Matematik i fagdidaktisk perspektiv I (15 ECTS) Modul 2 Undervisningsplan

Transkript

1 København, efterår 2015 Matematik i fagdidaktisk perspektiv I (15 ECTS) Modul 2 Undervisningsplan Kandidatuddannelsen i didaktik, matematik 25. juni 2015 Modulansvarlig: Uffe T. Jankvist (utj@edu.au.dk). Undervisere: Uffe Jankvist og Hans Chr. Hansen og Tomas Højgaard (tomas@edu.au.dk). Vejleder: Uffe T. Jankvist. Undervisningstidspunkt: Tirsdage og fredage i tidsrummet Lokale: Se de enkelte undervisningsgange i nedenstående sessionsplan. Undervisningssprog: Dansk. Tilrettelæggelsesform: I studieordningen karakteriseres indholdet således: Matematisk problembehandlings- og modelleringskompetence. Tilfældigheds- og sandsynlighedsbegrebet, udvalgte standardfordelinger for stokastiske variable; statistik, herunder parameterestimation og hypotesetestning; klassisk reel analyse af funktioner af flere variable, differentialligninger. Fagdidaktiske perspektiver på disse matematiske kompetencer og stofområder. Et regneark og et gennemgående værktøjsprogram. Arbejdet med dette indhold foregår som en parallelt løbende kombination af a) et kursusforløb med vekslende læreroplæg og gruppearbejde med opgaver og b) et projektarbejde gennemført i grupper støttet af målorienteret vejledning. Tilstedeværelsesdelen af arbejdet er foldet ud over 32 sessioner i tidsrummet , svarende til alle tirsdage og fredage i ugerne Sessionerne er fordelt mellem - kursussessioner med læreren til stede som den forberedt dagsordensættende i første og sidste lektion, - workshops med læreren til stede i de to første lektioner som støtte for arbejde med eller evaluering af opgaver, - tidsrum hvor et undervisningslokale er til rådighed for autonomt gruppearbejde uden lærerens tilstedeværelse. Sessionsplanen er vist i overbliksform på næste side og udfoldes på de efterfølgende sider. Side 1 af 32

2 1 (01. sep.): Introduktion. Matematisk modelleringskompetence i et didaktisk perspektiv. 2 (04. sep.): Kompartmentmodeller og simple differentialligninger. 3 (8. sep.): Analytisk løsning af differentialligninger. 4 (11. sep.): Numerisk og kvalitativ analyse af differentialligninger. 5 (15. sep.): Autonomt gruppearbejde. 6 (18. sep.): Differentialligningssystemer. 7 (22. sep.): Opstart af matematiske modelleringsprocesser. [OBS kl ] 8 (25. sep.): Workshop: Matematisk modellering. 9 (29. sep. HCH): Flerdimensionel analyse: Funktioner af flere variable. 10 (02. okt. HCH): Flerdimensionel analyse: Partielle afledte. 11 (06. okt. TH): Matematisk problemløsningskompetence i et didaktisk perspektiv. 12 (09. okt. TH): Problemløsning og relationel forståelse af flerdimensionel analyse. 13 (13. okt.): Autonomt gruppearbejde. 14 (16. okt.): Autonomt gruppearbejde. 15 (20. okt.): Workshop: Kollega-sparring på arbejdet med opgavesæt A og begrebskort A. [OBS kl ] 16 (23. okt.): Workshop: Midtvejsevalueringsseminar om projektarbejdet. Modulevaluering. 17 (27. okt.): Autonomt gruppearbejde. 18 (30. okt.): Sandsynlighedsmodeller I. 19 (03. nov.): Sandsynlighedsmodeller II. 20 (06. nov.): Workshop: Konsolidering af forståelsen af sandsynlighedsmodeller. 21 (10. nov.): Estimering. 22 (13. nov.): Autonomt gruppearbejde. 23 (17. nov.): Hypotesetestning I. 24 (20. nov.): Hypotesetestning II. 25 (24. nov.): Workshop: Konsolidering af forståelsen af estimering og hypotesetestning. 26 (27. nov.): Autonomt gruppearbejde. 27 (01. dec.): Workshop: Kollega-sparring på arbejdet med opgavesæt B og begrebskort B. 28 (04. dec.): Workshop: Projektarbejde. 29 (08. dec.): Autonomt gruppearbejde. 30 (11. dec.): Workshop: Kollega-sparring på projektrapporter. Modulevaluering. 31 (15. dec.): Autonomt gruppearbejde 32 (18. dec.): Workshop: Vejledning af grupper. 33 (22. dec.): Workshop: Vejledning af grupper. 2 af 32

