RUTEPLANLÆGNING OG TRANSPORTNETVÆRK
|
|
- Rebecca Johannsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 98
2 Ruteplanlægning og transportnetværk Af professor Oli B.G. Madsen 99
3 Flere og flere mennesker og større og større mængder af varer og gods bliver transporteret over længere afstande end nogensinde før. Det forventes samtidig, at transporttiden til og fra arbejdspladser og institutioner er kort, og at varer hurtigt og effektivt kommer frem til butikkerne. Alt sammen skal helst ske med mindst mulig miljøbelastning og med begrænset brændstofforbrug. Løsningerne er bl.a. baseret på en kombination af nye teknologiske redskaber og bedre matematiske modeller og optimeringssoftware. Når man eksempelvis skal planlægge et optimalt transportnetværk af lastbiler, busser eller containerskibe, skal man indarbejde oplysninger om gennemsnitshastighed og kapacitet, og dette skal korreleres med de ønskede ruter, lagerpladser/stoppesteder eller havne og frekvenser, samtidig med at der tages hensyn til servicemål og omkostninger. Der kan ydermere være krav eller ønsker om, at mindre forsinkelser ikke medfører problemer, dvs. løsningen skal være robust. Det er en uhyre kompleks opgave, der kan føre til en matematisk model af enorme dimensioner. I dette og de følgende kapitler vises eksempler på matematikken bag ruteplanlægningen, og på hvordan transportoptimering i praksis kan anvendes af virksomheder i transportbranchen. Den handelsrejsendes problem Det simpleste ruteplanlægningsproblem er den handelsrejsendes problem (TSP, The Travelling Salesman Problem ), der har fascineret forskerne i de sidste 50 år. En række kunder skal besøges af en handelsrejsende på en given dag. Den handelsrejsende skal tage af sted hjemmefra om morgenen og være hjemme igen om aftenen. Opgaven er at planlægge en rute, så alle kunderne bliver besøgt, og således at den samlede tur bliver så kort som mulig. Det ser umiddelbart nemt ud. Men selv med blot 20 kunder, kan det være vanskeligt at finde den optimale løsning manuelt. Prøv selv at finde løsningen på problemet i figur 1, idet vi antager, at man kan rejse i rette linjer mellem kunderne. Figur 1. Kunder, der indgår i den handelsrejsendes problem (den optimale løsning er vist i figur 3). 100
4 Hvis man er nødt til at følge vejene i stedet for rette linjer, bliver det meget sværere. Det er nemt at udtrykke TSP matematisk ved hjælp af binære variabler xij som er lig med 1, hvis den handelsrejsende tager direkte fra kunde i til kunde j, og lig med 0, hvis det ikke er tilfældet. Dette er kombineret med to sæt af begrænsninger. Det ene sæt begrænsninger sikrer, at hver kunde besøges én gang, og det andet sæt sikrer, at der kun køres én tur i stedet for flere små separate ture. Det er dog matematisk set ret vanskeligt at finde den optimale løsning. Den første optimale metode så dagens lys i Metoden var langsom og kunne normalt kun håndtere et mindre antal kunder. Den gren af den anvendte matematik, der ofte anvendes til at løse denne type problemer, kaldes operationsanalyse (se mere om rutelægningsproblemer i boks 1). Boks 1 Optimalitet og heuristikker Når man vil løse store planlægningsproblemer, som f.eks. rutelægningsproblemer, findes der grundlæggende to måder. Man kan enten forsøge at finde den perfekte (optimale) løsning, eller man kan nøjes med en meget god løsning. Når man har fundet den optimale løsning på et problem, kan man bevise matematisk, at der helt sikkert ikke findes en bedre løsning, f.eks. en billigere måde at besøge alle kunder på. Det er naturligvis rart at vide at man har en perfekt løsning, men i praksis kan det kun lade sig gøre at finde en sådan løsning for relativt små problemer. For et simpelt rutelægningsproblem ligger grænsen typisk omkring 100 kunder, hvor beregningerne kan tage dagevis på en meget hurtig computer. Hvis man ikke behøver en optimal løsning, kan man f.eks. bruge en heuristik til at finde en løsning, der er nær-optimal. En heuristik fungerer ofte ved, at man først konstruerer en gyldig løsning på problemet, eksempelvis en ruteplan, der besøger alle kunder, men måske ikke er den billigste. Derefter foretager man gradvise forbedringer af denne løsning. Forbedringerne sker typisk ved at lave nogle tilfældige småændringer af løsningen og derefter undersøge, om den nye løsning er bedre end den gamle. Eftersom man laver tilfældige ændringer, kan man sagtens få en ny løsning, der er dårligere end den oprindelige. Den kan man så kassere, og prøve noget andet tilfældigt i stedet for. Et menneske, der skal planlægge, kan ofte hurtigt se, om en løsning er værre eller bedre. Det kan computeren ikke, den er nødt til at lave tilfældige ændringer, men