et histogram, at summe af alle søjleres areal er 1 (100%). Med udgagspukt i dette ka ma ræsoere sig frem til ehede på 2. akse - hvis der er e 2. akse. 21

22 Det abefales ofte ikke at agive e 2. akse, år ma laver et histogram, me i stedet tege et rektagel et sted på figure og agive, hvor mage procet det pågældede areal svarer til: Oftest begrudes dette med, at ma vil få forkerte resultater, hvis ma arbejder med forskellige itervalbredder, som det ses i figure til højre. Der er flere persoer med højder mellem 165 og 175, ed der er mellem 175 og 180, selvom søjle for er de laveste af de to. Det afgørede er arealere af de to søjler. Hvis ma havde haft frekvese op ad 2. akse, ville ma altså have fået et forkert resultat. MEN ma ka slippe helt ude om dette problem ved at avede de rigtige ehed på 2. akse. % Ehede skal være, dvs. i vores tilfælde: ehede på1. akse Hvis ma aveder dee ehed, får det ige betydig, år ma slår itervaller samme eller deler itervaller. Aflæsiger fugerer ved, at hvis ma vil vide hvor stor e procetdel af persoere, der har e % højde mellem 175 cm og 180 cm, aflæser ma for dee søjle værdie 4,1 på 2. akse, og cm % % procetdele udreges så ved: 4,1 180 cm 175cm 4,1 5cm 20,5%. cm cm Procetdele af persoer med e højde mellem 165 cm og 175 cm udreges ud fra histogrammet til % % højre: 3, 7 175cm 165cm 3, 7 10 cm 37% cm cm Ma ka også udrege procetdele for dele af itervaller, f.eks cm. Her aflæses værdie 1,5 på 2. akse, så de samlede procetdel bliver: 1,5 % 163cm 161cm 1,5 % 2 cm 3%. cm cm For ormalfordeligskurver gælder præcis det samme som for histogrammer, år ma skal have e ehed på 2. akse. Arealet uder grafe er 100%, og det opår ma ved på 2. akse at avede ehede %, dvs. hvis ma f.eks. har målt på kræfter og derfor har ewto (N) ud af 1. ehed på 1. akse akse, skal ehede på 2. akse være "pr. N", "N -1 "eller % N. 22

23 Bemærk forskelle mellem histogrammer og ormalfordeligskurver. Histogrammer er baseret på et edeligt atal itervaller, der giver aledig til et edeligt atal rektagler, der hver har et areal. Normalfordeligskurver er baseret på differetiable tæthedsfuktioer, hvor der til ethvert argumet er kyttet e fuktiosværdi, me hvor ma ikke har et eeste rektagel med et areal (eller også ka ma løst sige, at ma har uedelig mage rektagler hvert med arealet 0, me her er det cetrale ord løst ). Ovefor så vi, hvorda ma med histogrammer bestemmer hvilke procetdel af observatioere, der ligger i et iterval. Ma ka gøre det samme med ormalfordeliger, me her foregår det hele med fuktiosværdier. Vi atager u, at vores edbørsmægder fra Eksempel 2 med grupperede observatiossæt var ormalfordelt med middelværdie 681,6 mm og spredige 96,9 mm (dvs. de beregede værdier fra eksemplet). Vi stiller u de samme spørgsmål, som vi stillede i eksempel 2: Spørgsmålet: I hvor stor e del af åree faldt der over 700 mm edbør? Vi defierer først fuktioe i Maple og fider derefter de del af arealet uder grafe, der ligger lægere ude ed 700 mm: Ifølge ormalfordeligsmodelle skulle det altså være i 42% af åree, at edbørsmægde var over 700 mm (det rigtige tal var 41%). Spørgsmålet: I hvor stor e del af åree faldt der mellem 600 og 700 mm edbør? Dvs. ormalfordeligsmodelle giver, at i 38% af åree var edbørsmægde mellem 600 mm og 700 mm (det rigtige tal var 40%). Ma ka også bruge Maple til at berege ogle vigtige, geerelle tal: 23

24 Dvs. vi har fudet tallee i edeståede oversigt. Tjek, at du ka se sammehæge mellem det idtastede i Maple og edeståede tal, og prøv selv at foretage ogle af idtastigere. Oversigt over vigtige værdier i forbidelse med tæthedsfuktioer: Det samlede areal uder gausskurve er 1. Arealet uder kurve i itervallet ; er 0,683. Arealet uder kurve i itervallet 1,95996 ; 1,95996 er 0,95. Arealet uder kurve i itervallet 2 ; 2 er 0,954. Arealet uder kurve i itervallet 2,57583 ; 2,57583 er 0,99. Arealet uder kurve i itervallet 3 ; 3 er 0,997. Dvs. at 68,3% af observatioere i et ormalfordelt observatiossæt ligger i ide for é stadardafvigelse af middelværdie. Tilsvarede ligger 95,4% af observatioere ide for to stadardafvigelser, mes 99,7% ligger ide for tre stadardafvigelser. 5% ligger mere ed 1,96 stadardafvigelser fra middelværdie. 1% ligger mere ed 2,58 stadardafvigelser fra middelværdie. Fordeligsfuktioer: Sumkurve for e ormalfordelig kaldes fordeligsfuktioe, og de er e arealfuktio af tæthedsfuktioe: Et par eksempler er: x x f t dt Middelværdi 0 og spredig 1 Middelværdi 50 og spredig 10 Eftersom fordeligsfuktioe agiver arealet uder grafe for tæthedsfuktioe i itervallet, x, ka ma besvare vores u velkedte spørgsmål på følgede måde: Spørgsmålet: I hvor stor e del af åree faldt der over 700 mm edbør? Spørgsmålet: I hvor stor e del af åree faldt der mellem 600 og 700 mm edbør? Øvelse: Beyt Maple til at bestemme ogle af edeståede udvalgte værdier. 24

25 Nogle udvalgte værdier af fordeligsfuktioe er altså: 3 0, x 2 0, 023 0,159 0,5 0, , , for x Biomialformle vs. ormalfordeligskurve Biomialfordelige er som set uder forløbet om sadsylighedsregig og kombiatorik e sadsylighedsfordelig, hvor sadsylighede for at få r succeser er: r, 1 p X r K r p p, hvor er atalsparametere og p successadsylighede for é udførelse af det pågældede eksperimet. Middelværdie og spredige er: E( X ) p ( X ) p 1 p Dvs. biomialfordelige har veldefieret middelværdi og spredig. Derfor ved vi fra De Cetrale Græseværdisætig, at hvis ma udfører tilpas mage forsøg og tager geemsittet af disse, vil dette geemsit tilærmelsesvis følge e ormalfordelig. Naturligvis ka det aldrig helt blive e ormalfordelig, for ormalfordelige er e kotiuert fordelig, og vores geemsit ka uaset hvor mage gage forsøget udføres ku give ratioelle værdier. Me ligesom et irratioelt tal ka være græseværdie for e følge af ratioelle tal, så ka e kotiuert fordelig også være græse for e følge af diskrete fordeliger. Når ma som beskrevet i De Cetrale Græseværdisætig tager e fordelig og daer sit geemsit ved at udføre sit eksperimet gage, ka ma som ævt ovefor få brøker som resultat, selvom de bagvedliggede fordelig ku ka give hele tal (hvilket f.eks. er tilfældet for bl.a. biomialfordelige, poissofordelige, de egative biomialfordelig, de hypergeometriske fordelig og de egative hypergeometriske fordelig). Og de mulige brøker bliver flere og flere, jo større er, så ma så at sige udfylder områdere mellem de hele tal med flere og flere mulige værdier. På de måde ka ma godt se, at det giver meig, at e diskret fordelig ka ærme sig de kotiuerte ormalfordelig. Me ret faktisk vil biomialfordelige i sig selv på si vis også ærme sig ormalfordelige, år bare bliver tilpas stor (og for midre værdier: Jo tættere p er på 0,5). Umiddelbart ka det lyde helt forkert at prøve at sammelige e diskret fordelig, der ku ka give heltallige værdier, med de kotiuerte ormalfordelig. Og det bliver edu værre, år ma bemærker, at udfaldee i biomialfordelige er begræset i begge eder ( 0 r ), mes ormalfordeliges tæthedsfuktio har hele som defiitiosmægde. r 25

26 Hvis ma imidlertid vælger at se bort fra disse grudlæggede forskelle og sammeliger biomialfordelige med de ormalfordelig, der er fremkommet ved at avede middelværdi og spredig fra biomialfordelige, så gælder det, at biomialfordelige tilærmelsesvis følger ormalfordelige forstået på de måde, at pidediagrammet over biomialfordelige tilærmelsesvis får e klokkeform. Tilærmelse bliver som sagt bedre, jo større er, og jo tættere successadsylighede p er på 0,5. Se bilag A for eksempler. Ma ka udersøge, om et datamateriale ka beskrives ved e lieær model, ved at afbilde det i et almideligt koordiatsystem og se, om puktere tilærmelsesvis daer e ret lije. Og ved at afbilde data i et ekeltlogaritmisk koordiatsystem og se, om puktere daer e ret lije, ka ma vurdere, om ma ka avede e ekspoetiel udviklig som model. Potesfuktioer gekedes som rette lijer i et dobbeltlogaritmiske koordiatsystem. På samme måde har ma lavet et koordiatsystem med e specielt kostrueret ordiatakse, der ka avedes til at tjekke, om e fordelig ka tilærmes med e ormalfordelig. Ma plotter ete puktere fra trappediagrammet (ugrupperet) eller sumkurve (grupperet) og ser, om puktere tilærmelsesvis daer e ret lije. Her vist for tre forskellige biomialfordeliger: 26