3 Prøveformer: Som en integreret del af undervisningsforløbet arbejdes der individuelt eller gruppevis med udarbejdelse af en portefølje bestående af besvarelse af følgende skriftlige opgaver: Opgavesæt A: Besvar opgave 2.14 i Blomhøj et al. (2008) og opgave i Lorentzen et al. (2015) med vægt på forklaringer og ræsonnementer. Redegør for hvordan du har oplevet (ved brug af den generelle mat.didaktiske litteratur fra kurset) og håndteret hver af opgaverne i et modelleringsperspektiv og et problemløsningsperspektiv. Formuler som den tredje opgave i dette sæt en opgave af samme karakter som opgave i Lorentzen et al. (2015), og gennemfør en didaktisk analyse af din egen opgave. Begrebskort A: Udarbejd et begrebskort over analyse som matematisk stofområde. Opgavesæt B: Besvar opgave A18 og A41 i Løvås (2013) med vægt på forklaringer og ræsonnementer. Redegør for hvordan du har oplevet og håndteret (ved brug af den generelle mat.didaktiske litteratur fra kurset) hver af opgaverne i et modelleringsperspektiv og i et problemløsningsperspektiv. Vælg som den tredje opgave i dette sæt selv et problemfelt som du mener det vil være relevant at gennemføre en statistisk karakteristik og analyse af. Forklar hvorfor du mener statistik er relevant i forhold til dette problemfelt. Gennemfør på baggrund af fremskaffelse af relevante data den statistiske karakteristik og analyse af problemfeltet, som du mener er relevant. Analysen skal bla. omfatte opstilling og test af en eller flere hypoteser. Begrebskort B: Udarbejd et begrebskort over stokastik som matematisk stofområde. Projektarbejde: Udarbejd en rapport på maksimalt 20 normalsider som demonstrerer a) matematisk modelleringskompetence i form af en kritisk reflekteret gennemførelse af en matematisk modelleringsproces, b) overblik over indholdet på kurset her, sådan som dette indhold har været udspændt af de matematiske kompetencer modellering og problembehandling og de matematiske stofområder reel analyse af funktioner af flere variable og stokastik, og c) kompetence i at analysere og diskutere dette indhold i et fagdidaktisk perspektiv. Formålet med afleveringsopgaverne er primært at bidrage til den formative evaluering på kurset, hvilket er baggrunden for at de skal afleveres løbende. Besvarelsen af opgaverne indgår herudover i den summative evaluering, jf. beskrivelsen af eksamensformen i studieordningen Som indledning på eksaminationen vil eksaminanderne få mulighed for at uddybe, perspektivere, eksemplificere eller på anden måde kommentere deres skriftlige eksamensgrundlag. Det sker i så fald i form af et mundtligt oplæg på op til 10 minutter pr. eksaminand, hvor eksaminator og censor kun stiller opklarende spørgsmål. Den resterende del af eksaminationen foregår som en samtale mellem eksaminander, eksaminator og eventuelt censor, med det mål at give et så godt grundlag som muligt for den efterfølgende bedømmelse. Bedømmelsen følger som 7-trinsskalaen. Brugen af denne skala betyder at bedømmelsen sker med reference til graden af opfyldelse af de i studieordningen udmeldte mål med modulet: Efter gennemført modul kan den studerende på et videnskabeligt grundlag, forstået som et kritisk, systematisk, teoretisk og empirisk funderet grundlag: demonstrere overblik over og indsigt i udvalgte dele af stofområderne: sandsynlighedsregning, statistik og reel analyse af funktioner af flere variable. demonstrere besiddelse af udvalgte faglige kompetencer, herunder: 3 af 32

4 o problembehandlingskompetence: formulere og løse matematiske problemer og vurdere andres matematiske problembehandling. o modelleringskompetence: gennemføre og vurdere alle dele af en matematisk modelleringsproces. analysere og diskutere stofområderne og de faglige kompetencer i et fagdidaktisk perspektiv. Litteratur (bøger): Kurset er bygget op omkring dele af nedenstående publikationer, som det derfor anbefales at man anskaffer. Bøger: Jankvist, U. T. & Højgaard, T. (red.) (2015). Matematik i fagdidaktisk perspektiv I. Kompendium, efterår Emdrup: IUP, Aarhus Universitet. Kan købes på AU Library, Campus Emdrup ( Under de enkelte sessioner er litteratur som findes i dette kompendium markeret med *. Lorentzen, L., Hole, A. & Lindstrøm, T. (2015). Kalkulus med én og flere variable. Oslo: Universitetsforlaget. Kan købes via OBS: Bemærk: 2. udgave. Løvås, G. (2013). Statistikk for universiteter og høgskoler, 3. ed.. Oslo: Universitetsforlaget. Kan købes via OBS: Bemærk: 3. udgave. Publikationerne findes også i afdelingen for kursuslitteratur på AU Library, Campus Emdrup, hvor man kan læse de fremlagte tekster på stedet, men ikke hjemlåne dem. Litteratur (artikler, bogkapitler, afhandlinger): Blomhøj, M. & Jensen, T. H. (2003). Developing mathematical modelling competence: conceptual clarification and educational planning. Teaching Mathematics and Its Applications, 22, Cobb, P. (1999). Individual and collective mathematical development: the case of statistical data analysis. Mathematical Thinking and Learning, 1(1), Education Committee of the EMS (2012b). What are the Reciprocal Expectations between Teacher and Students? Solid Findings in Mathematics Education on Didactical Contract. Newsletter of the European Mathematical Society, Issue 84, June 2012, Education Committee of the EMS (2012c). Models and Modelling in Mathematics Education. Newsletter of the European Mathematical Society, Issue 86, December 2012, Education Committee of the EMS (2014). Solid Findings: Concept images in students mathematical reasoning. Newsletter of the European Mathematical Society, Issue 93, September 2014, Hiebert, J. & Carpenter, T. P. (1992). Learning and teaching with understanding. In D. A. Grouws (Ed.): Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp ). New York, USA: Macmillan. Jankvist, U. T. & Misfeldt. M. (2015). CAS-induced difficulties in learning mathematics? For the Learning of Mathematics, 35, Jensen, T. H. (2007a). Assessing mathematical modelling competency. In Haines, C., Galbraith, P., Blum, W., & Khan, S. (Eds.), Mathematical modelling (ICTMA 12): Education, engineering and economics (pp ). Chichester, UK: Horwood. Jensen, T.H. (2007b). Udvikling af matematisk modelleringskompetence som matematikundervisningens omdrejningspunkt hvorfor ikke? IMFUFA-tekst nr Roskilde: Roskilde Universitet. 4 af 32

