Morten Frydenberg version dato:
|
|
- Karen Eskildsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Morte Frdeberg versio dato: 4--4 Itroduktio til kurset Statistik Forelæsig Morte Frdeberg, Sektio for Biostatistik af Biostatistik dele af. semester kurset. Statistiske modeller Biomialfordelige Normalfordelige Maximum likelihood metode Eksakt iferes biomialfordelige CI og test af hpotese Eksakt iferes: ormalfordelige CI ogtest af hpotese ag middelværdie CI for spredige Statistik på bacheloruddaelse i FSV Der er udervisig i statistik tre gage i bachelorforløbet:. E ultrakort itroduktio til sikkerhedsitervaller og test af hpoteser på Itroduktioskurset.. På. semester redskaber til forståelse og små regerier i forbidelse med læsig af artikler, rapporter mv. Udervisige vil foregå i tæt samspil med udervisige i epidemiologi Ikke redskaber til (store) aalser af ege data. Alle regerier vil forgå i håde tpisk ved brug af regeark. 3. På 4.semester metoder og redskaber til aalse af ege data. Beregiger og aalser vil foregå vha. af et program desiget til statistiske aalser: Stata. Statistik 4. semester - Udervisigsmateriale. Bøger Kirkwood & Stere: Essetial Medical Statistics ISHR: Itroductio to Stata for Health Researchers. Forelæsigsoter. Stata do-filer 3. Ugesedler og opgaver 4. Datasæt 5. Artikler eller ade form for litteratur, der aveder statistik..+ 4.semester - EPICENTER Hjælp til særlige/kokrete problemer. Husk ige ka svare på alle opgaver ide øvelsere. Formålet med øvelsere er at etop at arbejde med begrebere og metodere. Hvor og hvorår Lokale i 5-5. Madage 6-8. Første gag. februar. Bemadig Mette Lise Kroborg, FSV-studerede årgag NN, FSV-studerede årgag? MM, FSV-studerede årgag? 3 4 Statistik FSV 4.sem: Uge
2 Morte Frdeberg versio dato: 4--4 Hvad er statistik? Følgede kompoeter bør idgå i ehver statistisk aalse: E model e matematisk beskrivelse af de proces, der geerer de data ma vil aalsere. Modelle vil ofte dele variatioe op i sstematiske og tilfældig variatio. Parametre - Ukedte kostater, der idgår i modelle Data Estimater Data-baserede bud på de ukedte parametre Sikkerhedsitervaller Beskriver usikkerhede på estimatere Statistiske test Tester hpoteser om parametree Modelkotrol Et check af de atagelser, der ligger bag modelle 5 Med udgagspukt i forskellige (mere eller midre udspecificerede) modeller lærte I at lave iferes agåede e ukedt parameter, θ baseret på et estimat og e stadard error ˆ θ og se ( ˆ θ ) (ogle gage lavede vi udregigere på log-skala) Vi fadt et (approksimativt) 95% sikkerhedsiterval ved ˆ θ ±.96ise ˆ θ Dette er et stokastisk iterval, der afhæger af data, me det har følgede egeskab: Der er 95% chace for at itervallet ideholder de ukedte sade værdi θ. (.5% ligger over og.5% uder) ( ) 6 Vi kue teste hpotese H: θ=θ Vi målte afstade mellem det vi har set og det vi forveter ved: observeret forvetede ˆ θ θ zobs = = usikkerhed se ˆ θ Numerisk store værdier af z obs vil være kritisk for hpotese. ( ) z obs P-værdi estimat hpotese = =.65 stadard error Numerisk store værdier vil være kritiske for hpotese! Mere kritisk ed det vi har set P-værdie er sadslighede for at observere oget, der er lige så eller mere kritisk for hpotese ed det vi ret faktisk har observeret. Sadslighede er bereget givet hpotese er sad. P-værdie fadt vi ved brug af stadard ormalfordelige. 7.4% +.4% =.8% 8 Statistik FSV 4.sem: Uge
