Samkørselsordninger til forbedring af trafikale forhold

Transkript

1 HA 6. Semester Anslag uden mellemrum inkl. figurer Forfattere: Sarah Dilbjerg Sørensen (997018) Mette Tikær Brock (302127) Vejleder: Jens Lysgaard Samkørselsordninger til forbedring af trafikale forhold Ruteplanlægning AARHUS UNIVERSITET SCHOOL OF BUSINESS & SOCIAL SCIENCES MAJ 2014

2 Abstract To travel in rush hour traffic in large cities can be very time consuming, and a problem for people who commute on a daily basis. In Skejby, Aarhus, the commuters experience an increase in the daily commute time as the industry in the area, in general, is in great development. For example the three University Hospitals in Aarhus are merging, and therefore Skejby Sygehus is upgraded to a new modern Hospital. As a result of the merge, more than 6000 jobs are moved to the new hospital in Skejby, during the next five years. This puts pressure on the infrastructure in the area, which is already suffering greatly. The purpose of the thesis is to find out how, and if carpooling can be part of a solution to traffic problems in the area. As a part of the study it is relevant for the thesis to elaborate on the definition of carpooling and car sharing, and what the commuters opinion on carpooling is. For this purpose both an older British study on carpooling and a recent Danish study on travel behavior in Skejby are included. In addition, it is relevant to examine how a carpooling scheme can be planned and solved, and how this changes the lives of the people who choose to participate in a carpooling arrangement. The problem is seen as an Open Ended Vehicle Routing Problem, because the starting and ending point is not the same place. The starting point is at a person s home, and the ending point of the route is at the hospital. The trip home can either be seen as the reverse way back or as a new Open Ended Problem which has to be solved. The method used to solve the problem in the thesis is Clarke & Wright s Savings Algorithm modified by Bodin, Golden et al (1983) which include the open ends, and the Cluster first Route second method by Fisher and Jaikumar (1981). The Savings Algorithm will first be modified as described by Gaskell (1967) and then by using the method described by Holmes and Parker (1976) to find alternative solutions to the carpooling problem. After modifying the method, the solutions were improved by optimizing every route as a Traveling Salesman Problem. The Fisher and Jaikumar Algorithm were altered by changing the -value, and the number of seed-customers. The results show that there are a great potential in carpooling, both in terms of car reduction and potential cost savings for the participants, as well as the total travel length is reduced. The thesis reaches the conclusion that the disadvantages of participating in a carpooling arrangement is increased travel time and the lack of privacy. To evaluate on how the solutions will affect the lives of the participants, the savings are calculated and allocated by using two different allocation methods. The first method is a Weighted Average which is relatively simple for the participants to calculate. The other method is made for cooperative games, called The Shapley Method. The Shapley Method allocates the cost fairly, but the calculation process is rather difficult. The final conclusion of this thesis is that an increase in the use of carpooling will give the employees at Skejby Sygehus, a great cost reduction and the number of cars going in to the hospital is reduced.

3 Indholdsfortegnelse 1 Indledende afsnit Problemstilling Problemformulering Struktur Afgrænsning Metode Skejby Sygehus og området omkring Samkørsel, definition og adfærd Potentialet for samkørselsordning ved Skejby Sygehus Teori om ruteplanlægningsproblemer Vehicle Routing Problem (VRP) TSP The assignment problem (Lawler 1985) Kapacitets VRP Open Vehicle Routing Problem (OVRP) Heuristiske løsningsmetoder Konstruktions algoritmer Nearest-neighbor metode og insertion metode Clarke and Wright s savingsalgoritme Modifikationer til Clarke & Wright s savingsmetode Clarke & Wright s savingsalgoritme til OVRP To-fase metoder (Cluster-first, route-second) The Sweep algoritme Christofides, Mingozzzi & Toth s to-fase metode Fisher & Jaikumar s to-fase metode Forbedringsmetoder Metaheuristikker Algoritmer til OVRP Opstilling af data og problemstilling Dataindsamling Problemstillingen om samkørsel ved Skejby Sygehus Løsning ved Clarke & Wright s savingsmetode Modifikationer Forbedring med undertrykkelse af største saving... 45

4 7.3 Forbedring af ruterne vha. TSP Løsning ved Fisher & Jaikumar s to-fase metode Opsummering af fundne løsninger Vurdering af løsningernes anvendelighed Vurderingsparametre Vurdering af løsningerne Implementeringskonsekvenser Den økonomiske konsekvens Den tidsmæssige konsekvens Konklusion Litteraturliste Bilag... 72

5 1 Indledende afsnit I disse år stilles der større krav til infrastrukturen i takt med at verdensdelene bliver mere specialiseret, arbejdskraften mobiliseres og arbejdsplader centraliseres til større byer. Fleksible transportformer gør det muligt at bo længere væk fra sit arbejde. Dette betyder, at trafikken på vejene øges, og at der opstår flaskehalse i tæt trafikerede områder. Transportformer som cykling, offentlig transport, elbiler og samkørselsordninger er i de senere år kommet i fokus som et resultat af svingende benzinpriser, øget miljøhensyn og trafikal trængsel. Miljø og trafikale problemer er derved også på dagsordnen i hele Danmark, f.eks. har Århus Kommune med CO2030 bl.a. igangsat en række projekter, for at reducere CO2-udledningen fra transport. Målet med CO2030 er, at Aarhus skal være CO2-neutral inden år CO2030 udspringer af Regeringens mål for Danmarks om reduktion af drivhusgas med 40 % inden år 2020 ( ). Århus by har ry for at være en cykelby og også udbygningen af letbanen og bybussernes ruter er med til at gøre det mere attraktivt at bruge mere energi-venlige transportformer. Hver dag kommer der dog stadig mange biler igennem byen og dette resulterer i bilkøer, CO2-udslip og stort behov for parkeringspladser ( ). Samkørselsordninger kan bidrage med nedsættelsen af privatbiler på vejene, hvilket vil hjælpe på flaskehalsproblemerne, samt til reduktion af CO2-udslippet. Ved at privatpersoner kører flere sammen i bilerne, i stedet for at køre hver for sig, udnyttes kapaciteten i bilerne bedre. Fordelen herved er også, at benzinomkostningerne kan deles mellem de involverede og derved give dem mulighed for at spare penge. Det findes derfor interessant at se nærmere på denne transportform, samkørsel, til afhjælpning af trafikal trængsel i Skejby. 1.1 Problemstilling Der har i længere tid været problemer med infrastrukturen i Århus, hvor de trafikale forhold er blevet forværret i myldretiden. Dette ses bl.a. i Århus midtby og Århus Nord, hvor det særligt er området omkring Skejby. Årsagen hertil kan findes i en udvikling af aktiviteten i området, da flere virksomheder har valgt at placere sig der, da det ligger tæt på motorvej og rummer mange kontorbygninger. Endvidere foretager Århus Universitetshospital i disse år en omfattende udbygning af Skejby Sygehus for at blive et Side 1 af 77

6 supersygehus. Sidstnævnte betyder, at sygehuset alene kommer til at står for en stigning i antallet af ansatte i området på ca personer i løbet af de næste år. Allerede nu ligger der et stort pres på infrastrukturen i området, hvilket gør det problematisk for trafikanterne at komme til og fra arbejde, da der skal mange biler ind og ud af området. I fremtiden bliver dette problem kun større som et resultat af det nye supersygehus. Det er interessant at se på,, hvordan samkørsel ud fra et teoretisk udgangspunkt kan løses, samt hvorledes dette vil forbedre de trafikale forhold og hvilken interesse medarbejderne vil have i en samkørselsordning. I den forbindelse er det derfor spændende at anskue Skejby Sygehus som casevirksomhed, da en stor del af problemerne i området skyldes udvidelsen ved sygehuset, som medfører en stigning i både antallet af ansatte, men også patienter og pårørende. 1.2 Problemformulering Formålet med denne afhandling er at diskutere potentialet for samkørselsordninger ved Skejby Sygehus og hvilke teoretiske metoder, der kan anvendes til løsning af ruteplanlægningen, samt hvilke mulige forbedringer en virksomhedsdrevet samkørselsordning kan bidrage med i forhold til trafikale problemer i et område. Det findes derfor relevant at undersøge følgende problemformulering. Hvordan kan virksomheder som f.eks. Skejby Sygehus få medarbejdere til at vælge samkørselsordninger frem for at køre selv, og hvordan kan dette ruteplanlægningsproblem udarbejdes? Til at besvare overnævnte problemformulering vil opgaven afklare nedenstående delspørgsmål: Hvordan er adfærden omkring samkørsel, og hvad kan virksomheder gøre for at motivere deres ansatte til at deltage i en ordning? Hvilke ruteplanlægningsmetoder kan anvendes til udarbejdelse af løsningsforslag til samkørsel? Hvordan kan deltagelse i en samkørselsordning ændre hverdagen for de samkørende? 1.3 Struktur Afhandlingen udarbejdes ud fra en praktisk samt teoretisk tilgang. Den praktiske del vil indledningsvist beskrive Skejby Sygehus og de trængselsproblemer, der har gjort netop denne virksomhed interessant. Efterfølgende beskrives centrale begreber ud fra videnskabelige undersøgelser om adfærden omkring samkørsel. Side 2 af 77

7 Dernæst præsenteres den teoretiske del, hvor der først vil blive introduceret forskellige varianter af Vehicle Routing Problem, som er ruteplanlægningsmodeller, der tager udgangspunkt i The Travelling Salesman Problem. Endvidere uddybes den teoretiske del med en række forskellige heuristiske løsningsmetoder til ruteplanlægningsproblemet. Dette for at vise, hvordan problemstillingen kan anskues ud fra eksisterende teori. Case-virksomheden og undersøgelserne omkring samkørsel forudgående for teorien, er grundlaget for en teoretisk opstilling af problemstillingen. Det problemidentificerende niveau opnås således ved at kombinere teorien om samkørsel med Skejby Sygehus og ved at undersøge, hvordan ruteplanlægning kan udarbejdes. Ved løsning af et fiktivt eksempel, vurderes de fundne rutekonstruktioner og hvorledes disse løsningsforslag, vil påvirke deltagerne i forhold til deres hverdag, transport og økonomi. 1.4 Afgrænsning Afhandlingen vil ikke omhandle andre løsningsmuligheder end samkørsel, trods der findes en lang række andre løsninger, der kunne forbedre trængselsproblemet; som fx store parkeringspladser uden for sygehuset, med shufflebusser, forbedrede cykelforhold og busruter. Til at vurdere løsningen ses der på antallet af biler og kørte kilometer, da det antages, at CO2-udslippet fra biler er afhængigt af, hvor mange biler der kører på vejene. Derved afgrænses der fra at gå yderligere i detalje med, hvor meget reduktionen i CO2-udslippet kan være. Foruden de ansatte som skal til og fra arbejde på Skejby Sygehus, er der også mange patienter og pårørende, som skal til og fra sygehuset hver dag. I en udvidelse af problemstillingen kunne det være interessant at inddrage patienter og pårørende i denne slags kørselsordninger. Dette er på grund af opgavens begrænsede omfang ikke taget med i denne afhandling. Det vælges at afgrænse afhandlingen til kun at kigge på de ansattes tur ind til sygehuset, og kun for dem der møder i tidsrummet, hvor trafikken er værst, og derved udarbejdes løsninger kun for denne tur og ikke også for turen hjem. Det skal dog sikres at alle ansatte, som er med i samkørselsordningen kan komme hjem fra arbejde igen, og derfor er tilbageturen også en vigtig del af problemstillingen. Hjemturen kan køres den inverse vej tilbage og derved bare en fordobling af omkostninger, men for at den inverse vej kan lade sige gøre, skal de ansatte som kører sammen om morgenen møde og have fri på samme tid. Er dette ikke tilfældet skal turen indtil sygehuset og turen hjem alternativt løses som to forskelle åbne ruteplanlægningsproblemer, hvor hjemturen f.eks. kan ses som et OVRP med drivers Side 3 af 77

8 nodes (OVRP-d). OVRP-d er en variant af et open-ended VRP, hvor det i modellen kræves at chaufføren ender i sit eget hjem. Afhandlingen vil ikke yderligere behandle denne problemstilling omkring OVRP-d. I afhandlingen præsenteres en række metoder, som kan anvendes til at løse forskellige rute- og transportproblemer. Opgaven vil lægge hovedvægt på to heuristiske løsningsmetoder. Udover de klassiske heuristikker kan ruteplanlægningsproblemer også løses med eksakte modeller og metaheuristikker. De eksakte metoder vil blive beskrevet, men da problemstillingen samlet set er for kompleks til at blive løst eksakt, vil dette ikke forsøges. Dog vil en del at ruteplanlægningen blive løst eksakt. Til de klassiske heuristiske metoder, er en række forbedringsmetoder tilknyttet, hvor de initiale løsninger forbedres både indenfor en rute og mellem ruter. Der afgrænses fra at se på forbedringerne mellem ruterne, multi-route improvement. Årsagen er, at det ønskes at se på afvejningen mellem ruternes længde, antallet af biler og tidsforbruget. Det findes derfor ikke relevant at bruge ressourcerne på at forbedre løsningerne, men snarere at diskutere de fundne løsningers implementering. Problemet vil blive løst ud fra et fiktivt eksempel med 40 ansatte ved Skejby Sygehus, der er placeret i et begrænset geografisk område. Der benyttes et fiktivt eksempel, da det ikke umiddelbart har været muligt at få adgang til personalets adresser, arbejdstider og lignende gennem Skejby Sygehus. Ligeledes vurderes det, at faktiske adresser, er af mindre betydning i forhold til afhandlingens formål, da der ikke er fokus på at optimere de 40 ansattes køretur til og fra arbejde, men at vise hvordan et samkørselsproblem kan løses og hvad det kan bidrage med. 1.5 Metode Skejby Sygehus er valgt som case-virksomhed på grund af den aktuelle problemstilling, der er for de ansatte, som skal køre til og fra arbejde hver dag, og pga. en nærfremtidig forøgelse i antallet af ansatte i forbindelse med omlægningen af sygehusdriften i Region Midt. Skejby Sygehus er spændende at anskue, idet virksomheden i fremtiden vil beskæftige et stort antal ansatte, og derved ses der gode muligheder for samkørselordninger. En case-virksomhed er valgt, fordi det ønskes at anvende teorien omkring ruteplanlægning på en praktisk case. Dog vil teorien sætte begrænsninger i forhold til at løse den praktiske case, da teorien ikke indeholder alle aspekter af empirien. Det kan derfor anføres, at metoden er en deduktiv tilgang, hvor der tages udgangspunkt i teorien om ruteplanlægning til udarbejdelse af løsninger til problemstillingen. Det forsøges modsætningsvist ikke med denne afhandling at frembringe ny teori eller generalisere løsningerne til virkeligheden. Side 4 af 77

9 Litteraturen, som ligger til grund for afhandlingen, er fagbøger og videnskabelige artikler. Fagbøgerne er sekundær litteratur, hvor nogle af dem præsenterer et sammendrag af teorier på området, og andre er inddraget for at få kendskab til VBA. Til uddybning af teorien er den primære kilde studeret og anvendt som supplerende litteratur. Baggrundsviden om sammenkørsel er fundet i videnskabelige artikler og undersøgelser på området. Afhandlingens løsninger bygger på fiktiv data, som er understøttet af informationer omkring casevirksomheden, Skejby Sygehus. Der indsamles således ikke primær data, men der bruges sekundær data, der er hente fra bl.a. Skejby Sygehus hjemmeside og derudover er en undersøgelse, der er fortaget i Skejbyområdet om de ansattes transportvaner anvendt. Undersøgelsen er lavet af Rambøll, som vurderes at være en valid kilde. Informationerne i undersøgelsen er bearbejdet data, hvilket betyder, at der ikke har været adgang til de bagvedliggende data. Informationerne indeholder derfor undersøgelsens overordnede konklusioner, hvilket vil sige, at informationerne ikke er konstruerede til dette problem. Visual Basic for Applications (VBA) I de to løsningsmetoder er Visual Basic for Applications, som er et programmeringssprog i Excel, brugt i dele af beregningerne bag løsningen. Excel VBA programmering er et værktøj, som kan automatisere gentagne handlinger. VBA er anvendelig, da det kan hjælpe med at gøre svære og tidkrævende opgaver mere effektive(wøhlk 2010). Forfatterne havde intet kendskab til VBA ved påbegyndelse af afhandlingen, og der har derfor været afsat en del tid til at lære programmeringssproget og nogle af programmets mange funktioner. Dette er bl.a. sket i samarbejde med Jens Lysgaard, hvor der er udarbejdet en kode til en af de heuristiske metoder. Årsagen til at anvendelse af dette program vægtes er, at problemstillingen ønskes løst flere gange med justeringer af forskellige parametre for at komme frem til flere løsningsforslag. Derudover er det målet at programmeringen let skal kunne anvendes til lignende eksempler. Side 5 af 77

10 2 Skejby Sygehus og området omkring I disse år investerer regionerne, herunder Region Midtjylland og Århus Universitetshospital, 41.4 mia. kr. i nybyggerier, udbygninger og omlæggelser af sygehusstrukturen i Danmark ( ). I forbindelse med regionernes investeringer, er der taget store beslutninger omkring fremtiden for sygehusdriften i Århus. I dag er der trafikal trængsel ved Skejby Sygehus. Nedenfor vil de faktorer som skylder den nuværende for fremtidige trængsel præsenteres. Sygehusenheden i Århus er fordelt på tre matrikler; Tage Hansens Gade, Nørrebrogade og Skejby, og tilsammen danner de tre sygehuse Århus Universitetshospital. Århus Universitetshospital er i dag et af landets mest specialiserede hospitaler, og visionen for Århus Universitetshospital er, at det skal være blandt de førende universitetshospitaler i Europa ( ). Skejby Sygehus beskæftiger i dag ca læger, sygeplejersker, SOSU-assistenter, andet sundhedsfagligt personale og administrationsansatte ( ). Den første del af Skejby Sygehus blev bygget og taget i brug i Skejby Sygehus er derved det nyeste af de tre sygehuse og har siden begyndelsen været under udbygning, som bl.a. skyldes øgede investeringer og at al sygehusdriften i Århus skal flyttes til Skejby i fremtiden ( ). Formålet med ændringerne i sygehusstrukturen i hele landet er at samle behandlingerne på færre enheder og derved sætte rammerne for øget specialisering og høj faglig kvalitet. Omlægningerne skal ikke kun udvide og bygge større sygehusenheder. Sygehusene har også fokus på patienternes behandlingsforløb og flere behandlinger er i dag ambulante, som betyder at patienterne ikke behøver at blive indlagt, hvis de skal på sygehuset. I Region Midtjylland, herunder Skejby Sygehus, er den gennemsnitlige indlæggelsestid 3,9 dage og 39,4 % af behandlingerne er ambulante. Sammenlignet med de andre regioner har Region Midtjylland en kortere gennemsnitsindlæggelsestid, men lidt færre ambulante behandlinger. Fra år 2008 til 2009 steg andelen af ambulante behandlinger fra 38,1 % til 40,4 % viser tal lavet af Indenrigs- og Sundhedsministeriet ( ). Flere ambulante behandlinger forøger behovet for mere personale i dagstimer, og ligeledes betyder flere ambulante behandlinger, at patienterne kommer til og tager fra sygehuset i samme tidsrum som personalet. Når patienter ikke indlægges kan det medvirke, at patienterne har flere besøg på sygehuset i forbindelse med forundersøgelse, tjek og opfølgning. Sammenlægningen af sygehusdriften og stigningen i ambulante behandlinger sammen med væksten blandt erhvervsvirksomheder i Skejbyområdet betyder, at et større antal medarbejdere, patienter og Side 6 af 77

11 pårørende skal til og fra Skejby i myldretiden (kl. 7 og kl. 17) nu og i fremtiden( ). I kommuneplanerne har der siden 2001 været fastlagt ændringer af vejnettet i Skejby, som følge af den planlagte aktivitet i området. De planlagte ændringer har bl.a. bestået af et nyt motorvejstykke mellem Søften og Skødstrup, udvidelse af Herredsvej og at den fremtidige letbane skal stoppe ved Skejby ( ). Skejby Netværket, som er et netværk stiftet af erhvervsvirksomhederne i området og Århus Kommune, er gået sammen for at se på tiltag, som kan afhjælpe den trafikale trængsel. Skejby Netværket har foretaget en transportvaneundersøgelse, som blandt mange andre tiltag konkluderede, at der er et stort potentiale i at formidle samkørselsordninger. Potentialet ligger i at under 8 % af undersøgelsens respondenter kendte til de eksisterende samkørselsordninger på deres arbejdsplads og yderligere at 18 % af respondenterne svarede, at de kunne overveje at benytte sig af en samkørselsordning ("Rambøl" 2011). Samkørsel er, når flere privatpersoner, som pendler til arbejde, kører sammen i stedet for at køre i hver sin bil, og hvor de evt. skiftes til at være fører og passager. Det følgende afsnit vil se nærmere på, hvad der forstås ved samkørsel, carpooling og carsharing, samt give et overblik over fordele og ulemper og hvordan samkørselsordninger kan opstå og motiveres. Side 7 af 77