5 Ph.D.-afhandling. Kan købes i bogladen på RUC eller via ved at søge på ISBN-nr , eller downloades via Jensen, T. H. (2009). Modellering versus problemløsning om kompetencebeskrivelser som kommunikationsværktøj. MONA, 2, Krishnan, S. & Idris, N. (2014). Students misconceptions about hypothesis test. REDIMAT, 3(3), Lesh, R. & Zawojewski, J. (2007). Problem Solving and Modeling. In F. K. Lester, Jr. (Ed.): Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and learning (pp ). New York, USA: Information Age. Niss, M. (2010). Modeling a crucial aspect of students mathematical modeling. In R. Lesh, P. L. Galbraith, C. R. Haines & A. Hurford (Eds.) Modeling Students Mathematical Modeling Competencies: ICTMA 13 (pp ). New York: Springer. Pirie, S. & Kieren, T. (1994). Growth in mathematical understanding: How can we characterise it and how can we represent it? Educational Studies in Mathematics, 26, Schoenfeld, A. (1992). Learning to Think Mathematically: Problem Solving, Metacognition, and Sense Making in Mathematics. In D. A. Grouws (Ed.): Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp ). New York, USA: Macmillan. Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions. Educational Studies in Mathematics, 22, Skemp, R. R. (1976). Relational understanding and instrumental understanding. Mathematics Teaching, 77, Tall, D. & Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, 12, De fleste artikler fra tidsskrifter vil I have adgang til via AU s Library (online). Artikler i bøger vil oftest være at finde på biblioteket, Campus Emdrup. EMS solid findings artikler er frit tilgængelige på nettet: Supplerende litteratur: Jensen, T.H. (2007b). Udvikling af matematisk modelleringskompetence som matematikundervisningens omdrejningspunkt hvorfor ikke? IMFUFA-tekst nr Roskilde: Roskilde Universitet. Ph.D.-afhandling. Kan købes i bogladen på RUC eller via ved at søge på ISBN-nr , eller downloades via Hansen, H.C., Skott, J. & Jess, K. (2007). Matematik for lærerstuderende, Ypsilon, Basisbog bind 2. Roskilde: Roskilde Universitetsforlag. Kan købes via Kilpatrick, J. et al. (red.) (2003). A research companion to Principles and standards for school mathematics. Reston, USA: National Council of Teachers of Mathematics. Kan købes via 5 af 32

6 Session 1 Titel: Introduktion. Matematisk modelleringskompetence i et didaktisk perspektiv. At de studerende får mulighed for at tænke med omkring de didaktiske overvejelser som ligger til grund for kursets form og indhold. får indsigt i hvordan man kan karakterisere matematisk modelleringskompetence. på et eksemplarisk grundlag udvikler kompetence til at analysere og diskutere matematisk modelleringskompetence i et fagdidaktisk perspektiv. Formålet med kurset her set i forhold til formålet med de øvrige elementer på uddannelsen. Klarhed over kursets tilrettelæggelse, undervisningsform, evalueringsform og eksamen. Matematisk modellering som begreb og som aktivitet i matematikundervisning. Education Committee of the EMS (2012c). Models and Modelling in Mathematics Education. Newsletter of the European Mathematical Society, Issue 86, December 2012, Blomhøj, M. & Jensen, T. H. (2003). Developing mathematical modelling competence: conceptual clarification and educational planning. Teaching Mathematics and Its Applications, 22, Education Committee of the EMS (2012b). What are the Reciprocal Expectations between Teacher and Students? Solid Findings in Mathematics Education on Didactical Contract. Newsletter of the European Mathematical Society, Issue 84, June 2012, Kig i studieordningen for kandidatuddannelsen i didaktik, matematik (findes på og dan jer på denne baggrund så klart et billede som muligt af, hvilken rolle kurset her spiller i forhold til uddannelsen som helhed. Læs de ovennævnte tekster. 6 af 32

7 Session 2 Titel: Kompartmentmodeller og simple differentialligninger. At de studerende får indsigt i hvad kompartmentmodeller er og hvordan differentialligninger i den forbindelse kommer i spil som matematisk beskrivelsesværktøj. Kompartmentmodeller som modeltype. Differentialligninger som matematisk begreb og som beskrivelsesværktøj ved modellering. *Blomhøj, M., Kjeldsen, T.H. & Ottesen, J. (2008). Matematisk modellering af dynamiske systemer. Noter til Nat-Bas. Roskilde: Roskilde Universitet. Kap. 2 (pp ). Lorentzen et al. (2015), afsnit 4.1, 4.2 og 4.3 (pp ). Niss, M. (2010). Modeling a crucial aspect of students mathematical modeling. In R. Lesh, P. L. Galbraith, C. R. Haines & A. Hurford (Eds.) Modeling Students Mathematical Modeling Competencies: ICTMA 13 (pp ). New York: Springer. Supplerende: Lorentzen et al. (2015), kap. 1 og 2. Orienter dig i den supplerende litteratur, som danner grundlag for den anførte hovedlitteratur. Repetér hvad du forud for kurset her ved om kompartmentmodeller og differentialligninger, og forbered dig på en diskussion og hvad der karakteriserer dette stofområde, indholdsmæssigt såvel som didaktisk. Læs og bearbejd den anførte litteratur. Det er en god ide at starte med tekst og opgaver fra Blomhøj et al. (2008), som introducerer kompartmentmodeller som en særlig type matematiske modeller, og derefter læse og arbejde med opgaver i Lorentzen et al. (2015), som mere direkte fokuserer på begrebet differentialligning. Besvar så mange som muligt af opgaverne i Blomhøj et al. (2008) mhp. afklaring af spørgsmål på kursusgangen. Orienter dig i opgaverne i Blomhøj et al. (2008) mhp. fælles bearbejdning på kursusgangen. Opgaver i Lorentzen et al. (2015) efter angivelse på Blackboard. 7 af 32