27 STIKPRØVEUDTAGNING OG EKSPERIMENTELT ARBEJDE Ide for aturvideskabere idsamler ma typisk data ved at måle eller iagttage ogle størrelser i opstillede forsøg eller - typisk ide for astroomie - i forbidelse med hædelser, ma ikke selv kotrollerer. Adre eksempler på idsamliger kue være spørgeskemaudersøgelser, iterviews eller opslag i et tabelværk, hvis data allerede er idsamlet. Hovedtake bag stikprøveudtagig og måliger og beregiger på dee er, at ma har et begreb eller e mægde af størrelser, som ma gere med e vis øjagtighed vil kue tilskrive e værdi eller e række egeskaber, og det vil ma gøre ved at slutte iduktivt fra stikprøve (iduktivt forstået i versio b fra otere om videskabsteori). I forbidelse med bestemmelse af e fysisk størrelse er et af problemere måleusikkerheder, der gør det umuligt at bestemme e værdi præcist. Og geerelt gælder om fysiske love, at de skal gælde til alle tider og alle steder og i alle forbidelser, hvilket ma selvsagt ikke ka måle. Ma foretager derfor et begræset atal måliger (svarede til at udtage e stikprøve), og ud fra disse måliger slutter ma sig til oget agåede de fysiske størrelse eller de fysiske lov. Bemærk, at dette er e iduktiv slutig. Både forstået i versio b (fra det specielle til det geerelle) og i versio c (hvor forsøgee yder støtte, me ikke sikkerhed, for koklusioe). Der er altså ikke oget logisk gyldigt i selve slutige, og ma eder også "ku" med at kue agive resultatet med e vis usikkerhed agivet med avedelse af sadsyligheder. Der er altså to grudlæggede vilkår, vi ikke ka komme ude om: 1) Vores slutiger fra stikprøve til populatio er iduktiv og derfor ikke logisk gyldig. 2) Vi må avede sadsyligheder i agivelse af vores koklusio. Oversigt over og kort forklarig på cetrale begreber Populatio: De mægde af størrelser, om hvilke ma øsker at kue drage ogle koklusioer. Eksempler på mulige populatioer: a) Daske gymasieelever. b) Verdes befolkig. c) Beviser for matematiske sætiger i daske udervisigsbøger geem tidere. d) 3 mm skruer fra firmaet Jermad. e) Lysets hastighed som de optræder i alle sammehæge i ature. f) Newtos 2. lov til beskrivelse af ehver kraftpåvirkig af ethvert legeme. 27

28 Stikprøve: E stikprøve er e delmægde af e populatio. Det er ud fra stikprøve, at der skal kue drages koklusioer vedrørede populatioe. Styrke af koklusioere vil vokse, år stikprøvestørrelse øges, me de vil vokse lagsommere og lagsommere, så der efterhåde skal e stor forøgelse af stikprøvestørrelse til at give e lille forøgelse af styrke. Og hvis stikprøve udtages med heblik på hypotesetest, skal ma f.eks. ved e biomialtest sikre sig, at stikprøves størrelse er så meget midre ed populatioe, at ma ka se bort fra, at ma ikke arbejder med tilbagelægig (uafhægige eksperimeter), der er karakteristisk for biomialfordelig (og ellers må ma teste med de hypergeometriske fordelig). Eksempler på stikprøver (i tilkytig til oveståede populatioer): a) 100 elever fra købehavske gymasier, 100 elever fra århusiaske gymasier og 100 elever fra fyske gymasier. b) 5 tilfældigt valgte kvider fra hvert lad i verde. c) Samtlige matematiske beviser i 4 tilfældigt udvalgte matematikbøger på et bibliotek. d) 100 tilfældigt udvalgte skruer fra firmaet Jermad. e) Bestemmelse af lysets hastighed ved getagelse af det samme forsøg 20 gage. f) Målig af acceleratioe af 10 forskellige gestade udsat for hver 5 forskellige kraftpåvirkiger. Bias: E stikprøve siges at være biased, hvis ogle af elemetere i populatioe har haft midre sadsylighed for at komme med i stikprøve ed adre. Bias betyder skævhed. E biased stikprøve er ikke repræsetativ for populatioe, dvs. de ka ikke bruges til at estimere de statistiske deskriptorer for populatioe. 1) De daske befolkigs tv-forbrug udersøges ved e telefoudersøgelse med fastetumre (det er ved at være et forældet eksempel). Stikprøve bliver biased, fordi meesker, der oftere er hjemme og ka tage telefoe, ok ser mere fjersy ed dem, der sjældere er hjemme (og derfor har haft midre sadsylighed for at komme med i stikprøve ed adre ). 2) I 1936 idsamlede The Literary Digest mere ed to millioer tilkedegivelser fra læsere om, hvem de ville stemme på, og kom frem til e kæmpe sejr til republikaere Alf Lado over demokrate Frakli Roosevelt. Stikprøve var biased, da bladets læsere var mere højreorieterede ed befolkige geerelt. 28

29 3) E forsker øsker at udersøge vægte på skovmus og fager dem i fælder ved at lokke dem med mad. Stikprøve bliver biased, fordi skovmusee skal overvide frygte for fælde for at gå i de, hvilket er mere sadsyligt for e sulte mus, der altså som udgagspukt er tydere ed e geemsitsmus. 4) Alle udersøgelser, hvor persoer selv ka vælge at deltage, bliver biased, da motivatioe for at deltage på e eller ade måde ka hæge samme med svaree. Korrelatio: For at forstå beskrivelse af æste begreb skal ma forstå udtrykket at korrelere. Kort sagt siges to størrelser (variable) at korrelere, hvis de (gesidigt) afhæger af hiade. Lidt lægere sagt korrelerer to variable, der observeres i par, hvis ma, år ma kigger på de par, hvor de første variabel er større ed si geemsitsværdi oftest også har, at de ade variabel er større ed si geemsitsværdi (positiv korrelatio) eller midre ed si geemsitsværdi (egativ korrelatio). E oget lægere (og helt præcis) formulerig ville kræve e del formler. I tilfælde 3) med skovmusee er variable vægt egativt korreleret med variable sult, hvis det oftest er såda, at år ma har e mus, der vejer midre ed geemsittet, så er de mere sulte ed geemsittet. I samme eksempel er de to variable sult og vovemod positivt korrelerede, hvis det er såda, at e mus, der er mere sulte ed geemsittet også vover mere ed geemsittet. Skjulte variable: E skjult variabel er e uvedkommede variabel, der korrelerer ete positivt eller egativt med både de uafhægige og de afhægige variabel. Begrebere uafhægig og afhægig variabel skal i dee sammehæg forstås som følgede eksempler viser: 29

30 1) Udersøgelse af tv-forbrug: Her er de uafhægige variabel sadsylighede for at få fat på e perso (dvs. at få foretaget telefoiterviewet), mes de afhægige variabel er tv-forbruget. De skjulte variabel er så ophold i hjemmet, fordi de korrelerer positivt med både sadsylighede for at få fat på folk (jo mere tid der bruges i hjemmet, jo større er chace for at være hjemme år fastettelefoe riger) og med tv-forbruget (jo mere ma er i hjemmet, jo mere fjersy vil ma som oftest se). 2) Meigsmålige: Her er de uafhægige variabel sadsylighede for at få e tilkedegivelse fra e stemmeberettiget amerikaer, mes de afhægige variabel kue være sadsylighede for at stemme på Frakli Roosevelt. Her er de skjulte variable højreorieterethed, da de korrelerede positivt med sadsylighede for at tilkedegive si stemme (fordi avise appellerede til højreorieterede) og korrelerede egativt med det at stemme på Frakli Roosevelt (da e højreorieteret sjældere ville stemme på Frakli Roosevelt ed e geemsitsamerikaer ). (Hvis Frakli Roosevelt var erstattet med Alf Lado, havde korrelatioe været positiv.) 3) Skovmusee: Her er de uafhægige variabel sadsylighede for at fage de ekelte mus, mes vægte af de ekelte mus er de afhægige variabel. De skjulte variabel er sult, da de korrelerer positivt med sadsylighede for at muse fages (jo mere sult, jo større sadsylighed) og korrelerer egativt med muses vægt (jo mere sult, des midre vægt). Systematiske fejl: Afvigelsere mellem de statistiske deskriptorer i e model opstillet ud fra e biased stikprøve og de statistiske deskriptorer for selve populatioe. Da der grudet usikkerheder som udgagspukt altid vil være afvigelser mellem e model og virkelighede, kræver overståede korte formulerig e uddybig. Hvis ma forestiller sig, at ma ka tage stikprøver, der ikke er biased, fra e populatio, vil værdiere for deskriptorere for de ekelte stikprøver godt ok afvige fra populatioes sade værdier, me ved at tage geemsittet af stikprøvere og øge disses atal, vil ma komme tættere og tættere på de sade deskriptorer. Dette er ikke tilfældet, hvis de ekelte stikprøver er biased. Så vil geemsitsværdiere for de ekelte deskriptorer ikke ærme sig de sade værdier, år atallet af stikprøver øges, me derimod ogle bestemte falske værdier for deskriptorere. De systematiske fejl er altså i pricippet afvigelsere mellem de sade værdier og oveævte falske værdier, der fås ved at tage geemsittet af uedelig mage biased stikprøver (hvor det er uderforstået, at stikprøvere udtages på samme måde hver gag, så der altså er tale om de samme form for bias). 30