3 Morte Frdeberg versio dato: 4--4 Tolkig af P-værdi: Meget lille P-værdi: Det er usadsligt at observere det vi har set hpotese forkastes. stor P-værdi: Data strider ikke mod hpotese hpotese forkastes ikke. Husk, det ikke at forkaste e hpotese er ikke det samme som at sige at de er sad! Hvorår er P-værdie meget lille? Traditioelt betragtes P<5% som meget lille!? Ma vil ofte skrive i metode/statistik afsittet: P-values below 5% are cosidered (statistical) sigificat. Dvs. e P-værdi midre ed 5% vil betde, at ma forkaster hpotese. 9 Hvis vi havde to parametre θ og θ og to uafhægige estimater, så kue vi fide stadard error på differese ved: se ˆ θ ˆ θ = se ˆ θ + se ˆ θ ( ) ( ) ( ) Vi kue således også lave iferes for ratioe baseret på ˆ θ ( ˆ θ ) ( ˆ θ ) se l = se l + se l ˆ θ hvis vi kedte se( l ˆi θ ) Kokret lærte I formler for estimater og stadard errors for: Hppigheder (prævales, kummuleret icides) Rater (icides og mortalitet) Middelværdier Relativ Risiko, Risiko Differes, Odds Ratio (Icides) Rate Ratio, (Icides) Rate Differes Vægtet geemsit af estimater i forbidelse med stratificeret samplig eller korrektio (for cofoudig) Diskrete fordeliger/modeller Biomialfordelige Atag at Y agiver atallet af rgere ud af persoer. Y ka således atage værdiere fra til. Hvis sadslighede (probabilit) for at Y= er givet ved Pr( Y = ) = Pr ( Y = ;, π ) = π ( π ) =, så siges Y at være biomialfordelt med sadslighedsparameter π og atalsparameter. Vi vil egag imellem skrive dette kort: Y bi(, π ) Bemærk at ma ka vise at Pr( Y = ) = ( ) π π = = = Statistik FSV 4.sem: Uge 3
4 Morte Frdeberg versio dato: 4--4 (, ) Diskrete fordeliger/modeller Biomialfordelige Hvis Y bi π er er middelværdie (Expectatio, mea) givet ved k E ( Y ) = Pr( Y = ) = ( ) π π = = Reger ma (oget) får ma Dvs. det forvetede atal rgere er π E ( Y ) = π Variase (variace) er givet ved: Var ( Y ) = [ E ( Y )] Pr( Y = ) Reger ma (oget mere) får ma Var ( Y ) = π ( π ) Spredige (stadard deviatio) er = sd ( Y ) = Var ( Y ) sd ( Y ) = π ( π ) 3 = = = Forskellige biomialfordeliger π = π =.3 π =.5 π = Atagelser bag biomialfordeligsmodelle Biomialfordelige bgger på følgede fire atagelser, der svarer til kast med e møt, ude sd :. Atal,, afhæger ikke af ualdee.. uafhægige delforsøg.. Præcist to mulige uald. 3. Samme sadslighed, π hver gag. 5 Diskrete fordelige: middelværdi og varias Biomialfordelige er e såkaldt diskret fordelig, hvor variable ku ka atage adskilte værdier, tpisk ikke egative heltal eller e delmægde af disse. Sådae fordeliger beskrives ved at agive sadslighede for hver ekelt værdi: ( = ) Pr Y Middelværdie er givet som et vægtet geemsit af ekelte værdier, hvor vi bruger sadslighede som vægt. E ( Y ) = Pr( Y = ) Tilsvarede er variase givet som et vægtet geemsit af kvadratafvigelsere fra middelværdie. ( Y ) = [ ( Y )] ( Y = ) Var E Pr 6 Statistik FSV 4.sem: Uge 4
5 Morte Frdeberg versio dato: 4--4 Kotiuerte fordeliger Størrelser så som vægt, BMI, PEFR og idkomst ka (i pricippet) atage alle mulige (positive) værdier. Sådae variable kaldes kotiuerte. Det giver derfor ige meig at agive sadslighede for at observere e bestem værdi, da e såda sadslighed er lig ul. Fx er sadslighede for at e perso har BMI = kg/m lig ul. Ma må derfor beskrive fordelige af e kotiuert variable på e ade måde ved hjælp af e tæthedsfutio. desit 5.5 Kotiuerte fordeliger Tæthedsfuktio (desit fuctio): Sadslighed for e observatio i itervallet [a,b] = areal uder kurve fra a til b. Areal uder kurve=. Høj værdi for e give x-værdi Mage observatioer tæt ved dee værdi. Lille værdi for e give x-værdi Få observatioer tæt ved dee værdi Tætheder med formler E tæthed, f, er e fuktio, der er ikke egativ areallet uder kurve er lig ( ), [, ] f f ( ) d = Hvis Y beteger et tilfældig størrelse, fx vægt eller BMI, så siges Y at have tæthede f hvis Sadslighede for at Y ligger mellem a og b er lig arealet uder kurve i dette iterval. b Pr( ) ( ) a < Y b = f d a Middelværdi og varias for e kotiuert fordelig Middelværdie (Expectatio, mea) er defieret som ( ) = ( ) E Y f d Variase (Variace) er defieret som ( ) = [ E( )] ( ) Var Y Y f d Spredige (stadard deviatio) er defieret ved Bemærk, at det er æste ligesom for diskrete fordeliger. Vi bruger blot itegratio og vægte f()d, som jo er sadslighede for observere Y i itervallet [, +d] 9 ( ) = ( ) = [ ( )] ( ) sd Y Var Y E Y f d Statistik FSV 4.sem: Uge 5