12 3 Samkørsel, definition og adfærd I det følgende afsnit vil begrebet samkørsel blive uddybet og eksisterende undersøgelser om emnet vil blive præsenteret. Der er forskellige måder at danne samkørselsordninger og der skildres her i afhandlingen mellem carpooling og carsharing. Den væsentligste forskel mellem disse to begreber er om der skiftes til at køre eller om transportomkostningerne deles. Carpooling og carsharing I ordets betydning er en carpooling en ordning, hvor alle lægger deres biler i en pulje og skiftes til at være passagerer og fører af bilen. Det vil sige at, i denne ordning udveksles der ikke betaling for turene, men derimod er modydelsen for at køre med, at man selv lægger bil til en anden dag. Carsharing eller ridesharing er en anden og ofte mere benyttet metode, hvor én person lægger sin bil til og henter andre mod betaling Det anses også for at være carpooling, hvis to fra samme husstand kører sammen, mens at have børn med, som passagerer på vej til skole og arbejde, ikke anses som at være carpooling. (Teal 1987). Ifølge en undersøgelse lavet i UK af Bonsall 1982, er én tredjedel af dem der deltager i samkørselsordninger, dem der kører hver gang. Én ud af tre er altid passagerer, og dem der er i blandt den sidste tredjedel er dem, hvor der skiftes mellem at køre (Teal 1987). Der er mange aspekter, som spiller ind i folks overvejelser og beslutninger omkring, hvilken transportform de benytter til og fra arbejde, dermed også overvejelser omkring, hvorfor samkørsel vælges til eller fra. Nedenfor vil fordele og ulemper ved samkørsel, køre selv og offentlig transport blive diskuteret og sammenlignet. Samkørsel vs. at køre selv Fordelen ved at deltage i en samkørselsordning, set i forhold til at køre alene, er deling af omkostningerne til transport. Der er en besparelse på mindst 50 % ved at køre sammen med andre, da man er mindst to om at dele omkostningerne på en tur og på den måde kan transportomkostningerne til benzin, parkering og vedligeholdelse reduceres. Dog er besparelsen for nogen ikke det værd, som man mister ved at køre selv. Transporttiden og længden vil blive forlænget i forhold til at køre selv, da man skal opsamle og sætte af, og det kan være nødvendigt at køre ad omveje i forhold til den mest direkte rute. Derudover mister de involverede frihed til at hente og bringe børn, handle ind eller andre aktiviteter før eller efter arbejde. Nogle vil opleve det som et tab af privatliv at køre med andre, som man ellers ville have haft med bussen eller i egen bil, mens det for andre er positivt, at der er mulighed for socialt samvær under transporten. (Teal 1987) Side 8 af 77

13 Samkørsel vs. offentlig transport Sammenlignet med at benytte offentlig transport har samkørsel fordelen af ofte at være en hurtigere transportform, også selvom der køres omveje for at opsamle. Undersøgelser viser at offentlig transport kan tage op til 70 % længere tid end den gennemsnitlige tid ved samkørsel (Bureau of Census 1979). Samkørsel giver også muligheden for at blive hentet ved sit hjem og blive sat af ved sit arbejde, i modsætning til offentlig transport, hvor man ofte skal gå til og fra bus- eller togstation. Der har været meget fokus på at forbedre den offentlige transport i Danmark de seneste år, så det vides ikke om det længere er sandt at forskellen mellem samkørsel og offentlig transport er så stor. Fokusset på forbedring af den offentlige transport har bl.a. medført flere afgange på populære strækninger, samt flere busstoppesteder. Derved er fleksibiliteten ved offentlig transport bedre end ved samkørsel, da man har flere afgange at vælge i mellem. I tyndt befolkede områder kører busserne dog ikke så ofte og måske ikke hele døgnet. Her vil samkørsel være et bedre alternativ, hvad angår fleksibilitet, da man ikke er afhængig af få afgange, men kan komme frem og tilbage, så det passer med arbejdstiderne. Offentlig transport kan også være billigere end samkørsel, især hvis man bruger periodekort eller andre rabatkort. Ved offentlig transport spares ligeledes udgiften til parkeringsomkostninger, som ellers også skulle deles mellem de involverede ved samkørsel (Teal 1987). Hvordan opstår samkørsel? Samkørsel kan opstå formelt eller uformelt. De fleste samkørselsordninger opstår som en uformel aftale mellem privatpersoner, men der er en stigende tendens til at lave formelle ordninger, hvor arbejdsgivere eller offentlige instanser hjælper og opfordrer til at fylde bilerne op (Canning, Hughes et al. 2010). Studier viser også, at det der har indflydelse på om samkørselsordninger opstår, ofte er destinationen for hvor man skal hen. Derved er det ofte personer, som arbejder i samme område eller på samme arbejdsplads, som vælger at køre sammen med deres kollegaer eller andre. Et kriterium for samkørselsordninger er nødvendigvis ikke at personerne i ordningen bor tæt på hinanden og kommer fra den samme by eller er naboer, men at de skal det samme sted hen (Teal 1987). Kendetegn ved deltagere i samkørselsordninger I 1970 erne og 1980 erne blev der lavet mange undersøgelser om emnet carpooling og noget af det der blev undersøgt var, om der var særlige kendetegn ved de folk, der benyttede samkørsel til og fra arbejde. Al forskning pegede på, at de sociodemografiske forhold kun havde meget lidt betydning for, om man kørte sammen eller ej. F.eks. viste et studie fra Chicago at hverken køn, indkomst, uddannelse, eller antallet af biler og kørekort i en husstand var ens blandt deltagerne i en ordning og dem, der kører Side 9 af 77

14 selv. Det, de der kørte sammen havde tilfælles var, at de havde signifikant længere til arbejde, og også en lav gennemsnitshastighed på strækningen gav folk anledning til at køre sammen (Teal 1987s.204). Motiveret og virksomhedsdrevet samkørsel De uformelle samkørselsordninger opstår mellem personer, som f.eks. vælger at køre flere sammen til og fra arbejde på deres eget initiativ. Virksomhederne skal ligeledes tage initiativ til at opfordre og motivere deres medarbejdere til se muligheden med samkørsel. I UK er der lavet en undersøgelse af seks virksomheder, der bruger virksomhedsdrevet carpooling, hvor der undersøges, hvad der motiverer medarbejderne til at være med i en sådan ordning. Formålet med undersøgelsen har været at udpege, hvad medarbejderne opfatter som vigtige årsager til at deltage i en ordning, og derved skabe et bedre grundlag for andre virksomheder, der overvejer at opstarte et lignende projekt. De seks virksomheder er udvalgt til at give et bredt billede. Der er således både store og små, internationale og nationale, og med få eller mange goder til dem, der er med i ordningerne. (Canning, Hughes et al. 2010) Undersøgelsen har inddelt virksomhederne efter om de giver medarbejderne frynsegoder, hvis de deltager i en ordning i omfattende eller ringe grad, og om virksomhederne har gode muligheder for parkering eller om dette er et problem. Frynsegoderne kunne være bedre parkeringspladser, garantier for hjemtransport, løn og bonustillæg og hjælp til at finde andre at køre med. De emner, der undersøges er, om der er sociodemografiske kendetegn ved de der deltager, og om der derved er tale om en bestemt type, som vil deltage i samkørselsordninger. Derudover undersøges det, hvad de ansatte i virksomheder med arbejdsgiverledet carpooling anser for at være vigtigst i forbindelse med at vælge samkørsel til eller fra, samt hvor vigtigt problemer med parkeringsforhold anses for at være. Undersøgelsen når frem til, at der ikke kan siges at være en bestemt type af de ansatte som vil vælge samkørselsordninger til, da der hverken var en signifikant forskel mellem grupperne når det gjaldt indkomst, alder, køn, hvilket er det samme resultat som set tidligere i undersøgelserne fra 1970 erne og 1980 erne. Årsager til at deltage Når det gælder årsagerne til at deltage i en ordning viste undersøgelser, at omkostningsbesparelse var den vigtigste årsag til at deltage i en samkørselsordning. Der var en signifikant forskel fra om man var fra den gruppe, der udover besparelsen også fik andre goder af virksomheden ved at deltage eller ej, men for begge grupper var det det vigtigste incitament, at der blev en omkostningsbesparelse. For gruppen, der ikke fik andre goder var det endnu vigtigere end for den anden gruppe. Næstvigtigst for begge Side 10 af 77

15 grupper var miljøhensyn. Her var der ikke forskel på, om man fik goder eller ej. Mangel på parkeringspladser er også en årsag til at deltage i en ordning, også i de virksomheder, hvor der ikke var parkeringsproblemer. Udover de før nævnte incitamenter blev der også spurgt til, hvor vigtigt det sociale aspekt af en samkørselsordning var for de ansatte. Det var under 10 %, der vurderede dette til at være meget vigtigt. Heller ikke om hvorvidt personerne havde adgang til en bil til daglig, var vigtigt for beslutningen (Canning, Hughes et al. 2010). I det foregående er det set, at omkostningsbesparelse er den vigtigste faktor i forhold til at deltage i en samkørselsordning. Samkørsel opstår oftest uformelt, dog er der muligheder i at virksomhederne opfordrer og motiverer deres ansatte til at køre sammen, fordi der ikke kun er en bestemt type af personer, som vil vælge at deltage i en samkørselsordning. Udover omkostningsbesparelsen er miljøhensynet også en faktor, som kan motivere de ansatte til at overveje andre transportformer. Nedenfor er samkørselordninger taget i betragtning i forhold til problemstillingen i Skejby. 3.1 Potentialet for samkørselsordning ved Skejby Sygehus Dette afsnit omhandler transportvanerne og samkørselsmuligheder i Skejbyområdet og er baseret på de undersøgelser omtalt ovenfor og på undersøgelsen lavet af Rambøll og NRGI for Skejby Netværket. Transportvaneundersøgelsens grundlag vil indledningsvist blive opridset. Transportvaneundersøgelsen er udarbejdet i forbindelse med Århus kommunes klimaplan, som indebærer en række projekter for at reducere udledningen af CO2 fra bl.a. transport. I undersøgelsen deltager 11 virksomheder, heriblandt Energi Danmark, VIA University College og Århus Universitetshospital. Spørgeskemaet er udsendt til ansatte, hvoraf 5115 ansatte har deltaget. I undersøgelsen er kommende medarbejdere for Århus Universitetshospital, Energi Danmark og Vestas også blevet bedt om at deltage. 63 % af respondenterne i undersøgelsen er ansat ved Århus Universitetshospital, heraf arbejder 1626 på Skejby Sygehus, da undersøgelsen blev fortaget. Det antages derfor at være rimeligt at anvende undersøgelsen, som baggrund for de trafikale problemer og muligheder i forhold til samkørselsordninger for Skejby Sygehus ("Rambøl" 2011). Trængselsproblemet ved Skejby Sygehus og i Skejbyområdet som helhed er, som tidligere nævnt, til frustration for de ansatte, der hver dag skal til og fra området, og derfor også et problem for Side 11 af 77

16 virksomhederne i området. Transportundersøgelsen foretaget af Skejby Netværket viser at over halvdelen af undersøgelsens deltagere (næsten 3000 ud af 5115 respondenter) oplever kø på vej til arbejde, plus at hver fjerde oplever for få parkeringspladser ("Rambøl" 2011). Virksomhederne i området ønsker at afhjælpe problemet, ved at støtte de ansatte i at finde alternative metoder til at komme på arbejde. Ud fra undersøgelserne nævnt i afsnit 2 er det særligt, hvis man har langt til arbejde og kører på tæt trafikeret strækning, hvor tidsforbruget forøges, der gør at man vil vælge samkørselsordninger. I Skejby forøges tidsforbruget for de ansatte, patienter og pårørende når de skal til og fra arbejde i myldretiden pga. de trafikale problemer. Dette, og ud fra undersøgelsernes tidligere nævnte konklusioner, betyder at samkørselsordninger er et attraktivt tiltag for virksomhederne i området og Skejby Sygehus. En måde virksomhederne kan starte samkørselsordninger på, er ved at lave en virksomhedsdrevet sammenkørselsordning, som gør det nemmere for de ansatte at finde sammen med andre, med henblik på at køre sammen. I dag er det f.eks. muligt at købe sig adgang til web-baserede ordninger via. gomore.dk, samkørselsordning.dk, eller selv lave en portal, hvorfra de ansatte kan finde sammen og fylde bilerne op. Det er vigtigt at en formel ordning promoveres på en måde således at de ansatte er interesserede i at deltage, da det er kriteriet for succes. Det er vigtigt at promovere ordningen, så de ansatte er bekendt med deres muligheder, og for at tilskønne til samkørsel kan virksomheden og det offentlige give de ansatte yderlige incitamenter, f.eks. ved at tilbyde gode parkeringspladser ved virksomheden, bonus eller løntillæg, eller vejbaner, der kun er til biler med flere i bilen, som det bruges i andre lande (High Occupancy Vehicle Lanes (HOV)) (Canning, Hughes et al. 2010). Hvis Skejby Sygehus skal have succes med at lave en formel ordning, så skal de ifølge Cannings undersøgelse lægge vægt på den økonomiske besparelse, samt den miljømæssige effekt og derudover tilbyde bedre parkeringsforhold til de deltagende. Undersøgelsen i Skejby viser til gengæld at den primære motivationsfaktor for de medvirkende ville være, at opsamlingsstedet ligger tæt på bolig og arbejdsplads, fordi skift i transportmidler ikke er ønsket. Endvidere ses det, at udsigten til reduktion i udgifterne og mindskelsen af trængsel på vejene også er en faktor, der ville kunne motivere folk til at benytte samkørsel. Modsætningsvist de undersøgelser af Cannings, er det kun 13 % som syntes at miljøhensynet er en motiverende faktor, og ca. 15 % af de medvirkende vil kun vælge en samkørselsordning, hvis de kører med en kollega, som de kender godt. Sidstnævnte betyder, at det Side 12 af 77

17 sociale har en ligeså stor betydning som miljø og derudover er det i Skejby under 10 %, som finder det nødvendigt med bedre parkeringsmuligheder. Foruden de motiverende faktorer, stiller de deltagende ligeledes en række krav til ordningen, for at de ville være interesserede i at benytte sig af samkørsel. Ordningen skal f.eks. være fleksibel i forhold til skiftende arbejdstider ("Rambøl" 2011) og så er det nødvendigt at tilbyde en garanti for dem der deltager, som f.eks. at de kan få betalt en taxa hjem, hvis de er kommet på arbejde ved at køre med en anden, men på grund af en akut opstået situation ikke kan komme hjem igen. Samkørselsordninger er en attraktiv mulighed for de ansatte ved sygehuset, samt ved andre virksomheder i området, som en del af løsningen til at forbedre de trafikale forhold i Skejby. Der er incitamenter for både Århus Kommune, virksomhederne og trafikanterne i området til at engagere sig i en ordning. I forhold til førstnævnte, vil samkørsel reducere antallet af bil, dermed også CO2-udslippet, og mindske behovet for flere parkeringspladser. Skejby vil med opstart af kørselsordninger kunne tilbyde fordelagtige ordninger til ansatte og patienter, som vil afhjælpe trængselsproblemerne i mindre grad og trafikanterne vil kunne spare transportomkostninger, hvis de vælger kørselsordningen til. Denne afhandling vil i de næste afsnit beskrive teorien om ruteplanlægningsproblemer og hvilke heuristiske løsningsmetoder, der kan udarbejde ruteplanlægningen til samkørsel. Side 13 af 77

18 4 Teori om ruteplanlægningsproblemer Samkørselsordninger er en variation af et ruteplanlægningsproblem, hvor ruten, en bil skal køre for at opsamle deltagere, skal planlægges således, at samkørslen bliver et attraktivt valg af transportform. Indledningsvist vil det følgende afsnit redegøre for forskellige udgaver af det traditionelle ruteplanlægningsproblem, som i litteraturen kaldes Vehicle Routing Problems. Problemet er det vigtigste og mest kombinatoriske optimeringsproblemer og betragter problemstillinger omkring planlægning af optimale distributionsruter, der er underlagt, at en række betingelser bliver opfyldt (Toth, Vigo 2002). VRP beskrives også i litteraturen som Vehicle Scheduling og Delivery Problems (Lawler 1985). Dette afsnit vil se på det traditionelle VRP, CVRP, VRP with Time Windows, VRP pickup and delivery og Open ended VRP. 4.1 Vehicle Routing Problem (VRP) VRP er en metode til at løse problemstillinger, der er kendetegnet ved et set af køretøjer og et set af kunder. Hver kunde skal betjenes af et køretøj og et køretøj servicerer en rute, hvor hvert rute starter og slutter i depotet. Tilsammen skal alle kunders krav og begrænsninger opfyldes ud fra målet om at transportomkostningerne minimeres(toth, Vigo 2002). The basic VRP is to route the vehicle, one vehicle per route, starting and finishing at the depot, so that all customers are supplied with their demands and the total travel cost are minimized. (Lawler 1985, s. 432) Billede 1: Vehicle Routing Problem Kilde: ( 2014) Side 14 af 77

19 Formålet med at løse de fleste ruteplanlægningsproblemer er at minimere de samlede transport omkostninger. I andre situationer kan formålet være enten at minimere antallet af køretøjer eller minimere den samlede transporttid. Derudover kan der yderligere være et kriterium, at sikre, at der er balance mellem ruterne(hall 1999). Der er forsket meget i løsning af ruteplanlægningsproblemer, og hvorledes forskellige varianter af problemet bedst bliver løst, dog har forskning endnu ikke opnået at finde én algoritme som kan løse alle VRP problemer optimalt. Der findes flere forskellige algoritmer, der hver især kan løse varianter af VRP optimalt, men når betingelserne ændres, generer algoritmen ikke længere nogen god eller mulig løsning. (Hall 1999) VRP udspringer af The Travelling Salesman problem, TSP. TSP er problemet at en forretningsrejsende skal besøge et antal kunder i forskellige byer, han skal besøge hver by én gang og han skal gøre det med den kortest mulige distance, uden at besøge samme kunde to gange. TSP er, at kun ét køretøj skal rundt mellem byerne, og der er ingen kapacitet at tage højde for, da køretøjet ikke skal levere eller hente noget, køretøjet skal bare besøge byerne. Et VRP-problem er derved et TSP-problem, hvis der kun er en rute, et køretøj og en række kunder, som skal besøges og ingen yderligere begrænsninger at tage højde for. Nogen VRP algoritmer bruger TSP til at løse dele af ruteplanlægningsproblemet(lawler 1985). TSP bruges i disse algoritmer til at bestemme i hvilken rækkefølge et køretøj skal besøge kunderne. Modellen til at løse et simpelt TSP formuleres i næste afsnit. 4.2 TSP The assignment problem (Lawler 1985) Her opstilles den matematiske formulering af et simpelt TSP. Nedenfor defineres modellens parameter, variabel, objekt funktion og bibetingelser. Givet et netværk, hvor angiver knuder i TSP-problemet og er kanterne i netværket. Knude angiver kunderne. Depotet tilhører punktet. er distancen fra i til j, hvor og er en variabel som kan tage værdien 1, hvis kanten (i,j) benyttes og 0, hvis den ikke benyttes. Parametre Side 15 af 77

20 Variabler: Objekt funktion ( 4.1 ) Under bibetingelse af ( 4.2 ) ( 4.3 ) ( 4.4 ) ( 4.5 ) Objekt funktionen( 4.1 ) beregner den samlede længde af rejsen og da formålet er at finde den korteste rejse, minimeres objekt funktionen. Betingelse ( 4.2 ) og ( 4.3 ) sikre at hvert punkt kun bliver besøgt netop en gang, hvilket vil sige at præcist én kant går ind i punktet og én kant fra punktet. Yderligere er subturer ikke tilladt, da der kun må være en rute og at denne rute skal ende ved depotet. Dette sikre bibetingelse( 4.4 ). Dette er opstillingen for et simpelt TSP som Vehicle Routing Problemer udspringer af. I de fleste VRP problemer tilføjes kapacitets begrænsningen til problemstillingen. Næst vil Capacitaed VRP(CVRP) blive beskrevet. CVRP er en simpel udgave af Vehicle Routing Problems hvor der tages højde for køretøjets kapacitet i beskrivelsen af problemet. Det er samtidig den udgave af VRP, der er blevet forsket mest indenfor gennem de seneste 30 år. 4.3 Kapacitets VRP VRP med Kapacitetsbegrænsning (CVRP) er kerneudgaven af Vehicle Routing Problems, da der i de fleste tilfælde er begrænsning på køretøjets kapacitet. I modsætning til TSP er problemstillingen udvidet i henhold til, at kundens efterspørgsel er kendt på forhånd og at den ikke kan splittes, dvs. at et køretøj skal besøge kunderne præcis én gang og opfylde den pågældende efterspørgsel på en gang. Derudover Side 16 af 77

