STATISTISKE GRUNDBEGREBER

Transkript

1 MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013

2 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske grudbegreber til brug ved e idledede udervisig i statistik De væsetligste defiitioer og sætiger forklares derfor fortrisvist ved hjælp af figurer og geemregede praktiske eksempler Øskes e mere matematisk uddybede forklarig, bevis for sætiger osv ka dette ofte fides i et særskilt tillæg til boge, som fides på ettet uder title Supplemet til statistiske grudbegreber Læsig: Boge er bygget således op, at der hurtigt ås frem til ormalfordelige og de vigtige ormalfordeligstest Disse vigtige begreber ka derfor blive grudigt idarbejdet, selv om der ku er kort tid til rådighed Er det af tidsmæssige grude svært at å hele otatet ka ma ude skade for helhede oversprige kapitlere 10 og 11, ligesom ma evetuelt ka tage kapitlere 1 og 9 mere oversigtsagtigt Sidst i hver kapitel fides e række opgaver, der yderligere ka fremme forståelse Bagerst i boge fides e facitliste til alle opgavere I et lægere kursusforløb er dee bog tækt at skulle efterfølges af M Oddershede Larse: Videregåede Statistik, som ka hetes gratis på adresse wwwlarse-etdk Regemidler Det er hesigtsmæssigt, at ma har adgag til e lommereger eller e PC med de sædvalige fordeliger idbygget I eksemplere agives således, hvorledes beregigere ka foretages med de i øjeblikket mest populære lommereger TI-89, det tilsvarede PC-program TI-Nspire samt med det meget udbredte regeark Excel I 8- udgave fides tabeller over de sædvalige statistiske fuktioer, samt forklaret hvorda tabellere avedes Dee udgave, samt 8 udgave ka samme med e række adre oter fides på adresse: wwwlarse-etdk E særlig tak til lektor Bjare Hellese, som dels har skrevet afsit 11, dels er kommet med mage værdifulde kommetarer og bidrag til forbedriger 1 december 013 Moges Oddershede Larse

3 INDHOLD 1 INTRODUKTION TIL STATISTIK 1 DESKRIPTIV STATISTIK 1 Kvalitative data Kvatitative data 5 3 Karakteristiske tal 9 Opgaver 14 3 STOKASTISK VARIABEL 31 Sadsylighed 17 3 Stokastisk variabel Tæthedsfuktio for kotiuert stokastisk variabel Liearkombiatio af stokastiske variable 3 4 USIKKERHEDSBEREGNING 41 Statistisk usikkerhed 5 4 Maksimal usikkerhed 9 Opgaver 30 5 NORMALFORDELINGEN 51 Idledig 33 5 Defiitio og sætiger om ormalfordelig Beregig af sadsyligheder 37 Opgaver 41 6 KONFIDENSINTERVAL FOR NORMALFORDELT VARIABEL 61 Udtagig af stikprøver 43 6 Fordelig og spredig af geemsit Kofidesiterval for middelværdi Defiitio af kofidesiterval Populatioes spredig kedt eksakt Populatioes spredig ikke kedt eksakt Kofidesiterval for spredig 5 65 Oversigt over cetrale formler i kapitel 5 53 Opgaver 56 7 HYPOTESETESTNING (1 NORMALFORDELT VARIABEL) 71 Grudlæggede begreber 58 7 Hypotesetest med ukedt middelværdi og spredig 6 73 Fejl af type I og typr II Oversigt over cetrale formler i kapitel 6 68 Opgaver 71 8 HYPOTESETESTNING ( NORMALFORDELTE VARIABLE) 81 Idledig 74 8 Sammeligig af ormalfordelte variable Oversigt over cetrale formler i kapitel 7 80 Opgaver 81 iii

4 9 REGNEREGLER FOR SANDSYNLIGHED, KOMBINATORIK 91 Regeregler for sadsylighed 84 9 Betiget sadsylighed Kombiatorik Idledig Multiplikatiospricippet Ordet stikprøveudtagelse Uordet stikprøveudtagelse 90 Opgaver VIGTIGE DISKRETE FORDELINGER 91 Idledig 94 9 Hypergeometrisk fordelig Biomialfordelig Poissofordelig Approksimatioer De geeraliserede hypergeometriske fordelig Polyomialfordelig Oversigt over cetrale formler i kapitel Opgaver ANDRE KONTINUERTE FORDELINGER 101 Idledig De rektagulære fordelig Ekspoetialfordelige Weibullfordelige De logaritmiske fordelig De todimesioale ormalfordelig 1 Opgaver 1 11 FLERDIMENSIONAL STATISTISK VARIABEL 111 Esses Idledig Kovarias og korrelatioskoefficiet Liearkombiatio 130 Opgaver 13 STATISTISKE BEREGNINGER UDFØRT PÅ TI-Nspire, TI89 og Excel TI-Nspire 134 TI Excel 138 APPENDIX OVERSIGT OVER APPROKSIMATIONER 141 FACITLISTE 14 STIKORD 145 iv

5 1 Itroduktio til statistik 1 INTRODUKTION TIL STATISTIK Ved æste alle igeiørmæssige problemer vil de idsamlede data udvise variatio Måler ma således getage gage idholdet (i %) af et bestemt stof i et levedsmiddel, vil det procetvise idhold ikke blive præcis samme tal for hver gag ma foretager e målig Dette kue aturligvis være e usikkerhed ved målemetode, me det vil sjældet være de væsetligste årsag Ved mage idustrielle processer vil e række ukotrollable forhold idvirke på det edelige resultat Eksempelvis vil udbyttet af e kemisk proces variere fra dag til dag, fordi ma ikke har fuldstædig kotrol over forsøgsbetigelser som temperatur, omrørigstid, tidspukt for tilsætig af råmaterialer, fugtighed osv Edvidere er forsøgsmaterialere muligvis ikke homogee ok Råmaterialere ka feks være af varierede kvalitet, der må bruges forskelligt apparatur uder produktiosprocesse, forskelligt persoale deltager i arbejdet osv Statistik drejer sig om at samle, præsetere og aalysere data med heblik på at foretage beslutiger og løse problemer I de deskriptive statistik beskrives data ved tabeller, grafisk (lagkagediagrammer, søjlediagrammer) og ved beregig af karakteristiske tal såsom geemsit og spredig Ma ka eksempelvis i Damarks Statistik (fides på ettet uder adresse wwwstatistikbakedk ) fide, hvor mage persobiler der er i Damark i 009 opdelt efter alder Ma keder her populatioe (biler i Damark), ka grafisk vise deres fordelig i et søjlediagram og berege deres geemsitlige alder I de mere aalyserede statistik (kaldet iferetiel statistik) søger ma ved mere avacerede statistiske metoder ud fra e repræsetativ stikprøve at kokludere oget om hele populatioe Eksempelvis udtages ved e meigsmålig e forhåbetlig repræsetativ stikprøve på 1000 vælgere, som ma spørger om hvilket politisk parti de ville stemme på, hvis der var valg i morge Ma vil så ud fra stikprøve kokludere, at hvis ma spurgte hele populatioe (alle vælgere i Damark), så ville ma med e vis usikkerhed få samme resultat Viser stikprøve, at partiet Vestre vil gå 5% tilbage, så vil det samme ske, hvis der var valg i morge Et sådat tal er aturligvis usikkert Ma må derfor avede passede statistiske metoder til eksempelvis at berege, at usikkerhede er på % 1