til gengæld kan den regne igennem mange muligheder på kort tid og derfor ofte finde løsninger, der er bedre end dem et menneske kunne finde. Hvis man har lavet en million små, gradvise ændringer (iterationer) af en løsning, er man tit kommet frem til et ret godt resultat. De løsninger, der kan konstrueres ved at lave sådanne små ændringer, siges at ligge i den oprindelige løsnings nabolag. Computerkraft og nye udfordringer I dag kan man rutinemæssigt løse problemer med 100 kunder, og hvis man råder over tilstrækkelig computerkraft, er det muligt at løse problemer med tusindvis af kunder. De nyeste metoder til løsning af TSP er baseret på successive løsninger af et lineært programmeringsproblem (LP), dvs. der er et lineært mål og et sæt af lineære begrænsninger, hvilket betyder, at der lempes på antagelsen om binære variable. Når man løser et LP, får man en løsning, der er ret nem at finde, men som ikke løser det helt rigtige problem. I det oprindelige problem har man en række binære variable, dvs. variable som skal være enten 0 eller 1. En variabel kan f.eks. have værdien 1, hvis man kører direkte fra kunde A til kunde B, og 0 hvis man ikke gør (og besøger andre kunder imellem de to, eller måske besøger B før A). 101
5 I et LP fjernes kravet om, at variablen skal være binær (enten 0 eller 1), dvs. den kan også have ikke-heltallige værdier mellem 0 og 1. Computeren er i dette tilfælde bedre til at regne med rationelle tal end med heltal, så problemet bliver derved lettere at løse. Efter at have løst et LP, kan løsningen altså indeholde en sådan variabel med værdien 0,5. Denne løsning kan naturligvis ikke udføres i praksis man må enten køre direkte fra A til B eller lade være med at gøre det. Man må derfor anvende særlige algoritmer (kaldet separationsalgoritmer) til at finde yderligere begrænsninger, der kan tilføjes LP-problemet, og som kan reducere antallet af ikke-heltallige variable i løsningen. Disse begrænsninger medtages i LP-problemet, som løses igen. Proceduren gentages, indtil der er taget hensyn til alle de oprindelige begrænsninger. Som tidligere nævnt er TSP det mest simple ruteplanlægningsproblem, og man kan f.eks. bevise, at ruten ikke må krydse sig selv. Hvis man imidlertid udvider problemet til at omfatte adskillige køretøjer med kapacitetsbegrænsninger og kundekrav, kan man opnå optimale løsninger, hvor det enkelte køretøjs specifikke rute krydser sig selv og de andre ruter. Under disse omstændigheder kan det være meget vanskeligt at planlægge ruterne manuelt. Figur 2 viser den optimale løsning på et ruteplanlægningsproblem med 100 kunder, hvor der er et nærmere specificeret tidsrum for, hvornår kunden skal betjenes. Det fremgår tydeligt af figuren, at det ville være meget vanskeligt at finde frem til denne løsning manuelt. Ved hjælp af computere og moderne løsningsmetoder kan man på et par sekunder finde den optimale løsning på de fleste problemer med 100 kunder. Der findes dog stadig problemer med 100 kunder, som endnu ikke kan løses optimalt. Figur 2. De optimale ruter for besøg af 100 kunder inden for det aftalte tidsrum. Depotet ligger i midten, og for ikke at gøre det for forvirrende er det første og sidste ben i de 15 ture ikke medtaget. Bemærk, at en kunde lige sydvest for depotet betjenes individuelt. Figur 3. Den optimale tur fra figur 1. De ovenfor beskrevne ruteplanlægningsproblemer er fortsat ret simple fra et anvendelsesmæssigt synspunkt. Der er blevet udviklet mange forskellige matematiske modeller til at bringe varer og mennesker effektivt omkring, f.eks. metoder til at finde den optimale løsning og heuristiske metoder (boks 1). Udover at minimere den totale tilbagelagte afstand kan man også overveje miljø- og energimæssige målsætninger. 102
6 Når personer og varer skal transporteres til og fra og rundt i eksempelvis verdens megabyer, er de logistiske udfordringer enorme. De teknologiske løsninger og de nye matematiske metoder skal forsøge at følge med storbyernes løbske vækst, de stadigt flere transportmidler og de voksende bybefolkningers krav om kort rejsetid og effektiv service. 103