6 Morte Frdeberg versio dato: 4--4 Normalfordelige Hvad betder spredige i e ormalfordelig? E kotiuert variable Y siges at være ormalfordelt med middelværdi, µ, og spredig, σ, (varias σ ) hvis de har tæthedsfuktioe: ( µ ) f ( ) = exp, σ π σ [ ] µ = σ = Middelværdi Spredig 95.% Dvs. hvis Kort vil vi skrive: ( µ ) σ b Pr ( a < Y b) = exp d a σ π (, ) Y N µ σ.5%.5% Og der vil gælde: E( Y ) Var ( Y ) sd( Y ) = µ = σ = σ µ.96 σ µ µ +.96 σ Atagelser bag ormalfordeligsmodelle observatioer,,,,, siges at være e stikprøve fra e ormalfordelig hvis disse atagelser er opfldt : Atagelser bag ormalfordeligsmodelle Hvis de to første betigelser er opfldt, så ka ma checke atagelse om ormalfordelig grafisk vha. af et histogram eller edu bedre vha. af et QQ-plot. uafhægige delforsøg.. alle forsøg er idetiske. Dvs.,,, stammer fra de samme fordelig. Frequec barets vægt Dee fordelig er e ormalfordelig. 3 De to første atagelser checkes ved at geemgå hvorda data er samlet id barets vægt Iverse Normal Hvis data er ormalfordelte så vil puktere i QQ-plottet ligge omkrig e ret liie. På forelæsiger/checknorm.p ka I se eksempler på QQ-plots (og histogrammer) for forskellige stikprøvestørrelser. 3 4 Statistik FSV 4.sem: Uge 6
7 Morte Frdeberg versio dato: 4--4 Maximum likelihood metode I vil på dette kursus møde mage statistiske modeller. Disse modeller vil ideholde ogle (ukedte) parametre, som π i biomialfordeligsmodelle eller µ og σ i ormalfordeligsmodelle. Maximum likelihood metode Der fides flere forskellige metoder/kriterier til at fide de bedste estimater. De mest udbredte metode (og det vi vil bruge her= hedder maximum likelihood metode, som leder frem til Maximum Likelihood Estimater (MLE). E væsetlig del af de statistiske aalse af data er at estimere disse ukedte parametre. Dette betder, at ma vælger de værdi af de() ukedte parameter, der giver størst sadslighed for at observere det data vi har set. Jeg vil illustrere dette for biomialfordeligsmodelle. 5 6 ( ) Maximum likelihood metode Atag Y bi, π og at vi har observeret Y= obs MLE for π er givet ved de værdi af π, der maksimerer Pr( ) obs obs Y = obs = π ( π ) obs Eller ækvivalet maksimerer. l ( π ) l[ Pr( Y )] l = = obs = + obs l ( π ) + ( obs ) l ( π ) obs Differetierer ma dee fuktio så fås: obs obs obs obs l '( π ) = = π π π π Ma ser at l (π)= hvis π = obs Lidt derligere regerier viser, at dette også er et maximum for l og der med at MLE er givet ved ˆ π = obs KS Ex. 5.3: Rgig for 5-6 årige i Birmigham Spørgsmål: Hvad er prævalese af rgig bladt 5-6 årige i Birmigham og hvorda passer det med et mål på 3%? Desig/Data: Selvrapporteret rgevaer bladt tilfældige 5-6. Resultat: 3 af de teeager svarede at de var rgere. Vi er selvfølgelig iteresseret i π, sadslighede for at e tilfældig ug i Birmigham er rger. E aturlig model vil være biomialmodelle, me er atagelsere opfldt? 7 8 Statistik FSV 4.sem: Uge 7