8 Session 3 Titel: Analytisk løsning af differentialligninger. At de studerende udvikler deres indsigt i forskellige simple typer differentialligninger med fokus på analytisk løsning heraf. Analytisk løsning af differentialligninger. Litteratur knyttet til undervisningen: *Blomhøj et.al. (2008), afsnit (pp ). Lorentzen et al. (2015), afsnit 4.8 (pp ). Skemp, R. R. (1976). Relational understanding and instrumental understanding. Mathematics Teaching, 77, Forberedelse til undervisningen: Læs og bearbejd den anførte litteratur. Hjælp til bearbejdningen: Besvar så mange som muligt af opgaverne 3.2, 3.3, 3.6 og 3.11 mhp. afklaring af spørgsmål på kursusgangen. Orienter dig i opgaverne 3.10 og mhp. fælles bearbejdning på kursusgangen. Opgaver fra Lorentzen et al. (2015) efter angivelse på Blackboard. 8 af 32

9 Session 4 Titel: Numerisk og kvalitativ analyse af differentialligninger. At de studerende udvikler a) deres matematiske hjælpemiddelkompetence til at omfatte numerisk analyse af simple differentialligninger bl.a. vha. et computerprogram/-app (fx Wolfram Alpha el. lign.), og b) deres matematiske symbolbehandlingskompetence til at omfatte kvalitativ analyse af simple differentialligninger. Numerisk og kvalitativ analyse af differentialligninger. Hældningsfelter. Lorentzen et al. (2015), afsnit 4.6 (pp ). Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions. Educational Studies in Mathematics, 22, Læs og bearbejd den anførte litteratur. Er der nogle af spørgsmålene 1-4 i kapitel 4-opsummeringen (side 242) der vækker bekymring? Opgaver i Lorentzen et al. (2015) efter angivelse på Blackboard. Gør jeg selv bekendte med et computerprogram el. app der er i stand til at lave tilnærmede løsninger til førsteordens differentialligninger. 9 af 32

10 Session 5 Titel: Autonomt gruppearbejde. At de studerende konsoliderer deres læring fra de forrige sessioner. Videre arbejde med litteratur og opgaver fra session 2, 3 og 4. Ingen ny litteratur. Arbejd videre med tekster og opgaver fra sidst, og evaluér forståelsen af de centrale pointer og begreber med henblik på at kunne prioritere hvor der skal sættes ind på denne session. Hvilke opgaver er det godt at få arbejdet (videre) med mens muligheden er der for at samarbejde og diskutere med andre, og hvilke pointer og begreber vil det være godt at få vendt en gang mere? 10 af 32

11 Session 6 Titel: Differentialligningssystemer. At de studerendes indsigt i hvad kompartmentmodeller er og hvordan differentialligninger i den forbindelse kommer i spil som matematisk beskrivelsesværktøj udvikler sig fra kun at omfatte enkeltstående differentialligninger til også at omfatte differentialligningssystemer. Kompartmentmodellering og differentialligningssystemer. Kvalitativ analyse af differentialligningssystemer. Litteratur knyttet til undervisningen: *Blomhøj et.al. (2008), afsnit (pp ). Jankvist, U. T. & Misfeldt. M. (2015). CAS-induced difficulties in learning mathematics? For the Learning of Mathematics, 35, Forberedelse til undervisningen: Læs og bearbejd den anførte litteratur. Hjælp til bearbejdningen: Besvar så mange som muligt af opgaverne og mhp. afklaring af spørgsmål på kursusgangen. Orienter dig i opgaverne 4.5 og mhp. fælles bearbejdning på kursusgangen. 11 af 32

12 Session 7 Titel: Opstart af matematiske modelleringsprocesser. At de studerende får mulighed for at tænke med omkring de didaktiske overvejelser som ligger til grund for projektarbejdets mål, indhold og form. bliver afklarede i forhold til de formelle rammer for arbejdet. begynder processen med at udvikle deres matematiske modelleringskompetence. udvikler deres gruppedannelseskompetence. Projektarbejdet set i forhold til modulet som helhed. De formelle rammer for arbejdet. Om tegn på en veludviklet matematisk modelleringskompetence. Projektidé-børs. Gruppedannelse. Gruppevis planlægning og opstart af modelleringsprocessen. Højgaard, T. (2013a). Om modelleringsprojektet. Upubliceret undervisningsnote. (Findes på Blackboard.) Jensen, T. H. (2007a). Assessing mathematical modelling competency. In Haines, C., Galbraith, P., Blum, W., & Khan, S. (Eds.), Mathematical modelling (ICTMA 12): Education, engineering and economics (pp ). Chichester, UK: Horwood. Niss, M. & Jensen, T. H. (red.) (2002). Kompetencer og matematiklæring Idéer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark, Nr. 18 i Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie, København: Undervisningsministeriet, kap. 9. Kan hentes på Læs den ovennævnte litteratur i rækkefølgen Niss & Jensen (2002), Jensen (2007a) og Højgaard (2013), og brug det som udgangspunkt for at tænke over og formulere spørgsmål til hvordan man meningsfuldt kan evaluere matematisk modelleringskompetence. Formuler spørgsmål vedrørende eventuelle uklarheder om de formelle rammer for projektarbejdet anført i indledningen til denne undervisningsplan. Er der et eller flere problemfelter du godt kunne tænke dig at bruge som udgangspunkt for den matematiske modelleringsproces? Er der et bestemt stofområde og/eller nogle bestemte begreber du godt kunne tænke dig at integrere i modelleringsprocessen? Er der nogle af dine medstuderende du allerede nu ved du godt kunne tænke dig at etablere projektgruppe med? 12 af 32