7 Busnetværk i København Til design af et busnetværk i f.eks. det storkøbenhavnske område vil man anvende eksisterende prognoser for antallet af passagerer, der vil fra A til B i et bestemt tidsinterval, en såkaldt OD-matrix (Origin Destination). Desuden råder man over kendte karakteristika for busserne såsom stoppesteder, kapacitet, hastigheder etc. Opgaven kan formuleres som en matematisk model med variable og sammenhænge mellem disse variable i form af ligninger og uligheder. En variabel xijkt kan f.eks. antage værdierne 0 eller 1. Antager den værdien 1, betyder det, at bus k kører mellem stoppested i og j med afgang fra stoppested i klokken t minutter efter midnat. Er den variable 0, så kører bus k ikke som angivet ovenfor. Ligningerne er ofte lineære og sikrer, at tider og kapaciteter overholdes samt giver sammenhænge mellem de variable. Der er ofte i disse ligningssystemer flere variable end ligninger, hvilket i almindelighed betyder, at der er flere løsninger (man kan forestille sig et sæt af ligninger med f.eks. 3 variable og kun 2 ligninger). Derfor vil man normalt indføre en såkaldt målfunktion (i dette tilfælde omkostning eller ventetid for passagerer, der skifter mellem 2 busser), således at man, blandt de mange løsninger, kan udvælge den eller de løsninger, der minimerer omkostningerne eller ventetiden. Et design af et busnetværk i København giver hurtigt ligninger og variable eller endnu større dimensioner. De variable er som nævnt 0-1 variable, eller de kan antage alle reelle værdier større end 0. Problemets dimension giver løsningsmæssige vanskeligheder, og her er det oplagt at satse på en alternativ metode, der giver en tilnærmet, men hurtigere løsning. Læs mere om busnetværk i kapitlet: Optimering af kollektiv transport. Ruteplaner og netværksdesign for containerskibe Den danske containerflåde er blandt de største i verden og en af Danmarks væsentligste kilder til udenlandsk valuta. Konkurrencen er imidlertid hård, containerskibe er dyre i indkøb, og selv om skibsfart er blandt de mest miljøvenlige alternativer i dag, gør de kolossale mængder, der transporteres, at skibene sammenlagt har et enormt brændstofforbrug med tilsvarende høj udledning af CO 2 og andre miljøskadelige stoffer. Derfor er det afgørende at få flåden til at operere så effektivt som muligt. Rederierne skal tilrette deres strategi med henblik på at indkøbe de rigtige skibe, afgøre hvilket netværk der skal drives, og hvor de forskellige terminaler skal placeres. På det taktiske plan skal operatørerne beslutte de enkelte skibes ruteplan, hvilke transportordrer der skal accepteres, og i hvilken rækkefølge ordrerne skal effektueres. Hvis man har en containerflåde og beslutter at opkøbe en konkurrerende flåde med eget netværk, skal man kombinere de to flåders netværk for at høste fordel af opkøbet (se figur 4). Hver flåde har egne karakteristika, prognoser for kundebehov og et antal havne og terminaler, der potentielt kan benyttes. Et design af et kombineret netværk kan formuleres som et optimeringsproblem i stor skala, der efterfølgende kan løses. Netværkstransition Når man har designet klar til et kombineret netværk, så støder man i visse tilfælde på det såkaldte netværkstransitionsproblem hvordan man smartest skifter fra det nuværende netværk til det nye netværk. I et busnetværk har man normalt ikke dette problem. Måske skal busnumrene og køreplanerne revideres, men det er overskuelige ændringer, og næste morgen kører busserne blot efter den nye plan. Drejer det sig derimod om en flåde af containerskibe, har man et omfattende netværkstransitionsproblem. Afstandene er store, og man kan ikke i et snuptag flytte skibene til nye destinationer. Det kan tage flere uger. Ydermere 104
8 Figur 4. Et eksempel på et netværk af containerskibe med markerede havne (3-bogstavskoder) og indtegnede sejlruter. er skibene måske fyldt med containere, som i et nyt netværk bør være på andre skibe. Netværkstransitionsproblemet kan som ovenfor formuleres som et optimeringsproblem med variable og ligninger, men det har indtil nu ikke været behandlet meget i forskningsverdenen. Der er imidlertid kommet fokus på løsninger til dette problem i de seneste par år, og de potentielle gevinster er markante. Eksempelvis kan man betragte et lille realistisk netværk bestående af en flåde med 11 mindre containerskibe, som fra de helt store containerhavne fragter containerne videre til mindre havne. Her er situationen så dynamisk, at man skal omplanlægge netværket omkring hver fjortende dag samt bestemme netværkstransitionen. En matematisk model og tilhørende nyudviklet næroptimal løsningsmetode kunne reducere den sejlede distance med 6,9 %. Ved yderligere at spare et skib kunne den sejlede distance reduceres med i alt 15 %, dvs. yderligere 8,1 % i forhold til den første løsning. Disse distancereduktioner vil betyde en besparelse for shippingselskabet på mere end en halv million kr. hver 14. dag. Desuden kan en sådan ny plan fremskaffes på et par timer, mens det tidligere tog flere dage at konstruere en ny plan. Eksemplet viser, hvordan nye matematiske løsninger hurtigt kan omsættes til millioner af kroner på bundlinjen hos transportvirksomheder. Kapitlets forfatter Professor Oli B.G. Madsen. 105
PREPARED BY.
