Estimation og test i normalfordelingen

Transkript

1 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer: é middelværdi, variae kedt é middelværdi, variae ukedt 3 parvie obervatioer 4 to middelværdier, amme varia 5 to middelværdier, forkellig varia 6 é varia (predig) 7 to variaer (prediger) Der er tale geerelle tatitike tekikker, om emt ka udføre ved hjælp af Microoft Excel. Formålet med die tekikker er at udføre etimatio af og tet for middelværdi og varia i é eller to grupper af obervatioer for ormalfordelte data. Alle die tekikker er i øvrigt bekrevet i ISO 854. Hvi data ikke (tilærmelevit) ka bekrive ved e ormalfordelig, må ma ete traformere data (f.ek. logaritmik) eller avede adre ( ikkeparametrike ) tatitike tekikker. Er ma i tvivl, om data ka bekrive tilfredtillede ved hjælp af e ormalfordelig, ka ma evt. avede grafik tjek af ormalitet (ormalfordeligplot). Dette behadle ikke i die oter der hevie til ISO Det forudætte, at læere er i tad til at berege geemit og tadardafvigele for e gruppe af obervatioer. Dette ka f.ek. gøre i Excel ved hjælp af fuktioere AVERAGE heholdvi STDEV. For god orde kyld gegive formlere her. Af og til avede betegele middelværdi (ofte beteget for e ad værdi, me geemit avede for de etimerede værdi. På tilvarede måde kele af og til mellem begrebere predig (ofte beteget ) for de ade værdi og tadardafvigele for de etimerede værdi. Ofte vil ma dog avede betegelere i flæg. Vi har e gruppe af uafhægige og ormalfordelte obervatioer x til x. Geemittet ( middelværdie ) er givet ved formle x x i i

2 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Variae er givet ved formle ( xi x) og tadardafvigele ( predige ) er, dv. kvadratrode af variae. I rete af die oter vil der ikke blive givet detaljerede formler overalt. i I mage ammehæge har ma brug for mere avacerede tatitike metoder. Iær er der ofte brug for lieære modeller, heruder regreioog variaaalye. Dette er modeller, hvor ma tuderer idflydele af e eller flere faktorer på e afhægig variabel (itereevariable). Die faktorer ka være ete kvatitative (regreioaalye), kvalitative (variaaalye) eller der ka evt. være begge typer på é gag ( geerelle lieære modeller ). Die modeller ka f.ek. aalyere ved hjælp af tatitikoftware om SAS/JMP. é middelværdi, variae kedt Baggrud Vi har e gruppe af uafhægige og ormalfordelte obervatioer x til x, jf. ovefor. Dere predig tæke kedt, og det gælder dermed ogå variae. Derimod er middelværdie ukedt. Formålet er At etimere middelværdie amt agive et kofideiterval for dee. At tete, om middelværdie ka atage at være lig med e på forhåd give værdi 0. Vi kal derfor ikke foretage oge beregig af tadardafvigele. Er ma i tvivl, om de give tadardafvigele tadig ka avede, ka ma evt. tete dette. Se afit 6. Ekempel x x x 3 x 4 x 0 x - 0 z 0 4,6 8,5 4,9 5,3 4 5,85 5 0,85,5,00

3 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 I dette ekempel er der 4 obervatioer, dv. =4. Vi ved fra mage tidligere aalyer, at predige (tadardafvigele) ka atage at være kotat =,5. Etimatio Middelværdie () er ukedt, me etimere ved geemittet x = 5,85. Kofideiterval Et geemit er (ikke overrakede) mere ikkert betemt, jo flere obervatioer ma har. Hvi ma f.ek. får 4 gage å mage obervatioer, kal variae ogå dividere med 4, dv. tadardafvigele kal dividere med. Geerelt gælder der følgede regel: Stadardafvigele for geemittet får ma ved at dividere de opridelige tadardafvigele med kvadratrode af atallet af obervatioer, dv. de bliver /. Vi vælger derfor et iterval på forme k /, hvor kotate k ætte til z-/, dv. e fraktil i (tadard) ormalfordelige. Hvi f.ek. = 0,05 = 5%, bliver z-/ =,96. Dette hæger amme med, at 95% af alle obervatioere i e tadard ormalfordelig ligger mellem,96 og,96. Tekik kalder ma,96 for,5%-fraktile og,96 for 97,5%-fraktile i (tadard) ormalfordelige. Kofideitervallet bliver derfor: x,96 / x,96 / Dette iterval ka berege til [4,36; 7,9], og det vil med 95% adylighed ideholde de ade me ukedte værdi af middelværdie. Kofideitervallet ka geerelt krive: x z x z / / / / Vil vi f.ek. i tedet have et iterval, der med 99% adylighed ideholder de ukedte værdi af middelværdie, kal vi i tedet vælge = 0,0 = %, og å bliver z-/ =,576, idet 99% af alle obervatioere i e tadard ormalfordelig ligger mellem,576 (om er 0,5%-fraktile) og,576 (om er 99,5%- fraktile). Itervallet bliver i å fald [3,89; 7,76]. 3

