Den flerdimensionale normalfordeling
|
|
- Holger Mikkelsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y ) defierer vi middelværdivektore som E Y = E Y,..., E Y ). I sammehæg med matricer vil vi opfatte Y og E Y som søjlevektorer. Lad os betragte to stokastiske vektorer X = X,..., X m ) og Y = Y,..., Y ). Alle kovariaser mellem X s kompoeter og Y s kompoeter ka aturligt samles i e m matrix, de såkaldte kovariasmatrix: Cov X, Y ) = {Cov X i, Y j )} = {E X i E X i )Y j E Y j )} = E X E X)Y E Y ). I det sidste udtryk skal vi ved middelværdie af e matrix aturligvis forstå matrice beståede af alle elemeteres middelværdier. Sætter vi X = Y i Cov X, Y ), får vi de såkaldte variasmatrix for Y også kaldet varias-kovariasmatrix, kovariasmatrix, dispersiosmatrix): Var Y ) = Cov Y, Y ) = {Cov Y i, Y j )}. Bemærk, at Var Y ) har Var Y i ), i =,...,, i hoveddiagoale. Bemærk edvidere, at Var Y ) er symmetrisk, da Cov Y i, Y j ) = Cov Y j, Y i ). At to stokastiske vektorer er uafhægige, betyder at e vilkårlig kompoet i de ee vektor er uafhægig af e vilkårlig kompoet i de ade vektor. To forskellige kompoeter i samme vektor ka være afhægige eller uafhægige.) Bemærk, at X, Y uafhægige Cov X, Y ) =. Lad os betragte e lieær trasformatio T af de stokastiske vektor Y repræseteret af matrice A, dvs. T : R R m, T Y ) = AY. Da middelværdioperatore er lieær, har vi umiddelbart, at E AY = A E Y. For variasmatrice får vi, at Var AY ) = E AY AE Y )AY AE Y ) = E AY E Y )Y E Y ) A = A E Y E Y )Y E Y ) A = A Var Y ) A.
2 Var AY ) er altså e m m matrix. Betragter vi specielt e liearkombiatio af Y s kompoeter a Y +...+a Y, der kort ka skrives a Y, får vi E a Y = a E Y og Var a Y ) = a Var Y ) a. Var a Y ) er et reelt tal matrix). E ortogoal trasformatio er e lieær trasformatio, der repræseteres af e ortogoal matrix, dvs. e matrix hvor søjlevektorere er ortoormerede. For e såda matrix gælder, at systemet af rækkevektorer ligeledes er ortoormeret, at de iverse matrix er lig de traspoerede, og at de tilhørede determiat atager værdie eller. Lad Z = CY defiere e ortogoal trasformatio. C er altså e ortogoal matrix. Der gælder, at i Z 2 i = Z Z = CY ) CY = Y C CY = Y Y = i Y 2 i, dvs. kvadratsumme af e stokastisk vektors kompoeter er ivariat over for ortogoaltrasformatio. Betragt u e stokastisk kvadratisk form Y AY, hvor E Y = µ og Var Y ) = Σ. Middelværdie af Y AY udreges: E Y AY = E a ij Y i Y j = a ij E Y i Y j = a ij Cov Y i, Y j ) + E Y i E Y j ) = a ij σ ij + a ij µ i µ j = a ij σ ji + µ Aµ = AΣ) ii + µ Aµ i = tr AΣ + µ Aµ Når Var Y ) = σ 2 I forekles udtrykket til og år yderligere E Y = 0 til E Y AY = σ 2 tr A + µ Aµ, E Y AY = σ 2 tr A. De mometfrembrigede fuktio hørede til e stokastisk vektor defieres som M Y t,..., t ) = E expt Y ). De traditioelle betegelse, e mere præcis betegelse ville være ortoormal matrix. 2