6 Deskriptiv statistik DESKRIPTIV STATISTIK I de deskriptive statistik (eller beskrivede statistik) beskrives de idsamlede data i form af tabeller, søjlediagrammer, lagkagediagrammer, kurver samt ved udregig af cetrale tal som geemsit, typetal, spredig osv Kurver og diagrammer forstås lettere og mere umiddelbart ed koloer af tal i e tabel Øjet er uovertruffet til møstergekedelse ( e tegig siger mere ed 1000 ord ) 1 KVALITATIVE DATA Hvis der er e aturlig opdelig af talmaterialet i klasser eller kategorier siges, at ma har kategorisk eller kvalitative data Alle spørgeskemaudersøgelser, hvor ma eksempelvis bliver bedt om at sætte kryds i ogle rubrikker meget god, god, acceptabel osv er af dee type De følgede eksempler viser avedelse af heholdsvis lagkagediagram og søjlediagram Eksempel 1 Lagkagediagram Nedefor er agivet hvorda e kommues udgifter fordeler sig på de forskellige områder Udligig 3,1 øvrige 8,4 Socialområdet,øvrige 9,4 Ældre 18,6 Børepasig 10,4 Bibliotek 1,9 fritid 3,8 Skoler 10,5 Admiistratio 7,3 Tekik,alæg 6,6 Da et lagkagediagram til askueliggørelse heraf Løsig: TI-Nspire:Vælg tilføj lister og regeark skriv listes av eme i avecalle og skriv data opret tilsvarede de ade liste Vælg diagrammer og statistik midt på de vadrette akse på figur vælg eme diagramtyper cirkeldiagram

7 1 Kvalitative data Excel Data idsættes 007: Marker udskriftsområde Vælg på værktøjsliie Idsæt Cirkel Marker øsket figur og Øskes tekst placeret som på figur 010 Cursor på figur Formater dataetiketter Vælg kategoriav og udefor Admiistr Tekik Udgifter udligig Skoler Fritid kultur Æ Øvrige socialområdetøvrige Børepasig Ældre Eksempel (kvalitative data) Følgede tabel agiver madattallet ved to folketigsvalg Partier A B C F I O V Ø Madater A = Socialdemokratere, B =Radikale vestre, C = Koservative folkeparti, F =Socialistisk folkeparti, I =Liberal alliace, O = Dask Folkeparti, V = Vestre, Ø = Ehedsliste Askueliggør disse madattal ved at tege et søjlediagram Løsig: Ti-Nspire : Lister og regeark lav listere som vist edefor diagrammer og statistik På x-liste vælg Parti på y-liste vælg tilføj y-værdiliste madat 07 ige tilføj y-værdiliste madat 11 3

8 Deskriptiv statistik Excel: Ma skriver A B C F K O V Ø : Som i eksempel 1 blot vælges Søjle Serie1 Serie A B C F K O V Ø Fordele ved e grafisk fremstillig er, at de væsetligste egeskaber ved data opås hurtigt og sikkert Me etop det, at figurer appellerer umiddelbart til os, gør at vi ka komme til at lægge mere i dem, ed det som tallee egetlig ka bære Eksempelvis viser forsøg, at i lagkagediagrammer, hvor ma skal sammelige vikler (eller arealer), da vil dee sammeligig afhæge oget af i hvilke retig vikles be peger Nedeståede eksempel viser hvorda e figur ka være misvisede ude direkte at være forkert Eksempel 3 Misvisede figur Tødere i figure edefor skal illustrere hvorda osteeksporte fordeler sig på de forskellige verdesdele De giver imidlertid et helt forkert idtryk Det er højdere på tødere der agiver de korrekte forhold, me af tegige vil ma tro, at det er rumfagee af tødere De 3 små tøder ka umiddelbart være flere gage idei de store tøde, me det svarer jo ikke til talforholdee De mest almidelige figurer til at give et visuelt overblik over større talmaterialer er histogrammer (søjlediagrammer) og kurver i et koordiatsystem 4

9 Kvatitative data KVANTITATIVE DATA (VARIABLE) Kvatitative data er data, hvor registrerige i sig selv er tal, der agiver e bestemt rækkefølge, f eks som i eksempel 4 hvor data registreres efter det tidspukt hvor registrerige foregår eller som i eksempel 5, hvor det er størrelse af registrerede værdi der er af iteresse Eksempel 4 Kvatitativ variabel: tid Fra statistikbake (adresse er hetet følgede data id i Excel, der beskriver hvorledes idvadriger og udvadriger er sket geem tide Excel: Vælg Befolkig og valg Flytig til og fra udladet Id- og udvadrig på måeder uder bevægelse vælges flere valgmuligheder, marker alle uder måed vælges flere valgmuligheder år og derefter alle Tryk på tabel Drej tabel med uret Gem som Excel fil Idvadriger og udvadriger efter tid og bevægelse Idvadrede Udvadrede Giv e grafisk beskrivelse af disse data Løsig TI-Nspire Vælg e koloe ved at klikke på koloebogstavet øverst i koloe Tryk på CTrl C for at kopiere cellere Klik i Lister og regeark på de celle, hvor dataee skal sættes id giv koloer ave år, idvadrede og udvadrede og slet evetuelle overskrifter i selve koloere Da dataee er registreret efter tid (år) (de kvatitative variabel tid ) teges to kurver i samme koordiatsystem: Vælg statistik og datatyper På x-liste vælg år på y-liste vælg tilføj y-værdiliste idvadrede ige tilføj y-værdiliste udvadrede tryk på et pukt på tegige og vælg Forbid datapukter 5

10 Deskriptiv statistik Excel:Marker udskriftsområde Vælg på værktøjsliie Idsæt Streg Marker øsket figur 6

11 Kvatitative data Eksempel 5 Kvatitativ variabel, størrelse af britiokocetratioe ph I meeskers led udskiller de iderste hide e "ledvæske" som "smører" leddet For visse ledsygdomme ka britiokocetratioe (ph) i dee væske tækes at have betydig Som led i e ordisk medicisk udersøgelse af e bestemt ledsygdom udtog ma bladt samtlige patieter der led af dee sygdom e repræsetativ stikprøve ved simpel udvælgelse 75 patieter og målte ph i ledvæske i kæet Resultatere (som ka fides som excel-fil på adresse wwwlarse-etdk ) var følgede: Giv e grafisk beskrivelse af disse data Løsig: I dette tilfælde, hvor vi er iteresseret i at få et overblik over tallees idbyrdes størrelse er det fordelagtigt at tege et histogram Et histogram liger et søjlediagram, me her gælder, at atallet af eheder i hver søjle repræseteres ved søjles areal (histo er græsk for areal) Ma bør så vidt muligt sørge for at gruppere er lige brede, da atallet af eheder så svarer til højde af søjle Excel ka umiddelbart tege er histogram, me af hesy til det følgede forklares hvorda ma bestemmer itervalopdelig mm Først fides det største tal x max og det midste tal x mi i materialet og derefter berege variatiosbredde x max - x mi Vi ser, at største tal er 771 og midste tal er 695 og variatiosbredde derfor = 076 Deræst deles tallee op i et passede atal itervaller (klasser) Som det første bud vælges ofte et atal ær Da vælges ca 9 klasser Da 008 deler vi op i de klas- 9 ser, der ses af tabelle Dette giver 10 itervaller Vi tæller op hvor mage tal der ligger i hvert iterval (gøres emmest ved at starte forfra og sæt e streg i det iterval som tallet tilhører) Klasser Atal ]694-70] // ]70-710] ///// 5 ] ] //////// 8 ]718-76] ///////////////// 17 ]76-734] ////////////////// 18 ]734-74] //////////////// 16 ]74-750] //// 4 ] ] /// 3 ] ] / 1 ] ] / 1 Allerede her ka ma se, at atallet er størst omkrig 730, og så falder hyppighede ogelude symmetrisk til begge sider 7

