Statistik Lektion 8. Test for ens varians

Transkript

1 Statitik Lektio 8 Tet for e varia

2 ra tidligere Hvi populatioe er ormalfordelt med varia, å gælder ( ) S ~ χ hvor er tikprøve tørrele og S er tikprøvevariae. χ -fordelig med - frihedgrader χ

3 Tet af Variae Atagele: Populatioe er ormalfordelt med varia. Hypoteer: H H 0 : : 0 0 Tettørrele: χ Uder H 0 følger χ e χ -fordelig med - frihedgrader Kritike værdier: χ ( ) 0 og χ, α, α χ, α Nu: Tete for e varia i to uafhægige tikprøver.

4 -fordelige -fordelige er fordelige af brøke af to χ -fordelte tokatike variable, der er uafhægige og hver er divideret med atallet af de frihedgrader. Atag χ og χ er uafhægige og χ -fordelte med hhv. k og k frihedgrader. Defier χ k χ k Da følger e -fordelige med k og k frihedgrader. f() (5,6) (5,30) (0,5) 3 4 5

5 -fordelige på hovedet Atag χ og χ er uafhægige og χ -fordelte med hhv. k og k frihedgrader. Defier χ χ k k Så følger e -fordelig med k og k frihedgrader. Vi har χ χ k k Dv. - følger e -fordelige med k og k frihedgrader.

6 -tabelle Critical Poit of the Ditributio Cuttig Off a Right-Tail Area of 0.05 k fordelige med 7 og frihedgrader 0. 7 k f ( ) /,7, ,, Når ma kal fide det vetre kritike pukt, ka ma bruge følgede ammehæg: k, k, α k, k,α

7 Kritike pukter i fordelige (6, 9), α f ( ) fordelig med 6 og 9 frihedgrader 0 6,9,0.95 / 9,6, ,9, Tabeloplag i R > qf(0.95,df6,df9) [] > qf(0.05,df6,df9) [] Det højreidet kritike pukt: 6,9, Det tilvarede vetreidet pukt: 6,9, ,6,0.05

8 Stikprøve-variae i to grupper Atag vi har to ormalfordelte populatioer. Vi har obervatioer fra populatio. Lad betege tikprøve-variae for pop.. Lad betege populatio-variae for pop. Vi har fra tidligere: ( ) ~ χ χ -fordelt med - frihedgrader Tilvarede for tikprøve fra populatio.

9 orholdet mellem to tikprøve-variaer Hvi de to tikprøver er uafhægige har vi: Dv. Det ka omkrive til ~ ) ( χ ~ ) ( χ og, ~ ) ( ) ( ) ( ) (, ~

10 Tet for e varia Tettørrele til tet for e populatio varia i to ormalfordelte populatioer er givet ved: (, ) I: Toidet tet: H 0 : H : II:Eidet tet H 0 : H : >

11 Ekempel Hypoteer: Sigifikaiveau: α 0.0 Populatio Populatio H H 0 : : Kritike værdier:,8,0.05 8,,0.05 8,, ,, H 0 ka ikke afvie på igifikaiveau 0%, da tettørrele ikke er tørre ed 3.8 eller midre ed Tettørrele:

12 Ekempel i R Start med at defiere alle variable > 3; 0.; 9; 0. Hefter ka vi udrege tettørrele > f ^/^ > f [] De kritike værdier fider vi vha. > qf(c(0.05,0.95),-,-) [] Da.9 ligger mellem de to kritike værdier ka vi ikke afvie H 0.

13 Tet vha. P-værdi Atag: ~ -,- Hvi >, å er P-værdie P( > ) I R: > *pf(f, -, -, lower.tail) [] P-værdi Hvi <, å er P-værdie P( < ) > *pf(f, -, -, lower.tailt) P-værdi

14 Sammeligig af to variaer i R Er der e forkel variae for mæd og kvider vægt? Altid plot før tet! > udby read.table("sudby95.dat", headert) > library(trelli) # udvidele med ektra plot-fuktioer > hitogram(~ vaegt koe, dataudby) Kvide Mad Percet of Total vaegt

15 Lidt mellemregiger ørt defierer vi variable for hhv. mæd og kvider vægt: > vaegt.maed udby$vaegt[udby$koe"mad"] > vaegt.kvider udby$vaegt[udby$koe"kvide"] Derefter fider vi de to variaer vi kal bruge > var(vaegt.maed,a.rmt); var(vaegt.kvider,a.rmt) [] 57.7 [] 7.43 Dv. variae for hhv. mæd og kvider er 57.7 og

16 Hypoteetet Hypoteer H 0 : v H : Tettørrele P-værdi P-værdi.4 > *pf(.36, 05, 430, lower.tail) [] Da P-værdie << 5% ka vi (meget klart) afvie ulhypotee om e varia.

17 Hypoteetet i R Hypoteer H 0 : v H : Tet af e varia > var.tet(vaegt.maed, vaegt.kvider) tet to compare two variace data: vaegt.maed ad vaegt.kvider.36, um df 05, deom df 430, p-value alterative hypothei: true ratio of variace i ot equal to 95 percet cofidece iterval: ample etimate: ratio of variace.35995

18 Vigtigte fordeliger i kuret Biomial B(,p) Normal N(µ, ) χ χ () Hvi Z,, Z gælder i Z uafh. og Z i ~ χ ( ) i ~ N(0,), å t t() Hvi Z og X uafh. og Z X ~ χ ( ) å gælder Z ~ N(0,) og X ~ t( ) (k,k ) Hvi X og Y uafh. og X ~ χ ( k) og Y ~ χ ( k ) å gælder ( X k ) ( Y k ) ~ ( k, k ) Hvi X ~ t( ) å gælder X ~ (, )