21 kan der være mere end et køretøj, alle køretøjer er identiske ift. kapacitet og er tilknyttet det samme centrale depot. Den eneste begrænsning som er pålagt problemet, er køretøjets kapacitet.(toth, Vigo 2002) Formulering og notation af CVRP I udgangspunktet kan CVRP, ligesom TSP, formuleres og opskrives med følgende notation: Kunder angives med indeks, depot kan indekseres eller og køretøjerne. En kunde har en efterspørgsel og et køretøj har en kapacitet på. Transportomkostningerne mellem to kunder, kunde og kunde, angives ved (Lawler 1985). Denne grundlæggende model til at løse ruteplanlægningsproblemer ignorerer et stort antal af yderligere begrænsninger/betingelser som ofte er til stede i den virkelig verden. Disse begrænsninger er bl.a. at et køretøj kan servicere flere ruter, at der på ruten skal tages højde for tidsvinduer som f.eks. åbningstider ved kunderne, og at virkelighedsproblemer både kan dreje sig om levering og afhentning. De nævnte begrænsninger er kun en brøkdel af de begrænsninger, der stødes på i den virkelige verden og begrænsningerne afhænger af hvilket ruteplanlægningsproblem, der tages udgangspunkt i. Dog ændre dette ikke ved den grundlæggende model for VRP og basis modellen kan bruges i en del af de heuristiske modeller(lawler 1985). Nedenfor vil udvidelser af CVRP blive nærmere introduceret, her ses der på VRP med time windows og VRP med pickup and delivery. Dette for at se på hvilke andre betingelser et ruteplanlægningsproblem kan indeholde og fordi begge dele er relevante at kende for at forstå samkørselsproblemet. Tidsvinduer (time windows) I et givet netværk kan en yderligere begrænsning af ruteplanlægningsproblemet være, at der til hver knude tilhører et tidsvindue, som angiver, i hvilket tidsrum knuden kan blive serviceret. Tidsvinduet defineres som hvor L er det tidligste tidspunkt, det er muligt at starte med at servicere knuden og U, er det seneste tidspunkt at starte i knuden. Normalt antages det at tidsvinduer er hårde begrænsninger, hvilket betyder, at det ikke er tillad at starte serviceringen udenfor tidsvinduet. Hvis et køretøj ankommer til en knude før tidspunktet L tvinger tidsvinduet køretøjet til at vente med serviceringen til tidspunkt L. Den tid køretøjet må vente kaldes ventetiden(wait time). Dette er i modellen spildtid og er dermed en ekstra omkostning.(hall 1999) Pickup and delivery Et ruteplanlægningsproblem med pickup and delivery er defineret ved at der både skal tages højde for levering og afhentning i samme problem. Det kan være levering og afhentning af alt fra vare, affald, Side 17 af 77

22 mennesker osv. Det kan være at et køretøj først kører ud med varer til en række kunder, for derefter at hente vare der skal med tilbage til depotet, eller at der ved hver kunde både skal afleveres varer og afhentes f.eks. tom emballage. Til hver knude er der tilknyttet en given efterspørgsel eller hvilket angiver pickup eller delivery (Toth, Vigo 2002). De nævnte ruteplanlægningsproblemer anvendes til løsning af mange forskelligartede problemer lige fra indsamling til levering af varer til andre anvendelsesformål som for eksempel planlægning af skolebus ruter, transport af handicappede og som i denne afhandling organisering af samkørsel mellem kollegaer (Toth, Vigo 2002). Ud fra denne afhandlingsproblemstilling vil næste afsnit omhandle en central modifikation af det generelle VRP. Denne modifikation kaldes Open Vehicle Routing Problem(OVRP) og omhandler ruteplanlægningsproblemer, hvor køretøjet ikke både starter og slutter i depotet og der ved ikke kører i loops, men i åbne ruter. 4.4 Open Vehicle Routing Problem (OVRP) En af de første til at beskrive Open Vehicle Routing Problems var Schrage i 1981, her angav han at køretøjet kunne karakteriseres ud fra mindst tre kriterier: (1) kapacitet, (2) omkostninger tilknyttet og (3) hvorvidt køretøjet kørte i åbne eller lukkede loops. In a closed trip, a vehicle returns to its starting location; in an open trip, it may not (Brandão 2004). Endvidere har Bodin (1983) beskrevet problemet, denne beskrivelse er blevet anvendt af FedEx til at udvikle en åben flyrute til flyene (Li, Golden et al. 2007). Indtil 1990 erne var forskning indenfor OVRP ikke særlig udbredt. De seneste årtier har ændret på dette og flere forskere har anvendt forskellige algoritmer som tabu search, large neighborhood search og minimum spanning tree til at løse OVRP. OVRP er forskellig fra det klassiske VRP, fordi køretøjet enten ikke er tvunget til at ende ved depotet efter at have besøgt en række knuder, eller fordi køretøjet kører den omvente vej tilbage(sariklis, Powell 2000). In the open vehicle routing problem (OVRP), a vehicle does not return to the depot after servicing the last customer on a route. (Li, Golden et al s. 2918) Ud fra grafteori er den væsentlige forskellen mellem OVRP og traditionel VRP at OVRP består af et sæt af Hamilton-veje i stedet for Hamilton-cirkler. Dette er i forhold til at køretøjet ikke starter og slutter i depotet, kun hvis køretøjet kører præcis den sammen vej tilbage i modsat rækkefølge. Side 18 af 77

23 Ruteplanlægningsproblemets formål er at finde den bedste Hamilton vej for hvert sæt af kunder til hvert køretøj, hvilket betyder at problemet er NP-hard ligesom det er tilfældet ved VRP (Tarantilis, Ioannou et al. 2005, Brandão 2004). Beskrivelsen af OVRP er at der findes ét depot og et set af kunder med en given efterspørgsel. Tilknyttet depotet er en række køretøjer, hvor hvert køretøj har en fast kapacitet og transportomkostninger. Transportomkostningerne mellem depotet og kunderne samt mellem hver kunde er givet. Ud fra dette er problemet at finde det set af kunder som opfylder en variant af tre kriterier(sariklis, Powell 2000): 1) Hver rute konstrueres ud fra depotet og slutter ved en kunde 2) Hver kunder bliver besøgt én gang og kun én gang af netop et køretøj og hele efterspørgslen opfyldes 3) Den samlede efterspørgsel fra de kunder som er blevet besøgt skal være mindre end eller lig med køretøjets kapacitet på den tilknyttede rute. Formålet er at minimere antallet af køretøjer og den samlede distance. Et OVRP-problem kunne f.eks. være det tilfælde, hvor en virksomhed hyrer en vognmand, som skal levere varer for dem. I det tilfælde skal vognmanden starte ruten hos virksomheden, kører ud til kunderne med varer og efter besøget hos den sidste kunde, skal han kører hjem til sig selv og ikke tilbage til depotet. Den rute, der skal planlægges og optimeres på, bliver således kun ruten fra depotet og ud til alle kunderne. På trods af gode algoritmer til at løse VRP er det ikke hensigtsmæssig at løse OVRP med disse algoritmer f.eks. ved at fjerne den sidste kant fra depotet og den tilstødende kunde, fordi beregningstiden øges markant og giver dårligere løsninger end specifikke algoritmer til OVRP(Brandão 2004). Afsnittet har set på teorien til udarbejdelse af ruteplanlægningsproblemer. Dette for at få et indblik i hvad teorien indeholder i forhold til problemstillingen om at udarbejde ruteplanlægningen til samkørselsordninger. I praksis når der er tale om komplekse problemstillinger, er det ofte umuligt at tage højde for alle disse betingelser som er væsentlige i problemet i en model, hvilket ligeledes gør det svært at løse virkelige problemstillinger eksakt. I stedet benyttes derfor heuristiske metoder til at løse komplekse problemstillinger. Næste afsnit vil behandle forskellige klassiske heuristiske løsningsmetoder som kan anvendes til at udarbejde ruteplanlægningsproblemer. Side 19 af 77

24 5 Heuristiske løsningsmetoder En heuristisk metode, er en metode som ikke garanterer den bedste løsning. Disse metoder kaldes også for algoritmer og algoritmer til ruteplanlægning vil fremkomme med gode løsninger, dog er det ikke sikkert, at løsningsmetoden nødvendigvis giver den bedste løsning. Fordelen er at heuristikkens beregningsteknik er hurtigere end de eksakte algoritmer, men heuristikker har den ulempe, at de har tendens til at konvergere ved et lokalt optimum. Heuristiske metoder til ruteplanlægning kan klassificeres i tre kategorier: konstruktions-, to-fase- og incomplete optimization metoder (Lawler 1985). Til at starte med vil det næste afsnit beskrive følgende konstruktions metoder; Nearest-neighbor, insertion og Clarke & Wright s savingsalgoritme. Efterfølgende Sweep algoritmen, Christofides, Mingozzzi & Toth s -og Fisher & Jaikumar s to-fase metode. Endvidere vil der i afsnittet blive beskrevet, hvilke mulige modifikationer, der kan tilføjes til savingsalgoritmen samt andre forbedringsmetoder til de klassiske heuristikker. Metaheuristikker og nye algoritmer til at løse OVRP præsenteres slutteligt i afsnittet. Som tidligere nævnt kan det være besværligt, til tider umuligt at løse VRP problemer optimalt. Af den grund løses mange virkelige problemstillinger ved hjælp af heuristikker. Heuristikker til løsning af VRP problemer vurderes efter 4 kriterier: præcision, hastighed, enkelthed og fleksibilitet. (Gendreau, Laporte et al. 2002) 5.1 Konstruktions algoritmer Heuristikker kan deles i sekventielle og parallelle metoder, hvor der i den sekventielle metode arbejdes med én rute af gangen, indtil alle er på en rute, og modsat i den parallelle hvor der arbejdes med flere ruter simultant(solomon 1987) Nearest-neighbor metode og insertion metode Nearest-neighbor heuristikken er en sekventiel konstruktionsheuristik, der starter en rute ved den kunde der ligger nærmest til depotet. Den næste kunde der komme med på ruten er kunde 1 s nærmeste nabo, hvis denne lever op til betingelser om kapacitet på køretøjet, eventuelle tidsvinduer og maksimal rutelængde. På den måde konstrueres ruterne, ved hele tiden at sætte den kunde på der er tættest på, på i ruteenden. Når kapacitets eller rutelængden er nået, startes en ny rute (Solomon 1987). Insertion Heuristikken er, som Nearest-Neighbor, en sekventiel konstruktionsheuristik, der bygger en tur op af gangen. Den første kunde på ruten vælges efter et kriterium, der opstilles på forhånd. Dette kan Side 20 af 77

25 være den kunde der ligger længst væk fra depotet eller i tilfælde af tidsvinduer, den kunde med det tidligste tidvindue. Ruten er således startet og går mellem den første kunde og depotet. Metoden bruger to kriterier ved hver iteration til at indsætte en ny kunde et sted på ruten. Den nye kunde indsættes ikke nødvendigvis i enden af ruten, men kan også indsættes mellem hver af de eksisterende kunder på ruten. Hver gang der skal sættes en ny kunde på en rute, beregnes der for hver kunde, der endnu ikke er på en rute, det bedste indsættelsessted, som er det sted, der giver den korteste rute. Næst vælges så den kunde der klarede sig bedst og indsættes det sted på ruten, hvor afstanden er kortest. Dette fortsættes indtil kapaciteten er opbrugt, den maksimale rutelængde er overskredet eller at alle kunder til kommet på en rute Clarke and Wright s savingsalgoritme Clarke and Wright s savingsalgoritme blev lavet I 1964 som en udvikling af Dantzig og Ramsers metode til at løse traditionelle VRP-problemer, som de mente var utilstrækkelig, da den havde mere fokus på at udnytte kapaciteten på køretøjerne, end at minimere den rejste distance. (Wright, Clarke 1964) Savingsalgoritmen blev lavet til at løse ruteplanlægningsproblemer, der består af en et depot, en række kunder med en given efterspørgsel og et ubegrænset antal køretøjer. Hver rute betjenes af ét køretøj, skal starte og ende i depotet og alle kunderne skal serviceres og skal derved besøges netop en gang, samt hensyntagen til køretøjerne kapacitet. Det skal bestemmes, hvilket køretøj hver kunde skal betjenes af og i hvilken rækkefølge, således at omkostningerne ved transporten minimeres. Savingsberegningen I udgangspunktet bliver alle kunderne betjent hver for sig, hvilket vil sige at der opstår omkostninger svarende til transportomkostningerne fra depotet og ud til en kunde og tilbage igen og dette for hver kunde. Det essentielle i denne metode er at beregne, hvor mange omkostninger man kan spare ved at køre ud til to kunder på samme tid, frem for at køre til de to kunder hver for sig. Beregningsmetoden er illustreret herunder, hvor 0 er depotet og i og j er kunder, der skal besøges. Figur 5.1 (A) viser den initiale metode, hvor et køretøj kører fra 0-i-0 og fra 0-j-0. På den måde er omkostningerne: ( 5.1 ) Side 21 af 77

26 Figur 5.1 (B) viser ruten hvis man kører i og j på samme tur, 0-i-j-0. Omkostninger bliver herved: ( 5.2 ) Nu kan besparelse, S, beregnes: ( 5.3 ) Figur 5.1 Illustration af savingsberegning Kilde: Egen tilblivelse med inspiration fra (Lysgaard 1997) Reduceret bliver det til: ( 5.4 ) Beregningen laves for alle kombinationer af to kunder, og resultatet bliver en savingsmatrix som efterfølgende opstilles i rangeret orden. Hvis besparelsen mellem to kunder er stor, betyder det at det vil være attraktivt at betjene de to kunder på samme rute, hvorimod en negativ besparelse betyder at der vil være en ekstra omkostning forbundet med at betjene de to kunder på samme ruter, hvilket ikke er attraktivt. Konstruktionen af ruter Konstruktionen af ruter kan ske på to måder, sekventielt eller parallelt. I den sekventielle metode arbejdes der med en rute af gangen, som starter med den kombination af kunder med den højeste saving, da denne er mest attraktiv at få med på ruten. Dernæst vurderes den kombination med den højeste saving, der endnu ikke er medtaget på ruten, og hvis den er mulig at få med på ruten, tages den med, ellers springes den over. For at den næsthøjeste saving kan tages med på ruten, skal der være et link mellem de punkter, der er i enderne af den eksisterende rute og punkterne der udgør den Side 22 af 77

27 næsthøjeste saving. Denne fremgangsmåde fortsætter til kapaciteten er opbrugt eller at alle punkter er besøgt. Når en rute er afsluttet påbegyndes en ny rute efter samme fremgangsmåde. I den parallelle metode starter man igen med den højeste saving og sætter nye kunder på ruten, hvis der er et link mellem den eksisterende rute og den kombination af kunder med den højeste saving, og at kapaciteten ikke bliver overskredet. Hvis kundekombinationen med højeste saving ikke har et link til den eksisterende rute, så oprettes der en ny rute som der arbejdes videre med samtidigt. Vurdering af metoden Savingsmetoden er en metode, der er enkel at forstå og bruge og er beregningsmæssigt hurtig at lave. Metoden har dog vist sig, ikke at være den mest præcise, hvad angår at komme tæt på den mest optimale løsning. I forhold til fleksibilitet klarer Savingsmetoden sig dårligt. Det, at tilføje flere begrænsninger for at gøre problemstillingen mere virkelighedsnær, kan lade sig gøre, men giver signifikant mere upræcise løsninger. (Rand 2009) Modifikationer til Clarke & Wright s savingsmetode Savingsalgoritmen er en af de mest brugte metoder og mange har prøvet at forbedre metoden, ved at modificere den en smule. Formålet ved modifikationerne har enten været at forbedre rutesammensætningsprocessen eller at formindske beregningstiden. modifikation. Gaskell (1967) fandt det nødvendigt at modificere Clarke and Wright s algoritme, da han fandt at metoden havde tendens til at producere perifere ruter. For at forbedre rutesammensætningsprocessen forslog han, at der i beregningen af besparelsen, skulle ganges en faktor,, på afstanden mellem de to punkter, der skulle køres på samme tur. På denne måde får afstanden mellem de to punkter større eller mindre betydning, end afstanden til depotet og det bliver muligt at variere denne betydning. Der er ikke fundet en værdi, der i alle tilfælde er den bedste, men kan variere mellem 0 og 3. Således kommer beregningen af besparelsen til at lyde: ( 5.5 ) Ud over Gaskell har blandt mange andre Paessens (1988), Altinel and Oncan (2005), Yellow (1970) lavet modifikationer af Clarke and Wright s savingsalgoritme for at forbedre rutesammensætningen eller beregningstiden. Modifikationerne har taget højde for f.eks. kundernes efterspørgsel og for beregningsarbejdet med at opstille en savingsmatrix. Side 23 af 77

28 Undertrykkelse af savings Holmes og Parker (1976) udviklede en metode, der i nogle tilfælde viste sig at kunne forbedre en initial Clarke og Wright s løsning ved at undertrykke den største saving. Årsagen til dette ligger i grundstenen af savingsalgoritmen, nemlig grådighed; at de bedste savings bliver allokeret til ruter først, hvilket efterlader ringere savings til sidst. Derved kan de sidste ruter blive ringe og udnytte kapaciteten i køretøjet dårlig. Metoden går i sin enkelthed ud på at sætte den største saving til at være nul og derved undertrykke at disse kunder sættes sammen på en rute. De første punkter, der sættes sammen bliver de punkter med den næsthøjeste saving. Hvis man får en bedre løsning end den initiale, kan man gå videre og sætte den næsthøjeste saving til 0, og se om dette giver en bedre løsning. Denne proces fortsættes til der ikke findes en bedre løsning. (Holmes, Parker 1976) Clarke & Wright s savingsalgoritme til OVRP The Federal Express Corporation s Airplane Scheduling algoritme er en variant af Clarke og Wright s savingsalgoritme, hvor der arbejdes med åbne ender I stedet for loops. Problemstillingen kan skitseres således: The Federal Express Corporation skal levere et forecastet antal pakker i forskellige byer rundt om i verden med fly. I Memphis, Tennessee, ligger der et depot, hvortil pakkerne flyves til og bliver pakket på nye fly, der levere til en række byer. Flyene skal ikke flyve tilbage til Memphis, når ruten er slut, men bliver i slutlufthavnen til næste dag, og starter med at indsamle pakker i denne lufthavn, flyver til andre lufthavne og samler op og til sidst til depoter, hvor pakkerne omfordeles og sendes ud. Det kan på den måde ses som to åbne ruter, en for pickups og en for deliveries. (Bodin, Golden et al. 1983) Dette resulterer i en alternativ måde at beregne savings på, som illustreres i Figur 5.2: Figur 5.2 illustration af savingsberegning ved åbne ruter Kilde: Egen tilblivelse med inspiration af (Bodin, Golden et al. 1983) Side 24 af 77

29 Omkostningerne forbundet med Figur 5.2 (A) 1-0 og 2-0: ( 5.6 ) Omkostningerne forbundet med Figur 5.2 (B) 2-1-0: ( 5.7 ) Besparelsen bliver: ( 5.8 ) Og det kan blive reduceret til: ( 5.9 ) Også ved andre OVRP-problemer end FedEx kan savings beregnes ved at anvende ligning ( 5.9 ). Saving beregnes som før for alle kombinationerne kunderne og rangeres derefter efter størrelse. Konstruktionen af ruterne kan ligeledes ske ved den sekventielle eller parallelle metode, som beskrevet ved Clarke and Wright s savingsalgoritme afsnit Denne alternative måde at beregne savings, vil, sammen med modifikation, senere i denne afhandling blive anvendt til udarbejde af en mulig løsning til trængselsproblemstillingen, da denne problemstilling netop ses som et OVRP. Konstruktionen af samkørselsruter foretages med den parallelle metode. Næstfølgende vil en anden type af klassiske metoder for VRP-problemet blive behandlet som kaldes tofase algoritmer. 5.2 To-fase metoder (Cluster-first, route-second) To-fase metoder er kendetegnet ved at metoderne, gennem to separate faser, klynger kunderne sammen til et køretøj uden nogen rutebestemmelse, for dernæst at bestemme ruten og i hvilken rækkefølge kunderne skal besøges (Lawler 1985). Dette er de algoritmer, som kaldes cluster-first, routesecond. Der er forskellige udgaver af disse algoritmer, de simpleste cluster-first, route-second algorimter er Elementary Clustering Methods og tre kendte cluster-first, route-second algoritmer er The Sweep algoritme, Christofides, Mingozzzi & Toth s to-fase metode og Fisher & Jaikumar s to-fase metode(toth, Vigo 2002). Side 25 af 77