31 1) Her bliver de systematiske fejl, at udersøgelse viser et for stort tv-forbrug, fordi de skjulte variabel ophold i hjemmet korrelerer positivt med både sadsylighede for at få fat på folk og med tv-forbruget. 2) Her bliver de systematiske fejl, at udersøgelse viser e for lille vælgertilslutig til Frakli Roosevelt, fordi de skjulte variabel højreorieterethed korrelerede positivt med sadsylighede for at tilkedegive si stemme og egativt med det at stemme på Frakli Roosevelt. 3) Her bliver de systematiske fejl, at udersøgelse viser e for lille geemsitsvægt af musee, fordi de skjulte variabel sult korrelerer positivt med sadsylighede for at muse fages og egativt med muses vægt. Stratifikatio: Iddelig af populatioe i disjukte delmægder (dvs. at alle elemeter i populatioe placeres i e og ku e delmægde). Stratifikatio betyder lagiddelig (strata ~ lag). For at sikre sig mod, at e stikprøve bliver biased, ka ma iddele populatio i ogle dele baseret på e forhådsvurderig eller efter at have oteret sig e skævhed i stikprøve (poststratifikatio). Ved e vælgerudersøgelse ka ma f.eks. vurdere, at mæd og kvider stemmer forskelligt, uge, midaldrede og ældre stemmer forskelligt og uderklasse, middelklasse og overklasse stemmer forskelligt. Ma skal så opdele i forskellige lag. Det væsetlige er så at sørge for, at hvert lag er repræseteret med samme procetdel i stikprøve som i populatioe. E opsummerede sætig: Hvis stikprøveudtagige ideholder e skjult variabel, bliver stikprøve biased, og dermed ideholder udersøgelse e systematisk fejl. Begrebere avedt ide for aturvideskabere Skjulte variable - fejlkilder: Begrebet skjult variabel kaldes ide for aturvideskabere for e fejlkilde. Fejlkilder vil påvirke forsøgsresultatere, så der ikke kommer overesstemmelse mellem teorie og eksperimetet, uaset hvor mage gage ma udfører forsøget. Dette ka illustreres med følgede figur: 31

32 Vi skal måle på e fysisk størrelse og atager, at der er e "sad" værdi af dee (agivet med de lille lodrette sorte streg), som vi skal bestemme. Vi udfører forsøget 8 gage, og som de røde cirkler agiver, får vi forskellige resultater hver gag, me de fordeler sig ogelude ligeligt på hver side af de sade værdi. Vores eksperimetelle værdi er agivet med usikkerheder, dvs. vi agiver et iterval, hvor midte er vores eksperimetelle værdi, og som vi hævder, at de sade værdi med e vis sadsylighed skal ligge ide for (hvilket de gør på vores illustratio). Me hvis der er e fejlkilde i forsøget, vil vores eksperimetelle værdier ikke fordele sig ogelude ligeligt omkrig de sade værdi. Alle eller e klar overvægt af værdier vil placere sig på de ee side, og de sade værdi vil derfor ikke ligge ide for det iterval, der er bestemt eksperimetelt. Når et forsøg udføres mage gage, svarer det til at øge stikprøves størrelse, og det vil midske de relative usikkerheder, me det vil ikke hjælpe os til at komme ærmere de sade værdi, hvis der er fejlkilder i eksperimetet (se illustratioe): Fejlkilder er størrelser eller fæomeer, der er e (væsetlig) del af det fysiske system, ma forsøger at beskrive, me som ikke idgår i de formel eller teori, ma aveder til at beskrive systemet ) Ma vil udersøge faldlove st g t ved at lade e gestad falde fra forskellige 2 højder over jordoverflade og måle de tid, faldet tager. Luftmodstade er e skjult variabel (fejlkilde), da de ka siges at korrelere med både strækige og tide. Jo større luftmodstad, jo kortere strækig (på e fast tid), og jo større luftmodstad, jo lægere tid (med e fast strækig). Hvis det er strækige, ma vil behadle som uafhægig variabel, ka ma sige, at ma vil måle for store tider. Ma ka sige, at stikprøve (forsøgee) er biased, da sadsylighede for at måle for korte tider er (meget) midre ed sadsylighede for at måle for store tider. Og dermed får ma e systematisk fejl (ma måler for store tidsrum, og formle ser altså ud til at skulle forkastes). 32

33 TEST Ide for statistik har ma valgt at sige, at ma udfører et test. Dee (korrekte) sprogbrug er dog ikke slået helt igeem, så ma ka stadig masser af steder læse, at der er foretaget e statistisk test. Selve takegage og fremgagsmåde er: Et test består altid i, at ma vælger to hypoteser og et test som forklarigsmodel i de pågældede situatio. Hypotesere skal holdes op imod hiade, år ma har idsamlet data. De ee hypotese kaldes ulhypotese og beteges H0. De ade hypotese kaldes de alterative hypotese og beteges H1. Derefter udtager ma si stikprøve, så ma har e række måleresultater. På baggrud af ulhypotese og det korrekt valgte test (vi skal lære om biomialtest, to slags 2 - test, tre slags t-test og lidt om z-test), udreger ma e teststørrelse, og dee ka omreges til e sadsylighed p for uder forudsætig af, at ulhypotese er sad, at få det pågældede måleresultat eller et måleresultat, der (edu) mere ed det pågældede måleresultat støtter de alterative hypotese frem for ulhypotese. (Læs dette afsit flere gage og tæk grudigt over idholdet) p er e sadsylighed, så de ligger mellem 0 og 1, og ma ka altså sige, at jo midre p er, jo midre sadsyligt er det pågældede resultat uder forudsætig af ulhypotese, dvs. at hvis p bliver tilstrækkelig lille, vil ma forkaste ulhypotese. Oftest sætter ma det såkaldte sigifikasiveau til 5%, og i så fald gælder, at hvis p 0,05 forkastes ulhypotese. Hele testmetode ka føre til to typer af fejl: Fejl af type 1: E sad ulhypotese forkastes. Fejl af type 2: E falsk ulhypotese forkastes ikke. 33

34 Hypotesere Det er ulhypotese, der udersøges, dvs. det er ulhypotese, ma ka ede med at forkaste eller ikke forkaste. Som du husker fra videskabsteorie, ka ma aldrig bevise e teori, og det er derfor vigtigt at bemærke, at di koklusio altid skal omhadle forkastelse eller ikke forkastelse af ulhypotese. Nulhypotese er altid de hypotese, der beskriver situatioe, som de forvetes at være ifølge e teori eller e tabel, eller som siger, at der ikke er oge sammehæg mellem forskellige størrelser. De alterative hypotese siger så, at teorie ikke holder, at tabelværdie ikke er de rigtige (evt. at de er større eller midre) eller at der ret faktisk er e sammehæg mellem de forskellige størrelser. Det er meget vigtigt ikke at blade dit/forskeres øske id i valget af hypoteser. Ifølge vores geemgag af videskabelig praksis, bør ma forsøge at opstille forsøg, der ka forkaste e teori, og oftest vil ma ide for f.eks. samfudsvideskabere forsøge at fide sammehæge mellem forskellige størrelser. Da ulhypotese er vores udgagspukt, ka det føre til de grudlæggede fejl, at ma får formuleret e forkert ulhypotese, emlig de hypotese, der er i overesstemmelse med es øske. Eksempel 1: Ved hjælp af et svigede pedul vil ma bestemme tygdeacceleratio ved jordoverflade. Vi har e tabelværdi på g 9,82 m, og derfor bliver vores hypoteser: 2 s m m H0: g 9,82 H 2 1: g 9,82 2 s s Eksempel 2: Vi øsker ved hjælp af gitterformle at bestemme atallet af spalter pr. mm i et gitter (dvs. 1 ), hvorpå der står 1200 spalter pr. mm. Vores hypoteser bliver derfor: d 1 1 H : 1200 mm H : 1200 mm d d Eksempel 3: Vi øsker at vise, at der er e sammehæg mellem lektielæsig og opået fagligt iveau. Vores hypoteser bliver derfor: H0: Der er ige sammehæg mellem lektielæsig og opået fagligt iveau. H1: Der er e sammehæg mellem lektielæsig og opået fagligt iveau. Eksempel 4: Ma øsker at udersøge, om vælgertilslutige til partiere har ædret sig side seeste valg. Hypotesere bliver derfor: H0: Vælgertilslutige har ikke ædret sig side seeste valg. H1: Vælgertilslutige har ædret sig side seeste valg. Eks. 5: Ma øsker at udersøge, om et bestemt stof virker mod hovedpie. Hypotesere bliver: H0: Stoffet virker ikke mod hovedpie. H1: Stoffet virker mod hovedpie. Eksempel 6:Vi vil teste faldlove ved et eksperimet med e bold i frit fald. H0: Faldlove gælder. H1: Faldlove gælder ikke. 34