4 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Beregig af tettørrele Vi kal u tete, om geemittet afviger fra e targetværdi på 0=5,0. Vore geemit x = 5,85 kal altå ammelige med targetværdie 5,0. Numerik tore (poitive eller egative) afvigeler mellem die tørreler fører til, at vi forkater atagele om e middelværdi = 5,0. Afvigelere mellem geemittet og target kal aturligvi e i forhold til predige, dv. =,5. Hvi der er tor predig, kal der (umerik) tørre afvigeler til, før vi må forkate atagele om e middelværdi = 5,0. Som ævt ovefor få tadardafvigele af et geemit ved at dividere de opridelige tadardafvigele med kvadratrode af atallet af obervatioer. Dette fører til, at ma aveder følgede tettørrele : x 0 z0 / I ekemplet ovefor bliver z0 =,00. Spørgmålet er å, hvor tor e værdi (umerik) af z0 om fører til, at vi forkater atagele om e middelværdi = 5,0. Tettørrele fordelig Dette pørgmål hæger ige amme med, hvilke fordelig vore tettørrele følger. I det aktuelle tilfælde ka ma vie, at tettørrele følger e tadard ormalfordelig (dv. middelværdi 0 og predig ). Det har de fordel, at dee fordelig er tabelleret. Ma behøver derfor blot at lå op i e tabel over (tadard) ormalfordelige for at e, hvor (umerik) tore værdier af z0 om fører til forkatele af atagele om e middelværdi = 5,0. Svaret på dette pørgmål hæger å ige amme med valget af igifikaiveau. Oftet vælger vi igifikaiveau 5%, me af og til vælger vi igifikaiveau %. Det er die to igifikaiveauer, om abefale i forkellige ISO-tadarder. Hvi vi vælger et igifikaiveau på 5%, er (umerike) værdier over,96 kritike. Dette hæger amme med, at 95% af alle obervatioere i e tadard ormalfordelig ligger mellem,96 og,96. Tekik kalder ma,96 for,5%-fraktile og,96 for 97,5%-fraktile. Det er altå die, ma kal fide i tabelle. 4

5 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Vælger vi et igifikaiveau på %, bliver (umerike) værdier over,576 kritike, idet 99% af obervatioere i e tadard ormalfordelig ligger mellem,576 (om er 0,5%-fraktile) og,576 (om er 99,5%-fraktile). Kokluio Vi har i ekemplet fudet e tettørrele på,00. Dette ligger pæt uder de,96, hvorfor der ikke er tatitik belæg for at forkate atagele om, at middelværdie er lig med targetværdie, dee atagele må altå acceptere (på 5%-iveau, og aturligvi ogå på %-iveau). På jævt dak: De fude geemitværdi 5,85 afviger ikke markat fra de accepterede targetværdi 5,0. Eidet tet I jælde tilfælde er det åda, at ma på forhåd ved, at det er umuligt at få et geemit uder target. I å fald avede et åkaldt eidet tet. I ekemplet gøre det åda: Vi har et geemit på 5,85, der jo om forvetet er over de 5,0 (eller var der oget galt med vore forhådvide!). I et eidet tet kal ma (for tet på 5%-iveau) ammelige tettørrele,00 med 95%-fraktile, i tedet for 97,5%-fraktile. I e tabel aflæe dee til,645. Vore atagele om, at geemittet er lig med target, bliver tadig accepteret. For et tet på %-iveau kal ma ammelige med 99%-fraktile, om er,36. Hvi vore forhådvide omvedt er, at det er umuligt at få geemit over target, å er værdier uder,645 (hhv.,36) kritike. é middelværdi, variae ukedt Baggrud Vi har om ovefor e gruppe af uafhægige og ormalfordelte obervatioer x til x. Dere predig tæke ukedt, det gælder dermed ogå variae. Ligelede er middelværdie ukedt. Formålet er 5