OPTIMER DIN DRIFT MED MATEMATISKE MODELLER PREPARED BY FREJA 4PL SERVICES www.freja.dk Matematiske modeller kan være en stor hjælp til beslutningstagen og planlægningsaktiviteter på både et operationelt,
Læs mereBrug matematiske modeller til at optimere din drift
Brug matematiske modeller til at optimere din drift Matematiske modeller kan være en stor hjælp i beslutningstagen-og planlægningsaktiviteter på både et operationelt, taktisk og strategisk niveau. Matematiske
Læs mereStrategisk og taktisk netværksplanlægning. DTU Transport 4. maj, 2010 Oli B.G. Madsen og Martin W. Andersen
Strategisk og taktisk netværksplanlægning DTU Transport 4. maj, 2010 Oli B.G. Madsen og Martin W. Andersen Agenda DTU Transport - forskning og undervisning i maritim transport Introduktion til netværksdesign
Læs mereLokalisering af og samspil mellem distributionsterminaler
Lokalisering af og samspil mellem distributionsterminaler Louise Tranberg DTU, Lyngby Logistisk optimering Hvordan optimeres den fysiske struktur og logistik i transportfirmaer? Hvor mange terminaler skal
Læs mereLogistik og optimering
Logistik og optimering JENS LYSGAARD Professor Institut for Økonomi Aarhus Universitet Forskningscentret CORAL v. Institut for Økonomi Logistik og optimering CORAL: Cluster for Operations Research And
Læs mereGENVEJEN TIL FRISKE BLOMSTER
Det ser romantisk og afslappet ud, men for at bruden kan få en frisk buket blomster, skal et enormt logistisk puslespil først løses. På blomsternes vej fra gartneri til kunde medvirker transportforskere,
Læs mereP2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.
P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet
Læs mereUgeseddel 12(10.12 14.12)
Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen
Læs mereSkriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)
Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 2 Juni 2008, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater
Læs mereDTU Transport. Ruteplanlægning med crossdocking. Hanne L. Petersen Stefan Røpke
Ruteplanlægning med crossdocking Hanne L. Petersen (hlp@transport.dtu.dk), Stefan Røpke Trafikdage, 23-24/8-2010 Outline 1. Crossdocking 2. Løsningsmetoder 3. Udviklet software 4. Konklusion 2 Trafikdage,
Læs mereP2-gruppedannelsen for Mat og MatØk
Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Danmark 1-02-2012 Vejledere Bo Hove E-mail: bh@thisted-gymnasium.dk 3 Mat grupper (semesterkoordinator) E-mail: diego@math.aau.dk. Web page: http://people.math.aau.dk/~diego/
Læs mereOPTIMERING AF KOLLEKTIV TRANSPORT
118 Optimering af kollektiv transport Af lektor Allan Larsen og forsker Hanne L. Petersen Det kollektive transportsystem er af vital betydning for specielt de større byer. Uden det kollektive udbud af
Læs mereEn frafalden matematikers hverdag
En frafalden matematikers hverdag S.L. Gadegaard Department of Economics and Business Economics Aarhus BSS, Aarhus University 12. April 2019 Sune L. Gadegaard Alumnedag 12. April 2019 1 / 22 Hvem er jeg
Læs mereEmneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:
Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering
Læs mereStudieretningsprojekter i machine learning
i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer
Læs mere1gma_tændstikopgave.docx
ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når
Læs mereRuteplanlægning og ITS
Stefan Røpke, Ph.D., Lektor, Danmarks Tekniske Universitet, Institut for Transport Teknologisk Institut, 6. Marts 2012 Hvad er ruteplanlægning? Opgave: Forsyn supermarked og tankstationer med dagligvarer.
Læs mereLøs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid
6 april Løsning af N P -hårde problemer Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid Oversigt Grænseværdier (repetition) Branch-and-bound algoritmens komponenter Eksempler
Læs mereBroer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.
Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereLøs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel
I dag Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer Repetition: branch-and-bound Flere begreber Konkret eksempel: TSP Lagrange relaxering Parallel branch-and-bound 1 Opsummering Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer
Læs mereSymmetrisk Traveling Salesman Problemet
Symmetrisk Traveling Salesman Problemet Videregående Algoritmik, Blok 2 2008/2009, Projektopgave 2 Bjørn Petersen 9. december 2008 Dette er den anden af to projektopgaver på kurset Videregående Algoritmik,
Læs mereSkriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)
Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den Juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs mereNOTAT. Projekt om rejsetidsvariabilitet
NOTAT Dato J. nr. 15. oktober 2015 2015-1850 Projekt om rejsetidsvariabilitet Den stigende mængde trafik på vejene giver mere udbredt trængsel, som medfører dels en stigning i de gennemsnitlige rejsetider,
Læs mereOptimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet
Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet og specielt anvendelser af matematisk programmering Esben Høg Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Oktober 2012 EH (Institut for Matematiske
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs mereNår vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.
MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs mereDen samfundsøkonomiske værdi af kollektiv trafik
Den samfundsøkonomiske værdi af kollektiv trafik Ole Kveiborg, COWI Lise Bjørg Pedersen, DI Transport, Dansk Kollektiv Trafik 1 Formål DI Transport har bedt COWI gennemføre en analyse af: Betydning for
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereBeskyt miljøet og bundlinjen
23042012_WORKsmart_ECO_bro_DK WORKsmart -Eco Beskyt miljøet og bundlinjen www.tomtom.com/business Let s drive business Indhold 2 Hvor miljøvenlig er virksomheden? 3 Optimer udnyttelsen af køretøjerne for
Læs mereResultater af prototypetesten
Resultater af prototypetesten Vi har prototypetestet use casene 1, 2, 4 og 5 1. For at undersøge, om vores prototypetest var forståelig for brugerne afholdt vi først en pilottest med en testperson for
Læs mereKinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:
K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere
Læs mereAnbefalinger til miljøbevidste indkøb af køretøjer
Anbefalinger til miljøbevidste indkøb af køretøjer v/ Kathrine Fjendbo Jørgensen 10.10.2012 Center for Grøn Transport Videns- og kompetencecenter Reduktion af vejtransportens CO2-udledning Synergi mellem
Læs mere22,5 x 9,00 139, x 6x 22,5 x 11,75 141,6 271,2 22,5 x 9,00 22,5 x 11,75 I alt 280,8 517,2 Vægtbesparelse - 236,4
` Alufælge Ved brug af aluminiumsfælge reduceres ikke alene egenvægten, men også køretøjets totale roterende masse. Dette resulterer endvidere i en forhøjelse af lasteevnen, da der frigives vægt fra køretøjets
Læs mereOperationsanalyse MØK
Operationsanalyse MØK 2015II Eksamensopgave, Rettevejledning, side 1 Operationsanalyse MØK Eksamensopgave, 4. januar 2016 Rettevejledning 1. Vi har at gøre med et transportproblem, der kan skrives på formen
Læs mereN Æ R M E R E B Æ R E DY G T I G T R A N S P O R T
FRUGAL PROPULSION N Æ R M E R E B Æ R E DY G T I G T R A N S P O R T STORE MÆNGDER GODS Vi køber utrolige mængder af varer, der skal flyttes over meget store afstande mere end 10 mia. tons i 2016. Det
Læs mereLinje 8 Horsens omlægning af ruteføringen grundet udvidelse ved Rema 1000s lager
Horsens Kommune Dato Sagsbehandler e-mail Telefon 19. februar 2015 Rikke Rasmussen rr@midttrafik.dk 8740 8248 Ændringer på bybusnettet i Horsens grundet ændringer i forløb og trafikale forhold Siden omlægningen
Læs mereNye færger til nye tider
Nye færger til nye tider Bedre miljø, høj stabilitet og god komfort Rederiet Færgen sætter i 20 to nye færger i drift på ruten Spodsbjerg Tårs. Skibene er bygget i Tyskland, og den nyeste teknologi er
Læs mereProjekt Lineær programmering i to variable
Projekt 5.5 - Lineær programmering i to variable. Den grundlæggende ide i lineær programmering Håndtering af optimeringsproblemer er et af de store anvendelsesområder inden for differentialregningen. Det
Læs mereJeg kan køre i bil som jeg vil, for det er mit kørekort!
Jeg kan køre i bil som jeg vil, for det er mit kørekort! Diskussion om at køre i bil på tjenesterejser Hovedspørgsmål Skriv to ideer til, hvad der kan få os til at bruge bilen mindre og samtidigt mere
Læs mereNOAH-Trafik Nørrebrogade 39 2200 København N www.trafikbogen.dk http://noah.dk noahtrafik@noah.dk
NOAH-Trafik Nørrebrogade 39 2200 København N www.trafikbogen.dk http://noah.dk noahtrafik@noah.dk Kbh. 29. september 2012 Til Trængselskommisionen og Transportministeriet Vedrørende: TRÆNGSELSINDIKATORER
Læs mereLavmands Hydraulic Lifting System
Kærup Parkvej 13 4100 Ringsted >Project Proposal for Dennis Busses >17.02.2010 Lavmands Hydraulic Lifting System Patent Pending Per Lavmand 1 kort er en af Danmarks førende virksomheder indenfor emissionsteknologi,
Læs mereCYKLEN - REDSKABET TIL SUNDHED OG BEDRE MILJØ
152 CYKLEN - REDSKABET TIL SUNDHED OG BEDRE MILJØ Cyklen - redskabet til sundhed og bedre miljø Af seniorforsker Thomas Alexander Sick Nielsen, seniorforsker Linda Christensen og seniorrådgiver Thomas
Læs mereFlere ligninger med flere ukendte
Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereDynafleet giver virksomheden gennemskuelighed og overblik i topklasse
Dynafleet giver virksomheden gennemskuelighed og overblik i topklasse Let overblik Kortvisninger, hvor du hurtigt kan se køretøjer og destinationer, samt detaljerede rapporter, som effektivt hjælper dig
Læs mereKan Rejsekortsdata anvendes til beregning af rejsetid?