35 Eks. 7: Vi øsker i et forsøg med opvarmig at bestemme vads specifikke varmekapacitet. H0: Vads specifikke varmekapacitet har de værdi, der ka slås op i databoge. H1: Vads specifikke varmekapacitet har e ade værdi ed de, der ka slås op i databoge. Oversigt over begreber i forbidelse med statistiske test Et statistisk test er e procedure til at vurdere, om et datamateriale er i overesstemmelse med e fremsat hypotese. Bemærk ordet vurdere. Ma ka ikke afgøre, om der er overesstemmelse, me ku give e (velbegrudet) vurderig. Nulhypotese H0: De hypotese, der afprøves i et statistisk test. De ka i mage situatioer agives i form af de atage værdi for de parameter, der testes på, f.eks. e middelværdi: H :. 0 0 De alterative hypotese H1: De hypotese, som ulhypotese holdes op imod. Med oveståede ulhypotese ka de alterative hypotese være: a) H : Tosidet test 1 0 b) H : Vestresidet test 1 0 c) H : Højresidet test 1 0 Sigifikas: Et resultat siges at være statistisk sigifikat, hvis det er usadsyligt, at det er idtruffet ved et tilfælde. Det ka også udtrykkes ved, at der foreligger sigifikas. Sigifikasiveauet er de sadsylighed, der fastsætter, hvad der skal reges som usadsyligt. Dette iveau er ikke fast. Det oftest beyttede er = 0,05. Hvis resultatet er usadsyligt (dvs. hvis p-værdie er midre ed sigifikasiveauet), forkastes ulhypotese. Acceptområde A: Det område (de mægde), ide for hvilket de målte parameter skal ligge, hvis ulhypotese ikke skal forkastes. Det kritiske område K: Det område (de mægde), ide for hvilket de målte parameter skal ligge, hvis ulhypotese skal forkastes. Ved et tosidet test ligger det kritiske område på hver si side af acceptområdet. Hvis ma f.eks. arbejder ud fra e atagelse om, at de målte parameter er ormalfordelt med middelværdi og spredig og har fastsat et sigifikasiveau på 5%, vil det kritiske område være K ; 1,96 1,96 ; mes acceptområdet er A 1,96 ; 1,96., Ved et vestresidet test ligger det kritiske område til vestre for acceptområdet. Med samme atagelse som ovefor fås det kritiske område K ; 1,645 A 1,645 ; og acceptområdet. Tallet 1,645 er fudet ud fra, at der skal være 5% chace for at have i det kritiske område. 35

36 Detalje: Ved ormalfordeliger og adre kotiuerte fordeliger ka sittet lægges præcist ved de 5%. Dette er ikke tilfældet ved diskrete fordeliger (f.eks. biomialfordelige). Så her er der brug for e mere præcis formulerig, der siger, at sigifikasiveauet er de maksimale sadsylighed, der fastsætter, hvad der skal reges som usadsyligt. Ma 'favoriserer' altså ulhypotese. Dvs. at med sigifikasiveauet 5% ka ma f.eks. være ødt til at vælge e kritisk mægde, som der måske ku er 1,3% sadsylighed for at ramme ide for (bemærk, at de 1,3 bare er et eksempel på et tal midre ed 5). Fejltyper: Meget væsetlig poite i forbidelse med valg af alterativ hypotese: Som agivet tidligere ka ma vælge 'tosidet test', 'vestresidet test' og 'højresidet test'. Dvs. at hvis ma f.eks. vil udersøge, om drege og piger laver lige mage lektier i gymasiet, bliver ulhypotese, at drege og piger laver lige mage lektier i gymasiet, og ma skal så afgøre, hvilke af følgede tre alterative hypoteser, de skal holdes op imod: a) Drege og piger laver ikke lige mage lektier i gymasiet (tosidet test). b) Drege laver flere lektier ed piger i gymasiet (højresidet). c) Drege laver færre lektier ed piger i gymasiet (vestresidet). De væsetlige poite er, at ma skal træffe sit valg uafhægigt af sie data, dvs. som udgagspukt allerede ide idsamlig af data. Årsage til dette er, at ma ellers eder med at begå dobbelt så mage type-i-fejl, dvs. ma får forkastet dobbelt så mage sade ulhypoteser, som hvis ma gjorde det på de rigtige måde. Atag emlig, at ulhypotese om, at drege og piger laver lige mage lektier i gymasiet, er sad. Hvis ma udersøger dette i e hel række udersøgelser, vil ma som udgagspukt (da ma arbejder med stikprøver) aldrig opå præcis samme resultat for drege og piger, me ma ka rege med, at omkrig 50% af udersøgelsere viser, at drege laver flest lektier, mes 50% viser, at piger laver flest lektier. Hvis ma u i e kokret udersøgelse kiggede på tallee og så, at dregee i stikprøve lavede flere lektier ed pigere, og derfor valgte et højresidet test, ville ma placere hele det kritiske område på f.eks. 5% ude til højre i stedet for at fordele de 5% på 2,5% yderst til højre og 2,5% yderst til vestre. Hvis stikprøve havde vist, at dregee lavede færre lektier ed pigere, ville ma med dee forkerte metode vælge et vestresidet test og placere de 5% yderst til vestre. Hvis ma altså først kigger på data, kommer ma i dette tilfælde til reelt at placere 10% (5% i hver side), år det kritiske område skal agives, og dermed har ma (ubevidst) fordoblet sigifikasiveauet. 36

37 Biomialtest I Maples Gym-pakke: biomialtest Vi idleder med biomialtest, selvom dette som det eeste af vores test ikke ideholder e bereget teststørrelse, der skal omreges til e p-værdi. Til gegæld ka vi i modsætig til de adre test være med hele veje matematisk. Der ligger altid e fordelig til grud for et test. Til grud for biomialtest ligger biomialfordelige, der som bekedt beskæftiger sig med getagelser af et forsøg med to mulige udfald (succes og fiasko) med kostat successadsylighed p. Biomialfordelige er så sadsylighedsfordelige for de stokastiske variabel, der agiver atallet r af succeser. Fordelige ka beskrives ved både e diskret tæthedsfuktio og e fordeligsfuktio. Ide vi ser på eksempler på biomialtest, skal vi derfor lige geemgå ogle beregiger på biomialfordelige. De diskrete tæthedsfuktio r, 1 f r p X r K r p p f r agiver sadsylighede for r succeser: r I Maples Gym-pakke hedder kommadoe bipdf (pdf ~ probability desity fuctio). Eksempel 1: Udregig med 50, p 0,17 og r 9 : Dvs. ved 50 getagelser af et forsøg med successadsylighede 0,17 er sadsylighede 14,3% for at få etop 9 succeser. Maple ka tege et pidediagram som graf for tæthedsfuktioe: Det er sadsylighede, der er ud ad 2. akse, så vi ka se, at det passer fit med de 14,3% for 9 succeser. Vi ka desude se, at sadsylighedere for at få mere ed 20 succeser er forsvidede lille. Fordeligsfuktioe agiver sadsylighede for højst r succeser: r i ( ), 1 F r p X r f i K i p p i0 i0 r i 37

38 Bemærk, at fordeligsfuktioe her aveder sumteg, da biomialfordelige er diskret, mes ma for de kotiuerte ormalfordelig aveder itegralteg i fordeligsfuktioe. I Maples Gym-pakke hedder kommadoe bicdf (cdf ~ cumulative distributio fuctio). Udregig med 50, p 0,17 og r 9 : Dvs. at sadsylighede for at få højst 9 succeser er 66,0%. Dette kue også være udreget ved: Vi ka også bede Maple om at afbilde fordeligsfuktioe: De stiplede blå lije er sat for at vise, at sadsylighede for at få højst 9 succeser er 66%. Ma ka også avede fordeligsfuktioe, hvis ma skal fide sadsylighede for at få midst et bestemt atal succeser. Ma skal i så fald udytte: 1 1 p X r p X r Dee formel udytter, at ma er (100%) sikker på at få ete midst r succeser eller højst r 1 succeser. I eksemplet med 50 og p 0,17 får ma: Dvs. der er 34% chace for at få midst 10 succeser. Edelig ka ma også bruge fordeligsfuktioe til at bestemme sadsylighede for at ramme ide for et vist iterval ved at udytte: 1 p r X t p X t p X r p X t p X r 38