6 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 At etimere middelværdie amt agive et kofideiterval for dee. At tete, om middelværdie ka atage at være lig med e på forhåd give værdi 0. Ekempel Samme data om i tet r.. x x x 3 x 4 x 0 x - 0 t 0 4,6 8,5 4,9 5,3 4 5,85 5 0,85,806 0,94 I dette ekempel er der 4 obervatioer, dv. =4. Etimatio Vi kal u både etimere predige (tadardafvigele) og middelværdie (geemittet). Middelværdie () etimere ved geemittet x = 5,85. Spredige etimere u ved tadardafvigele =,806. Kofideiterval Vi kal her ku agive et kofideiterval for middelværdie. I afit 6 vil vi agive et kofideiterval for variae hhv. tadardafvigele. I aalogi med afit optiller vi et kofideiterval for middelværdie af forme: x t / x t / /, /, Forkelle er, at vi ikke keder predige om i tedet etimere ved tadardafvigele. Det vier ig u, at de kotat, ma kal gage tadardafvigele med, bliver oget tørre ed før. I tedet for fraktiler i ormalfordelige kal ma u avede e Studet t-fordelig. Dette er ikke é, me e hel familie af fordeliger. Hvi der er obervatioer (midt ), kal ma avede e (Studet) t-fordelig med - frihedgrader. I ekemplet er der 4 obervatioer, dv. atal frihedgrader er 3. Øker vi et kofideiterval, der med adylighed 95% ideholder de ade me ukedte værdi af middelværdie, kal vi avede 97,5%- fraktile, om få i e tabel til 3,8. 6

7 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Itervallet berege derefter til [,95; 8,70]. Øker vi et i tedet et kofideiterval, der med adylighed 99% ideholder de ade med ukedte værdi af middelværdie, kal vi avede 99,5% fraktile, om få i e tabel til 5,84. Itervallet berege derefter til [0,55;,0]. Die kofideitervaller er om ma ka e temmelig meget bredere, ed da vi kedte predige. Det er å at ige traffe for ikke at kede predige. Beregig af tettørrele Vi kal u tete, om dette geemittet afviger fra e targetværdi på 0=5,0. I forhold til tet r. er det ye, at vi aveder tadardafvigele om mål for predig, idet vi ikke har e på forhåd kedt værdi. Dette fører til, at ma aveder følgede tettørrele, om vi u kalder t0: t 0 x 0 / I ekemplet ovefor bliver t0 = 0,94. Spørgmålet er å, hvor tor e værdi (umerik) af t0 om fører til, at vi forkater atagele om e middelværdi = 5,0. Tettørrele fordelig Nu er der ikke lægere tale om, at tettørrele følger e (tadard) ormalfordelig. Når atallet af obervatioer er tort (f.ek. over 0), vil det dog være e god tilærmele, me år der er tale om få obervatioer, gælder det ikke lægere. I tedet for ormalfordelige kal ma u avede e Studet t-fordelig med - frihedgrader, hvi der er obervatioer. I ekemplet er der 4 obervatioer, dv. atal frihedgrader er 3. Hvi vi vælger et igifikaiveau på 5%, fide de kritike græe til 3,8 (97,5%-fraktile) i tabelle. Hvi vi vælger et igifikaiveau på %, fide de kritike græe til 5,84 (99,5%-fraktile) i tabelle. 7