13 Session 8 Titel: Workshop: Matematisk modellering. At de studerende udvikler deres matematiske modelleringskompetence. Fortsat projektarbejde i grupper. Den for projektarbejdet relevante litteratur. Planlæg gruppevis hvordan I vil arbejde videre med modelleringsprocessen på denne session, og hvad det eventuelt kræver af forarbejde. 13 af 32

14 Session 9 Titel: Flerdimensionel analyse: Funktioner af flere variable. Underviser: HC Hansen. At de studerende får erfaringer med funktioner af flere variable og derigennem udvikler deres forståelse af funktionsbegrebet. Introduktion til funktioner af flere variable. Lorentzen et al. (2015), afsnit 10.1 og 10.2 (pp ). Repetér hvad du forud for kurset her ved om funktionsbegrebet, om vektorer og om polære koordinater, og opdatér eventuelt din forståelse ved at arbejde med henholdsvis kapitel 1, kapitel 8 og afsnit 9.3 i Lorentzen et al. (2003). Læs og bearbejd den anførte litteratur. Hjælp til bearbejdningen: Opgaver i Lorentzen et al. (2015) efter angivelsen på Blackboard. 14 af 32

15 Session 10 Titel: Flerdimensionel analyse: Partielle afledte. Underviser: HC Hansen. At de studerende får indsigt i begrebet partiel afledt og dets forbindelse til begrebet differentialkvotient. får erfaringer med at analysere og diskutere funktioner af flere variable i et fagdidaktisk perspektiv. Partielle afledte. Didaktisk perspektivering af analyse som matematisk stofområde. Lorentzen et al. (2015), afsnit 10.3 (pp ). Repetér hvad du forud for kurset her ved om differentialregning, og opdatér eventuelt din forståelse ved at arbejde med kapitel 2 i Lorentzen et al. (2015). Læs og bearbejd de anførte sider i Lorentzen et al. (2015). Opgaver i Lorentzen et al. (2015) efter angivelse på Blackboard. 15 af 32

16 Session 11 Titel: Matematisk problemløsningskompetence i et didaktisk perspektiv. Underviser: Tomas Højgaard. At de studerende får indsigt i hvordan man kan karakterisere matematisk problemløsningskompetence og denne kompetences forhold til matematisk modelleringskompetence. på grundlag af introspektion udvikler kompetence til at analysere og diskutere matematisk problemløsningskompetence i et fagdidaktisk perspektiv. Matematisk problemløsning som begreb og som aktivitet i matematikundervisning. Introspektion af egen problemløsning. To perspektiver på forholdet mellem matematisk problemløsningskompetence og matematisk modelleringskompetence. Jensen, T. H. (2009). Modellering versus problemløsning om kompetencebeskrivelser som kommunikationsværktøj. MONA, 2, Jensen (2007b), kap. 5 og 10. Schoenfeld, A. (1992). Learning to Think Mathematically: Problem Solving, Metacognition, and Sense Making in Mathematics. In D. A. Grouws (Ed.): Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp ). New York, USA: Macmillan. Lesh, R. & Zawojewski, J. (2007). Problem Solving and Modeling. In F. K. Lester, Jr. (Ed.): Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and learning (pp ). New York, USA: Information Age. Læs den ovennævnte litteratur i rækkefølgen Jensen (2007b), Schoenfeld (1992), Højgaard (2009) og Lesh & Zawojewski (2007). Kapitel 5 i Jensen (2007) danner baggrund for kapitel 10, der bla. kan fungere som en introduktion til Schoenfeld (1992), som er en klassiker på området. Højgaard (2009) og Lesh & Zawojewski (2007) præsenterer to forskellige analyser af forholdet mellem problemløsning og modellering, og sidstnævnte ret lange artikel skal læses med fokus på at kunne diskutere denne forskellighed. 16 af 32

