Hypotesetest. Hypotesetest og kritiske værdier Type 1 og Type 2 fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Transkript

1 Hypoteetet Hypoteetet og kritike værdier Type og Type fejl Styrke af e tet Sammeligig af to populatioer

2 Kofideiterval for σ tore tikprøver. Hvi X følger e χ -fordelig med frihedgrader, dv. X~χ (), gælder E [ X ] V[ X ] Når atal frihedgrader er tort er e χ -fordelig approkimativt det amme om e ormalfordelig: χ ( ) N(,) Hvi e tikprøve af tørrele er ormalfordelt og er tikprøvevariae, å gælder der ( ) S ~ χ ( ) σ

3 Kofideiterval for σ tore tikprøver. Ekempel: 400,. Fid 95% kofide it for σ. Da tikprøve er tor har vi χ (-) N( -, (-) ) De ivere traformatio giver da χ ( ) ( ) ( ) α Vi ka u fide α/ og -α/ fraktilere i χ -fordelige: χ α / ( ) (.96) χ α / ( ) % kofideiterval for σ. ( ) ( ), χ χ α α , Z α [ 0.56,3.93]

4 Hypoteer og hypoteetet. E hypotee er et udag om ogle karakteritika af e variabel eller mægde af variable F Er middelhøjde af Oeco tuderede 75cm? I e hypoteetet tete værdier, der er optillet i e hypotee, ved at ammelige med værdier bereget fra data. For ekempel ka geemittet af e tikprøve af jere højder berege til 7,7 cm. Er det (igifikat) forkellig fra 75? Det er forkellig fra 75, me ka vi derfra kokludere, at det ikke bare kylde tilfældig variatio, afhægig af ekempelvi tikprøvetørrele? E hypoteetet betår af 5 elemeter: I. Atageler II. Hypoteer III. Tettørreler IV. p-værdi V. Belutig/kokluio

5 Ekempel: Tet af middelværdi (to-idet tet) Atagele: Tet af μ, X kvatitativ variabel, σ kedt og >30. Hypoteer: H H 0 : μ μ : μ μ 0 0 Stikprøvefordelig af X år H 0 er ad er approkimativ ormal med middelværdi μ 0 og tadard afvigele σ tadardierig Tettørrele: Z μ0 X μ 0 σ 0 z

6 p-værdi og igifikaiveau α p-værdie af e tet, er adylighede for at obervere e y tettørrele, der er midt lige å ufarvorabel for H 0 om de allerede oberverede tettørrele, år ul hypotee er ad. Sigifikaiveauet α er et tal, ålede at H 0 forkate, hvi p- værdie er midre ed α. α er ormalvi 0.05 eller 0.0. Kokluio p-værdi H 0 H p < α Forkat Accepter α vælge før aalye foretage. p > α Forkat ikke Accepter ikke Hvor lille et igifika iveau ma vælger, afhæger af hvilke koekveer belutige om at forkate H 0 har. Hvi det er et pørgmål om liv eller død, for ekempel i medicike forøg, vælge α meget lille. Me hvi det bare er at tete om et folketigparti er tørre ed et adet, ka ma godt α tørre.

7 Ekempel Hypoteer: H 0 : μ 30 H : μ 30 Stikprøve: σ 5 Tettørrele: Z, 5 50 Sigifikaiveau: α0.05 Fordelige Z uder H 0 : z. 0 z. p-værdi: p værdi P( Z >,) p( Z >,) Da p-værdi < α forkate H 0.

8 Kritike værdier I tilfælde, hvor ma ikke ka betemme p-værdie ka ma typik fide de kritike værdier. De kritike værdier varer til tettørreler, der har e p-værdi lig igifikaiveauet α. Ekempel: To-idet tet af middelværdie, σ kedt, α0.05. I dette tilfælde er de kritike værdier -.96 og.96 Dv. hvi.96 eller. 96, å ved vi at p-værdie Hvi p-værdie 0.05 afvier vi H Tilvarede kritike værdier ka fide for adre fordeliger, f t- fordelige.

9 Ekempel H0: μ 30 H: μ 30 Sigifikaiveau: α0.05 Stikprøve: σ 5 Tet tørrele: Z, 5 50 Kritike værdi: Da, >,96 forkate H 0 (eller hvi de var midre ed -,96) Hvi højreidet tet, dv. H :μ>30: Da, >.645 forkate H 0 Hvi vetreidet tet, dv. H :μ<30: Da, ikke er midre ed -,645, forkate H 0 ikke

10 E- og to-idet tet af middelværdi for tore eller ormale tikprøver og kedt varia og igifikaiveau α. H 0 : μ μ 0 Η : μ μ 0 Forkat H 0, hvi z > Z α/ To-idet tet H 0 : μ μ 0 H : μ < μ 0 H 0 : μ μ 0 H : μ > μ 0 Forkat H 0, hvi z < -Z α Forkat H 0, hvi z > Z α E-idet tet I alle tre tilfælde er tettørrele z σ / μ 0