8 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Kokluio Vi har i ekemplet fudet e tettørrele på 0,94. Dette ligger pæt uder de 3,8, hvorfor der ikke er tatitik belæg for at forkate atagele om, at middelværdie er lig med targetværdie. Dee atagele må altå acceptere (på 5%-iveau, og aturligvi ogå på %-iveau). Eidet tet Hvi vi f.ek. på forhåd ved, at det er umuligt at få et geemit uder target, avede et eidet tet: I ekemplet har vi et geemit på 5,85, der jo om forvetet er over de 5,0. I et eidet tet kal ma (for tet på 5%-iveau) ammelige tettørrele 0,94 med 95%-fraktile, i tedet for 97,5%-fraktile. I tabel over t-fordelige (med 3 frihedgrader) aflæe dee til,353. Vore atagele om, at geemittet er lig med target, bliver tadig accepteret. For et tet på %-iveau kal ma ammelige med 99%-fraktile, om er 4,54. 3 parvie obervatioer Baggrud Situatioe ka f.ek. være følgede: Vi har prøver, om hver er blevet aalyeret af to laboratorier. Vi er itereerede i at uderøge, om der er forkelle mellem de to laboratorier (og hvor tor forkelle er), hvorimod forkellee mellem prøver i dee ammehæg ikke er itereate. Formålet er derfor At etimere middelværdie D for forkelle mellem laboratorier amt agive et kofideiterval for dee. At tete, om middelværdie D ka atage at være lig med 0. Dette problem ka hådtere ved at tage differee mellem reultatere for de to laboratorier, idet det ku er forkelle mellem laboratoriere, om er itereat. De ekelte reultater for hvert laboratorium er herefter ikke relevate. 8

9 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Ekempel Laboratorium 4,6 8,5 4,9 5,3 Laboratorium 5,0 9,0 5,0 6,0 d d t 0 Differe 0,4 0,5 0, 0,7 4 0,4 0,5 3,4 Vi har laboratorier, og der er foretaget aalyer af 4 prøver. I førte række er vit reultatere for laboratorium, i ade række reultatere for laboratorium. Differee mellem reultatere (Laboratorium Laboratorium ) er vit i 3. række, amme med de relevate beregiger. Etimatio Middelværdie D for forkelle mellem laboratorier etimere ved geemittet af differeere d = 0,4. Kofideiterval Et kofideiterval for middelværdie D af forkelle mellem laboratorier ka berege på amme måde om i afit, dv. d t / d t / /, d d /, d I ekemplet er der 4 differeer, dv. atal frihedgrader er 3. Øker vi et kofideiterval, der med adylighed 95% ideholder de ade me ukedte værdi af middelværdie, kal vi avede 97,5%- fraktile 3,8. Itervallet berege derefter til [0,03; 0,8]. Øker vi i tedet et kofideiterval, der med adylighed 99% ideholder de ade med ukedte værdi af middelværdie, kal vi avede 99,5%-fraktile, om få i e tabel til 5,84. Itervallet berege derefter til [-0,3;,6]. Beregig af tettørrele Tetet er mage til tet r., idet predige af differeere i praki vil være ukedt. Vi ka derfor optille tettørrele 9

10 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 t 0 d d / I ekemplet får vi t0 = 3,4. Tettørrele fordelig Vi kal tete, om laboratoriere er e, dv. om middelværdie af differeere ka atage at være 0. I forhold til bekrivele af tet r. varer 0 derfor til target middelværdie. Som for tet r. følger dee tettørrele e (Studet) t-fordelig. Atallet af frihedgrader er ogå her -, idet vi har differeer. I ekemplet er der 4 differeer, dv. atal frihedgrader er 3. Kritike værdier er (om i ekemplet for tet r. ) hhv. 3,8 (97,5%- fraktile, igifikaiveau på 5%) og 5,84 (99,5%-fraktile, igifikaiveau på %). Kokluio Vi har i ekemplet fudet e tettørrele på 3,4. Dette ligger over 3,8, hvorfor vi må forkate atagele om, at laboratoriere er e (på 5%- iveau). Derimod ligger tettørrele 3,4 uder 5,84. På %-igifikaiveau vil vi altå acceptere atagele om, at laboratoriere er e. Eidet tet Hvi vi f.ek. på forhåd ved (af faglige grude), at laboratorium altid vil give reultater tørre ed reultatere for laboratorium, avede et eidet tet: Kritike værdier få (om i ekemplet for tet r. ) til hhv.,353 (5%-iveau, 95%-fraktile) og 4,54 (%-iveau, 99%-fraktile). Kokluioe bliver her de amme om for et toidet tet: På 5%-iveau forkater vi, me vi på %-iveau accepterer atagele om, at laboratoriere er e. 0