8 Morte Frdeberg versio dato: 4--4 Kommetarer til atagelsere. Vi ved ikke hvorda data er samlet id, me atagelse er at de ikke har afsluttet data idsamlige, år der fx var relativt få rgere bladt de det havde svaret.. Uafhægighed mellem svar. Her ka problemet være hvis ma har svaret i grupper, hvor svaret fra de ekelte er påvirket af de adre.. Det giver selvfølgelig ku meig at aalsere data hvis alle teeagere havde øjagtig de samme to svarmuligheder. 3. Hvis de ukedte sadslighed vides at være forskellig i kedte udergrupper, så giver det ikke meig ku at rapportere et estimat. Eksakt iferece for biomialfordelige - CI Et eksakt 95%-sikkerhedsiterval for π fides ikke ved brug af stadard error, me ved at løse disse ligiger KS ex 5.3 =, obs =3 ( π π ) Pr ; = =.5 ( obs π πupper ) Pr ; = = obs pu pl Lower I Stata gøres dette ved ci variabel, biomial. 3 Eksakt iferece for biomialfordelige - test Hpotese: π = π Hvad der er mere kritisk for for hpotese (og dermed p- værdie) ka defieres på flere måder i Stata (bitest ) gøres det således: P-værdie er sadslighede for at observere et uald, der er lige så mere usadsligt, som det ma faktisk har observeretu, givet hpotese er sad p-værdi = ( π ) ( π ) Pr ;, Pr obs ;, ( π ) Pr ;, p.4.3. biomial dist = pi= KS Ex. 5.3: Rgig for 5-6 årige i Birmigham 3 ˆ π = = 3 =.3% se ( ˆ π ) ˆ π ( ˆ π ) = = 4 Exact 95% CI: (33; 45) Approx 95% CI: (6; 434) Hpotese: π = 3% = 3 : Exact p-value: Approx p-value: Eksakt ci: Eksakt test: Obs aprox ci og test: p=.54 p=.5 ci variabel,biomial bitest variabel = hpotese prtest variabel = hpotese 3 Statistik FSV 4.sem: Uge 8
9 Morte Frdeberg versio dato: 4--4 Estimatio af middelværdie i e ormalfordelig. Hvis data ka atages at stamme fra e ormalfordelig, så er der to ukedte størrelser: middelværdie og spredige, µ og σ! Disse estimeres ved MLE metode til: ˆ µ = = og ˆ σ = sd = i i i= i= ( ) Dvs. ved geemsittet (de observerede middelværdi) samt de observerede spredig. Usikkerhede på middelværdi estimatet er givet ved: se ˆ µ = se = sd ( ) ( ) Dee kaldes ofte Stadard Error of the Mea, sem. 33 Eksakt CI og test for middelværdie i e ormalfordelig Et eksakt 95% CI er på forme: ˆ µ ± t (5%) ise( ˆ µ ) Dette tal fides i e tabel over t-fordelige med frihedsgrader. KS Table A3 s 473, Juul B s6. Stata vil give eksakt CI ved brug af ci variabel eller ttest. Et eksakt test for hpotese µ=µ baseres på de sædvalige teststørrelse, me p-værdie fides vha. af t- fordelige. Stata giver eksakt p-værdi (og CI) ved ttest variabel=hpotese Fx vil ttest BMI = 5 lave et eksakt sikkerhedsiterval for middel BMI og teste om dee kue være 5 kg/m 34 Eksakt CI for spredige i e ormalfordelig Det er sjældet at ma a øsker at drage iferes agåede spredige, σ. Vi derfor ku her se på hvorda ma fider et eksakt sikkerhedsiterval for σ. - dette gøres ikke på de sædvalige måde!! Præcisio af spredigsestimatet i e ormalfordelig agives/måles geerelt ved atallet af frihedsgrader,, som bereges som mius atal ukedte parametre. Formle for sikkerhedsitervallet ivolvere øvre og edre.5% percetil i χ -fordelige: ˆ σ σ ˆ σ χ (.975) χ (.5) 35 Eksakt CI for spredige i e ormalfordelig ˆ σ σ ˆ σ χ (.975) χ (.5) ˆ l ( ) σ ˆ σ u( ) σ Meget få programmer (ed ikke Stata) vil berege dette. Me ma ka bruge Statas egeskab som regemaskie Eks: =7 =6 og ˆ σ = displa 8.365*sqrt(6 6/ivchi(6 6,.975)) displa 8.365*sqrt(6 6/ivchi(6 6,.5)) Dette giver CI(σ): 7.65 < σ < 9.4 l() u() Statistik FSV 4.sem: Uge 9
24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software
Læs mere29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer
Læs mere13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )
3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers
Læs merehvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i
Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,
Læs mere30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.