12 Deskriptiv statistik TI-Nspire:Vælg tilføj lister og regeark skriv listes av x i avecelle idtast data (evt ved at trykke på avet og ctrlc) Problem: hvis data hetes fra excel (kopiere som sædvalig) og Excel er dask skrives tal med decimalkomma, hvilket oversættes til tekst i TI-Nspire diagrammer og statistik diagramtyper histogram marker e søjle og vælg skala procet vælg søjleidstilliger lige store itervaller og vælg de øskede bredde og størst og midst værdi Excel: Data idtastes i eksempelvis søjle A1 til A75 ( data fides på adresse wwwlarse-etdk ) Vælg Data Dataaalyse Histogram I de fremkome tabel udfyldes iputområdet med A1:A75 og ma vælger diagramoutput 1) Trykkes på OK fås e tabel med hyppigheder, og e figur, hvor itervalgræsere er fastlagt af Excel ) Øsker ma selv at bestemme græsere, skal ma også udfylde itervalområdet Dette gøres ved at skrive de øvre græser i e søjle (feks i B1 694, i B 70 osv til B10: 766) og så skrive B1:B- 10 i iputområdet Da et histogram har søjlere samlet, foretages følgede: cursor på e søjle tryk højre musetast formater dataserie idstillig mellemrumsbredde = 0 ok I tilfælde 1 fremkommer så følgede udskrift og tegig (efter at have valgt udskrift med decimaler): Iterval Hyppighed 6,95 1 7,05 1 7,14 7 7,4 17 7,33 7, ,5 6 7,6 Mere Hyppighed 6,94 7,0 7,1 7,18 7,6 7,34 7,4 7,5 7,58 7,66 Mere Hyppighed 8

13 3 Karakteristiske tal I tilfælde følgede Iterval Hyppighed 6,94 0 7,0 7,1 5 7,18 8 7,6 17 7, ,4 16 7,5 4 7,58 3 7,66 1 Mere Hyppighed 6,95 7,045 7,14 7,35 7,33 7,45 7,5 7,615 Mere Hyppighed Histogrammet er et "klokkeformet histogram", hvor der er flest tal fra 719 til 74, og derefter falder atallet til begge sider Ma reger ormalt med, at resultatere af forsøg, hvor ma har foretaget måliger (hvis ma lavede ok af dem) har et sådat klokkeformet histogram og siger, at resultatere er ormalfordelt (beskrives ærmere i æste kapitel) 3 KARAKTERISTISKE TAL Skal ma sammelige to talmaterialer, eksempelvis sammelige de 75 ph-værdier i eksempel 14 med 00 dårlige kæ fra Tysklad, har det ige meig at sammelige hyppighedere Ma må i sådae tilfælde agive ogle tal, som gør det muligt at foretage e sammeligig Dette kue bladt adet ske ved at ma udregede de relative hyppigheder 31 Relativ hyppighed Ved de relative hyppighed forstås hyppighede divideret med det totale atal I eksempel 5 er de relative hyppighed for ph - værdier i itervallet ]718-76]: % 75 Ma kue sige, at sadsylighede er 57% for at ph ligger i dette iterval 9

14 Deskriptiv statistik 3 Middelværdi og spredig Middelværdi, geemsit Kedes hele populatioe (målt højde på alle daske mæd) ka bereges e korrekt midterværdi kaldet middelværdi (græsk my) Ud fra stikprøve vil e tilærmet værdi (kaldet et estimat) for være geemsittet x (kaldt x streg) x1 x x Kaldes observatioere i e stikprøve x 1, x,, x er x Eksempel 6: Geemsit Fid geemsittet af tallee 6, 17, 7, 13, 5, 3 6 Løsig: x TI-Nspire: Skriv mea ({6, 17, 7, 13, 5, 3}) TI 89: Catalog mea ({6, 17, 7, 13, 5, 3}) Excel: Tast tallee i e koloe eksempelvis A1 til A6 Vælg på værktøjsliie fx Middel( A1A6) Spredigsmål Egetlige målefejl, såsom at ogle af observatioere ikke bliver korrekt registreret, uklarheder i spørgeskemaet osv skal aturligvis fjeres Derudover er der de aturlige variatio som også kue kaldes re støj (pure error), som skyldes, at ma ikke ka forvete, at to persoer der på alle områder er stillet fuldstædigt es også vil svare es på et spørgsmål Tilsvarede hvis ma måler udbyttet ved e kemisk proces, så vil udfaldet af to forsøg ikke være es, da der altid er e række ukotrollable støjkilder (ureheder i råmaterialer, lidt forskel på persoer og apparatur osv) Dee aturlige variatio skal aturligvis iddrages i de statistiske behadlig af problemet, og dertil spiller et mål for, hvor meget tallee spreder sig aturligvis e væsetlig rolle Spredig (egelsk: stadard deviatio) Hvis spredige baserer sig på hele populatioe beæves de (sigma) Baserer spredige sig ku på e stikprøve beæves de s Ma siger, at s er et estimat (skø) for s bereges af formle s ( xi x ) i1 1 hvor observatioere i e stikprøve er x 1, x,, x Kvadratsumme ( x x) beæves kort SAK (Summe af Afvigelseres Kvadrater) eller i1 SS (Sum of Squares) i Ved variase for e stikprøve forstås s 10

15 Eksempel 7: Spredig Fid varias og spredig af tallee 6, 17, 7, 13, 5, 3 Løsig: I eksempel 6 fides geemsittet x 85 ( 685 ) ( 1785 ) ( 785 ) ( 1385 ) ( 585 ) ( 385 ) Variase s 61 Spredige s Karakteristiske tal 8 7 TI-Nspire: Beregiger Statistik Listematematik Stikprøvevarias {6, 17, 7, 13, 5, 3} Samme u blot vælge Stadardafvigelse for stikprøve TI 89: Catalog Variace ({6, 17, 7, 13, 5, 3}), Catalog stddev ({6, 17, 7, 13, 5, 3}) Excel: Tast tallee i e koloe eksempelvis A1 til A6, vælg fx Varias( A1A6) vælg fx STDDEV( A1A6) Askuelig forklarig på formle for s At formle for s skulle være særlig veleget til at agive, hvor meget resultatere spreder sig (hvor mege støj der er ) er ikke umiddelbart idlysede I det følgede gives e askuelig forklarig Lad os betragte forsøgsvariable X og Y, hvorpå der for hver er udført e stikprøve på 4 forsøg Resultatere var: X: 359, 333, 347, 341 med geemsittet x = 345, og Y: 343, 346, 347, 344 med geemsittet y = 345 De to forsøgsvariable har samme geemsit, me det er klart, at Y-resultatere grupperer sig meget tættere om geemsittet ed X-resultatere, dvs Y-stikprøve har midre spredig (der er midre støj på Y - forsøget) ed X-stikprøve For at få et mål for stikprøves spredig bereges resultateres afvigelser fra geemsittet xi x y i y = = = = = = = = -01 Summe af disse afvigelser er aturligvis altid 0 og ka derfor ikke bruges som et mål for stikprøves spredig I stedet betragtes summe af kvadratere på afvigelsere (forkortet SS: Sum of Squares eller SAK: Sum af afvigelseres Kvadrat) SAK ( x x) 14 ( 1 ) 0 ( 04 ) 360 x i1 i SAK ( y y) ( 0 ) 01 0 ( 01 ) 010 y i1 i Da et mål for variase ikke må være afhægig af atallet af forsøg, divideres med - 1 Umiddelbart ville det være mere rimeligt at dividere med Imidlertid ka det vises, at i middel bliver et skø for variase for lille, hvis ma dividerer med, mes de rammer præcist, hvis ma dividerer med - 1 Det ka forklares ved, at tallee x i har e tedes til at ligge tættere ved deres geemsit x ed ved middelværdie s 360 x og s y s 4 1 x s y Som vi forudså, er stikprøves spredig betydelig større for X-resultatere ed for Y-resultatere 11