11 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 4 to middelværdier, amme varia Baggrud Situatioe er u følgede: Vi har to grupper af uafhægige og ormalfordelte obervatioer. Dere predig tæke ukedt, me fælle for begge grupper. Middelværdie i begge grupper er ukedt. Formålet er At etimere forkelle mellem middelværdie i de to grupper amt agive et kofideiterval for dee. At tete, om middelværdie i de to grupper ka atage idetike. Er ma i tvivl, om det er rimeligt at atage, at de to grupper har amme predig, ka ma evt. avede tetet i afit 7. Ekempel Vi har f.ek. 4 getage måliger foretaget på é prøve og 3 getage måliger foretaget på e ade prøve. Vi vil uderøge, om de to prøver ka atage at være idetike. x i i i Prøve 3,6 4,5 3,9 4,3 4, ,403 Prøve 4,6 5, 4,9 4, ,300 Her er aført geemit, atal måliger amt tadardafvigele for hver prøve. Bemærk: Atallet af obervatioer i de to grupper behøver ikke at være idetike! To måliger i amme koloe har itet med hiade at gøre! Måligere fra amme prøve ka bytte rudt frit, de tår i vilkårlig rækkefølge. Etimatio I dette afit kal vi etimere middelværdie for begge grupper hver for ig, differee mellem die amt de fælle predig. Middelværdie i gruppe () etimere ved x (geemittet for prøve r. ), tilvarede etimere middelværdie i gruppe () ved x (geemittet for prøve r. ).

12 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Differee - etimere ved x x = -0,85. De fælle predig etimere om e poolet ( geemitlig ) tadardafvigele for de to prøver ved hjælp af følgede formel: p ( ) ( ) Her er hhv. tadardafvigele og atal måliger i førte prøve, og tilvarede have heh. for prøve r.. I ekemplet få p = 0,365. Kofideiterval Et kofideiterval for forkelle mellem middelværdier, dv. differee -, ka berege ved hjælp af følgede formel: x x x x t /, t /, p p Her er kotate t /, de relevate fraktil i e t-fordelig med + frihedgrader, dv. i ekemplet er der 5 frihedgrader. Dee fraktil ka aflæe i tabel til,57 (for et 95%-kofideiterval) hhv. 4,03 (for et 99%-kofideiterval). I ekemplet får vi et 95%-kofideiterval [-,54; -0,] hhv. et 99%- kofideiterval [-,95; 0,30]. Beregig af tettørrele Vi kal u tete, om forkelle mellem middelværdier - ka atage at være 0. Ført berege e tettørrele t 0 p x x

13 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Her er x geemittet for prøve r., x er geemittet for prøve r., me p er fudet ovefor. I ekemplet få t0 = -,959. Tettørrele fordelig Ige følger tettørrele e t-fordelig. Atallet af frihedgrader er +, dv. i ekemplet er der 5 frihedgrader. Kritike værdier er hhv.,57 (igifikaiveau 5%) og 4,03 (igifikaiveau %). Kokluio Vi har i ekemplet fudet e tettørrele på,959. Dette ligger ude for itervallet fra -,57 til,57, hvorfor vi forkater atagele om, at middelværdiere er idetike (på 5%-iveau). Derimod ligger tettørrele,959 ide for itervallet 4,03 til 4,03, hvorfor vi på %-iveau må acceptere atagele om, at middelværdiere er idetike. Eidet tet Hvi vi på forhåd ved (af faglige grude), at prøve r. altid vil give tørre måleværdier ed prøve r., avede et eidet tet: Kritike værdier få til hhv.,05 (5% iveau) og 3,365 (%-iveau). Kokluioe bliver her de amme om for et toidet tet. 5 to middelværdier, forkellig varia Baggrud Her er ituatioe om i afit 4, me vi ka (eller vil) ikke atage, at variae (predige) i de to grupper er idetike. Formålet er At etimere middelværdie for forkelle mellem grupper amt agive et kofideiterval for dee. At tete, om middelværdie i de to grupper ka atage idetike. 3