30 5.2.1 The Sweep algoritme Sweep algoritmen er karakteriseret ved initialt at danne klynger. Inden for hver klynge sættes punkterne i klyngen sammen til en rute. De individuelle ruter ændres indtil en optimal eller nær-optimal løsning er fundet. Dette betyder at problemet brydes ned til mindre delproblemer(gillett, Miller 1974). Der er flere udgaver af Sweep algoritmen(lawler 1985) bl.a. forward/backward-sweep algoritmen. Klyngerne dannes ud fra at man roterer et koordinatsystem omkring depotet, som sættes i origo (0,0). Herfra udregnes vinkler for hvert punkt, hvor hver knude tilføjes en klynge og ruterne dannes ved at tilføje det punkt med den korteste vinkel. Derefter kan en 3-opt anvendes efter hver tilføjelse af en ny knude. Punkter bliver tilføjet til klyngen så længe, der er kapacitet tilovers i køretøjet og rutelængde ikke er overskredet. Når alle punkter er tilføjet optimeres køretøjernes ruter individuelt ved at anvende TSP, så hvert køretøj og sæt af punkter danner den korteste ruter Christofides, Mingozzzi & Toth s to-fase metode Denne to-fase algoritme er ligesom Sweep en clutser-first, route-second, men denne algoritme dannes klynger ud fra omkostninger i stedet for vinkler. Den første fase, som er klynge-fasen, består i at danne et antal klynger. Klyngerne dannes ved at anvende et omkostningsindsættelses-kriterium, hvortil der efterfølgende tilføjes en ekstra parametre. Denne ekstra parameter ændrer proceduren hvorpå klyngen dannes og vil give forskellige klynger. To forskellige forsøg på at danne klynger er det sekventielle forsøg og det parallel forsøg(lawler 1985). Det sekventielle forsøg danner klynger ud fra valgte seeds-kunder, hvor en seed-kunde er den kunde som klyngen tager udgangspunkt i, og tilføjer resterende kunder til klyngen ud fra indsættelsesomkostningerne som prioriteres i en stigende rækkefølge relativ til seed-kunden. Kunder tilføjes til klyngen indtil køretøjets kapacitet er nået maksimum. Ved det parallelle forsøg beregnes indsættelsesomkostningen for en free customers indtil en mulig klynge. Den bedste indsættelsesomkostning for en kunde vælges. Herved dannes klyngerne ved det parallelle forsøg. I fase to løses TSP for alle klynger for at fastsætte ruten, hvor den bedste løsning for hver klynge beholdes. Der kan laves flere forsøg end sekventielt og parallelt ved at anvende ændre omkostningsindsættelsesmål. Side 26 af 77

31 5.2.3 Fisher & Jaikumar s to-fase metode Fisher & Jaikumar s to-fase metode er en algoritme, der ligesom Christofides, Mingozzzi & Toth s to-fase metode består af to faser, hvor den første fase er delt op i steps. Igennem de forskellige steps dannes der initiale klynger ud fra nogle seed-knuder. Klyngerne dannes sekventielt, hvilket betyder at én klynge dannes af gangen og når maks. kapaciteten for køretøjet på ruten er nået startes der på en ny klynge med en ny seed-knude. De dannede klynger rebalanceres ved anvendelse af et Generalized Assignment Problem(GAP) og til sidst i fase to løses TSP indenfor alle klynger for at fastsætte ruten og giver derved en løsning til VRP problemet(toth, Vigo 2002). Med Fisher & Jaikumar s algoritme vil antallet af køretøjsruter være fast ud fra antallet af seeds-knuder, derudover tager algoritmen kun højde for kapaciteten i køretøjet og der er ikke en betingelse for begrænsede rutelængde (Toth, Vigo 2002). Nedenfor vil de to faser og de enkelte step blive nærmere beskrevet: Fase 1 Step: Udvælges af seed-knude I dette step udvælges en seed-knude. Seed-knuden er den knude som hver iteration tager udgangspunkt i og viser, hvor mange gange vi har været igennem fase 1, så hvis er det den første iteration og hvis er det den tredje iteration. Ud fra hver iteration dannes de initiale klynger. Der kan være forskellige overvejelser bag, hvordan en seed-knude udvælges i en given problemstilling (Fisher, Jaikumar 1981). I praksis kan seed-knuden udvælge ud fra afstanden fra knuden til depotet, hvor den seed-knude med den længste afstand vælges. Derudover kan det ligeledes være efterspørgslen i knuderne, en bestemt tidsfaktor eller spredningen mellem knuderne osv. Step: Allokering af kunder til seed Til at allokere kunderne til den udvalgte seed-knude, beregnes nedenstående delta(j) værdi for de kunder som ikke er blevet allokeret til en seed-knude ud fra den udvalgte seed-knude. Delta(j) er beregningen for en rutelængde med en seed-knude, en kunde og depotet. Ligesom set ved savingsmodifitaktionerne er der tilføjet en lambda-faktor som ganges på rejselængden mellem i og j. Dette betyder at jo større lambda er, jo større betydning har ruteafstanden mellem punkt i og punkt j. Side 27 af 77

32 ( 5.10 ) Delta(j) rangeres i stigende rækkefølge fra mindste til størst, fordi det punkt, som tilføjes til klyngen er det punkt som giver den mindste rejselængde fra seed-knuden, over en kunde og til depotet. Den med den mindste delta værdi tilføjes til klyngen, hvis kunde ikke er tilføjet en seed-knude og er mulig at tilføje ift. kapacitetsbegrænsningen. Dette er angivet med ligning ( 5.11 ) ( 5.11 ) Kunder tilføjes til klyngen indtil der ikke kan tilføjes flere kunder på i klyngen. Udvælgelse af seed-kunder og allokering af kunder til seed er en sekventiel proces, hvilket vil sige at der påbegyndes en ny klynge ud fra en ny seed-kunde, hver gang der ikke kan tilføjes flere kunde i den nuværende klynge. Der kan ikke tilføjes flere kunder et en klynge når kapacitetsbegrænsningen i bilen er nået, da hver klynge repræsenterer et køretøj og en kommende rute. Når en ny allokering påbegyndes, stiger og til slut, når alle kunder er allokeret til en seed-kunde, fortsættes der til GAP. Step Generalized Assignment Problem (GAP) Efter udvælgelse af seed-kunder og allokering af kunder til seed, forsøges det i dette step at optimere klyngerne via et Generalized Assignment Problem. Det vil sige at klyngerne opløses igen for at rebalancere klyngerne, dog holdes der fast ved de fundne seed-kunder. Dette angiver, som er ruter kun med et seed punkt og depotet, og er sættet af alle ruter. Seed-kunden defineres nu som, da hver seed-kunde er fastholdt til en rute. For hver kombination af kunde som ikke tilhører en klynge og seed-kunde beregnes nedenstående omkostning ( 5.12 ). Denne omkostning er den ekstra rejselængde som tilføjes, ved at tage et ekstra punkt j med på ruten mellem et depot og seed punkt. ( 5.12 ) Nu for alle ruter, sættets, som angiver sættet af ikke-seedkunder. Ud fra omkostningsmatrixen allokeres kunde til den ny seed-kunde, hvor der er den mindste ekstra rejselængde. Dette er angivet af ligning ( 5.13 ) Kunde er mulig at tilføje, hvis kapacitetsbegrænsning er overholdt og efterspørgslen bliver opfyldt. ( 5.13 ) Optimering af klyngerne og GAP kan opstilles som en Heltalsprogrammings-model, hvor alle kunder bliver tilføjet til en seed-kunde med det formål at minimere den ekstra rejselængde( 5.13 ). Efter dette er klyngerne dannet og TSP anvendes herefter til at fastlægge ruterne indenfor hver klynge med enten Side 28 af 77

33 en eksakt eller heuristisk metode. En matematisk formulering af GAP kan opskrives på følgende måde med kapacitets- og efterspørgselsbibetingelser( 5.15 )+( 5.16 ). Der kan dog i andre problemstillinger være andre eller yderligere begrænsninger som modellen skal tage højde for, men disse medtages ikke her eller kommenteres nærmere. Objekt funktion: Under bibetingelse af: ( 5.14 ) ( 5.15 ) ( 5.16 ) ( 5.17 ) Fase 2 For at minimere transportomkostninger og rutelængden indenfor klyngerne, anvendes TSP til at fastlægge ruterne i alle klyngerne. En generel heltalsprogrammerings-formulering af TSP kan anvendes til at minimere transportomkostningerne, som opstillet i afsnit 4.2. Senere i afhandlingen vil Fisher & Jaikumar s cluster-first, route-second anvendes til udarbejdelse af en mulig løsning problemstillingen. Fase 1, som danner klyngerne, bruges ligesom beskrevet ovenfor, dog ændres modellen i fase 2, hvor TSP justeres i forhold til problemets åbne ruter. I de overstående afsnit 5.1 og 5.2 er flere klassiske heuristiske løsningsmetoder præsenteret. Disse løsningsmetoder er initiale løsninger, som oftest i praksis forsøges forbedret. Til at forbedre initiale løsninger findes en række forskellige forbedringsmetoder, som næstfølgende afsnit kort vil præsenterer nogle af. Derefter vil brugen af metaheuristikker i afsnit 5.4 kort beskrives. Disse bruger ofte både initiale og forbedringsheuristikker i samme algoritme. Side 29 af 77

34 5.3 Forbedringsmetoder En forbedringsheuristik tager udgangspunkt i en eksisterende brugbar løsning og forsøger at forbedre denne, ved enten at forbedre en rute af gangen eller flere ruter på samme tid. Forsøges det at forbedre én rute af gangen kaldes det en single-route improvement og forsøges flere ruter forbedret kaldes det en multi-route improvement. (Toth, Vigo 2002) forbedring En af de mest anvendte single-route improvements er af Lin (1965). Her fjerner man links på en eksisterende tur og kobler turen sammen, så den igen er hel. Hvis man på den måde kan finde en bedre løsning end den første, så fortsætter man ombytningen af kanter, ellers stopper man. Hvis sættes til 1, betyder det at et link fjernes og indsættes igen. Dette vil dog give den samme løsning som før, da man ikke kan sætte det ene link ind igen på en anden måde. Hvis sættes til 2, så fjerne man to links og på den måde giver det en ny kombinationsmulighed. Jo højere, jo flere mulige kombinationer er der. (Toth, Vigo 2002) String relocation og String exhange metode Af multi-route forbedringer kan nævnes Savelsberghs(1992) String relocation og String exhange metode. String relocation metoden går ud på at man tager et stop eller fra et stop og resten af ruten (string) fra én rute og indsætter det i en anden rute. Denne metode benævnes (m-0) hvor m er string ens længde. F.eks. betyder en (1-0) at et stop tages fra en rute og indsætte i en anden for at se om dette forbedre den samlede løsning. String exhange metoden, skrives (m,n) hvor m, er stringens længde i den første rute og n er i den anden rute. Bytter man en (1-1), bytter man altså et stop fra rute 1, ud med et stop fra rute 2. (Van Breedam 1995) 5.4 Metaheuristikker Metaheuristikker adskiller sig fra de traditionelle heuristikker ved at undersøge en større del af løsningsområdet. På den måde finder metaheuristikker ofte mere optimale løsninger end de traditionelle heuristikker. En metaheuristik er ofte tilpasset til et specifikt problem og indebære ofte søgninger der tager udgangspunkt i en eller flere af de traditionelle konstruktions og forbedrings heuristikker. En meta-heuristik kan under søgningen af et optimum, tillade at en dårligere eller ikkebrugbar løsning, fortsættes for at undgå at sidde fast i et lokalt optimum. Metaheuristikker kan finde bedre løsninger end de traditionelle heuristikker, men har også tendens til at være mere komplekse og være mere tidskrævende at løse (Toth, Vigo 2002). Under hensyntagen til hvilken problemstilling der undersøger, skal der afvejes mellem tidsforbrug og præcisionen af løsningen. Det kan være en fordel at Side 30 af 77

35 bruge metaheuristikker frem for traditionelle eller omvendt, alt efter hvor meget tid man har til rådighed og hvor vigtig en næroptimal løsning er. 5.5 Algoritmer til OVRP Indtil videre har dette afsnit 5 beskrevet klassiske VRP algoritmer, forbedringer og metaheuristikker. Clarke & Wright s og Fisher & Jaikumar s algoritmer er udviklet til det klassiske VRP problem, og som tidligere nævnt i afsnittene er flere af de klassiske algoritmer, herunder Clarke & Wright s savingsalgoritme, blevet videreudviklet og modificeret for at kunne performe bedre og for at algoritmerne kan tilpasses til forskellige problemstillinger. Denne afhandlings problemstilling er et ruteplanlægningsproblem, hvor der ses på åbne ruter og for hver rute er der forskellige startpunkter, men det samme slutpunkt. Dette betyder at klassiske VRP algoritmer, skal modificeres for at kunne tilpasses afhandlingens problemstilling. Clarke & Wright s savingsalgoritme er, som beskrevet i afsnit 5.1.4, modificeret til det åbne ruteplanlægningsproblem, ud fra The Federal Express Corporation s airplane scheduling algorithm. Fisher & Jaikumar s algoritme kan justeres til at passe til OVRP i TSP-fasen. Men selvom nogle algoritmer kan modificeres, ligesom Clarke & Wright s savingsalgoritme, er det ikke altid hensigtsmæssigt at anvende klassiske algoritmer til ruteplanlægningsproblemer med åbne ruter, OVRP. Det er f.eks. ikke muligt at fjerne den sidste kant fra depotet og den tilstødende kunde i VRP algoritme, og derved modificeres dem til OVRP, fordi sådan en justering kan gøre at beregningstiden øges markant og fordi det generelt giver dårligere løsninger end algoritmer der er lavet specifikt til OVRP(Brandão 2004). Forskning har siden år 2000 udviklet 11 algoritmer til det åbne ruteplanlægningsproblem. Disse algoritmer er baseret på VRP heuristikker, som betyder at algoritmernes løsninger ikke er en optimal løsning, og det er derfor interessant at se hvor gode løsninger algoritmer kommer frem til i forhold til hinanden. De 11 algoritmer er udviklet ud fra forskellige grundlag bl.a. ud fra tærskelværdier, tabu search, large neighborhood search og minimum spanning tree. Ud fra 16 testproblemer er de 11 OVRP algoritmer testet på samtlige af testproblemerne for at vurdere kvaliteten af algoritmerne mod hinanden. OVRP algoritmerne kommer frem til vidt forskellige løsninger i forhold til samlede rutelængde, antal køretøjer og beregningstiden. Artiklen kommer frem til at large neighborhood search, record-to-record og tabu search var algoritmer som præsterede godt med hensyn til samlede rutelængde og antallet af køretøjer. Ligeledes blev det observeret at en variant af cluster-first, routesecond algoritmen i seks tilfælde generede løsninger som opnåede det samme antal køretøj som fem Side 31 af 77

36 andre algoritmer, derudover viste det sig at cluster-first, route-second i syv tilfælde havde en meget hurtig beregningstid. Billedet skitseret af OVRP er ligesom i afsnittet om metaheuristikker 5.4, hvor at metaheuristikkerne som neighborhood search og tabu search giver gode løsninger, men beregningstiden er ofte længere. Derimod giver andre algoritmer mindre optimale løsninger, ligesom cluster-first, route-second, men er hurtigere at løse. Det ses derfor at algoritmer til OVRP-problemer præsterer forskelligt og varierer i løsningerne ligesom det er tilfældet med VRP algoritmerne. Til at udvælge de algoritmer som kan benyttes til at udarbejde et åbent ruteplanlægningsproblem er betragtningen mellem samlede rutelængde, antallet af anvendte køretøjer og beregning tid faktorer som vil spille ind. De omtalte algoritmer i dette afsnit er bl.a. metaheuristikker, som er komplekse at beregne, hvilket betyder at de ikke vil blive yderligere anvendt. Derimod er Fisher & Jaikumar s clusterfirst, route-second algoritme, en algoritme som denne afhandling vil se på i forhold til at udarbejde ruteplanlægningen for sammenkørselsordninger sammen med videreudviklingen af Clarke & Wright s. Side 32 af 77

37 6 Opstilling af data og problemstilling I dette afsnit vil et eksempel, der tager udgangspunkt i den konkrete problemstilling ved Skejby Sygehus, blive opstillet, samt en beskrivelse af hvilke kriterier eksemplet skal løses ud fra og argumentation for mulige løsningsmetoder. 6.1 Dataindsamling Som tidligere fortalt er problemstillingen ved Skejby Sygehus den, at de ansatte bruger urimeligt meget tid på at komme på arbejde til tiden, da der skal en stor mængde biler gennem et snævert område og parkeringsmulighederne er utilstrækkelige. Afhandlingen vil vise, hvordan man kan afhjælpe problemet ved hjælp af sammenkørselsordninger, og vise fordelene og ulemperne ved denne metode. I den sammenhæng findes det interessant at beregne effekten af ordningen vurderet på, hvor mange biler, der kan undværes, samt hvilke konsekvenser det har for deltagerne, vurderet på omkostningsbesparelse og tidsforbrug for den enkelte. For at kunne lave en sådan beregning er det nødvendigt at have en række informationer til rådighed. Informationerne indebære adresser på de ansatte, der skal være med i ordningen, deres mødetider, deres normale rejsetidsforbrug til arbejde og om de har bil til rådighed. Da formålet med afhandlingen er at vise hvordan en sammenkørselsordning på sygehusets initiativ kan afhjælpe problemet ved Skejby Sygehus, i modsætning til, hvis formålet var at forbedre en række ansattes brændstoføkonomi, findes det tilstrækkeligt at bruge fiktivt data til at illustrere problemet. I den sammenhæng er det datasæt, der beregnes på i de efterfølgende afsnit lavet af forfatterne, men datasættet er konstrueret til at ligne de ansattes virkelige forhold. Datasættet ses i bilag Datasæt og koordinatsystem. Eksemplet og datasættet er fiktivt, og derfor blot opstillet ud fra koordinater i et koordinatsystem. Figur 6.1, illustrere dette. Distancen mellem de ansatte, som hver er tilknyttet et koordinat, og Skejby Sygehus, som er origo (0,0), er beregnet som euklidiske afstande. De euklidiske afstande er naturligvis ikke et retvisende billede i forhold til at en praktisk problemstilling belyses, da der på denne måde ikke tages højde for ensrettede veje eller højre/venstresving forbudt, som kunne have givet en asymmetrisk afstandsmatrix. Side 33 af 77

38 Koordinaternes tilblivelse Koordinaterne er blevet til ud fra oplysninger fundet i Rambølls rapport om transportvaner i Skejbyområdet. Rapporten dækker både over de ansatte på Skejby Sygehus og de ansatte i de andre virksomheder, der har deltaget i undersøgelsen. Ud af de 5115 personer, der har deltaget i undersøgelsen er ca. 63 % af dem ansatte på Skejby Sygehus, eller personer, hvis arbejdsplads flyttes til Skejby Sygehus i forbindelse med omlægningen til Supersygehus. Det vil derfor argumenteres at resultaterne i Rambølls rapport, kan bruges til at konstruere virkelighedsnært data om de ansatte ved Skejby Sygehus. ("Rambøl" 2011). Figur 6.1: Det fiktive eksempel Kilde: Egen tilblivelse, bilag Datasæt og koordinatsystem Problemet vil blive løst ud fra et fiktivt eksempel Figur 6.1, som angiver 40 ansatte ved Skejby Sygehus, og det antages, at de 40 personer har sagt ja til at være interesseret i at deltage i samkørselsordninger. Årsagen til at eksemplet kun består af 40 ansatte set i forhold til de over 9000 ansatte, der forventes at skulle arbejde på sygehuset i fremtiden, er at eksemplet ikke betragter hele det geografiske område omkring Skejby. Det er i stedet valgt at placere de 40 ansatte i et udsnit ud fra Side 34 af 77