17 Session 12 Titel: Problemløsning og relationel forståelse af flerdimensionel analyse. Underviser: Tomas Højgaard. At de studerende udvikler det tekniske niveau i deres matematiske problembehandlingskompetence i retning af flerdimensionel analyse. videreudvikler deres kompetence til at analysere og diskutere matematisk problemløsningskompetence i et fagdidaktisk perspektiv, nu med særlig vægt på tilrettelæggelsen af problemløsningsaktiviteter. Matematisk problemløsning. Didaktiske perspektiver på tilrettelæggelsen af problemløsningsaktiviteter. Hiebert, J. & Carpenter, T. P. (1992). Learning and teaching with understanding. In D. A. Grouws (Ed.): Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp ). New York, USA: Macmillan. Højgaard, T. (2013b). Om begrebskort. (Findes på Blackboard.) Jensen (2007b), side 167. Lorentzen et al. (2015), afsnit (pp ). Skemp, R. R. (1976). Relational understanding and instrumental understanding. Mathematics Teaching, 77, Læs og bearbejd Skemp (1976) og derefter Hiebert & Carpenter (1992), som siden i Jensen (2007b) introducerer til. Opstart af begrebskort A. Repetér de centrale pointer og forståelser fra afsnit i Lorentzen et al. (2015), som var lærebogsteksten til de afholdte sessioner om flerdimensionel analyse. Formuler på baggrund heraf en eller flere opgaver om flerdimensionel analyse som du formoder vil være et problem af passende sværhedsgrad for dine medstuderende på holdet (og måske også for dig selv). Upload din(e) opgave(r) på et angivet sted på kursets Blackboardside senest dagen inden sessionen. Orienter dig kort inden sessionen i den til lejligheden udviklede opgavesamling med henblik på at identificere hvilke af opgaverne (alternativt nogle af nabo-opgaverne) der bringer dig i problemløsnings-mode. Når du har fundet nogle der gør det så afbryd arbejdet, så resten af problemløsningen kan foregå på kursusgangen. Læs Højgaard (2013b) og arbejd fx ved hjælp af hjemmesiderne og med din forståelse af, hvad det vil sige at udarbejde et begrebskort og hvad det er meningen man skal have ud af et sådant arbejde. Påbegynd arbejdet ved at lave et begrebskort med begreberne funktion, differentialkvotient og partiel afledt. 17 af 32

18 Session 13 og 14 Titel: Autonomt gruppearbejde. At de studerende konsoliderer deres læring fra de forrige sessioner. Videre arbejde med litteratur og opgaver fra de tidligere sessioner. Arbejde med opgavesæt A og begrebskort A. Ingen ny litteratur. Arbejd videre med tekster og opgaver fra sidst, og evaluér forståelsen af de centrale pointer og begreber med henblik på at kunne prioritere hvor der skal sættes ind på denne session. Hvilke opgaver er det godt at få arbejdet (videre) med mens muligheden er der for at samarbejde og diskutere med andre, og hvilke pointer og begreber vil det være godt at få vendt en gang mere? 18 af 32

19 Session 15 Titel: Workshop: Kollega-sparring på arbejdet med opgavesæt A og begrebskort A. At de studerende udvikler deres overblik over differentialligninger og flerdimensionel analyse som matematiske stofområder. Formativ evaluering af arbejdet med opgavesæt A og begrebskort A og kollega-sparring vedrørende det videre arbejde hermed. Ingen ny litteratur. Besvar opgavesæt A og udarbejd begrebskort A og aflever begge dele elektronisk (Word- eller pdfformat, navngivet så gruppeidentiteten tydeligt fremgår) på det dertil indrettede sted på kursets Blackboardside senest kl dagen inden sessionen. Orienter dig i og forbered konstruktiv kritik af nogle af de andres besvarelser, jf. besked på Blackboard om hvilke grupper der skal give indbyrdes kritik. Genaflevering: Såfremt opgavesættet ikke godkendes af underviser aftales der en ny dato for genaflevering. 19 af 32

20 Session 16 Titel: Workshop: Midtvejsevalueringsseminar om projektarbejdet. Formativ modulevaluering. At de studerende får gjort status på analysens fremadskriden og på arbejdet med projektrapporten. udvikler deres kompetence til at give og modtage konstruktiv kritik af projektarbejdet. Gruppevis forberedelse af kritikken af makkergruppens projektarbejde. To eventuelt tre projektgruppers gensidige kritik af hinandens projektarbejde efter tur. Formativ modulevaluering. Egen og makkergruppens udkast til projektrapport. Gør status på projektarbejdet, konkret markeret ved at lave en præsentabel version af projektrapporten som den ser ud her og nu. Indled gerne denne version af rapporten med et oplæg til dem der skal give konstruktiv kritik af arbejdet, fx med angivelse af nogle særlige forhold/spørgsmål som I gerne vil diskutere og have kritik på. Aflever jeres oplæg som én samlet fil (pdf-format, navngivet så gruppeidentiteten tydeligt fremgår) på det dertil indrettede sted på kursets Blackboardside senest kl dagen inden sessionen. Hent, læs og forbered kritik af oplægget fra jeres makkergruppe(r), jf. besked på Blackboard om hvilke grupper der skal give indbyrdes kritik. Reflektér som en central del af status- og kritikarbejdet over målene med projektarbejdet angivet i den indledende del af denne undervisningsplan og hvordan jeres eget og makkergruppens arbejde skrider fremad i det perspektiv. 20 af 32

21 Session 17 Titel: Autonomt gruppearbejde. At de studerende får reflekteret videre over og når nærmere målene med projektarbejdet. Fortsat projektarbejde i grupper. Den for projektarbejdet relevante litteratur. Planlæg gruppevis hvilke dele af projektarbejdet I vil bruge tid på denne session. 21 af 32