11 Type og type fejl Type fejl: E ad H 0 forkate. Type fejl: E falk H 0 forkate ikke. Belutig Forkat H0 Forkat ikke H0 Sad tiltad af H 0 H 0 ad Type fejl Korrekt belutig H 0 falk Korrekt belutig Type fejl Sigifika iveauet α er adylighede for at begå e type fejl. Sadylighede for at begå e type fejl betege β Sadylighede for type og type fejl er ivert relaterede, dv. år de ee tiger, å falder de ade, å ma ka ikke vælge begge to å lavt om muligt e æte lide.

12 Hvorda α og β afhæger af hiade For forkellige og et betemt μ Typik vælger ma at fatætte adylighede for type fejl, α, å ma ikke begår tore fejl. For ekempel hvi H 0 er, at e eller ade medici er kadelig, er det bedre at være ikker på, at ma ikke forkater H 0 elvom de er ad, ed at være ikker på, at ma ikke forkater de, elvom de er falk.

13 Beregig af β (for e vetre idet tet) Se Se på påfølgede hypoteer: H 0 : : μ 000 H : 000 : μ < 000 Lad Lad σ 5, 5, α 5%, 5%, og og Vi Vi vil vil berege β år årμ μ Se Se æte lide Figure vier fordelige af af år årμ μ 0 og år , og år μ μ 998. Bemærk at at H 0 vil blive år er ed de 0 vil blive forkatet, år er midre ed de kritike værdi givet ved ved μ z σ / / krit Omvedt, H 0 vil ikke blive år er ed. 0 vil ikke blive forkatet, år er tørre ed. 0 α krit

14 Beregig af β Fordelig af år μ μ. krit Fordelig af år μ μ 0.

15 Beregig af β Når Nårμ μ 998, å er for ikke at 0, dv. 998, å er β adylighede for ikke at forkate H 0, dv. de de er er P ( X >.. krit ) Når Nårμ μ, å vil e med og, å vil X følge e ormal fordelig med middelværdi μ og tadard afvigele σ/, å: å: X krit μ β P Z > P( Z >.8/ 0.5) P( Z σ / >.360) Styrke (power) af af e e tet, tet, er er adylighede for for at at de de falke ul ul hypotee bliver opdaget af af tete. Styrke af aftete β

16 Sammeligig af to grupper Tjeer mæd og kvider lige meget? (Repo: Lø, Forklarede: Kø) Er adele af helbredte kræftpatieter de amme for to forkellige typer kemoterapi? (Repo: helbredte patieter, Forklarede: Kemotype) Er adele af overvægtige i 006 de amme om adele af overvægtige i 999? (Forklarede: årtal, Repo: overvægtige) Kører e VW Toura og e Skoda det amme atal kilometer per liter? (Forklarede: Bilmærke, Repo: atal kilometer per l) Kører e VW Toura det amme atal kilometer per liter på almidelig bezi, om på bio bezi? (Forklarede: Bezi type, Repo: atal kilometer) Er der forkel på hvor hurtigt ma løber 5 km, år ma har origiale Nike ko og Super Nike ko på?

17 Afhægige og uafhægige tikprøver Ved e uafhægig tikprøve udtage e tikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kvider lø: Tag e tikprøve fra gruppe af mæd og e tikprøve fra gruppe af kvider og ammelig geemitløe for de to grupper.. Kilometer per liter: Tilfældig tikprøve af Toura er og tilfældig tikprøve af Skoda er. Ved e afhægig tikprøve er obervatioere i de to grupper parrede. Oftet er det de amme pero/getad, der bliver oberveret i to forkellige ituatioer.. Bio bezi kotra almidelig bezi: Vælg tilfældigt et atal VW Toura er og tet dem med de to forkellige typer bezi.. Origial Nike ko kotra Super Nike ko: Vælg tilfældigt ogle peroer til at løbe 5 km og lad dem tete begge par ko.

18 Forklarede variabel og repo variabel. To grupper, der ammelige, udgør e bivariat variabel dv. e variabel, der ku har to kategorier, for ekempel mæd og kvider. Dee variabel kalde de forklarede variabel (eller de uafhægige variabel). De variabel, der ammelige, kalde repo variable (eller de afhægige variabel), for ekempel lø. Når repo variable er kvatitativ, ammelige middelværdier. Når repo variable er kvalitativ, ammelige adele. Summeopgave: Se på ekemplere idetificer repo og forklarede variabel og e på om repoe er kvalitativ eller kvatitativ.