39 sygehuset, der i virkeligheden f.eks. ville svare til at området fra Skejby til Silkeborg og optil Viborg, samt de byer der ligger i området imellem de tre byer. Ud fra Rambøls rapports afsnit 41: Benyttelse af transportmiddel i forhold til afstand til arbejdspladsen, er der, som vist Tabel 6.1, beregnet hvor mange af de 40 fiktive ansatte, der skal bo henholdsvis <5, 5-10km, km, km og >20km væk fra arbejdspladsen. Disse 40 fiktive personer er i det følgende, personer, der har sagt ja til at deltage i en sammenkørselsordning, og som i forvejen kører til arbejde i en bil og derved medvirker til trængselsproblemet. Tabel 6.1: Fordelingen af de 40 ansatte ift. afstand til Skejby Sygehus Chauffør i bil Passager i bil Bil og bus på samme rejse Bil og cykel på samme rejse I alt Procent Ud af 40 Mindre end % 3 5 km 5-10 km % km % km % 4 over 20 km % % 40 Kilde: Side 41 - Benyttet transportmiddel i forhold til afstand til arbejdspladsen ("Rambøl" 2011) Efter at have bestemt hvor langt væk de 40 ansatte i vores eksempel skal ligge fra Skejby Sygehus, skal deres koordinater bestemmes. Skejby Sygehus får punktet (0,0). Koordinatsættet bestemmes ved hjælp af slumpmellem() formlen i Excel, som er en funktion, der generere et tilfældigt tal i et angivet interval. Funktionen angiver som udgangspunkt kun hele tal, men i dette tilfælde vil det give et urealistisk billede, da det ville betyde, at der mindst var 1 km afstand mellem 2 personer, og at afstanden kun kunne måles i hele km. For at undgå denne problemstilling er slumpmellem() -formlen divideret med 100 og på denne måde tillades decimaler. De første tre ansatte skulle, som vist i Tabel 6.1, bo under 5 km væk fra arbejdspladsen. Deres koordinater findes derved ved hjælp af slumpmellem(0,500) /100. For både x og y koordinaterne. Et udsnit af koordinaterne og den tilhørende formel kan ses i Tabel 6.2. De næste tre ansatte bor mellem 5-10 km væk og findes ved slumpmellem(500,1000) /100 for x koordinaten og HVIS(Xkoordinaten<5;SLUMPMELLEM(500;1000)/100;SLUMPMELLEM(0;1000)/100), for at undgå en for smal spredning. Denne proces fortsættes for alle 40 punkter og for de 23 ansatte, der Side 35 af 77

40 skal ligger over 20 km væk, er der sat et maksimum på 60 km, hvilket vil svarer til at disse ansatte skulle bo til og med byer som Hobro i nord, Viborg i vest, Grenå i øst, og Vejle i syd, for at give et billede af omfanget. Dette er en afgrænsning, der er lavet, da vi ikke kender de nærmere placeringer af de ansatte, der bor mere end 20 km væk ud fra Rambøls rapport. Der vil dog være ansatte, der bor endnu længere væk, men det antages at det er få af det samlede antal ansatte, og der vil blive set bort fra dette i konstruktionen af datasættet. På denne måde er der dannet følgende punkter vist i Figur 6.1, som er placeret, så der er ligheder med virkeligheden, men uden at forfatterne ellers har præget placeringen. Tabel 6.2: Udsnit af koordinater og tilhørende formel X Y X Y 1 3,69 1,64 =SLUMPMELLEM(0;500)/100 =SLUMPMELLEM(0;500)/ ,59 2,69 =SLUMPMELLEM(0;500)/100 =SLUMPMELLEM(0;500)/ ,18 3,36 =SLUMPMELLEM(0;500)/100 =SLUMPMELLEM(0;500)/ ,73 5,92 =SLUMPMELLEM(500;1000)/ ,77 4,23 =SLUMPMELLEM(500;1000)/ ,97 7,02 =SLUMPMELLEM(500;1000)/ ,78 7,14 =SLUMPMELLEM(1000;1500)/100 Kilde: Egen tilblivelse, bilag Datasæt og koordinatsystem De euklidiske afstande For at kunne løse problemet ved hjælp af heuristiske metoder under hensyntagen til at minimere den samlede rejselængde, er det nødvendigt at kende afstandene mellem hver ansat, samt fra hver ansat og til sygehuset. For at beregne afstanden mellem 2 punkter i et koordinatsystem skal man bruge afstandsformlen( 6.1 ). =HVIS(B5<5;SLUMPMELLEM(500;1000)/100; SLUMPMELLEM(0;1000)/100) =HVIS(B6<5;SLUMPMELLEM(500;1000)/100; SLUMPMELLEM(0;1000)/100) =HVIS(B7<5;SLUMPMELLEM(500;1000)/100; SLUMPMELLEM(0;1000)/100) =HVIS(B8<10;SLUMPMELLEM(1000;1500)/100; SLUMPMELLEM(0;1500)/100) ( 6.1 ) Afstandsformlen er udledt af Pythagoras s læresætning, der siger som i ligning ( 6.2 ) om retvinklede trekanter. ( 6.2 ) Som det ses på Bilag 14.1, som viser afstanden mellem person 1 og person 6 fra vores datasæt, kan afstanden mellem to koordinater i et koordinatsystem ses som siden c, altså hypotenusen. Længden af denne afstand kan beregnes med pythagoras. Længden på siden a, er person 6 s førstekoordinat 6,97 person 1 s førstekoordinat 3,69 = 3,28 og længden på siden b, er ligeledes forskellen mellem person 6 og Side 36 af 77

41 person 1 s andenkoordinat = 5,38. For at finde længden på siden c, skal man tage kvadratroden af b^2 og a^2. Alt dette svarer til udtrykket i afstandsformlen, som beregnes for alle personer. For person 1 og 6 bliver afstanden: ( 6.3 ) Herunder i Tabel 6.3 ses et udsnit af afstandsmatrixen beregnet for eksemplet med 40 deltagere. Tabel 6.3: Udsnit i afstandsmatrix i/j ,0 1,4 1,8 4,7 6,6 6,3 11,5 8,9 8,7 11,3 13,4 10,4 12,1 17,5 16,0 13,3 2 1,4 0,0 1,6 3,4 5,4 4,9 10,2 8,0 7,5 10,2 12,1 9,7 10,7 16,2 14,7 12,4 3 1,8 1,6 0,0 3,6 6,6 5,3 11,3 9,5 8,7 11,4 12,6 11,2 11,2 16,8 15,5 13,8 4 4,7 3,4 3,6 0,0 4,4 1,7 8,1 7,9 6,2 8,8 8,9 9,8 7,6 13,3 12,1 11,8 5 6,6 5,4 6,6 4,4 0,0 4,0 5,0 3,5 2,1 4,8 8,1 5,5 6,9 11,4 9,7 7,5 6 6,3 4,9 5,3 1,7 4,0 0,0 6,8 7,5 5,4 7,8 7,3 9,5 5,9 11,7 10,5 11,0 7 11,5 10,2 11,3 8,1 5,0 6,8 0,0 5,1 3,2 2,3 4,9 6,4 4,5 6,8 4,9 5,7 Kilde: Bilag Savings Modifikation1, ark:afstand 6.2 Problemstillingen om samkørsel ved Skejby Sygehus Det er tidligere i opgaven angivet at carpooling kan opstå på en række forskellige initiativer både fra regeringen, kommunerne, arbejdspladserne og privatpersoner bl.a. som følge af ønske om reduceret CO2-udslip, trængselsproblemer eller ønsket om at spare på transportomkostningerne. Initiativtageren har en betydning for formålet med optimeringen og vurderingen af resultatet. Derved får problemstillingens synsvinkel indflydelse på hvordan objektfunktionen opstilles. Anskues problemet udelukkende fra Skejby Sygehus side, vil det være antallet af biler, der ville være mål for optimeringen, og en fuld udnyttelse af kapaciteten i bilerne var at foretrække. Hvis det derimod er de ansattes synsvinkel, der udelukkende skal tages højde for, så vil deres fokus være at minimere de rejste antal km på hver rute, for at spare mest muligt på benzin og slidtageomkostninger, men også under hensyntagen til en række komfortbetingelser. I mange sammenhænge optimeres der på de samlede transportomkostninger, når der optimeres i VRPproblemer, dvs. både variable og faste omkostninger i forbindelse med køretøjet og dets chauffør. Gode løsninger kan derfor både være dem med den korteste rejselængde eller den som benytter færrest køretøjer. Denne afvejning mellem den samlede rutelængde og antallet af køretøjer er en diskussion som i forhold til virkelige problemstillinger er aktuelle. Side 37 af 77

42 På Skejby Sygehus initiativ, som en del af løsningen til trængselsproblemet, skal medarbejderne opfordres til at køre sammen til og fra arbejde Det Skejby Sygehus kan gøre for at få deres medarbejder til at deltage i kørselsordninger, er at gøre opmærksom på muligheden for samkørsel, samt at give de ansatte adgang til en portal, hvorfra samkørsel kunne aftales. Derudover kan sygehuset sørge for at det altid er mulig for dem som deltager i ordningen at komme hjem fra arbejde f.eks. med taxa, hvis der opstår sygdom eller andet, der gør at den ansatte er strandet på sygehuset, uden mulighed for hjemtransport. Som nævnt tidligere er et særligt parkeringsområde også en attraktiv gode for de ansatte, og også noget Skejby Sygehus kunne stå for. Disse fordele gør at de ansatte opfordres til at køre sammen på arbejde og fordelen for Skejby Sygehus ved denne løsning er, at hvis medarbejderne vælger at deltage i en kørselsordning, ville der minimum være to i hver bil, hvilket vil betyde en besparelse på mindst 50 % biler blandt dem som deltager i ordningen. De negative konsekvenser, som samkørsel har for de deltagende medarbejder, er typisk længere transporttid i forhold til at skulle køre selv, og der er mindre frihed, hvad angår ærinder inden samt efter arbejde, og besværliggør muligheden for overarbejde. Det, denne afhandlingen ønsker at give en løsning på, er trængselsproblemet ved Skejby Sygehus og derved bliver reduktionen i antallet er biler, der skal ind i området væsentlig at optimere på. Men da virksomheder, herunder Skejby Sygehus, ikke kan diktere hvordan deres ansatte skal komme til og fra arbejde, men kun opfordre dem til en bestemt adfærd, er det vigtigt at løsningen også tager højde for det der er væsentligt for de ansatte. For hvis der laves en god model, der kan bringe antallet af biler til et minimum, men at de ansatte finder den for besværlig, ikke komfortabelt eller for tidskrævende, så falder deltagelsen og derved opnås der ringere løsning for Sygehuset. Formulering af problemet Der er mange ligheder mellem denne problemstilling og et klassisk ruteplanlægningsproblem f.eks at formålet med modellen er at planlægge, hvem der skal køre sammen, samt hvordan ruten mellem de ansatte skal se ud, men det, der gør denne problemstilling anderledes, er kapaciteten, da køretøjerne er personbiler, og at efterspørgslen i alle knuderne er ens og lig med én medarbejder, som skal samles op (eller afleveres, hvis man ser på tilbageturen). Køretøjet er for denne problemstilling er personbiler, hvor kapaciteten typisk er fem person, men kan gå op til 7 personer i en almindelig personbil alt efter størrelsen på bilen. Her antages det at kapaciteten er maksimum 5, men med 5 voksne personer i en almindelig personbil, er der trængt på bagsædet. For at tage hensyn til komforten for de ansatte fastsættes kapaciteten i personbilerne til fire personer, da komforten, i hvert fald hvad angår plads, således ikke forringes betydeligt i forhold til at kører selv. Side 38 af 77

43 Ydermere skal tidshensynet tages i betragtning, fordi det forventes, at de deltagende parter ikke har ubegrænset tid til rådighed, hvorved tiden bliver en knapfaktor og derved ønskes der at bruge så kort tid som muligt på transport, da privatpersoners transporttid er tid, der er svær at udnytte til andre gøremål og øget transporttid kan anses som spildtid. Derudover er det mindst ligeså vigtigt at ordningen forsikre at de ansatte skal kunne møde på arbejde til tiden. Modellen skal altså tage hensyn til, at de ansatte skal være på arbejdspladsen til tiden og at de kan tage hjemmefra i rimelig tid før mødetidspunkt, set i forhold til hvornår de skulle have kørt, hvis de skulle have kørt alene. Derudover skal alle 40 personer fragtes ind til sygehuset, enten som chauffør eller som passager i en bil. Modellen er deterministisk, hvilket vil sige at efterspørgslen er kendt på forhånd og ikke ændre sig. For at kunne vurdere hvor god eller dårlig modellen er, skal samkørsel mellem tid, antal køretøjer og de kørte km vurderes. Antallet af køretøjer og antal km, fremgår direkte af løsningsforslagene, men tidsforbruget vurderes efter en roll-back metode, som laver beregningen baglæns. Det beregnes for hver funden løsning, hvornår hver person skal forlade sit hjem for at alle på ruten kan være på arbejde til tiden, og dette sammenlignes for hver person med hvornår denne person skulle forlade sit hjem hvis han skulle kører alene. I overstående er data opstillet og problemet som udspringer fra case virksomheden, Skejby Sygehus, er formuleret. Der er konstrueret et datasæt bestående af ansatte ved Skejby Sygehus og deres rejseafstand imellem hinanden og sygehuset. Ud fra viden om samkørsel i afsnit 3 er problemets betingelser nærmere udpenslede bl.a. i forhold til kapacitet i bilerne og tidshensynet. Det formulerede problem bringes med videre til de næste afsnit, hvor problemet forsøges løst ved hjælp Clarke & Wright s savingsalgoritme til åbne ruter og senere Fisher & Jaikumar s to-fase culster-first, route-second algoritme. Side 39 af 77

44 7 Løsning ved Clarke & Wright s savingsmetode Metoden til at løse et Open ended VRP problem ved hjælp af en variation af Clarke & Wright s savingsalgoritme er beskrevet generelt under afsnittet Denne metode vil i det følgende blive brugt til at løse eksemplet der er opstillet i sidste afsnit 6. Først vil beregningen af besparelsen blive illustreret og rangeringen af savings-matrixen i stigende ordnen fra størst til mindst vil blive vist. Herefter dannes ruter ud fra en parallel metode, og løsningen kommenteres. Dernæst vil der blive tilføjet en modifikation,, for at danne alternative initiale løsninger til problemet. Som nævnt i teoriafsnittet er der ikke fundet belæg for at der skulle være en værdi der generelt giver bedre løsninger, derfor indsættes en række forskellige værdier mellem 0 og 3, og løsningerne vurderes. Udover modifikationerne vil metoden med undertrykkelse af savings blive anvendt i søgen på alternative løsninger til samkørsel. Alle savings-løsninger er løst ved hjælp Visual Basic Application i Excel. Kodningen til savingsalgoritmen er udarbejdet i samarbejde med Jens Lysgaard. Herudover er Visual Basic brugt til at kode en visuel opstilling af ruterne, således at rækkefølgen af punkterne nemt blev opstillet, for hurtigt at kunne beregne længden af ruterne. Afstandsmatrixen, hvis tilblivelse, der blev redegjort for under afsnit 6.1, er brugt til at beregne besparelsen mellem alle punkter, og kan ses til fulde i Bilag Savings Modifikation1, ark:afstand. Til beregningen af savings i åbne ruter benyttes som tidligere vist formlen: ( 7.1 ) Besparelsen er regnet mellem alle punkterne og kan ses i til fulde i Bilag Savings Modifikation1, ark:savings. Herunder er vist et beregningseksempel, på besparelsen ved at have person 1 og person 6 på samme rute frem for at køre ruterne 1-0 og 6-0, beregningen er først lavet for retningen 6-1-0, og efterfølgende fra Afstanden mellem de to personer er,, som tidligere beregnet, 6,3, og afstanden fra person 6 til sygehuset er 9,9. På den måde kan person 1 og 6 s samlede besparelse ved at rejse sammen beregnes til: ( 7.2 ) Side 40 af 77

45 Beregningen for besparelsen ved at køre fra frem for at køre til person 1 og 6 hver for sig kan regnes som følger: På samme måde er besparelsen udregnet mellem alle kombinationer af punkter, hvoraf et udsnit ses i Tabel 7.1. ( 7.3 ) Tabel 7.1: Udsnit af savingsmatrix uden modifikationer Savings ,7 2,2-0,7-2,6-2,3-7,5-4,9-4,6-7,3-9,4-6,4-8,0-13,5-12,0-9,3 2 3,9 3,8 1,9-0,1 0,4-4,9-2,7-2,2-4,9-6,7-4,4-5,4-10,8-9,4-7,1 3 2,8 3,1 1,0-2,0-0,6-6,6-4,9-4,1-6,8-7,9-6,6-6,5-12,2-10,9-9,2 4 3,5 4,8 4,6 3,9 6,6 0,1 0,4 2,0-0,6-0,7-1,6 0,7-5,1-3,8-3,6 5 4,0 5,2 4,0 6,3 6,7 5,7 7,1 8,6 5,9 2,6 5,1 3,8-0,8 0,9 3,2 6 3,6 5,0 4,6 8,2 5,9 3,1 2,4 4,5 2,1 2,6 0,4 4,0-1,8-0,6-1,1 Kilde: Bilag Savings Modifikation1, ark:savings Efter at have udregnet alle savings skal den største besparelse findes, da det er herfra den første rute starter. For at gøre dette nemmest muligt, rangeres de fundne besparelser i faldende orden. Herunder vises starten på savings-listen med de 10 største besparelser i Tabel.7.2. Denne opstilling er også nødvendig for at Visual Basics koden fungerer. Tabel.7.2: Rangeret Savings Person i Person j Savings Kilde: Bilag Savings Modifikation1, ark:savings liste Efter at savings er beregnet og rangeret kan ruterne konstrueres med enten den parallelle eller sekventielle metode. I denne løsning benyttes den parallelle metode. Som tidligere argumenteret er kapaciteten i hver bil 4, og da der arbejdes med køreturen til sygehuset skal hver rute starte i et punkt og slutte i sygehuset, punktnr 41. På denne måde arbejdes der med åbne ruter. Under udregningen af savings tidligere i afsnittet, stod det klart at retningen, hvori man kører mellem to punkter har betydning Side 41 af 77

46 for besparelsen. Dette havde ikke været tilfældet med den traditionelle Clarke & Wright s, med mindre der var tale om en asymmetrisk afstandsmatrix. Dette betyder at savings-matrixen i dette tilfælde er asymmetrisk, og derfor er det den retning. der er vist i rangeringen, der skal forblive. Udover en kapacitetsbegrænsning på 4, er der flere andre begrænsninger som modellen skal tage højde for. I den parallelle version af savingsalgoritmen indledes en ny rute, hvis den højeste saving ikke har et link til en af de eksisterende ruter. Hver person skal naturligvis kun besøges én gang, så der skal kun køres til hver person én gang. Der kan derved heller ikke kører mere end én bil fra hver person. Derudover skal modellen tage højde for at en person ikke både være forgænger og efterfølger til anden person, da dette ville give en subtour, og personerne ikke ville ende ved sygehuset. I Tabel 7.3 vil den parallel version af metoden blive vist for det 14 højeste savings og ruteopbygningen kort argumenteret for, med henvisningen til de opstillede begrænsninger. Tabel 7.3: Ruteopbygningen ved parallel savings Person i Person j Savings Rute opbygning Ruterne Rute 1 startes Rute 1: Intet link - ny rute startes Rute 2: Makker - subtour problem Makker - subtour problem Der kan kun køres fra et punkt en gang Link til rute 2 Rute 2: Der kan kun køres fra et punkt en gang Link til rute 2. Rute 2 afsluttes Rute 2: Link, men kapaciteten opbrugt på rute Der kan kun køres fra et punkt en gang Der kan kun køres fra et punkt en gang Der kan kun køres til er punkt en gang Der kan kun køres fra et punkt en gang Intet link - ny rute startes Rute 3: Kilde: Bilag Savings Modifikation1, ark:savings liste Samme proces er foretaget for alle savings der er større end 0, indtil alle personer er koblet på en rute. Processen er som tidligere forklaret automatiseret i Visual Basic hvori begrænsningerne er sat op. Det resulterer i ruterne som kan ses i Tabel 7.4, hvori længden på ruterne også er beregnet. Ved at bruge savingsalgoritmen for åbne ruter, uden modifikationer opnås en løsning med en samlet rutelængde på 443,70 km. Ruten er grafisk illustreret Bilag Side 42 af 77

47 Tabel 7.4: Ruter ved savings uden modifikationer Startpunkt Efterfølger Efterfølger 2 Slutpunkt Sygehus Rutelængde , , , , , , , , , ,07 Kilde: Bilag Savings Modifikation1, ark:savings liste Samlet rutelængde 443, Modifikationer Som redegjort for under afsnit kan savingsalgoritmen modificeres ved at gange en værdi på i savingsberegningen. Metoden er lavet til den traditionelle savings-algoritme, men værdien kan også ganges på afstanden mellem de to punkter i metoden, der bruges til åbne ruter. Med modifikationen ser formlen for besparelsen således ud: Modifikation I det følgende afsnit vil eksemplet beregnes med ( 7.4 ), og konsekvenserne heraf vises. Ændringen i savingsberegningen har ingen indflydelse på algoritmen, så betingelserne forbliver de samme som tidligere argumenteret. Det, der giver en ændret løsning er, at savings er anderledes end før, hvilket giver en anden rangeret savings-rækkefølge. I det følgende vil beregningen blive vist og den samlede rutelængde beregnet. For at beregne den modificeret savings mellem person 6 og person 1, der i denne rækkefølge uden modifikationer var udregnes med modifikationen til: ( 7.5 ) Side 43 af 77