3 fte skrives M Y t) som e forkortelse for M Y t,..., t ). De sædvalige egeskaber ved mometfrembrigede fuktio har også gyldighed her, dvs. M AY +b t) = expt b)m Y A t), og for X og Y uafhægige jf. opgave 4 og 5. M X+Y t) = M X t)m Y t), 2 De flerdimesioale ormalfordelig E stokastisk vektor Y = Y,..., Y ) siges, at være -dimesioal ormalfordelt, år Y,..., Y har de simultae tæthed f Y y,..., y ) = 2π) 2 det Σ) 2 exp ) 2 y µ) Σ y µ), hvor µ R og Σ R. µ ka vælges vilkårligt, mes Σ skal være e positiv defiit matrix 2. At Y er -dimesioal ormalfordelt med parametree µ og Σ, skrives kort Y N µ, Σ). Vi vil først vise, at vi ved e passede affi trasformatio af Y ka opå, at kompoetere i de trasformerede stokastiske vektor er uafhægige og stadardiserede ormalfordelte. Sæt Y = Σ 2 X + µ se opgave 7, 8 og 9 vedr. Σ 2 ). Jacobidetermiate hørede til dee trasformatio ses umiddelbart at være det Σ 2. Tæthedsfuktioe for X bliver derfor f X x,..., x ) = 2π) 2 det Σ) 2 exp ) det 2 x Σ 2 Σ Σ 2 x Σ 2 = 2π) 2 exp ) ) 2 x x = 2π) 2 exp 2 x i 2 = i= 2π e x i 2 2, hvoraf ses, at X i N0, ), i =,...,, og at X i ere er uafhægige. 2 E symmetrisk matrix er positiv defiit, år x R \{0} : x Ax > 0. A er positiv semidefiit, år x R \{0} : x Ax 0, og der fides midst) et x 0, så x Ax = 0. Aalogt defieres egativ defiit og egativ semidefiit. 3 i=
4 Herefter ka vi let udrege E Y og Var Y ): E Y = Σ 2 E X + µ = Σ µ = µ, Var Y ) = Σ 2 Var X) Σ 2 ) = Σ 2 I Σ 2 = Σ. Parametree µ og Σ er altså heholdsvis middelværdivektor og variasmatrix for Y. De mometfrembrigede fuktio for Y ka vi bestemme ved følgede udregiger, hvor vi ige beytter trasformatioe Y = Σ 2 X + µ: M Y t) = E expt Y ) = expt y)2π) 2 det Σ) 2 exp ) R 2 y µ) Σ y µ) dω = expt Σ 2 x + µ))2π) 2 exp ) R 2 x x dω = expt µ) 2π) 2 exp ) R 2 x x 2t Σ 2 x) dω = exp t µ + ) 2 t Σt 2π) 2 exp ) R 2 x x 2t Σ 2 x + t Σt) dω = exp t µ + ) 2 t Σt 2π) 2 exp ) R 2 x Σ 2 t) x Σ 2 t) dω = exp t µ + ) 2 t Σt, idet fuktioe uder det sidste itegralteg ses at være tæthedsfuktioe for e -dimesioal ormalfordelig med middelværdivektor Σ 2 t og variasmatrix I. I stedet for at defiere de flerdimesioale ormalfordelig ud fra tæthedsfuktioe ka vi beytte følgede alterative defiitio: Y er -dimesioal ormalfordelt, år og ku år der for alle l 0 gælder, at l Y er edimesioal) ormalfordelt. Beytter vi symbolere µ og Σ som ovefor, skal der altså gælde at l Y Nl µ, l Σ l). I dee defiitio ka vi umiddelbart medtage det sigulære tilfælde, hvor Σ ku er positiv semidefiit svarede til, at der fides midst) et l 0, så l Σ l = 0. I det sigulære tilfælde vil der altså optræde liearkombiatioer) l Y med varias 0. Fra tidligere keder vi de mometfrembrigede fuktio for e ormalfordelt stokastisk variabel X Nµ, σ 2 ). Der gælder M X t) = e µt+ 2 σ2 t 2. Følgelig har vi M l Y t) = exp l µt + 2 l Σ lt 2 ). 4