14 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 I mage ituatioer vil predige afhæge af middelværdie ( iveauet ). Hvi ma på forhåd ikke ved, om middelværdiere er e, ka ma ikke automatik atage, at predigere er e. Det ka ogå være, at ma ført har uderøgt, om predigere er e (vha. tetet i afit 7), me dette er blevet forkatet. Ekempel Samme ekempel om i afit 4. Blot vil vi ikke atage, at de to prøver har amme predig. Etimatio x i i i Prøve 3,6 4,5 3,9 4,3 4, ,403 Prøve 4,6 5, 4,9 4, ,300 I dette afit kal vi etimere middelværdie og predig for begge grupper hver for ig, amt edvidere differee mellem middelværdiere. Middelværdie i gruppe () etimere ved x (geemittet for prøve r. ), tilvarede etimere middelværdie i gruppe () ved x (geemittet for prøve r. ). Differee - etimere ved x x = -0,85. Spredige i gruppe () etimere ved tadardafvigele =0,403, predige i gruppe () etimere ved tadardafvigele =0,300. Kofideiterval Et kofideiterval for forkelle mellem middelværdier, dv. differee -, ka berege ved hjælp af følgede formel: x x x x t /, t /, 4

15 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Her er kotate frihedgrader. t de relevate fraktil i e t-fordelig med /, Atallet af frihedgrader er mere kompliceret ed før: ( / ( / ) / ) ( / ) Her får vi i ekemplet = 4,987. Dette afrude til = 5, hvilket er amme atal frihedgrader om i afit 4. Derfor bliver t-fraktilere de amme om i afit 4, dv.,57 (for et 95%-kofideiterval) hhv. 4,03 (for et 99%- kofideiterval). I ekemplet får vi et 95%-kofideiterval [-,5; -0,4] hhv. et 99%- kofideiterval [-,90; 0,5]. Beregig af tettørrele Nu kal vi ikke berege e fælle tadardafvigele, me bereger direkte følgede tettørrele: t 0 x x I tettørrele idgår altå udelukkede geemit, tadardafvigele og atal måliger for hver prøve. I ekemplet får vi t0 = -3,0. Tettørrele fordelig Her følger tettørrele med tilærmele e t-fordelig. Atallet af frihedgrader () er betemt ovefor til 5. Kritike værdier er hhv.,57 (igifikaiveau på 5%) og 4,03 (igifikaiveau på %). Kokluio Vi har i ekemplet fudet e tettørrele på -3,0. Dette ligger ude for itervallet fra -,57 til,57, hvorfor vi forkater atagele om, at middelværdiere er idetike (på 5%-iveau). 5

16 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Derimod ligger tettørrele -3,0 ide for itervallet 4,03 til 4,03, hvorfor vi på %-iveau må acceptere atagele om, at middelværdiere er idetike. Eidet tet Hvi vi på forhåd ved (af faglige grude), at prøve r. altid vil give tørre måleværdier ed prøve r., avede et eidet tet: Kritike værdier få til hhv.,05 (5%-iveau) og 3,365 (%-iveau). Kokluioe bliver her de amme om for et toidet tet. 6 é varia (predig) Baggrud Vi har e gruppe af uafhægige og ormalfordelte obervatioer x til x. Dere predig tæke ukedt, det gælder dermed ogå variae. Ligelede er middelværdie ukedt. Formålet er At etimere variae (eller predige ) amt agive et kofideiterval for dee. At tete, om variae ka atage at være lig med e på forhåd give værdi 0 (eller om 0). Dette tet ka f.ek. avede forud for tet r., hvi ma ikke er ikker på, om de kedte værdi af predige tadig ka avede. Ekempel Vi aveder amme data om for tet r. og. x x x 3 x 4 x 0 4,6 8,5 4,9 5,3 4 5,85,806,5 4,35 I dette ekempel er der 4 obervatioer, dv. =4. 6