30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed
Læs mereSandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala
Statistik for biologer 005-6, modul 5: Sadsylighedsfordeliger for kotiuerte data på iterval/ratioskala M6, slide Gægse matematiske sadsylighedsfordeliger: Diskrete data: De positive biomialfordelig Poisso-fordelige
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet
Læs mereEstimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter
Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller
Læs mereDagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)
Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.
Læs mereStatistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer
Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke
Læs merePraktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags.
Praktisk ifo Liste med rettelser og meigsforstyrrede trykfejl i DS på Absalo. Statistisk aalyse af e ekelt stikprøve: kedt eller ukedt varias Sadsylighedsregig og Statistik (SaSt) Helle Sørese Projekt
Læs mereLøsninger til kapitel 7
Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed
Læs mereantal gange krone sker i første n kast = n
1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder
Læs mereSætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n
Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi
Læs mere9. Binomialfordelingen
9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 3. Punkt- og intervalestimater Konfidensintervaller Valg af stikprøvestørrelse
Avedt Statistik Lektio 3 Pukt- og itervalestimater Kofidesitervaller Valg af stikprøvestørrelse Pukt- og itervalestimater: Motivatio Motiverede eksempel: I e udersøgelse er adele af rygere 0.27. Det aslås
Læs mereMeningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017
Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017 Idhold 1 Meigsmåliger 2 1.1 Idledig................................. 2 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås?................... 3 1.3
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab
Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af
Læs mereTest i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og
Læs mereStikprøvefordelinger og konfidensintervaller
Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik
Læs mereStatistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders
Læs mereMotivation. En tegning
Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget
Læs mere1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens... 2
Idhold 1 Pukt- og itervalestimatio 2 1.1 Puktestimatorer: Cetralitet(bias) og efficies.................... 2 2 Kofidesiterval 3 2.1 Kofidesiterval for adel................................ 4 2.2 Kofidesiterval
Læs mereSimpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol
Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle
Læs mereGenerelle lineære modeller
Geerelle lieære modeller Regressiosmodeller med é uafhægig itervalskala variabel: Y e eller flere uafhægige variable: X,..,X k De betigede fordelig af Y givet X,..,X k atages at være ormal med e middelværdi,
Læs mereSpørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.
STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,
Læs mereStatistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :
Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:
Læs mereØkonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1
Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter
Læs mereStatistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion
Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi
Læs mereSammenligning af to grupper
Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er
Læs mereMaja Tarp AARHUS UNIVERSITET
AARHUS UNIVERSITET Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET HVEM ER JEG? Maja Tarp, 4 år Folkeskole i Ulsted i Nordjyllad Studet år 005 fra Droiglud Gymasium Efter gymasiet: Militæret Australie Startede på matematik
Læs mereDiskrete og kontinuerte stokastiske variable
Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig
Læs mereLøsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl. 9 13 Alle sædvalige hjælpemidler
Læs mereVelkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager
Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder
Læs mereProgram. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger
Faculty of Life Scieces Program Esidet variasaalyse Normalfordelige Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Esidet variasaalyse (oe-way ANOVA) Hvilke type data? Hvad er problemstillige? Variatio mellem
Læs mereSTATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller
STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple
Læs mereMikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007
Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M
Læs mereDen flerdimensionale normalfordeling
De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y
Læs mereAsymptotisk optimalitet af MLE
Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for
Læs mereProgram. Middelværdi af Y = t(x ) Transformationssætningen
Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Trasformatio af kotiuerte fordeliger på R, flerdimesioale kotiuerte fordeliger, mere om ormalfordelige Helle Sørese Uge 7, osdag I formiddag: Opfølgig på trasformatiossætige
Læs mereKonfidens intervaller
Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af
Læs mereVejledende opgavebesvarelser
Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.
