Hvad er CAS? Hvad er algebra? Didaktisk analyse af CAS-brug Hvad kan lærerne gøre?

Transkript

1 CAS og folkeskolens matematik muligheder og udfordringer Carl Winsløw Hvad er CAS? Hvad er algebra? Didaktisk analyse af CAS-brug Hvad kan lærerne gøre? 1

2 Hvad er CAS? Banalt: programmer som kan løse visse algebraiske opgaver Ex.: MathCad, Mathematica, Maxima, Derive, Inspire, Maple, Geogebra + varianter (e.g. WordMat, Wolfram-alpha) For en matematiker: Værktøjer til at udføre komplicerede beregninger ( alt hvad man kan sætte på en formel/algoritme ) For en elev: Værktøjer som man kan/skal bruge i skolen, og som i det mindste i begyndelsen er en del af lærestoffet ; I nogle tilfælde en bekvem/irriterende black box For en lærer:? (mange andre svar på denne konference!) En ny mulighed for eleverne? For en selv? En ny udfordring for eleverne? For en selv? Mange steder: kilde til splid (tigre mod elefanter) Hvad kan CAS? Minimalt (men af central folkeskole relevans): - Repræsentere algebraiske udtryk - Operere på algebraiske udtryk efter nærmere bestemmelse, fx isolere en variabel, faktorisere, forenkle, substituere, kombinere, ekspandere - Repræsentere funktioner (algebraisk, grafisk) - Udføre operationer på funktioner (fx max, min, nulpunkter) Kort sagt: CAS leverer teknikker til at løse bestemte typer af matematiske opgaver, hovedsageligt indenfor algebra Sat ind i en mere generel sammenhæng: MO=(opgavetype, teknik, teknisk diskurs, teoretisk diskurs) Løs ax+b=c mht x (givet tal a,b,c) Alt L (WordMat) Hvordan gør man? ubekendt etc. Hvorfor virker det? eksistens, entydighed, 2

3 Hvad er algebra? Populært: bogstavregning, abstrakt aritmetik formler etc. Mere præcist: samling af matematiske organisationer som er udviklet til at repræsentere, og operere på, tal-sammenhænge (sommetider indkapslet i funktioner) Ex.: taxa-priser ( Starttakst : 24 kr, kilometertakst: 14,20 kr/km Pris for 7 km: 24 kr + 7 km 14,20 kr/km = 123,40 kr Algebraisk repræsentation: 24 14,2 Algebraiske operation : fx isolere 24 14, ,2, Hvor langt kan man køre for 100 kr? Algebra er bl.a. karakteriseret ved sin egen tekniske og teoretiske diskurs (syntaks, regler) CAS brug kan medføre drastiske variationer af begge dele FSA 9. kl., maj 2012, opg. 4.4 (Simons kondital) ( ) 3

4 Standard algebraisk løsning: i alle tre udtryk er VO 2 max isoleret, så vi ser kun på resten ; omskrivningerne i a) (hhv. b)) er korrekte, hvis man kan omskrive resten i rammen til resten i disse to udtryk,, 0,25 max 0, ,25 gang ind i parentesen Det sidste gælder, undtagen hvis arbmax=0,23, men fx Distributive lov a(b+c)=ab+ac Konklusion: omskrivningen i a) er ikke korrekt 4

5 (en slags teknisk diskurs) VO 2 max (?)????? (en anden slags teknisk diskurs) 5

6 Løsning vha. WordMat (udtryk a)) Alt L Choose Variable VO2max Skriv begge ligninger på standardform ved at isolere VO2max Alle 1.gradsligninger kan skrives på formen y=ax+b, entydigt bestemt af a og b y=ax+b og y=cx+d er ækvivalente hvis og kun hvis a=c og b=d Samme teknik virker til at vise disse er ækvivalente: 6

7 Pointer CAS kan levere nye teknikker til at løse opgaver som vedrører algebraiske udtryk ex. på instrumenterede teknikker (cf. MM) I mange tilfælde løser en instrumenteret teknik en stor klasse af opgaver, som ellers ville kræve mange forskellige teknikker Dermed ændres opgavetyperne i dette tilfælde får vi en ny opgavetype: Givet to førstegradsligninger (på en muligvis indviklet form), afgør om de er ækvivalente (dvs. den ene kan omskrives til den anden ) den svarer til teknikken: brug Alt+L til at omskrive ligningerne til standardform, og sammenlign koefficienter Der kræves ny teknisk diskurs (vedr. CAS og vedr. opgavens indhold) og teoretisk diskurs (fx om standardform og ækvivalente ligninger) Kort sagt: den matematiske organisation ændres! specielt: teori ind (ækvivalente udtryk) og ud (distribution) Dette udvirkes ikke af CAS, men af valg og brug af CAS Særligt opmærksomhedspunkt: black box effekten Samme opgave med Wolfram-alpha (skitse) Krav til syntax! Ej ækvivalente (som før) Ny mulighed for teori White box option (click) Ny mulighed for teori Ny mulighed for teori 7

8 Teknisk diskurs (~ klassisk teknik ) Teoretisk diskurs (ny) Pointer Med en passende lærerstyring af CAS-brug kan denne blive til mere end bare trivialisering af kendte opgaver gennem slagkraftige, men uigennemskuelige kogebogsteknikker Samtidig kommer mere avancerede teoretiske begreber (her system af førstegradsligninger, grafisk fremstilling etc.) i princippet indenfor rækkevidde men: hverken CAS eller opgaven gør det af sig selv! CAS værktøjer indeholder meget mere matematik end eleverne og ofte også lærerne kender til Artigue (2002) skelner to værdier af en instrumenteret teknik: Pragmatisk værdi (effektivitet ift løsning af en opgave) Epistemisk værdi (effektivitet ift læring af matematik) At finde en løsning på opgaven er sjældent nok der kræves muligheder for kontrol og ofte også begrundelse CAS-brug i skolen indebærer en kæmpe udfordring for lærerne ift at tilrettelægge opgaver og situationer, som fokuserer på den epistemiske værdi af elevernes instrumenterede teknikker 8

9 Didaktisk brug af CAS en fælles udfordring! 9