Konfidens intervaller

Transkript

1 Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af stikprøve størrelse

2 Kofides itervaller Et kofides iterval er et iterval, der estimerer værdie af e ukedt populatios parameter. Kaldes også et iterval estimat. Samme med itervallet gives et mål for, hvor sikker ma er på, at de sade populatios parameter ligger i itervallet. Dette mål kaldes for kofides iveauet. Et pukt estimat estimerer værdie af e ukedt populatios parameter ved e ekelt værdi. For eksempel, sidste gag geemsitslø for HA X600. Et pukt estimat ideholder ikke meget iformatio om de faktiske værdi af μ. Et iterval estimat ideholder flere iformatioer, for eksempel: Vi er 95% sikre på, at itervallet [550,650] ideholde de sade middelværdi μ. Eller vi er 90% sikre på, at itervallet [599,601] ideholder de sade middelværdi μ.

3 Kofides iterval for middelværdie (år X er ormal fordelt eller stikprøve er stor) Da gælder følgede: E 95% kofides iterval for middelværdi P P μ μ μ ), ( ~ N X μ ±196.

4 Mellemregiger , , , ,96 / / 1.96 ) ,96) 1.96 ( + + P P P P P z P μ μ μ μ μ μ μ : at gælder,, X ~ N( Da ~ N(0,1) z hvor,

5 Kofides iterval for middelværdi f() % falder edefor itervallet Samplig Distributio of the Mea.5% μ % μ 95% falder idefor itervallet.5% μ % falder over itervallet Approksimativt 95% af af stikprøve middelværdiere ka ka forvetes at at falde idefor itervallet μ 196., μ Omvedt, cirka.5% ka ka forvetes at at være uder μ 196. og ka og.5% ka at forvetes at være over μ Så Så5% ka ka forvetes at at være udefor itervallet...

6 Kofides iterval for middelværdi f() * Samplig Distributio of the Mea 95%.5%.5% μ μ 196. μ * Approksimativt 95% 95% af af itervallere ±1.96 omrig stikprøve middelværdie ka ka forvetes at at ideholde de de faktiske værdi af af populatios middelværdie, μ. μ *5% *5% af af sådae itervaller omkrig stikprøve middelværdie ka ka forvetes ikke ikkeat at ikludere de de faktiske værdi af af populatios middelværdie.

7 Et (1- )100% kofides iterval for μ z Vi defierer som de z-værdi, hvor sadsylighede for at Z er højere ed dee værdi, er. Kaldes også fraktile eller de kritiske værdi. (1-)100% kaldes kofides iveauet. f(z) Stadard Normal z -1 0 Z fordelig 1 z ( 1 ) Pz > z / Pz z / P z z z ( 1 ) (1 ) 100% kofidesiterval: ± z

8 Kritiske værdier af z og kofides iveauer ( 1 ) z f(z) Stadard Normal Distributio z 0 Z 1 z ( 1 ) 3 4 5

9

10 Kofides iveau og bredde af kofides itervallet Når Når ma ma tager tager stikprøver fra fra de de samme samme populatio og og bruger bruger de de samme samme stikprøve størrelse, så såjo jo højere højere et et kofides iveau, iveau, jo jo bredere bredere et et kofides iterval. Stadard Normal Distributio Stadard Normal Distributio f(z) 0. f(z) Z Z % kofides iterval : ± % kofides iterval : ± 1.96

11 Stikprøve størrelse og bredde af kofides itervallet Når Når ma tager stikprøver fra fra de de samme populatio og og bruger det det samme kofides iveau, så såjo jo større stikprøve størrelse,, jo jo smallere et et kofides iterval. Samplig Distributio of the Mea Samplig Distributio of the Mea f() 0. f( ) % kofides iterval: 0 95% kofides iterval: 40

12 Eksempel på tavle

13 Kofides iterval for μ år er ukedt - t fordelige Hvis populatios stadard afvigelse,, ikke er kedt, erstattes med stikprøve stadard afvigelse, s. Hvis populatioe er X μ ormal, så er: t t fordelt med ( - 1) frihedsgrader. s ttfordelige fordelige er er e e familie familie af af klokke klokke formede formede og og symmetriske symmetriske fordeliger, fordeliger, e e for for hvert hvert ummer ummer af af frihedsgrader. frihedsgrader. De De forvetede forvetede værdi værdi (middelværdie) (middelværdie) er er For For df df >,, er er variase variase af af ttdf/(df-). df/(df-). Går Går mod mod 1, 1, år år frihedsgradere frihedsgradere stiger. stiger. ttfordelige fordelige er er fladere fladere og og har har tykkere tykkere haler haler ed ed stadard stadard ormal ormal fordelige. fordelige. ttfordelige fordelige går går mod mod stadard stadard ormal ormal fordelige, fordelige, år år frihedsgradere frihedsgradere stiger. stiger. 0 μ Stadard ormal t, df 0 t, df 10

14 Kofides iterval for μ år er ukedt - t fordelige Et Et (1-)100% kofides iterval for for μ år år er er ukedt (og (og ma atager e e ormal fordelt populatio): ± t s hvor t er i t -1 er værdie i t fordelige med -1 frihedsgraders, hvor sadsylighede for for at at t t er er højere ed ed dee værdi, er er..