48 Og for rækkefølgen fra person 1 til person 6, som uden modifikationer var -2,7, bliver besparelsen med modifikationer: ( 7.6 ) Med denne modifikation bliver ingen af overstående rækkefølger attraktive at sætte sammen på en rute, fordi der ikke er en besparelse. Ruterne bliver sammenlagt længere end hvis der køres hver for sig. Den modificerede savings-matrix kan ses til fulde i Bilag Savings Modifikation2, ark:savings Den modificerede savings-matrix rangeres som før og ruterne opbygges ud fra samme begrænsninger og med den parallelle metode. Ruternes sammensætning er anderledes end ved savings uden modifikationer og løsningen indeholder flere ruter. Den samlede rutelængde giver 469,23 km, hvilket er en forværring fra løsningen uden modifikationer. I denne løsning er der 12 ruter med mellem 1 og 4 personer på hver. På den 11. rute opsamler person 33 person 34 og 36, hvorefter de kører til sygehuset. Modifikationer med forskellige Som nævnt tidligere kan variere mellem 0 og 3, og derfor forsøges det at finde forskellige løsninger til samkørselsproblemet ved at ændre på. Derfor udregnes savings på samme måde som i ligning ( 7.5 ) og ( 7.6 ) for og løses med den parallelle metode. Resultatet af de fundne løsninger er opstillet i Tabel 7.5 herunder. I tabellen er samlede kilometer og antallet af biler angivet. En bil repræsenterer en samkørselsgruppe. Tabel 7.5: Overblik over savings resultater Savings med modifikationer Lambda 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 KM 1093,39 438,23 443,70 456,54 469,23 473,76 486,71 Antal biler Kilde: Egen tilblivelse af bilag om Savings Den løsning som gav den samlede set korteste rutelængde var på 438,23 km med 10 biler, se Figur 7.1. Savings med modifikationer kommer derved frem til forskellige løsninger alt afhængigt hvilket værdi der ganges på afstanden mellem de to punkter. Løsningerne varierer både i den samlede rutelængde og antallet af biler. danner 14 samkørselsgrupper, hvilket naturligvis betyder at den samlede rutelængde bliver længere end ved løsninger med kun 10 biler. Trods det ikke er den bedste løsning i forhold til den samlede rutelængde, betyder flere biler at hver individuel rute er gennemsnitlig er kortere ved end, hvilket er betydningsfuldt for de deltagende, så de skal køre mindst mulige ekstra kilometer. Side 44 af 77

49 Figur 7.1: Løsning Savings med Kilde: Egen tilblivelse 7.2 Forbedring med undertrykkelse af største saving Som forklaret under afsnit om undertrykkelse af savings, kan man forsøge at forbedre en løsning ved at undertrykke den største besparelse. Denne metode er benyttet til at forsøge at forbedre den de initiale løsninger, men i ingen af tilfældene fandtes en bedre løsning ved undertrykkelsen se Bilag Savings med modifikation og undertrykkelse. Fremgangsmåden vil herunder kort blive præsenteret for den, indtil nu, korteste initiale løsning, nemlig med. Den største savings sættes til nul som det ses i Tabel 7.6 og der opstartes således ikke en rute fra 27 til 25. Den første rute starter fra 39 til 23 der nu har den største besparelse på 63 km. Tabel 7.6 Rangeret savings med undertrykkelse Person i Person j Savings Kilde: Bilag Savings modifikation 0,5 + undertryggelse, ark:savings liste Side 45 af 77

50 Undertrykkelsen er indtastet i Visual Basic koden og løses ellers som før. Den endelig løsning kan ses i Tabel 7.7, og giver en samlet længde der er 3 km længere end den initiale løsning. Undertrykkelsen af savings resulterede i dette tilfælde i en ændring i rækkefølgen i en enkelt rute. Hvorfra ruten før startede fra 27 til 25, starter ruten nu fra Tabel 7.7 Ruter efter undertrykkelse af største saving Startpunkt Efterfølger Efterfølger 2 Slutpunkt Sygehus Rutelængde Kilde: Bilag Savings modifikation 0,5 + undertryggelse, ark:savings liste Samlet Rutelængde Forbedring af ruterne vha. TSP I afsnit 5.3 om improvement-heuristikker blev der nævnt en række single-route forbedringsmetoder, som har til formål at forbedre hver rute for sig. I dette eksempel vil disse metoder ikke benyttes, da ruterne er så korte og begrænsningerne så få, at ruterne sagtens kan optimeres eksakt ved at løse hver rute som et TSP problem som opstillet i afsnit 4.2, og med flow-betingelser, for at sikre åbne ender. For hver rute bestemmes, hvilket punkt der ligger længst væk fra sygehuset, og denne person starter ruten og den korteste vej mellem denne person og de der skal samles op på vej til sygehuset findes. Hver rute stilles op med en række flow betingelser, samt et krav til at bilen ikke stopper i et punkt men ender i sygehuset. IP-modellen er opstillet i solver i VBA(Wøhlk 2010), og denne optimeringsmetode er lavet for de initiale løsninger med Resultatet ses i Tabel 7.8. Det ses at ruterne kunne forbedres i to tilfælde, dog er forbedringen meget lille. I savings med, ændre den sidste rute sig fra til og på den måde kan der spares 0,64 km, hvilket må siges at være en ganske lille forbedring. Der findes også én forbedring i en rute for savingsløsningen med, altså uden modifikationer. Her findes en forbedring på 0,41 km ved at ændre ruten fra til Side 46 af 77

51 Tabel 7.8: Resultater efter optimering af ruterne med TSP Lambda 0,5 1 1,5 2 KM 438,23 443,70 456,54 468,97 Antal biler TSP KM 437,59 443,29 456,54 468,97 Kilde: Egen tilblivelse af bilag om optimering af savings Problemstillingen er nu blevet løst vha. savingsalgoritmen, og forskellige løsninger er forsøgt fundet ved at modificere savings-beregningen, undertrykkelse af savings og ved at optimere ruterne. I det følgende afsnit tages der igen udgangspunkt i det opstillede eksempel som udspringer af problemstillingen og ved anvendelse af Fisher & Jaikumar s to-fase metode, forsøges det igen at løse eksemplet. Denne metode forkortes herfra som CFRS. I afsnit 6.1 er afstandene mellem alle deltagende medarbejder og Skejby Sygehus beregnet. Denne afstandsmatrix vil ligesom ved savings-metoden blive brugt i denne løsning. Side 47 af 77

52 8 Løsning ved Fisher & Jaikumar s to-fase metode Formålet er at løse eksemplet med cluster-first, route-second metoden, hvor metoden er at klynge medarbejderne sammen i de grupper som skal køre sammen og efterfølgende finde den optimale rute for dem at køre på arbejde. Modellen er underlagt, ligesom ved savingsmetoden at kapaciteten er 4 i hver personbil og i alle punkterne skal der enten startes en rute eller hentes en medarbejder, som skal køre med på arbejde. Fremgangsmåden er, som nævnt i afsnit 5.2.3, at fase 1 klynger punkterne sammen i en sekventiel proces, dvs. at medarbejderne skal tildeles klynger som repræsenterer en bil. Dannelsen af klyngerne sker gennem en række steps og det første step er at bestemme, hvilket punkt i eksemplet der er det første seed-punkt. Punktet angiver en medarbejder som enten bliver rutens startpunkt eller et punkt på ruten hvor en ansat skal hentes. Fase 1 Udvælgelse af seed punkt og beregning af delta(j) Måden seed-punktet for hver iteration udvælges på i denne løsning, er ved at vælge det punkt som ligger længst væk fra depotet. Grunden til at det punkt, der ligger længst væk udvælges som seed punkt, er fordi eksemplet løses som et OVRP-problem. Ruterne skal derfor være åbne, og af denne årsag kan der argumenteres for, at dette er et godt udgangspunkt for en klynge, når ruterne initialt skal starte i punktet, besøge andre punkter, som ligger tæt på punktet, eller på ruten mellem seed-punktet og Skejby Sygehus. Teorien omkring udvælgelse af seed-punktet beskriver også andre måder at vælge punkterne på og at dette er en parametre, der kan varieres på i forhold til at opnå forskellige løsninger(fisher, Jaikumar 1981). Den længste afstand der er mellem en medarbejder og Skejby Sygehus, er fra punkt 39, dette punkt bliver den første iterations seed-punkt. Ud fra punkt 39 beregnes rejselængden(delta(j)) mellem det punkt, Skejby Sygehus og alle andre punkter, ligning ( 5.10 ) fra afsnit Beregningen af delta(j=1 og j=28) med : ( 8.1 ) ( 8.2 ) ( 8.3 ) Den illustrerede delta(j)-beregning som vist ovenfor beregnes for alle j erne ud fra det valgte seed-punkt (Tabel 8.1; seed punkt 39). Derefter rangeres delta(j)-værdierne med den mindste først og en initial Side 48 af 77

53 klynge dannes ved at tilføje punkter til klyngen så længe kapaciteten ikke overskrides. Idet der tilføjes én person i bilen hver gang der besøges et punkt, kan der maksimalt tilføjes 3 punkter i den klynge udover seed-punktet. Dette er en sekventiel proces og når maks. kapaciteten er nået påbegyndes en ny klynge. Ved påbegyndelse af en ny klynge findes et ny seed-punkt, som er det punkt der igen ligger længst væk fra depotet af de resterende punkter, dvs. et punkt, der ikke er blevet taget med i de foregående klynger. Den samme proces med tilføjelse af punkter ud fra mindste delta(j)-værdi gentages for hver iteration. Iteration 4 er også illustreret i Tabel 8.1; seed punkt 31, som er dannelsen af den 4. klynge i løsningen af eksemplet med 10 seed punkter/klynger og. Det ses at de delta(j)-værdier som er kommet i en klynge er fjernet(ikke beregnet) og de punkter som sorteres er de j er som mangler at blive tilføjet en klynge. 1. iteration bliver punkt: iteration bliver punkt: Tabel 8.1: Liste over delta(j)-beregning for interation 1 og 4 Seed punkt 39 Sorteret mindst Afstand først til depot j Delta(j) j Delta(j) kapacitet 1 4,0 1 66, , ,3 2 66, , ,6 3 65, , ,2 4 65,9 6 65, ,6 5 66,6 3 65, ,9 6 65,9 4 65, ,5 7 66, , ,8 8 68, , ,7 9 67, , , , ,946 Seed punkt 31 Sorteret mindst Afstand til depot j Delta(j) j først Delta(j) kapacitet , , , , , , ,2 5 58,1 1 57, , , ,7 7 58, , ,1 8 60, , , , , ,2 5 58,1 Kilde: Bilag CFRS S10 L, ark:fase1 Denne iterative proces er ligeledes grafisk illustreret for iteration nummer 1, 2 og 4 for løsning af eksemplet med 10 seed punkter og. Sygehuset er trekanten i (0,0) og de andre punkter angiver én ansat. De ansatte, som kommer i en klynge i henholdsvis iteration #1, #2 og #4, er i hvert koordinatsystem markeret med en anden farve og punktnummer. Det punkt som er seed-punktet, er skrevet i parentesen efter punktnummeret. Ud fra de 3 iterationer i Figur 8.1 ses det, at hver gang der vælges et nyt seed punkt er det, det punkt længst væk fra depotet som vælges. Side 49 af 77

54 Figur 8.1 Grafisk illustration af iteration #1, #2 og #4 Kilde: Egen tilblivelse (CFRS S10 L1) Udvælgelsen af seed-punkter stopper når alle medarbejder er blevet allokeret til en seed-medarbejder. Igennem hver iteration overholdes kapaciteten, og ved at gå igennem 10 iterationer i eksemplet med seed 10 og blev seed punkterne: Indledningsvist blev det nævnt at udvælgelsen af seed-punktet kan varieres, og denne ændring vil give forskellige løsninger. På sammen måde kan -værdien i delta(j)-beregningen justeres, så længe den er større end én. Udvælgelsen af seed-punktet er fastholdt til at være den samme regel igennem alle løsninger med CFRS metoden, hvor at seed punktet er det punkt som ligger længst væk. I stedet er det er i denne afhandling forsøgt at finde forskellige løsninger i første step ved at ændre på værdien. Første step er løst med -værdierne 1, 2 og 3. Den løsning som er vist i Figur 8.2, er løst med, hvilket gav at klyngerne blev dannet i linjer ind mod depotet. Løsninger med andre og større -værdier vil klynge punkterne anderledes sammen, hvilket generelt vil betyde at punkter ligger tættere på hinanden i klyngerne. Derudover er antallet af seed-punkter fastlagt ud fra den kapacitet som er i personbilerne, der tilknyttet til en klynge. F.eks. hvis der, som i dette eksempel, er 40 punkter, der skal allokeres i klynger, hvor hver personbil har en kapacitet på 4 giver dette en løsning med 10 klynger(40/4=10). Ved at ændre kapaciteten i personbilerne, er eksemplet yderligere løst med henholdsvist 10 seeds, 12 seeds og 14 seeds. Samkørsel-eksemplet er løst ved CFRS metoden med tre forskellige -værdier, og derudover er kapaciteten justeret således at antallet af klynger i den endelige løsning stiger. Dette giver 9 forskellige løsninger på eksemplet med løsningsmetode CFRS. Disse løsninger vil efter GAP og TSP-faserne blive kommenteret nærmere og vurderet i forhold til den samlede rutelængde. Side 50 af 77

55 Generalized Assignment Problem (GAP) De førdannede klynger opsplittes, således at der for hver klynge kun holdes fast ved seed-punktet, for derved at tildele de resterende medarbejder til det seed-punkt, hvor der er den mindste ekstra rejselængde ved at tilføje medarbejderen på vejen til Skejby Sygehus. Til at løse dette bruges et Generalized Assignment Problem, som er en eksakt metode til at tildele medarbejderne i de grupper, som de skal køre sammen på arbejde ud fra den korteste ekstra rejselængde. For alle kombinationer af de udvalgte seed-punkter og medarbejder som ikke er seed-punkter beregnes den ekstra rejselængde ved at tage en medarbejder med på vejen fra seed-punktet til medarbejderen og derefter til Skejby Sygehus. Denne beregning er som følgende for seed-medarbejder 27 og medarbejder nr. 3: ( 8.4 ) ( 8.5 ) De 0,3 km betyder at når medarbejder 27 tager medarbejder 3 med på vej på arbejde, skal medarbejder 27 køre 0,3 km længere. Dette er en forholdsvist lille ekstra rejselængde, og det er derfor naturligt at sige, at disse to medarbejder kunne køre sammen på arbejde. Ud fra denne ekstrarejselængde-matrix skal alle medarbejder tildeles den seed-maedarbejder som i en IP-model giver den mest optimale løsning og dermed minimere den ekstra rejselængde. Dette er ikke en sekventiel proces ligesom ved den første allokering, men derimod en simultan metode som fordeler medarbejderne i de mest optimale grupper ud fra de opstillede betingelser. Til at tildele medarbejderne anvendes en IP-model og den matematiske opstillingen af GAP og Skejby Sygehus-problemet er: Variabel: Objekt funktion: Under bibetingelse af: ( 8.6 ) ( 8.7 ) ( 8.8 ) ( 8.9 ) Side 51 af 77

56 Formålet er at minimere den ekstra rejselængde( 8.6 ) under hensyntagende til at maks. kapaciteten pr. klynge er 3, fordi der udover medarbejder som er seed-punktet kan tildeles optil 3 andre medarbejder i hver personbil ( 8.7 ). Bibetingelse ( 8.8 ) sikre at alle medarbejder bliver tildelt en seed-medarbejder. Løsningen af GAP gav i eksempelet med 10 seed og følgende klynger som er angivet i Tabel 8.2 og illustreret grafisk i Figur 8.2. De fede tal er seed-punkterne og de efterfølgende tal er de medarbejder, som er blevet tildelt en seed-medarbejder ved at optimere klyngerne med GAP. Tabel 8.2: Klynger efter GAP Kilde: Bilag CFRS S10 L1, ark:gap Resultatet fra den eksakte metode GAP er grafisk illustreret i Figur 8.2, hvor hver klynge har en farve+ geometriskform. De orange cirkler er én klynge og de orange firkanter er en anden klynge, dette gælder for hver farve og form. Figur 8.2: Grafisk illustration af klynger efter GAP Kilde: Egen tilblivelse (CFRS S10 L1) Side 52 af 77

57 Fase 2 TSP Med de fundne klynger i GAP, er fase 2 at fastlægge ruten i alle klynger og derved finde den samlede rutelængde for klyngerne i de 9 forskellige løsninger. For at minimere den samlede rutelængde indenfor hver klynge, antages det at den medarbejder som bor længst væk fra Skejby Sygehus, har en bil til rådighed og derfor er klyngens startpunkt. Til at fastlægge ruterne i klyngerne anvendes TSP. Alle klynger opstilles som mindre TSP med kapacitetsbegrænsning. Den matematiske opstilling af TSP, er den samme som præsenteret i afsnit 4.2 og blev samtidig anvendt på savingsløsningerne. Med TSP findes den korteste rute fra startpunktet til Skejby Sygehus i alle klynger. Dette er opstillet i Sovler i VBA(Wøhlk 2010). Den samlede rutelængde for alle klynger for løsningen på eksemplet med 10 seeds og gav 577,68 km. GAP fandt at klynge 1 blev , og den optimale rute er (Skejby Sygehus). Denne første rute er 66,6 km og turen alene for medarbejder 39 er 62,1 km, det vil sige at medarbejder 39 skal køre 4,5 km længere for at tage kollega 26, 29, og 17 med på arbejde. For klynge 2 ( ) er den optimale rute (Skejby Sygehus) som er 66,41 km. I forhold til afstanden mellem 27 og 41 er rute 2 4,31 km længere. For klynge 10 ( ) er den optimale rute (Skejby Sygehus) som er 53,13 km. Medarbejder 33 skal derfor køre 7,9 km længere for at tage 3 kollegaer med på arbejde. Figur 8.3: Løsning CFRS S10 L Kilde: Egen tilblivelse Side 53 af 77

58 Metoden CFRS er blevet løst på 9 forskellige måder med justeringer af -faktoren og seeds ved at justere på kapaciteten i personbil. På næste sige i Tabel 9.1 er løsningerne for alle 9 kombinationer vist. Den løsning med den korteste samlede rejselængde er 10 seeds og på 437,42 km. Der ses en tendens til at og giver bedre løsninger end og når antallet af seeds stiger, så stiger den samlede rute længde længere. 9 Opsummering af fundne løsninger I dette afsnit vil løsningerne fundet gennem savingsalgoritmen og dens variationer, samt løsningerne fundet gennem to-fase algoritmen kort blive opsummeret Tabel 9.1. Tabel 9.1: Opsummering af tidligere løsninger Savings med modifikationer og optimering CFRS 0 0,5 1 1,5 2 2, KM 1093,39 438,23 443,70 456,54 468,97 473,76 486,71 10 Biler 577,68 437,42 439,8 Antal biler Biler ,92 470,5 TSP KM 437,59 443,29 456,54 468,97 14 biler 740,52 522,65 523,31 Kilde: Egen tilblivelse Ved løsningen af savingsalgoritmen uden modifikationer fandtes en løsning hvor 10 biler kunne transportere de 40 personer fra deres hjem og ind til sygehuset på i alt 443,7km. Denne løsning søgtes forbedret gennem modifikationer af algoritmen ved tilføjelse og ændring af -værdien. Herved fandt analysen frem til en kortere samlede rutelængde ved at ændre til 0,5. Denne modifikation gav en løsning der var ca 5,5 km bedre end den hidtidige bedste løsning. Herefter forsøgte det at forbedre disse løsninger, først ved undertrykkelse af den største saving, som ikke gav en forbedring og dernæst blev der ledt efter forbedringer ved single-route optimering, som gav en lille forbedring på to ruter, herunder den hidtidige bedste løsning, der blev forbedret med 0,64km. Ved at løse problemet i to fase ved hjælp af CFRS, fandt analysen først en løsning med 10 biler og en samlet rutelængde på 577,68. Denne løsning blev forbedret ved at ændre på -værdien til 2 og 3, hvoraf den bedste løsning blev på 437,42 km. Herefter forsøgtes det at finde en bedre løsning ved at ændre på antallet af biler, og derved tillade en ringere løsning i forhold til den samlede rutelængde og hvad angår sygehusets ønske om reduktion af antallet af biler. Herved fandtes der ikke en løsning der var bedre hvad angår samlet rutelængde. Løsningerne vil i det efterfølgende afsnit blive vurderet. Side 54 af 77