5 Ved beyttelse af mometfrembrigede fuktioer ka det let eftervises, at de to forskellige defiitioer på flerdimesioal ormalfordelig er ækvivalete, år der ses bort fra det sigulære tilfælde, se opgave. De flerdimesioale ormlfordelig 3 Egeskaber ved ormalfordelte stokastiske vektorer Lad os betragte e affi trasformatio AY +b af Y N µ, Σ), hvor Σ er positiv defiit, og hvor A er q med rag A = q. Der gælder l 0 : l AY + b) = l A)Y + l b Nl A)µ + l b, l A)Σl A) ) = Nl Aµ + b), l AΣA l), som viser, at AY +b N q Aµ+b, AΣA ), idet AΣA er positiv defiit, jf. opgave 2. Heraf følger, at e vilkårlig liearkombiatio a Y af Y s kompoeter er ormalfordelt. Ved et passede valg af A ka vi udtage e vilkårlig delvektor af Y. Alle delvektorer af Y, heruder også de ekelte kompoeter, er altså ormalfordelte. For edimesioale ormalfordelte variable gælder, at uafhægighed er esbetydede med, at de variable er ukorrelerede. Betragter vi to ormalfordelte stokastiske vektorer Y N µ, Σ ) og Y 2 N 2 µ 2, Σ 2 ), vil vi tilsvarede vise, at uafhægighed mellem Y og Y 2 er esbetydede med, at Cov Y, Y 2 ) =. Det gælder geerelt, at uafhægighed mellem stokastiske vektorer medfører, at de er ukorrelerede, jf. afsit. Atager vi omvedt, at Cov Y, Y 2 ) =, bliver variasmatrice Σ for de stokastiske vektor Y = Y, Y 2 ) Σ Σ =, Σ 2 hvor Σ og Σ 2 er variasmatricere for heholdsvis Y og Y 2. Heraf følger, at Σ = Σ 5 Σ 2.
6 Bemærk, at y µ) Σ y µ y µ) = Σ y 2 µ 2 For Y s tæthedsfuktio får vi derfor, at f Y y,..., y, y 2,..., y 22 ) Σ 2 y µ y 2 µ 2 = y µ ) Σ y µ ) + y 2 µ 2 ) Σ 2 y 2 µ 2 ) = h y ) + h 2 y 2 ). = 2π) det Σ det Σ 2 ) 2 exp 2 h y ) + h 2 y 2 )) ) = 2π) 2 det Σ ) 2 exp 2 h y ) ) 2π) 2 2 det Σ2 ) 2 exp 2 h 2y 2 ) ) = f Y y,..., y )f Y 2 y 2,..., y 22 ), hvoraf det ses, at Y og Y 2 er uafhægige. Hvis vi betragter to lieære trasformatioer af samme vektor Y, A Y og A 2 Y, hvor A og A 2 har fuld rag, ses umiddelbart, at uafhægighed mellem A Y og A 2 Y er esbetydede med at A ΣA 2 =, idet Cov A Y, A 2 Y ) = A Cov Y, Y ) A 2 = A ΣA 2 =. Bemærk, at med A ΣA 2 = er systemet af rækker i A ortogoalt på systemet af rækker i A 2 med hesy til det idre produkt u, v = u A Σv. Matrice A = har derfor fuld rag, dvs. rag A = rag A + rag A 2. Specielt gælder, at to liearkombiatioer af Y s kompoeter, a Y og a 2 Y, er uafhægige, år og ku år Cov a Y, a 2 Y ) = 0 a Σa 2 = 0. Et vigtigt resultat er, at hvilket let eftervises, se opgave 4. Y µ) Σ Y µ) χ 2 ), Lad os til slut vise, at de stokastiske variable Ȳ = i= Y i og S 2 = i= Y i Ȳ )2, hvor Ȳ og S2 er baseret på e ormalfordelt stikprøve med middelværdi µ og varias σ 2, er uafhægige. Bemærk, at Y N µ, σ 2 I). Når Z er e ortogoal trasformatio af Y, dvs. Z = CY med C ortogoal, får vi Kompoetere i Z er altså uafhægige. Z N µc, σ 2 CIC ) = N µc, σ 2 I). 6 A 2