17 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio Vi kal ført etimere både predige (tadardafvigele) og middelværdie (geemittet). Middelværdie () etimere ved geemittet x = 5,85. Spredige etimere u ved tadardafvigele =,806. Kofideiterval Ført kofideiterval for variae: I dette tilfælde er kofideitervallet pecificeret direkte ved i edre hhv. øvre græe (dv. det er ikke et ymmetrik iterval omkrig variae). Vi får u brug for e åkaldt -fordelig (Chi-i-ade, chi-quare ). Ligeom t-fordelige er dette e familie af fordeliger, hver med it atal frihedgrader. Her er atal frihedgrader (-). I ekemplet er =4, dv. atal frihedgrader er 3. Kofideitervallet for variae er: ( ) ( ) /, /, For et 95% kofideiterval er ævere i brøke hhv. 97,5%-fraktile (edre græe) og,5%-fraktile (øvre græe) i e -fordelig med 3 frihedgrader. Die ka aflæe i tabel til hhv. 0, og 9,35. Kofideitervallet få da til [,05; 45,36]. For et 99%-kofideiterval er ævere i brøke hhv. 99,5%-fraktile (edre græe) og 0,5%-fraktile (øvre græe) i e -fordelig med 3 frihedgrader. Die ka aflæe i tabel til hhv. 0,07 og,84. Kofideitervallet få da til [0,76; 36,46]. Kofideiterval for predige få impelthe ved at tage kvadratrode af græere i kofideiterval for variae. Dermed får vi følgede kofideitervaller for predige: 95% kofideiterval: [,0; 6,73]. 99% kofideiterval: [0,87;,68]. 7

18 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Beregig af tettørrele Vi atager fra mage tidligere aalyer, at predige (tadardafvigele) er kotat =,5 (dv. om =,5). Vore formål er at tete, om dee atagele tadig holder. Det vil være ærliggede at avede forholdet / om tettørrele. Her vil værdier lagt fra være kritike. Af tekike årager vil ma gage dee tettørrele med (-), hvor = atal obervatioer. Dv. ma aveder tettørrele 0 ( ) 0 Her vil værdier lagt fra (-) være kritike. I ekemplet får vi 0=4,35. Tettørrele fordelig Tettørrele følger -fordelig med - = 3 frihedgrader. Både må og tore værdier af 0 er kritike. På 5%-igifikaiveau ka de kritike værdier aflæe til 0, (,5%-fraktile) og 9,35 (97,5%-fraktile). På %-igifikaiveau få tilvarede de kritike værdier 0,07 (0,5%-fraktile) og,84 (99,5%-fraktile). Kokluio I ekemplet ligger tettørrele 0 = 4,35 mellem de kritike værdier på 5%-igifikaiveau 0, og 9,35. Dette betyder, at vi vil acceptere atagele om, at predige er,5 på 5%-iveau (og dermed ogå på %- iveau). Eidet tet Hvi ma på forhåd ved, at tadardafvigele ikke ka være midre (hhv. tørre) ed de give værdi, ka ma avede et eidet tet. Her bliver de kritike værdi på 5%-igifikaiveau 95%-fraktile (hhv. 5%-fraktile). På %-igifikaiveau kal ma avede 99%-fraktile (hhv. %-fraktile). I ekemplet er de beregede tadardafvigele =,806 tørre ed de på forhåd give værdi 0=,5. Hvi dette er oget, ma vidte på forhåd, ka 8

19 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 ma avede et eidet tet, hvor ma kal ammelige tettørrele 0 =4,35 med 95%-fraktile i e -fordelig med 3 frihedgrader. Dee ka aflæe i tabel til 7,8. I dette tilfælde vil vi derfor acceptere atagele om, at predige er lig med de give værdi,5. 7 to variaer (prediger) Vi har to grupper af uafhægige og ormalfordelte obervatioer. Formålet er At etimere forholdet mellem variae i de to grupper amt agive et kofideiterval for dette. At tete, om variae i de to grupper ka atage idetike. Dette tet ka ma f.ek. avede forud for tet r. 4 hvi ma ikke er ikker på, om de to grupper har amme varia. Ekempel Vi aveder amme data om i afit 4. Vi vil uderøge, om variae (predige) i de to prøver ka atage at være idetike. x i i i Prøve 3,6 4,5 3,9 4,3 4, ,403 Prøve 4,6 5, 4,9 4, ,300 Her er aført geemit, atal måliger amt tadardafvigele for hver prøve. Etimatio I dette afit kal vi etimere middelværdie og predig for begge grupper hver for ig, amt edvidere forholdet mellem variaere. Middelværdie i gruppe () etimere ved x (geemittet for prøve r. ), tilvarede etimere middelværdie i gruppe () ved x (geemittet for prøve r. ). Spredige i gruppe () etimere ved tadardafvigele =0,403, predige i gruppe () etimere ved tadardafvigele =0,300. Dv. at forholdet mellem variaere etimere ved 9