59 10 Vurdering af løsningernes anvendelighed For at kunne vurdere løsningernes anvendelighed, vil dette afsnit til at starte med, se på de parametre, som har indflydelse på vurderingen. Ved anvendelighed forstås hvor attraktive løsningerne som helhed er, set i forhold til den praktiske problemstilling. Efter at vurderingsparametrene er kommenteret, anvendes de til vurdering af tre af de tidligere fundne løsninger Vurderingsparametre Antal biler Som argumenteret i afsnit 6.2 skal kvaliteten af løsningerne vurderes ud fra forskellige perspektiver, både sygehusets og de ansattes. For at sygehuset skal have interesse i at tilbyde ekstra service som f.eks. parkering og hjemtransport til ansatte, der deltager i en sammenkørselsordning, samt at stå for reklame og webportaler, der kan skaffe medlemmer til ordningen, skal der være en nedsættelse af antallet af biler, der skal ind i område. Dette vil løse en del af problemet med utilfredse medarbejder, forsinkelser og for få parkeringspladser. Så til at vurdere hvor attraktive de løsninger afhandlingen er kommet frem til er for sygehuset, skal reduktionen af biler medtages. Besparelse km og omkostninger Udover antallet af biler er det også vigtigt, at de der deltager i en ordning kan sparer penge ved at kører sammen, da dette, både ifølge carpooling- og transportvaneundersøgelserne i afsnit Fejl! envisningskilde ikke fundet., er en stor motivationsfaktor sammen med miljøhensyn. Begge dele kan vurderes på reduktionen af de kørte km. Dog tages der i vurderingen ikke højde for bilens miljømærke, der påvirker både brændstoføkonomien og CO2-udledningen. Selve omkostningsfordelingen for den enkelte medarbejder kan bl.a. regnes ved et vægtet gennemsnit, en fast pris eller ved hjælp af spilteori. Der ligges der vægt på garantien for, at alle, der deltager i ordningen, kan spare penge hver dag de deltager. Denne besparelse vil blive beregnet og vurderet for 4 personer i eksemplet senere i afsnit 11, da denne omkostningsbesparelse er interessant at vurdere på individniveau. Til at vurdere løsningerne fundet tidligere vil besparelsen i km blive brugt til at se på hvor attraktive løsningerne er for medarbejderne. Tid Undersøgelser om samkørselsordninger, som der blev redegjort for i afsnit 3, fandt frem til at langsom trafik og langt til arbejde ofte er grunde til at samkørselsordninger tilvælges. Sammenholdt med at tid er en knapfaktor som gør transporttid til spildtid, kan det argumenteres at tidsforbruget også er et vigtigt Side 55 af 77

60 parameter til at vurdere løsningernes anvendelighed i praksis.hvis problemet skulle løses på et virkeligt eksempel, kunne man have spurgt respondenterne om deres krav til tiden, altså hvornår de tidligst ville hentes og på den måde vurdere om løsningen lå inden for dette krav, eller opstille kravet som en del af begrænsningerne i algoritmerne. Da denne vurderingsmetode ikke er mulig jf. afhandlingens afgrænsninger, vil tiden blive vurderet ud fra teorien om carpooling. To personers ekstra tidsforbrug ved at deltage i ordningen kan ikke direkte sammenlignes og vurderes, da tiden også er afhængig af, hvor langt væk fra sygehuset hver person bor. Hvis en person normalt bruger 60 minutter på at køre på arbejde og ved at deltage i ordningen skal bruge 15 minutter ekstra, svarer det til et ekstra tidsforbrug på 25 %, hvorimod hvis en person, der bor tæt på sygehuset og normalt bruger 5 minutter på at kører på arbejde, skal bruge 15 minutter på at samle folk op, så skal han bruge 300 % ekstra tid. Det er derfor ikke mulig at sætte et fast minutantal til at vurdere om en løsning er god. Til at vurdere tiden vil afhandlingen derfor ikke vurdere på antallet af minutter hver person skal bruge ekstra, men på hvor stor forskellen er i den ekstra tid hver ansat bruger akkumuleret, for hver af de vurderede løsninger. Det bliver således den samlede ekstra tid for alle ansatte, der bruges til at vurdere hvor god en løsning er. For at udregne den ekstra tid en person skal bruge på at komme på arbejde, skal den tid de ville have brugt på at køre alene udregnes, samt den tid de bruger ved at deltage i ordningen alt efter hvilken af løsningerne der vurderes på. Ved deltagelse i ordningen er beregningen lavet med en roll-back metode, hvor det antages at bilen, der på vej til sygehuset har samlet personer op, ankommer til sygehuset kl Den person, der blev hentet sidst, blev hentet præcist tidsnok til at bilen kunne nå at kører den sidste distance ind til sygehuset. Den person, der skulle hentes før den sidste person på ruten, ville således blive hentet det antal minutter tidligere end den sidste person, som svarer til den tid det tager at kører mellem de to personer. Ved på denne måde at regne baglæns fra ankomsttidspunktet til sygehuset, kan tidspunktet for hvornår personerne skal tage hjemmefra udrenges. På samme måde udregnes, hvornår personerne skulle have kørt, hvis de kørte selv, således at de kunne nå på arbejde til tiden. De ansatte har, som tidligere argumenteret, knaphed på tid og den opfattede nyttefølelse af en pengebesparelse kan siges at være eksponentielt faldende jo mere ekstra rejsetid, der skal bruges. Præcis hvordan nyttefunktionen ser ud er individuel for person til person og afhænger af f.eks. af personens indkomst og den individuelle følelse af værdien af tid. Derfor findes det også interessant at vurdere tiden på individniveau og ikke blot den akkumulerede tid for hele løsningen. Dette vil afhandlingen gøre under afsnit 11, hvor konsekvenserne af en løsning vil blive vurderet på individniveau. Side 56 af 77

61 Hastigheden Det antages at man uanset hvor man bor kører med en gennemsnitsfart på 50km i timen på hele turen, hvis man kører alene til arbejdet. Dette er en forsimpling af virkeligheden, da de der bor under 5 km fra arbejdspladsen må forventes at køre langsommere på hele deres rute, end de, der bor længere væk og evt. kører en del af strækningen på motorvej. Også mødetidspunktet påvirker gennemsnitshastigheden, men da denne afhandling tager udgangspunkt i personale, der møder i dagsholdet, påvirker dette ikke konklusionerne. Da gennemsnitsfarten på 50 km i timen accepteres og bruges trods problemerne med denne antagelse, skal det også diskuteres om gennemsnitsfarten er den samme om man kører fra sit hjem og til arbejdspladsen eller om man skal stoppe op og samle folk op på vejen. Udover nedbremsningen, der skal til for at opsamle en person, kan det også forventes at denne person ikke bor ud til hovedvejen og at en omvej med nedsat hastighed var nødvendigt i et virkeligt eksempel. Derudover ville der i et virkeligt eksempel også kunne opstå ventetid ved opsamlingen. For at tage højde for denne problemstilling i afhandlingens eksempel, hvor afstandene er beregnet i euklidiske mål er gennemsnitshastigheden nedsat til 45 km i timen, når man skal kører sammen med andre. Alternativer til denne beregning kunne være at indsætte en straf på eksempelvis 3 minutter for hver person, der skulle samles op, for på den måde at tage højde for den ekstra ulejlighed, der opstår ved at skulle opsamle kolleger. Beregningsmæssigt er nedsættelses af gennemsnitshastigheden mindre kompleks og denne løsning vælges, for at imødekomme problemet, der opstå ved at der arbejdes med euklidiske afstande og ikke faktiske adresser og vejafstande. Til beregning af tidsforbruget bruges i det følgende en hastighed på 50 km i timen til at beregne tidsforbruget, hvis man kører alene og 45 km i timen til at beregne tidsforbruget, hvis man kører med andre Vurdering af løsningerne Indledningsvist vil dette afsnit argumentere for udvælgelsen af tre løsninger, som afhandlingen finder interessant at lave en nærmere analyse af. Analysen vil sammenligne de tre løsninger på deres længde, antallet af biler og deres ekstra tidsforbrug og sidstnævnte beregnes som beskrevet i afsnit 10.1 om tid. Det findes interessant at lave en analyse, der viser forskellighederne i de fundne løsninger og derfor vælges de tre løsninger som følger: Side 57 af 77

62 Som tidligere opsummeret har analyserne på det fiktive eksempel givet en række løsninger der er meget tæt på at være ens hvad angår kørte km og antallet af biler. Forskellen antages at være så lille mellem de bedste løsninger at den i praksis er uden betydning. Det findes derfor ikke interessant at sammenligne tidsforbruget mellem dem, men blot analysere tidsforbruget på en af disse løsninger. Til at repræsenteres de løsninger, der gav de bedste resultater vælges løsningen med Savings, modifikation, og optimerede ruter. Det findes også interessant at analysere tiden på en løsning, der var middelgod både hvad angår længden og antallet af biler. Her vælges CFRS med 12 seeds og med, da denne løsning var ca 30 km længere og havde 2 biler ekstra. For at vise tidsforbruget i en løsning, der var blandt de dårligste både hvad angår antallet af biler og længden vælges CFRS med 14 seeds og med Vurderingen af det ekstra tidsforbrug De tre valgte løsninger er vist i Tabel 10.1, der viser både længden på ruterne, antallet af biler, samt det største, det gennemsnitlige og det mindste ekstra tidsforbrug Tabel 10.1: Sammenligning af rutelængde, antal biler og tidsforbrug, 45 km/t Antal Maksimal ekstra Gennemsnitlig ekstra Mindste ekstra Løsning: KM Biler tidsforbrug tidsforbrug tidsforbrug Savings(TSP) 0,5 437, % 20 % 11 % CFRS 12 seed 3 470, % 17 % 0 % CFRS 14 seed 2 522, % 13 % 0 % Kilde: Bilag Vurdering af løsninger-tid, ark:vurdering Savings løsningen med og optimerede ruter gav en samlet rutelængde på 437,59 hvilket er den korteste samlede rutelængde. Til sammenligning skulle de 40 personer have kørt sammenlagt 1334,5 km, hvis de havde kørt hver for sig, så løsningen har givet en besparelse på rutelængden på ca. 68 %, hvilket også ville give en stor besparelse for de deltagende. Med den løsning ville der skulle køre 10 biler ind til sygehuset i stedet for 40, hvilket er en besparelse på 75 % og det mindste antal biler der kan reduceres til, så kapaciteten i bilerne er udnyttet, men under hensyntagen til komforten. Med denne løsning bruger hver person i gennemsnit 20 % mere tid end de ellers ville have gjort, men da dette er en gennemsnitsbetragtning, er det flere, der bruger betydelig mere tid og nogen helt op til 68 %. De, der bruger mindst ekstra tid bruger 11 % ekstra, så spredningen i denne løsning er relativt stor. For CFRS løsningen med 12 seed 3 blev ruterne tilsammen 470,5 km svarende til en forbedring på 65 %. I denne løsning blev antallet af biler reduceret fra 40 til 12, en reduktion på 70 %. Det gennemsnitlige ekstra tidsforbrug ligger i denne løsning på 17 %, og et maksimalt ekstra tidsforbrug på Side 58 af 77

63 61 %. Det mindste tidsforbrug på 0 %, opstår da person 12 i denne løsning kører selv, og af den grund kan kører med 50 km/t og ikke bruger længere tid end han plejer. Ser man bort fra denne person er det mindste ekstra tidsforbrug 11 %. I løsningen CFRS 14 seeds, blev ruterne længere nemlig 522,65 km, svarende til en besparelse på 61 %. Besparelsen i det samlede antal km er stadig relativt stor. Ser man på forskellen mellem den bedste løsning og denne løsning køres der i alt 85 km længere, og fordelt på 40 personer er reduktionen i besparelsen per person lidt over 2km, set som en gennemsnitsbetragtning. Antallet af biler, der skal ind i området er 14, svarende til en reduktion på 65 %. Den gennemsnitlige ekstra tid, der er brugt er på 13 %. Den, der bruger mest ekstra tid bruger 35 % ekstra, hvilket er betydeligt mindre end i de to andre løsninger. Igen er de 0% for den mindste udtryk for at person 12, 15 og 3, kører alene. Opsamling De tre løsninger giver et billede af at jo bedre løsningen er i længde og reduktion er biler, jo længere transporttid skal personerne acceptere. Ser man på tidsforbrug klarer CFRS 14 seeds sig bedst, både hvad angår gennemsnitlig tidsforbrug og maksimal tidsforbrug, og denne løsning er at foretrække, hvis det ønskes at give en garanti for reduktion af ekstremt ekstra tidsforbrug. Det kan dog ikke umiddelbart konkluderes, hvilken løsning, der er den bedste, da dette er afhængigt at hvordan personerne, der er med i ordningen, vurderer tidsforbruget i forhold til de sparede omkostninger. Det kan konkluderes at man kan sparer flest km og biler hvis man er villig til at acceptere et relativt højere tidsforbrug og en stor forskel i, hvor meget ekstra tid hver person skal bruge. Side 59 af 77

64 11 Implementeringskonsekvenser I afsnit 3 om samkørsel blev begreberne carpooling og carsharing defineret. Den største praktiske forskel på de to samkørselsordninger er hvordan deltagerne deler omkostningen til transport. Ved carpooling skiftes deltagerne til at lægge bil og benzin til og henter de andre, og på den måde deles omkostningerne. Ved carsharing er det, som tidligere nævnt, én person der kører bilen og de andre betaler en del af førerens omkostninger. Løsningsmetoderne, der er anvendt i denne afhandling giver, ved deres antagelse om åbne ender, løsningsforslag, der har ligheder med carsharing. Dette, da der ligger i metoden at ruterne starter hos den på ruten, der ligger længst væk fra sygehuset, og denne person derved fører bilen. Besparelsen i antallet af km er ligeledes regnet ud fra denne antagelse og besparelsen ville være mindre, hvis en anden på ruten skulle starte ruten. Dette gør det nødvendigt for de deltagende parter at have fastlagt på forhånd hvordan omkostningerne skal deles, da netop besparelsen af omkostninger er den faktor, der motiver mest til at deltage i en samkørselsordning, som det argumenteres i afsnit Den økonomiske konsekvens I dette afsnit vil to metoder til omkostningsfordeling blive beskrevet bl.a. med udgangspunkt i artiklen Cost allocation in collaborative forest transportation (2010), der beskriver omkostningsfordelingen efter et samarbejde mellem virksomheder i den svenske skovindustri. Dernæst vil omkostningsfordeling blive beregnet for en af afhandlingens løsninger til at illustrere den økonomiske konsekvens på individniveau og afslutningsvist ser afhandlingen på den tidsmæssige konsekvens for individerne. Cost allocation in collaborative forest transportation Artiklen behandler problemstillingerne som skovindustrien i Sverige står overfor bl.a. i form af stigende udgifter til transport, på grund af den lange distance, som det tunge træ skal transporteres fra skoven og videre i forsyningskæden. Der arbejdes derfor på en forbedret planlægning af transporten og heri et øget transport- og lagersamarbejde mellem konkurrerende virksomheder for at mindske deres fælles omkostninger. Artiklen præsenterer forskellige måder hvor på skovindustrien kan planlægge deres samarbejde på. Inden et samarbejde indledes, uanset samarbejdes udformning, er det nødvendigt at overveje hvordan udbyttet af samarbejdet skal deles. I mange virksomheder deles omkostningerne efter et vægtet gennemsnit, f.eks. vægtet på antal enheder, som hver virksomhed har fået transporteret. Dette har vist sig ikke at være en særligt retfærdig fordelingsmetode. Som alternativ viser artiklen, hvordan man kan bruge fordelingsmetoder, der er lavet til fordeling af gevinster i selskabsspil, til at dele omkostningerne mellem sig. Disse metoder kaldes Cooperative Games Theory, og fælles for metoderne er at finde en retfærdig måde at fordele udbyttet af et samarbejde. (Frisk, Göthe-Lundgren et al. 2010). Side 60 af 77

65 Som ved samarbejdet om transporten af træ i Sverige, kan samkørselsordninger også ses som et Cooperative game et samarbejde for at øge gevinsten. Ved at deltage i en samkørselsordning, kan man mindske de samlede variable omkostninger forbundet med transporten til og fra arbejdet og denne besparelse skal alle de deltagende parter alle have glæde af på en retfærdig måde. Der vælges i det efterfølgende afsnit at forklare en simpel metode, hvorpå omkostningerne til transport kunne deles og derefter Shapley-metoden (Shapley 1952), som en metode, der er lavet til cooperative games. Prisen for at kører én km Til beregningen af omkostningsfordelingen er det nødvendigt at kende omkostningen pr kørt km. Dette er naturligvis en meget varierende omkostning, der ifølge FDM er afhængig af bilens mærke, størrelse, brændstof form, alder, føreren kørerstil og prisen på sliddele. Også en bestemmelse af hvilke omkostninger, der skal deles, er nødvendig. Her i afhandlingen argumenteres det at de delte omkostninger inkluderer brandstofforbruget, slidtage på dæk og vedligeholdelses omkostninger. Omkostningerne kan ses i Bilag 14.3 og kan variere mellem 1,09 kr. og 1,78 kr. pr kørt km. (FDM 2014). Som en forsimpling vil der i det følgende blive regnet med en gennemsnitsomkostning på 1,5 kr. pr kørt km. Omkostningerne inkludere ikke udgifter til forsikring, afskrivninger, finansiering og parkering, da disse omkostninger stadig ville være der selvom den ansatte er med i kørselsordningen, men kun brugte bilen i fritiden, eller til at komme på arbejde, de dage hvor det ikke er muligt at være med i en ordning. For at samkørselsordningen kan blive en succes, er det vigtigt at det på forhånd er aftalt, hvordan der afregnes til den, der kører bilen, så dette ikke giver anledning til ubehag eller skænderier mellem deltagerne. Vægtet gennemsnit En metode til at finde ud af, hvad hver person skulle betale efter en endt tur, ville være en gennemsnitsberegning af de samlede omkostninger. En simpel gennemsnitsberegning til fordeling af omkostningerne ville dog være en uretfærdig metode, da de forskellige deltagere har haft forskellig gavn af ordningen. Derudover kunne det på den måde ske at det ville være dyrere for visse personer at deltage i ordningen, end at kører selv. For at afhjælpe dette problem kunne der bruges et vægtet gennemsnit. Et vægtet gennemsnit er en simpel og mere retfærdig måde for deltageren at beregne, hvor meget de hver skal betale til den, der kører turen. Der kunne f.eks. vægtes efter hvor mange km en deltager havde kørt med, således at den, der havde kørt længst betalt mest, og den, der blev opsamlet til sidst betalte mindst. Side 61 af 77

66 Shapley metoden Kort fortalt er Shapley-metoden en metode til at fordele de samlede omkostninger, der opstår i forbindelse med et samarbejde. Metoden blev lavet af Lloyd Shapley i 1953, som en videreudvikling på eksisterende spilteorier. Teorien er lavet så den opfylder en række krav eller egenskaber, der findes vigtige i forbindelse med en retfærdig omkostningsfordeling, herunder at alle omkostninger fordeles og at fordelingen er symmetrisk, således at deltager, der bidrager lige meget skal tildeles ens omkostninger. Det beregningen går ud på er at finde den gennemsnitlige marginalomkostning, som hver deltager bidrager med ved at være med i samarbejdet. På den måde allokeres flest omkostninger til den, der ved sin deltagelse i ordningen, står for flest omkostninger. Der bliver på denne måde allokeret omkostningerne til deltagerne efter hvor stor en del af omkostninger, de marginalt står for. For at kunne forklare Shapley beregningerne er det nødvendigt kort at redegøre for begreber. Først er det nødvendigt at kende ordet coalition der, indenfor spilteori, er dem der samarbejder om spillet, for at øge deres samlede gevinst.(frisk, Göthe-Lundgren et al. 2010). En coalition, S, er defineret som en delmængde af deltagere, mens grand coalition, N, er defineret som alle de mulige deltagere. For at udregne om et samarbejde, S, er fordelagtigt skal man kende deltagernes omkostninger, hvis de ikke deltog. Dertil skal man kende begrebet singleton coalition - en coalition med kun én deltager. Fællesomkostningerne for en coalition benævnes c(s), det vil sige at hvis der er tale om en singleton coalition, så er c(s) deltagerens egen omkostninger. Derudover skal en person kun deltage i et samarbejde, hvis hans omkostninger ved at deltage er mindre end hvis han arbejdede alene. Dette kaldes individual rational. Bestemmelse af løsning til individanalyse. Tidligere i afhandlingen blev 3 løsningsmetoder sammenlignet med henblik på at se hvordan de klarede sig på parametrene tidsforbrug, rutens længde og antallet af biler. Konklusion herfra var af tidsforbruget blev forøget, hvis rutelængden forbedres. Den løsning, der klarede sig bedst på tidsforbruget, men ringest på de andre parameter var løsningen fra CFRS 14, med. Det findes derfor relevant at se på konsekvensen for det enkelte individ, hvis denne løsning implementeres. Det, der findes interessant at kigge på, er hvor meget tidligere en person skal tage hjemmefra ved at deltage i ordningen, samt hvor store hans omkostninger ville være. Da formålet er at vise beregningsmetoder og implementeringskonsekvenser, finder det tilstrækkeligt at vise konsekvensen for individerne på én rute. I de følgende afsnit vil omkostningsbesparelsen for den første rute i CFRS 14, med blive beregnet ved et vægtet gennemsnit og Shapley-metoden. - løsningen Side 62 af 77