7 Beytter vi specielt e ortogoal matrix, der har vektore,..., ) som første rækkevektor, får vi og Z =... Y = Y i = Ȳ Ȳ = Z i )S 2 = i Y i Ȳ )2 = i Y 2 i Ȳ 2 = i ) 2 Zi 2 Z = Z Z 2 S 2 = ) Z Z 2, hvoraf det umiddelbart fremgår, at Ȳ og S2 er uafhægige. 4 E betiget fordelig Lad Y N µ, Σ), og betragt delvektoree Y med kompoeter og Y 2 med 2 kompoeter, + 2 =. Y og Y 2 er begge ormalfordelte og i almidelighed afhægige. Vi ka skrive ) Σ Σ Y, Y 2 ) N + 2 µ, µ 2 ), 2, Σ 2 Σ 22 hvor betydige af de beyttede betegelser er åbebar, fx står Σ 2 for Cov Y, Y 2 ). Idfør Z = Y 2 Σ 2 Σ Y, og betragt de stokastiske vektor Y, Z), der fremkommer som e lieær trasformatio af Y, Y 2 ). Trasformatioe er repræse- teret ved matrice I Σ 2 Σ I 2 Ved udregig, jf. opgave 6, får vi, at, som er og regulær. Σ Var Y, Z)) = der viser, at Y og Z er uafhægige. Σ 22 Σ 2 Σ Σ 2 For Var Z) beyttes som regel betegelse Σ 22, altså Bemærk, at Σ 22 = Σ 22 Σ 2 Σ Σ 2., E Z = E Y 2 Σ 2 Σ E Y = µ 2 Σ 2 Σ µ, hvorefter vi ka agive Z s fordelig som Z N 2 µ2 Σ 2 Σ µ, Σ 22 ). 7
8 Fra idførelse af Z har vi, at og ved at betige med Y = y, får vi Y 2 = Z + Σ 2 Σ Y, Y 2 y = Z + Σ 2 Σ y, idet Y og Z er uafhægige. Middelværdivektor og variasmatrix for Y 2 y bliver Fordelige af Y 2 y er altså E Y 2 y = µ 2 + Σ 2 Σ y µ ), Var Y 2 y ) = Var Z) = Σ 22. Y 2 y N 2 µ2 + Σ 2 Σ y µ ), Σ 22 ). 5 pgaver. Vis, at Cov X, Y ) = E XY E X E Y. 2. Vis, at Cov AX, BY ) = A Cov X, Y ) B. 3. Vis, at Var Y + b) = Var Y ). 4. Vis, at M AY +b t) = expt b)m Y A t). 5. Vis, at X og Y uafhægige M X+Y t) = M X t)m Y t). 6. Lad C være e ortogoal matrix, dvs. der gælder C C = I. Vis, at systemet af rækkevektorer i C er ortoormeret, at C = C, og at det C = ±. Vis edvidere, at produktet af to ortogoale matricer giver e ortogoal matrix. 7. Lad A være e symmetrisk matrix. Vis, at A er positiv defiit, år og ku år alle A s egeværdier er positive. Vik: Betragt e ortogoal substitutio x = Cy, hvor matrice C diagoaliserer A, dvs. C AC = Λ = λ... λ, og vis, at x Ax = i λ iyi Lad A være e positiv defiit matrix, og lad C være e ortogoal matrix, som diagoaliserer A til Λ. Bestem først e matrix Λ 2, så Λ 2 ) 2 = Λ, og deræst e matrix A 2, så A 2 ) 2 = A. 9. Vis, at det Σ 2 = det Σ) 2. 8
9 0. Kotroller at f Y er e tæthedsfuktio, dvs. at R f Y y,..., y )dv =. Vik: Beyt tæthedsfuktioe f X x,..., x ) for de trasformerede stokastiske vektor X.. Vis ved beyttelse af mometfrembrigede fuktioer, at de to defiitioer på flerdimesioal ormalfordelig er ækvivalete, dvs. at defiitio defiitio 2, og at defiitio 2 defiitio. Der ses bort fra det sigulære tilfælde.) 2. Vis, at år A er positiv defiit, og år C er p med rag C = p, så er CAC positiv defiit. 3. Eftervis, at u Σv, hvor Σ er positiv defiit, defierer et idre produkt. 4. Vis, at Y µ) Σ Y µ) χ 2 ). Vik: Beyt trasformatioe Y = Σ 2 X + µ. 5. Lad Y,..., Y være e stikprøve i e ormalfordelt populatio. Giv et bevis for, at S 2 σ2 χ2 ). Vik: Betragt først X = Y µ) og deræst σ U = CX med samme C som i slutige af afsit Eftervis, at Y og Z defieret som i afsit 4 er uafhægige. Vik: Husk, at VarAY )=AVarY )A Bo Rosbjerg 9
vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.
enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet
Læs mereSætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n
Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi
Læs mereAsymptotisk optimalitet af MLE
Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for
Læs mereSupplement til Kreyszig
Supplemet til Kreyszig Forelæsigsoter til Matematik F Idholdsfortegelse side 1. Numerisk itegratio. Fejlvurderig af trapez og Simpso algoritmere 1. Dekompoerig af brøker (Laplace trasformatio) 3. Permutatioer
Læs mereBaggrundsnote til sandsynlighedsregning
Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige
Læs mereSandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.
Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet
Læs mereØkonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006
Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree
Læs mereDagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)
Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.
Læs merehvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i
Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,
Læs mereantal gange krone sker i første n kast = n
1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder
Læs mereTest i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og
Læs mereHovedpointer fra SaSt
Hovedpoiter fra SaSt Marti Nørgaard Peterse 13. februar 2018 Følgede geemgår udvalgte begreber fra E Itroduktio til Sadsylighedsregig af M. Sørese (9. udgave), Itroductio to Likelihood-based Estimatio
Læs mereSandsynlighedsteori 1.2
Forelæsigsoter til Sadsylighedsteori.2 Sved Erik Graverse Jauar 2006 Istitut for Matematiske Fag Det Naturvideskabelige Fakultet Aarhus Uiversitet. Mometproblemet. I dette afsit beteger X e stokastisk
Læs mereStatistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :
Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:
Læs mereØkonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1
Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter
Læs mereSpørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.
STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,
Læs mere1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens... 2
Idhold 1 Pukt- og itervalestimatio 2 1.1 Puktestimatorer: Cetralitet(bias) og efficies.................... 2 2 Kofidesiterval 3 2.1 Kofidesiterval for adel................................ 4 2.2 Kofidesiterval
Læs mereStatistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer
Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke
Læs mereMotivation. En tegning
Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget
Læs mereLineære Normale Modeller
Note tl Leære Normale Modeller Bo Rosbjerg. marts 009 Tegger udført af Herk Ve Chrstese Idhold E smpel leær ormal model 5. Modelbestemmelse........................... 5. Mdste kvadraters estmat......................
Læs mereSandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen
Dages eer afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy = f(x,ydxdy Sadsylighedsregig 9. forelæsig Bo Friis Nielse Mateatik og Coputer Sciece Daarks Tekiske Uiversitet 8 Kgs. Lygby Daark Eail:
Læs mere24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software
Læs mereSimpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol
Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle
Læs mereSandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen
Dages eer afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy f(x,ydxdy Sadsylighedsregig 9. forelæsig Bo Friis Nielse Mateatik og Coputer Sciece Daarks Tekiske Uiversitet 8 Kgs. Lygby Daark Eail:
Læs mere29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer
Læs mereNogle Asymptotiske Resultater. Jens Ledet Jensen Matematisk Institut, Aarhus Universitet. 1 Indledning 1
Nogle Asymptotiske Resultater Jes Ledet Jese Matematisk Istitut, Aarhus Uiversitet Idhold Idhold i Idledig 2 Resultater i et geerelt set-up 7 2. Eksistes af et kosistet estimat............... 7 2.2 Asymptotisk
Læs mereProjekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning
Hvad er matematik? Projekter: Kaitel 9 Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Sætig : Regeregler
Læs mereog Fermats lille sætning
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage
Læs mereSTATISTISK MODELLERING OG ANALYSE 19. DECEMBER 2008 ET MAT3-PROJEKT I BAYESIANSK INFERENS VEJLEDER: JAKOB G. RASMUSSEN GRUPPE: G4-115
STATISTISK MODELLERING OG ANALYSE ET MAT3-PROJEKT I BAYESIANSK INFERENS 19. DECEMBER 2008 θ x VEJLEDER: JAKOB G. RASMUSSEN GRUPPE: G4-115 INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG Istitut for Matematiske Fag Fredrik
Læs merePraktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags.