Læs mereHovedpointer fra SaSt
Hovedpoiter fra SaSt Marti Nørgaard Peterse 13. februar 2018 Følgede geemgår udvalgte begreber fra E Itroduktio til Sadsylighedsregig af M. Sørese (9. udgave), Itroductio to Likelihood-based Estimatio
Læs mereIndholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable
Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4
Læs mereIMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen
TEKST NR 435 2004 Basisstatistik 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING
Læs mereOversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402/02323 Itroducerede Statistik Forelæsig 12: Iferes for adele Klaus K. Aderse og Per Bruu Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataaalyse Damarks Tekiske Uiversitet 2800 Lygby Damark e-mail:
Læs mereVejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15
Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry
Læs mereSkitse til notat om hvor de forskellige sandsynlighedsfordelinger kan tænkes at komme fra
E6 efterår 1999 Notat 8 Jørge Larse 12. oktober 1999 Skitse til otat om hvor de forskellige sadsylighedsfordeliger ka tækes at komme fra I statistik opererer ma i vid udstrækig med et lille atal»stadardfordeliger«.
Læs mereØkonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006
Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree
Læs mereTeoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik
Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-
Læs mereProjekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning
Hvad er matematik? Projekter: Kaitel 9 Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Sætig : Regeregler
Læs mereIntroduktion til Statistik
Itroduktio til Statistik 4. udgave Susae Ditlevse og Helle Sørese Susae Ditlevse, susae@math.ku.dk Helle Sørese, helle@math.ku.dk Istitut for Matematiske Fag Købehavs Uiversitet Uiversitetsparke 5 2100
Læs mereDagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro
Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro
Læs mereClaus Munk. kap. 1-3
Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor
Læs mereKvantitative metoder 2
Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af
Læs merex-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK
Læs mereGamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)
Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt
Læs mere1. februar Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min
Epidemiologi og biostatistik Uge, torsdag 3. februar 005 Morten Frydenberg, Afdeling for Biostatistik. og hoste estimation sikkerhedsintervaller antagelr Normalfordelingen Prædiktion Statistisk test (ud
Læs merevejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.
enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.
Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige
Læs mereTests for forskel i central tendens for data på ordinal- og intervalskala. Typer af statistiske test:
Statistik for biologer 005-6, modul 7: Tests for forskel i cetral tedes for data på ordial- og itervalskala M7, slide M7, slide Typer af statistiske test: Parametrisk statistik: - Tester for forskel i
Læs mereProgram. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger
Faculty of Life Scieces Program Populatioer og stikprøver Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Praktiske oplysiger Populatioer og stikprøver Data Datatyper Visualiserig Cetrum og spredig af e fordelig
Læs mere(VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE)
(VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE) x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse INDLEDNING... 3 DESKRIPTIV STATISTIK... 3 Eksempler ide for deskriptiv statistik... 12 Normalfordeligskurver...
Læs mereSandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.
Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet
Læs mereOpsamling. Lidt om det hele..!
Opsamlig Lidt om det hele..! Kursus oversigt Hvad har vi været igeem: Deskriptiv statistik Sadsyligheder Stokastiske variable diskrete og kotiuerte Fordeliger Estimatio Test Iferes Sammeligig af middelværdier
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.