16 Deskriptiv statistik Frihedsgrader Ma siger, at stikprøves varias er baseret på f = - 1 frihedsgrader Navet skyldes, at ku -1 af de led xi x ka vælges frit, idet summe af de led er ul Eks- empelvis ser vi af eksempel 7, at der er 5 frihedsgrader, da kedskab til de første 5 led på 6, 17, 7, 13, 5 er ok til at bestemme det sjette led, da summe er ul Vurderig af størrelse af stikprøves spredig Ma ka vise, at for tæthedsfuktioer med ku et maksimumspukt gælder, at mellem x s og x s ligger ca 89% af resultatere, og mellem x 3s og x 3s ligger ca 95% af resultatere For såkaldte ormalfordelte resultater, er de tilsvarede tal ca 95% og 997 % I eksempel 7 fadt vi således x s = 85-@ 5357=-1 og x s = =191 Det ses at alle tallee ligger idefor itervallet [-1;191] 33 Media og kvartilafstad Media Mediae bereges på følgede måde: 1) Observatioere ordes i rækkefølge efter størrelse a) Ved et ulige atal observatioer er mediae det midterste tal b) Ved et lige atal er mediae geemsittet af de to midterste tal Eksempel 8: Media Fid mediae af tallee 6, 17, 7, 13, 5, 3 Løsig: Ordet i rækkefølge: 3, 5, 6, 7 13, 17 Media 6,5 TI-Nspire: Beregiger skriv media ({ 6, 17, 7, 13, 5, }) TI 89: Catalog media ({ 6, 17, 7, 13, 5, }) Excel : Tast tallee i e koloe eksempelvis A1 til A6 Vælg fx Media( A1A6) Mediae kaldes også for 50% fraktile, fordi de brøkdel (fraktil) der ligger uder mediae er ca 50% Er media og geemsit ogelude lige store fordeler tallee sig ogelude symmetrisk omkrig middelværdie Er mediae midre ed geemsittet er der muligvis tale om e højreskæv fordelig som har de lage hale til højre(se figure) Er mediae større ed geemsittet, er der muligvis tale om e vestreskæv fordelig At ma eksempelvis i løstatistikker agives mediae og ikke geemsittet fremgår af følgede lille eksempel Lad os atage at e virksomhed har 10 asatte, med måedsløiger ordet efter størrelse på 0000, 1000, 000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, Geemsittet er her 31600, mes mediae er 4500 Mediae ædrer sig ikke selv om de højeste lø vokser fra til 1 millio, mes geemsittet aturligvis vokser Mediae giver derfor e mere rimelig beskrivelse af middelløe i firmaet 1

17 3 Karakteristiske tal Kvartilafstad Hvis fordelige ikke er rimelig symmetrisk, er mediae det bedste skø for e midterværdi, og kvartilafstade ka være et mål for spredige I de tidligere omtalte løstatistik 1 fides bla følgede tal, idet de to sidste koloer er vor bearbejdig af tallee Lø pr præsteret time r geemsit edre kvartil media øvre kvartil x k3 k1 x k1 m k3 m m 1 Ledelse på højt iveau Kotorarbejde x Af koloe ses, at for begge rækker er geemsittet større ed mediae dvs begge m fordeliger er højreskæv, me det gælder mest for række r 1 Her gælder åbebart, at ogle få forholdsvis høje løiger trækker geemsittet op Skal ma sammelige løspredige i de to tilfælde, må ma tage hesy til, at mediae er meget forskellig Ma vil derfor som der er sket i sidste koloe berege de relative kvartil-afstad De viser også, at løspredige er væsetlig midre for række ed for række 1 Eksempel 9 Kvartil Fid kvartiler og media af de 1 tal 7, 9, 11, 3, 16, 1, 15, 8,, 18,, 10 Løsig: TI-Nspire: Lister og regeark giv e liste et av og idsæt tal i liste vælg statistik statistiske beregiger statistik med 1 variabel udfyld meuer Eter TI89:APPS Stat/List Idtast tal i e liste F4 1-Var Stats Agiv listes av Eter Bladt mage tal fås 1 kvartil 75 og 3 kvartil 155 Excel : Data idtastes i eksempelvis søjle A1 til A1 Ligesom ma på TI 89 /TI-Nspire ka få mage karakteristiske tal på e gag har Excel e tilsvarede meu Data Dataaalyse Beskrivede statistik udfyld iputområde Resumestatistik 1 jævfør statistisk årbog 005 tabel 144 eller se wwwstatistikbakedk uder lø\løstatistik for de offetlige sektor \lø 3 13

18 Deskriptiv statistik OPGAVER Opgave 1 I wwwstatistikbakedk/luft4 er følgede oplysiger for året 003 hetet id i Excel Udslip til luft af drivhusgasser efter ehed, type, kilde og tid 003 Mia C0-ækvivaleter I alt Eergisektore 3 Idustri og produktio 8 Trasport 13 Affaldsbehadlig Ladbrug 10 Adet 9 a) Het selv disse data id i Excel, og opstil et lagkagediagram til belysig af tallee b) Fid de tilsvarede tal for 1996, og vælg e passede grafisk fremstillig til sammeligig af tallee fra 1996 og 003 c) Bereg i Excel for åree 1990 til 003 eergisektores udslip i forhold til det samlede udslip af drivhusgasser (i %), og teg dette grafisk Opgave Følgede tabel agiver for et udvalgt atal lade oplysig om middellevetid for befolkige og idbyggeratal Lad Middellevetid Idbyggertal i millioer Australie Caada Damark 77,5 55 Frakrig Marokko Pole Sri Laka USA ) Idskriv oveståede tabel i Excel, hvor ladee er opskrevet alfabetisk Beyt Excel til 1) at orde ladee efter middellevetid (lægst levetid først), og afbild dem grafisk ) teg i et koordiatsystem to kurver, som agiver såvel ladees størrelse som middellevetid Opgave 3 I fides ogle oplysiger om Damarks forbrug af eergi efter type og mægde 1) Het produktio af aturgas og råolie id målt i tos for de sidste år (i måeder) id i Excel ) Teg i Excel i samme koordiatsystem to kurver for heholdsvis produktioe af aturgas og råolie 14