39 Eksempel 2: Sadsylighede for at få mellem 7 og 12 succeser (begge tal iklusive) er: Dvs. sadsylighede er 69,7%, hvilket også lidt mere besværligt kue være fudet ved: Det er u tid til at se på eksempler på biomialtest. Eksempel 3: Vi har købt e terig og vil udersøge, om det er e sydeterig, så ma ikke har de rigtige sadsylighed for at få e sekser. Oftest vil sydeteriger ok give for mage seksere, me hvis vi også holder mulighede åbe for, at det ka være e sydeterig bereget på modstadere, laver vi et ligesidet test. Dvs. vores hypoteser bliver: 1 1 H0: Det er ikke e sydeterig, dvs. psucces H1: Det er e sydeterig, dvs. psucces 6 6 Vi vælger at arbejde med sigifikasiveauet 5% (dette skal også vælges ide forsøget udføres). Vi udfører et forsøg med 100 kast med terige og får 23 seksere. Vi ka hurtigt se, at frekvese af seksere er 23%, dvs. højere ed sadsylighedssuccese på 16,7%, me spørgsmålet er, om forskelle er sigifikat, dvs. om det er for usadsyligt med e ikke-sydeterig at få et sådat resultat eller oget, der er "værre". Vi har valgt et ligesidet test med sigifikasiveau 5%, så vi skal have placeret 2,5% i hver side. Vi ka u gribe det a på forskellige måder: Metode 1: Vi fider sadsylighede for uder forudsætig af at ulhypotese holder at få 23 eller flere seksere (dvs. midst 23): Da sadsylighede på 6,3% er større ed 2,5%, er afvigelse IKKE sigifikat, dvs. vi ka IKKE forkaste ulhypotese. Vi ka altså ikke hævde, at det er e sydeterig. Metode 2: Vi vil først bestemme acceptområde og det kritiske område. Edu egag husker vi på, at det er et ligesidet (tosidet) test, så vi skal have placeret (højst) 2,5% i hver side. Vi skal desude lægge mærke til, at udregigere i vestre side og højre side skal foretages forskelligt. Vi ved, at ulhypotese forudsiger 16,7 seksere, så vestreside består af hædelsere 0-16 seksere, mes højreside er seksere. Først vestreside: Vi skal her se på, hvor spriget forbi 2,5% sker, og vi ser på fordeligsfuktioes værdier: Dette viser, at sadsylighede for at få f.eks. højst 7 seksere er 0, %. Her ses det, at spriget forbi 2,5% sker fra 9 til 10 seksere. 39

40 Højreside: Her skal vi se på sadsylighede for at få det på gældede atal seksere eller flere. Da dette udreges som P X r 1 P X r 1, skal vores sekves agives aderledes: (Der er ku fortsat op til 50 seksere, da ma ka se, at sadsylighedere for flere seksere er ekstremt små). Det væsetlige er, hvor spriget forbi 2,5% sker. Dette ses at ske fra 24 til 25 seksere. Vi får dermed følgede: Acceptmægde er A 10,11,12,...,24 De kritiske mægde er K {0,1,2,...,9} 25,26,27,...,100 Da udfaldet på 23 seksere ligger i acceptmægde, forkastes ulhypotese IKKE. Metode 3: Med Gym-pakke ka ma desude få: Når ma aveder 'biomialtest', skal ma udover og p agive sigifikasiveauet (her 0,05) samt om testet skal være 'vestre', 'højre' eller 'tosidet' (et adet ord for ligesidet eller dobbeltsidet). Bemærk, at det er tæthedsfuktioe, der er agivet, dvs. sadsylighede for de ekelte hædelser. Acceptmægde er agivet med grøt. 40

41 Eksempel 4: Vi har spillet med terig og fået e mistake om, at de er skæv og giver for mage 5'ere. Dette vil vi gere udersøge, og vi opstiller derfor hypotesere: 1 H0: Terige er ikke skæv, dvs. psucces 6 1 H1: Terige giver for mage 5'ere, dvs. psucces 6 Vi vælger ige sigifikasiveauet 5% og udfører et forsøg med 300 kast, hvor vi får 67 5'ere. Det er jo flere ed de forvetede 50 5'ere, me spørgsmålet er, om forskelle er sigifikat. Da vi her har valgt at lave et højresidet test, skal alle 5% (de kritiske mægde) placeres til højre. Vi får u: Da sadsylighede for at få midst 67 5'ere med e 'ærlig' terig er uder 5%, har vi altså fået sigifikat flere 5'ere ed forvetet, og vi må forkaste ulhypotese til fordel for de alterative hypotese. Vi kokluderer altså, at terige er skæv og giver for mage 5'ere. Grafisk ses acceptmægde og de kritiske mægde ved: Som det ses er: Acceptmægde: A 0,1,2,...,61 Kritisk mægde: K 62,63,64,...,300 De 67 5'ere ligger altså i de kritiske mægde. Meigsmåliger af tilslutige til politiske partier er et af de steder, hvor vi oftest møder statistiske tests præseteret, og det er også e situatio, hvor ma skal passe på ikke at gå i e fælde (jf. fremlæggelse 10 Multiple comparisos problem, side 63). For hvis der f.eks. er 10 partier, og ma kigger på tallee og får øje på et parti, hvor ma ser e stor foradrig af tilslutige og derfor beslutter at teste, om ædrige er statistisk sigifikat, skal ma korrigere for, at ma egetlig foretager 10 test (da ma udvælger bladt 10 resultater). Hvis vi f.eks. arbejder med et sigifikasiveau på 5%, skal vi teste, som om sigifikasiveauet var 5% 0,5% 10 (Boferroi-korrektio). På de måde sikres, at sadsylighede for at begå e type-i-fejl i det samlede test (beståede af 10 ekelte test) er de samme, som hvis ma ku foretog ét test. Boferroi-korrektio er ku é bladt flere forskellige metoder til at forsøge at udgå type-i-fejl, år ma foretager mage test. Problemet er, at ma med dee metode øger risikoe for type-ii-fejl, dvs. at falske ulhypoteser IKKE forkastes. I det æste eksempel atages det altså, at vi af e eller ade årsag - fra start er iteresseret i tilslutige til Det Radikale Vestre, dvs. vi har IKKE kigget på meigsmålige, ide vi beslutter os for at se på etop Det Radikale Vestre. 41

42 Eksempel 5: Ved folketigsvalget i 2011 fik Det Radikale Vestre 9,5% af stemmere. E meigsmålig i jauar 2015 fortæller, at de u står til 7,5% af stemmere. Spørgsmålet er så, om dette er e sigifikat forskel. Ma ka ikke svare på dette, hvis ma ikke ved, hvor stor stikprøve er. Så u atager vi, at stikprøve består af 1300 persoer. Vi skal u have valgt vores to hypoteser: H0: Det Radikale Vestre har samme tilslutig som ved folketigsvalget, dvs. psucces 0,095. Vi skal u have bestemt os for vores alterative hypotese. Vi ka se, at tilslutige ser ud til at være gået ed og kue derfor være fristede til at lave et vestresidet test. MEN her er det ekstremt vigtigt at huske på, at ma aldrig må vælge alterativ hypotese efter at have set på tallee, da ma ellers får dobbelt så mage sigifikate resultater i forhold til det rigtige atal. Nu er det jo lidt for set at vælge alterativ hypotese ide at have set tallee, me vi lader derfor som om, vi ikke har set resultatet af meigsmålige og vælger derfor: H1: Det Radikale Vestre har ikke samme vælgertilslutig som ved valget, dvs. psucces 0,095 Vi placerer altså 2,5% i begge sider (ligesidet test). 7,5% af 1300 persoer svarer til 0, ,5, dvs. 98 persoer (det kue reelt godt have været 97 persoer, da det også ville give 7,5%). Da vi befider os på vestre side, skal vi fide sadsylighede for højst 98 persoer: Da sadsylighede er uder 2,5%, er vælgertilslutige i stikprøve sigifikat midre ed ved valget (ulhypotese forkastes). Det ses, at acceptmægde og kritisk mægde er: A 103,104,105,...,145 K 0,1,..., ,...,1300 Græsere 103 og 145 i acceptmægde ka omreges til procetere 7,9% og 11,2%. Dvs. at ide for 7,9%;11,2% ville ma ikke have kuet sige, at vælgertilslutige var ædret. 42

43 2 -test Til grud for alle 2 -test ligger meget passede de såkaldte 2 -fordeliger, som vi ser på om lidt. 2 -fordeligere er baseret på ormalfordelige (og det er her, at De Cetrale Græseværdisætig for alvor bliver cetral), år ma aveder 2 -test. Ved et 2 -test udreger ma e såkaldt teststørrelse Q (sommetider avedes 2 lidt misvisede i stedet for Q): Q i1 O F 2 i F i i Fi : De forvetede værdi (bereget på baggrud af ulhypotese) Oi : De observerede værdi : Atallet af observerede kategorier (celler) Poite er, at dee teststørrelse Q - HVIS ulhypotese er sad - med god tilærmelse følger e 2 -fordelig. Grafisk ser tæthedsfuktioere for e del af 2 -fordeliger ud som vist edefor. k-værdiere agiver atallet af frihedsgrader. Q-værdie skal sammeliges med et tal aflæst på førsteakse. Atallet af frihedsgrader er det atal kategorier (observerede værdier), der frit ka varieres, eller sagt med adre ord, atallet af celler ma skal kede observatioere i, før ma ka udrege reste af tabelle. Dee beskrivelse bliver emmere at forstå, år vi ser på eksemplere. Bemærk, at arealet uder hver af 2 -fordeligere (selvfølgelig) er 1 (100%). Jo midre Q-værdie er, jo mere støtter det ulhypotese (se udregige af Q-værdie, hvor Q bliver midre, jo tættere de observerede værdier ligger på de forvetede værdier, der er bereget med udgagspukt i ulhypotese). Med Maples Gym-pakke ka ma grafisk afbilde tæthedsfuktioere for 2 -fordeligere: 43

44 1 frihedsgrad 2 frihedsgrader 3 frihedsgrader 4 frihedsgrader 5 frihedsgrader 6 frihedsgrader 44