Læs mereStatistiske Modeller 1: Notat 1
Statistiske Modeller : Notat Jes Ledet Jese 9. august 005 Idhold Kast med k-sidet terig Betigig i multiomialfordelig 3 3 Fordelig af X + X - frembrigede fuktio 4 4 Maksimerig af log-likelihood 5 5 Afledede
Læs mereSTATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig
Læs mereSTATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske
Læs mereMatematisk Modellering 1 Hjælpeark
Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af
Læs mereEstimation og test i normalfordelingen
af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:
Læs mereAsymptotisk estimationsteori
Kapitel 5 Asymptotisk estimatiosteori De fleste eksperimeter har e idbygget størrelse, som regel kaldet eller N. Dette repræseterer typisk atallet af foretage måliger, atallet af udersøgte idivider, atallet
Læs mereElementær Matematik. Polynomier
Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere
Læs mereProgram. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit
Faculty of Life Sciece Program Statitik ifere E ekelt tikprøve og lieær regreio Stat. modeller, etimatio og kofideitervaller Clau Ektrøm E-mail: ektrom@life.ku.dk Fordelig af geemit Statitik ifere for
Læs mereNogle Asymptotiske Resultater. Jens Ledet Jensen Matematisk Institut, Aarhus Universitet. 1 Indledning 1
Nogle Asymptotiske Resultater Jes Ledet Jese Matematisk Istitut, Aarhus Uiversitet Idhold Idhold i Idledig 2 Resultater i et geerelt set-up 7 2. Eksistes af et kosistet estimat............... 7 2.2 Asymptotisk
Læs mereAnalyse 1, Prøve maj 2009
Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede
Læs mereTEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA
TEKST NR 435 2004 Basisstatisti 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING
Læs mereHypotesetest. Hypotesetest og kritiske værdier Type 1 og Type 2 fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer
Hypoteetet Hypoteetet og kritike værdier Type og Type fejl Styrke af e tet Sammeligig af to populatioer Kofideiterval for σ tore tikprøver. Hvi X følger e χ -fordelig med frihedgrader, dv. X~χ (), gælder
Læs mereTankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353
Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi
Læs mereSandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen
Dages eer afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy = f(x,ydxdy Sadsylighedsregig 9. forelæsig Bo Friis Nielse Mateatik og Coputer Sciece Daarks Tekiske Uiversitet 8 Kgs. Lygby Daark Eail:
Læs mereSupplerende noter II til MM04
Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer
Læs mereGENEREL INTRODUKTION.
Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.
Læs mereSTATISTIK x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
STATISTIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Jui 209 ; Michael Szymaski ; mz@ghg.dk Idholdsfortegelse INDLEDNING...3 DESKRIPTIV STATISTIK...4 Skemaer...5 Diagrammer...8 Statistiske deskriptorer... 0 Typetal
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter
Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag
Læs mereLys og gitterligningen
Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar
Læs mereUndersøgelse af numeriske modeller
Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse
Læs mereFormelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6
Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig
Læs mereOversigt. 1 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 3 Den statistiske sprogbrug og formelle ramme
Itroduktio til Statistik Forelæsig 4: Kofidesiterval for middelværdi (og spredig) Peder Bacher DTU Compute, Dyamiske Systemer Bygig 303B, Rum 009 Damarks Tekiske Uiversitet 2800 Lygby Damark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereKapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL
Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,
Læs mereRenteformlen. Erik Vestergaard
Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard
Læs mereSandsynlighedsregning
Sadsylighedsregig E ote om sadsylighedsregig. Via basal sadsylighedsregig gøres læsere klar til forstå biomialfordelige. Herik S. Hase, Sct. Kud Versio 5.0 Opgaver til hæftet ka hetes her. PDF Facit til
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT Sætig 4.4 og kapitel 6 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae 8. udervisigsuge 1 E hypotese af forme H 0 : θ =
Læs mereBranchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros
Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse
Læs mereProjekt 9.10 St. Petersborg paradokset
Hvad er matematik? ISBN 978877066879 Projekt 9.0 St. Petersborg paradokset. De store tals lov & viderchacer I grudboges kapitel 9 omtales de store tals lov, som ka formuleres således: Hvis e spiller i
Læs mereSandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen
Dages eer afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy f(x,ydxdy Sadsylighedsregig 9. forelæsig Bo Friis Nielse Mateatik og Coputer Sciece Daarks Tekiske Uiversitet 8 Kgs. Lygby Daark Eail:
Læs mereUge 40 I Teoretisk Statistik, 30. september 2003
Uge 40 Teoretis tatisti, 30. september 003 Esidet variasaalyse Model, otatio, hypotese og hælpehypotese Test af hælpehypotese Opdaterig af variasestimat Test af hypotese om es middelværdier Variasaalysesema
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig
Læs mereResumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat θˆmed en tilhørende se
Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag 5. februar 00 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. Type og type fejl Statistisk styrke Nogle speciale metoder: Normalfordelte data : t-test eksakte sikkerhedsintervaller
Læs mereProjekt 1.3 Brydningsloven
Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme
Læs mere