19 Opgaver til kapitel Opgave 4 Færdselspolitiet overvejede, om der burde idføres e fartgræse på 70 km/h på e bestemt ladevejsstrækig, hvor der hidtil havde været e fartgræse på 80 km/h Som et led i aalyse af hesigtmæssighede af de overvejede ædrig observeredes ide for et bestemt tidsrum ved hjælp af radarkotrol de forbipasserede bilers fart Resultatet af måligere (som ka fides som excel-fil på adresse wwwlarse-etdk ) var: 50 observatioer ) Foretag e vurderig af, om fordelige er ogelude symmetrisk (ormalfordelt) ved a) at tege et histogram b) at berege karakteristiske værdier ) Agiv hvor stor e procet af bilistere, der approksimativt overstiger hastighedsgræse på 80 km/h (Vik: Vælg formler, statistisk, Tæl hvis) Opgave 5 Til fabrikatio af herreskjorter beyttes et råmateriale, som ideholder e vis procetdel uld For ærmere at udersøge uldprocete, måles dee i 64 tilfældigt udvalgte batch Resultatet (som ka fides som excel-fil på adresse wwwlarse-etdk ) var (i %): ) Foretag e vurderig af, om fordelige er ogelude symmetrisk (ormalfordelt) ved a) at tege et histogram b) at berege karakteristiske værdier Der er i datamaterialet e såkaldte outliers (e mulig fejlmålig) E såda ka ødelægge ehver aalyse Det er i dette tilfælde tilladeligt at fjere de, da vi går ud fra det er e fejlmålig ) Bereg stikprøves relative kvartilafstad

20 Deskriptiv statistik Opgave 6 De følgede tabel (som ka fides som excel-fil på adresse wwwlarse-etdk ) viser vægtee (i kg) af 80 kaier , ) Foretag e vurderig af, om fordelige er ogelude symmetrisk (ormalfordelt) ved a) at tege et histogram b) at berege karakteristiske værdier ) Agiv hvor stor e procet af kaiere, der approksimativt overstiger e vægt på 3 kg (Vik: (Vik: Vælg formler, statistisk, Tæl, Hvis) Opgave 7 I statistikbake fider ma uder puktet Uddaelse og kultur, Fuldførte kompetacegivede uddaelser ved bacheloruddaelsere e statistik over atal elever i Maskitekik og Desig og Iovatio i 008 fordelt efter alder fra 0 til 36 år for hele ladet 1) Idsæt data i Excel for de to uddaelser ) Lav et søjlediagram over aldersfordelige for de to uddaelser 3) Bereg på basis af oveævte tal de geemsitlige alder af de studerede for de to uddaelser i Opgave 8 I statistikbake fid uder Lø,fortjeeste for privatasatte efteruddaelse osv, Højere uddaelse, Tekisk, ledere i 008 Geemsit, media, øvre og edre kvartil for såvel mæd som kvider 1) Overfør data til Excel på ege harddisk ) Agiv om de to fordeliger er symmetrisk, højre eller vestreskæv 3) Er der forskel på løspredige for mæd og kvider (Vik: Bereg de relative kvartilafstad) 16

21 3 STOKASTISK VARIABEL 31 Sadsylighed 31 SANDSYNLIGHED Statistik bygger på sadsylighedsteorie, som giver metoder til at fide, hvor stor chace (sadsylighede) er for at et bestemt resultat af et eksperimet forekommer DEFINITION af tilfældigt eksperimet Et eksperimet som ka resultere i forskellige udfald, selv om eksperimetet getages på samme måde hver gag, kaldes et tilfældigt eksperimet (egelsk : radom experimet) Det er karakteristisk for tilfældige eksperimeter, at ma ka afgræse e mægde kaldet eksperimetets udfaldsrum U, der ideholder de mulige udfald Derimod ka ma ikke forudsige, hvilket udfald der vil idtræffe ved udførelse af eksperimetet Består eksperimetet eksempelvis i kast med e terig er udfaldsrummet U = {1,, 3, 4,5, 6}, me ma ka ikke forudsige udfaldet af æste kast (eksperimet) Selv om ma 4 gage i træk har fået udfaldet øjetal 1", ka ma ikke forudsige, hvilket udfald der idtræffer æste gag Resultatet af 5 kast afhæger ikke af resultatere af de foregåede 4 spil Ma siger, at eksperimetere er "statistisk uafhægige" (e præcis defiitio ses i kapitel 9) Som eksempler på tilfældige eksperimeter ka æves: a) Ét kast med e møt Udfaldsrum U = Plat, Kroe b) Fremstillig af et parti levedsmiddel og målig af det procetvise idhold af protei U = mægde af reelle tal fra 0 til 100 c) Udtage e stikprøve på 400 elektroiske kompoeter af e dagsproduktio og optællig af atallet af defekte kompoeter U = 0, 1,, 3, 4, 5,, 400 d) Udtagig af et tilfældigt TV-apparat fra e dagsproduktio af TV-apparater og optællig af atallet af loddefejl U = mægde af positive hele tal E hædelse er e delmægde af et eksperimets udfaldsrum Eksempelvis er A: At få et lige øjetal e hædelse ved kast med e terig Hædelse A siges at idtræffe, hvis et udfald fra A forekommer Sadsylighedsbegrebet tager udgagspukt i det i kapitel 1 omtalte begreb relativ hyppighed DEFINITION af relativ hyppighed for hædelse A Getages et eksperimet gage, og A forekommer hædelse A etop A gage af de gage, er A s relative hyppighed ha ( ) Lad eksempelvis eksperimetet være kast med e terig og hædelse A være at få et lige øjetal Kastes terige 100 gage og bliver resultatet et lige øjetal 45 af de 100 gage er h(a) =

22 3 Stokastisk variabel Det er e erfarig, at øges atallet af getagelser af eksperimetet, vil de relative hyppighed af hædelse A stabilisere sig Når går mod,vil de relative hyppighed erfarigsmæssigt ærme sig til e græseværdi ("de store tals lov") Ved sadsylighede for A som beæves P(A) forstås dee græseværdi (P = probability) Da defiitioe af sadsylighed bygger på relativ hyppighed, er det aturligt, at det for ethvert par af hædelser A og B i udfaldsrummet U skal gælde : 0 # P(A) # 1, P(U) =1 og P(ete A eller B) = P(A) + P(B) (skrives kort P(AcB)= P(A)+P(B)) forudsat A og B ige elemeter har fælles (er disjukte) (e mere geerel regel fides i kapitel 8) De 3 regler kaldes sadsylighedsregiges aksiomer I kapitel 8 udledes på dette grudlag e række regler for regig med sadsyligheder Eksempel 31 Regler Lad A = at få et ulige øjetal ved et kast med e terig B = at få e sekser ved et kast med e terig Fid sadsylighede for ete at få et ulige øjetal eller e sekser( evt begge dele) ved kast med e terig Løsig: 1 P(A) = P(B) = P( AB) P( A) P( B) 3 STOKASTISK VARIABEL Ethvert statistisk problem må det på e eller ade måde være muligt at behadle talmæssigt Betragtes et eksempel med kast med e møt, kue ma til udfaldet plat tilorde tallet 0 og til udfaldet kroe tilorde tallet 1 og på de måde få problemet overført til oget, hvor ma ka foretage beregiger Ma siger, ma har idført e stokastisk (eller statistisk) variabel X, som er 0, år udfaldet er plat, og 1 år udfaldet er kroe DEFINITION af stokastisk variabel (egelsk: radom variable) E stokastisk variabel (også kaldet statistisk variabel) er e fuktio, som tilorder et reelt tal til hvert udfald i udfaldsrummet for et tilfældigt eksperimet E stokastisk variabel beteges med et stort bogstav såsom X, mes det tilsvarede lille bogstav x beteger e mulig værdi af X Ved e diskret variabel (eller tællevariabel) forstås e variabel, hvis mulige værdier udgør e edelig eller tællelig mægde Er eksempelvis eksperimetet udtagig af e kasse med 100 møtrikker, ud af e løbede produktio af kasser, kue de stokastiske variabel X være defieret som atal defekte møtrikker i kasse X er e diskret variabel, da de ku ka atage heltallige værdier fra 0 til 100 Vi vil i seere afsit behadle diskrete variable 3 18