45 Sigifikasiveauet ka omreges til e værdi på 1. akse ved at fide de værdi på 1.akse, hvor arealet uder grafe til højre for dee værdi svarer til Dette foregår emmest ved at avede 2 -fordeligsfuktioere: Husk, at det u er sadsylighedere for højst de pågældede værdi, der er agivet på 2. akse, dvs. med f.eks. 6 frihedsgrader, er sadsylighede for, at Q-værdie er 6 eller uder, ca. 58%. I Gym-pakke teges det ved: 1 frihedsgrad 2 frihedsgrader Det er vigtigt at huske på, at tæthedsfuktioere IKKE har sadsyligheder ud ad 2. akse, me at sadsylighedere fremkommer som arealer uder grafe. Dvs. ma ka på grafe med det passede atal frihedsgrader fide sadsylighede for at få højst e bestemt Q-værdi ved at berege arealet uder grafe i itervallet 0,Q Fordeligsfuktioere agiver derimod lige etop dee værdi. Dvs. vi ka direkte på 2. akse aflæse sadsylighede for højst at få de pågældede Q-værdi. 45

46 Omregig mellem p og Q Vi har idtil videre kigget på sadsyligheder for at få højst e bestemt værdi. Me defiitioe på sigifikasiveau gør, at vi er iteresseret i sadsylighede for at få midst de pågældede værdi. Vi skal derfor ikke kigge på fordeligsfuktioere FQ, me på 1 FQ. Vi ser u på et eksempel med 4 frihedsgrader og sigifikasiveauet 5%: Bemærk, at jo større Q-værdie bliver, jo midre bliver sadsylighede p, da dee graf etop agiver sadsylighede for - uder forudsætig af ulhypoteses gyldighed - at få midst de pågældede Q-værdi. Du skal ud fra dee figur kue forstå følgede: p-værdi: Hvis p (sigifikasiveauet), forkastes ulhypotese. Q-værdi: Hvis Q Q kritisk (de kritiske værdi), forkastes ulhypotese. Ma ka rege frem og tilbage mellem p-værdie og Q-værdie ved: p 1 chicdf ( atal frihedsgrader, Q) Eksempel: Dvs. at hvis ma har 6 frihedsgrader, er sadsylighede 49% for - uder forudsætig af at ulhypotese er sad - at få e Q-værdi på midst 5,43. Eksempel: Dvs. hvis ma har 5 frihedsgrader og et sigifikasiveau på 5%, er de kritiske værdi for Q- værdie 11,07. 46

47 De kritiske værdi for Q-værdie E vigtig tabel Det sidste eksempel viser fremgagsmåde til at udrege edeståede vigtige tabel: Sigifikasiveau Tabelle viser, at hvis vi vælger sigifikasiveauet 5% 0,05 og har 3 frihedsgrader, vil værdie 7,82 på 1. akse fugere som Q-værdies græse for, hvorår ulhypotese forkastes. Hvis Q-værdie er større ed 7,82, forkastes ulhypotese. Hvis Q-værdie er midre ed 7,82, forkastes ulhypotese ikke. På æste side er poitere illustreret med udgagspukt i tæthedsfuktioer. 47

48 Med sigifikasiveauet 5% har ma ifølge tabelle følgede græser: Tallee på førsteakse (3.84, 5.991, 7.815, 9.49 og 11.07) agiver græse for vores Q-værdi, år vi arbejder med et sigifikasiveau på 0,05 5%. Hvis sigifikasiveauet gøres større, bliver græse midre - og omvedt. Ma har altså to forskellige måder at komme frem til e koklusio på: p-værdi: Hvis p, forkastes ulhypotese. Q-værdi: Hvis Q Qkritisk, forkastes ulhypotese. 48

49 2 -test (chi-i-ade-test) GOF I Maples Gym-pakke: ChiKvadratGOFtest GOF står for Goodess Of Fit. Testet kaldes også sommetider Pearsos 2 -GOF-test (der fides også e masse adre 2 -test). I et GOF-test udersøger ma, om et observatiossæt er i overesstemmelse med e teoretisk eller forvetet fordelig. Ma arbejder altid ud fra hypotesere: H0: Observatiossættet er i overesstemmelse med de forvetede fordelig. H1: Observatiossættet er ikke i overesstemmelse med de forvetede fordelig. Der er ikke oget med højresidet eller vestresidet test, da 2 -fordeligere er e slags "kvadreret u- fordelig", hvorfor ma ikke ka skele mellem positive og egative afvigelser fra middelværdie. Fremgagsmåde er så: a) Vælg sigifikasiveau og bestem atal frihedsgrader. b) Opstil e tabel med observerede og forvetede værdier (sidstævte på baggrud af ulhypotese). c) Udreg Q-værdie. d) Sammelig Q-værdie med tabelle og se, om ulhypotese skal forkastes (hvis Q-værdie er større ed de kritiske værdi, skal ulhypotese forkastes). Evt. ka p-værdie avedes i stedet for Q-værdie, hvor e p-værdi midre ed sigifikasiveauet fører til forkastelse af ulhypotese. Eksempel 1: Ved valget i 2011 fordelte stemmere sig på følgede måde: Parti A B C F I K O V Ø %-del 24,8 9,5 4,9 9,2 5,0 0,8 12,3 26,7 6,7 E meigsmålig 29. jauar 2015 med 1682 repræsetativt udvalgte daskere viser u: Parti A B C F I K O V Ø %-del 22,9 7,1 4,4 6,7 5,0 0,6 21,2 23,6 8,5 Vi vil gere udersøge, om vælgertilslutige har ædret sig. a) Vi sætter sigifikasiveauet til 5%, og da der er 9 partier, er atallet af frihedsgrader 8 (9 1 8 ), da vi frit ka vælge 8 %-dele, hvorefter de sidste procetdel er låst fast af betigelse om, at procetdelee summeres op til 100%. b) Det er vigtigt at bemærke, at ma ikke ka arbejde med %-satser i 2 -test, så disse skal omreges til forvetede og observerede værdier. De forvetede værdier udreges med udgagspukt i ulhypotese (dvs. valgresultatet), og de observerede værdier bereges ud fra meigsmålige. I begge tilfælde omreges fra % til atal ved hjælp af de 1682 adspurgte: Eksempel: Forvetet F: , 2% , , Eksempel: Observeret V: , 6% , , Parti A B C F I K O V Ø Forvetet Observeret

50 c) 9 i1 O F i i Q F i , d) Vores vigtige tabel fortæller os, at med 8 frihedsgrader og sigifikasiveauet 0,05, er de kritiske værdi for Q 15,51. Da 148, ,51, forkastes ulhypotese. Eller med adre ord: Der er sigifikat forskel på valgresultatet og meigsmålige. Vi ka også berege e p-værdi (hvor det udyttes, at der er 8 frihedsgrader): Vi får altså et tal, der er så tæt på 0, at Maple ikke ka agive det. Da p 5%, forkastes ulhypotese. Bemærk: Ma skal selvfølgelig ikke ormalt avede både Q og p til at afgøre, om ulhypotese forkastes. Ma aveder é af dem (efter eget valg). I Maples Gym-pakke ka testet udføres, år ma har udreget tabellere i b): Her avedes betegelse 2 for teststørrelse Q, me ellers ka ma se, at værdiere er de samme. Edu e detalje: Teststørrelse Q er som ævt som udgagspukt med god tilærmelse 2 - fordelt. Dee tilærmelse er dog ikke så god, hvis ogle af de forvetede værdier er meget små. Ma har for de forvetede værdier fastsat værdie 5 som edre græse for, hvorår det er rimeligt at atage, at Q følger 2 -fordelige. I vores eksempel 1 er de midste forvetede værdi 13 (partiet K ), så her er der ikke problemer. Me hvis ma i e eksamesopgave bliver "tvuget" til at lave et 2 -test i e situatio med e eller flere værdier uder 5, bør ma kommetere dette problem. 50

51 Eksempel 2: Vi vil udersøge, om vores yidkøbte terig er skæv, og kaster derfor terige 600 gage og får: Øjetal Atal Vores ulhypotese er altså, at terige ikke er skæv, dvs. at sadsylighede for hvert udfald er 1 p, mes de alterative hypotese er, at terige er skæv. 6 a) Vi vælger sigifikasiveauet 1% (hvilket vi selvfølgelig har gjort, ide vi foretog vores kast med terige), og atallet af frihedsgrader er 5, da vi ka udrege atallet af 6'ere, år vi keder atallet af de 5 adre øjetal og ved, at der var i alt 600 kast. b) Vi har allerede de observerede tabel, og de forvetede tabel er: Øjetal Atal c) O 2 i Fi Q i1 F i , d) Med 5 frihedsgrader og et sigifikasiveau på 1% fortæller tabelle os, at græse for Q- værdie er 15,09. Da 0,96 15, 09, forkastes ulhypotese IKKE. Dvs. vi har ikke belæg for at hævde, at terige er skæv, da vores observatioer ikke afviger sigifikat fra det forvetede. Vi kue også have udreget p-værdie: Ma ka kort kokludere: "Da p 5%, forkastes ulhypotese IKKE." Med lidt flere ord ka ma sige, at hvis vores ulhypotese er sad (dvs. terige ikke er skæv), er der 96,6% chace for at få er resultat som vores eller et, der er værre (dvs. som peger mod e skæv terig). Vores resultat er altså på ige måde usædvaligt, og derfor forkastes ulhypotese ikke. 51