19 Rete af forelæige Sammeligig af to middelværdier kedt varia. Hypoteetet. Kofideiterval Sammeligig af to middelværdier ukedt varia. Hypoteetet. Kofideiterval Sammeligig af to adele. Hypoteetet. Kofideiterval

20 Sammeligig af to middelværdier kedte variaer og tore tikprøver eller populatioer ormalfordelte Populatio Populatio X har middelværdi μ og varia σ. X har middelværdi μ og varia σ. Er der forkel på dere middelværdier? Bedte etimator af μ μ er. σ σ E( ) μ μ ogv ( ). Når og er ormalfordelte, er ormalfordelt, og år og er tore, er approkimativt ormalfordelt, uaet fordelige af og.

21 Stikprøvefordelig af X X

22 Sammeligig af to middelværdier kedte variaer og tore tikprøver eller populatioer ormalfordelte Hypoteer : H H 0 : μ μ ( μ μ) : μ μ ( μ μ ) 0 0 Kritike pukter : ± z, hvor α er igifika iveauet. α Belutig : Tettørrele : X X ( μ μ) z σ σ 0 Forkat H 0 hvi z > z α eller hvi z < z α Bemærk!! Ka ogå lave om et højreidet tet, H : μ > μ eller vetreidet tet, H : μ < μ. Deude ka vi elvfølgelig ogå berege p - værdie om vi plejer, i tedet for at ammelige med de kritike værdi. z α

23 Kofideiterval (-α )00% kofide iterval for μ μ : ( X X ) ± z α σ σ zα / vælge ud fra kofideiveauet. Hvi det ekempel er et 95% kofideiterval, er z 0.05 for,96. Hvi kofideitervallet ideholder 0, varer det til, at et hypoteetet ikke havde forkatet ul hypotee om at de to middelværdier er e.

24 Ekempel er der forkel på hvor lagt bilere kører på 5 l. bezi? Populatio : VW Toura H H 0 : μ μ 0 : μ μ σ 84 z ( ) (308 54) σ σ , Populatio : σ 67 Skoda p- værdi: p(z >5,05) p(z < -5,05) 0 H0 forkate, der er altå forkel på hvor lagt de to biltyper kører på litere. 95% kofide iterval: 54±,96 0,75 [3,93 ; 75,07]

25 To Normalfordelte populatioer med ukedt varia Hypoteer: H 0 : μ μ H : μ μ To ituatioer: σ σ σ σ ) ( : ) ( ) ( : ) ( : ± t pukter Kritike Pooled Varia t Tettørrele : p p ν ν σ σ α, hvor For ) ( ) ( ) ( ) ( : ) ( : ± t pukter Kritike t Tettørrele : ν ν σ σ α hvor, For Hvi tore tikprøver, bruge z i tedet for t-fordelige. Boge bruger z, år og er tørre ed 30. SPSS reger altid med t-fordelige

26 Ekempel Forkel på højde af drege og piger 0 (atal drege) 9 (atal piger) 8,30 70,89 0, 6,7 Atag σ σ. Hypoteer: H 0 : μ μ H : μ μ Sigifikaiveau: α 0.05 (geemithøjde drege) (geemithøjde piger) (et. varia drege) (et. varia piger) Tettørrele: ( ) t p ( ( ) p ) ( ) (0 )0, (9 )6,7 p 7,3 0 9 (8,30 70,89) t,67 7,3 0 ( 9) Kritike pukter: ±t α/ ( -) ±t 0.05 (7) ±. Belutig: H 0 afvie da.67 >.

27 Kofideitervaller for μ μ ) / (/ ) ( / ± v t p, α * / / ) ( / ± v t, α ( ) ( ) ( ) / / / / * Kofideiterval for μ μ år σ σ. Kofideiterval for μ μ år σ σ. v Atal frihedgrader

28 SPSS Ekempel Data: Vægt for 06 mæd og 43 kvider. Er der e forkel i middelvægte? Aalyze > Compare Mea > Idepedet-Sample T Tet I dette dataæt tager variable ko værdiere og alt efter om det er mæd eller kvider. Vægt iddele efter kø

29 SPSS Ekempel - output Group Statitic vægt Kø Mad Kvide Std. Error N Mea Std. Deviatio Mea 06 78,990,5345, ,38,745,980 Idepedet Sample Tet vægt Equal variace aumed Equal variace ot aumed Levee' Tet for Equality of Variace F Sig. t df Sig. (-tailed) t-tet for Equality of Mea Mea Differece 95% Cofidece Iterval of the Std. Error Differece Differece Lower Upper 6,8,009 3, ,000 4,6094,4639 3,6997 5,590 3, 449,037,000 4,6094,468 3,695 5,573 t-tettørrele alt efter om p-værdi for e to-idet tet: H : μ μ der er ataget e eller forkellig varia Atal frihedgrader 95% kofideiterval for μ μ