Praktisk ifo Liste med rettelser og meigsforstyrrede trykfejl i DS på Absalo. Statistisk aalyse af e ekelt stikprøve: kedt eller ukedt varias Sadsylighedsregig og Statistik (SaSt) Helle Sørese Projekt
Læs mereProgram. Middelværdi af Y = t(x ) Transformationssætningen
Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Trasformatio af kotiuerte fordeliger på R, flerdimesioale kotiuerte fordeliger, mere om ormalfordelige Helle Sørese Uge 7, osdag I formiddag: Opfølgig på trasformatiossætige
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.
Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige
Læs mereEstimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter
Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller
Læs mereKvantitative metoder 2
Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af
Læs mereDiskrete og kontinuerte stokastiske variable
Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig
Læs mereSandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala
Statistik for biologer 005-6, modul 5: Sadsylighedsfordeliger for kotiuerte data på iterval/ratioskala M6, slide Gægse matematiske sadsylighedsfordeliger: Diskrete data: De positive biomialfordelig Poisso-fordelige
Læs merer n E[ X n ]/n! for alle r > 0 ifølge monoton konvergens, giver potensrækketeori, at ( ) er ækvivalent med, at ρ n E[ X n ]/n!
Mometproblemet. Lad i dette afsit X betege e stokastisk variabel med mometer af ehver orde. Mometfølge (E[X ]) er derfor e vel defieret reel talfølge bestemt ved fordelige, og spørgsmålet om, de omvedt
Læs mere13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )
3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers
Læs mereog Fermats lille Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne sætning ..., 44, 20,4,28,52,... Hvad er matematik? 3 ISBN
Projekt 0.4 Modulo-regig, restklassegruppere sætig ( p 0, ) og Fermats lille Vi aveder moduloregig og restklasser mage gage om dage, emlig år vi taler om tid, om hvad klokke er, om hvor lag tid der er
Læs mereStatistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders
Læs mereElementær Matematik. Polynomier
Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere
Læs mereMeningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017
Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017 Idhold 1 Meigsmåliger 2 1.1 Idledig................................. 2 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås?................... 3 1.3
Læs mereStatistiske Modeller 1: Notat 1
Statistiske Modeller : Notat Jes Ledet Jese 9. august 005 Idhold Kast med k-sidet terig Betigig i multiomialfordelig 3 3 Fordelig af X + X - frembrigede fuktio 4 4 Maksimerig af log-likelihood 5 5 Afledede
Læs mere9. Binomialfordelingen
9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig
Læs mereLøsninger til kapitel 7
Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed
Læs mereVejledende opgavebesvarelser
Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 3. Punkt- og intervalestimater Konfidensintervaller Valg af stikprøvestørrelse
Avedt Statistik Lektio 3 Pukt- og itervalestimater Kofidesitervaller Valg af stikprøvestørrelse Pukt- og itervalestimater: Motivatio Motiverede eksempel: I e udersøgelse er adele af rygere 0.27. Det aslås
Læs mereVejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15
Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry
Læs mereSupplerende noter II til MM04
Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer
Læs mere30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.