23 33 Tæthedsfuktio Ved e kotiuert stokastisk variabel forstås e stokastisk variabel, hvis mulige værdier er alle reelle tal i et vist iterval Et eksempel kue være eksperimetet avedelse af e y metode til fremstillig af et produkt Her kue de stokastiske variabel Y være det målte procetvise udbytte ved forsøget Y er e kotiuert variabel, da de ka atage alle værdier fra 0% til 100% 33 TÆTHEDSFUNKTION FOR KONTINUERT STATISTISK VARIABEL Eksempel 3 Kotiuert stokastisk variabel I meeskers led udskiller de iderste hide e "ledvæske" som "smører" leddet For visse ledsygdomme ka kocetratioe af britioer (ph) i dee væske tækes at have betydig Som led i e ordisk medicisk udersøgelse af e bestemt ledsygdom udtog ma bladt samtlige patieter der led af dee sygdom tilfældigt 75 patieter og målte ph i ledvæske i kæet Resultatere fides i eksempel 5 Populatio og stikprøve Samtlige idbyggere i Norde med dee sygdom udgør populatioe Da det er gaske uoverkommeligt at udersøge alle, udtages e stikprøve på 75 patieter Det er målet ved hjælp af statistiske metoder på basis af e stikprøve at sige oget geerelt om populatioe Histogram For at få et overblik over et større datamateriale, vil ma sædvaligvis starte med at tege et histogram Hvorledes dette gøres fremgår af eksempel 5 I skemaet ses resultatet af e opdelig i 10 klasser med e bredde på 008 Edvidere er der bereget e søjle ved at dividere de relative hyppighed med itervallægde Klasser Atal Relativ hyppighed 75 Skalerig ]694-70] ]70-710] ] ] ]718-76] ]76-734] ]734-74] ]74-750] ] ] ] ] ] ] Vi får det edefor tegede histogram Dette viser et "klokkeformet histogram", hvor der er flest tal fra 719 til 74, og derefter falder atallet til begge sider 19

24 3 Stokastisk variabel Histogram for ph ,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph Ma reger ormalt med, at resultatere af forsøg hvor ma har foretaget måliger (hvis ma lavede ok af dem) har et sådat klokkeformet histogram Hvis ma tæker sig atallet af forsøg stiger (for eksempel udersøger hele populatioe på måske 1 millio ordiske kæ), samtidig med at ma øger atallet af klasser tilsvarede (til for eksempel ), vil histogrammet blive mere og mere fitakket, og til sidst ærme sig til e kotiuert klokkeformet kurve (idteget på grafe) Hvis ma beytter de skalerede skala fra skemaet, som også er afsat på højre side af tegige, vil arealet af hver søjle være de relative hyppighed, og for de idealiserede kotiuerte kurve, vil arealet uder kurve i et bestemt iterval fra a til b være sadsylighede for at få e værdi mellem a og b Det samlede areal uder kurve er aturligvis 1 Ma siger, at de kotiuerte stokastiske variabel X (ph værdie) har e tæthedsfuktio f(x) hvis graf er de ovefor ævte kotiuerte kurve Da arealet uder e kotiuert kurve bereges ved et bestemt itegral, følger heraf følgede defiitio: DEFINITION af tæthedsfuktio f(x) for kotiuert variabel X Pa ( X b) f( xdx ) for ethvert iterval af reelle tal a b a; b f ( x ) dx 1, f ( x) 0 for alle x Bemærk, at for kotiuerte variable er Pa ( Xb) Pa ( Xb) Pa ( X b) Pa ( X b) Et eksempel på e tæthedsfuktio for e kotiuert variabel er de i æste kapitel beskreve ormalfordelig 0

25 33 Tæthedsfuktio Måleresultater vil sædvaligvis være værdier af ormalfordelte variable, så e rimelig hypotese for de i eksempel 3 agive kotiuerte stokastiske variabel X = ph er således, at de er ormalfordelt Dette bestyrkes af at grafe for sådae etop er klokkeformede Det er væsetlig at fide e cetral værdi i populatioe, samt agive et spredigsmål Disse agives i de følgede kapitler for de kokrete fuktioer, der behadles Geerelt gælder følgede defiitioer DEFINITION af middelværdi for kotiuert variabel Middelværdi for e kotiuert variabel X med tæthedsfuktio f ( x ) beæves eller E ( X ) og er defieret som E( X) x f ( x) dx DEFINITION af varias og spredig for kotiuert variabel Variase for e kotiuert variabel X med tæthedsfuktio f ( x ) beæves eller V( X ) og er defieret som V( X) ( x) f ( x) dx Spredige (egelsk: stadard deviatio) for e diskret variabel X med tæthedsfuktio f(x) beæves defieret som V( X) og er Eksempel 33 Kotiuert stokastisk variabel 3 x for 0 x 8 Lad der være givet følgede fuktio: f ( x) 0 ellers a) Vis, at f ( x) dx 1 I det følgede atages, at f ( x ) er tæthedsfuktio for e kotiuert stokastisk variabel X b) Skitser grafe for f c) Bereg middelværdi og spredig for X Løsig: x a) f ( x) dx x dx b) Grafe, som er e del af e parabel, ses på Fig 31 c) E X x f x dx 4 x 3 x dx x 3 ( ) ( ) Fig31 Tæthedsfuktio 5 x V( X) x f ( x) dx x x dx ( X ) Fordeligsfuktio I visse situatioer er det e fordel at betragte de kotiuerte variabels fordeligsfuktio F(x) DEFINITION af fordeligsfuktio F(x) for kotiuert variabel x Fordeligsfuktioe for e kotiuert variabel X er defieret ved F( x) P( X x) f ( x) dx 1

26 3 Stokastisk variabel DEFINITION af p-fraktil Lad p være et vilkårligt tal mellem 0 og 1 Ved p-fraktile eller 100 p % fraktile forstås det tal x p F( x ) P( X x ) p ( f ( x) dx ) p p 0 x p, for hvilket det gælder, at Særlig ofte beyttede fraktiler er 50% fraktile, som kaldes mediae (eller kvartil), 5 % fraktile, som kaldes edre kvartil (eller 1 kvartil) og 75% fraktile, som kaldes øvre kvartil (eller 3 kvartil) Eksempel 34 Fordeligsfuktio for kotiuert variabel For de i eksempel 33 agive kotiuerte variabel X med tæthedsfuktio f (x) øskes fudet: 1) Fordeligsfuktioe F (x) x ) Mediae Løsig: 0 dx = 0 for x < 0 x x x x x 1) F( x) f ( x) dx xdx 3 3 x 3 0 for x dx= for x > 3 x 3 ) Mediae er bestemt ved F( x) x 4 x 159 8