Kan Rejsekortsdata anvendes til beregning af rejsetid? Det korte svar ja! Rasmus Albrink, Plan og trafik, RSAL@COWI.DK 1 1 OKTOBER 2015 Agenda Lidt historie om rejsetider og CitySense Rejsetider beregnet
Læs mereSMART TRANSPORT I ARBEJDSTIDEN
BRUG SJÆLDENT TAXI SMART TRANSPORT I ARBEJDSTIDEN - tips og anbefalinger til grøn, sund og effektiv transport BRUG BIL BRUG BUS OG TOG BRUG CYKLEN BRUG rejsefri møder Smart transport i arbejdstiden I projektet
Læs mere17. Infrastruktur digitalisering og transport
17. 17. Infrastruktur digitalisering og transport Infrastruktur Infrastruktur er en samlet betegnelse for de netværk, der binder samfundet sammen. En velfungerende infrastruktur er et vigtigt fundament
Læs mere12-03-2009. Resultater fra spørgeskemaundersøgelse. IT systemer. Er virksomheden beskæftiget inden for en eller flere af følgende brancher:
Resultater fra spørgeskemaundersøgelse : Er virksomheden beskæftiget inden for en eller flere af følgende brancher: 10 166 9 8 7 6 8 1 Godstransport på Terminaldrift vej og/eller IT systemer Anvender virksomheden
Læs mereKøreplan Matematik 1 - FORÅR 2005
Lineær algebra modulo n og kryptologi Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Introduktion Kryptologi er en ældgammel disciplin, som går flere tusinde år tilbage i tiden. Idag omfatter disciplinen mange
Læs mereBLACK FRIDAY Årets største handelsdag
BLACK FRIDAY Årets største handelsdag 1 Indholdsfortegnelse 1. Målsætning og strategi 4 2. Budget 6 3. Dagens vigtigste timer 7-8 4. Enheder 9 5. Betalingsmetoder 10 Indledning Sidste år shoppede danskerne
Læs mereBLACK FRIDAY Årets største handelsdag
BLACK FRIDAY Årets største handelsdag 1 Indholdsfortegnelse 1. Målsætning og strategi 4 2. Budget 6 3. Dagens vigtigste timer 7-8 4. Enheder 9 5. Betalingsmetoder 10 6. Søgemaskineoptimering 12 7. Google
Læs mereBaggrund. Opgradering af linje 229E og 239 til R-net linje. Notat. Til: Kopi til: 15. februar 2010
Notat Til: Kopi til: Sagsnummer Sagsbehandler SJ Direkte 36 13 17 10 Fax SJ@moviatrafik.dk CVR nr: 29 89 65 69 EAN nr: 5798000016798 15. februar 2010 Notat vedrørende omlægning af bustrafikken i Hornsherred
Læs mereSkolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål:
Formål: Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i forstå og anvende matematik i sammenhænge,
Læs mereHerning bybusser Køreplanskift juni 2013
8. februar 2013 Edith Blynning Herning bybusser Køreplanskift juni 2013 Rute ændring, beskrivelse, gennemgang og behandling af høringssvar for Herning Bybusser Linje 1A Gullestrup Ændring af ruteføring:
Læs mereFra Allan Larsen, Anders Vedsted Nørrelund og Allan Larsen 15. maj 2012 AVN
NOTAT Til Projektleder Tanja Ballhorn Provstgaard Københavns Kommune Teknik- og Miljøforvaltningen Center for Trafik Islands Brygge 37 23 København S Vedr. Effekter af Citylogistikservice i København Fra
Læs mereGrøn transport i NRGi
Grøn transport i NRGi Mobilitetsplan for NRGi Dusager Udarbejdet af VEKSØ Mobility og NRGi i februar 2012 I NRGi leverer vi hver dag bæredygtige løsninger til vores kunder, og vi arbejder naturligvis også
Læs mereDer er mange håndtag, der skal skrues på, før vi er i mål.