22 Session 18 og 19 Titel: Sandsynlighedsmodeller. At de studerende begynder at etablere overblik over stokastik som stofområde og analyser heraf i et fagdidaktisk perspektiv. får indsigt i begrebet stokastisk variabel og andre dertil knyttede statistiske begreber. får indsigt i præmisserne for og den konkrete brug af forskellige sandsynlighedsmodeller. udvikler det tekniske niveau i deres matematiske modelleringskompetence og matematiske problemløsningskompetence i retning af sandsynlighedsmodeller. får erfaringer med at analysere og diskutere sandsynlighedsregning i et fagdidaktisk perspektiv. Stokastik som stofområde indholdsmæssigt og didaktisk. Sandsynlighedsmodeller. Cobb, P. (1999). Individual and collective mathematical development: the case of statistical data analysis. Mathematical Thinking and Learning, 1 (1), pp Løvås (2013), kap. 4 og afsnit og Supplerende: Løvås (2013), kap Hansen, Skott & Jess (2007), kap. 19, 20 og 22. Shaugnessy (2003). Research on Students Understandings of Probability. I Kilpatrick et al. (eds.), kap. 14. Til den første af de to sessioner: Læs og bearbejd de ovennævnte dele af Løvås (2013). Hjælp til bearbejdningen: Er der nogle af punkterne i kapitel 4-opsummeringen (side 162) der vækker bekymring? Begrebsanalytisk hviler en forståelse af begrebet stokastisk variabel på en forståelse af begrebet variabel. Hvordan forstår du disse to begreber og deres indbyrdes relation, og hvordan ville du forklare din forståelse i en undervisningssammenhæng? Er der nogle af punkterne i kapitel 5-opsummeringen (side 212) der vækker bekymring? Opgaver i Løvås (2013) efter angivelse på Blackboard. Til den anden af de to sessioner: Arbejd videre med opgaver angivet på Blackboard efter nærmere aftale på den første af de to sessioner, eventuelt suppleret med andre af bogens opgaver som du finder relevante for at konsolidere din forståelse af de centrale begreber. Læs Cobb (1999) med fokus på at kunne diskutere, hvordan man meningsfuldt kan og bør analysere og diskutere sandsynlighedsregning i et fagdidaktisk perspektiv. 22 af 32

23 Session 20 Titel: Workshop: Konsolidering af sessionerne om sandsynlighedsmodeller. At de studerende konsoliderer deres læring fra de forrige sessioner. Videre arbejde med litteratur og opgaver fra session 18 og 19. Opstart af begrebskort B. Ingen ny litteratur. Arbejd videre med tekster og opgaver fra sidst, og evaluér forståelsen af de centrale pointer og begreber med henblik på at kunne prioritere hvor der skal sættes ind på denne session. Hvilke opgaver er det godt at få arbejdet (videre) med mens muligheden er der for at samarbejde og diskutere med andre, og hvilke pointer og begreber vil det være godt at få vendt en gang mere? 23 af 32

24 Session 21 Titel: Estimering. At de studerende udvikler deres forståelse af begrebet estimering og får erfaringer med at selv at estimere forskellige parametre. udvikler det tekniske niveau i deres matematiske modelleringskompetence og matematiske problemløsningskompetence i retning af estimering. får erfaringer med at analysere og diskutere teoretisk statistik i almindelighed og estimering i særdeleshed i et fagdidaktisk perspektiv. Estimering indholdsmæssigt og didaktisk. Løvås (2013), afsnit 6.1, og Education Committee of the EMS (2014). Solid Findings: Concept images in students mathematical reasoning. Newsletter of the European Mathematical Society, Issue 93, September 2014, Tall, D. & Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, 12, Supplerende: Hansen, Skott & Jess (2007), kap. 21. Læs og bearbejd de ovennævnte dele af Løvås (2013). Hjælp til bearbejdningen: Er der nogle af de tre første punkter i opsummeringen (side 271) der vækker bekymring? Opgaver fra Løvås (2013) efter angivelse på Blackboard. 24 af 32

25 Session 22 Titel: Autonomt gruppearbejde. At de studerende konsoliderer deres læring fra de forrige sessioner. Videre arbejde med litteratur og opgaver fra forrige session. Ingen ny litteratur. Arbejd videre med tekster og opgaver fra sidst, og evaluér forståelsen af de centrale pointer og begreber med henblik på at kunne prioritere hvor der skal sættes ind på denne session. Hvilke opgaver er det godt at få arbejdet (videre) med mens muligheden er der for at samarbejde og diskutere med andre, og hvilke pointer og begreber vil det være godt at få vendt en gang mere? 25 af 32

26 Session 23 og 24 Titel: Hypotesetestning. At de studerende udvikler deres forståelse af begrebet hypotesetestning og får erfaringer med at selv at gennemføre sådanne test. udvikler det tekniske niveau i deres matematiske modelleringskompetence og matematiske problemløsningskompetence i retning af hypotesetestning. får yderligere erfaringer med at analysere og diskutere teoretisk statistik i et fagdidaktisk perspektiv, denne gang med særlig fokus på hypotesetestning. Hypotesetestning indholdsmæssigt og didaktisk. Litteratur knyttet til undervisningen: Løvås (2013), afsnit Krishnan, S. & Idris, N. (2014). Students misconceptions about hypothesis test. REDIMAT, 3(3), Pirie, S. & Kieren, T. (1994). Growth in mathematical understanding: How can we characterise it and how can we represent it? Educational Studies in Mathematics, 26, Forberedelse til undervisningen: Til den første af de to sessioner: Læs og bearbejd de ovennævnte dele af Løvås (2013). Hjælp til bearbejdningen: Er der nogle af de fem sidste punkter i opsummeringen (side 271) der vækker bekymring? Opgaver fra Løvås (2013) efter angivelse på Blackboard. Til den anden af de to sessioner: Arbejd videre med de ovennævnte opgaver efter nærmere aftale på den første af de to sessioner, eventuelt suppleret med andre af bogens opgaver som du finder relevante for at konsolidere din forståelse af de centrale begreber. Læs Krishnan & Idris (2014) og Pierie & Kieran (1994). 26 af 32