27 34 Liearkombiatio af stokastiske variable 34 LINEARKOMBINATION AF STOKASTISKE VARIABLE Vi betragter i dette afsit flere stokastiske variable Eksempel 35 vil blive beyttet som geemgåede eksempel Eksempel 35 To variable Isektpulver sælges i papkartoer Lad de stokastiske variable X 1 være vægte af pulveret, mes X er vægte af papkartoe I middel fyldes der 500 gram isektpulver i hver karto med e spredig på 5 gram Kartoe vejer i middel 10 gram med e spredig på 10 gram Y = X 1 + X er da bruttovægte 1) Fid middelværdie af Y ) Fid spredig af Y Mere geerelt haves: Lad X 1, X,, X være stokastiske variable Ved e liearkombiatio af disse forstås Y a0 a1 X1 a X a X, hvor a 0, a 1, a,, a er kostater Ma ka vise (se evetuelt kapitel 11) at der gælder følgede Liearitetsregel: EY ( ) a a E( X) a E( X ) a E( X ) I eksempel 35 syes det rimeligt at atage, at vægte af pulveret og vægte af papkartoe er uafhægige ( påfyldige ka tækes at ske maskielt, ude at de er afhægig på oge måde af hvilke vægt, kartoe tilfældigvis har) Ma ka vise (se evetuelt kapitel 11, for e mere udførlig behadlig af uafhægighed mm), at hvis X 1, X,, X er statistisk uafhægige, gælder Kvadratregel for statistisk uafhægige variable: V( Y) a V( X ) a V( X ) a V( X ) 1 1 Eksempel 35 (fortsat) To variable Spørgsmål 1: E(Y) = E(X 1 ) + E(X ) = = 510 gram Spørgsmål : V(Y) = V(X 1 ) + V(X ) = = 6 ( Y) 6 51 gram Esfordelte uafhægige variable Lad os atage, at vi uafhægigt af hiade og uder de samme betigelser udtager elemeter fra e populatio med middelværdi og spredig Lad X 1 være de stokastiske variabel, der er resultatet af første udtagig af et elemet i stikprøve, X være de stokastiske variabel, der er resultatet af ade udtagig, osv X 1, X,, X vil da være esfordelte uafhægige stokastiske variable, dvs have samme fordelig med middelværdi og spredig 3

28 3 Stokastisk variabel Eksempel 36 Esfordelte variable Bruttovægte af det i eksempel 34 ævte karto isektpulver havde middelvægte 510 g med e spredig på 51 g Vi udtager u tilfældigt og uafhægigt af hiade 10 pakker isektpulver a) Hvad bliver i middel de samlede vægt af de 10 kartoer b) Hvad bliver i middel spredige på de samlede vægt af de 10 kartoer Løsig: Lad X 1 være vægte af karto 1, X være vægte af karto osv X 10 være vægte af karto 10 Y= X 1 + X + + X 10 er da vægte af alle 10 kartoer a) E(Y) = E(X 1 )+E(X )+ +E(X 10 ) = = 5100 g b) V(Y) = V(X 1 )+V(X )+ +V(X 10 ) =10 (51) = 601 g ( Y ) Bemærk: E almidelig fejl er her, at ma tror, at Y=10 X og dermed V(Y)=10 V(X)=600 Vi har her at gøre med 10 esfordelte uafhægige variable, og ikke 10 vægte af 1 karto For esfordelte uafhægige stokastiske variable gælder: SÆTNING 31 (middelværdi og spredig for stikprøves geemsit ) X1 X X E( X) og ( X ), hvor X X X X Bevis: Af liearitetsregle fås E( X) E 1 1 ( ) ( ) ( ) E X 1 E X E X X X X Af kvadratregle fås V( X) V V( X ) V( X ) V( X ) 1 Eksempel 37 Spredig på geemsit (eksempel 35 fortsat) Hvis der udtages 5 kartoer isektpulver, hvad vil da være spredige på geemsittet af vægte af isektpulveret Løsig: Da spredige på 1 karto er 51 gram, vil spredige på geemsittet af 5 kartoer være 51 ( X ) 8 5 Opgave 31 Vægte af e (tilfældigt udvalgt) tablet af e vis type imod hovedpie har middelværdie 065g og spredige 004 g Bereg middelværdi og spredig af de sammelagte vægt af 100 (tilfældigt udvalgte) tabletter 4

29 4 USIKKERHEDSBEREGNING 41 Statistisk usikkerhed 41 Statistisk usikkerhed Måles trykket P, volumeet V og temperature T af e ideal gas, optræder der tilfældige målefejl, som gør værdiere usikre Bereges molatallet u af ligige P V R T, bliver værdie af derfor også usikker Vi øsker at kue berege usikkerhede på ud fra usikkerhedere på P, V og T DEFINITION af (statistisk) usikkerhed og relativ (statistisk) usikkerhed Statistisk usikkerhed ( X 1 ), ( X ),, ( X k ) er spredigere hidrørede fra tilfældige målefejl ( X1) X X k Relative usikkerheder: rel( X ) rel X rel X k E( X ), ( ) ( ) E( X ),, ( ) ( ) 1 E( X ) 1 For at forklare e formel for beregig af usikkerhed i sammesatte udtryk, vil vi først se på et simpelt tilfælde hvor e statistisk variabel Y = a@x+b, hvor X er e statistisk variabel med spredige ( X ), og a og b er kostater Af liearitetssætige følger, at V(Y) = eller ( Y) a ( X) (umerisk, da spredige jo skal være positiv) dy dy Da a jo er liies hældigskoefficiet, så gælder V(Y) eller dx dx dy ( Y ) ( X ) dx 60 X Hvis der u er tale om e mere kompliceret sammehæg som eksempelvis Y X, så X er idee de, at ma for de værdi x 0 hvor ma vil fide spredige erstatter kurve med si taget i puktet (x 0,y 0 ) Da tagete jo ligger tæt ved kurve år vi ser på x-værdier tæt ved x 0, så vil fejle herved være lille dy Da tagetes hældig er differetialkvotiete i x 0, så gælder V(Y) dx Eksempel 41 Beregig af usikkerhed 60 X Lad Y X, hvor X er e statistisk variabel, der for x = har spredige σ (X) = 03 X Fid middelværdie på Y, de statistiske usikkerhed x = Løsig: x = idsættes 60 Middelværdi E(Y) = 6 Statistisk usikkerhed: dy Vi fider differetialkvotiete i puktet x = ( Y) og de relative usikkerhed på Y for dx TI-Nspire: Beregiger, differetial og itegralregig, differetialkvotiet, idsæt udtryk mm 5 k