52 2 -test (chi-i-ade-test) Uafhægighedstest I Maples Gym-pakke: ChiKvadratUtest Dette er også et af Pearsos 2 -test. Det avedes til at teste, om to forskellige størrelser er uafhægige. Hypotesere er derfor altid: H0: De to størrelser er uafhægige af hiade. H1: De to størrelser er afhægige af hiade. Eksempel 1: Ma øsker at udersøge, om der er e sammehæg mellem elevers præstatioer i matematik og fysik. Ma har e formodig om, at der er e klar sammehæg, og ma øsker at vise dette, hvorfor ma 'satser' og vælger et sigifikasiveau på 0,1%. Ma udersøger derefter 528 studeters præstatioer og opdeler dem ide for hvert fag i 'høj karakter', 'mellem karakter' og 'lav karakter'. De observerede tabel bliver: Matematik Høj Mellem Lav I alt Fysik Høj Mellem Lav I alt Der er tilføjet e række og e søjle med 'I alt', hvor tallee er fudet ved at tage summe af tallee i de tilsvarede række/søjle. Nederst i højre hjøre fås det samlede atal studeter i udersøgelse både ved at lægge de tre røde tal oveover samme og ved at lægge de tre røde tal til vestre samme. På dee måde ka ma tjekke, om ma har reget forkert. Vi øsker u at opstille e forvetet tabel og i samme forbidelse se på atallet af frihedsgrader. De forvetede tabel er som bekedt baseret på ulhypotese, dvs. vi går ud fra, at karakterere i matematik og fysik er uafhægige af hiade. Som eksempel ser vi på det forvetede atal elever, der skulle få e Mellem-karakter i matematik og e Høj-karakter i fysik. Vi ka gribe det a fra to forskellige sysvikler: 1. sysvikel: Der er 276 ud af de 528 elever, der har fået Mellem i matematik, dvs ,3% 528. Der er 139 elever, der har fået Høj i fysik, og hvis der ikke er oge sammehæg mellem karakterere i fysik og matematik, skulle 52,3% af disse have fået karaktere Mellem i matematik, dvs. atallet af elever med karaktere Mellem i matematik og Høj i fysik måtte forvetes at være: 52,3% 139 0, , sysvikel: Der er 139 ud af de 528 elever, der har fået Høj i fysik, dvs ,3% 528. Der er 276 elever, der har fået Mellem i matematik, og hvis 26,3% af disse også har fået Høj i fysik, bliver det forvetede atal med Mellem i matematik og Høj i fysik: 26,3% 276 0, Hvis ma kigger lidt på udregigere, ka ma se, hvorfor resultatet bliver det samme. 52

53 Vi begyder u at udfylde de forvetede tabel: Matematik Høj Mellem Lav I alt Høj Fysik Mellem Lav 141 I alt Ide vi fortsætter, ka vi u se på atal frihedsgrader, år ma arbejder med tabeller. For som det fremgår af oveståede, er vi - da vi keder alle de røde tal - u i stad til at berege de maglede 5 værdier: Eksempler: Høj-mat og Lav-fys: Atal Lav-mat og Mellem-fys: Atal Vi har altså 4 frihedsgrader i dette eksempel, da vi ud fra disse fire værdier er i stad til at berege reste. Geerelt gælder det for e tabel med r rækker og s søjler, at atallet f af frihedsgrader er: 1 1 f r s De forvetede tabel udfyldes helt: Matematik Høj Mellem Lav I alt Høj Fysik Mellem Lav I alt Og de observerede var som agivet tidligere: Matematik Høj Mellem Lav I alt Høj Fysik Mellem Lav I alt Vi bereger så vores Q-værdi: Q , Vi har 4 frihedsgrader og arbejder som ævt fra start med sigifikasiveauet 0,1%. Vores tabel fortæller os så, at de kritiske værdi for vores Q-værdi er 18,47. Da 139,55 18, 47, forkastes ulhypotese, dvs. der er e sigifikat sammehæg mellem karakterere i matematik og fysik. 53

54 I Maple skal ma opskrive si tabel i e matrix. Beyt "tab" til at bevæge dig frem mellem cellere: Teststørrelse afviger (lidt) fra vores beregede værdi, me det skyldes de afrudiger, vi foretog udervejs. Med Maples Gym-pakke ka ma fide de forvetede tabel med forvetet( ): Eksemplet viste os også, hvorda vi geerelt udreger de forvetede tabel ud fra vores beregede "i alt"-celler: A1 A2 A3 A4 I alt B1 B2 B3 I alt B1 A1 B1 A2 B1 A3 B1 A4 ialt ialt ialt ialt B2 A1 B2 A2 B2 A3 B2 A4 ialt ialt ialt ialt B3 A1 B3 A2 B3 A3 B3 A4 ialt ialt ialt A 1 ialt 2 ialt ialt ialt ialt ialt ialt ialt ialt ialt A A 3 ialt 4 ialt ialt ialt ialt ialt ialt B 1 ialt B 2 ialt B 3 ialt A 54

55 Eksempel 2: Vi vil udersøge virkige af e slags medici og ser derfor på 1000 persoer med de sygdom, som medicie skal hjælpe imod. Heraf får 500 medicie, og 500 gør ikke. Vi arbejder med sigifikasiveauet 5%. Vores hypoteser bliver så: H0: Sygdomstilstade er uafhægig af, om persoe har fået medici eller ej. H1: Sygdomstilstade afhæger af, om persoe har modtaget medici eller ej. Det er værd at bemærke, at ulhypotese forkastes, hvis persoere får det sigifikat værre pga. medicie, så hvis der fremkommer sigifikas, skal ma ved at kigge på tallee i tabelle se, om medicie har e positiv effekt. Vi har fået følgede tabel (hvor vi selv har udreget "i alt"): Vi lader Maples Gym-pakke foretag udregigere: Maple giver os alle de værdier, vi skal bruge til oget (dvs. vi behøver ikke at avede vores tabel). De kritiske værdi er 5,9915, og da vores teststørrelse Q (eller 2 ) er midre ed de kritiske værdi, skal ulhypotese IKKE forkastes. Dvs. medicie har ikke oge sigifikat virkig. Vores sigifikasiveau er 5%, og da vi har e p-værdi på 39%, er p 5%, så ulhypotese forkastes IKKE. Resultatet er ikke så usadsyligt, at vi ka forkaste hypotese om, at medicie er virkigsløs. 55

56 t-test (Studet's t-test) Navet skyldes, at William S. Gosset beskrev testee i artikler skrevet uder pseudoymet Studet. t-test avedes, år ma har e forholdsvis lille stikprøve af e eller to størrelser, der formodes at være ormalfordelt, me hvor ma hverke keder middelværdie eller spredige. Hvis stikprøve er stor, og/eller ma keder spredige, skal ma avede z-test (baseret på ormalfordelige). Til grud for t-testet ligger de såkaldte t-fordeliger, og vi udreger lige som tidligere teststørrelser - kaldet T - der, hvis ulhypotese er sad, følger t-fordelige med det passede atal frihedsgrader. Bortset fra ye fordeliger og teststørrelser er fremgagsmåde ogelude de samme som ved 2 -test. Nogle t-fordeligers tæthedsfuktioer ses her (fordeligsfuktioere ka teges med tcdf ). Bemærk, at tæthedsfuktioere er symmetriske omkrig 0, og at vores teststørrelser altså i dette tilfælde også ka blive egative. E ade tig, der ka bemærkes, er, at jo flere frihedsgrader, jo tættere kommer t-fordeliger på ormalfordelige med middelværdi 0 og spredig 1, dvs. de såkaldte u-fordelig: Normalfordelig med middelværdi 0 og spredig 1 (u-fordelige). Vi er her kommet tilbage til e situatio, hvor vi skal vælge alterative hypoteser og ka vælge mellem vestresidet, højresidet og ligesidet/tosidet/dobbeltsidet test. 56

57 t-test: Oe-Sample-t-test Dette test avedes, år ma vil udersøge, om e række måliger af e bestemt størrelse, der ka formodes at være ormalfordelt, me hvor spredige ikke kedes, har e forvetet middelværdi (der f.eks. kue være e tabelværdi). Det giver altså følgede ulhypotese: H0: obs 0 Der er følgede valgmuligheder for alterativ hypotese (husk, de skal vælges ide måligere udføres): H (vestresidet test, dvs. hele de kritiske mægde placeres uder 0 ) 1) : obs 1 0 2) H1 : obs 0 3) H1 : obs 0 (højresidet test, dvs. hele de kritiske mægde placeres over 0 ) (ligesidet test, dvs. de kritiske mægde fordeles på begge sider af 0 ) Teststørrelse T er i dette tilfælde: x 0 T s Her er: : Atallet af måliger. x i1 x i er det aritmetiske geemsit af de observerede værdier. i1 2 i 1 s x x er de estimerede spredig. 1 f 1 er atallet af frihedsgrader. 1 Atallet af frihedsgrader samt de lidt overraskede brøk i udtrykket for de estimerede 1 spredig kommer af, at ma "mister" e frihedsgrad, år ma udreger det aritmetiske geemsit. For givet det aritmetiske geemsit, behøver ma ku at kede 1 værdier, da de sidste værdi ka bereges ud fra disse og geemsittet. Det er teststørrelse T, der - hvis ulhypotese er sad - vil følge t-fordelige med de passede atal frihedsgrader. Bemærk, at udtrykket for teststørrelse T svarer til at ormere e fordelig med middelværdie 0 og spredige Spredige s (se Defiitio 10 og Sætig 10 i Sadsylighedsregig og kombiatorik). s kommer fra De Cetrale Græseværdisætig. 57