27 Session 25 Titel: Workshop: Konsolidering af sessionerne om estimering og hypotesetestning. At de studerende konsoliderer deres læring fra de forrige sessioner. Videre arbejde med litteratur og opgaver fra session 23 og 24. Videreudvikling af begrebskort B. Ingen ny litteratur. Arbejd videre med tekster og opgaver fra sidst, og evaluér forståelsen af de centrale pointer og begreber med henblik på at kunne prioritere hvor der skal sættes ind på denne session. Hvilke opgaver er det godt at få arbejdet (videre) med mens muligheden er der for at samarbejde og diskutere med andre, og hvilke pointer og begreber vil det være godt at få vendt en gang mere? 27 af 32

28 Session 26 Titel: Autonomt gruppearbejde. At de studerende konsoliderer deres læring fra de forrige sessioner. Videre arbejde med litteratur og opgaver fra session 23 og 24. Arbejde med opgavesæt B og begrebskort B. Ingen ny litteratur. Arbejd videre med tekster og opgaver fra sidst, og evaluér forståelsen af de centrale pointer og begreber med henblik på at kunne prioritere hvor der skal sættes ind på denne session. Hvilke opgaver er det godt at få arbejdet (videre) med mens muligheden er der for at samarbejde og diskutere med andre, og hvilke pointer og begreber vil det være godt at få vendt en gang mere? 28 af 32

29 Session 27 Titel: Workshop: Kollega-sparring på arbejdet med opgavesæt B og begrebskort B. At de studerende udvikler deres overblik over stokastik som matematisk stofområde. Formativ evaluering af arbejdet med opgavesæt B og begrebskort B og kollega-sparring vedrørende det videre arbejde hermed. Ingen ny litteratur. Besvar opgavesæt B og udarbejd begrebskort B og aflever begge dele elektronisk (pdf-format, navngivet så gruppeidentiteten tydeligt fremgår) på det dertil indrettede sted på kursets Blackboardside senest kl dagen inden sessionen. Orienter dig i og forbered konstruktiv kritik af nogle af de andres besvarelser, jf. besked på Blackboard om hvilke grupper der skal give indbyrdes kritik. Genaflevering: Såfremt opgavesættet ikke godkendes af underviser aftales der en ny dato for genaflevering. 29 af 32

30 Session 28 og 29 Titel: Workshop og autonomt gruppearbejde. At de studerende får reflekteret over og når nærmere målene med projektarbejdet. Fortsat projektarbejde i grupper. Den for projektarbejdet relevante litteratur. Planlæg gruppevis hvilke dele af projektarbejdet I vil bruge tid på i disse sessioner og hvordan I derfra får lavet en samlet præsentation heraf til den formative evaluering af projektarbejdet på session af 32

31 Session 30 Titel: Workshop: Kollegasparring på projektrapporter. Modulevaluering. At de studerende får gjort status på analysens fremadskriden og på arbejdet med projektrapporten. udvikler deres kompetence til at give og modtage konstruktiv kritik af projektarbejdet. Gruppevis forberedelse af kritikken af makkergruppens projektarbejde. To eventuelt tre projektgruppers gensidige kritik af hinandens projektarbejde efter tur. Klarhed over eksamensafviklingen. Modulevaluering. Egen og makkergruppens udkast til projektrapport. Gør status på projektarbejdet, konkret markeret ved at lave en præsentabel version af projektrapporten som den ser ud her og nu. Indled gerne denne version af rapporten med et oplæg til dem der skal give konstruktiv kritik af arbejdet, fx med angivelse af nogle særlige forhold/spørgsmål som I gerne vil diskutere og have kritik på. Aflever jeres oplæg som én samlet fil (pdf-format, navngivet så gruppeidentiteten tydeligt fremgår) på det dertil indrettede sted på kursets Blackboardside senest kl dagen inden sessionen. Hent, læs og forbered kritik af oplægget fra jeres makkergruppe(r), jf. besked på Blackboard om hvilke grupper der skal give indbyrdes kritik. Reflektér som en central del af status- og kritikarbejdet over målene med projektarbejdet angivet i den indledende del af denne undervisningsplan og hvordan jeres eget og makkergruppens arbejde skrider fremad i det perspektiv. Tænk formen på første del af modulet her igennem med henblik på en mundtlig formativ evaluering heraf på denne session. Besvar skriftligt de på forhånd elektronisk tilsendte spørgsmål som led i den samlede modulevaluering, og tænk over eventuelle mundtlige kommentarer. Læs afsnittet om evaluering og eksamen på de første sider her i undervisningsplanen og formuler eventuelt spørgsmål til eksamensafviklingen, hvis der er ting der fremstår uklart. 31 af 32

32 Session 31, 32 og 33 Titel: Autonomt gruppearbejde. Gruppevise vejledningsmøder på session 32 og 33. At de studerende får reflekteret over og når nærmere målene med projektarbejdet. Fortsat projektarbejde i grupper som opfølgning på evalueringen og sparringen på forrige session. Gruppevise vejledningsmøder. Den for projektarbejdet relevante litteratur. Følg op på evalueringen og sparringen på forrige session ved gruppevis at gøre jer klart a) hvad I gerne vil bruge tiden på at diskutere og spørge om på det afsluttende vejledningsmøde på en af disse sessioner, og b) hvordan planen ser ud for det resterende projektarbejde frem mod afleveringen af projektrapporten til eksamenskontoret i starten af januar. Send gerne en mail utj@edu.au.dk med et kort skriftligt vejledningsoplæg senest aftenen inden det aftalte vejledningsmøde. 32 af 32