Vi sparer penge, når vi køber ind sammen Region Midtjylland køber årligt varer og tjenesteydelser for cirka 8 milliarder kroner. Det svarer til næsten 30 % af regionens samlede økonomi, og derfor er der
Læs mereUdvikling af korridoren Øresundsregionen - Gedser - Rostock - Berlin Fase 1
Trafikudvalget TRU alm. del - Bilag 306 Offentligt Udvikling af korridoren Øresundsregionen - Gedser - Rostock - Berlin Fase 1 For Hansestadt Rostock Regionaler Planungsverband Mittleres Mecklenburg Stadt
Læs merePrincipper for natbusbetjening - Høringsudgave. Oktober 2010
Principper for natbusbetjening - Høringsudgave Oktober 2010 Høringsudgave oktober 2010 Resumé Natbuskørsel er en lille, men vigtig del af Sydtrafiks tilbud af kollektiv trafik. Knap 500 personer benytter
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereGrådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Læs mereSolformørkelse. Ali Raed Buheiri Vinding Skole 9.a 2015 Unge forskere Unge forskere junior
Solformørkelse Siden 1851 den 18. juli, er den totale solformørkelse, noget vi hele tiden har ventet på her i Danmark, og rundt i hele verden har man oplevet solformørkelsen, som et smukt og vidunderligt
Læs mereNygade. I alt er det skønnet, at passagerer i myldretiden hver dag vil få fordel af bedre busfremkommelighed i krydset.
Skabelon for projektbeskrivelse Projekttitel Nygade/Jernbanegade øget fremkommelighed for 13 buslinjer. Resumé I signalkrydset Nygade/Jernbanegade bevirker en meget kort højresvingsbane i den sydlige tilfart,
Læs mereNye færger til nye tider
Nye færger til nye tider Bedre miljø, høj stabilitet og god komfort Rederiet Færgen (tidligere NFS) sætter i andet halvår af 2011 en ny færge ind på overfarten til Samsø fra Jyllandssiden. I begyndelsen
Læs mereFra Landsby til Tog. Udkast Oplæg til økonomiudvalgets budgetseminar 2014 Middelfart kommune
Fra Landsby til Tog Udkast Oplæg til økonomiudvalgets budgetseminar 2014 Middelfart kommune Transportgruppen har i samarbejde med lokaludvalget i Fjelsted/Harndrup og Brenderup udarbejdet et oplæg til
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereFagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne
Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer
Læs mereKap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen
Side 1 af 5 Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen Når flyselskaberne opdeler flysæderne i flere klasser og sælger billetterne til flysæderne med forskellige restriktioner, er det 2.
Læs mereSpørgsmål i forbindelse med køreplanskiftet 2011 i Sydtrafiks område
Spørgsmål i forbindelse med køreplanskiftet 2011 i Sydtrafiks område Baggrund Sydtrafik udarbejdede i 2009 sin første trafikplan (8-siders resumé vedlagt som bilag). Trafikplanen bygger i væsentlig grad
Læs mereTurneringsplanlægning
Rasmus Vinther Rasmussen Afdelingen for Operations Analyse Aarhus Universitet Matematiklærerdag 006 Er der nogen, der har prøvet at planlægge en turnering? Er der nogen, som har hørt om en turnering, der
Læs mereUlla Merete Riel. Johanne Høgsholm Sendt: 25. september :20 Til: Fra: Johanne Høgsholm Emne: Forslag til ændring af linje 333 pr.
Ulla Merete Riel Fra: Johanne Høgsholm Sendt: 25. september 2008 17:20 Til: Johanne Høgsholm Emne: Forslag til ændring af linje 333 pr. januar 2009 Vedhæftede filer: Forslag til ændring af linje 333 pr
Læs mere15.1 Fremtidens buskoncepter
Bestyrelsesmødet den 25. oktober 2012. Bilag 15.1 Sagsnummer Sagsbehandler MLL Direkte 36 13 15 05 Fax - MLL@moviatrafik.dk CVR nr: 29 89 65 69 EAN nr: 5798000016798 5. oktober 2012 15.1 Fremtidens buskoncepter
Læs mereMatematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål
Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der
Læs mereLÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15
LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin
Læs mereAnbefalinger: Kollektiv trafik et tilbud til alle
Anbefalinger: Kollektiv trafik et tilbud til alle Anbefalinger fra omstillingsgruppen Kollektiv trafik et tilbud til alle Uddrag fra kommissoriet for omstillingsgruppen Kollektiv trafik et tilbud til alle:
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 10/11 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Hasse Rasmussen
Læs mereKriterierne til certificeringsordningen beskrevet i dette notat gælder kun for kommuner.