30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed
Læs mereVelkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager
Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab
Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af
Læs mereDeskriptiv teori: momenter
Kapitel 13 Deskriptiv teori: mometer Vi vil i dette og det følgede kapitel idføre e række begreber der bruges til at beskrive sadsylighedsmål på (R, B). Samtlige begreber udspriger i e eller ade forstad
Læs mereProjekt 1.3 Brydningsloven
Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme
Læs mereModul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse
Forskigsehede for Statistik ST01: Elemetær Statistik Bet Jørgese Modul 14: Goodess-of-fit test og krydstabelaalyse 14.1 Idledig....................................... 1 14.2 χ 2 -test i e r c krydstabel.............................
Læs mereUge 40 I Teoretisk Statistik, 30. september 2003
Uge 40 Teoretis tatisti, 30. september 003 Esidet variasaalyse Model, otatio, hypotese og hælpehypotese Test af hælpehypotese Opdaterig af variasestimat Test af hypotese om es middelværdier Variasaalysesema
Læs mereStikprøvefordelinger og konfidensintervaller
Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik
Læs mereDen hurtige Fouriertransformation. Jean Baptiste Joseph Fourier ( )
De hurtige Fouriertrasformatio Jea Baptiste Joseph Fourier (768-83) Polyomier Polyomium: p + 2 3 4 ( x) = 5 + 2x + 8x + 3x 4x Geerelt: p(x) = eller! " i= a i x i p(x) = a + a x + a 2 x 2 +!+ a! x! 2 Evaluerig
Læs mereGenerelle lineære modeller
Geerelle lieære modeller Regressiosmodeller med é uafhægig itervalskala variabel: Y e eller flere uafhægige variable: X,..,X k De betigede fordelig af Y givet X,..,X k atages at være ormal med e middelværdi,
Læs mereKvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger
Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal
Læs mereProjekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner
Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig
Læs mereLøsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl. 9 13 Alle sædvalige hjælpemidler
Læs mereStatistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion
Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi
Læs mereSTATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig
Læs mereMaja Tarp AARHUS UNIVERSITET
AARHUS UNIVERSITET Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET HVEM ER JEG? Maja Tarp, 4 år Folkeskole i Ulsted i Nordjyllad Studet år 005 fra Droiglud Gymasium Efter gymasiet: Militæret Australie Startede på matematik
Læs mereTeoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik
Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. Tirsdag den 26. maj 2015 kl hhx151-mat/a
Matematik A Højere hadelseksame hhx151-mat/a-26052015 Tirsdag de 26. maj 2015 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøve består af to delprøver. Delprøve ude hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.
Læs mereForelæsningsnoter til Stokastiske Processer E05. Svend-Erik Graversen Revideret af Jan Pedersen Kapitel 12 og Appendix B og G af Jan Pedersen
Forelæsigsoter til Stokastiske Processer E5 Sved-Erik Graverse Revideret af Ja Pederse Kapitel 12 og Appedix B og G af Ja Pederse 16. august 25 Forord Nærværede otesæt skal bruges i forbidelse med kurset
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til
Læs mere6 Populære fordelinger
6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).
Læs mereSkitse til notat om hvor de forskellige sandsynlighedsfordelinger kan tænkes at komme fra
E6 efterår 1999 Notat 8 Jørge Larse 12. oktober 1999 Skitse til otat om hvor de forskellige sadsylighedsfordeliger ka tækes at komme fra I statistik opererer ma i vid udstrækig med et lille atal»stadardfordeliger«.
Læs mereTests for forskel i central tendens for data på ordinal- og intervalskala. Typer af statistiske test:
Statistik for biologer 005-6, modul 7: Tests for forskel i cetral tedes for data på ordial- og itervalskala M7, slide M7, slide Typer af statistiske test: Parametrisk statistik: - Tester for forskel i
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mereTermodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18
ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereStatistik Lektion 8. Test for ens varians
Statitik Lektio 8 Tet for e varia ra tidligere Hvi populatioe er ormalfordelt med varia, å gælder ( ) S ~ χ hvor er tikprøve tørrele og S er tikprøvevariae. χ -fordelig med - frihedgrader χ Tet af Variae
Læs mereRESEARCH PAPER. Nr. 2, En model for lagerstørrelsen som determinant for købs- og brugsadfærden for et kortvarigt forbrugsgode.