58 Eksempel 1: Ved et forsøg med faldede teisbolde har vi forsøgt at udersøge, om tygdeacceleratioe er 9,82 m. Vi vælger et ligesidet test og arbejder med sigifikasiveauet 2 s 5%. Vi udfører forsøget 9 gage (dvs. atallet af frihedsgrader er 8): m Målt værdi i ehede 2 9,69 9,81 9,57 10,02 9,48 9,94 9,21 9,54 9,37 s Vi udreger teststørrelse ved hjælp af Maple: Vi har valgt et ligesidet test med sigifikasiveauet 5%, så vi har 2,5% liggede yderst til vestre for 0. Vi ka udrege sadsylighede for at få højst dee T-værdi (husk, der er 8 frihedsgrader): Da dee sadsylighed er over 2,5%, forkaster vi IKKE ulhypotese. Vi ka også lade Maple udrege det hele, år vi allerede har defieret vores tabel. Vi ser, at teststørrelse passer med vores udregede værdi. p-værdie passer ikke med vores, me det skyldes, at det er forskellige værdier, der er udreget. Maple udreger sadsylighede for at have midst 2,2004 fra 0, hvilket giver e dobbelt så stor værdi som vores udregede sadsylighed, hvor vi ku ser på vestre side af grafe. Me Maples p-værdi skal sammeliges med 5%, så koklusioe vil altid blive de samme. 58

59 Eksempel 2: Vi måler på iveauet for e kræftcelles geekspressio for geet c-myc. Vi øsker at vide, om iveauet er over stadardværdie på 100, og arbejder med et sigifikasiveau på 3%. Vi foretager seks måliger (og vi arbejder altså med 5 frihedsgrader): Målt værdi: 114,6 112,9 98,5 106,7 109,8 103,6 Vores hypoteser bliver altså: H0: Geemsittet af vores målte værdier er 100 H1: Geemsittet af vores målte værdier er over 100 (højresidet test) Vi udreger teststørrelse i Maple: Vi har sigifikasiveauet 3% i et højresidet test og har derfor placeret hele de kritiske mægde som de 3% af de ormalfordelte udfald af T, der ligger mest over 100. Vi øsker derfor at fide ud af sadsylighede for at få midst vores T-værdi: Da pmidst 3%, forkastes ulhypotese. Dvs. iveauet er sigifikat højere ed stadardværdie på 100. Maples resultat er: Ige ser vi, at teststørrelse (aturligvis) giver det samme som vores beregig, mes p-værdie er dobbelt så stor som vores, da det ige er forskellige sadsyligheder, vi udreger, me også forskellige værdier, vi sammeliger med (de 2,6144% skulle være sammeliget med 6%). 59

60 t-test: Two-Sample-paired-differece-t-test (parvise observatioer) Dette test avedes, hvis ma har to forskellige observatiossæt, hvor ma har målt på de samme størrelse, og hvor observatioere i de to sæt hører samme parvis. Eksempler: Hvis ma har é gruppe af meesker og afprøver to forskellige slags medici, træig, kost eller ligede på alle i gruppe og for hver perso måler virkige af begge slags. Der er så to måliger på hver perso, og disse to måliger sættes samme parvis. Hvis ma har to vigeprofiler for e vidmølle og tester dem ved e masse forskellige vidhastigheder. Der vil så for hver vidhastighed være to værdier (sikkert effekter), der kyttes samme parvis. Hele idee med dette test er, at ma går id og kigger på differese d (reget med forteg) mellem de parvise observatioer og derefter reger dette som et oe-sample-t-test med ulhypotese: H0: obs 0 (dvs. det aritmetiske geemsit af differesere er 0) Og ige er der altså tre valgmuligheder for alterativ hypotese: 1) H : 0 (vestresidet test, dvs. hele de kritiske mægde placeres uder 0) 1 1 obs 2) H : 0 (højresidet test, dvs. hele de kritiske mægde placeres over 0) 1 obs 3) H : 0 (ligesidet test, dvs. de kritiske mægde fordeles på begge sider af 0) obs Med udgagspukt i observatiossættee x1, x2, x3,..., x og y1, y2, y3,..., y har ma altså: : Atallet af parvise observatioer. d x y : Er differese mellem de parvise observatioer i i i d d T er teststørrelse, hvor ma har: s s d i1 d x i y i i1 d : Det aritmetiske geemsit af differesere. 2 i 1 sd d d. De estimerede spredig af differesere. 1 f 1 : Atallet af frihedsgrader 60

61 Eksempel: Sovemidlere A og B skal testes på 10 forsøgspersoer, og ma måler søvperiode i timer. Ma vil se på, om der er forskel på A og B, og vælger sigifikasiveauet 5%: Perso r Sovemiddel A 7,7 5,4 6,8 5,8 6,9 10,4 10,7 7,8 7,0 9,0 Sovemiddel B 8,9 7,8 8,1 7,1 6,9 11,4 12,5 8,6 11,6 10,4 Ma udreger teststørrelse i Maple: Ma ser u på sadsylighede for at få midst dee T-værdi: Da det skulle udersøges, om der er forskel, er det et ligesidet test, der skal foretages, så de 5% placeres i begge eder, dvs. vi skal sammelige p-værdie med 2,5%, og da 0,14% 2,5%, må ulhypotese forkastes. Der er altså sigifikat forskel på de to sovemidler, og det ses, at det er B, der virker bedst (T er positiv). Vi kue også have set på de kritiske værdi for T: Da 4,06 2,26, forkastes ulhypotese. 61

62 t-test: Two-Sample-t-test (ikke-parvise observatioer) Hvis ma har to observatiossæt, hvor observatioere ikke ka parres, ka ma stadig udføre t-test på observatiossættee, me det kræver lidt mere forarbejde: Hver af disse test har ege teststørrelser, og f-testet har (aturligvis) si ege f-fordelig, der ligger til grud for testet. Vi kommer ikke yderligere id på disse test her bortset fra ogle eksempler, hvor de kue avedes: Ma vil vise, at ogle fugle vejer mere om efteråret ed om foråret pga. viterforberedelse, og fager og vejer derfor et atal fugle af e bestemt art om foråret og et atal af samme art om efteråret. Ma vil udersøge virkige af et sovemiddel og tester derfor på to forskellige grupper af meesker heholdsvis sovemidlet og et placebo. Ma vil udersøge virkige af to forskellige sovemidler, der testes på to forskellige grupper af meesker. 62

63 z-test Til grud for z-test ligger u-fordelige (dvs. ormalfordelige med middelværdie 0 og spredige 1). Dvs. vi ka bruge vores vide om dee fordelig til at vurdere teststørrelse (f.eks. at 95% ligger ide for afstade 1,96 på hver side af 0). Som vi så uder t-test, kommer t-fordeligere tættere på oveævte ormalfordelig, jo større atallet af frihedsgrader bliver, og ma ka da også avede z-test, hvis ma har tilpas mage observatioer. Der er ige fast græse, me omkrig 30 observatioer ka bruges som e meget løs tommelfigerregel. Teststørrelse bliver også de samme som ved T-test, me med e lille, ekstra detalje: x 0 Z s Her er: : Atallet af måliger. x i1 x i er det aritmetiske geemsit. i1 2 i 1 s x x er de estimerede spredig, HVIS ma ikke keder dee i forveje. 1 HVIS ma keder s i forveje, aveder ma dee værdi. Ma ville f.eks. avede et z-test, hvis ma kiggede på 2015's målte højder af mæd til sessio og ville se, om mædees geemsitshøjde havde ædret sig fra e kedt værdi (ca. 180,6 cm). Nogle poiter Ide for sadsylighedsregig avedes sadsyligheder, og vi ka ved hjælp af sadsylighedsregig deducere os frem til ogle værdier i kokrete situatioer. Ide for statistik, år vi aveder stikprøver, arbejder vi med frekveser, og vi ka slutte iduktivt fra egeskaber i stikprøve til egeskaber i populatioe. De store tals lov: Vores frekveser i stikprøve ka med e vis sadsylighed komme vilkårligt tæt på sadsylighedere eller frekvese i populatioe, hvis vi gør stikprøve stor ok. Når ma laver statistiske test, fider ma ku statistiske sammehæge - ikke årsagssammehæge. De Cetrale Græseværdisætig: Uaset hvilke fordelig ma udtager stikprøver fra, vil geemsittee af stikprøvere være ormalfordelt. 63

64 Mere om statistik (gruppeopgaver og fremlæggelser) Hver gruppe skal skrive e matematikrapport (opgave), der skal afleveres, og gruppe skal holde et foredrag for klasse. Opgavere bliver kyttet til et mudtligt eksamesspørgsmål. 1. Hawthore-effekte og Placebo-effekte. 2. Pygmalio-effekte (Rosethal-effekte). 3. Syd/maipulatio med statistik. (svær at afgræse) 4. De små tals lov og Post hoc ergo propter hoc. 5. Prosecutor's fallacy (svært, me meget iteressat) 6. Simpso's paradox (Yule-Simpso-effekt) (svært, me meget iteressat) 7. Artikle: The Performace Of Mutual Fuds I The Period (Michael Jese) 8. Befords lov (love om det første ciffer) 9. Regressio mod middelværdie (svært, me meget iteressat) 10. Multiple comparisos problem (Look-elsewhere effect) (svær) 64

65 BILAG A: Biomialfordelig 65

66 66

67 67

68 BILAG B: fordelig og sigifikasiveauer 68

69 69