20 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Dee tørrele berege til,806. Kofideiterval Vi får u brug for e F-fordelig. Dette er e familie af fordeliger, om har to atal frihedgrader, et for tællere og et for ævere. Dv. vi kal avede e F-fordelig med (3,) frihedgrader, idet atal frihedgrader for tællere er 3 (vi har 4 obervatioer), me atal frihedgrader for ævere er (vi har 3 obervatioer). Kofideitervallet for bliver F /,, F /,, For et 95%-kofideiterval aveder vi 97,5%-fraktile i e F-fordelig med (3,) frihedgrader. Dee ka aflæe i tabel til 39,. Edvidere har vi brug for,5%-fraktile i e F-fordelig med (3,) frihedgrader. Dee ka få om det reciprokke af 97,5%-fraktile i e F- fordelig med (,3) frihedgrader (NB: Byt om på frihedgradere!). Ma får derved,5%-fraktile til /6,0=0,065. Kofideitervallet få da til [0,; 70,8]. For et 99%-kofideiterval aveder vi 99,5%-fraktile i e F-fordelig med (3,) frihedgrader. Dee ka aflæe i tabel til 99. Edvidere har vi brug for 0,5%-fraktile i e F-fordelig med (3,) frihedgrader. Dee ka få om det reciprokke af 99,5%-fraktile i e F- fordelig med (,3) frihedgrader (NB: Byt om på frihedgradere!). Ma får derved,5%-fraktile til /49,8=0,00. Kofideitervallet få da til [0,036;359]. Beregig af tettørrele Det vil være ærliggede at avede forholdet mellem de to beregede variaer om tettørrele. Dv. vi aveder tettørrele 0

21 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 F 0 / Værdier lagt fra er kritike. Ma kue lige å godt avede tettørrele /F0 = /. Af tekike årager vil ma ørge for altid at avede de tørte af die to tørreler. I ekemplet får vi F0 =,805. Dermed er /F0 = 0,554. I dette tilfælde avede F0. Tettørrele fordelig Tettørrele følger e F-fordelig. Dette er e familie af fordeliger, om har to atal frihedgrader, et for tællere og et for ævere. I ekemplet aveder vi F0 = /. Dv. vi kal avede e F-fordelig med (3,) frihedgrader, idet atal frihedgrader for tællere er 3 (vi har 4 obervatioer), me atal frihedgrader for ævere er (vi har 3 obervatioer). Da vi har valgt de tørte af de to mulige tettørreler F0 og /F0, er det ku tore værdier, om er kritike. Me der er tadig tale om et toidet tet. Derfor kal vi ku ammelige tettørrele med 97,5%-fraktile i F- fordelige (5%-igifikaiveau) = 39,7 hhv. 99,5%-fraktile (%- igifikaiveau) = 99,6. Kokluio I ekemplet er tettørrele F0 =,805 midre ed 39,7 (97,5%-fraktile), vil vi acceptere atagele om, at de to variaer (prediger) er idetike. Eidet tet Atag f.ek., at vi på forhåd vidte, at variae (predige) i gruppe ville være tørre ed i gruppe. I å fald kal vi i tedet ammelige med 95%-fraktile (tet på 5%-igifikaiveau) hhv. 99%-fraktile (%-iveau). I tabel over F-fordelige med (3,) frihedgrader aflæe 95%-fraktile til 9,6, me 99%-fraktile aflæe til 99,6. Kokluioe bliver tadig, at vi accepterer atagele om, at de to variaer (prediger) er idetike.

22 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Referecer ISO 854: Statitical Iterpretatio of data Techique of etimatio ad tet relatig to mea ad variace. (Omhadler alle tet, r. r. 7). ISO 330: Statitical Iterpretatio of data Compario of two mea i the cae of paired obervatio. (Omhadler pecielt tet r. 3 mere detaljeret).