15 t Fordelige df t t t 0.05 t t f(t) t D istributio : df10 Areal 0.10 Areal 0.10 } } -.8 } t.8 } Areal 0.05 Arela 0.05 Når Når er er ukedt ukedt (og (og populatioe er er ormal ormal fordelt), fordelt), bruges brugest t fordelige med med -1-1 frihedsgrader. For For store store frihedsgrader ka kat t fordelige approksimeres ved ved e e stadard ormal ormal fordelig.

16 Eksempel 6- E E aktie aalytiker vil vil estimere de de geemsitlige gevist på påe e bestemt aktie. E E stikprøve på på15 dage giver e e geemsitlig gevist på 10.37% og og e e stadard afvigelse på pås 3.5%. Atag e e ormal populatio og og giv giv et et 95% kofides iterval for for de de geemsitlige gevist på pådee aktie. df t t t 0.05 t t De kritiske værdi af t for df ( -1) (15-1) 14 og et højre halet areal på 0.05 er: t Kofides itervallet er: s ± t ± ± , [ ]

17 Kofides iterval for populatios adele, p, for store stikprøver Estimatore af populatios adele, p, er stikprøve adele, pˆ. Hvis stikprøve størrelse er stor, så er pˆ approksimativ ormal fordelt, med E( pˆ) p og pq V( pˆ), hvor q(1- p). Når populatio adele er ukedt, bruges de estimerede værdi, pˆ. E stikprøve er stor ok, år både p og q er større ed 5. Et (1-)100% kofides iterval for populatios adele, p, er givet ved: ˆ ˆ p± ˆ z pq hvor stikprøve adele, pˆ, er lig med atallet af succes'er i stikprøve,, divideret med atallet af forsøg (stikprøve størrelse),, og qˆ 1-pˆ.

18 Eksempel 6-4 Hvor Hvor stor stor e e adel har har udeladske firmaer af af det det amerikaske marked for for et et eller eller adet produkt. E E stikprøve på på100 forbrugere udtages og og af af disse disse bruger det det udeladske produkt; reste bruger det det amerikaske produkt. Giv Giv et et 95% 95% kofides iterval for for adele af af brugere af af udeladske produkter. p$ pq $$ 034)(. 066) ± z 034. ± ± ( 196. )( ) ± [ 0. 47, ]

19 Kofides iterval for populatios variase: Chi i ade (χ ) fordelige Stikprøve variase, s², er e cetral estimator for populatios variase ². Kofides itervaller for populatios variase baseres på χ fordelige. χ fordelige er sadsyligheds fordelige for e sum af uafhægige kvadrerede stadard ormal fordelte stokastiske variable. Middelværdie er lig med atallet af frihedsgrade, E(X)df Variase er lig med to gage atallet af frihedsgrader, V(X)df

20 χ fordelige E χ fordelt stokastisk variabel ka ikke være egativ, så de er begræset af 0 til vestre. Fordelige er højre skæv. Fordelige går mod ormal fordelige, år atallet af frihedsgrader vokser. Hvis stikprøve er taget fra e ormal fordelig, f ( χ ) Chi-Square Distributio: df10, df30, df df df df χ så er de stokastisk e variabel : χ ( 1) s χ fordelt med ( -1) frihedsgra der.

21 Sadsyligheder i χ fordelige Areal i højre hale Areal i vestre hale df

22 Kofides iterval for populatios variase Et (1-)100% kofides iterval for populatios variase * (hvis populatioe er ormal fordelt) er givet som: ( ) s 1, ( 1 ) s χ χ 1 hvor er fraktile i χ fordelige og χ χ 1 er 1 fraktile. * * Note: Note: Fordi Fordi χ χ fordelige fordelige er er skæv, skæv, er er kofides kofides itervallet itervallet for for populatios populatios variase variase ikke ikke symmetrisk. symmetrisk.

23 Eksempel 6-5 E E maskie fylder kaffekader (med (med kaffe kaffe ;-) ;-) Hvis Hvis det det geemsitlige idhold er er forskellig fra fra hvad hvad det det skal skal være, ka ka maskie justeres. Hvis Hvis variase er er for for høj, høj, skal skal maskie sedes til til reparatio. E E stikprøve på på30 30 kader giver giver et et estimat på påss 18,540. Giv Giv et et 95% 95% kofides iterval for for populatios variase,.. ( ), ( ) 1 s 1 s ( )18540, ( ) χ χ [ 11765, 33604]

24 Eksempel Areal i højre hale df Chi-Square Distributio: df f(χ ) χ χ χ

25 Bestemmelse af stikprøve størrelse Midste stikprøve størrelse,år μ estimeres: z B hvor B er de maksimale græse for, hvor lagt estimatet må ligge fra de sade middelværdi (med kofides iveau). For populatios adele er de givet ved: z pq B Hvis p ukedt bruges p 0.5, da det giver de største stikprøve størrelse(og er altså et koservativt gæt).

26 Eksempel 6-6 Hvor Hvor mage pege bruger e e perso geemsitligt på pået et ferie ferie sted? sted? Skal Skal bestemmes idefor plus, plus, mius $10, med med 95% 95% sikkerhed. Fra Fra tidligere udersøgelser ved ved ma ma at at populatio stadard deviatio is is $400. Hvor Hvor stor stor skal skal stikprøve midst være? z B (. 196)( 400)

27 Eksempel 6-7 Hvor Hvor mage folk folk i i e e give idkomst klasse er er iteresseret i i e e bestemt bil? bil? Skal Skal bestemmes idefor plus plus mius med med 99% 99% sikkerhed. Gæt Gæt på påat at p er er omkrig Hvad er er de de midste stikprøve størrelse? z pq B (. )(. )