30 4 Usikkerhedsberegig de lodrette streg står til højre i øverste række på tastatur og på lommereger over = og ka læses forudsat at Ti89: differetialet d står over 8-tallet : d(60@x/(x+)-@x,x)*x= de lodrette streg står til vestre i fjerde række for ede og ka læses forudsat at Resultat 55 Vi har u ( Y) = ( X ) dvs ( Y) = = 165 ( Y) Relativ usikkerhed: EY ( ) % Nu vil udtryk i praksis ofte være fuktioer af mere ed 1 variabel Eksempel 4 To variable Isektpulver sælges i papkartoer Lad x være vægte af pulveret, mes y er vægte af papkartoe I middel fyldes der 500 gram isektpulver i hver karto med e usikkerhed på 5 gram Kartoe vejer i middel 10 gram med e usikkerhed på 10 gram z = x + y er da bruttovægte Fid middelværdie på bruttovægte E(Z), de statistiske usikkerhed ( Z) og de relative usikkerhed på Z Løsig: X = vægt af pulver E(X) = 500, σ(x) = 5 E(Y) = 10, σ(y) = 1 Af liearitetsregle fås, at E(Z) = = 510 V(Z) = = 6 σ(z) = ( Z) Relativ usikkerhed: EZ ( ) % For at forklare e formel for beregig af usikkerhed i sammesatte udtryk af variable, vil vi først se på et simpelt tilfælde hvor e statistisk variabel Z = a@x+by +c, hvor X og Y er e statistisk variabel med spredige ( X ) og ( Y ), og a, b og c er kostater Af liearitetssætige følger, at V(Z) = + og dermed ( Z) a ( X) b ( Y) Partielle afledede Hvis ma for fuktioe z f ( x, y) holder y kostat på værdie y 0, så vil f ( x, y0 ) være e fuktio af é variabel x Er dee fuktio differetiabel, så ka ma på sædvalig måde fide des afledede fuktio f Dee kaldes f s partielle afledede med hesy til x og skrives eller x ( x, y 0 ) fx ( x, y0 ) f Tilsvarede defieres f s partielle afledede med hesy til y y 6

31 41 Statistisk usikkerhed f df Teget læses "blødt d" og markerer, at fuktioe har flere variable Dette idebærer emlig, at (i modsætig til ) x dx ikke ude videre ka opfattes som e brøk i beregiger z z Det ses umiddelbart, at for de lieære fuktio z = ax+by+c da er a og b x y Heraf følger u, at σ(z) = Z Z X Y X ( ( )) ( ( )) Y For e fuktio af 1 variabel erstattede vi kurve i et pukt med si taget For e fuktio af variable erstatter vi grafe i er pukt med si tagetpla Lad f(x,y) være e differetiabel fuktio af variable Grafe z = f(x,y) for e såda fuktio er i et rumligt x,y,z-koordiatsystem e flade Lad z0 f ( x0, y0) (se figur ) Lad k 1 være skærigskurve mellem plae y y 0 og grafe for og T x være tagete til k 1 med rørigs- pukt i ( x0, y0) Tilsvarede er k er skærigskurve mellem plae x x 0 og grafe for f og T y er tagete til k De pla, som er bestemt ved tagetere T x og T y kaldes tagetplae for grafe for f i puktet ( x0, y0) E såda tagetpla følger flade tæt i e lille omeg af puktet ( x0, y0) z Ligige for tagetplae er z x x y x z ( 0, 0) ( y x 0, y 0) x k Vi ka derfor tillade os, at berege usikkerhede af formle ( Z) z (, ) ( ) (, ) ( ) x x y X z y x y Y f f Koefficietere og kaldes så f s følsomhed overfor fejl på heholdsvis x og y x y 7

32 4 Usikkerhedsberegig Eksempel 43 Beregig af usikkerhed for variable Et cylidrisk hul med radius r og højde h bores i e metalblok Ma ved, at r = 3cm med e spredig på 01 cm og h = 0 cm med e spredig på 0 cm 1) Fid de statistiske usikkerhed på hullets volume V = r h ) Fid de relative fejl på V 3) Har V størst følsomhed overfor r eller overfor h? Løsig 1) 1) Hådregig: V V rh og dermed for r = 3 og h = 0, er r r V V r og dermed for r = 3 og h = 0, er h h 9 87 ( V ) 37699, ( 01 ) 87 ( 0 ) 381 ) V = De relative fejl er ( V ) % V ) V har størst følsomhed over for fejl på r, da dv dr TI-Nspire: 1) dv dh σ(v) = 381 relativ fejl = =67% TI89: πar^ah STO v STO står i række for ede, 1) d(v,r)*r=3 ad h=0 differetialet d står over 8-tallet : de lodrette streg står til vestre i fjerde række for ede og ka læses forudsat at ad står i Catalog Resultat 10 π d(v,h)*r=3 ad h=0 Resultat 9 π Fortsættelse som uder TI-Nspire Formle for spredig ka udvides til mage variable 8

33 41 Statistisk usikkerhed SÆTNING 41 (ophobigslove for usikkerheder) Lad X 1, X,, X k være stokastisk uafhægige variable, som hidrører fra måliger Bereges e y størrelse Y( X1, X,, X k ) ud fra X 1, X,, X k, får Y også e usikkerhed ( Y), som ka bereges tilærmet af Y Y Y ( Y) V( X ) V( X ) V( Xk ) X X 1 X 1 k Til illustratio af det vil vi se på følgede eksempel Eksempel 44 Usikkerhed på sammesat udtryk Måles trykket P, volumeet V og temperature T af e ideal gas, optræder der tilfældige målefejl, som gør værdiere usikre Bereges molatallet u af ligige PV PV RT, bliver værdie af derfor også usikker Vi øsker at kue RT berege usikkerhede på ud fra usikkerhedere på P, V og T 1 1 Gaskomstat R 8314 JK mol P Pa, V 567 m 3, T 678 K med usikkerheder ( P) 1000 Pa, ( V ) 006 m 3 og ( T) 3K Det ka atages, at måleresultatere for P, V og T er statistisk uafhægige Fid usikkerhede ( ) Løsig σ() = 174 mol 4 Maksimal usikkerhed De maksimale usikkerhed x er så defieret som de umerisk største afvigelse mellem e målt værdi og geemsittet Er eksempelvis e temperatur agivet som mees hermed, at i værst tækelige tilfælde kue målige være eller Eksempel 45 Maksimal usikkerhed Lad x = 153 1m og y = 5 m De maksimale usikkerhed på x - y er da 3m, dvs x-y = 18 3 m Det er sædvaligvis let, direkte at berege de maksimale usikkerhed, me i mere komplicerede tilfælde ka ma som før erstatte fuktioe med si tagetpla 9

34 4 Usikkerhedsberegig Vi ka derfor tillade os, at berege de maksimale fejl af formle z f forudsat fejlee x og y er små x x y x f (, ) ( y x, y ) y Ved de relative maksimale fejl forstås z z 0 Eksempel 46 Maksimal usikkerhed E kugleformet tak har radius r Med e pejlestok måler ma væskehøjde h for at kue berege 1 væskerumfaget V h ( 3rh) 3 a) Agiv et de maksimale fejl på V, år r = 1 01 m og h = m b) Agiv de maksimale relative fejl på V Løsig (hådregig) 1 3 V ( h r h ) 3 V V a) ( hrh ) Idsættes r = 1 og h = 01 fås h h ( ) V V h Idsættes r = 1 og h = 01 fås r r V b) V =π@ V ( ) Relativ maksimal usikkerhed = % TI-Nspire 30