67 Vægtet gennemsnit beregning Et vægtet gennemsnit kan som før nævnt beregnes ved at vægtet hver af deltagernes omkostning ud fra hvor stor en del af turen de rejser med på. Denne beregning vil herunder vises for ruten , der er den første rute lavet med CFRS 14, Tabel 11.1: Vægtet gennemsnit rute 1, CFRS 14 Rute 1 Afstand % af samlet ,75 29% ,97 27% ,43 24% ,11 20% Samlet 244,26 Kilde: Bilag: Omkostningsfordeling, Ark: Vægtet gennemsnit I Tabel 11.1 ses beregningen af vægtene. Hvis hele ruten betragtes så er den rejste afstand 71,75 km. Person 39 er den eneste der er med på ruten hele den rejste afstand og derved kan hans andel af de samlede km beregnes. Dernæst ses på ruten hvis den startede hos person 23, hvorved rutelængden bliver 65,97 km. For person 31 og 37 er deres del af ruten henholdsvis 57,43 km og 49,11 km. På denne måde beregnes vægtene ud fra hvor stor en del af rejsen de hver har været med på og herved får man fordelingen 29 %, 27 %, 24 % og 20 %. Ud fra disse oplysninger allokeres de samlede omkostninger som vist i Tabel Det ses at de fire personer med en vægtet gennemsnits beregning af omkostningerne har en nogenlunde lige besparelse med en variation på 3 %. Derudover ses det at person 39, som er chaufføren, har den længste rejse og den mindste besparelse. Besparelsen er på 68 %, som betyder at person 39 i stedet for at have en omkostning på 98,82 kr. ved at køre på arbejder, nu kan har en omkostning på 31,61 kr., hvilket giver besparelsen på 68 % pr. tur. Tabel 11.2: Allokering af omkostninger ud fra vægtet gennemsnit Person Vægtning Fælles omkostning Fordeling Kører selv omkostninger Besparelse % 39 29% 107,62 31,61 98,82 68% 23 27% 107,62 29,07 96,96 70% 31 24% 107,62 25,30 85,79 71% 37 20% 107,62 21,64 73,67 71% Kilde: Bilag: Omkostningsfordeling, Ark: Vægtet gennemsnit Side 63 af 77

68 Shapley beregning Beregningerne er foretaget på CFRS 14,, første rute, der kører mellem person Hver deltagers omkostninger beregnes ved hjælp af denne formel ( 11.1 ): ( 11.1 ) Y j er den omkostning, der bliver allokeret til deltager j, j. er det antal deltagere, i den coalition kigges på, er det antal der maksimalt er i coalitionen = 4. c(s) er fællesomkostningerne for den coalition, der kigges på, og c(s-{j}) er fællesomkostninger, hvis man tog virksomhed j ud af coalitionen. Ved at fratrække beregnes den marginalomkostning j bidrager med til coalitionen. Eksempel på beregningen: På samme måde er beregningen foretaget for de øvrige deltagere på ruten og denne beregning kan ses i bilag: Omkostningsfordeling, Ark: Shapley metode. Omkostningsfordelingen kommer således til at se sådan ud: Tabel 11.3: Omkostningsfordeling, Shapley Person Fordeling Kr. Kører selv Besparelse % 39 33,36 98,82 66 % 23 32,22 96,96 67 % 31 23,38 85,79 73 % 37 18,65 73,67 75 % Kilde: Bilag: Omkostningsfordeling, Ark: Shapley metode Rutens samlede omkostninger, som er fundet ved at beregne omkostningerne fra er 107,62. Disse omkostninger fordeles mellem deltagerne så person 39 selv betaler 33,36 kr., og får 32,22 kr., 23,38 kr. og 18,65 kr. fra henholdsvis person 23, 31 og 37. Person 39 sparer på denne måde 66 % af sine samlede variable transportudgifter, person 23 sparer 67 %, person 31 sparer 73 % og person 37 Side 64 af 77

69 sparer hele 75 %. Besparelsen er på denne måde afhængig af hvor meget deltagerne marginalt er skyld i af omkostninger, således at en person sidst på ruten ikke straffes ved at være med på en rute, der har en lang tur bag sig. Retfærdig metode De to metoder beregnet i foregående afsnit gav forskellige resultater til hvordan transportomkostningen mellem deltagerne på første rute skal deles. I praksis vil metoden med et vægtet gennemsnit være den nemmeste og hurtigste for deltagerne at beregne og forstå, og denne fordeling giver også en ganske retfærdigt fordeling, da man betaler efter hvor stor en del af strækningen man har kørt med på. Shapley metoden er mere besværlig at beregne og svære at forstå, hvilket i praksis ikke gør den brugervenlig. Metoden giver dog en retfærdig fordeling af omkostningerne ved at beregningen tager udgangspunkt i marginalomkostninger. Alle deltagere betaler derved for deres bidrag og uafhængigt at hvor lang ruten har været før de selv kom med. Som en støtte til de ansatte kunne Skejby Sygehus med fordel hjælpe med retningslinjer til, hvordan man klarer betalingen og forslag til hvordan omkostningerne kunne fordeles. Sygehuset kunne f.eks. stå for at lave en App til Smartphones eller en side på Internettet, hvor man kunne taste de relevante oplysninger ind, og nemt få beregnet hvad hver person skal betale. På denne måde kunne virksomheden gøre det nemmere for de ansatte at deltage i en ordning ved at fjerne anledninger til diskussion om penge og retfærdig fordeling, da dette var fastsat på forhånd Den tidsmæssige konsekvens Tiden er tidligere i afhandlingen blevet vurderet for hver løsning til at vurdere løsningernes anvendelighed. I det følgende afsnit vil tiden blive beregnet for de 4 personer på rute 1, da det findes interessant at undersøge hvordan deres hverdag ændres hvad tid angår, efter at afhandlingen tidligere har beregnet de økonomiske konsekvenser for disse personer. Resultaterne af denne analyse kan derfor ikke generaliseres, da de er beregnet for netop disse 4 personer. Tabel 11.4: Tidsforbrug Person Opsamlingstidspunkt 06:24:20 06:32:02 06:43:26 06:54:31 Kører selv tidspunkt 06:40:57 06:42:26 06:51:22 07:01:04 Forskel 00:16:36 00:10:24 00:07:56 00:06:33 Kører selv tid 01:19:03 01:17:34 01:08:38 00:58:56 % Ekstra tid 21% 13% 12% 11% Kilde: bilag: Vurdering af løsninger tid. Ark: Rute 1 CFRS Side 65 af 77

70 Beregningen af tidsforbruget er lavet baglæns som beskrevet i afsnit I Tabel 11.4 ses den beregnede tidsmæssig konsekvens for de 4 personer, der kører sammen i rute 1. Ved at deltage i ordningen kommer person 39 til at bruge 21 % længere tid end han ellers skulle ved at deltage i ordningen. For ham betyder det at han skal køre hjemmefra kl. 06:24 i stedet for 06:40. For person 23 er stigningen 13 %, svarende til 10 minutters ekstra rejsetid og for person 31 og 37 er den ekstra rejsetid på henholdsvis 12 % og 11 %. Vurdering af løsningerne på individuelt plan Overstående vurdering af én rute fra løsningen af samkørselsproblemet med løsningsmetode CFRS 14, har set på den økonomiske konsekvens og den tidsmæssige konsekvens. Det blev konkluderet at ligegyldig hvilken omkostningsfordelingsmetode, der blev anvendt var der en stor besparelse for alle deltager i samkørselsordningen. Besparelsen ligger mellem 66 % og 75 %,af personernes normale omkostninger. Trods gode besparelser kræver ordningen, at de der deltager er fleksible med at ofre lidt ekstra tid for at komme på arbejde. Person 39 som bor længst væk, kan sparer mellem 66 % og 68 % af sine omkostninger og skal være villige til at køre ca. 16 minutter tidligere på arbejde, hvilket svarer til at tillægge 21 % mere tid end hvis person 39 kørte alene og ingen besparelse havde. Derimod har dem som bor tættere på sygehuset en større procentvis besparelse og skal ofre mindre end 8 minutter ekstra på at komme billigere på arbejde. Dette giver et billede af at samkørselsordninger er en fordelagtig mulighed for Skejby Sygehus i forhold til at reducerer antallet af biler, da der hurtigt er en forbedring i antallet af færre biler, der skal indtil arbejdspladsen. Er de ansatte bedre til at køre sammen på arbejde, betyder det færre biler på vejene og dette vil reducere CO2-udslippet, hvilket er et ønske både fra Regeringen og Århus Kommune. Tidligt i afhandlingen stod det klart at samkørselsordninger kun er attraktive for de ansatte, hvis der er en økonomiske besparelse ved at deltage. Dette har vurderingen af løsningerne vist, at der vil være, men de ansatte skal være villige til at ofre lidt ekstra transporttid samt være afhængige af sine kollegaer. Idet løsningerne er bygget op om et fiktivt datasæt og der gennem afhandlingen er gjort mange antagelser, er det ikke muligt at generalisere konklusioner til virkelige samkørselsordninger. Nogle af de fundne løsninger har også resulteret i dårlige løsninger, hvor transporttiden ville være endnu længere og en mindre økonomisk besparelse. Side 66 af 77

71 12 Konklusion Denne afhandling har set på potentialet for samkørsel ved Skejby Sygehus og udarbejdelse af ruteplanlægning for samkørselsordninger. Dette er gjort med henblik på at se på eventuelle muligheder og konsekvenser ved samkørselsordninger. Samkørsel er når flere personer, der pendler til arbejder, vælger at køre sammen til arbejde i stedet for at køre hver for sig. To begreber for samkørsel er carpooling og carsharing, det først nævnte er hvor alle samkørere bidrager med en bil og der skiftes mellem at køre. Carsharing er hvor én deltager stiller sin bil til rådighed og kører mod betaling. En formel virksomhedsdrevet ordning er attraktiv for Skejby Sygehus i forhold til at tilbyde alternative transportmuligheder frem for at mange ansatte køre selv, og medvirker til de trafikale problemer i Skejby-området. De ansatte i Skejby-området vægter incitamenter som omkostningsbesparelse, opsamlingssteder, der ligger tæt ved bopælen og ingen skift i mellem transportmidler. Skejby Sygehus kan yderligere tilbyde parkeringsplader og garanti for at komme hjem, hvis en samkører udebliver for at motivere medarbejderne til at deltage i samkørselsordningen. Til udarbejdelse af ruteplanlægning for samkørselsordning er der arbejdet med heuristiske løsningsmetoder. Ved formulering af problemet blev det tydeligt at problemstillingen kan karakteriseres som et OVRP med kapacitetsbegrænsning, idet ruterne er åbne, fordi de starter ved en ansat og slutter ved Skejby Sygehus og at personbilerne har en kapacitetsgrænse. Et ruteplanlægningsproblem, som samkørsel, kan indeholde andre betingelser som time windows samt pickup and delivery, men disse er i forhold til den praktiske problemstilling vanskelige at få med i modellen og i eksakte metoder. Der er forskellige løsningsmetoder, der kan løse et samkørselsplanlægningsproblem. I afhandlingen bruges der heuristiske løsningsmetoder, og dele af heuristikken benytter TSP til at finde optimale ruter mellem de ansatte. Der er fundet løsninger til samkørselsproblemet ud fra et fiktivt datasæt og ved anvendelse af Clarke & Wright s savingsalgoritmen samt Cluster-first, route-second-algoritmen af Fisher & Jaikumar. Disse algoritmer er klassiske heuristikker, som med mindre justeringer, kan anvendes i forhold til problemstillingens åbner ruter. Endvidere er der delberegninger i begge algoritmer, som kan modificeres for at undersøge forskellige løsninger. Årsagen til at forskellige løsninger er blevet undersøgt, er at heuristikker ikke garanterer en optimal løsning. Savingsalgoritmen justeret til de åbne ruter, har ved anvendelse af VBA konstrueret syv løsninger til samkørselsproblemet. Første løsning blev konstrueret uden yderligere modifikation til fly-versionen af Clarke & Wright s savingsalgoritme og via den parallelle metode. Løsningerne med og uden modifikation varierede i samlet rutelængde fra den Side 67 af 77

72 korteste på 438,23 km til den længste på 1093,39 km. I forsøget på at forbedre ruterne og konstruere flere løsninger blev den største saving undertrykt, hvorefter ruterne igen blev konstrueret, ligeledes blev ruterne forsøgt optimeret med TSP. Den korteste samlede rutelængde blev 437,59 km, som var TSP forbedringen af savings med 0,5. Fisher & Jaikumar s to-fase model er en algoritme, som først klynger knuderne sammen og derefter sætter knuderne sammen til den korteste rute og derved løser samkørselsproblemet. Ved denne algoritme kan udvælgelsen af seed-knuden og justeringen af give forskellige løsninger. Ni forskellige løsninger blev fundet med CFRS ved at justere på og ændre kapaciteten i personbilerne. Den korteste samlede rutelængde blev 437,42 km og er derfor også den korteste løsning fundet i afhandlingen. CFRS løsningerne varierer med 10, 12 og 14 bilerm, samt samlede rutelængde på højest 740,52 km. I en videre analyse af de fundne løsninger er samkørselsruterne blevet vurderet ud fra de faktorer som undersøgelserne tidligere i afhandlingen konkluderede var vigtige for en succesfuld samkørselsordning. De incitamenter, der har betydning for løsningernes anvendelighed og implementering er komfort, omkostningsbesparelse og tid. De tre forskellige løsninger som bliver vurderet på anvendelighed konkluderer at jo bedre løsningen er i længde, jo længere transporttid skal personerne acceptere. Samkørende vil spare flest kilometer og Skejby Sygehus vil reducerer flest biler indtil sygehuset, hvis de ansatte er villige til at acceptere et højere tidsforbrug. De implementeringskonsekvenser, der blev vurderet på og der havde en stor betydning for de samkørende var omkostningsbesparelsen og den ekstra tid.. Omkostningsdelingen blev beregnet med et vægtede gennemsnit og Sharpley-metoden. Begge metoder gav en retfærdig fordeling af omkostningerne. Sharpley tager udgangspunkt i marginalomkostninger, hvilket betyder at alle samkører betaler et bidrag, men bidraget er ikke afhængigt af hvor lang ruten har været før en samkører kommer med på turen. Ud fra løsningerne og omkostningsberegningerne lavet ud fra et fiktivt datasæt, kan det konkluderes at deltagerne på den analyserede rute vil kunne få en omkostningsbesparelse på mellem 66 % og 75 % af deltagernes oprindelige transportomkostninger. Til slut blev det konkluderet at deltagerne skal acceptere en ekstra transporttid på mellem 11 % til 21 % længere tid end hvis de kørte selv. Disse konklusioner vil ikke altid være glædende for en hver deltager i en samkørselsordning, men viser potentialet for en samkørselsordning ved Skejby Sygehus og andre virksomheder med lignende trængselsproblem. Side 68 af 77

73 13 Litteraturliste "RAMBØL", Undersøgelse af transportvaner - 11 virksomheder i Skejby. Aarhus: Rambøl. BODIN, L.D., GOLDEN, B.L., ASSAD, A., A. and BALL, M.O., Routing and Scheduling of Vehicles and Crews: The State of the Art. Computers & Operations Research, 10(2), pp. 67. BRANDÃO, J., A tabu search algorithm for the open vehicle routing problem. European Journal of Operational Research, 157(3), pp CANNING, P.E., HUGHES, S.J., HELLAWELL, E.E., GATERSLEBEN, B.C.M. and FAIRHEAD, C.J., Reasons for participating in formal employer-led carpool schemes as perceived by their users. Transportation Planning and Technology, 33(8), pp CANNING, P.E., HUGHES, S.J., HELLAWELL, E.E., GATERSLEBEN, B.C.M. and FAIRHEAD, C.J., Reasons for participating in formal employer-led carpool schemes as perceived by their users. Transportation Planning and Technology, 33(8), pp FDM, Bilbudget Bladet "Motor": FDM Motor. FISHER, M.L. and JAIKUMAR, R., A generalized assignment heuristic for vehicle routing. Networks - LA English, 11(2), pp FRISK, M., GÖTHE-LUNDGREN, M., JÖRNSTEN, K. and RÖNNQVIST, M., Cost allocation in collaborative forest transportation. European Journal of Operational Research, 205(2), pp GASKELL, T.J., Bases for Vehicle Fleet Scheduling. OR, 18(3), pp GENDREAU, M., LAPORTE, G. and SEMET, F., A Guide to Vehicle Routing Heuristics. The Journal of the Operational Research Society, 53(5), pp GILLETT, B.E. and MILLER, L.R., A Heuristic Algorithm for the Vehicle-Dispatch Problem. Operations research, 22(2), pp HALL, R.W., Handbook of transportation science. Boston: Kluwer Academic Publishers. HOLMES, R.A. and PARKER, R.G., A Vehicle Scheduling Procedure Based Upon Savings and a Solution Perturbation Scheme. Operational Research Quarterly ( ), 27(1, Part 1), pp ,, AUH i tal. Available: [03/28, 2014] ,, AUH's Historie. Available: [03/28, 2014]. Side 69 af 77

74 2014,, Aarhus Universitetshospitals hjemmeside. Available: [04/23, 2014] ,, Trafikale løsninger i Aarhus Nord. Available: [03/28, 2014] ,, Transportens energiforbrug og CO2 emissioner. Available: [12/3, 2014] ,, Med kvalitet som ledestjerne. Available: [04/22, 2014] ,, Tal og analyser. Available: x [04/22, 2014] ,, Aarhus kommune, teknik og miljø. Available: [04/23, 2014]. LAWLER, E.L., The traveling salesman problem : A guided tour of combinatorial optimization. Chichester: Wiley. LI, F., GOLDEN, B. and WASIL, E., The open vehicle routing problem: Algorithms, largescale test problems, and computational results. Computers and Operations Research, 34(10), pp LIN, S., Computer Solutions of the Traveling Salesman Problem. Bell System Technical Journal, 44(10), pp LYSGAARD, J., Clarke & Wright's Savings Algorithm. Department of Management Science and Logistics.: Aarhus School of Business. RAND, G.K., The life and times of the Savings Method for Vehicle Routing Problems. ORiON, 25(2), pp SARIKLIS, D. and POWELL, S., A heuristic method for the open vehicle routing problem. Journal of the Operational Research Society, 51(5), pp SAVELSBERGH, M.W.P., Computer Aided Routing. Amsterdam: Centrum voor Wiskunde en Informatica. SHAPLEY, S.L., A value for n-persons games. The RAND Corporation,. Side 70 af 77

75 SOLOMON, M.M., Algorithms for the Vehicle Routing and Scheduling Problems with Time Window Constraints. Operations research, 35(2), pp TARANTILIS, C.D., IOANNOU, G., KIRANOUDIS, C.T. and PRASTACOS, G.P., Solving the Open Vehicle Routeing Problem Via a Single Parameter Metaheuristic Algorithm. The Journal of the Operational Research Society, 56(5), pp TEAL, R.F., Carpooling: Who, how and why. Transportation Research Part A: General, 21(3), pp TOTH, P.L. and VIGO, D., The vehicle routing problem. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. VAN BREEDAM, A., Improvement heuristics for the Vehicle Routing Problem based on simulated annealing. European Journal of Operational Research, 86(3), pp WØHLK, S., VBA programming in business economics. 1. edition edn. Copenhagen: DJØF. WRIGHT, J.W. and CLARKE, G., Scheduling of vehicles from a central depot to a number of delivery points. Operations research, 12(4), pp Side 71 af 77

76 14 Bilag Øvrige bilag der refereres til i afhandlingen er vedlagt på cd rom. Bilag 14.1 Beregning af afstanden mellem 2 koordinater Kilde: Egen tilblivelse Bilag 14.2: Løsning Savings uden modifikationer Kilde: Egen tilblivelse Side 72 af 77

77 Bilag 14.3: Bilbudget 2014 Kilde: (FDM 2014) Side 73 af 77