RESEARCH PAPER Nr., 005 E model for lagerstørrelse som determiat for købs- og brugsadfærde for et kortvarigt forbrugsgode af Jørge Kai Olse INSTITUT FOR AFSÆTNINGSØKONOMI COPENHAGEN BUSINESS SCHOOL SOLBJERG
Læs mereSTATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mereEstimation og test i normalfordelingen
af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:
Læs merex-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter
Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag
Læs mereMorten Frydenberg version dato:
Morte Frdeberg versio dato: 4--4 Itroduktio til kurset Statistik Forelæsig Morte Frdeberg, Sektio for Biostatistik af Biostatistik dele af. semester kurset. Statistiske modeller Biomialfordelige Normalfordelige
Læs mereIndholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable
Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4
Læs mereIntroduktion til Statistik
Itroduktio til Statistik 4. udgave Susae Ditlevse og Helle Sørese Susae Ditlevse, susae@math.ku.dk Helle Sørese, helle@math.ku.dk Istitut for Matematiske Fag Købehavs Uiversitet Uiversitetsparke 5 2100
Læs mereRettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen
Rettevejledig til HJEMMEOPGAVE Makro, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørese Opgave... Udsaget er forkert. De omtalte skatteomlægig må atages at øge beskæftigelse p.gr.a. e positiv substitutioseffekt
Læs mereRegularitetsbetingelserne i simple modeller
Kapitel 7 Regularitetsbetigelsere i simple modeller I dette kapitel vil vi udersøge forskellige modeller med uafhægige, idetisk fordelte variable, rækkede fra det trivielle til det gaske geerelle. Målet
Læs mereIntroduktion til uligheder
Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og det kvadratiske geemsit. Først skal vi ved fælles
Læs mereProgram. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger
Faculty of Life Scieces Program Esidet variasaalyse Normalfordelige Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Esidet variasaalyse (oe-way ANOVA) Hvilke type data? Hvad er problemstillige? Variatio mellem
Læs mereFUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner Rentesregning Indekstal
FUNKTIONER del Fuktiosbegrebet Lieære fuktioer Ekspoetialfuktioer Logaritmefuktioer Retesregig Idekstal -klassere Gammel Hellerup Gymasium November 08 ; Michael Szymaski ; mz@ghg.dk Idholdsfortegelse FUNKTIONSBEGREBET...
Læs mereAsymptotisk estimationsteori
Kapitel 5 Asymptotisk estimatiosteori De fleste eksperimeter har e idbygget størrelse, som regel kaldet eller N. Dette repræseterer typisk atallet af foretage måliger, atallet af udersøgte idivider, atallet
Læs mereHypotesetest. Hypotesetest og kritiske værdier Type 1 og Type 2 fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer
Hypoteetet Hypoteetet og kritike værdier Type og Type fejl Styrke af e tet Sammeligig af to populatioer Kofideiterval for σ tore tikprøver. Hvi X følger e χ -fordelig med frihedgrader, dv. X~χ (), gælder
Læs mereSTATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller
STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple
Læs mereIntroduktion til uligheder
Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og
Læs mereEksempel 10.1 En autoregressiv proces af orden 1 (ofte blot kaldet en AR(1)- proces) pårhar et opdateringsskema (10.1) med funktionen. for y R.
Kapitel 0 Markovkæder Vi vil i det følgede studere processer Y 0, Y, Y 2,... med værdier irgivet på forme Y = f (Y +ǫ for =, 2,... (0. Her erǫ,ǫ 2,... e følge af iid støjvariable med middelværdi 0, alle
Læs mereAnalyse 1, Prøve maj 2009
Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede
Læs mereMikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007
Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M
Læs mere