Kriterier til certificeringsordning for Grøn Transportkommune Mindre CO 2 i transporten Baggrund Som led i regeringens og forligspartiernes aftale om En grøn transportpolitik fra januar 2009 er parterne
Læs mereDry Port på Sjælland? Trafikdage i Aalborg 28. august 2012 Leif Gjesing Hansen, Region Sjælland
Dry Port på Sjælland? Trafikdage i Aalborg 28. august 2012 Leif Gjesing Hansen, Region Sjælland Studiets baggrund Mulighederne for en dry port terminal i Høje Tåstrup for containertransport til europæiske
Læs mereOvenstående princip, vil ifølge forslag 2, gennemføres bybusser, der betjener områderne:
BILAG 2 Tilpassede regionale køreplaner På hovedstrækningerne i Odense kører der både bybusser og regionalbusser. Ved at takte køreplanen i perioden 13.30-17.30 på hverdage, vil antallet af afgange kunne
Læs mereKapitel 3 Lineære sammenhænge
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk
Læs mereKollektiv trafik - VT 7. semester Kursusgang 3 og 4 Planlægning af busnet
Kollektiv trafik - VT 7. semester - Kursusgang 3 og 4 Planlægning af busnet Kursusgang 3 og 4 Grundlag for planlægning Mål og udfordringer Overordnet byplanlægning Stationsnærhed Data Typer af kollektiv
Læs merePassagerincitamenter i bustrafik arbejdet i praksis
Passagerincitamenter i bustrafik arbejdet i praksis Trafikplanlægger Søren Jacobsen, Movia - Udvikling og Rådgivning. Baggrund Gennem de seneste år har den kollektive bustrafik i Hovedstadsområdet mistet
Læs mere182 HVAD KOSTER TI MINUTTER I TRAFIKKEN?
182 HVAD KOSTER TI MINUTTER I TRAFIKKEN? Hvad koster ti minutter i trafikken? Af professor Mogens Fosgerau HVAD KOSTER TI MINUTTER I TRAFIKKEN? 183 Selv om hensyn til miljø og sikkerhed også indgår i beslutninger
Læs mereTavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen.
Fag: Matematik Hold: 21 Lærer: ASH 33-34 35-36 lære at læse og forstå en lønseddel samt vide hvordan deres skat bliver beregnet. Se i øvrigt fælles mål Arbejde med regnehieraki og regneregler. 36-38 Elevere
Læs mereTILFREDSHED MED BUSSERNE PÅ FREDERIKSBERG
TILFREDSHED MED BUSSERNE PÅ FREDERIKSBERG 17 Side 1 Frederiksberg Kommune Oktober 17 INDHOLD NØGLESPØRGSMÅL 3 KONKLUSIONER RESULTATER - TILFREDSHED MED BUSTUREN RESULTATER -TILFREDSHED MED VENTEFORHOLD
Læs mereLinje 4 er en af de store succeser i bybusnettet. Den bliver flittigt brugt af borgerne til og fra industriområderne.
Dato: 15.april 2016 J-nr: 70-04-02-15-09 Kontaktperson: Sif Lind Rasmussen Direkte tlf.nr.:7660 8667 Notat Evaluering af Kolding Bybussystem Generelt Det er generelt Sydtrafiks opfattelse, at Koldings
Læs mereAssensvej Analyse af trafikale konsekvenser ved etablering af grusgrav
Assensvej Analyse af trafikale konsekvenser ved etablering af grusgrav... 1 Baggrund og forudsætninger Assens Kommune har bedt Tetraplan om at vurdere de trafikale konsekvenser ved etablering af en grusgrav
Læs mereHele denne rokade af færger kræver en række godkendelser fra TRM. DFAS skal således anmode TRM om at godkende følgende forhold:
Transportministeriet Frederiksholms Kanal 27F DK-1220 København K Att.: Kontorchef David Klæsøe-Lund 14. januar 2014 Pr. e-mail Vedr. Forespørgsel om indsættelse af på færgeruten Bøjden- Fynshav Kære David,
Læs mereDen digitale butik. Til eleverne. Et undervisningsforløb. udviklet til klassetrin
Den digitale butik Til eleverne Et undervisningsforløb udviklet til 7.-9. klassetrin Materiale til eleverne til Den digitale butik Elevtekst 1 Automatisk Disponering Automatisk Disponering er det automatiske
Læs mereUdfordringerne ved at lægge en køreplan for S-tog i de kommende år, når signalprogrammet implementeres etapevis
Udfordringerne ved at lægge en køreplan for S-tog i de kommende år når signalprogrammet implementeres etapevis Per Delvig DSB Operation Langsigtet Planlægning AGENDA 1. Signalprogrammets etaper 2. Udfordringer
Læs mereEn trængselsafgift g set fra et forskerperspektiv
En trængselsafgift g set fra et forskerperspektiv Mogens Fosgerau DTU Transport 5. December 2011 Punkter Virker det? Er det godt? Hvor skal ringen ligge? Hvor stor skal taksten være? Hvordan skal den variere
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereBliv CO 2 -venlig og spar op til 18 kroner om dagen
12. august 2009 Bliv CO 2 -venlig og spar op til 18 kroner om dagen Den gennemsnitlige husstand i Danmark bruger omkring 26.000 kroner om året på energi. Alene opvarmning af hjemmet koster i omegnen af
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereEffektivisering af godstransport i byer
Effektivisering af godstransport i byer Ved Erling Hvid & Henrik Køster, COWIconsult Baggrund Godstransporten udgør en væsentlig kilde til byernes trafik- og miljøproblemer. Tidligere undersøgelser - bl.a.
Læs mere